§ 34. Эрбрановы модели. Вероятностная модель данных.

Зафиксируем язык первого порядка L с равенством не более чем счетной сигнатуры W = áP₁, P₂, ...; f₁, f₂, ...; C₁, C₂, ...ñ, C = {C_kÎK}, K ¹ Æ. Обозначим через U множество всех основных термов (не содержащих свободных переменных), X – множество переменных, T – множество термов, F – множество формул, F₀ – множество формул без кванторов, S – множество предложений (формул без свободных переменных), Â = F₀ÇS множество всех основных предложений сигнатуры W.

Следуя работе [108], определим вероятность m на подмножестве F Ì Â, F ¹ Æ предложений, замкнутом относительно логических операций &, Ú, Ø (равенство не строгое, для строгого равенства необходимы дополнительные аксиомы (см. [Там же]).

Определение 24 [Там же]. Вероятностью m на подмножестве F Ì Â называется отображение m : F ® [0, 1], удовлетворяющее условиям:

1) Если ⊦ j, то m(j) = 1;

2) Если ⊦ Ø(j&f), то m(jÚj) = m(j) + m(f).

Следствие [Там же]. Если ⊦ j º f, то m(j) = m(f). Если ⊦ Øj, то m(j) = 0.

Вероятность m является конечно-аддитивной мерой на подалгебре {f/º | f Î F} булевой алгебры Линденбаума–Тарского.

Определение 25. Вероятностной Эрбрановой моделью сигнатуры W будем называть пару M = áU, mñ, где m – вероятность на Â. Функциональные символы интерпретируются на U обычным образом [90].

Определение 26. Эрбрановой моделью сигнатуры W будем называть вероятностную Эрбранову модель M = áU, Iñ, где I : Â ® {0, I}.

Рассмотрим множество S всех Эрбрановых моделей M = áU, Iñ сигнатуры W. Пусть дан некоторый класс Эрбрановых моделей G Ì S (множество возможных миров) и вероятность m на некотором подмножестве F Ì Â формул замкнутом относительно логических операций. Определим булеву подалгебру D подмножеств G(j) = {M | M Î G, M £ j}, j Î F множества G. Где µ обозначает выполнимость утверждения j на модели M.

Определение 27. Класс Эрбрановых моделей G будем называть согласованным с вероятностью m на множестве формул F, если из G(j) = 0, j Î F следует m(j) = 0.

Лемма 11. Величина h(G(j)) = m(j), j Î F является конечно-аддитивной мерой на подалгебре D, если класс Эрбрановых моделей G согласован с m на множестве формул F #.

Доказательство: Так как D – булева подалгебра подмножеств G является кольцом множеств, то достаточно доказать, что h(G(j₁) È G(j₂)) = h(G(j₁)) + h(G(j₂)), если G(j₁) Ç G(j₂) = Æ; j₁, j₂ Î F. Так как h(G(j₁) È G(j₂)) = h(G(j₁Új₂)) = m(j₁Új₂); h(G(j₁)) = m(j₁); h(G(j₂)) = m(j₂); G(j₁) Ç G(j₂) = G(j₁&j₂), то нам достаточно доказать, что h(j₁Új₂) = h(j₁) + h(j₂), если G(j₁&j₂) = Æ. Из определения меры m следует, что m(j₁Új₂) = m(j₁) + m(j₂) - m(j₁&j₂). Из условия леммы и определения 2.4 следует, что если G(j₁&j₂) = Æ, то m(j₁&j₂) ■

Если множество формул F совпадает с Â, то будем говорить, что класс Эрбрановых моделей G согласован с вероятностной Эрбрановой моделью M = áU, mñ, а модель M является вероятностной моделью множества возможных миров G или выборок из некоторой генеральной совокупности.