Одним из основных выводов, который можно сделать на основе предпринятого в главе 1 философско-методологического анализа современных тенденций развития оснований физики, является признание перспективности подходов, основывающихся на идеях симметрии и инвариантности при выработке обобщенных (в духе диалектической критики) фундаментальных физических и математических представлений, адекватных постнеклассическому этапу познания физической реальности. Следуя этому, можно попытаться дать обоснование понятию фундаментальной длины, которое в той или иной форме широко используется в современных физических теориях, выходящих за рамки оснований неклассической физики. В ряду актуальных задач, связанных с формированием постнеклассической физической картины мира, разработка концепции фундаментальной длины является первоочередной и узловой проблемой в силу принадлежности этого понятия к базису представлений о физической реальности¹.

Когда в теориях вводится положение о существовании фундаментальной длины, это фактически означает, что теоретиков не устраивает интерпретация ее как пустого термина (или потенциально существующей величины), - описание физических явлений при сверхвысоких энергиях нуждается в признании актуального существования фундаментальной длины как определенной величины, имеющей конечное значение (при условии традиционной параметризации совокупности длин множеством вещественных чисел).

Спецификой и методическим достоинством всех существующих теорий, явно или неявно использующих фундаментальную длину как некую конечную величину, служит возможность ограничения (“обрывания”) совокупности допустимых пространственных масштабов при описании явлений, относящихся к миру вещества и поля как особых видов материи. При этом существенно то, что создаваемые теории находятся в русле объединительной тенденции, т.е. стремятся к описанию всей вещественно-полевой реальности. Тем самым, влияние реальности, лежащей за гранью “обрывающей” длины, на процессы с участием вещества и поля предполагается принципиально несущественным. Подобная точка зрения может быть обоснованной лишь в том случае, если реальность за гранью “обрывающего” пространственного масштаба обладает существенными качественными отличиями от вещества и поля и в силу этого относительно независима. Только тогда становится логически возможным применять процедуру “обрывания”, т.е. описывать лежащий “выше” фундаментальной длины мир вещественно-полевых событий как относительно независимый и замкнутый уровень реальности. Иными словами, приходится считать, что пространственная область существования вещества и поля как определенных видов материи должна быть ограничена, и в онтологическом смысле эта граница определяется существованием фундаментальной длины. В духе философского положения о многообразии видов и форм существования материи можно полагать, что за гранью “обрывающей” длины находится пространственная область существования нового вида материи.

Заметим, что поскольку фундаментальная длина выходит за рамки тех представлений, на которых основываются преобразования Лоренца, то в формально-математическом отношении предположение о ее инвариантности должно приводить к более общей форме преобразований². Очевидно, физический смысл и математический вид соответствующих преобразований могут быть установлены только на основе определенных представлений о свойствах фундаментальной длины³. Поэтому уточнение смысла ее инвариантности на этапе рассмотрения феноменологии было бы заведомо преждевременным. Здесь можно лишь сказать, что введение фундаментальной длины, по-видимому, должно сопровождаться обобщением содержания обычного неклассического требования релятивистской инвариантности, что отвечает выводу о важной роли принципа инвариантности в построении новых теорий, развивающих основания неклассической физики (см. раздел 1.3).

Качественная особенность фундаментальной длины не позволяет рассматривать ее как характеристику вещественного объекта или кванта поля. Для вещественных объектов (и для поля в восприятии вещественного наблюдателя⁴) характерна возможность сравнения присущих им длин. Сравнение длин мыслится как принципиальная возможность определенных физических действий, преобразований объектов, например, их объединения в составной объект или разделения на составляющие. Считается, что так или иначе всю совокупность длин, характеризующих объекты вещественно-полевой реальности, можно упорядочить по признаку “больше-меньше”, сформировав тем самым “множество относительных длин”. Но как только мы начинаем рассматривать вещественно-полевой вид материи как специфическую часть реальности, ограниченную в пространственно-временном отношении, мы лишаемся возможности проводить сравнение “вещественно-полевых” длин с длинами, характеризующими другой вид материи. Поэтому фундаментальную длину мы, строго говоря, не должны мыслить как малую (или большую) величину по отношению к элементам “множества относительных длин” подобно тому, как в специальной теории относительности некорректно проводить сравнение между элементами множества относительных скоростей вещественных объектов и скоростью света. Мнение о том, что скорость света в вакууме больше всех скоростей вещественных объектов можно понимать лишь в смысле того, что она есть недостижимый (асимптотический) верхний предел физически реализуемой относительной скорости вещественных объектов. В аналогичном смысле можно понимать и фундаментальную длину, определяющую границу пространственной области существования вещества и поля. Поэтому, подразумевая под “обрывающей” длиной, которая непосредственно применяется при теоретических вычислениях, минимальный реализуемый пространственный размер вещественного объекта (или минимальную длину волны излучения), следует отличать ее от фундаментальной длины, понимаемой как недостижимый (асимптотический) нижний предел множества пространственных размеров вещественно-полевых объектов в восприятии вещественного наблюдателя (т.е. множества относительных длин).

Заметим, что данная формулировка сохраняет корректность лишь в пределах справедливости предположения о том, что проведение реального сравнения длин вещественных объектов возможно и однозначно для всей их совокупности. Не ставя под сомнение универсальность самой возможности сопоставления пространственных характеристик вещественных объектов, тем не менее мы не можем до конца быть уверенными в существовании универсального логического подхода, обеспечивающего их однозначное упорядочение по признаку “больше-меньше”⁵. Поэтому рассмотрение фундаментальной длины как нижнего предела соответствующего упорядоченного множества носит условный характер. Мы можем называть этот предел нижним, например, в рамках условия, что элементы множества относительных длин упорядочены так же, как соответствующие им элементы множества вещественных чисел (не обращая внимания на недоказанность эквивалентности этих множеств при наличии фундаментальной длины). Отметим, что все практические попытки использования в теориях “обрывающей” длины связаны с трактовкой этой длины как минимальной и причем существенно меньшей всех пространственных масштабов, доступных в настоящее время эксперименту или наблюдению. Это по существу можно рассматривать как традиционное условие соблюдения будущими теориями принципа соответствия и в то же время как определенный ориентир, необходимый на этапе поиска реальной “кандидатуры” на роль фундаментальной длины.

б) она является внешней по отношению к совокупности освоенных пространственных масштабов и определяет наличие нижней (“обрывающей”) границы пространственной области существования⁶ вещества и поля как специфических видов материи, т.е. служит асимптотическим пределом уменьшения “относительных” длин;

В современной физике совокупности всевозможных длин в математическом отношении принято ставить в соответствие множество неотрицательных вещественных чисел R⁺. Процесс разделения числа, соответствующего любой конечной длине, на части, как и обратный этому процесс составления из частей представляются потенциально бесконечными и обладают в качестве своих недостижимых (асимптотических) пределов, соответственно, нулем и бесконечностью. Эти не имеющие собственного физического смысла математические объекты обладают качественными особенностями по сравнению с конечными элементами R⁺. Главная из них заключается в инвариантности нуля и бесконечности по отношению к любым операциям, преобразованиям на множестве R⁺. Это их свойство находит проявление в том, что нуль и бесконечность в отличие от конечных (“относительных”, “неинвариантных”) чисел не удовлетворяют аксиоме Архимеда, иначе говоря, эти числа неразложимы на конечное число отличных от них частей, так же как и не образуют, будучи взятыми в качестве частей, иного целого. Нуль можно определить как минимальный инвариантный элемент⁷ множества R⁺. Формально соответствующая ему длина является минимальной инвариантной длиной. Эта “нулевая” длина обладает перечисленными свойствами б), в) и г) фундаментальной длины. Однако ее невозможно признать актуально существующей, что не позволяет рассматривать ее в качестве фундаментальной длины. Тем самым мы приходим к выводу, что результатом формализации фундаментальной длины не может служить классическое понятие нуля. В то же время, следует признать, что данное математическое понятие содержит в себе принципиальные моменты, отвечающие целому ряду свойств фундаментальной длины. Это дает основания попытаться построить абстракцию фундаментальной длины, т.е. определить новое математическое понятие как соответствующее обобщение классического понятия нуля. Для этого нам необходимо придать нулю как математическому образу потенциально существующей физической величины характерную черту, присущую математическим образам актуально существующих величин, а именно - конечность. Здесь, очевидно, потребуется использовать диалектическую методологию, позволяющую разрешить возникающее противоречие с помощью синтеза противоположных качеств в новом понятии. Таким путем мы приходим к определению нового понятия, являющегося адекватной абстракцией фундаментальной длины, - актуальному нулю⁸. По определению, это инвариантный конечный элемент множества, в асимптотическом смысле предельный для любых убывающих последовательностей, состоящих из элементов этого множества (и отображающих, например, процесс уменьшения пространственных размеров вещественных объектов). Название “актуальный нуль” множества выражает тот факт, что этот объект служит для формализации свойств актуально существующей физической величины в отличие от классического нуля (который, согласно той же логике, может быть назван “потенциальным нулем”⁹).

Актуальный нуль можно рассматривать как результат синтеза диалектических противоположностей: конечного (актуального) и нулевого (потенциального бесконечно малого), поскольку он обобщает эти качества. Обладая важными признаками конечных величин, актуальный нуль в то же время принципиально отличается от них благодаря присущему ему качеству инвариантности. Никакими преобразованиями нельзя изменить его, равно как никакое конечное преобразование не может превратить в актуальный нуль какой-либо иной элемент. Это уже не что иное как легко узнаваемые характерные черты “классического” нуля. Отрицая собою понятие конечной величины, актуальный нуль оказывается отрицанием отрицания классического понятия нуля как абсолютной “пустоты” (zero). В этой формуле подразумевается, что конечное служит отрицанием нулевого, поскольку сущность последнего выражается через бесконечное (“пустота” классического нуля олицетворяет предел потенциально бесконечного процесса уменьшения, т.е. служит воплощением потенциального бесконечно малого количества). Из этого следует, что актуальный нуль должен, по-видимому, находиться в некотором нетривиальном соотношении не только с нулем, но и собственно с бесконечностью (как пределом потенциально бесконечного процесса увеличения или воплощением бесконечно большого количества). На слияние бесконечности в максимуме и минимуме указывал Николай Кузанский, проводя принцип единства противоположностей: “...максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало”¹⁰. Сколь ни парадоксальным, на первый взгляд, выглядит подобное высказывание о связи актуального нуля не только с нулем, но и с бесконечностью, оно может быть логически обосновано и формализовано на базе нового определения числа, учитывающего актуальность фундаментальной длины (см. об этом в главе 4).

Как известно, противоположность конечного и бесконечного носит чрезвычайно общий характер и может принимать весьма разнообразные формы. Категории конечности и бесконечности тесно связаны с другими философскими категориями. Так противоположность между конечным и бесконечным традиционно находит выражение в противоположности между единичным и общим, частью и целым, формой и содержанием, действительным (актуальным) и возможным (потенциальным) и т.д.¹¹. Поэтому поиск и обоснование конкретных путей диалектического отрицания противоположности между конечным и бесконечным имеет исключительно важное значение для развития методов познания (см. главу 5).

Указанные свойства фундаментальной длины позволяют не только определить новый математический объект - актуальный нуль, - но и попытаться формализовать новые физические представления об операциях с длинами. Рассмотрим некоторые элементы алгебры с учетом свойств актуального нуля (“алгебры длин”). Предположим, что совокупность всевозможных длин, характеризующих вещество и поле, может быть универсально упорядочена с помощью соотношений “больше” и “меньше”. Результат упорядочения можно представить в форме последовательности: l₁; l₂; ... ; l_i; ... , именуемой множеством относительных длин {l_i}, где i - натуральное число (т.е. i О N). Для определенности будем полагать, что неравенство i > j означает, что l_i больше, чем l_j, i, j О N. Тогда фундаментальную длину (l₀) как актуальный нуль следует поместить левее всех l_i, учитывая ее свойства быть нижним пределом любых убывающих последовательностей элементов множества {l_i}. Полученное множество обозначим L.

Результату физической операции “складывания” длин поставим в соответствие сумму () определенных элементов множества L, результату противоположной физической операции - разбиению длины на две части - будет соответствовать разность () элементов L¹². Результат любой операции с элементами множества L должен принадлежать L. Из этого следует, что разности l_il_i не может быть поставлено в соответствие ни что иное кроме l₀ - актуального нуля множества L. Рассматривая противоположную операцию, заметим, что сумма l_il₀ соответствует l_i (в частности, сумма актуальных нулей дает актуальный нуль). Чтобы получить возможно более полное представление о свойствах операций “складывания” и “отнимания” длин при наличии фундаментальной длины, выразим эти действия через классические арифметические операции сложения и вычитания¹³:

Определение (2.1) означает, что операции являются обобщением классических операций , учитывающим актуальное существование фундаментальной длины. Видно, что результат операций совпадает с результатами обычного сложения и вычитания при замене l₀ нулевой длиной (или актуального нуля классическим), т.е. при переходе к концепции потенциальности существования фундаментальной длины. Тем самым, новые операции, согласно принципу соответствия, асимптотически приближаются к классическим при условии:

Равенство (2.1) - это способ выразить с помощью традиционного формализма совершенно новые представления о реальных свойствах физических объектов. Применение данной арифметики в методологическом отношении аналогично использованию особого правила сложения скоростей в специальной теории относительности.

Выражение (2.1) позволяет получить некоторое первоначальное представление об особенностях геометрии пространства с фундаментальной длиной (подробнее об этом см. в главе 4). Так как пространственное положение “границ” вещественных объектов благодаря существованию фундаментальной длины принципиально не может быть определено вещественным наблюдателем со сколь угодно высокой точностью (т.е. края “размыты” на величину порядка l₀), то процедура сложения двух отрезков должна предусматривать “наложение” (“перекрытие”) краев, в результате чего суммарная длина получается меньшей на величину l₀, чем была бы согласно геометрии континуального пространства. (Аналогичный эффект имеет место и при определении разности длин.) В рамках целостной концепции это феноменологическое представление обретает физический смысл, который буден ясен из дальнейшего.

Заметим, что поскольку добавление фундаментальной длины к l_i не изменяет этой длины, то, как следствие, нельзя утверждать, что длина конечного отрезка получается сложением какого-либо числа фундаментальных длин¹⁵, или что вещественный объект может быть представлен непосредственно в форме “конгломерата” неких “первообъектов”, характеризующихся фундаментальной длиной. Подобное свойство l₀ напоминает характеристику, которую И.Бернулли давал бесконечно малому. Согласно его мнению, с одной стороны, бесконечно малое не равно нулю, а с другой стороны, прибавление его к конечному числу не изменяет последнего¹⁶.

На уровне феноменологического рассмотрения проблемы фундаментальной длины оказывается затруднительным отдать предпочтение одной из возможных альтернативных схем учета ее существования при разработке нового математического формализма. Например, “А.Марх вводил элементарную длину как границу возможности измерения: “В принципе невозможно изобрести эксперимент какого-либо рода, который бы допустил различие между положением двух частиц в покое на расстоянии, которое меньше определенной границы”. По Марху, каждая точка пространства как бы окружена сферой радиуса l₀, внутри этой сферы точки пространства неразличимы. Форадори, который вместе с Мархом разрабатывал эти идеи, дал математическую интерпретацию прерывного пространства. Он рассматривал многообразие отрезков длины l₀, изоморфное многообразию точек обычного пространства. Наглядно это можно представить как отрезок, состоящий не из точек, а из отрезков l₀, которые, накладываясь друг на друга, непрерывно заполняют весь данный отрезок. В многообразии отрезков l₀, поскольку оно изоморфно обычному пространству точек, выполняются те же самые операции. Но так как оно есть многообразие не точек, а отрезков, то операции в нем выполняются с точностью до l₀.”¹⁷.

Возможно, с математической (логической) точки зрения подобный подход вполне оправдан. Учитывая данное Евклидом определение: “Точка есть то, что не имеет частей”¹⁸, под понятием точки можно подразумевать любой элементарный объект, внутренняя структура которого считается принципиально неанализируемой в рамках данной теории. Однако интерпретация элементарной длины только как принципиального предела точности измерений возводит непреодолимый предел познанию реальности и не может дать чего-либо содержательного для развития оснований физики. Последнее предполагает развитие представлений о физической сущности этой величины, обусловливая актуальность исследования природы фундаментальной длины.