ЛОГИКА И СВОБОДА

Математика — древнейшая наука. Однако сначала было слово. Полезно помнить, что старинный «логос» живëт не в грамматике, а в логике и логистике. Порядок в мыслях и порядок хранения — драгоценные дары наших пращуров.

На интеллектуальном поле не действует закон убывающего плодородия. Чем больше мы узнаëм, тем значительнее становится граница с незнаемым, тем чаще мы сталкиваемся с неведомым. ХХ век обогатил наши геометрические представления понятиями пространства-времени и фрактальности. Каждое конкретное знание — это событие, элемент пространства Минковского. Познанное нами образует явно ограниченное множество знаний. Рубежи науки составляют границу познанного с неведомым, которая несомненно фрактальна, и у нас нет никаких оснований предполагать еë спрямляемость или измеримость. Стоит при этом отметить, что маршруты к передовым границам науки, прокладываемые преподавателями в сфере образования, достаточно гладкие. Педагогика не любит скачков и резкой смены сложившейся парадигмы. Возможно, что эти топологические препятствия отражают объективные трудности модернизации образования.

Не счесть доказательств фрактальности границы знания и незнания. Среди них такие негативные явления, как безудержный рост псевдонауки, мистицизма и иных форм мракобесия, заползающих во все лакуны непознанного. Проявлениями фрактальности служат также самые неожиданные, прекрасные и поразительные взаимосвязи внешне далеких отраслей и разделов науки.

Революционные изменения математики на рубеже XIX и XX веков связаны не только с новым исчислением бесконечности, созданным Кантором в его теории множеств. Не меньшее значение имело становление и развитие математической логики, подвергшей строгому анализу сам процесс математического доказательства. Разрешимость и неразрешимость, доказуемость и недоказуемость, противоречивость и непротиворечивость вошли в исследовательский лексикон совершенного математика. Математика стала рефлексивной наукой, занятой не только поиском истины, но и изучающей собственные способы ее поиска.

Логика Аристотеля, апории Зенона, бритва Вильяма из Оккама, осел Буридана, Calculemus Лейбница и алгебры Буля — выдающиеся достижения человеческого гения, осветившие дорогу к новому этапу логических исследований. Фреге обессмертил свое имя, создав исчисление предикатов — основу современной математической логики.

XX век отмечен стремительным проникновением идей математической логики во многие разделы науки и техники. Логика не только организует и упорядочивает мышление, но и освобождает нас от догматизма при выборе объектов и методов математического анализа. Логика наших дней — важнейший инструмент и институт математической свободы.

С. Кутателадзе

2 октября 2006 г.