§ 12. Теория физических структур

В теории физических структур на основании принципа феноменологической симметрии выведен функциональный вид возможных фундаментальных физических законов [64]. Показано, что фундаментальные физические законы (кроме законов статистической физики и физики элементарных частиц), а также входящие в них величины могут быть выведены из этого принципа.

Общая черта всех физических законов состоит в том, что различные физические объекты, принадлежащие к определенным классам, равноправны по отношению к рассматриваемому закону. Оказывается, что из одного этого требования равноправия можно вывести далеко идущие следствия о возможной структуре физических законов.

Этот принцип записывается в виде функционального уравнения специального вида. Рассмотрим два произвольных множества: множество M с элементами i, k, … и множество N c элементами a, b, …

Допустим, что каждой паре i Î M, a Î N сопоставляется действительное число a_ia Î Â, так что в конечном итоге множеству M ´ N сопоставляется некоторая числовая матрица А = ║a_ia║. Так, если M и N – множества физических объектов различной природы, то матрица ║ a_ia ║ представляет собой результат эксперимента, характеризующий отношения, в которых находятся объекты i и a.

Мы будем говорить, что на множествах M и N задана физическая структура ранга (r, s), если r•s чисел, стоящих на пересечении любых r строк i, k, …,  l и любых s столбцов a, b, …, g, связаны между собой функциональной зависимостью

F(a_ia, a_ib, …, a_ig, a_ka, a_kb, …, a_kg, …, a_la, a_lb, …, a_lg ) = 0, (1)

вид которой не зависит от выбора подмножества из r элементов

M_r = { i, k, … , l } Ì M

и множества из s элементов

N_s = { a, b, …, g } Ì N.

При этом предполагается, что функция F аналитична и не может быть представлена в виде суперпозиции аналитических функций меньшего числа переменных.

Мы будем говорить также, что функциональная зависимость вида задает физический закон ранга (r, s), инвариантный относительно выбора конечных подмножеств M_r, N_s и реализуемый на множествах M и N.

Равенство является, по сути дела, символической записью бесконечной системы функциональных уравнений относительно одной неизвестной функции от r•s переменных и одной неизвестной бесконечной матрицы А = ║ a_ia ║, представляющей собой одну числовую функцию двух нечисловых аргументов i и a.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти такую бесконечную матрицу А = ║ a_ia ║ и такую функцию , что для любой прямоугольной r´s – мерной подматрицы A_rs матрицы A все ее элементы, подставленные в Ф, обращали бы в нуль.

Требование существования соотношения (4) при любом выборе r элементов из множества M и s элементов из множества N мы называем принципом обобщенной инвариантности. Этот принцип наиболее естественным образом выражает факт равноправия всех элементов множеств M и N по отношению к физическому закону ранга (r, s).

Г. Г. Михайличенко было решено уравнение (4) и получены аналитические выражения для всех законов, удовлетворяющих принципу обобщенной инвариантности [64]. Им была доказана теорема, что функции Ф и a_ia могут иметь только один из следующих видов:

1) для r = s = 2 –

a_ia = Y^-1(x_i + x_a),

Y( a_ia ) - Y( a_ib ) - Y( a_ja ) + Y( a_jb ) = 0;

2) для r = 4, s = 2 –

a_ia = Y^-1[(x_ix_a¹ + x_a²) / (x_i + x_a³)],

1) для r = s ³ 3 –

a_ia = Y^-1(x_i¹x_a¹ + … + x_i^m-2x_a^m-2 + x_i^m-1x_a^m-1),

а также

a_ia = Y^-1(x_i¹x_a¹ + … + x_i^m-2x_a^m-2 + x_i^m-1 + x_a^m-1),

2) для r = s + 1 ³ 3 –

a_ia = Y^-1(x_i¹x_a¹ + … + x_i^m-2x_a^m-2 + x_a^m-1),

5) для r – s ³ 2, кроме случая r = 4, s = 2, физических структур не существует,

Y – строго монотонная аналитическая функция одной переменной в определенной окрестности; Y^-1 – обратная функция; x_i , x_a – независимые параметры.