§ 32. Решение проблемы статистической двусмысленности

Проблема статистической двусмысленности. В отличие от дедуктивного вывода, в индуктивном выводе мы можем вывести противоречивые выводы из непротиворечивых посылок.

Предположим, что в теории J есть следующие утверждения:

(Л1) – ‘почти все случаи заболевания стрептококком быстро вылечиваются инъекцией пенициллина’;

(Л2) – ‘почти никогда устойчивая к пенициллину стрептококковая инфекция вылечивается после инъекции пенициллина’;

(C1) – ‘Джейн Джонс заболел стрептококковой инфекцией’;

(C2) – ‘Джейн Джонс получил инъекцию пенициллина’;

(C3) – ‘Джейн Джонс имеет устойчивую к пенициллину стрептококковую инфекцию’.

Из этой теории можно вывести два противоречивых утверждения: одно, объясняющее почему Джейн Джонс выздоровеет быстро (E), и другое, объясняющее отрицание первого: почему Джейн Джонс не выздоровеет быстро (ØE).

Объяснение 1		Объяснение 2
L1	[r]		L2	[r]
C1, C2			C2, C3
E			ØE

Условия обоих объяснений не противоречат друг другу, оба могут быть истинны. Тем не менее их выводы противоречат друг другу. Потому набор правил TP может быть противоречив.

Гемпель надеялся решить эту проблему, требуя от статистических законов, чтобы они удовлетворяли требованию максимальной специфичности. Они должны содержать всю относящуюся к рассматриваемому вопросу информацию. В нашем примере условие C3 второго объяснения опровергает условие первого объяснения в силу того, что закон L1 не максимально специфичен по отношению ко всей информации относительно Джонса в теории J. Потому теория J может объяснить только утверждение ØE, но не E.

Теорема 10. I–S-вывод непротиворечив для любой теории J Ì МСЗ.

Доказательство. Докажем, что для предложений из теории J Ì МСЗ нельзя получить противоречие, когда у нас есть два вывода {A Þ G, B Þ ØG} Ì J Ì МСЗ, при условии, что h(A&B) > 0. Мы докажем, что в этом случае одно из приведенных выше правил имеет большую оценку условной вероятности, чем правила A Þ G, B Þ ØG:

A&B Þ G, A&B Þ ØG, A&ØB Þ G, ØA&B Þ ØG.

(1)

Тогда существует вероятностный закон (лемма 9), условная вероятность которого выше, чем у правил A Þ G, B Þ ØG, что противоречит условию J Ì ММСП.

Рассуждая от противного, правила (25) имеют условную вероятность не большую, чем правила A Þ G, B Þ ØG.

Рассмотрим первое из правил A&B Þ G. По предположению h(G / A&B) £ h(G / A). Рассмотрим два случая:

а) h(A&ØB) ¹ 0. Так как h(A&B) > 0, то

Если первое неравенство строгое, то и другие неравенства строгие. Следовательно, из неравенства h(G / A&B) < h(G / A) следует, что h(G / A&ØB) > h(G / A). Этим данный случай рассмотрен. Осталось рассмотреть случай h(G / A&B) = h(G / A);

(б) h(A&ØB) = 0. Так как h(A&B) > 0, то

.

Оставшийся случай такой же h(G / A&B) = h(G / A).

Рассмотрим правило A&B Þ ØG. По предположению мы имеем h(ØG / A&B) £ h(ØG / B). Проводя аналогичные рассуждения, получим:

.

Если неравенство строгое h(ØG / A&B) < h(ØG / B), то получим неравенство h(ØG / ØA&B) > h(ØG / B) и теорема для этого случая доказана. Осталось рассмотреть случай h(ØG / A&B) = h(ØG / B).

Рассмотрим случаи 1, 2, когда мы имеем равенство

, .

Тогда .

Поскольку правила A Þ G и B Þ ØG являются вероятностными законами и они удовлетворяют условиям h(ØG / B) > h(ØG), h(G / A) > h(G), то

1 = h(G / A) + h(ØG / B) > h(G) + h(ØG) = 1.

Итак мы получили противоречие с предположением ■

Проиллюстрируем эту теорему на предыдущем примере. Максимально специфичными правилами для высказываний Е и ØE будут следующие правила МСЗ(E) и МСЗ(ØE):

(Л1)’ : ‘Во всех случаях заражения стрептококковой инфекцией, которая не устойчива к пенициллину, происходит быстрое выздоровление после инъекции пенициллина’.

(Л2): ‘Почти нет случаев устойчивых к пенициллину стрептококковых инфекций и поэтому выздоровление происходит быстро после инъекции пенициллина.’

Правило (Л1)’ имеет большую условную вероятность, чем исходное правило (Л1) и, следовательно, оно должно быть максимально специфичным МСЗ(E)-правилом для высказывания E. Правила (Л1)’ и (Л2) уже не могут быть выполнены на одних и тех же данных.

Заключение. Если мы сможем обнаружить множество всех максимально специфичных правил ММСП, то мы их без противоречий сможем использовать для предсказаний в I–S-выводах.