§ 18. Конструктивное числовое представление процедур шкалирования для экстенсивных величин

В теории измерений [129] такие величины как массы, длина, скорость задаются системой аксиом экстенсивных величин:

1) < - слабый линейный порядок;

2) "x, y, z(x·(y·z) ~ (x·y)·z);

3) "x, y, z(x £ y Û z·x £ z·y Û x·z £ y·z);

4) Для любых x, y, z, u; если x < y, то существует натуральное число n, nx · z < ny · u, nx = x· ... ·x.

Числовые представления экстенсивных величин определяются следующей теоремой.

Теорема [Там же]. Система áA; <, ·ñ, A ¹ Æ, является замкнутой экстенсивной структурой тогда и только тогда, когда существует отображение j : A ® Re, удовлетворяющее для любых a, b Î A условиям:

1) a £ b Û j(a) £ j(b),

2) j(a·b) = j(a) + j(b).

Из теоремы следует, что числовым представлением замкнутой экстенсивной структуры является ее сильный гомоморфный образ в R = áRe; <, +ñ. Каждому значению a Î A экстенсивной величины M = áA; <, ·ñ можно сопоставить действительное число. Считается, что этой теоремой дается математическая модель измерительных приборов экстенсивных величин (весов, линейки и т. д.).

Эта теорема тем не менее не дает способ построения отображения j (шкалирования прибора). Шкала прибора, а в дальнейшем и результаты измерения, определяются процедурой шкалирования прибора, которая дает нам значения j в отдельных точках. Процедура шкалирования опирается на некоторую алгебраическую спецификацию, но ввиду ее конструктивного характера ей нужны, вообще говоря, другие свойства величины, чем те, которые требуются для гомоморфного вложения в Re.

Поэтому более адекватным и конструктивным представлением экстенсивных величин является алгебраическая спецификация процедуры шкалирования величины [17]. Проиллюстрируем этот подход на примере экстенсивных величин.

Алгебраическая спецификация процедуры шкалирования может быть задана аксиомами 1, 2, 3 и следующей схемой аксиом:

4') "y$x(kx ~ y), k = 1, 2, ..., 

$x,y Ø(x ~ y).

Алгебраическим представлением процедуры шкалирования экстенсивных величин является система N = áB; <, ·ñ, удовлетворяющая аксиом 1–3, 4'. Эта система может быть порождена произвольным своим элементом b, таким что Ø(b · b ~ b).

Конструктивным числовым представлением этой системы является конструктивизация факторсистемы N /~.

Утверждение 2. Факторсистема N /~, удовлетворяющая системе аксиом 1–3, 4', изоморфна Âa = áRa⁺ ; £, + ñ, Ra⁺ = {m / n | m, n = 1, 2, ...}.