§ 21. Что такое закон

Представим исследуемую предметную область эмпирической системой M = áA; Vñ, где A – основное множество эмпирической системы, а V = áP₁, ..., P_kñ, k > 0 – множество предикатов, определенных на A. Будем предполагать, что теория Th(М) эмпирической системы М (совокупность всех истинных на М высказываний) представляет собой совокупность универсальных формул S.

Для дальнейших рассмотрений необходимо выделить фрагмент языка первого порядка L(S), содержащий только внелогические символы системы аксиом S. Сигнатурой Á(S) языка L(S) будем называть набор Á(S) = áP₁, ..., P_kñ, где P₁, ..., P_k – все предикатные символы, встречающиеся в аксиомах S; n₁, ..., n_k – местности соответствующих предикатных символов; X(S) = áx₁, ..., x_mñ – множество всех свободных переменных, входящих в S; U(S) – множество всех атомарных формул (атомов) вида P(x₁, ..., x_n), x₁, ..., x_n Î X(S), входящих в аксиомы из S; Â(S) – множество утверждений языка L(S), полученное замыканием множества U(S) относительно логических операций &, v, Ø. На элементах булевой алгебры Â(S) определено тождество утверждений. Будем предполагать, что логические константы И º AÚØA и Л º A&ØA всегда принадлежат Â(S).

Как уже говорилось, совокупность универсальных формул логически эквивалентна совокупности формул вида (1), которые будем называть правилами

где A₀, A₁, …,  A_k – атомарные формулы, A_j = , j = 0, 1, ..., k; e₀, e₁, …, e_k = 1(0), если атомарная формула берется без отрицания (1) или с отрицанием (0).

Задача 6. Таким образом, задача обнаружения эмпирической аксиоматической теории на эмпирической системе М и, в частности, обнаружение систем аксиом сводится к задаче определения системы аксиом S эмпирической системы M.

Проанализируем эту задачу. Что можно сказать об истинности высказываний из S на эмпирической системе M, опираясь только на логический анализ высказываний. Можно сказать, во-первых, что правило C = (A₁& ... &A_k Þ A₀) может быть истинным на эмпирической системе только потому, что посылка правила всегда ложна. На самом деле, как мы покажем, это означает, что на эмпирической системе истинно некоторое логически более сильное «подправило», связывающее между собой атомы посылки. Во-вторых, правило C может быть истинно на эмпирической системе только потому, что некоторое его логически более сильное «подправило», содержащее только часть посылки и то же заключение, истинно на эмпирической системе. Поэтому система аксиом может оказаться истинной на эмпирической системе потому, что фактически на эмпирической системе истинна некоторая система подправил данной системы аксиом, из истинности которой в свою очередь следует истинность системы аксиом.

Из логики и методологии науки хорошо известно, что те высказывания следует считать законами, которые при одинаковой их подтвержденности на экспериментальных данных наиболее фальсифицируемы, просты и/или содержат наименьшее число «параметров». В нашем случае все эти свойства, которые обычно трудно определить, следуют из определения логической силы высказывания. «Подправило» является одновременно и логически более сильным высказыванием, чем само правило и более фальсифицируемым, так как содержит более слабую посылку и, следовательно, применимо к большему объему данных и тем самым в большей степени подвержено фальсификации; и более простым, так как содержит меньшее число атомарных высказываний, чем правило, и включает меньшее число «параметров», так как лишние атомарные высказывания тоже можно считать параметрами «подстройки» высказывания под данные.

Почему же закон должен быть наиболее фальсифицируемым, простым и содержать наименьшее число параметров? Разные авторы придерживаются различных мнений на этот счет, либо не объясняют этого вообще. Очевидно одно, что это нужно для того, что бы максимально близко приблизиться к реальным данным и наиболее точно отразить реальные зависимости в данных, а не наши гипотезы о них. В нашем случае для гипотез вида (1) мы можем более точно ответить на этот вопрос. Так как все описанные свойства закона вытекают из логической силы высказывания, то поиск логически наиболее сильных «подправил», истинных на эмпирической системе, позволяет нам не только проверить гипотезу об истинности системы аксиом, но и решить другую принципиально более важную задачу: выяснить, а какова на самом деле та наиболее сильная (логически) теория, вытекающая из этих правил, которая описывает наши данные и возможно лежит в основании неизвестного нам закона их порождения? Решение этой задачи обнаружения закона в данных или, что то же самое, поиска сильнейшей теории в данных как раз и требует нахождения среди всех правил вида (1) логически наиболее сильных (среди истинных на эмпирической системе). Именно такие правила в соответствии с существующими представлениями следует считать законами эмпирической системы.

Выясним из истинности каких логически более сильных «подправил» на эмпирической системе M следует истинность самого правила. Тем самым мы получим определение «подправил» и определение закона для эмпирической системы M.

Теорема 4. Правило C = (A₁& ... &A_k Þ A₀) логически следует (в исчислении высказываний) из любого правила вида:

1. A_i1& ... &A_ih Þ ØA_i0 ,

где {A_i1, ..., A_ih,A_i0} Ì {A₁, ..., A_k}, 0 £ h < k, т. е.

(A_i1& ... &A_ih Þ ØA_i0) ⊦ Ø(A₁& ... &A_k) ⊦ (A₁& ... &A_k Þ A₀);

⊦ – доказуемость в исчислении высказываний;

2. (A_i1& ... &A_ih Þ A₀),

где {A_i1, ..., A_ih} Ì {A₁, ..., A_k}, 0 £ h < k, т. е.

(A_i1& ... &A_ih Þ A₀) ⊦ (A₁& ... &A_k Þ A₀).

Доказательство. Докажем сначала первую цепочку выводов (A_i1& ... &A_ih Þ ØA_i0) º (Ø(A_i1& ... &A_ih)ÚØA_i0) º (ØA_i1Ú...ÚØA_ihÚØA_i0) º Ø(A_i1& ... &A_ih&A_i0). Так как {A_i1, ..., A_ih, A_i0} Ì {A₁, ..., A_k}, то конъюнкция A_i1& ... &A_ih&A_i0 является частью конъюнкции A₁& ... &A_k. Из аксиомы алгебры высказываний A&B ⊦ A по правилу modus ponense следует, что A₁& ... &A_k ⊦ A_i1& ... &A_ih&A_i0. Поэтому из формул (A_i1& ... &A_ih Þ ØA_i0), A₁& ... &A_k выводится противоречие Ø(A_i1& ... &A_ih&A_i0)& (A_i1& ... &A_ih&A_i0). Отсюда следует, что (A_i1& ... &A_ih Þ ØA_i0) ⊦ Ø(A₁& ... &A_k). Докажем, что Ø(A₁& ... &A_k) ⊦ (A₁& ... &A_k Þ A₀). Так как Ø(A₁& ... &A_k) º ØA₁Ú...ÚØA_k, то по правилу алгебры высказываний A ⊦ AÚB выводим, что Ø(A₁& ... &A_k) ⊦ (ØA₁Ú...ÚØA_kÚA₀) º (A₁& ... &A_k Þ A₀).

Докажем, что (A_i1& ... &A_ih Þ A₀) ⊦ (A₁& ... &A_k Þ A₀), если {A_i1, ..., A_ih} Ì {A₁, ..., A_k}, 0 £ h < k. Так как (A_i1& ... &A_ih Þ A₀) º (ØA_i1Ú...ÚØA_ihÚA₀), то из схемы аксиом A ⊦ AÚB алгебры высказываний и правила modus ponens следует, что (ØA_i1Ú...ÚØA_ihÚA₀) ⊦ (ØA₁Ú...ÚØA_kÚA₀) º (A₁& ... &A_k Þ A₀).

Следствие 1. Если некоторое подправило правила C истинно на эмпирической системе M, то и само правило C истинно на M.

Определение 6. Подправилом некоторого правила C будем называть любое из логически более сильных правил вида 1 или 2, определенных в теореме для правила C.

Как легко видеть, любое подправило также имеет вид (1).

Определение 7. Законом эмпирической системы M = áA, Wñ будем называть любое, истинное на M правило C вида (1), для которого каждое его подправило уже не истинно на M.

Обозначим через L множество всех законов эмпирической системы М.

Теорема 5. L ¢ S.

Таким образом, обнаружение множества L решает задачу  обнаружения теории эмпирической системы М (задача 6).

Однако реально нам не известна эмпирическая система, а только результаты экспериментов. Поэтому необходимо определить понятие эксперимента на эмпирической системе М и понятие закона на множестве всех экспериментов.