§ 19. Универсальная аксиоматизируемость экспериментальной зависимости.

В данном параграфе проанализируем возможность построения достаточно общего метода обнаружения эмпирической аксиоматической теории. Проанализируем множество высказываний, которые должен обнаруживать метод.

Большинство известных законов можно выразить универсальными формулами (формулами, содержащими только кванторы всеобщности). Кроме того, универсальные формулы обладают еще одним важным свойством – они заведомо поддаются экспериментальной проверке [50], т. е. их можно опровергнуть в конечном эксперименте, если они не верны. Третьим, важным для нас свойством универсальных формул, является их разложимость на более простые формулы некоторого специального вида, которые позволяют разработать достаточно эффективный метод обнаружения закономерностей.

В теории измерений формулы с кванторами существования часто вводятся в систему аксиом не для того, чтобы отразить эмпирическое содержание исследуемых величин, а для того, чтобы можно было доказать соответствующие теоремы существования и единственности. Системы аксиом в теории измерений должны быть достаточно сильны, чтобы из их истинности на некоторой модели следовало бы существование гомоморфного отображения этой модели в числовую систему, а также, чтобы можно было определить множество таких гомоморфных отображений (множество допустимых преобразований).

Строго определить, имеет ли какая-нибудь аксиома эмпирическое содержание или нет, можно с помощью следующего понятия [68]. Аксиома Ф называется чисто технической в системе аксиом {Ф_i}_iÎI, если из следующих двух систем аксиом ФÈ{Ф_i}_iÎI и {Ф_i}_iÎI вытекают одни и те же, поддающиеся проверке, (универсальные) высказывания. Многие аксиомы, встречающиеся в теории измерений и включающие квантор существования, являются чисто техническими.

Анализ не чисто технических аксиом теории измерений показывает, что для переменных, связанных кванторами существования, практически всегда существуют эмпирически интерпретируемые скулемовские функции [61], подстановка которых в формулу позволяет избавиться от кванторов существования.

Данные рассуждения показывают, что множество универсальных формул является практически достаточным для обнаружения эмпирической аксиоматической теории.

Найдем эмпирически интерпретируемые свойства измерительных процедур Obs^V , благодаря которым экспериментальная зависимость представима совокупностью универсальных формул в словаре V. Эти свойства дадут, во-первых, возможность понять, почему большинство известных законов выражаются универсальными формулами, а, во-вторых, определят область применимости метода.

Под экспериментальной зависимостью будем понимать совокупность формул S^V истинных на любом результате наблюдения pr^V = Obs(A). Уточним понятия измерительной процедуры Obs^V и протокола наблюдения pr^V, которые остались не конкретизированными в § 8 при определении эмпирической аксиоматической теории.

Определим протокол наблюдения pr^V как модель [61]

pr^V = áB;Vñ = Obs^V (A), (1)

где A = {a₁, …, a_m} – множество измеряемых объектов; V = {P₁, …, P_n} – словарь наблюдаемых терминов; B = {a₁, …, a_m; b₁, …, b_l} – множество символов объектов. Поясним это определение. Каждый протокол наблюдения должен удовлетворять системе аксиом S^V. Так как в системе аксиом могут быть скулемовские функции, то возможно, что в процессе проведения измерений необходимо конструировать некоторые объекты. Поэтому множество символов объектов B состоит как из символов объектов множества A, так и из символов объектов b₁, …, b_l, сконструированных в процессе измерения процедурой Obs^V. Будем предполагать, что нам известна функция p : A ® {a₁, …, a_m}, взаимно однозначно сопоставляющая объектам из множества A их символы в протоколе pr^V. Будем предполагать, что индексы символов объектов начинаются с 1 и кончаются m без пропусков.

Уточним понятие истинности формул на протоколе наблюдения pr^V. Так как протокол является моделью, то таким определением является стандартное определение выполнимости формул на моделях [Там же].

Определим свойство измерительной процедуры, которое будет необходимым и достаточным условием универсальной аксиоматизируемости экспериментальной зависимости.

Пусть у нас есть некоторая эмпирическая аксиоматическая теория M = áObs^V, V, W, Sñ. Обозначим через PR множество всех конечных моделей (с точностью до изоморфизма), которые могут быть получены в качестве протоколов наблюдения процедурой Obs^V над всеми возможными множествами объектов A. Обозначим через T абстрактный класс всех конечных моделей сигнатуры V. Нам нужно найти необходимое и достаточное условие универсальной аксиоматизируемости класса PR в классе T.

Класс PR называется универсально аксиоматизируемым в классе T, если существует совокупность S^V универсальных формул сигнатуры V (формул, содержащих только кванторы всеобщности) истинных на тех и только тех моделях из T, которые принадлежат PR. Тогда множество S^V является системой аксиом для класса конечных моделей PR и выражает экспериментальную зависимость, проявляющуюся в экспериментах, проводимых измерительной процедурой Obs^V .

Теорема (Тарский, Лось [61]). Для того чтобы подкласс PR класса T был универсально аксиоматизируем в классе T, необходимо и достаточно, чтобы класс PR был локально замкнут в T.

Условие локальной замкнутости трудно эмпирически проинтерпретировать, поэтому мы найдем более простое условие универсальной аксиоматизируемости.

Определение [Там же]. Подкласс PR называется наследственным в T, если каждая подмодель в T модели из PR принадлежит PR.

Свойство наследственности имеет следующую интерпретацию. Для каждого протокола эксперимента pr^V = áA; Vñ любой подпротокол pr = áB;Vñ, B Ì A, с точностью до переименования символов объектов также может быть получен в результате эксперимента.

Утверждение [Там же]. Для классов конечных моделей PR и T из наследственности класса PR в классе T вытекает локальная замкнутость класса PR в классе T и, в силу теоремы Лося, Тарского, универсальная аксиоматизируемость класса PR в классе T.

Определение 4. Будем говорить, что эксперимент удовлетворяет свойству наследственности, если выполнены следующие условия:

1) в процессе наблюдения не производится конструирование новых объектов и протокол наблюдения в отличии от определения (20) имеет вид: pr^V = áp(A); Vñ = Obs^V(A);

2) для любого протокола pr^V = áp(A); Vñ = Obs^V(A) и любого подмножества B Ì A протокол pr = áp(B); Vñ = Obs^V(B), полученный на этом подмножестве, изоморфен подмодели áp(B); Vñ, p(B) Ì p(A) модели pr^V = áp(A); Vñ.

Интерпретация свойства 2 определения состоит в том, что значения истинности отношений из pr^V, определенные на некотором подмножестве B объектов множества A, не зависят от свойств других объектов и истинности отношений на других объектах. Для физических экспериментов это свойство почти всегда выполняется, но если взять, например, реакции испытуемого на стимулы из некоторого множества A, то на подмножестве B Ì A эти реакции могут быть другими, чем на этих же стимулах во всем множестве A. В этом случае добавление к множеству B новых стимулов из A\B может изменить прежние реакции испытуемого на стимулы из множества B.

Теорема 3. Из наследственности экспериментальной зависимости (определение 4) вытекает наследственность класса PR в классе T и, значит, универсальная аксиоматизируемость экспериментальной зависимости S^V.

Доказательство. Возьмем произвольный протокол класса PR. Он изоморфен некоторому протоколу pr^V = áB; Vñ = Obs^V (A). Из первого свойства следует, что B = p(A). Bозмём произвольную подмодель pr = áC; Vñ, C Ì p(A) модели pr = áp(A); Vñ. Для множества символов объектов C определим соответствующее ему множество объектов C = p^-1(C). Проведем процедурой Obs^V измерение над этим множеством. Получим протокол pr" = áp"(C); Vñ. В силу свойства 2 этот протокол будет изоморфен подмодели pr' протокола pr. Отсюда следует, что подмодель pr' также принадлежит классу PR.