§ 50. Марковские цепи как «вероятностные законы» в финансах

Существуют некоторые методы прогнозирования ценных бумаг, могут быть написаны в терминах, подобных H1–H4. Марковские цепи, использующие условные вероятности (вероятности перехода), являются примерами таких методов. Две простых финансовых Марковских цепи представляют собой правила, проиллюстрированные на рис. 9:

ЕСЛИ цена акции увеличилась вчера,

ТО цена акции увеличится сегодня с вероятностью 0.7.

Точно так же другая Марковская цепь представима в виде правила:

ЕСЛИ цена акции увеличивается сегодня и уменьшалась вчера,

ТО цена акции увеличится завтра с вероятностью 0.6.

Далее мы покажем, как данный тип моделей может быть представлен логическими правилами в языке первого порядка и может быть обнаружен системой Discovery. Гипотезы H1–H4 были оценены на обучении и контроле, используя условные вероятности. Шестидневки использовались нами вместо пятидневок:

ád₁, ..., d₅, d₆ñ = áMon, Tue, Wed, Thu, Fri, Monñ, (wd(a) = wd(b) =

ád₁, ..., d₅, d₆ñ, a = a_t , a⁶_t =  a¹_t+1 = b¹_t ,

т.е. a – это некоторые шесть дней и b – следующие шесть дней, исключая субботу и воскресенье перекрывая конец a и начало b. Затем первая относительная разность той же самой целевой величины (S) была вычислена:

D_ij(a_t) = (S(a^j_t)-S(aⁱ_t))/S(aⁱ_t).

Рис. 9.

Эта переменная равна цели(a_t) пятью днями ранее. Цель(a_t) представляет собой пятидневный прогноз в отличие от D_ij(a_t), представляющей текущую динамику цены.

Пример. Предположим, что следующие условные вероятности вычислены на обучающем множестве TR:

0.31 для Правила1: (D_ij(a_t ) < D_ij(a_t+1) Þ (цель(a⁶_t ) < цель(a⁶_t+1),

0.69 для Правила2: (D_ij(a_t) < D_ij(a_t+1) Þ Ø (цель(a⁶_t ) < цель(a⁶_t+1)),

0.65 для Правила3: Ø (D_ij(a_t) < D_ij(a_t+1) Þ (цель(a⁶_t ) < цель(a⁶_t+1)),

0.35 для Правила4: Ø (D_ij(a_t) < D_ij(a_t+1) Þ Ø (цель(a⁶_t) < цель(a⁶_t+1)).

Символ « Ø » используется для отрицания. Эти правила могут быть представлены матрицей переходных вероятностей, используемых в Марковских цепях:

	Цель
D		0	1
	0	0.31	0.69
	1	0.65	0.35

Здесь, 1 обозначает «верх» для цели и дельты (D), т. е.,

(D_ij(a_t ) < D_ij(a_t+1), (цель(a⁶_t ) < цель(a⁶_t+1)),

соответственно. Точно так же 0 обозначает «вниз» для цели и D, то есть,

(D_ij(a_t ) > D_ij(a_t+1) and (target(a⁶_t ) > target(a⁶_t+1)).

Для простоты мы игнорируем случаи D_ij(a_t ) = D_ij(a_t+1) и цель(a⁶_t ) = цель(a⁶_t+1). Чтобы представить это, потребуется дополнительное состояние и большая таблица с тремя строками и тремя столбцами. Таким образом, могут быть обнаружены улучшенные вероятностные правила:

ЕСЛИ D_ij(a_t ) = D_ij(a_t+1), ТО (цель(a⁶_t ) < цель (a⁶_t+1)) с вероятностью 0.65.

ЕСЛИ D_ij(a_t ) = D_ij(a_t+1), ТО (цель (a⁶_t ) > цель (a⁶_t+1)) с вероятностью 0.30.

ЕСЛИ D_ij(a_t ) = D_ij(a_t+1), ТО (цель (a⁶_t ) = цель (a⁶_t+1)) с вероятностью 0.05.

Правило 2 может быть описано на обычном языке как:

ЕСЛИ дельта повышается, ТО цель понижается с вероятностью 0.69.

Несколько таких выражений использовалось для изучения горизонта прогноза в течение последовательных дней и недель изменением ád₁, ..., d_kñ, i, j – дней, где ád₁, ..., d_kñ расширен от 5 дней до 12 недель.