§ 7. Основные понятия и проблемы теории измерений

Рассмотрим смысл и роль числового представления. Смысл состоит в том, чтобы значениям величины приписать числа так, чтобы исходные отношения и операции преобразовывались в некоторые «простые» и «удобные» числовые отношения и операции. В этом случае по значениям числовых отношений и операций легко определяются значения исходных отношений и операций.

Пусть знания о некоторой величине, свойстве, признаке сформулированы в некоторой теории Т сигнатуры W = áP₀,P₁, …, P_n, r₁, …, r_m, c₀,c₁,с₂, …ñ, где P_i , i £ n, – предикатные символы; r_j , j £ m, – символы операций; c_l , l Î I, – символы констант (I = Æ, I – начальная часть ряда натуральных чисел w = {0, 1, 2, …}, I = w); P₀ – равенство. Величиной будем называть неприводимую [68] (равенство является единственным отношением конгруэнтности) систему Á = áA; W_Áñ сигнатуры W, удовлетворяющую теории Т, где A – множество значений величины, W_Á = {P^Á₀,P^Á₁, …, P^Á_n, r^Á₁, …, r^Á_m, c^Á₀, c^Á₁, с^Á₂, …} – множество отношений, операций и констант типа W, интерпретируемых в понятиях предметной области. Числовыми системами называются системы Â = áRe^k, W_Rñ сигнатуры W, где к – размерность числового представления, Re – поле вещественных чисел, W_Â = {=,P^Â₁, …, P^Â_n, r^Â₁, …, r ^Â_m, c^Â₀, c^Â₁, с^Â₂, …} – множество отношений, операций и констант, определенных на Re или Re^k. Зафиксируем некоторую систему Â.

Определение [68]. Шкалой (числовым представлением) величины Á = áA; W_Áñ называется отображение (сильный гомоморфизм) m: A ® Re^k, удовлетворяющее условиям:

1) , i = 0,1, …, n;

2) , j = 1, …, m;

3) mc^Á_l = c^Â_l , l Î I.

Сильный гомоморфизм m: Á ® Â изоморфно отображает величину Á в числовую систему Â. Введем обозначения: AC(T) – множество неприводимых (алгебраических) систем теории Т; AC_À(T), AC_w(T) – подмножества AC(T), содержащие системы не более чем континуальной и счетной мощности соответственно; F(Á,Â) – множество шкал величины Á.

Построенные по такой схеме числовые представления обладают следующими недостатками. В качестве числовых отношений и операций используется небольшое число математических действий. Этого достаточно для числового представления большинства числовых величин, но это препятствует числовому представлению многих других величин. Доказательство, что любая эмпирическая система, удовлетворяющая системе аксиом, сильным гомоморфизмом отображается в выбранную числовую систему, предъявляет чрезмерно сильные требования к системе аксиом. Приходится включать в нее аксиомы, не поддающиеся экспериментальной проверке, а также «чисто технические» аксиомы, не изменяющие множества экспериментально проверяемых следствий [68]. Это противоречит содержанию систем аксиом как результатам экспериментального анализа свойств величин. Такие аксиомы часто отражают свойства числовой системы, а не свойства величин.

В теории измерений исследуются три основные проблемы [68; 129].

Проблема существования. Для данной теории величины Т найти достаточно простую и удобную числовую систему Â (например, поле вещественных чисел) и доказать, что для любой величины Á Î AC_À(T) существует шкала (F(Á,Â) ¹ Æ). Из формулировки проблемы существования следует, что знаний Т должно быть достаточно для выбора числовой системы Â и построения шкалы для любой системы Á Î AC_À(T). Системы из AC_À(T) являются величинами, которые удовлетворяют нашим знаниям Т о них и для которых мы можем построить числовое представление. Решение проблемы существования должно, кроме того, давать метод шкалирования приборов, измеряющих эти величины. Этот метод обычно извлекается из доказательства теоремы существования.

Проблема единственности. Для выбранной числовой системы Â определить все шкалы F(Á,Â) величин Á Î AC_À(T). Эти множества можно, в частности, определить, найдя группу допустимых преобразований [68].

Обычно требуется, чтобы не только числовая система, но и все множества F(Á,Â) были просты и удобны. Простота и удобство нужны для решения следующей проблемы.

Проблема адекватности. Числовые утверждения должны быть инвариантны относительно произвола в выборе шкал из F(Á,Â) (см. [68]).

Решение этих проблем позволяет корректно вводить числовые представления величин и в определенной степени корректно их использовать.

Пример. Система с отношениями A = áA,Pñ называется полупорядоком, если для любых a,b,c Î A выполнена аксиома

(P(a,b)&P(b,c) Þ "d(P(a,d)ÚP(d,c))).

Теорема [83]. Если A = áA,Pñ полупорядок, то существует функция U: A ® Re такая что:

P(a, b) Û U(a) + 1 < U(b).

В теории измерений известны сотни шкал. Наиболее популярными являются следующие шкалы. Наиболее строгой является абсолютная шкала. Наиболее слабой является номинальная шкала. Между ними существует целый спектр шкал позволяющих сравнивать, складывать, умножать и делить числовые значения величин. Классификация типов шкал приведена в табл. 1. Базисом классификации является группа допустимых преобразований шкал. Наиболее сильная абсолютная шкала не позволяет преобразовывать данные. Наиболее слабая номинальная шкала допускает любые взаимно-однозначные преобразования значений шкалы. Промежуточные шкалы допускают разные группы преобразований – позитивные аффинные, линейные и т. д.

Таблица 1.

Числовые типы данных

Допустимые преобразования	Группы допустимых преобразований	Шкалы
x ® ¦(x),	¦:Re ® (на) Re, взаимно-однозначные преобразования	Номинальная
x ® ¦(x),	¦:Re ® (на)Re монотонные преобразования	Порядка
x ® rx + s, r > 0	Позитивная аффинная группа	Интервалов
x ® txr, t,r > 0	Степенная группа	Логарифмически-интервальная
x ® x + s	Группа сдвига	Разностей
x ® tx, t > 0	Группа подобия	Отношений
x ® x	Тождественная группа	Абсолютная

Группы преобразований используются для определения инвариантности законов природы. Законы должны быть инвариантны относительно групп преобразований шкал, иначе они зависят не только от природы, но и от нашего произвола в выборе единиц измерения. В § 43 дается определение инвариантности методов извлечения знаний относительно выбора единиц измерения используемых данных. Методы извлечения знаний также должны быть инвариантны относительно единиц измерения величин, иначе результаты предсказания будут зависеть от того в каких единицах измерения мы представили данные для анализа методом.