Пакет программ STEP+ предназначен для численного исследования автономных
систем и систем нелинейных
уравнений в зависимости от параметров моделей, часто используемых при
описании процессов в биологии,
катализе и т.д.
Предлагаемая разработка является версией под WINDOWS пакета программ
STEP[1]. Ядро пакета STEP+
универсально и дает пользователю возможность проводить численное исследование
для систем из
произвольного числа уравнений. В пакете STEP+, как и в пакете STEP, используются
оригинальные
вычислительные алгоритмы, разработанные в Институте математики СО РАН:
вариант метода продолжения
решения по параметру, метод Годунова-Булгакова определения устойчивости
матрицы (k-критерий), а
также многошаговый метод Гира переменного порядка точности[2] для решения
задачи Коши. Указанные
алгоритмы позволяют изучать в рамках модели такие нелинейные эффекты как
гистерезис, сильная
параметрическая чувствительность, возникновение автоколебаний и т.д. Подробное
описание методов
содержится в учебном пособии[1].
Пакет программ STEP+ позволяет проводить комплексное изучение автономных
систем, которое включает:
1) интегрирование автономной системы, как способ задания стартового решения
в методе продолжения по
параметру при изучении стационарных решений автономных систем. В случае
выхода на предельные циклы
имеется возможность графического представления их проекций на плоскость
или трехмерное фазовое
пространство;
Автоколебания в модели Лоренца
2) построение диаграммы стационарных решений методом продолжения по параметру
c определением областей
изменения параметра с разным числом решений. Построение диаграммы сопровождается
определением
устойчивости стационарных решений в зависимости от параметра;
Диаграмма стационарного решения модели Auxin
3) анализ диаграмм стационарных решений, позволяющий выявить бифуркационные
значения параметра
системы, при котором неустойчивое стационарное решение переходит в автоколебания,
а также области
изменения параметра, характеризующиеся самовозбуждением автоколебаний.
Диаграмма стационарного решения модели Auxin совместно с определением устойчивости
Блок-схема проведения численного исследования автономной
системы уравнений в рамках пакета STEP+
Пакет состоит из четырех основных разделов: «Создание модели», «Задача
Коши», «Стационарные решения»
и «Нелинейные системы». Для осуществления запуска расчетных программ и
задания расчетных параметров
задачи с помощью пользовательского интерфейса создана программа для генерации
DLL-библиотеки.
Благодаря специальному виду задания правых частей системы дифференциальных
уравнений, генератор
также находит аналитически матрицу Якоби правых частей системы и матрицу
производных по параметрам.
Возможности пакета STEP+ демонстрируется на моделях: 'Auxin'[3], 'Kaskad'[4] ,
'Lorenz'[4] и
'Grain'[5]. В отличие от первых трех моделей автономная система уравнений
модели возникает в
результате применения метода прямых к начально-краевой задаче для нелинейного
уравнения
параболического типа.
Пакет STEP+ реализован в среде визуального программирования Visual Basic.NET
и предназначен для
использования в операционной системе WINDOWS 2000\XP.
Литература:
1. С.И.Фадеев, С.А.Покровская, А.Ю.Березин, И.А.Гайнова. Пакет программ
STEP для численного
исследования систем нелинейных уравнений и автономных систем общего вида.
Описание работы пакета
STEP на примерах задач из учебного курса «Инженерная химия каталитических
процессов.»
2. Gear G.W. The automatic integration of ordinary differential equations
// Comm. ACM. – 1971. –
Vol. 14. – N 3. – P. 176-179.
3. В.А.Лихошвай, Н.А.Омельянчук, В.В.Миронова, С.И.Фадеев, Э.Д.Мелснис,Н.А.Колчанов,
Математическая
модель паттерна распределения ауксина в корне растения. // Онтогенез,
2007, т.38, №6, стр.1-11.
4. М.Холодниок, А.Клич, М.Кубичек, М.Марек, Методы анализа нелинейных
динамических моделей, Москва,
Мир, 1991, 366 с. (Задача 2 и Задача 10).
5. Paterson W.R., Gresswell.D.L., A simpl method for the calculation of
effectiveness factors //
Chem. Eng. Sci., 1971, v.26, p.605-616.
THE PACKAGE STEP-PLUS FOR NUMERICAL STUDY OF AUTONOMOUS SYSTEMS
