§ 24. Определение вероятностного закона на Exp

Введем определение вероятностного закона путем обобщения понятия закона на вероятностный случай. Сделаем это так, что бы понятие закона на Exp было частным случаем этого более общего определения.

Вспомним определение закона на Exp. Законом на Exp является истинное на Exp правило, все подправила которого ложны на Exp. Можно иначе переформулировать понятие закона на Exp. Законами являются такие правила, истинные на Exp, которые нельзя более упростить и / или логически усилить, сохраняя их истинность. Это свойство неупрощаемости позволяет сформулировать закон не только в терминах истинности но и вероятности и тем самым перекинуть мост между детерминированным и вероятностным случаями.

Теорема 7. Для правила C = (A₁& ... &A_k Þ A₀) вида (1) следующие два условия эквивалентны:

1) правило C является законом на Exp;

2) a) условная вероятность η(A₀ /A₁& ... &A_k) правила определена (т. е. η(A₁& ... &A_k) > 0) и η(A₀ /A₁& ... &A_k) = 1;

b) условная вероятность η(A₀ /A₁& ... &A_k) правила строго больше условных вероятностей каждого из его подправил.

Доказательство. 1. Предположим, что правило C является законом на M. Докажем, что тогда правила определены. Если правило C является законом на M, то подправило (A₂& ... &A_k Þ ØA₁) не всегда истинно на M. Значит, есть эксперименты, являющиеся исключениями из этого правила, т. е. эксперименты на которых высказывание (A₂& ... &A_k &A₁) истинно. Тогда {Exp(I(M), s) | e(Exp(I(M), s)) Î E(A₂& ... &A_k &A₁)} ¹ Æ и, значит, в силу свойства 2 (определение 13), μ(E(A₂& ... &A_k &A₁)) ¹ 0 и η(A₂& ... &A_k&A₁) ¹ 0. Отсюда получаем, что η(A₂& ... &A_k &A₁) = η(A₁&A₂& ... &A_k) > 0 и, значит, условная вероятность правила C определена. Отсюда следует, что и условные вероятности всех подправил определены, так как из {A_i1, ..., A_ih} Í {A₁, ..., A_k}, следует, что η(A_i1& ... &A_ih) ³ η(A₁& ... &A_k) > 0.

2. Докажем теперь, что η(A₀ /A₁& ... &A_k) = 1 тогда и только тогдп, когда правило C истинно на Exp. Докажем, что из η(A₀ /A₁& ... &A_k) = 1 следует истинность правила C на Exp. Предположим противное, что оно не истинно на Exp. Это означает, что существуют эксперименты, на которых высказывание A₁& ... &A_k&ØA₀ истинно, и, значит, множество экспериментов {Exp(s) ¦ e(Exp(s)) Î E(A₁& ... &A_k&ØA₀)} ¹ Æ не пусто. Отсюда, вследствие свойства 2 (определение 13), следует, что μ(A₁& ... &A_k &ØA₀) ¹ 0. Но это противоречит условию η(A₀ /A₁& ... &A_k) = 1, так как

η(A₀ /A₁& ... &A_k) = η(A₀&A₁& ... &A_k) / η(A₁& ... &A_k) =

η(A₀ /A₁& ... &A_k) / (η(A₀&A₁& ... &A_k) + η(ØA₀&A₁& ... & A_k))

и поскольку мы доказали, что η(ØA₀&A₁& ... &A_k) ¹ 0, то η(A₀ /A₁& ... &A_k) < 1. Обратное доказательство, что из истинности правила C на Exp следует, что η(A₀ /A₁ & ... &A_k) = 1, проводится теми же рассуждениями, проведенными в обратном порядке.

3. Из пп. 1, 2 следует, что условие 1 теоремы влечет условие 2а. Из п. 1. следует определенность правил, а из п. 2 следует, что условная вероятность равна 1.

4. Докажем, что из условия 1 теоремы следует условие 2b. Любое подправило A_i1& ... &A_ih Þ L правила C ложно на M, где L – литера вида ØA , для правил вида 1 (теорема 4), либо вида A, для правил вида 2. Ложность имеет место тогда и только тогда, когда {Exp(s) ¦ e(Exp(s)) Î E(A_i1& ... &A_ih&ØL)} ¹ Æ, что в силу свойства 2 (определение 13), эквивалентно условиям μ(A_i1& ... &A_ih&ØL) > 0 и η(A_i1& ... &A_ih&ØL) > 0. Из последнего неравенства следует

η(L /A_i1& ... &A_ih) = η(A_i1& ... &A_ih&L) / η(A_i1& ... &A_ih) =

η(A_i1& ... &A_ih&L) / (η(A_i1& ... &A_ih&ØL) + η(A_i1& ... & A_ih&L)) < 1.

Но поскольку в силу п. 2 условная вероятность правила C равна 1, то ложность любого подправила на M эквивалентна неравенствам η(L /A_i1& ... &A_ih) < 1 = η(A₀ /A₁& ... &A_k).

5. Таким образом, мы доказали, что из условия 1 теоремы следуют условия 2a и 2b, что доказывает теорему в одну сторону.

6. Докажем, что из условий 2a и 2b следует условие 1 теоремы. Если для правила C условная вероятность определена, то в силу пункта (1) будут определены и условные вероятности всех его подправил. Так как условная вероятность правила C, в силу условия 2a равна 1, то в силу п. 2 правило C будет истинным на Exp. Для доказательства того, что правило C будет законом необходимо доказать, что каждое подправило этого правила ложно. Это можно сделать проводя те же рассуждения, что и в п. 4, только в обратном порядке ■

Данная теорема дает нам эквивалентное определение закона на Exp в терминах вероятностей.

Определение 15. Вероятностным законом на Exp в детерминированном случае (см. определение 13 вероятности) будем называть правило C = (A₁& ... &A_k Þ A₀) вида (1), удовлетворяющее условиям:

a) условная вероятность η(A₀ /A₁& ... &A_k) правила определена (т. е. η(A₁& ... &A_k) > 0) и η(A₀ /A₁& ... &A_k) = 1;

b) условная вероятность η(A₀ /A₁& ... &A_k) правила строго больше условных вероятностей каждого из его подправил.

Следствие 2. Вероятностный закон на Exp в детерминированном случае является законом эмпирической системы M.

Доказательство. Следует из теоремы 6 и 7.