§ 8. Эмпирические аксиоматические теории и теория измерений

1. Эмпирические аксиоматические теории. Для того чтобы анализировать эмпирическое содержание данных, введем понятие эмпирической аксиоматической теории (ЭАТ). Как будет видно из дальнейших определений, ЭАТ наиболее точно отражают эмпирическое содержание данных.        Определение 1. Эмпирической аксиоматической теорией будем называть набор:

M = á ObsV , V, W, Sñ,                                                      (1)

где:

ObsV – измерительная процедура, задающая интерпретацию символов словаря V. Ее применение к произвольному множеству объектов A = {a1, …, am} дает формальную конечную конструкцию prV, состоящую из символов объектов a1, …, am, символов словаря V и, возможно, других вспомогательных символов. Эту конструкцию будем называть протоколом наблюдения, проведенного в соответствии с инструкцией ObsV над множеством объектов A в словаре V. Будем предполагать, что измерительная процедура ObsV применима к любому множеству объектов A. Это всегда можно сделать введением третьего значения истинности «не определено» для отношений из V. Кроме того, будем предполагать, что измерительная процедура определена настолько подробно, что после предъявления множества объектов A дальнейший ход измерений, вплоть до получения протокола, определяется однозначно. Таким образом, ObsV можно определить как отображение, сопоставляющее каждому множеству объектов A протокол prV = ObsV (A), где prV – протокол наблюдения. Мы специально не будем конкретизировать вид этой формальной конструкции, так как в разных наблюдениях она может быть различной. Единственно, что всегда будет требоваться это точное определение истинности высказываний в словаре V на prV;

 – словарь (сигнатура) наблюдаемых терминов. Будем предполагать, что равенство « = » всегда содержится в V;

 

 – словарь (сигнатура) теоретических терминов.

 

Отношения из W являются теоретическими конструктами, и идеализацией непосредственно наблюдаемых отношений  словаря . Взаимосвязь отношений теоретического и эмпирического уровня должна осуществляться с помощью правил соответствия;

S = SV U SW U SVÈW – система аксиом в словаре VUW. Она включает аксиомы SV в словаре V наблюдаемых терминов, аксиомы SVÈW в объединенном словаре VUW и аксиомы в словаре теоретических терминов. Аксиомы SVÈW, включающие одновременно термины эмпирического и теоретического уровней, определяют правила соответствия [50; 138] между этими уровнями. Эти правила должны выводиться из той естественнонаучной теории, в рамках которой описывается измерительная процедура ObsV . Если правил соответствия нет, то нет и теоретического уровня. Тогда множества W, SW U SVÈW пусты, и эмпирическая аксиоматическая теория принимает вид

.

Будем говорить, что эмпирическая аксиоматическая теория имеет эмпирическую интерпретацию, если выполнены следующие условия: не только правила соответствия выводятся и интерпретируются в рамках рассматриваемой естественно-научной теории, но и измерительная процедура ObsV, протоколы наблюдений prV, словари V и W и система аксиом S описываются в рамках этой теории. В дальнейшем мы будем рассматривать только эмпирически интерпретируемые эмпирические аксиоматические теории.

2. Связь понятий эмпирической аксиоматической теории и эмпирической системы.

Теория измерений базируется на аксиоматическо-репрезентационном подходе к измерениям («Axiomatic-Representational Viewpoint in Measurement» [129; p. 201]). Основным постулатом этого подхода является предположение о существовании эмпирической системы. «The most pervasive abstraction in measurement theory consists in formalizing basic observations as a relational structure, that is, a set with some primitive relations and operations. This abstraction arises from considering the nature of empirical, qualitative observations».

Разработка каждого конкретного числового представления требует решения трех проблем: одной концептуальной и двух математических (существования и единственности). Концептуальная проблема состоит в выборе примитивов – множества эмпирических отношений и операций, а также в выборе системы аксиом, которой должны удовлетворять эти примитивы. Решение данной проблемы разобьем на две самостоятельные проблемы:

1) выбор примитивов (множества отношений и операций) и выбор основного множества объектов (генеральной совокупности объектов);

2) выбор системы аксиом.

Первая из упомянутых проблем – выбор эмпирических отношений, операций и генеральной совокупности объектов – фиксирует в соответствии с основным постулатом теории измерений некоторую неизвестную нам эмпирическую систему (класс эмпирических систем). Но об этой эмпирической системе нам ничего неизвестно. Поэтому возникает вторая проблема – выбрать некоторую гипотетическую систему аксиом, которой эта эмпирическая система должна удовлетворять.

Покажем, что объединение этих двух проблем в одну концептуальную проблему, принятое в теории измерений, некорректно с эмпирической точки зрения.

Во-первых, эти две проблемы совершенно различны в том отношении, что фиксируя примитивы и множество объектов мы фактически задаем некоторую неизвестную нам, но реальную и объективно существующую эмпирическую систему (класс эмпирических систем), в то время как выбор системы аксиом является чисто гипотетическим и задает некоторый гипотетический класс эмпирических систем, определяемый apriory, до всякой экспериментальной проверки. Объективно существующая эмпирическая система и гипотетический класс эмпирических систем строго говоря никак не связаны. Подтвердить, что реальная эмпирическая система действительно в каком-то смысле принадлежит классу гипотетических эмпирических систем могут только методы тестирования или обнаружения систем аксиом.

Во-вторых, первая проблема – проблема выбора примитивов и основного множества объектов – является проблемой эмпирического уровня и соответственно словаря V, в то время как проблема задания системы аксиом есть проблема теоретического уровня, решаемая в рамках аксиоматического подхода и соответственно словаря W. Смешение этих двух проблем в одну концептуальную проблему вводит неявное предположение, что эмпирическая система также задается на теоретическом уровне и представляет собой некоторую математическую структуру (класс структур), на которой должна быть выполнена система аксиом. Но это противоречит эмпиричности эмпирической системы. Фактически в теории измерений предполагается, что учет шумов, неточностей приборов, предрасположенностей испытуемого и т. д. не дело теории измерений. Теория измерений ввиду ее аксиоматического подхода к исследуемой реальности должна основываться на идеализированных эмпирических системах, в том смысле, что значения предикатов на объектах однозначно определены и не подвержены шумам, неточностям приборов, предрасположенностям испытуемых и т. д. На самом деле, мы никогда не имеем фиксированной и неизменной реальной эмпирической системы. Она постоянно меняется со временем и, например, в случаях ответов испытуемого может меняться очень быстро. Даже если мы имеем дело не с испытуемым, а с некоторым физическим экспериментом, то все равно наличие разнообразных шумов не позволяет надеяться на постоянство значений отношений и операций на одних и тех же объектах, что исключает существование фиксированной реальной эмпирической системы. Теоретической модели для представления реальности, такой какой она есть в теории измерений не существует.

В-третьих, аксиоматический метод и требование истинности систем аксиом на эмпирической системе неизбежно влекут принцип фальсифицируемости при проверке аксиом на эмпирической системе. На самом деле этот принцип применим только в тех теориях, где нам известны все законы строения используемого прибора включая модели шумов. Только тогда мы в состоянии точно рассчитать, когда отклонения прибора допустимы и являются следствием шумов, а когда они действительно означают отклонения от теоретически вычисленных значений. Но этот принцип сильно ограничивает область применимости теории измерений, так как это невозможно сделать, например, для испытуемого, а также практически во всех других областях.

Приведенные рассуждения ставят такие проблемы:

1. Как теоретически описать реальность на эмпирическом уровне (проблема 1), не привлекая гипотетические предположения о системе аксиом?

2. Как системы аксиом не предполагать apriori, а некоторым образом открывать на эмпирической системе?

Эти проблемы в работе решаются следующим образом:

1) эмпирический уровень описывается эмпирической аксиоматической теорией, в которой эмпирический уровень описывается отдельно и явно вводится понятие измерительной процедур Obs;

2) системы аксиом не предполагаются apriory, а обнаруживаются на множестве экспериментов полученных процедурой Obs как законы этих экспериментов (см. § 22);

Понятие эмпирической системы, как оно понимается в теории измерений, должно определяться в терминах эмпирической аксиоматической теории как модель системы некоторой аксиом SW в словаре W:

M = áA; Wñ                                                                                 (2)

Эмпирическая система является неприводимой моделью системы аксиом SW [68]. Смысл неприводимости состоит в том, что любые два объекта a, b Î A были различимы с помощью отношений из W. Понятием эмпирической системы мы будем пользоваться в указанном смысле. Сама система аксиом SW должна обнаруживаться на эмпирическом уровне V и лишь после многочисленных проверок (на максимальную специфичность и непротиворечивость, см. § 32) может быть переведена на теоретический уровень.