Сформированные выше базовые арифметические и геометрические представления для дискретно-непрерывного пространства позволяют перейти к определению некоторых соотношений и действий с объектами новой геометрии. Наиболее простой метод тут заключается в последовательном обобщении известных результатов, имеющих место в классической геометрии.

Скалярное произведение двух классических векторов AB и AC векторного пространства V традиционно определяется как:

AB Ч AC є Ѕ ABЅ Ч Ѕ ACЅ Ч cos(Р BAC).

Для треугольника ABC, определяемого векторами AB и AC, известно соотношение¹:

cos(Р BAC) = (Ѕ ABЅ² + Ѕ ACЅ² - Ѕ BCЅ²) : (2Ч Ѕ ABЅ Ч Ѕ ACЅ ) .

ABЧ AC + ABЧ AC = Ѕ ABЅ² + Ѕ ACЅ² - Ѕ BCЅ².

Геометрический смысл последнего выражения заключается в том, что оно устанавливает определенное соотношение между классическими площадями s_A є Ѕ ABЅ², s_B є Ѕ BCЅ², s_C є Ѕ ACЅ² и s є AB Ч AC є ЅABЅ Ч ЅACЅ Ч cos(Р BAC). Тогда его можно представить в виде:

Перейдем от множества классических площадей {s}, включающего сколь угодно малые величины площади вплоть до нулевой, к множеству {S}, обладающему актуально нулевым элементом - S_pl. Определим связь между s_i и S_i аналогично тому, как это было сделано для множества длин в разделе 2.1: s_i є S_i - S_pl. Тогда, обобщая закон сложения площадей s₃ = s₁ ± s₂, получим: S₃ = S₁ S₂ = S₁ ± S₂ S_pl. На основе этих определений нетрудно убедиться, что из (*) следует:

где величина S отвечает обобщенному скалярному произведению векторов. Для параметризации {s} используется множество вещественных чисел {p}, например, p_kє s_k:S_plє (r_i:l_pl)Ч (r_j:l_pl)є x_iЧ x_j. Для множества {S} необходимо использовать множество чисел {}:

 є S_kS_min є (l_il_min)(l_jl_min) = {(l_i - l_pl) : l_pl + l_pl : (l_i - l_pl)} {(l_j - l_pl) : l_pl +

+ l_pl : (l_j - l_pl)} є = x_iЧ x_j + 1 : (x_iЧ x_j) є p_k + 1 : p_k .

Видно, что числа , определенные на основе множества {S}, выражаются через вещественные числа p_k в точности так же, как и числа , определенные на основе {l}, т.е. множества {} и {} следует отождествить. Обозначим r_A є _Ѕ ABЅ , r_B є _Ѕ BCЅ , r_C є _Ѕ ACЅ , l_k є r_k + l_pl. Тогда выражение (**) можно переписать в числовой форме:

Введем определение: векторы называются ортогональными, если их обобщенное скалярное произведение S равно актуальному нулю множества {S} : S_pl є S_min. Согласно полученным выражениям, условие S = S_pl эквивалентно равенству […] =, которое выражает обобщенную теорему Пифагора:

{l_A² + l_C² - l_B² - 2 Ч l_plЧ (l_A + l_C - l_B) + (l_pl)²} : (l_pl)² = 0 (или = Ґ²),

где l_B - длина гипотенузы, l_A и l_C - длины катетов. Длины сторон треугольника удовлетворяют этому равенству, если Р BAC - прямой угол. Нетрудно заметить, что полученное соотношение оказывается справедливым и для равностороннего треугольника со сторонами, равными l_pl. Это означает, что все элементарные векторы (имеющие длину l = l_pl) взаимно ортогональны.

Если подставить в последнем равенстве l_A = l_pl, то получим: l_B = l_C. Т.е. в прямоугольном треугольнике, один из катетов которого равен l_pl, второй катет оказывается равен гипотенузе. Из этого следует, что оба угла при стороне, имеющей длину l_pl, следует считать прямыми, а треугольник - равнобедренным. Тем самым, можно сделать вывод, что элементарный вектор (т.е. вектор с длиной l_pl) ортогонален любому произвольному вектору из V. Этим элементарный вектор воспроизводит известное свойство нулевого вектора в геометрии непрерывного пространства³. В то же время все элементарные векторы колинеарны между собой, так как удовлетворяют определению колинеарных векторов: их скалярное произведение S равно произведению их длин l_A l_C (поскольку и то и другое равно S_pl є (l_pl)²). В этом проявляется своеобразие геометрии на планковских масштабах: традиционные противоположные понятия при l ® l_pl постепенно сближаются и полностью утрачивают различия в пределе l = l_pl.