§ 31. Требование максимальной специфичности

Определим требование максимальной специфичности (ТМС). Будем предполагать, что класс H объектов в (23) определён некоторым предложением H Î Â(Á) языка L. В том случае требование ТМС говорит о том, что должно быть выполнено равенство p(G; H) = p(G; F) = r. В терминах вероятности это означает, что h(G / H) = h(G / F) = r для любого H Î Â(Á), удовлетворяющего (23).

Определение 23. Требование максимальной специфичности (ТМС):

a) если мы добавим предложение H Î Â(Á) к посылке правила C = (F Þ G) (то предложение (1) "x(F(x)&H(x) Þ F(x)) истинно);

b) и будет выполнено условие F(a)&H(a) (тогда h(F&H) > 0),

то должно выполняться равенство h(G / F&H) = h(G / F) = r.

Другими словами, ТМС означает, что не существует утверждения H Î Â(Á), которое увеличивает (или уменьшает, см. нижеследующую лемму) условную вероятность h(G / F) = r путем добавления его в посылку правила.

Лемма 8. Если утверждение H Î Â(Á) уменьшает условную вероятность h(G / F&H) < h(G / F), то утверждение ØH увеличивает ее и h(G / F&ØH) > h(G / F).

Доказательство. Введем обозначения a = h(G&F&H’), b = h(F&H’), c = h(G&F&ØH’), d = h(F&ØH’). Тогда неравенство h(G / F&H’) < h(G / F) моно заменить на неравенство a / b < (a + c) / (b + d). Из неравенства a / b < (a + c) / (b + d) следует, что

(a + c) / (b + d) < c / d Û h(G / F) < h(G / F&ØH’) ■

Лемма 9. Для любого правила C = (B₁& ... &B_t Þ A₀), h(B₁& ... &B_t) > 0 вида (1) существует вероятностный закон C’ = (A₁& ... &A_k Þ A₀) на M, являющийся подправилом правила C и h(C’) ³ h(C) ■

Теорема 9. Любое МСЗ(G) правило удовлетворяет требованию ТМС.

Доказательство. Нам надо доказать, что для любого предложения H Î Â(Á) равенство h(G / F&H) = h(G / F) = r имеет место для любого МСП(G) правила C = (F Þ G).

Из условия b (определение 23) следует, что h(F&H) > 0 и, следовательно, условная вероятность определена.

Рассмотрим случай, когда предложение H является некоторым атомом B или отрицанием атома ØB и h(G / F&H) ¹ r. Тогда одно из правил (F&B Þ G) или (F&ØB Þ G) (лемма 8) имеет большее, чем r значение условной вероятности h(F&B Þ G) > r h(F&ØB Þ G) > r. Тогда существует вероятностный закон (лемма 9) C’, являющийся подправилом правила C, такой что h(C’) ³ h(C) > r. Правило C’ принадлежит СВДВ-дереву и имеет большее значение условной вероятности, что противоречит предположению о том, что правило C является МСЗ(G)-правилом.

Рассмотрим случай, когда предложение H является конъюнкцией двух атомов B₁&B₂, для которых теорема доказана. Если одно из неравенств h(G / F&B₁&B₂ ) > r, h(G / F&ØB₁&B₂ ) > r, h(G / F&B₁&ØB₂ ) > r, h(G / F&ØB₁&ØB₂ ) > r выполнено, то существует вероятностный закон (лемма 9) C’ Î СВДВ-дереву, являющийся подправилом правила C, такой, что h(C’) ³ h(C) > r. Но это невозможно, так как правило C является МСЗ(G)-правилом. Следовательно, для всех этих неравенств мы имеем только равенство = или неравенство < . Последний случай невозможен из-за следующего равенства

Случай, когда предложение H является конъюнкцией нескольких атомов или их отрицаний доказывается индукцией.

В общем случае предложение H Î Â(Á) может быть представлено как дизъюнкция непересекающихся конъюнкций атомов или их отрицаний. Для завершения доказательства нам достаточно рассмотреть случай, когда предложение H является дизъюнкцией двух непересекающихся предложений DÚE, h(D&E) = 0, для которых теорема уже доказана и h(G / F&D) = h(G / F&E) = h(G / F) = r. Оно следует из следующего равенства:

h(G / F&(D Ú E)) =

Случай дизъюнкции большего числа непересекающихся предложений следует по индукции из случая двух непересекающихся предложений ■

Лемма 10. Любой закон из L удовлетворяет требованию ТМС.