§ 25. Обобщение понятия вероятностного закона и эксперимента на случай данных с шумами.

Определение эксперимента Exp(s), как некоторого «фрагмента», эмпирической системы не включает в себя всех видов случайностей, которые могут быть в эксперименте и не отражает реальность проведения экспериментов как она есть. Определение 13 вероятности исключает возможность искажения значений истинности предикатов (лемма 7). Чтобы обобщить понятие эксперимента на случай, когда возможны ошибки измерения, шумы или ошибки в ответах испытуемого, необходимо ввести все эти случайные искажения в понятие эксперимента.

Известно [108], что в языке первого порядка можно ввести несколько типов случайностей:

случайности, связанные со случайным выбором стимулов из генеральной совокупности (случайность на области [Там же]);

случайности, вызывающие ошибки в определении значений истинности атомарных высказываний и связанные с ошибками измерения, ошибками в ответах испытуемого, шумами прибора или шумами воздействующими на испытуемого (случайность на множестве возможных миров [Там же]).

В случаях 1 и 2 вероятность может вводиться, вообще говоря, различным образом [Там же] как вероятность на «области» или как вероятность на множестве «возможных миров»… Определение 13 вероятности является примером вероятности на «области», так как, в силу свойства 2, определено для экспериментов являющимися «фрагментами» эмпирических систем и, следовательно, не содержащими случайностей вида 2. Чтобы учесть оба типа случайностей необходимо одновременно обобщить определение вероятности и эксперимента.

Определение 16. Вероятностью на E назовем отображение μ : E ® [0, 1], удовлетворяющее условию

1)

Для «детерминированных» экспериментов, должно быть выполнено также условие

2) μ(e) = 0 Û {Exp(s) | e(Exp(s)) = e} = Æ.

Эксперимент определим как набор

Exp(s) = Fááa₁, ..., a_mñ, I(M)I(X(S))sñ,

где F : E ® E – случайное отображение. В случае, когда F – тождественное отображение будем говорить, что мы имеем «детерминированный» эксперимент, для которого должно быть выполнено условие 2.

«Детерминированный» эксперимент совпадает со старым определением эксперимента. Данное определение эксперимента Exp(s) представляет собой случайно искаженный функцией F «фрагмент» эмпирической системы. Характеристики функции F как случайного отображения полностью определяются вероятностью μ. Определение вероятности η остается прежним.

Для экспериментов, определенных в определении 16 с различными типами случайностей уже нельзя требовать истинности аксиом на Exp. Поэтому определение закона на Exp теряет свой смысл. Эквивалентное определение вероятностного закона, для которого должно быть выполнено условие η(A₀ /A₁& ... &A_k) = 1, так же теряет смысл, в силу того, что условная вероятность не может быть равна 1 в экспериментах с шумами. Поэтому необходимо ввести обобщение этого определения путем удаления условия, которое не может быть выполнено.

Определение 17. Вероятностным законом на Exp будем называть правило C = (A₁& ... &A_k Þ A₀) вида (1), удовлетворяющее следующему условию: условная вероятность η(A₀ /A₁& ... &A_k) правила определена и строго больше условных вероятностей каждого из его подправил.

Обозначим через LP множество всех вероятностных законов.

Определение 18. Сильнейшим вероятностным законом (СВЗ) мы будем обозначать такой вероятностный закон С, который не является подправилом никакого другого вероятностного закона. Обозначим через СВЗ множество всех сильнейших вероятностных законов.

Предложение 3. L Ì СВЗ Ì LP.

Покажем, что в результате удаления условия η(A₀ /A₁& ... &A_k) = 1 из определения вероятностного закона для детерминированного случая (определение 15) мы ничего не потеряли из существа определения закона.

Вспомним, что именно свойство неупрощаемости позволило нам сформулировать определение вероятностного закона в детерминированном случае. Посмотрим на результат предыдущей теоремы (теорема 7) с точки зрения неупрощаемости закона. В вероятностных терминах свойство неупрощаемости закона звучит уже несколько иначе: для правила, истинного на M, для которого условная вероятность равна 1, неупрощаемость правила означает, что, если мы возьмем любое логически более сильное его подправило, то его условная вероятность строго уменьшится и станет строго меньше 1, т. е. вероятностный закон на Exp в детерминированном случае нельзя упростить, не уменьшив существенно его условную вероятность. Поэтому два эквивалентных определения закона, сформулированные в теореме могут быть переформулированы в терминах неупрощаемости закона, только одно из них для значения истинности, а другое для условной вероятности. Из этой переформулировки видно, что для понятия закона важны не сама истинность или то, что условная вероятность равна 1, а невозможность его упрощения с сохранением этих оценок (истинности, вероятности и т. д.). Это дает возможность дать более общее определение закона для правил вида (1), охватывающее как детерминированный так и вероятностный случаи.

Определение 19. Законом является такое правило C вида (1), характеризуемое некоторой оценкой, что его нельзя «упростить» (логически усилить – теорема 4) не уменьшив существенно этой оценки.

Эквивалентность двух различных определений закона с точки зрения данного определения закона для двух различных видов оценок – оценки истинности и оценки условной вероятности, равной 1, доказана (теорема 7). При переходе от вероятностного закона в детерминированном случае (определение 15) к вероятностному закону (определение 17) мы заменили оценку закона с условной вероятности равной 1 на просто оценку условной вероятности, оставаясь в рамках закона (определение 19).

Условная вероятность, используемая нами (теорема 7, определение 15, определение 17) как оценка закона, интересна не только тем, что это вероятность, но еще и тем, что она является оценкой предсказательной силы закона, являющейся наиболее важной характеристикой законов вообще. Понятие закона всегда, прежде всего, связывается с его способностью предсказывать, поэтому переход от характеристики закона в терминах истинности, принятой в философской логике и связанной с принципом фальсифицируемости, к характеристике закона в терминах предсказания является не просто уходом от старой парадигмы (включая принцип фальсифицируемости), а переходом к более естественному определению закона.

Теорема 7 в этом случае означает, что для детерминированного случая, который характеризует возможность предсказания в случае отсутствия шумов, определения закона через истинность и условную вероятность совпадают. Но если мы имеем стохастический случай, когда правила не истинны на M, определение закона через истинность теряет свой смысл, а определение закона, основанное на условных вероятностях и предсказании, сохраняет свой смысл.

Понятие гипотезы, используемое в философской логике и связанное с принципом фальсифицируемости, отличается от определения закона. Поэтому понятно, почему в литературе нет определения закона природы. Следует подчеркнуть, что определение закона природы (и на это определение претендует наше определение) должно служить мостом между теоретическим (идеальным) и эмпирическим уровнями рассмотрения. Закон в отличие от гипотез идеален. Поэтому проверка и обнаружение закона никак не могут быть связаны с принципом фальсифицируемости. В нашем определении обнаружение закона связано с его (вероятностной) неупрощаемостью, которая тесно связана с такими присущими законам свойствам как простота, логическая сила, максимальная общность (или фальсифицируемость) и минимальность числа параметров.

Множество вероятностных законов шире множества законов (см. предложение 3), поэтому, обнаруживая вероятностные законы, мы будем обнаруживать как аксиомы теории S так и просто вероятностные законы. Чтобы выделить среди вероятностных законов аксиомы из S есть два пути. Первый путь, рассматриваемый в следующем параграфе, состоит в нахождении условий, при которых множества вероятностных и (детерминированных) законов совпадают, и второй путь, рассматриваемый в следующей главе, состоит в нахождении непротиворечивых подмножеств вероятностных законов.