§ 23. События и вероятности событий

Сделаем следующий шаг обобщения: будем предполагать, что объекты для экспериментов выбираются некоторым случайным образом из основного множества A эмпирической системы как из генеральной совокупности объектов. Это позволит нам ввести вероятность на множестве экспериментов, не меняя пока определения эксперимента как некоторого «фрагмента» эмпирической системы.

Определим вероятность μ на E.

Определение 13. Вероятностью на E будем называть отображение μ : E ® [0, 1], удовлетворяющее условиям:

1) 2 )

μ(e) = 0 Û {Exp(s) | e(Exp(s)) = e} = Æ

Смысл условия 2 объясняется нижеследующей леммой 6. Он состоит в том, что вероятность должна быть согласована с истинностью высказываний: если высказывание A тождественно истинно на M, то его вероятность должна быть равна 1, если же оно тождественно ложно, то его вероятность должна быть равна 0.

Определение 14. Событием в эксперименте Exp(s) будем называть любое подмножество E(A) Í E, e(Exp(s)) Î E(A), A Î Â(S). Вероятностью μ события E(A) будем называть величину

.

Будем говорить, что в результате эксперимента Exp(s) произошло событие E(A) или событие A, если e(Exp(s)) Î E(A). Событие A является элементом булевой алгебры Â(S), которую мы так же будем называть булевой алгеброй событий.

Вероятность μ индуцирует вероятность η на булевой алгебре высказываний Â(S).

Лемма 6. Функция η(A) = μ(E(A)), A Î Â(S), определяет на Â(S) вероятность и для любых A, B Î Â(S) удовлетворяет следующим аксиомам верояности [103; 108]:

1. η(AÚB) + η(A&B) = η(A) + η(B);

2. η(ØA) = 1 ‑ η(A);

3. Если ⊦ A º B, то η(A) = η(B);

4. Если ⊦ A, то η(A) = 1,

где ⊦ – доказуемость в исчислении высказываний.

Из условия 2 вероятности (определение 13) следует, что не только при доказуемости высказывания, но и при его истинности на эмпирической системе M, оно должно иметь вероятность 1.

Лемма 7. Для любого высказывания A Î Â(S) выполнены следующие условия:

1) M ⊨ A Û η(A) = 1;

2) M ⊨ ØA Û η(A) = 0.

Доказательство. Докажем, что условия 1 и 2 леммы эквивалентны. Подставим в условие 1 вместо высказывания A высказывание ØA, получим: M ⊨ ØA Û η(ØA) = 1 Û (1 ‑ η(A)) = 1 Û η(A) = 0. Докажем теперь условие 2. Пусть M ⊨ ØA, тогда A всюду ложно на M и, значит, в силу лемма 5 A ложно на Exp. Отсюда A ложно на каждом эксперименте из Exp (определение 10), поэтому для каждого e Î E(A)

{Exp(s) | e(Exp(s)) = e} = Æ

и μ(e) = 0, откуда следует, что η(A) = 0. Обратное доказательство получается обратным ходом рассуждения.