§ 42. Взаимосвязь вероятностного и логического выводов

Пусть Pr – некоторая логическая программа, факты которой содержатся среди фактов D(N) программы PR(M, N) = P(M) È D(N).

Теорема 15. Если атом A предсказывается программой Pr c оценкой h(A) > m(Aq), для любой подстановки q Î QG, то он P-предсказывается программой PR(M, N) с оценкой P-предсказания h_p(A) > h(A).

Доказательство. По условию существует успешный SLDF-вывод Aq, N₁q, ..., N_k, N_kF^{^} Î Â цели Aq в пространстве вычислений программы Pr такой, что m(Aq / N_kF^{^}) ³ h(A) > m(Aq), m(N_kF^{^}) > 0, N_k = ¬ B₁, ..., B_m; {B₁ ¬ , ..., B_m ¬ } Ì Pr,  m > 1.

Рассмотрим правило C = Aq ¬ B₁, ..., B_m. Из условия h(A) > m(Aq) ³ 0, следует что m ³ 1. Так как m(N_kF^{^}) > 0, то C Î PR0. Кроме того, m(C) ³ h(A) > m(Aq) и, следовательно, выполнено условие 1 (определение 34) наилучшего для предсказания атома A правила. Отсюда следует, что существует наилучшее для предсказания атома A правило CB и по теореме P-предсказание атома A определено и h_p(A) = m(CB). Так как правило, C удовлетворяет условию 1 (определение 34), то h_p(A) = m(CB) ³ m(C) по условию 2 этого же определения ■

Рассмотрим P-предсказание C₁ ⊏ ... ⊏ C_i ⊏ ... цели A программой PR(M, N) = P(M) È D(N) по наилучшему для предсказания атома A правилу и подстановке q, { } Ì D(N), Aq = A_iq, m(A_i) < m(C_i). Этому P-предсказанию поставим в соответствие нормализованный SLDF-вывод, который будем обозначать как SLDP(A)-вывод, ¬ Aq; ¬ ; ... ; ¬ цели Aq по правилам C_i, . По теореме 4.2 найдем оценку h полученного SLDP(A)-вывода: m(Aq / N_kF^{^}) ³ h = 1 - (1 - p)m( ) / m(N_kF^{^}) = 1 - (1 - p) = p, где p = m(C_i).

Таким образом, h(A) ³ h = m(C_i) = h_p(A). SLDP(A)-вывод цели A состоит в использовании наилучшего для предсказания атома A правила C_i и фактов D(N) программы.

Теорема 16. Если атом A предсказывается программой PR(M, N) с оценкой h(A) > m(Aq), q Î QG и P-предсказывается этой же программой с оценкой h_p(A), то h(A) = h _p(A).

Доказательство. Выше, при введении понятия SLDP(A)-вывода, было доказано, если P-предсказание атома A определено, то существует SLDP(A)-вывод атома A такой, что h(A) ³ h_p(A). Обратное неравенство h_p(A) ³ h(A) следует из теоремы, если в качестве программы Pr взять программу PR(M, N) ■

Теорема 17. Если атом A предсказывается некоторой программой Pr с оценкой h(A) > m(Aq), q Î QG, то он предсказывается программой PR(M, N) с оценкой h'(A), h'(A) ³ h(A).

Доказательство. В силу теоремы, атом A P-предсказывается программой PR(M, N) с оценкой h _p(A) ³ h(A). Из предыдущих рассуждений следует, что в этом случае существует SLDP(A)-вывод атома A программой PR(M, N) с оценкой h = h _p(A) ³ h(A) > m(Aq), q Î QG. Отсюда следует, что предсказание атома A программой PR(M, N) определено и для оценки предсказания h'(A) имеет место соотношение h'(A) ³ h = h _p(A) ■

Процесс организации вычислений запросов ¬ A₁, ...,  A_k, k ³ 2 можно охватить, обобщив понятие вероятностной закономерности на утверждения A₁& ... &A_k ¬ B₁, ..., B_l.