4.3. Обобщенное числовое множество
Не обладая физической размерностью, угловая величина может служить основой для геометрического определения числа. Так как угловая величина выражает соотношение длин и ее свойства находятся в определенной связи с принятой моделью структуры пространства, то это позволяет определить на ее основе числовое множество, соответствующее дискретно-непрерывному характеру множеств физических величин (в частности, длин).
Рассмотрим переход от размерной формы определения операций сложения и вычитания (), определенных на множестве длин l с конечной минимальной инвариантной длиной lpl (см. раздел 2.1), к их безразмерной (числовой) форме. Традиционная процедура перехода от физической величины, например, классической длины riі 0, к ее численному выражению заключается в выборе характерного масштаба (эталона), имеющего величину ru, и установлении однозначного соответствия между отношениями (ri:ru) и вещественными числами: (ri:ru)Ю x(ri)О R.
Изменение представлений о структуре пространства сопровождается обобщением свойств протяженности, что можно попытаться отразить переходом от множества классических длин {
r}, параметризуемого с помощью R, к множеству обобщенных длин {l}. Обобщение свойств протяженности влечет за собой определение нового вида числаКак было показано в главе 2, в рамках традиционных представлений, включающих параметризацию длин множеством вещественных чисел
R, свойствами б), в), г) фундаментальной длины (см. раздел 2.1) обладает только нулевая длина r0є 0Ч ru (ru - некоторая выбранная единица длины). Чтобы удовлетворить и свойству а) фундаментальной длины, предположим, что r0 (нулевая длина) - это чрезмерно грубая идеализация фундаментальной длины, т.е. к действительности ближе актуально нулевая длина l0, которая, подобно r0, обладает алгебраическими свойствами нулевого элемента в соответствующем множестве “реальных длин” {l}, и в то же время в отличие от r0 не лишена свойства протяженности, т.е. количественно l0 не выражается с помощью классического нуля. Чтобы перейти от множества {r} идеализированных (классических) длин к множеству {l} “реальных” (или обобщенных) длин, включающему актуально нулевой элемент - фундаментальную длину l0, осуществим следующее переопределение длин: r+l0« l, т.е. r є l- l0. Как будет видно из дальнейшего, данное переопределение равносильно тому, что при параметризации множества длин мы будем использовать не множество вещественных чисел, а иное множество - “множество обобщенных чисел”. Проанализируем далее следствия этого простейшего варианта переопределения длин (их своеобразной линейной “перенормировки”).По смыслу своего определения
j pl(l) является конечной мерой неопределенности (актуальным нулем) множества угловых величин (т.е. числового подмножества множества
|
(4.1) |
что эквивалентно записи:
li ![]() |
(4.1')2 |
Чтобы служить определением обобщенной операции деления (), выражение (4.1') нуждается в установлении численного выражения для угловой величины
j pl(li) є lpl![]() |
(4.2) |
Данное выражение отвечает известному способу измерения углов с помощью дуг, которые они вырезают на окружности, являющемуся таким же древним, как и само понятие угла. Такой способ измерения был уже известен вавилонянам, от которых к нам перешла единица измерения углов
- градус. Как подчеркивается Н.Бурбаки3, “классическое определение меры угла через длину дуги круга является, конечно, не только интуитивным, но и по существу корректным”.Заметим, что определения (4.2) и (4.1') недостаточны для того, чтобы получить выражение для
j pl(li). Для этого нужно воспользоваться выражением для j min(li):
j min(li) є lmin![]() |
(4.2') |
Тогда, согласно (4.1'),
j min(li) є (lmin - lpl):(li- lpl) + j pl(li) = lpl:(li- lpl) + j pl(li) . |
(4.3) |
Из (4.3) с учетом
j min(li) = 2Ч j pl(li) можно сделать вывод, что
j pl(li) = lpl:(li- lpl) |
(4.4) |
Из выражения (4.4) видно, что: а) при
li >> lpl j pl(li) ® 0; б) при li ® lpl j pl(li) ® Ґ ; в) при li = lmin j pl(li) = 1. Как следствие (4.4), определение обобщенного числа (4.1') примет вид:
|
(4.5) |
Определение (4.5) удовлетворяет сформулированному требованию перехода в
Универсальным обезразмеривающим масштабом для величины
li может служить lmin = 2Ч lpl (но не lpl, так как физически lpl не относится ко множеству длин покоя вещественных объектов, и обезразмеривание на lpl не отвечает какому-либо реальному процессу измерения). Естественно предположить, lu є lmin (ru є lpl). Тогда выражение (4.5) для числа
|
(4.6) |
Предпочтение, отдаваемое
lmin как эталонной величине, определяется не только симметрией выражения, получаемого для числаХотя
j pl(l) является конечной минимальной величиной, тем не менее на его основе не удается непосредственно определить конечное максимальное число j max(l), так как обратное относительно j pl(l) число, соответствующее отношению lj
max(l) є lчто совпадает с определением (4.6) для числа
Заметим, что в случае
l® lmin значения j max(l) и j min(l) сближаются и при l = lmin совпадают: j max (lmin) = 2 = j min (lmin), т.е. с уменьшением характерного пространственного масштаба l до lmin все множество конечных чисел сводится к одному элементу. Этот процесс можно назвать “онтологическим” вырождением числовых множеств, определяемых на заданных пространственных масштабах. Данное математическое следствие дискретно-непрерывного характера пространства открывает возможность для выделения онтологического смысла соотношений неопределенностей и вероятностного описания в квантовой механике, поскольку при анализе арифметических соотношений величин на малых пространственно-временных масштабах необходимо учитывать “вырождение” имеющихся в нашем распоряжении числовых множеств и нарастание принципиальной неадекватности вещественного числа как средства для выражения количественных характеристик реальности.Выбор величины
lmin в качестве обезразмеривающего параметра приводит к тому, что определение (4.6) дляАнализируя смысл обобщенного числа
Во-вторых, числовое множество может использоваться для пересчета абсолютного числа (количества экземпляров, штук) объектов. Как известно, результат практического пересчета объектов зависит от того, как мы определим эти объекты, т.е. от того, по какой совокупности признаков мы будем выделять объекты, подлежащие пересчету. Чем конкретнее будет используемое определение объекта, чем
полнее информация о нем, тем меньшим окажется число таких объектов (при прочих равных условиях). И наоборот, - чем более абстрактным будет наше представление об объекте, тем большим будет число, соответствующее количеству экземпляров этого объекта (xi). Можно предположить, что при пересчете объектов числовая величина (j pl)i характеризует, насколько конкретно, полно, информативно определен объект в данном процессе пересчета, указывая на относительность результата этой процедуры. Данная интерпретация может иметь ряд интересных следствий. В частности, следует признать, что множество, объединяющее вещественные объекты, которым может быть дано единое содержательное определение, должно быть конечным. Бесконечным может быть лишь множество “объектов вообще”, которое получается в случае использования предельно абстрактного определения, полностью исключающего возможность дифференциации реальных объектов (xi ® Ґ Ю (j pl)i ® 0).Числа, являясь продуктом абстрагирования, по-видимому, должны содержать в своем определении признаки этого мыслительного процесса. Иными словами, в определении числа могут быть выделены две составляющие. Одна
- характеризующая вещественное количество описываемого множества объектов или проявляемого свойства. Эта составляющая известна как вещественное число xi О R. Другая составляющая определения обобщенного числа - (j pl)i выражает меру (степень, уровень) нашего фактического абстрагирования от объективной индивидуальности, определенности пересчитываемых объектов или от природы изучаемых свойств (т.е. от лежащего в их основе фундаментального механизма). Тем самым, (j pl)i может рассматриваться как некий показатель относительной информативности наших представлений о математически описываемом природном феномене. Обобщенные числаСущность понятия обобщенного числа, выражающего объективные свойства количества, может быть интерпретирована также и на основе диалектики категорий определенности и неопределенности. Численное выражение количества, характеризующего ту или иную сторону реальности, относящейся к миру вещественных объектов, должно учитывать как момент определенности, так и момент неопределенности, которые взаимно отрицают и взаимно полагают, обусловливают друг друга. Причем правильное понимание соотношения определенности и неопределенности, наличествующих в обобщенном числе в единстве, невозможно без представления о реальном количественно-качественном переходе, связанном с объективной ограниченностью области пространственно-временных масштабов, в пределах которой существуют вещественные объекты как специфический вид материи. Абсолютизация его (т.е. “вещественный центризм”) приводит к такой идеализации числа, количества, которая не предполагает наличия неопределенности и сводится тем самым по существу к абсолютной определенности. Таковы представления о количестве, выражаемые на основе вещественных чисел. С точки зрения материалистической диалектики, эти представления выглядят однобокими. Как отмечалось в главе 3, вещественные числа, не имея непустых непересекающихся окрестностей, по существу являются полным отрицанием неопределенности, размытости, нечеткости. Они исключают какие-либо основания для синтеза противоположных характеристик количества, т.е. имеет место отвлечение формы от содержания, лишающее число “вещественной определенности”
7. Тем самым для отражения объективной взаимосвязи категорий определенности и неопределенности, очевидно, требуются новые общенаучные понятия, и в частности, более адекватное понятие числа, одним из вариантов которого может служить рассматриваемое в настоящей главе обобщенное число8.Как видно из выражения (4.6), новые физические представления приводят к существенному изменению свойств самого числа. Например, в общем случае утрачивается всюду-взаимно-однозначное соответствие между физической величиной
l и числомl
1,2 = lplЧ [1 +Благодаря использованию
lmin как эталонной величины, для всех вещественных длин (т.е. в области lі lmin, к которой относятся длины покоя вещественных объектов) соблюдается взаимная однозначность l и
|
|
Если основываться на характеристике актуального нуля
j pl(l) как меры принципиальной неопределенности множества, то возможна иная интерпретация полученного дляНа основе полученного выражения (4.6) можно дать определения арифметических действий на числовом множестве , как обобщений классических арифметических действий на множестве вещественных чисел
|
(4.7) |
Учитывая, что сложение длин, относящихся к дискретно-непрерывному множеству, выражается через классические операции с длинами следующим образом (см. раздел 2.1):
l3 є l1(l3) = (l3 - lpl) : lpl + lpl : (l3 - lpl) = (l1 + l2 - 2Ч lpl) : lpl + lpl : (l1 + l2 - 2Ч lpl) =
= (r1 + r2) : lpl + lpl : (r1 + r2) = x(r1) + x(r2) + 1 : (x(r1) + x(r2)) .
Итак, сложение на имеет вид:
є
=
- (j pl)1 +
- (j pl)2 + 1 : (
- (j pl)1 +
- (j pl)2) = x1 + x2 + 1 : (x1 + x2),
т.е. сумма и
равна числу:
|
(4.8)10 |
Здесь вновь использованы обозначения:
Аналогично определяется операция вычитания () на
|
(4.8 ў ) |
Обобщая операции
r1Ч x2 = r3 и r1 : x2 = r3, получим:
|
(4.8 ў ў ) |
|
(4.8 ў ў ў ) |
Равенства (4.8)
- (4.8ў ў ў ) определяют арифметику на множествеМожно заметить, что задание обобщенного числа
X = x
1 = (X = x
2 = (Поэтому общий вид определений арифметических действий (4.8)
- (4.8ў ў ў ) требует уточнения13. Например, результат сложения
|
(4.9) |
где
a2 є (x1 + y1) Ч (x2 + y2) =Можно заметить, что выражение (4.9) совпадает по форме с операцией сложения на множестве с минимальным элементом
a 15, определенной по аналогии с релятивистским правилом сложения скоростей. Однако в отличие от случая, рассмотренного В.В.Коруховым, здесь число a не носит характера универсального минимума, - лишь в частном случаеОпределим число , инвариантное по отношению к арифметическим действиям, определенным на множестве
є
(
) є
+ 1 :
,
где - инвариантная величина (для множества длин это, очевидно,
По отношению к арифметическим действиям на
R наряду сЕсли определить число через
є
+ 1 :
= Ґ + 1 : Ґ ,
то можно отметить, что инвариантные числа и
, по-видимому, следует считать одним и тем же обобщенным числом
Сопоставим арифметические свойства инвариантов множеств
R и
|
(4.10) |
|
|
(4.10 ў ) |
|
|
(4.10 ў ў ) |
Поскольку на
R операции с бесконечностью, как и деление на нуль, строго говоря, не определены, то вместо знака равенства здесь использован символ ® , обозначающий условность приводимого результата. Видно, что в случае умножения (4.10) и деления (4.10ў ) новое инвариантное число =
є (
)
=
.
Если же прибавлять справа, то придем к иному результату:
=
є (
)
=
.
Очевидно, операции с не следует пытаться выражать через арифметические действия на
Полученный формальный результат
Заметим, что введение позволяет устранить имеющую место для
В отличие от инвариантов, характерных для множества вещественных чисел, новый числовой инвариант обладает ясным физическим смыслом. Он заключается в том, что число
соответствует инвариантной физической величине (например, длине или времени), которая должна быть единственной в своем множестве.
Уже сама по себе возможность устранения проблем множества вещественных чисел (связанных с нулем и бесконечностью), которая обеспечивается обобщением континуальных и дискретных представлений, свидетельствует о математической конструктивности перехода к . В методологическом и формально-логическом отношении переход от двух различных инвариантов, имеющих место для множества
є
+
.
Тем самым, новое числовое множество позволяет перейти к теоретическому описанию всей физической реальности как единого взаимосвязанного и замкнутого целого
Если вслед за Дж.Глетшоу считать, что в древнем символе мира
- Уроборосе - змее, поглощающей свой хвост, заключен глубокий физический смысл (см. главу 1), то сразу ощущается неадекватность существующего математического формализма. Двигаясь по “телу змеи” в направлении “головы” (т.е. сдвигаясь по шкале длин в сторону больших величин), мы в пределе должны достигнуть того же результата, к которому мы бы пришли, двигаясь в сторону “хвоста” (т.е. в область длин микромира)19. С точки зрения параметризации множества физических длин с помощью чисел из R подобное совпадение результатов исключено. Абсолютизация применимости множества вещественных чисел ведет к отказу от подобных целостных моделей мира. Но если справедливо расценивать аксиомы множества вещественных чисел лишь как идеализации определенного уровня, то нет причин для априорного утверждения каких-либо ограничений в разработке новых математических средств, более адекватных реальности. Множество обобщенных чиселВ отличие от , множество вещественных чисел фиксирует лишь момент неравенства величин, идея взаимоперехода между наибольшим и наименьшим никогда не сможет найти своего выражения и обоснования в рамках
Пути формирования теоретических знаний в современной физике во многом отличны от классических образцов. “Главное отличие состоит в том, что построение современных теорий начинается с поисков математического аппарата, эмпирическая конкретизация которого, по крайней мере во многих частях, вначале неизвестна. Эта интерпретация формируется позднее, уже после введения основных уравнений теории”
24. Подобная методологическая установка была характерна и для П.Дирака при введении им динамических переменных, удовлетворяющих некоммутативной алгебре. Дирак назвал их q-числами, в отличие от обыкновенных математических (т.е. вещественных) чисел. “Ранние работы с q-числами состояли просто в алгебраических преобразованиях, использующих заданную некоммутативную алгебру, и, конечно, интерпретация результатов таких действий оставалась неясной. Об интерпретации приходилось лишь догадываться, используя простые примеры. Отыскивали определенную интерпретацию, дающую правильный ответ, и эту интерпретацию обобщали и надстраивали в соответствующем направлении”25. Вначале q-числа казались Дираку “чем-то таинственным”. И лишь когда со временем “стало ясно, что q-числа всегда можно представлять в виде матриц, в их математической природе не осталось, конечно, ничего таинственного”26. Возможно, обобщенные числаВ заключение отметим, что в методологическом отношении приведенные в настоящей главе результаты принадлежат общенаучному уровню. Не настаивая на полной адекватности и непосредственной применимости наших построений к реальному микромиру, можно отметить, что результаты этого рассмотрения могут иметь определенную методологическую ценность для изучения объективных геометрических и физических закономерностей на ультрамалых пространственно-временных масштабах
28.Анализ свойств первичных математических понятий, связанных с дискретно-непрерывным пространством-временем, позволяет применить эти новые понятия, в частности, для упорядочения элементарных событий мира вещественно-полевых видов материи, которое является предметом геометрии в самом общем смысле. Поскольку в основе упорядочения событий лежит причинность, т.е. форма генетической связи между событиями, то обновление исходных математических понятий, лежащих в основе геометрии дискретно-непрерывного пространства-времени, приводит к необходимости пересмотра характера причинно-следственных отношений между элементарными событиями, а также к определенному прогрессу в понимании природы необходимого и случайного в контексте новой модели физической реальности (см. главу 2).
Упорядочение событий предполагает возможным приписать каждому элементарному пространственно-временному событию определенные числа
- координаты этого события, результатом чего является арифметизация пространства-времени. Причем принятое условие выбора среди возможных систем арифметизации предполагает, что соседние точки пространственно-временного многообразия должны отмечаться соседними числами. Тогда эти числа будут образовывать множество, свойства которого отвечают структуре пространства-времени. Простейшим примером множества, отображающего структуру дискретно-непрерывного многообразия, служит рассмотренное нами выше множество обобщенных чиселИспользование предложенных в настоящей главе представлений предопределяет наиболее простой вариант (линейного) обобщения римановой геометрии пространства-времени (особенностью которой является псевдоевклидовость в бесконечно малом) с учетом существования конечных инвариантных значений длин и временных интервалов. Отметим, что по отношению к обобщенной геометрии псевдоевклидова является “двойной” идеализацией, поскольку предполагает пренебрежение не только возможной
искривленностью пространства-времени, но и ограниченностью снизу спектра допустимых масштабов.Примечания
1
Шарыпов О.В. Проблема метризуемости и математические концепции пространства и времени. - Новосибирск, изд-е ИФиПр СО РАН, 1996.2
Если в (4.1’) под li подразумевать длины вещественных объектов в собственной инерциальной системе отсчета, то, по-видимому, определение (4.1’) даст множество чисел {3
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 165.4
Тот результат, что число5
Указанное свойство6
В данном случае речь идет об определении числа на основе свойств определенной физической величины - длины. В современной физике все величины принято параметризовать множеством вещественных чисел (хотя наличие предельной скорости и кванта действия уже принципиально ограничивает эту возможность). В истории науки известны примеры теорий, в которых длины, площади, объемы и т.д. математически рассматривались отдельно, т.е. теория величин не всегда строилась аксиоматически, сразу для всех видов величин (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 148.). Существует надежда на то, что, определенные на основе длин, обобщенные числа все же окажутся применимы и для параметризации множеств всех других физических величин, тем более, что, согласно h cG-принципу, лежащему в основе наших представлений о фундаментальной длине, ограниченными являются множества всех без исключения физических величин. В этом отношении предлагаемый здесь подход является лишь одним из возможных и наиболее “очевидных” способов определения7
Зак С.Е. Качественные изменения и структура // Вопросы философии. - 1967. - № 1. - С. 50-58.8
В понимании классиков философии, обосновавших в свое время научное понимание этой категории, количество есть объективная определенность качественно однородных явлений, составляющих неотъемлемые части данного целого, которые выражаются числом (Агудов В.В. Качество, количество, структура // Вопросы философии. - 1967. - № 1. - С. 59-68.). В этом определении неявно подразумевается априорное существование качественно однородных феноменов. Поэтому данное определение закономерно ведет к понятию вещественного числа, оставляющего “за скобкой” проблему выбора “качественно однородных объектов” из объективно данной совокупности. Обобщенные числа, по всей видимости, заполняют этот пробел в количественном выражении реальности.9
По-видимому, двузначность может проявляться только при условии относительного движения объектов в дискретно-непрерывном пространстве-времени, при котором возникает релятивистский эффект сокращения длины, и соответственно множество длин оказывается ограниченным снизу лишь величиной lpl, но не lmin. В этом случае формально получается, (j pl)i>1 что можно рассматривать как ситуацию информационной “переопределенности” события. Во всяком случае, применение чисел10
“До XIX в. ученые, по-видимому, не пытались определить сложение и умножение натуральных чисел иначе, чем путем прямого обращения к интуиции: только Лейбниц, верный своим принципам, настойчиво утверждает, что столь “очевидные истины”, как 2 + 2 = 4, не менее нуждаются в доказательствах, если поразмыслить об определениях чисел, которые туда входят; он не считал, что коммутативность сложения и умножения является само собой разумеющимся свойством.” (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 36.).11
Этим выражается момент дискретности множества12
Если формально обозначить используемую в некоторых теориях конечную “обрывающую” длину через rc є xcЧ ru (rc>r0 є 0Ч ru), то ей будет соответствовать элемент множества обобщенных длин lc « rc + lpl. Последнее выражение означает, что “обрывающая” длина lc не может совпадать с фундаментальной длиной lpl. В то же время lc должна определяться на основе lpl, ибо никакого другого универсального масштаба протяженности в нашем распоряжении нет. Заметим, что без предпринятого переопределения множества длин, т.е. в рамках множества {r} rc не может быть связана с инвариантной (нулевой) длиной r0. Тем самым приходится либо считать “обрывающую” длину rc совершенно самостоятельной особой величиной, наряду с r0, либо рассматривать rc как фундаментальную длину. Первое приводит к неоправданной избыточности представлений, так как вместо одной выделенной длины вводит две несвязанные величины. Второе приводит к тому, что длина rc, будучи одновременно “обрывающей” и фундаментальной длиной, должна и принадлежать и не принадлежать множеству длин, характеризующих мир вещественно-полевых объектов. Как “обрывающая” длина, rc обозначает минимальный размер вещественных объектов и минимальную длину волны излучения. В то же время ее абсолютная качественная выделенность как фундаментальной длины обусловливает качественную особенность характеризуемого ею объекта, его отличие от всех вещественно-полевых образований. В результате перехода к обобщенным длинам l эти противоречия снимаются: выбирая в качестве “обрывающей” длины величину lmin (lc є lmin Ю rc є lpl), мы получаем возможность, во-первых, математически описывать ее минимальным и единичным элементом числового множества13
Заметим, что поскольку порядок на множестве14
Как отмечал В. Гейзенберг, “…высказывания о явлениях могут быть выражены посредством связи между символами. Связь между символами, не согласованная с определенными правилами, не только ложна, но и вообще не имеет никакого смысла.” (Гейзенберг В. Физика и философия. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 60.). Это общее замечание В. Гейзенберга, по-видимому, может иметь непосредственное отношение к данному случаю.15
Корухов В.В. Новая модель арифметики с минимальным числом и тахионная теория относительности / Физика в конце столетия: теория и методология. - Новосибирск, изд-е ИФиПр СО РАН, 1994. - С. 42-45.16
В арифметике, определенной на множестве действительных чисел, операция деления на нуль находится под запретом. Этот запрет обусловлен тем, что принятие того или иного варианта определения этой операции приводит к логическим противоречиям следующего содержания. Для определения числа x = xi:17
Кантор Г. Труды по теории множеств. - М. : Наука, 1985.; Корухов В.В., Шарыпов О.В. Об онтологическом аспекте бесконечного // Философия науки. - 1996. - № 1 (2). - С. 27-51.18
Coish H.R. Elementary Particles in a Finite World Geometry // Physical Review. - 1959. - Vol. 114, Part 1. - P. 383.; Shapiro I.S. Weak Interactions in the Theory of Elementary Particles with Finite Space // Nuclear Physics. - 1960. - Vol. 21. - P. 474.; Zimmermann E.J. The Macroscopic Nature of Space-Time // American Journal of Physics. - 1962. - Vol. 30, № 2. - P. 97.19
Подобные качественные эффекты встречаются в проективной геометрии (однако они не несут того количественного содержания, как множество обобщенных чисел). “В абстракции проективного пространства понятия прямой, плоскости и т.д. по своему содержанию значительно отличаются от привычных представлений элементарной геометрии. Проективная прямая, например, является замкнутой линией. Если на обыкновенной прямой взять две точки A и B, то от A можно прийти к B, двигаясь только в одном определенном направлении; а на проективной прямой можно от точки A пройти к точке B, двигаясь также и в направлении противоположном. Конечно, представить себе, как выглядит такая замкнутая прямая, довольно трудно. “Правильный путь для уяснения этих понятий заключается не в том, чтобы попытаться непосредственно представить себе замкнутую прямую линию, а в усвоении того факта, что проективная прямая ведет себя так, как если бы она была замкнута.” (Юнг Дж. Проективная геометрия. - М., 1949. - C. 21.). Проективная плоскость тоже оказывается, в отличие от обыкновенной плоскости, замкнутой, ибо замкнута любая лежащая в ней прямая.” (Кузанский Николай. Сочинения, Т. 1. - М., 1979. - С. 273-274.).20
По-видимому, выражения арифметических действий на множестве обобщенных чисел и их определения, приведенные в настоящей главе, начиная с выражения (4.1), следует расценивать как наиболее простое - линейное обобщение свойств вещественных чисел, т.е. как первый член разложения по малому параметру более сложной зависимости.21
Марков М.А. Размышляя о физике… - М.: Наука, 1988. - С. 160.22
“Максимумом я называю то, больше чего ничего не может быть. Но такое преизобилие свойственно единому. Поэтому максимальность совпадает с единством, которое и есть бытие.” (Кузанский Николай. Сочинения, Т. 1. - М., 1979. - С. 51.). Ему ничего не противоположно, и такой максимум абсолютен: “Абсолютный максимум есть то единое, которое есть все; в нем все, поскольку он максимум: а поскольку ему ничто не противоположно, с ним совпадает и минимум. Тем самым он пребывает во всем; в качестве абсолюта он есть актуально все возможное бытие и не определяется ничем вещественным, тогда как от него - все.” (Там же. - С. 51-52.). ...Максимум (и минимум) не существует вне множества и вне конкретности, от которых их отделить нельзя. Они - всеобщие пределы (Разумовский О.С. Экстремальные закономерности. Категории наибольшего и наименьшего. - Новосибирск: Наука, 1988. - С. 17.).23
Вайнберг С. Первые три минуты. Современный взгляд на происхождение Вселенной. - М.: Энергоиздат, 1981. - С. 113-114.24
Степин В.С. Методология построения физической теории // Вопросы философии. - 1974. - № 12. - С. 79-89.25
Дирак П. Развитие физических представлений о Природе / В кн.: П. А. М. Дирак. Воспоминания о необычайной эпохе. / Под ред. Я.А.Смородинского. - М.: Наука, 1990. - С. 66-81. (Пер. с англ.: Dirac P. Development of the Physicist’s Conception of Nature / Ed. by J.Mehra. - Dordrecht, Holland: D.Reidel, 1973. - P. 1-14.).26
Там же. - С. 71.27
Стало привычным, что передовые теории (в том числе физические), связанные с переходом на новый качественный уровень знания, находят для себя готовый адекватный математический аппарат из числа уже существующих математических конструкций. Примером могут служить и теория относительности, и квантовая механика, и другие новейшие теории. Во всех известных случаях математическая “игра чистого разума” с абстракциями форм и количественными отношениями опережала открытие их физического содержания. В ситуации с построением единой теории это не так. Физика уже не только непосредственно стимулирует и направляет развитие существующих отраслей математики, но и указывает на актуальность совершенно не разработанных, как бы не замеченных математикой областей. Неудивительно, что алгебра и геометрия на множестве с актуальным нулем не изучались математиками даже на аксиоматическом уровне. Причина может заключаться, во-первых, в том, что на самом деле развитие математики настолько тесно связано с представлениями о реальности, что выйти за рамки классических противоположных понятий континуальности и дискретности ей было не под силу, несмотря на всю ее кажущуюся свободу. Во-вторых, развитие подобного направления математики изначально находилось бы в конфликте с господствующими законами логики, и потребовались бы весьма веские объективные стимулы для сознательного движения наперекор традициям.28
В качестве одного из возможных примеров ситуации, требующей применения свойств обобщенных чисел, можно привести следующую “апорию” неклассической физики. “…В современных уравнениях тяготения предполагается, что плотность энергии вакуума равна нулю. Если бы она не равнялась нулю, в этих уравнениях появилось бы дополнительное слагаемое - “космологический член” - с коэффициентом, который называется космологической постоянной. Анализ распределения масс во Вселенной показал, что космологическая постоянная либо равна нулю, либо неизмеримо мала, и следовательно, мала также и плотность энергии вакуума. Между тем в вакууме происходят нулевые колебания всех возможных полей. Энергия этих колебаний не только не мала, но обращается в бесконечность.” (Мигдал А.Б. Физика и философия // Вопросы философии. - 1990. - № 1. - С. 5-32.).29
Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. - М.: Наука, 1982. - С. 19.30
Заметим, что соседние числа