§ 2. Процесс познания, основанный на теории измерений

Рассмотрим конкретно, как должен осуществляться процесс познания некоторой предметной области в соответствии с теорией.



Для этого надо сначала задать предметную область. Задание предметной области осуществляется заданием онтологии (см. рис. 1). Поэтому первый шаг в обнаружении эмпирических теорий состоит в задании онтологии.

Онтология включает:

―         систему понятий ПО, в которой формулируется и интерпретируется эмпирическая теория;

―         свойства, признаки, величины и соответствующие измерительные процедуры, интерпретируемые в системе понятий;

―         априорные и экспертные знания;

―         знания, интерпретируемые в системе понятий ПО, получаемые в процессе построения логической, количественной и конструктивной эмпирических теорий.

Мы предполагаем онтологию заданной.

1. Построение логической эмпирической теории (ЛЭТ). Для ее построения необходимо выделить логико-операционную составляющую чисел и данных в соответствии с методологическим принципом теории измерений: «свойства определяются отношениями». Для этого надо решить задачу.

Задача 1. Определить множество W интерпретируемых в системе понятий ПО отношений и операций для всех понятий, свойств, величин, и признаков онтологии и представить данные в виде многосортной эмпирической системы.

Для решения этой задачи в § 8 вводится понятие «эмпирическое содержание данных», формализуемое с помощью эмпирической аксиоматической теорией. В § 9 показано, как такие известные типы данных, как парные и множественные сравнения, матрицы упорядочений, матрицы близости и матрицы объект–признак могут быть представлены в эмпирических аксиоматических теориях многосортными эмпирическими системами. В этом же параграфе приведены результаты теории измерений, относящиеся к соответствующим отношениям и операциям. Используя данные результаты, можно для найденных отношений и операций найти системы аксиом SW, которые используются для определения числовых представлений этих величин. Эти системы аксиом включаются в априорные знания логической эмпирической теории. Из всех эмпирически интерпретируемых аксиом, как правило, можно удалить кванторы существования, вводя в них интерпретируемые (в системе понятий ПО) операции над объектами (скулемовские функции). В результате можно получить систему аксиом SW, включающую только универсальные формулы.

После определения множества отношений и операций имеющиеся данные можно представить частично определенной многосортной эмпирической системой M = áAsÎI; Wñ.

Априорные знания онтологии также нужно представить системой аксиом SW.

Экспертные знания могут быть извлечены из эксперта разными методами. Один из методов предложен и описан в § 61.

Для обнаружения логической эмпирической теории нужно определить класс формул, который будет использоваться для индуктивного вывода ЛЭТ. Отсюда возникает

Задача 2. Найти класс формул, достаточный для задания логической эмпирической теории.

В § 19 описано эмпирически проверяемое свойство эксперимента, из которого следует, что если эксперимент ему удовлетворяет, то экспериментальная зависимость представима совокупностью универсальных формул. Таким свойством является наследственность результатов эксперимента. Далее предполагаем, что измерительная процедура эмпирической аксиоматической теории обладает свойством наследственности.

Найденный класс формул дает возможность сформулировать метод обнаружения закономерностей как метод обнаружения совокупности универсальных формул по данным § 20.

Известно, что множество универсальных формул логически эквивалентно множеству формул вида

                                                     (1)

где A0,A1, …, Ak – атомарные формулы, e0,e1, …, ek = 1(0), если атомарная формула берется без отрицания (1) или с отрицанием (0).

Потому для построения метода обнаружения ЛЭТ достаточно уметь обнаруживать формулы вида (1). Экспертные и априорные знания также нужно преобразовать в совокупность формул вида (1). Потому в общем виде метод обнаружения закономерностей является методом усиления системы аксиом SW. Это ставит следующую задачу.

Задача 3. Разработать индуктивный метод обнаружения закономерностей вида (1) на данных, представленных многосортными эмпирическими системами.

Такой метод разработан и изложен в главе 3. Этот метод основан на семантическом вероятностном выводе и обладает целым рядом важных свойств. Полученная в результате применения метода логическая эмпирическая теория также обладает целым рядом важных свойств, изложенных в главе 4.

2. Построение количественной эмпирической теории (КЭТ) осуществляется на основании результатов теории измерений, дающих числовые представления величин / законов. В теории измерений найдены системы аксиом для многих физических величин и фундаментальных физических законов [129]. Если в ЛЭТ содержится какая-либо система аксиом теории измерений, то она дает числовые представления величин и функциональных зависимостей. Эти числовые представления величин и функциональных зависимостей, получаемые из систем аксиом, интерпретируемы в системе понятий ПО.

Проблема в построении КЭТ состоит в том, что далеко не для всех систем аксиом, которые могут быть получены в результате индуктивного вывода ЛЭТ, существуют соответствующие им результаты теории измерений. Кроме того, нет классификации всех возможных законов природы, что не дает гарантии в определении числового представления закона по найденной системе аксиом. Потому возникают следующие задачи.

Задача 4. Определить классификацию всех возможных законов природы.

Единственной теорией, в которой такая классификация существует, является теория физических структур (ТФС). В § 12 описывается классификация возможных законов природы, полученная в ТФС. Нами установлена связь между ТФС и теорией измерений. В § 13 для физической структуры ранга (2,2) доказывается, что из нее вытекает система аксиом аддитивной соединительной структуры теории измерений. Более того найдено алгебраическое и конструктивное представление этой физической структуры. Установленное соответствие указывает путь получения классификации всех возможных законов в теории измерений.

Задача 5. Найти обобщение теории измерений, которое бы позволяло строить числовые представления величин и законов практически для любой системы аксиом.

Такое обобщение получено путем использования теории конструктивных моделей [41; 44]. Значениями величин в этом случае являются натуральные, рациональные или другие эффективно вычислимые числа (например, коды). Теория конструктивных моделей наиболее полно отражает смысл построения числовых представлений – закодировать эмпирическую систему числами или кодами так, чтобы можно было легко и удобно по этим кодам вычислять все значения отношений и операций на эмпирической системе. В результате такой кодировки мы получаем эмпирическую теорию, которую мы назвали конструктивной.

Таким образом, по обнаруженной системе аксиом строятся либо числовые, либо конструктивные числовые представления.

3. Построение конструктивной эмпирической теории (КонЭТ). В теории измерений [68; 129] нельзя получить числовые представления некоторых величин и законов в силу ограниченности используемого в них понятия числового представления. Величины и законы, описываемые частичными порядками, толерантностями, решетками и т. д., не могут быть сильным гомоморфизмом вложены в поле вещественных чисел. Для числового представления таких величин и закономерных связей нами предложено использовать конструктивные числовые представления. Значениями величин в этом случае являются натуральные, рациональные или другие эффективно вычислимые числа (например, коды).

Понятие конструктивного числового представления, сформулирован­ное в § 15, обобщает понятие числового представления таким образом, что числовое кодирование эмпирической системы заменяется на кодирование любыми числами – действительными, натуральными и рациональными. При этом должно быть выполнено условие, чтобы на полученных кодах были определены некоторые эффективно вычислимые функции (общерекурсивные функции), точно соответствующие эмпирическим отношениям и операциям.

В § 15 приведены проблемы существования, единственности и адекватности числовых представлений, решаемые в теории измерений при построении числовых представлений. Нами сформулированы совершенно аналогичные проблемы для построения конструктивного числового представления используя ТКМ.

Понятие конструктивного числового представления делает явной идею самого числового представления – получить числовое представление эмпирической системы, с тем чтобы эффективно работать с самой эмпирической системой. Все числовые представления есть просто эффективный способ кодирования нашей операциональной деятельности во внешнем мире. Конструктивные числовые представления естественным образом интерпретируются в системе понятий качественной теории.

На примере одной их наиболее распространенных экстенсивных величин в § 18 доказано, что конструктивное числовое представление этих величин даёт конструктивное представление рациональных делений шкалы приборов этих величин.

В § 17 приведены примеры конструктивных представлений величин и законов. Примерами конструктивных числовых представлений законов являются, например, психологические тесты.

5. Цикл познания в теорией измерений. Таким образом, нами разработаны понятия и методы, позволяющие осуществлять следующий цикл познания, обозначенный на рис. 1 двойными стрелками:

―  определить онтологию предметной области;

―  извлечь из числовых представлений величин множества отношений и операций, определяющие смысл этих величин в соответствии с теорией измерений. Перевести данные в многосортные эмпирические системы, используя найденные множества отношений и операций. Перевести априорные и экспертные знания в формулы вида (1);

―  определить системы аксиом, которым удовлетворяют величины и законы;

―  найти числовые представления величин и законов в теории измерений и / или в теории конструктивных моделей;

―  проинтерпретировать полученные числовые представления в системе понятий онтологи и получить в результате систему величин связанных между собой законами как это имеет место в физике.