§ 16. Взаимосвязь конструктивного и числового представлений

Предположим, что для некоторой величины, описываемой теорией Т, решены проблемы существования как для числового, так и конструктивного числового представлений. Пусть  – выбранная числовая система, Á ΠAC_À(T) – величина и m – шкала. Из решения проблемы существования конструктивного числового представления следует, что для любой не более чем счетной величины Á_w Î AC_w(T), являющейся подсистемой величины Á (Á_w Ì Á), существует конструктивное числовое представление n: w ® ôÁ_wô. Рассмотрим образ m(Á_w) величины Á_w при его отображении в числовую систему Â. Так как подсистема Á_w содержит все константы c^Á_l, l ΠI, и замкнута относительно операций, то из определения шкалы следует, что отображение m: Á_w ®  также является шкалой величины Á_w. Поэтому для каждой подсистемы Á_w ΠAC_w(T) любой из величин Á ΠAC_À(T), Á_w Ì Á существует, как конструктивное n, так и числовое m представление величины. Рассмотрим отображение mn: w ® m(Á_w). Из определений шкалы и конструктивного числового представления следует, что пара (m(Á_w), mn) является конструктивным представлением числового представления m(Á_w) величины (Á_w). Поэтому для величин Á_w Î AC_w(T), Á_w Ì Á, Á Î AC_À(T) существуют конструктивное числовое представление n, числовое представление m и конструктивное представление mn числового представления m(Á_w).