§ 14. Алгебраическое и конструктивное представления физической структуры ранга (2,2)

1. Алгебраическое представление процедур соизмерения и связывания величин, лежащих в основании фундаментальных законов ранга (2, 2).

Рассмотрим модель áM ´ N; ~ ñ, M ¹ Æ, N ¹ Æ, удовлетворяющую следующей аксиоме:

Аксиома I. ~ – отношение эквивалентности на M ´ N.

Определим на M и N отношения эквивалентности

i ~ j Û"a( (i, a) ~ (j, a) ); a ~ b Û"i ( (i, a) ~ (i, b) ). (1)

Эти отношения позволяют определить отображение

f: (M /~) ´ (N /~) ® (M ´ N /~), f([i], [α]) = [i, α], (2)

где [i], [a], [i, a] – классы эквивалентных элементов в M /~, N /~, M ´ N /~ . Определение корректно, так как, в силу отношений (13), из i' Î [i], a’ Î [a] следует (i’, a’) ~ (i, a’) ~ (i, a). Отношения эквивалентности будут согласованы, если выполнены следующие аксиомы подстановочности [129]:

Аксиома II.

(i, a) ~ (i, b) Û (j, a) ~ (j, b),

(i, a) ~ (j, a) Û (i, b) ~ (j, b).

Лемма 1. Из аксиом I, II следует, что

- отображения : (M /~) ® (M ´ N /~), ([i]) = [i, a₀], a₀ Î N, взаимно-однозначны;

- отображения : (N /~) ® (M ´ N /~), ([α]) = [i₀, α], i₀ Î M, взаимно-однозначны;

- для отображения f (14) классы [i], [i, α] однозначно определяют класс [a], а классы [α], [i, α] – класс [i].

Доказательство. Отображения , , a₀ Î N, i₀ Î M, взаимно-однозначны, так как, в силу аксиомы II, из (i, a₀) ~ (i’, a₀) следует "a( (i, a) ~ (i', a) ) и [i] = [i’], а из (i₀, a) ~ (i₀, a’) следует "i( (i, a) ~ (i, a’) ) и [a] = [a’]. Если f([i], [a']) = [i, a] и f([i], [a]) = [i, a], то (i, a') ~ (i, a) и по первой из аксиом II [a’] = [a]. Единственность класса [i] доказывается аналогично ■

Так как , взаимнооднозначны, то существуют обратные отображения , , определенные соответственно на = (M /~) и = (N /~). Определим на множестве ´ операцию

[i, a₀]×[ i₀, a] = f(([i, a₀]), ([ i₀, a])) = [i, a] (3)

Если множества ,совпадают со всем множеством M ´ N /~ и операция (15) обратима справа и слева, то мы получим квазигруппу. Эти требования выполняются, если имеет место следующая аксиома:

Аксиома III. Неограниченная разрешимость: для любых трех из четырех элементов i, j Î M, a, b Î N четвертый можно подобрать так, чтобы (i, a) ~ (j, b).

Лемма 2. Если выполнены аксиомы I–III, то операция (15) определяет на M ´ N /~ квазигруппу.

Доказательство. Для доказательства леммы надо показать, что:

- (M /~) = (N /~) = M ´ N /~ для любых i₀ ∊ M, α₀ ∊ N;

- для любых классов [i, a], [j] существует единственный класс [b] такой, что f([j], [b]) = [i, a];

- для любых классов [i, a], [b] существует единственный класс [j] такой, что f([j], [b]) = [i, a].

Возьмем [i, a] Î M ´ N /~. Из аксиомы III следует, что для любых i₀ Î M, a₀ Î N существуют i', a', (i', a₀) ~ (i, a) ~ (i₀, a’). Отсюда ([i’]) = ([a’]) = [i, a].

Для любых [j], [i, a] существует b, (i, a) ~ (j, b), что дает f([j], [b]) = [i, a]. Единственность класса [b] следует из предыдущих результатов (лемма 1). Аналогично доказывается существование класса [j] для классов [i, a], [b] ■

Обозначим полученную квазигруппу через

áQ; ·ñ, Q = M ´ N /~, где · – операция (15) (4)

Эта квазигруппа является лупой с единицей e = [i₀, a₀]. Действительно, если q – некоторый элемент из Q, то по аксиоме III, существуют i Î M, a Î N [i, a₀] = [i₀, a] = q. Тогда [i, a₀] · [i₀, a₀] = [i₀, a₀] · [i₀, a] = [i₀, a] и, следовательно, eq = qe = q.

Нетрудно видеть (см. рис. 3), что аксиомы I-III необходимы для построения процедур соизмерения величин из M и N. Из аксиом I-III следует, что взаимосвязь величин M /~, N /~, осуществляемая отображением (14), может быть представлена лупой с операцией (15).

Лемма 3. Из условия Томсена вытекают аксиомы подстановочности II.

Доказательство. Пусть (i, a) ~ (i, b) и дано произвольное j Î M (рис. 5). Надо доказать, что (j, a) ~ (j, b). По аксиоме неограниченной разрешимости, для (i, a) и j существует γ, (i, a) ~ (j, γ). Тогда (j, γ) ~ (i, b). Подставляя в условие Томсена i вместо j, j вместо i и k, a, b, γ вместо a, γ, b получаем (j, a) ~ (j, b). Вторая из аксиом подстановочности доказывается аналогично ■

Определим, как будет формулироваться условие Томсена в лупе áQ; · ñ. Представим классы [j, a], [i, b], [k, b], [j, γ], [k, a], [i, γ] как результат применения операции к некоторым другим классам [j, a₀] · [i₀, a] = [j, a],  [i, a₀] · [i₀, b] = [i, b], и т. д. Если [j, a] = [i, b] и [k, b] = [j, γ], то (j, a) ~ (i, b) и (k, b) ~ (j, γ) и, по условию Томсена, (k, a) ~ (i, γ) и [k, a] = [i, γ]. Так как i, j, k, a, b, γ – произвольные элементы множеств M и N, то классы [j, a₀], [i₀, a], [i₀, a], [i₀, b] и т. д. – произвольные элементы Q. Поэтому условие Томсена в áQ; · ñ будет иметь вид следующей аксиомы.

Аксиома IV. Из p₁ · q₂ = p₂ · q₁ и p₃ · q₁ = p₁ · q₃ следует p₃ · q₂ = p₂ · q₃.

Лемма 4. Модель áM ´ N; ~ ñ, M ¹ Æ, N ¹ Æ, удовлетворяющая аксиомам I, III и условию Томсена, определяет абелеву группу с операцией (15).

Доказательство. Из предыдущего (лемма 3) следует, что на модели выполнены аксиомы II и на модели (лемма 2) определима лупа (14). На лупе выполнено условие Томсена (аксиома IV). Докажем, что лупа коммутативна. Подставив в аксиому IV единичный элемент e вместо элемента p₁. Получим, что если q₂ = p₂ · q₁ и p₃ · q₁ = q₃, то p₃ · q₂ = p₂ · q₃ или

p₃ · ( p₂ · q₁) = p₂ · ( p₃ · q₁) (5)

Подставив q₁ = e, получаем p₃ · p₂ = p₂ · p₃. Докажем ассоциативность. Из определения (15) и коммутативности следует, что p₂ · (q₁ · p₃) = p₂ · (p₃ · q₁) = p₃ · (p₂ · q₁) = (p₂ · q₁) · p₃. Обратным элементом к элементу [i₀, a] является элемент [i₀, a'], в котором a' определяется по разрешимости из эквивалентности (i, a') ~ (i₀, a₀). Тогда [i, a₀] [i₀, a'] = [i, a'] = [i₀, a₀] ■

По лемме 2, (M /~) = (N /~) = M ´ N /~ . Тогда операцию (13) можно преобразованиями и перевести на множества M /~, N /~ . Получим операции

[i] × [j] = (([i]) × ([j])) = ([i, a₀] × [j, a₀])),

[a] × [b] = (([a]) × ([b])) = ([i₀, a] × [i₀, b])). (6)

Эти операции на M /~ и N /~ определяют абелевы группы, изоморфные абелевой группе (14). Функциональная зависимость f (12) определяется операцией (13) этой абелевой группы.

Определение 2. Алгебраическим представлением законов ранга (2, 2) будем называть модель áM ´ N; ~ ñ, удовлетворяющую аксиомам I, III и условию Томсена. Величинами будем называть абелевы группы áM /~; × ñ, áN /~; × ñ, áM ´ N /~; × ñ c операциями (18) и (15), изоморфные между собой. Закономерной связью между величинами будем называть операцию (15).

2. Конструктивное числовое представление алгебраического представления физической структуры ранга (2,2). Числовое представление в действительных числах (вложение в числовую систему Â = áRe^k; Wñ) налагает определенные ограничения на алгебраические системы (требуются аксиомы линейной упорядоченности, Архимеда и т. д.), которые не всегда оправданы эмпирически. Поэтому получим конструктивное представление, используя натуральные числа. Оно не предъявляет дополнительных требований к алгебраическим системам и, кроме того, является эффективным, что важно для машинной обработки. Получим конструктивное представление для конечно-порожденных абелевых групп. Для произвольных абелевых групп вопрос о построении конструктивных числовых представлений остается открытым.

Теорема 2. Модель áM ´ N; ~ñ, удовлетворяющую аксиомам I, III и условию Томсена, конечно-порожденную относительно операции (13), можно отобразить в прямую сумму бесконечных циклических групп целых чисел и примарных циклических групп вычетов целых чисел так, что величины, представленные абелевыми группами áM /~; × ñ, áN /~; × ñ, áM´N /~; × ñ будут изоморфны Z, а закономерная связь, представленная операцией (12), перейдет в операцию сложения в Z. Точнее, будут существовать изоморфизмы j : M /~ ® Z, y : N /~ ® Z, c: M´N /~ ® Z, связанные соотношением

c([i, a]) = j([i]) + y([a]), (7)

где + операция в Z.

Доказательство. Из предыдущего (лемма 4) и условия теоремы, в модели áM ´ N; ~ñ определима конечно-порожденная абелева группа (16). Известно [53], что такие абелевы группы изоморфны прямой сумме бесконечных циклических групп целых чисел и примарных групп вычетов целых чисел.

Пусть c : áM ´ N /~ ; × ñ ® Z такой изоморфизм, где × – операция (15). Тогда

c([i, a]) = c([i, a₀] × [i₀, a]) = c([i, a₀]) + c([i₀, a]) = c(([i])) + c(([a])),

где i₀ Î M, a₀ Î N, + сложение в Z ∎

Алгебраическое представление закона ранга (2, 2) в разных областях знаний может дополниться разными аксиомами. В физике, поскольку используемые там физические величины линейно упорядочены и архимедовы, могут добавляться аксиомы типа 1–6*. В других областях таких, как экономика, социология, психология и т. д., должны использоваться не только линейные порядки и аксиома Архимеда, но и более сложные порядки (частичные, деревья, структуры и т. д.) и неархимедовы аксиомы.

Числовым представлением законов ранга (2, 2) в этих областях может служить упомянутое конструктивное числовое представление или какое-либо другое числовое представление алгебраического представления, расширенного соответствующими аксиомами.