§ 46

§ 46. Метод обнаружения вероятностных законов

Понятие вероятностного закона требует проверки некоторых вероятностных неравенств. Проверить выполнимость этих вероятностных неравенств на выборке из серии экспериментов можно с помощью определенных статистических критериев. Предположим, что случайно и независимо в соответствии с вероятностной мерой m проведена серия экспериментов и получена выборка экспериментов Samp Ì Exp.

Для статистической проверки любой аксиомы из S нам достаточно иметь статистику – число повторений каждого события из высказывания. Получение этой статистики упрощается тем, что нам достаточно знать только статистику для всех атомов, входящих в высказывание. Статистика любого события является суммой статистик тех атомов, из которых состоит событие. Статистику для атомов можно представить в виде специального массива.

Определим массив M объема 2^к+1 в соответствии с числом атомарных формул P₀, P₁, P₂, ..., P_к в правиле (1). Значения истинности каждой атомарной формулы зададим числами 1, 0 (1 – «истина» и 0 – «ложь»). Каждый элемент массива M[i₁, ..., i_к+1], i₁, ..., i_к+1 Î {0, 1} равен числу сочетаний значений истинности i₁, ..., i_к+1 атомарных формул P₀, P₁, P₂, ..., P_к в экспериментах Samp (после фиксации интерпретации, подстановки объектов вместо переменных и определения значений истинности атомарных формул). В дальнейшем мы будем предполагать, что статистика (число случаев) любого события D булевой алгебры событий B порожденной атомарными формулами P₀, P₁, P₂, ..., P_к нам известна и будем обозначать ее через k(D).

Проверим сначала для некоторого правила C = (A₁& ... &A_к Þ A₀) вида (1), что выполнено первое условие вероятностной закономерности: что условная вероятность определена и η(A₁& ... &A_к) > 0. Для этого достаточно проверить, что k[A₁& ... &A_к] > 0. Из определения вероятности (определение 13) следует, что если k[A₁& ... &A_к] > 0, то вероятность не равна 0. На этом проверка первого условия заканчивается.

Перейдем к проверке второго условия. Рассмотрим сначала правила вида Þ , e₀, e₁ Î {0, 1}. Так как в посылке стоит только один предикатный символ , который можно удалить в процессе обобщения, то по определению вероятностного закона (определение 17) вероятность правила C = ( Þ P^e⁰) с пустой посылкой должна быть строго меньше условной вероятности правила Þ P^e⁰₀, т. е.

η( / ) > η( ).

Последнее неравенство можно переписать в виде

η( & ) > η( )* η( ).

Для проверки этого неравенства сформулируем гипотезу H₀ о независимости предикатных символов и :

H₀ : η( & ) = η( )* η( ),

против альтернатив:

H₁ : η( & ) ¹ η( )* η( ).

Эта гипотеза является сложной с одним ограничением и двумя степенями свободы [51]. Если гипотеза H₀ верна, то предикатные символы и независимы и неравенство для условной вероятности не выполнено. Тогда формула Þ не является вероятностной закономерностью. Если гипотеза H₀ неверна, то верна одна из альтернативных гипотез H₁ и тогда значения и зависимы между собой.

Гипотезу H₀ можно переформулировать также следующим образом. Пусть числа k( ) и k( ) фиксированы, а числа k( & ) и k( & ) являются независимыми случайными величинами. Тогда гипотеза H₀ является гипотезой о равенстве вероятностей в двух совокупностях [51]:

H₀ : η( & ) = η( )* η( ),

против альтернатив:

H₁ : η( & ) ¹ η( )* η( ).

Если гипотеза H₀ неверна, то верна одна из гипотез H₁, и либо η( / ) > η( ), либо η( / ) < η( ).

Если верно первое неравенство, то тестируемая формула

является вероятностной закономерностью, если второе, то не является.

По соотношениям

k( & ) > (k( )* k( )) / N,

k( & ) < (k( )*k( )) / N,

где N – общее количество экспериментов, можно определить, какое из неравенств первое или второе имеет место.

Чтобы проверить гипотезу H₀ против альтернатив H₁ воспользуемся точным критерием независимости Фишера [Там же; с. 739]. Этот критерий является равномерно наиболее мощным, несмещенным критерием как в случае проверки гипотезы о двумерной независимости, так и в случае проверки гипотезы о равенстве вероятностей в двух совокупностях [Там же; с. 742]. Применив этот критерий с некоторым доверительным уровнем a, мы получим, что,либо гипотеза H₀ верна и, следовательно, значения истинности предикатных символов и независимы и, значит, нет никакой закономерности, либо H₀ не верна и мы принимаем одну из гипотез H₁. Если гипотеза H₁ означает что, если η( & ) > η( )*η( ), то тестируемая формула является вероятностной закономерностью с доверительным уровнем a.

Рассмотрим в общем случае произвольную аксиому C = ( & … & Þ ) Î S. Сведем этот случай к предыдущему. Введем обозначения DC = { , …, }, D Ì DC (включение строгое), DC^& = & … & , D^& – конъюнкция литер из D.

Для проверки является ли аксиома С вероятностной закономерностью, надо проверить, выполняется ли для любого подмножества D (включая Æ) соотношение

η( / DC^&) > η( / D^&).

Будем рассматривать конъюнкцию D^& как одну формулу R₁ из Â(S), а конъюнкцию литер из DC \ D как другую формулу R₂ из Â(S). В случае, когда D = Æ, R₁ = true, а η( / D^&) = η( ). Тогда получим неравенство

η( / R₁&R₂) > η( / R₁).

Так как

η( / R₁&R₂) = η( &R₁&R₂) / η(R₁&R₂) = η( &R₂ / R₁) / η(R₂ / R₁),

то предыдущее неравенство перейдет в неравенство

η( &R₂ / R₁) > η(R₂ / R₁)* η( / R₁).

Так как k[A₁& ... &A_n] > 0, то η(DC&) > 0; η(R₁) > 0; η(R₂) > 0 в силу включений D Ì DC и DC \ D Ì DC. Отсюда следует, что все проделанные преобразования корректны, так как ни одна вероятность в знаменателе не равна 0.

Для проверки последнего неравенства также сформулируем гипотезу о независимости

H₀ : η( &R₂ / R₁) = η(R₂ / R₁)* η( / R₁)

против альтернатив:

H₁ : η( &R₂ / R₁) ¹ η(R₂ / R₁)*η( / R₁).

Ограничимся рассмотрением только тех событий, для которых формула R₁ истинна. Для этого определим подалгебру Â(S)(R₁) булевой алгебры Â(S), рассматривая только события на которых R₁ истинна. На этих событиях определим вероятностную меру η’(E) = η(E&R₁) / η(R₁). Тогда гипотезы H₀ и H₁ примут вид:

H₀: η’( &R₂) = η’(R₂)* η’( ),

H₁: η’( &R₂) ¹ η’(R₂)* η’( ).

Гипотеза H₀ проверяется также с помощью критерия Фишера с некоторым доверительным уровнем a.

Правило C будем вероятностным законом с доверительным уровнем a, если гипотеза H₀ отвергается с уровнем a для любого подмножества D Ì DС и принимается гипотеза H₁ с неравенством >.

Если аксиома С не является вероятным законом, то необходимо проверить не является ли какая-нибудь более общая часть аксиомы C вероятностным законом. Для этого в качестве DС надо брать последовательно все возможные подмножества D Ì DС условий посылки правила и для каждого D’ Ì D Ì DС снова проверять все гипотезы и неравенства с целью определить является ли правило с посылкой D вероятностным законом.