§ 15. Конструктивные числовые представления величин

Исследования, проводимые в психологии, социологии, принятии решений, экспертном оценивании и других областях, показывают, что есть много сложных, структурных «нечисловых» величин (частичные порядки, толерантности, решетки и т. д.). Логический анализ таких величин, проведенный в теории измерений [68; 129], теории принятия решений [66; 83] и анализе нечисловой информации [1; 82], показал, что формальные представления таких величин – эмпирические системы – являются такими алгебраическими структурами, которые нельзя сильным гомоморфизмом отобразить в поле вещественных чисел, т. е. для таких величин нельзя построить их числовые представления в теории измерений. С другой стороны, числовые представления величин обладают следующими достоинствами: они «удобны», по числовым значениям величин легко определяются исходные (в эмпирической системе) соотношения между значениями величин, для числовых величин разработано много математических методов их обработки. Поэтому наряду с необходимостью разрабатывать «прямые» (например, логические) методы обработки структурных «нечисловых» величин остается важной задача построения их числовых представлений.

Смыслу числового представления точнее всего соответствует понятие конструктивизации [16; 41; 44] эмпирической системы. В этом случае значениям величины приписываются натуральные, рациональные или другие числа (или коды) так, чтобы значения отношений и операций в эмпирической системе можно было эффективно определить по этим числам. Такой способ получения числовых представлений не накладывает на числовые отношения и операции никаких ограничений, кроме эффективности, предъявляет более слабые требования к системе аксиом и не связан с требованием существования гомоморфизма в какие-то другие системы. Этот способ называется конструктивным числовым представлением и может использоваться для числового представления структурных «нечисловых» величин.

Напомним, что в § 7 мы рассмотрели основные определения и проблемы теории измерений. В данном параграфе мы сформулируем основные определения и проблемы конструктивных числовых представлений так, чтобы была видна полная аналогия этих определений с определениями и проблемами теории измерений.

Пусть знания о некоторой величине, свойстве, признаке сформулированы в некоторой теории Т сигнатуры W = áP₀, P₁, …, P_n, r₁, …, r_m, c₀, c₁, с₂, …ñ, где P_i , i £ n, – предикатные символы; r_j , j £ m, – символы операций; c_l , l Î I, – символы констант (I = Æ, I – начальная часть ряда натуральных чисел w = {0, 1, 2, …}, I = w); P₀ – равенство.

При конструктивном представлении величин значения a Î A величин Á = áA; W_Áñ Î AC_w(T) (AC_w(T) – неприводимая система теории Т сигнатуры W не более чем счетной мощности) нумеруются (кодируются). Нумерацией множества A называется отображение n множества натуральных чисел w = {0, 1, 2, …} на A, n: w ® A [Там же].

Определение 3. Пару (Á, n) будем называть конструктивным числовым представлением величины Á (конструктивной системой [Там же]), а нумерацию n – конструктивным числовым представлением (конструктивизацией [Там же]), если существует характеристические общерекурсивные функции со значениями во множестве {0, 1}, общерекурсивные функции и натуральные числа такие, что

1.

2.

3.

Конструктивное числовое представление n аналогично шкале, только вместо числовых отношений, операций и констант используются общерекурсивные функции и натуральные числа. Конструктивной числовой системой является система N = áw; W_Nñ, . Сформулируем проблемы существования, единственности и адекватности для конструктивного числового представления.

Проблема существования 1. Доказать, что для любой системы Á ΠAC_w(T) существует конструктивное числовое представление и существует алгоритм ограниченной сложности реализующий построение всех этих конструктивизаций. Практически требуется алгоритм минимальной сложности.

Данная формулировка предъявляет довольно сильные требования к теории T. Более слабой, но также практически интересной является следующая формулировка проблемы существования. Пусть F – система аксиом теории T, F^* – совокупность эрбрановых форм предложений F (скулемизация F [61]), f₁, f₂, … – символы скулемовских функций. Определим сигнатуру W^* = WÈ{f₁, f₂, …}. Скулемовской оболочкой Á^*(X) подмножества X Ì ÷Á^*÷ системы Á^* Î AC(F^*) сигнатуры W^* называется подсистема системы Á^*, порожденная подмножеством X. Можно доказать [Там же], что Á^*(X) Î AC(F^*) для любого подмножества X Ì ÷Á^*÷.

Проблема существования 2. Доказать, что для любой величины Á^* Î AC(F^*) сигнатуры W^* и любого конечного подмножества X Ì ÷Á^*÷ скулемовская оболочка Á^*(X) имеет конструктивное числовое представление и существует алгоритм ограниченной сложности реализующий построение всех этих конструктивизаций. Практически требуется алгоритм минимальной сложности.

Проблема единственности. Ее можно разбить на две части. Первая связана с существованием не сводимых друг к другу посредством эффективного отображения (неавтоэквивалентных [44]) конструктивных числовых представлений. В работе [Там же] показано, что число неавтоэквивалентных конструктивизаций может быть любым. Неавтоэквивалентные конструктивные числовые представления принципиально различны, поэтому необходимо учитывать возможный произвол в выборе одной из них.

Проблема единственности А. Для каждой величины Á = áA; W_Áñ Î AC_w(T) определить число неавтоэквивалентных конструктивных числовых представлений.

Вторая часть проблемы единственности, так же как и в случае числовых представлений, связана с произволом в выборе одного из автоэквивалентных конструктивных числовых представлений.

Проблема единственности Б. Для каждой величины Á = áA; W_Áñ Î AC_w(T) определить все классы автоэквивалентных конструктивных числовых представлений.

Проблема адекватности. Она также разбивается на две части в зависимости от того, какой произвол в выборе конструктивных числовых представлений нужно учитывать.

Проблема адекватности А. Выбор класса автоэквивалентных числовых представлений должен учитывать имеющиеся знания Т.

Проблема адекватности Б. Числовые утверждения должны быть инвариантны относительно выбора одного из автоэквивалентных конструктивных числовых представлений.