Анализ понятия «задача»
начинается в [45] с анализа понятия желания. Несмотря на то что рассуждения в приводимой ниже цитате могут показаться
слишком общими, математический результат, полученный в этой работе, является
непосредственной и точной формализацией приведенных ниже рассуждений, что и
приводит к пересмотру оснований математики.
«Я хочу пить» – что это
значит? Нет, конечно, никакой ошибки полагать, что слова «я хочу пить» означают
просто вот это, где это – определенное состояние сознания,
которое я переживаю сейчас и которое я именую жаждой. Но тогда возникает новый
вопрос: как ощущение жажды (хотения) связано с фактическим питьем
(удовлетворением хотения)? Откуда я знаю, что удовлетворить жажду можно питьем?
Содержится ли в самом переживании жажды сознание того, чем эту жажду можно
удовлетворить? Вполне вероятно, что ощущение жажды как-то включает в себя
воображаемую картину питья. Но тогда каким образом воображаемое питье содержит
информацию о фактическом питье? Ведь как бы сильно не
походила воображаемая картина на факты, все равно в фактическом питье что-то
должно быть такое, чего недоставало в воображаемом; и это отсутствующее в
воображении нечто и есть в данном случае самое существенное. Иначе мы
могли бы утолить жажду сразу – одним воображением... Возникает убеждение, что и
вообще: удовлетворение любого желания – новость. Причем в чем-то самом
существенном – абсолютная новость, эмпирический постфактум, который ни в коем
случае не был дан заранее. А вместе с тем столь же несомненно, что, когда я
хочу не просто чего-то «новенького вообще», а хочу чего-то определенного; что,
следовательно, это «чего-то» каким-то образом предопределяется характером
ощущения желания, не будучи данным мне до тех пор,
пока я только хочу и еще не удовлетворил свое хотение... Знать желание не означает
знать желаемое, а означает знать способность узнать желаемое, как только
этому представится случай. Иными словами, вы понимаете какое-либо свое желание
(а не просто «томитесь» им) только тогда, когда этому желанию вы сопоставили
чувство уверенности в том, что любое будущее состояние сознания вы сумеете
убедительным и безошибочным образом распознать как состояние удовлетворения
желания или состояние неудовлетворения... Хотя (следует еще раз подчеркнуть) при
этом я не обязательно знаю, чем это
утоление будет достигнуто. По прошлому опыту ожидаю, что водой, но, быть может,
какая-нибудь таблетка тоже утолит мою жажду» [45].
Полученный
в [Там же] вывод о том, что «знать желание не означает знать желаемое, а
означает знать способность узнать желаемое» позволяет сформулировать понятие
задачи: «Любую задачу можно
мыслить себе в терминах: «Я хочу знать...»...Поэтому
задача – частный случай желания и все сказанное о последнем относится также и к
ней. А именно мы понимаем задачу
только тогда, когда ей сопоставили обоснованное чувство уверенности в том, что
всякое состояние нашего сознания мы сумеем убедительным и безошибочным образом
распознать как такое, когда решение найдено, или как такое, когда решение не
найдено» [Там же]. Заметим, что если последнее условие не выполнено, то задача
не требует решения, так как тогда любое состояние сознания можно считать решением.
Предположим, что у нас есть
некоторый текст. Представляет ли он собой «убедительное и безошибочное»
изложение решения задачи? В математических теориях принято считать, что
«обоснованное чувство уверенности» в том, что изложение решения задачи действительно
является ее решением должно возникать только тогда, когда это изложение
является доказательством решения
задачи. Доказательство позволяет
ввести формальный критерий наличия решения задачи для «распознавания, когда
решение найдено или не найдено». Поэтому мы имеем математическую задачу только
тогда, когда у нас есть обоснованное
чувство уверенности в том, что всякое состояние нашего сознания мы сумеем
убедительным и безошибочным образом распознать, как такое когда мы имеем
доказательство решения задачи или у нас отсутствует доказательство решения
задачи. Предположим, что наши состояния сознания вместе с доказательствами
можно формализовать в рамках некоторой формальной системы S. Зададимся
вопросом: позволяет ли эта формальная система для любого текста средствами самой формальной системы S определить,
является ли он доказательством решения задачи или нет? Если такая формальная
система существует, то это означает, что она может служить формальной моделью
для постановок и решения математических задач. Этот вопрос и был формально
проанализирован в [45]. Было доказано, что только в «слабых» формальных
системах мы в состоянии средствами самой
формальной системы всегда определить, является ли некоторый текст
доказательством решения некоторой задачи или нет.
Понятие задачи позволило ее
авторам сформулировать новый подход к основаниям математики, состоящий в
радикальном изменении программы Гильберта обоснования математики. Опишем
кратко, в чем, по мнению авторов, должен состоять пересмотр программы
Гильберта: «Как известно, Гильберт считал, что, вообще говоря, не все
высказывания какой-либо математической теории имеют смысл. При этом неявно он
предполагал, что разбиение множества всех высказываний рассматриваемой теории
на осмысленные («реальные») и бессмысленные («идеальные») вполне определяется
видом самих высказываний и, следовательно, является фиксированным для всех
теорий с одним и тем же синтаксисом и сигнатурой. Согласно новой парадигме, это разбиение на осмысленные и
бессмысленные высказывания зависит не только от синтаксиса и сигнатуры
рассматриваемой теории, но и от класса задач, с которым предназначается иметь
дело этой теории. С этой точки зрения, одна и та же теория как математическое исчисление содержательно будет иметь
разные множества осмысленных высказываний, если она предназначена для обработки
разных классов задач. Иными словами, математическая теория рассматривается
просто как «резервуар» для более «бедных» формальных систем, по отдельности
«извлекаемых» из всей теории в зависимости от той или иной имеющейся задачи.
Сама по себе, безотносительно к возможным задачам (и, следовательно,
безотносительно к своей роли быть упомянутым «резервуаром»), теория не имеет
практического значения, и поэтому не представляет самостоятельного интереса
вопрос, противоречива она в целом или нет».
Но нас интересуют не только
математические задачи. Рассмотрим еще раз формулировку понятия задачи: «Мы
понимаем задачу только тогда, когда ей сопоставили обоснованное чувство
уверенности в том, что всякое состояние нашего сознания мы сумеем убедительным
и безошибочным образом распознать как такое, когда решение найдено, или как
такое, когда решение не найдено». Переформулируем понятие задачи так, чтобы не
апеллировать к состояниям сознания. Будем говорить, что задача осмысленна тогда и только тогда, когда мы имеем критерий решенности
задачи, в том смысле, что для
каждого предполагаемого решения мы в состоянии всегда определить является ли
оно решением или нет. Для математических задач таким критерием является
возможность для любого текста определить: является ли он доказательством
решения задачи или нет (это условие намного сильнее, чем просто предъявление
доказательства).
После такой переформулировки, имеющей и самостоятельный интерес, уже
нетрудно найти обобщение, связывающее ее с работой мозга. Можно заметить, что
обобщением понятия задачи, является понятие цели. Цель нельзя достичь, не имея критерия ее достижения, иначе всегда
можно считать, что она уже достигнута (поди проверь).
Хотеть чего-то – частный случай цели. Целью является удовлетворение моего
желания. Как мы увидим из теории функциональных систем, каждая потребность
организма ставит перед ним цель – удовлетворить данную потребность, при этом
критерий достижения цели фиксируется соответствующим рецепторным аппаратом.
Определим цель как
некоторый критерий наличия. Мы ставим перед собой цель только тогда, когда
определили некоторый критерий наличия и убедились, что этого наличия нет в
данный момент. При таком определении цели сразу видно, что она бессмысленна без
критерия наличия, так как без него мы не можем убедиться, что этого наличия нет
уже сейчас и, значит, цель как то, чего нет сейчас, но чего мы хотели бы иметь,
имеет смысл ставить перед собой. Такое определение цели позволяет определить
результат достижения цели (решения задачи) как то, что удовлетворит критерий
наличия, когда цель будет достигнута или задача решена. Между понятиями цели
(задачи) и результата имеется следующая связь: результат получен, когда цель
достигнута и «срабатывает» критерий наличия. Но когда цель (задача) ставится и
она еще не достигнута, мы имеем цель (задачу), но не имеем результата. Далее
понятия цели и задачи, стоящей перед организмом, будут пониматься как синонимы.
Их различное употребление будет связано только с тем, что они часто
ассоциируются с разными словами.
Определение цели парадоксально с точки зрения здравого смысла, так как критерий наличия
принципиально не требует никаких дополнительных знаний о том
как ее достичь. В частности, можно
определить цель, не определяя, ни как ее достичь, ни чем, ни когда. Эту
парадоксальность понятия цели назовем парадоксом
цели. Как мы увидим из теории функциональных систем, мозг при целенаправленном
поведении постоянно действует в условиях парадокса цели, определяя, чем, как и
когда можно достичь цели, часто не зная этого заранее, а зная только параметры
конечного результата. Поэтому теория функциональных систем и есть теория работы
мозга как системы достижения целей, т. е. основным принципом этой теории
является принцип: мозг – целеполагающая система. Изложим далее теорию
функциональных систем, показывая, во-первых, что понятие цели в нашем смысле
лучше работает и объединяет такие понятия как потребность, результат и цель и,
во-вторых, объясняя, как мозгу удается разрешать парадокс цели, определяя чем,
как и когда можно достичь цели.