§ 11. Представление законов в теории измерений

Известно, что законы классической физики просты. Дадим объяснение этому факту. Это объяснение получено сразу в двух теориях: в теории измерений [68; 129] и теории физических структур [56–59]. В теории измерений показывается, что система физических величин и связывающие их фундаментальные физические законы просты потому, что они получены процедурой одновременного шкалирования величин и законов [11–12; 13]. При одновременном шкалировании, например, величин x, y, z можно одновременно получить шкалы всех трех величин x, y, z да еще так, что они будут связаны законом y = x + z. Когда шкалируются все величины, входящие в некоторый закон, то шкалы величин одновременно согласуются так, чтобы закон имел заданный простой вид. Тогда возникает следующий вопрос (который, кстати, не был поставлен в теории измерений): а для каких функциональных зависимостей, выражающих некоторый закон, существуют процедуры одновременного шкалирования величин, приводящие к этому закону? На этот вопрос дает ответ теория физических структур: все функциональные зависимости, выражающие некоторый закон, представимы в виде некоторой классификации, приведенной в работе [64]. Все остальные функциональные зависимости, выражающие закон, могут быть приведены к одному из видов этой классификации путем некоторого монотонного преобразования всех трех величин, т. е. процедурой одновременного перешкалирования всех трех величин.

Приведенный результат показывает, что все законы находятся с точностью до некоторого монотонного преобразования входящих в закон величин. И с точностью до произвольного монотонного преобразования все законы можно просто перечислить в виде некоторой классификации [Там же]. Все законы этой классификации просты. Вся сложность закона, переходит в монотонное преобразование всех величин, которая осуществляется процедурой одновременного шкалирования.

В данной работе мы проиллюстрируем эту идею на простейшем законе вида y = x + z. Определим класс функций F, в котором каждая функция ¦ будет приводиться к виду y = x + z перешкалированием величин. Класс F определим через свойства функций, выраженных некоторой системой аксиом в терминах отношений ³, =.

Предположим, что в некотором эксперименте взаимодействие двух величин дает третью величину y = ¦(x, z). Предположим также, что результаты эксперимента представляются наборами чисел áy, x, zñ. Для величины  y  интерпретируемо отношение порядка ³ на Re, а для величин x, z – отношение равенства.

Определим класс функций F на Xf ´ Zf, Xf, Zf Ì Re, Xf, Zf ¹ Æ, таких, что функция ¦ Î F определена на Xf ´ Zf и удовлетворяет свойствам 1–5 аддитивной соединительной структуры (additive conjoint structure) [129; с. 256].

1*) "z1, z2, $x (¦(x, z1) ³ ¦(x, z2) Þ "x’(¦(x’, z1) ³ ¦(x’, z2)));

2) "x1, x2, x3, z1, z2, z3((¦(x1, z2) » ¦(x2, z1))&(¦(x1, z3) » ¦(x3, z1)) Þ (¦(x2,  z3) » ¦(x3, z2));

3) для любых трех из четырех значений of x1, x2, z1, z2 существует четвертое такое что ¦(x1, z2) = ¦(x2, z1);

4*) $ x1, x2, z (¦(x1, z) ¹ ¦(x2, z));

5*) для любых z1, z2, z1 ¹ z2, если на Xf определена ограниченная последовательность x1, x2, … ; xi £ xmax

¦(x1, z1) = ¦(x2, z2),

¦(x2, z1) = ¦(x3, z2),

¦(x3, z1) = ¦(x4, z2),

…………………..,

то она конечна. Кванторы всеобщности и существования относятся к множествам Xf, Zf. Свойства, отмеченные звездочкой, сформулированы только для переменной x. Аналогичные свойства, получающиеся из приведенных заменой символа x на символ z и наоборот, должны выполняться для переменной z.

Теорема (модификация теоремы [Там же; с.256]). Для любой функции ¦ Î F существуют взаимно однозначные функции jx, jz и монотонная функция j такие, что

j¦(x, z) = jx(x) + jz(z), áx, zñ Î Xf ´ Zf.

Любая функция ¦’(x’, z’) = j¦(jxx’, jzz’), где j – строго монотонная функция, jx, jz – взаимно однозначные функции, также принадлежит F ■

Из теоремы следует, что, если для некоторой функции y = ¦(x, z) свойства 1–5 выполнены, то функциональная зависимость может быть приведена к виду y = x + z перешкалированием величин.

Процедура перешкалирования извлекается из доказательства теоремы и системы аксиом. Приведем ее. Пусть у нас есть функция f Î F на Xf ´ Zf, удовлетворяющая аксиомам 1–5. В силу аксиомы 4 существуют точки на плоскости áx0, z0ñ, áx1, z0ñ такие, что ¦(x0, z) ¹ ¦(x1, z).


Будем шкалировать одновременно шкалы X, Z и Y. Припишем значению x0 по шкале X величину 0 и запишем это через X(x1) = 0; значению x1 величину X(x1) = 1; значению z0 по оси Z величину Z(z0) = 0; значениям функции ¦ по оси Y величины ¦(x0, z0) = 0, ¦(x1, z0) = 1 (рис. 2). По аксиоме 3 для трех элементов x0, z0, x1 существует четвертый z1, такой что ¦(x0, z1) = ¦(x1, z0). Соединим точки áx0, z1ñ, áx1, z0ñ кривой, как показано на рис. 2. Вдоль этой линии функция принимает одинаковые значения, и эти значения будут значениями шкалы для величины y, которая не изображена. Нетрудно проверить, что при таких значениях величин x, z, y будет выполнено соотношение x + z = y. Возьмем точку áx1, z1ñ. Положим для нее значение величины y = ¦(x1, z1) = 2. Найдем теперь значение x2, соответствующее значению 2, и значение z2, соответствующее значению 2. Снова применим аксиому 3 и найдем значение x2, такое что ¦(x1, z1) = ¦(x2, z0), а затем найдем значение z2, такое что ¦(x0, z2) = ¦(x1, z1). Получим y = ¦(x0, z2) = ¦(x1, z1) = ¦(x2, z0) = 2. Возьмем теперь точки áx2, z1ñ и áx1, z2ñ. Что бы данное построение было возможным и дальше нужно что бы для этих точек значения функции были одинаковыми. Это следует из аксиомы 2.