Важнейшая составляющая процесса воспитания и передачи знаний — номинация. Номинация не есть дефиниция. Под определением принято понимать описание нового через уже известные элементы. Номинация — именование, исходный пункт любой дефиниции. Разумеется, границы между номинацией и дефиницией достаточно зыбки и условны.
Ребенок, сталкиваясь с незнакомым животным в зоопарке, спрашивает: «Кто это?». Ответ «опоссум» его обычно вполне удовлетворяет. Звуки слова «опоссум» маленькому человеку хорошо известны. Имя отождествлено с новым образом и этого знания уже достаточно. Для взрослого определением опоссума станет текст в стиле: «млекопитающее инфракласса сумчатых; длина тела 7–50 см, хвоста 4–55 см». Не исключено, что подход ребенка вполне оправдан и не менее целесообразен на пути познания жизни, чем поведение взрослого.
Процесс знакомства или представления незнакомых людей друг другу во многом напоминает встречу ребенка с опоссумом. Фраза «Знакомьтесь, Джо Блэк» не несла никакой информации о Брэде Питте до знаменитого фильма Мартина Бреста. Имя впервые встреченного человека важно, но малоинформативно. По имени человека можно однозначно восстановить лишь набор всех тезок незнакомца. С точки зрения налогового ведомства только номер карты социального страхования в США или реквизиты паспорта в России служат подлинным определением налогоплательщика. В то же время редкий педант, представляя своего знакомого, назовет номер его карточки социального страхования.
Наука немыслима без понятий. Понятия уточняются и развиваются в определениях. Функционирование науки в известном смысле как раз и состоит в развитии понятий. Нет оснований считать, что внутри науки действуют иные варианты закономерностей номинации и дефиниции, чем в простейшем примере встречи ребенка с опоссумом.
Дефиниция рациональна, а номинация — универсальна. Не случайно номинация играет важнейшую роль в разных проявлениях мистицизма, оккультизма и религии. Лексикон науки — ее понятия. Эволюция понятий науки — важный исторический свидетель, способный донести до нас многие приметы ушедшего времени. Следы каждой эпохи отражены в самых абстрактных ее понятиях. Вне исторического контекста невозможно правильно понять не только устоявшиеся, но и современные понятия вроде нанотехнологии и квантовой логики.
Интеллектуальная преемственность — бесценный дар, позволяющий нам сохранять опыт далеких предков. Первый трансфинитный акт человечества — рождение идеи всей совокупности натуральных чисел. От сочинений Аристотеля и «Псаммита» Архимеда идея актуальной бесконечности в центре интеллектуальных поисков учёных всех времен и народов. Монады Лейбница и флюксии и флюэнты Ньютона — продукты героической эпохи телескопа и микроскопа. Универсум фон Неймана, возникший в середине XX века, реализует пифагорейский тезис «все есть число». Измерение бесконечности числом — суть гениальных работ Кантора. Так из палеолита до наших дней дошли загадки и номинанты разума.
Истоки современной науки мы находим в Древней Греции. Сочинения Евклида — важнейший первоисточник научной традиции. Геометрию со времен античности интересуют как качественные, так и количественные свойства пространственных форм и отношений. Пример качественных геометрических знаний дают признаки равенства треугольников. Нахождение площадей, длин и объемов — образцы количественных исследований. Выдающимся открытием евклидовой геометрии стала несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Именно тогда наука впервые столкнулась с проблемой исчисления континуума. Обнаружив, что никакой общей меры у стороны и диагонали квадрата нет, наши предки поняли, что рациональных чисел недостаточно для осуществления измерений на практике. Полезно помнить, что рациональных чисел столько же, сколько и натуральных. При этом рациональные числа заполняют счетное множество, то есть служат разновидностью того же кардинала, которым мы сегодня характеризуем запас элементов натурального ряда. Вековая идея потенциальной бесконечности, открытая в форме последовательно продолжающегося счета, оказалась недостаточной для количественных расчетов геометрии. Открытие несоизмеримости стороны и диагонали квадрата такая же высочайшая вершина математики, как и независимость пятого постулата, аксиомы выбора или гипотезы континуума.
Определения «Начал» Евклида, величайшей научной книги в истории человечества, отражают геометрическое видение мира той эпохи. Геометрия — часть культуры древнего мира, призванная обслуживать разнообразные человеческие потребности. Ее мистические, познавательные и экономические источники сосуществовали в едином культурном пространстве человека добиблейских времен. Важным источником геометрии было землеустройство, составление кадастров для целей регулярного налогообложения. Знаменитые гарпедонапты Египта были налоговыми служащими и использовали веревку для обмера земельных наделов. Навыки гарпедонаптов использовались и в строительстве. Пирамиды были построены задолго до абстрактного геометрического определения их формы. Нельзя не видеть, что веревка, туго натянутая между двумя колышками, — предтеча отрезка прямой линии, то есть континуума современной математики. Проблема континуума, немало занимавшая первые математические умы XX века, — тень практической задачи соизмерения отрезков.
Удивительна история пришедших к нам из глубины веков абстрактных геометрических понятий точки, числа, фигуры и тела. Мы редко отдаем себе отчет в том, что школьные арифметика и геометрия — жемчужины интеллектуального наследия наших пращуров. Нет современного человека, который не знает, что такое треугольник. Однако мало людей владеют определением этого понятия. Это далеко не случайно — такого определения нет у Евклида. Он говорит о трехсторонних фигурах, поясняя, что «фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ». Ясно, что это определение навеяно технологией тогдашнего землеустройства. Полезно отметить, что институт собственности много древнее геометрии. Измерять участок, находясь за его пределами — это одно, а заходить внутрь надела — дело совсем иное. Не меньше ограничений было у древних гарпедонаптов при обмере строительных сооружений, таких как пирамиды. Ясно, что о внутреннем устройстве пирамиды Хеопса ее смотрители старались не задумываться или, во всяком случае, не упоминать о нем публично.
Используя современные термины, мы говорим, что Евклид рассматривал выпуклые фигуры и тела. С нашей точки зрения понятие выпуклости вполне элементарно. Часть плоскости или пространства является выпуклой, если ни один отрезок, соединяющий любые две ее точки, не выходит за пределы изучаемого объекта. Удивительно, что такому определению, недалеко уходящему от языка Евклида, чуть более ста лет. Треугольник в современной математике принято определять как выпуклую оболочку трех точек, то есть как наименьшую выпуклую фигуру, содержащую эти точки. Если вбить в землю три колышка и стянуть лассо, петля которого охватывает эти колышки, мы очертим треугольник. Так делали и гарпедонапты, однако внутренность измеряемого участка могла быть недоступна, ибо представляла собой чужой надел. Собственность и в наши дни можно измерить и обложить налогом, а вот попытка натягивать веревки внутри чужого участка — это покушение на частную собственность. Определения Евклида — живые свидетели древних экономических отношений.
Математика — первая наука человека разумного. Homo sapiens осознает внешний мир и себя такими физиологическими способами, которые связаны с возможностью перечисления отдельных предметов и различения их формы. Отвлеченные формы и отношения, используемые человеческим мышлением, и являются изначальными предметами научной номинации и определения. Тысячи лет геометрия Евклида служит образцом для рационального творчества. Современная наука обладает сотнями новых теорий, номинирует и определяет тысячи новых объектов и понятий, не известных Евклиду. Однако метод научного исследования по сути остался неизменным. Евклид с такой же легкостью овладел бы сейчас началами любой приглянувшейся ему современной дисциплины, с какой дети всех рас и национальностей мира овладевают азами геометрии, носящей его имя.
Преемственность поколений — залог бессмертия науки.
12 сентября 2007 года
| English Page |
Russian Page |