Свяжем проверку истинности
системы аксиом на эмпирической системе M с конкретными конечными
экспериментами, на которых эта истинность проверяется. Тем самым мы не просто сделаем
проверку аксиом конструктивной, а заменим задачу, которую можно выполнять
только на теоретическом уровне, на задачу чисто эмпирической проверки. Понятие
эксперимента заменяет идеализированные эмпирические системы на
действительно эмпирические.
Под интерпретацией языка L(S) на эмпирической системе M = áA, Wñ будем
понимать два отображения: интерпретацию сигнатурных символов I(M) : Á(S) ®
W, сопоставляющую каждому сигнатурному символу Pj
Î Á(S), j = 1, ..., k,
местности nj некоторый предикат Pj из W той же
местности, и интерпретацию переменных I : X(S) ® X(A), сопоставляющую
взаимнооднозначно всем свободным переменным X(S) = áx1, ..., xmñ языка L(S) переменные X(A) = áx1, ..., xmñ по основному множеству A эмпирической системы M. Под
состоянием s : X(A) ® A будем понимать отображение набора переменных X(A) =
áx1, ..., xmñ в набор объектов áa1, ..., amñ из A (не все объекты обязательно различны). Множество
всех возможных состояний обозначим через St.
Эксперимент должен состоять
в том, чтобы при заданной интерпретации I(M) : Á(S) ® W
предикатных символов и заданной интерпретации I переменных, выбрать из
основного множества A некоторый набор объектов áa1, ..., amñ и подставить их вместо переменных áx1, ..., xmñ. Далее
определить значения истинности всех атомарных формул на áa1, ..., amñ.
Определение 8. Эксперимент определим как набор
Exp(s) = Exp(I(M)I(X(S)), s) = ááa1, ..., amñ, I(M)I(X(S))sñ,
где s Î St, s(X(A))
= áa1, ..., amñ; I(M)I(X(S))s – суперпозиция
интерпретации I(M) предикатных символов, интерпретации I(X(S)) переменных и состояния s.
Эта суперпозиция задает интерпретацию предикатных переменных в предикаты на
эмпирической системе и подставляет вместо символов переменных набор объектов из
основного множества эмпирической системы, что определяет конкретные значения
истинности этих предикатов на данном наборе объектов. Поскольку для данной
эмпирической системы M интерпретации I(M), I(X(S)) предикатных символов и переменных фиксированы, то
эксперимент также будем обозначать через Exp(s). Запись ááa1, ..., amñ, I(M)I(X(S))sñ, как и в случае моделей, означает, что значения
истинности атомарных высказываний на объектах набора áa1, ..., amñ определены и представляют собой набор значений
истинности всех атомарных высказываний на объектах из áa1, ..., amñ. Например, для W = {~} и объектов áa, b, cñ
ááa, b, cñ, I(M)I(X(S))sñ = á(a ~ a) = И, (b ~ b) = И, (c ~ c) = И,
(a ~
b) = Л, (a ~ c) = И, (b ~ c) = И,
(b ~
a) = Л, (c ~ a) = И, (c ~ b) = Лñ.
Будем предполагать, что
порядок атомарных отношений в наборе ááa, b, cñ, I(M)I(X(S))sñ всегда фиксирован, поэтому, если взять только набор
значений истинности áИ,
И, И, Л, И, И, Л, И, Лñ или будем говорить бинарный вектор e для соответствующего эксперимента, то этот вектор
будет однозначно характеризовать результаты эксперимента. Этот вектор можно
представить как вершину девятимерного двоичного куба {0, 1}9.
Полученный вектор e(Exp(s)) будем
называть значением эксперимента Exp(s).
Пусть у нас есть некоторый
эксперимент Exp(s),
множество значений которого представляет собой двоичный куб E. Рассмотрим взаимосвязь куба E и булевой алгебры Â(S).
Как известно, любое утверждение из Â(S) есть дизъюнкция элементарных конъюнкций атомов или их
отрицаний из U(S).
Следовательно, во-первых, значение истинности любого утверждения A Î
Â(S) на
эксперименте Exp(s)
определено и вычисляется по правилам алгебры высказываний, во-вторых, любому
утверждению А Î
Â(S)
соответствует некоторое подмножество E(A) Í E векторов, на котором
(и только на котором) оно истинно. Так как И º AÚØA и Л º A&ØA всегда принадлежат Â(S), то всему множеству E и пустому подмножеству Æ вершин также соответствуют некоторые высказывания из Â(S). Поэтому фактор алгебра Â(S)/º высказываний и
множество всех подмножеств двоичного куба E изоморфны соответственно
относительно логических операций на Â(S)/º и теоретико
множественных операций на E. Каждому бинарному вектору
e(Exp(s)) = áИ, И, И, Л, И, И, Л, И, Лñ
Î
E, представляющему собой результаты некоторого эксперимента, будет
соответствовать при таком изоморфизме элементарная коньюнкция
(a ~ a)&(b ~ b)&(c
~ c)&Ø(a ~ b)&(a ~ c)&(b ~ c)&Ø(b ~ a)&(c
~ a)&Ø(c ~ b) Î Â(S), описывающая результаты соответствующего эксперимента,
которую будем обозначать через A(Exp(s)).
Определим для эмпирической
системы M множество всех возможных экспериментов Exp
= {Exp(s) | s Î St}.
Определение 9. Формула C Î Â(S) истинна на Exp(s)
(будем писать Exp(s) £ C) тогда и только тогда, когда при определенном в
эксперименте Exp(s) наборе
значений истинности e(Exp(s)) формула C
истинна. Иначе говоря, формула C Î Â(S) истинна на Exp(s),
если e(Exp(s)) Î E(C).
Определение
10. Формула C Î Â(S) истинна на Exp тогда и только тогда, когда
она истинна на каждом эксперименте Exp(s) Î Exp.
Лемма
5. Формула C Î Â(S) истинна на эмпирической системе M (при классическом определении
истинности высказываний на модели) тогда и только тогда, когда она истинна на Exp.
Определение 11. Система аксиом S истинна на Exp тогда и
только тогда, когда каждая аксиома из S истинна на Exp.
Определение 12. Законом на Exp будем называть
любое истинное на Exp правило C вида (1), каждое подправило которого уже не истинно на Exp.
Теорема
6. Правило C вида (1) является законом эмпирической системы M = áA, Wñ тогда и
только тогда, когда оно является законом на Exp.
Поэтому мы не будем вводить
отдельного определения для множества всех законов на Exp,
а будем его обозначать также через L.
Таким образом, задача
6 переходит в следующую задачу
Задача
7. Определить множество L всех законов на Exp.