§ 13. Соотношение между физической структурой ранга (2,2) и аддитивной соединительной структурой

На примере физической структуры ранга (2, 2) (законов вида c(y) = j(x) · y(z), законов Ньютона, Ома, Гука и т. д.) показано, что подходы к представлению величин и законов в теории измерений и в теории физических структур связаны между собой. Доказано, что система аксиом аддитивных соединительных структур, описывающая в теории измерений законы вида c(y) = j(x) · y(z), вытекает из требования феноменологической симметрии для физической структуры ранга (2, 2).

В п. 2 доказано, что условие замыкания Томсена, входящее в систему аксиом аддитивных соединительных структур, следует из принципа феноменологической симметрии ранга (2, 2). Можно заметить, что основу законов c(y) = j(x) · y(z) составляет схема соизмерения и взаимосвязи величин, удовлетворяющая условию замыкания Томсена. В § 14 на основе аксиом отношения эквивалентности, аксиом неограниченной разрешимости и условия замыкания Томсена эта схема формализуется. Таким образом, схема соизмерения и взаимосвязи величин описывается тремя из соответствующих шести аксиом аддитивных соединительных структур. Однако нельзя утверждать, что упомянутые три аксиомы являются следствием системы аксиом аддитивных соединительных структур, так как одна из трех аксиом – аксиома неограниченной разрешимости – сильнее аксиомы ограниченной разрешимости, входящей в систему аксиом аддитивных соединительных структур. Усиление аксиомы разрешимости потребовалось для представления схемы соизмерения и взаимосвязи величин с помощью абелевых групп. Это представление названо алгебраическим представлением законов c(y) = j(x) · y(z). В нем величины представляются абелевыми группами, изоморфными между собой, а закономерная связь – групповой операцией. Для полученного алгебраического представления в общем случае нельзя получить числовое представление в поле вещественных чисел. Для конечно-порожденных абелевых групп можно получить конструктивное представление в виде прямой суммы бесконечных циклических групп целых чисел и примарных циклических групп вычетов целых чисел. Вид этого представления аналогичен виду исходного закона y = x · z, только вместо вещественных чисел и умножения используются соответственно n-ки целых чисел и групповая операция.

I. Взаимосвязь физической структуры ранга (2,2) и аддитивной соединительной структурой. Рассмотрим подробнее физическую структуру ранга (2, 2) [15; 57]. Для нее принцип феноменологической симметрии имеет вид

"i, j, a, b j(a_ia, a_ib, a_ja, a_jb) = 0, (1)

где i, j Î M, a, b Î N. В работе [Там же] доказано, что существуют монотонные функции R, S и строго монотонная функция c такие, что

a_ia = ,

φ(a_iα, a_iβ, a_jα, a_jβ) = χ^-1(a_iα)χ^-1(a_jβ) - χ^-1(a_iβ)χ^-1(a_jα) = 0.

Если обозначить y_ia = c^-1(a_ia), x_i = R(a_ia0), z_a = S(a_i0a), то получим обычное выражение закона y_ia = x_iz_a (законы Ньютона, Ома, Гука и т. д.). Если вместо функции c подставить строго монотонную функцию c’ln, то получим другое выражение для физической структуры ранга (2, 2):

a_ia = c’(), (2)

φ(a_iα, a_iβ, a_jα, a_jβ) = (χ’)^-1(a_iα) + (χ’)^-1(a_jβ) – (χ’)^-1(a_iβ) - (χ’)^-1(a_jα) = 0.

Покажем, что физическая структура ранга (2, 2) может быть описана системой аксиом аддитивных соединительных структур теории измерений.

Определение [129]. Модель áM ´ N; £ ñ называется аддитивной соединительной структурой, если M ¹ Æ, N ¹ Æ, a ~ b Û (a £ b) & (b £ a) и для любых i, j, k, … Î M, a, b, γ, … Î N выполнены следующие аксиомы:

1) £ – слабый линейный порядок;

2) * $i(i, a) £ (i, b) Þ "j(j, a) £ (j, b);

3) (j, a) ~ (i, b) & (k, b) ~ (j, γ) Þ (k, a) ~ (i, γ);

4) * (i, a) £ (j, b) £ (i, γ) Þ $e(i, e) ~ (j, b);

5) * ∃i, j, α((i, α) L (j, α)).

Если $i(i, a) L (i, b) и определена ограниченная последовательность i₁, i₂, … Î M, (i_k, a) £ (j, γ), k = 1, 2, … такая, что (i₁, a) ~ (i₂, b), (i₂, a) ~ (i₃, b), (i₃, a) ~ (i₄, b), …, то она конечна.

Аксиомы, отмеченные знаком «*», сформулированы относительно элементов множества M, аналогичные аксиомы должны выполняться относительно элементов множества N. Вторая аксиома позволяет определить отношения порядка на множествах M и N. Третья аксиома, называемая условием замыкания Томсена, соответствует принципу феноменологической симметрии и будет обсуждена ниже. Четвертая аксиома ограниченной разрешимости гарантирует существование необходимых для построения элементов. Пятая аксиома гарантирует невырожденность модели. Шестая аксиома является вариантом аксиомы Архимеда.

Числовые представления аддитивных соединительных структур определяет следующая теорема.

Теорема [129; c. 257]. Если модель áM ´ N; £ ñ является аддитивной соединительной структурой, то существуют функции j : M ® Re, y : N ® Re, удовлетворяющие для любых i, j Î M; a, b Î N соотношению

(i, a) £ (j, b) Û j(i) + y(a) £ j(j) + y(b). (3)

Если j', y' – другие функции, удовлетворяющие (7), то существуют e > 0, x₁, x₂ Î Re такие, что

j' = ej + x₁, y' = ey + x₂. (4)

Пусть в модели áM ´ N; £ ñ отношение порядка задается соотношением

(i, a) £ (j, b) Û a_ia £ a_jb. (5)

Теорема 1. Пусть для модели áM ´ N; £ ñ выполнено соотношение (9) и на множествах M, N задана физическая структура ранга (2, 2). Тогда эта модель является аддитивной соединительной структурой и для функций R’, S’ из выражения (6) существуют e > 0, x₁, x₂ Î Re такие, что R’(a(i, a₀)) = ej(i) + x₁, S’(a(i₀, a)) = ey(a) + x₂, где функции j, y получены в силу предыдущей теоремы и удовлетворяют соотношению(7).

Доказательство. Аксиома 1 следует из соотншения (9). Поскольку функция c’ в выражении (6) строго монотонна, то

a_ia £ a_jb Û R’() + S’() £ R’() + S’(). (6)

Нетрудно проверить, что аксиомы 2*, 3, 6 следуют из соотношений (9), (10). Аксиомы 5* следуют из следующего требования на физическую структуру ранга (2, 2), приведенного в работе [57]:

А) Множество точек áa_ia, a_ib, a_ja, a_jbñ Î Re⁴, i, j Î M, a, b Î N, образует открытое относительно M подмножество M (M – множество наборов в Re⁴, удовлетворяющих принципу феноменологической симметрии (4)).

Для доказательства аксиомы 4* воспользуемся другим требованием на физическую структуру ранга (2, 2) из работы [Там же]:

Б) Для любых x, y, удовлетворяющих уравнению j(a_ia, a_ib, x, y) = 0, i Î M, a, b Î N, существует j Î M такое, что a_ja = x, a_jb = y; а также для любых x, y, удовлетворяющих уравнению j(a_ia, x,  a_ja, y) = 0, i, j Î M, a Î N, существует элемент b Î N такой, что a_ib = x, a_jb = y.

Пусть выполнено условие аксиомы 4*, (i, a) £ (j, b) £ (i, γ) для элементов множества M. Возьмем элементы a_ib, a_jb и значение x = a_jb. Из выражения (6) следует, что функция j однозначно разрешима относительно любого своего аргумента, поэтому существует единственное значение y такое, что j(a_ib, x, a_jb, y) = 0. Тогда по условию «Б», существует δ Î N такое, что x = a_iδ, y = a_jδ. Это дает нам требуемый элемент (i, δ), для которого (i, δ) ~ (j, b), в силу равенства a_iδ = x = a_jb. Аналогично доказывается аксиома 4* для элементов множества N.

Таким образом, модель áM ´ N; £ ñ является аддитивной соединительной структурой. Тогда, в силу теоремы [129; c. 257], существуют отображения j и y, удовлетворяющие соотношениям (8). В силу этих соотношений (8) отображения R’(a(i, a₀)): M ® Re, a₀ Î N, и S’(a(i₀, a)): N ® Re, i₀ Î M, также удовлетворяют соотношению (7). Отсюда, в силу теоремы [Там же; c. 257], существуют e > 0, x₁, x₂ Î Re такие, что R’(a(i, a₀)) = ej(i) + x₁, S’(a(i₀, a)) = ey(a) + x₂ ■

2. Взаимосвязь принципа феноменологической симметрии и условия замыкания Томсена. Из работы [57] следует, что функция j разрешима относительно первого аргумента и, следовательно, существует функция f

"i, j, a, b (a_ia = f(a_ib, a_ja, a_jb)). (7)

Кроме того, как видно из уравнения (4), функция f удовлетворяет условию

"i, j, a, b(f(a_ib, a_ja, a_jb) = f(a_ja, a_ib, a_jb)). (8)

Утверждение 1. Если выполнены соотношения (11), (12) для некоторой функции f и соотношение (9), связывающее функцию f с моделью áM ´ N; £ ñ, то на этой модели выполнена аксиома 3 определение [129] (условие Томсена).

Доказательство. Пусть (j, a) ~ (i, b) & (k, b) ~ (j, γ) ( рис. 3). Тогда a_ja = a_ib и a_kb = a_jγ. Подставив в равенство (11) γ вместо a, получим a_iγ = f(a_ib, a_jγ, a_jb). Из равенств a_ja = a_ib и a_kb = a_jγ следует, что f(a_ib, a_jγ, a_jb) = f(a_ja, a_kb, a_jb). Из равенства (12) следует f(a_ja, a_kb, a_jb) = f(a_kb, a_ja, a_jb) = a_ka. Откуда a_iγ = a_ka и (i, γ) ~ (k, a) ■

Таким образом, принцип феноменологической симметрии, усиленный свойствами (11), (12) дает нам условие замыкания Томсена. Этот принцип, а также условие Томсена являются основными характеристиками законов вида y = x × z. Если мы возьмем произвольные два элемента i, j Î M и элемент a Î N (рис. 4) и подберем элемент b Î N такой, что a_ib ~ a_ja, то различие между элементами i и j при заданном a, определяемое значениями a_ia, a_ja, будет равно различию между a и b при заданном i, определяемому значениями a_ia a_ib. Так, благодаря измерительной процедуре a: М ´ N ® ║a_ia║, мы можем соизмерять объекты двух разных множеств M и N. Поэтому сам факт существования эксперимента, позволяющего произвольным двум объектам i Î M и a Î N сопоставлять некоторое число a(i, a) = a_ia, позволяет соизмерять объекты этих двух множеств. Процедуру соизмерения можно продолжать (см. рис. 4), что, в принципе, позволяет ввести некоторую величину на множестве M и некоторую величину на множестве N. Значение a_ia может тогда быть некоторой функцией этих двух величин и выражать некоторый закон. Вид закона и свойства величин зависят от взаимосвязи одних процедур соизмерения с другими при различном выборе i Î M и a Î N. Эта взаимосвязь и определяется принципом феноменологической симметрии и условием Томсена. В законах, получающихся такими процедурами, функциональная зависимость и входящие в нее величины неразрывно связаны и определяют друг друга.