ЛЕЙБНИЦЕВО ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОНАДЫ

                     С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ

Аннотация. Краткое обсуждение определения монады, дан­ного Г. В. Лейбницем в его «Монадологии».

Приобретенные признаки не наследуются. Этот закон генети­ки определяет многие стороны общественной жизни. Человечество создает и поддерживает сложнейшие социальные институты, при­званные передать новым поколениям людей опыт их предков. Как биологические особи мы не сильно отличаемся от своих палеоли­тических предшественников. Это дает надежды правильно понять мысли, оставленные нам великими умами прошедших эпох.

Мировоззрение Лейбница, отраженное в его сочинениях, зани­мает уникальное место в человеческой культуре. Трудно найти в философских трудах его предшественников и более поздних мыслителей нечто сопоставимое с фантасмагорическими представ­лениями о монадах, особых и удивительных, неизменных и многообразных конструктах мира и мысли, предваряющих, состав­ляющих и содержащих в себе все бесконечные проявления суще­го. «Монадология» [1] обычно датируется 1714 годом. При жизни Лейбница это эссе никогда не издавалось. Более того, приня­то считать, что сам термин «монада» в его бумагах появляется с 1690 года, когда он уже был сложившимся знаменитым учёным.

Особое внимание к природе термина «монада» и придание спе­циального значения дате его появления в сочинениях Лейбница — типичные продукты нового времени. Мало кто из образованных людей наших дней не сталкивался с основными понятиями пла­ниметрии и не слыхал о Евклиде. Однако никто на школьной скамье не знакомился с понятием «монада». Доступные перево­ды «Начал» Евклида и популярные школьные учебники геометрии этот термин не содержат. Между тем понятие «монада» относится к числу первичных не только в геометрии Евклида, но и во всей науке Древней Эллады.

По Определению I Книги VII «Начал» Евклида [2] монада — «есть [то] через что каждое из существующих считается единым». Евклид тут же дает Определение II: «Число же — множество, со­ставленное из монад». В известных переводах трактата Евклида вместо термина «монада» используется слово «единица».

Современному читателю трудно понять, почему выдающийся скеп­тик третьего века Секст Эмпирик [3] при изложении математиче­ских воззрений своих предшественников пишет: «Пифагор говорил, что началом сущего является монада, по причастности к которой каждое из сущего называется одним». И далее: «точка устроена по типу монады, ведь, как монада есть нечто неделимое, так и точка, и, как монада есть некое начало в числах, так и точка есть некое начало в линиях». А вот еще суждение того же рода, которое совсем несложно принять за цитату из «Монадологии»: «единое, посколь­ку оно есть единое, неделимо, и монада, поскольку она есть монада, не делится. Или если она делится на много частей, она становится совокупностью многих монад, а уже не [просто] монадою».

Стоит пояснить, что древние понимали особый статут начала счета. Для того чтобы перечислять, надо обособить перечисляемые сущности и только потом сопоставить их с символическим рядом числительных. Мы приступаем к счету тем, что «многое делаем единым». Особая роль акта начала счета нашла отражение в почти тысячелетнем диспуте о том, считать единицу (или монаду) нату­ральным числом или нет. Сейчас нам кажется чрезмерной особая щепетильность в выделении специальной роли единицы-монады как акта начала счета. Между тем так было далеко не всегда.

Со времен Евклида все серьезные учёные знали о существовании двух различных первичных понятия математики — точки и мона­ды. По Определению I Книги I Евклида «точка есть то, что не имеет частей». Видно, что это определение совершенно отлично от определения монады, которая многое делает единым. Начальный элемент геометрии совсем не тот, что исходный пункт арифметики. Без понимания этого обстоятельства трудно осознать природу воз­зрений Лейбница. Кстати сказать, в современной теории множеств «то, что не имеет частей» — это так называемое пустое множество, исходный пункт универсума фон Неймана. Специального матема­тического понятия, выражаемого словами «то, что многое делает единым», сейчас, пожалуй, нет. О современном определении монад в математике речь пойдет несколько ниже.

Пытаясь понять ход мысли Лейбница, следует помнить, что сам он — математик по убеждениям. С раннего детства Лейбниц меч­тал о «некоторого рода исчислении», оперирующем в «алфавите  человеческих мыслей» и обладающим тем же совершенством, что математика достигла в решении арифметических и геометриче­ских задач. Созданию такого универсального логического аппарата Лейбниц посвятил немало сочинений. Разнообразие и даже поляр­ность оценок этих сочинений сопутствуют общей оценке Лейбница как ключевой фигуры предыстории современной математической логики. Монадология стоит в одном ряду с классическими дости­жениями Лейбница, которые мы выражаем словами calculemus и differentia.

Лейбниц отмечал свою любовь и преданность ма­тематике. Он неустанно подчеркивал, что его общие методические установки имеют основой «исследование способов анализа в мате­матике, которой я предавался с таким рвением, что не знаю, многие ли сегодня найдутся, кто вложил ли в нее больше труда».

Первоклассный математик, Лейбниц безусловно владел геомет­рией Евклида. Именно поэтому в «Монадологии» Лейбница особенно поражает уже раздел 1, дающий исходное представление о монаде: «Монада, о которой мы будем здесь говорить, есть не что иное, как простая субстанция, которая входит в состав слож­ных; простая, значит, не имеющая частей». Это определение мо­нады как «простой» субстанции, не имеющей частей, совпадает с евклидовым определением точки. В то же время разговор о слож­ной субстанции, составленной из монад, напоминает по структуре определение числа, данное Евклидом.

Синтез двух первичных определений Евклида в лейбницевой мо­наде не случаен. Следует помнить, что семнадцатый век — это эпо­ха микроскопа. Уже в 1610 годах во многих странах Европы началось его массовое изготовление. С 1660 годов Европа очарована микроскопом Левенгука.

Проведем мысленный эксперимент и направим сильный микроскоп в район некоторой точки на математической прямой. Тогда в окуляре мы увидим расплывшееся облачко с неясными краями, представляющее образ этой точки. Точка приобретет размеры — станет «монадой». При выборе объектива с еще большей степенью увеличения наблюдаемый нами кусочек «точки-монады» детализируется, станет крупнее и частично выйдет из поля зрения. При этом всякий раз мы имеем дело с одним и тем же числом, которое, если угодно, в некотором смысле и задается приведенным процессом «изучения микроструктуры прямой». Разглядывание точки под микроскопом выявляет ее природу как монады. Так или примерно так мог бы рассуждать и Лейбниц. Во всяком случае, представление о монаде стандартного вещественного числа, как о совокупности всех бесконечно близких к нему чисел, является общепринятым в инфинитезимальном анализе наших дней, возрожденном А. Робинсоном в 1961 году под именем «нестандартный анализ».

Список литературы

[1] Лейбниц Г. В. (1982) Сочинения. Т. 1. М.: Мысль, 413-428.

[2] Евклид (1949) Начала. В трех томах. М.; Л.: Гостехиздат.

[3]  Секст Эмпирик (1976) Сочинения. Т. 1. М.: Мысль.

[4] Robinson A. (1996) Non-Standard Analysis. Princeton: Princeton University Press.

Институт математики им. С. Л. Соболева

Новосибирск

E-mail address:    sskut@math.nsc.ru

Опубликовано в NeuroQuantology, 2006, V. 4, No. 3, 249–251.