Европейская цивилизация отсчитывает новую эру от рождества Христова. Расположение нуля на временной оси — вещь малозначительная. Гораздо большее воздействие на современное мировоззрение оказало библейское учение о богоподобности человека. Жители дохристианских цивилизаций редко рассматриваются такими же богоподобными, как современные люди. Между тем молекулярная генетика доказала, что как биологические особи мы не слишком отличаемся от своих пращуров.
Наиболее древние останки анатомически современного человека, найденные в Африке, датированы серединой второй сотни тысяч лет до нашей эры. Считать наших предков более глупыми существами, чем мы, значит уподобляться верхоглядам, ставящим себя выше Ньютона и Бора на том зыбком основании, что первые сочинения классиков читали, а классики ничего не слыхали не только про наших верхоглядов, но и про чудесные жидко-кристаллические дисплеи. Образованность — великое достоинство, но никаких природных качеств образование нам, к сожалению, не добавляет. Наши палеолитические предки обладали теми же умственными способностями, что и мы. Именно это обстоятельство дает надежду правильно понять и воссоздать их интеллектуальные достижения спустя многие тысячелетия.
Сознание и мышление начинаются с фиксации тождества и различия: я и не я, мать и отец, мокро и сухо.
Различия по ощущениям бывают двух сортов — качественные и количественные. Слово «качество» происходит от латинского «qualis», т. е. «какого рода». Слово «количество» — от латинского «quantus», т. е. «как велико», «сколь много». Качественные различия мы выражаем вариантами слов «такое же» и «другое». Различия другого типа — количественные — связаны со словами «столько же» и «не столько», «больше» и «меньше».
Качественные различия трудно соизмерять и градуировать. Меры различных качеств — вещь весьма таинственная даже для современного человека. Как правило, мы пользуемся всего тремя общими градациями, например «такое же мягкое», «мягче» и «самое мягкое». Количественные различия проще поддаются более тонкому и детальному анализу. Аппаратом такого анализа служат числа. В самом общем смысле число — это мера количества.
Человек обладает даром счета. Счет простых количеств осуществляется с помощью натуральных чисел. Как отметил А.Пуанкаре: «Единственный естественный предмет математической мысли есть целое число». Важнейшая особенность счета — возможность его повторения, объективной проверки правильности и достоверности результата счета. Доказательный счет представляет искусство исчисления, которое принято называть математикой.
Простейшими приемами исчисления люди заведомо владеют около 30 000 лет. Первые материальные свидетельства искусства счета — кости с правильно расположенными зарубками — археология относит к верхнему палеолиту.
Зарубки ставятся в определенной последовательности, то есть связаны с некоторым упорядочением. Иначе говоря, человек овладевал искусством счета с помощью инструмента, который в современной математике называют ординальными числами. Чрезвычайно важно подчеркнуть, что фиксация количества с помощью зарубок существенно изменяет самый смысл последовательного счета. Счет с фиксированием зарубок отделяется от личности считающего и обеспечивает безупречную процедуру объективной проверки результата — пересчет по зарубкам. Новая процедура является доказательной, давая абсолютно верный результат. Таким образом, с древнейших времен математика вошла в жизнь людей как искусство доказательных вычислений.
Мы редко задумываемся о том, что археологическая кость с зарубками такая же неотъемлемая часть нашей культуры как Интернет. В качестве яркой иллюстрации стоит напомнить о традиции вести счет в английском казначействе с помощью зарубок на специальных палках, бирках. Эти бирки были упразднены только в 1826 году, но продолжали храниться в Вестминстере до 1843 года, когда их стали сжигать в одной из печей палаты лордов. В результате возник пожар, уничтоживший как палату лордов, так и палату общин. Чарльз Диккенс высмеивал современных ему бюрократов, бичуя их за этот дикий эпизод в своей знаменитой речи от 27 июня 1855 года в Ассоциации по проведению реформы управления страной.
Английский термин «stockholder», знакомый любому финансисту наших дней, происходит от слова stock, которым в средние века именовали более длинную часть разрубленной бирки с засечками, указывающими сумму, которую сохранял человек или банк, давший ее в долг. Использование бирок в качестве юридического документа в финансовых сделках подтверждает безусловную доказательную силу древнего метода счета с помощью зарубок.
Среди человеческих артефактов эпохи неолита в Мессопотамии найдены глиняные токены — абстрактные фигурки разных геометрических форм. Принято считать, что эти токены использовались для учёта разного вида имущества — голов скота, коробов зерна, сосудов с маслом и т. п. К пятому тысячелетию до нашей эры относят появление булл — специальных, часто шарообразных емкостей, содержащих токены. Эти буллы могли использоваться для более полных форм контроля, например, как накладные документы. Булла, наполненная токенами, представляет собой материальный символ кардинального числа. Таким образом, уже в каменном веке человек владел тонким искусством ординального и кардинального счета.
В пластах несколько более позднего периода найдены буллы, на поверхности которых выдавлены отпечатки вложенных внутрь токенов. Такая мера позволяла осуществлять дополнительную проверку правильности счета с помощью токенов данной буллы. По теории Денизы Шмандт-Бессера буллы с дополнительными оттисками токенов на внешней поверхности служат материальными свидетельствами зарождения клинописи.
Любопытно, что назначение булл долгое время оставалось загадкой. К счастью, при раскопках Нузи (древнего урартского города на месте нынешнего Киркука в Ираке) была обнаружена примечательная булла, датируемая 1500 годом до нашей эры. На этой булле имелась надпись: «Камни: 21 племенная овца, 8 баранов, 6 овечек, 4 ягненка, 6 племенных коз, 1 козел, 2 козочки. Печать Зигарру». Внутри этой буллы было ровно 48 токенов.
Дальнейшее развитие математики в Мессопотамии и Египте отмечено отсутствием тяги к абстракции и скучными чертами крайнего утилитаризма. Дошедшие до нас из тех мест и времен письменные тексты по математике посвящены конкретным частным проблемам. Сколь-либо абстрактные задачи не ставятся, а общие закономерности и приемы никогда не формулируются. Доказательств вовсе нет, а их место занимают примитивные предписания. Хотя искусство счета быстро развивалось, было существенно усовершенствовано и дополнено приемами измерения фигур, математика оставалась ремеслом и искусством.
Наукой, то есть системой знаний и основанных на них представлений, математика стала в Древней Элладе. Греки обогатили интеллектуальный инструментарий человечества аксиоматическим методом и особым исчислением пространственных форм, которое мы теперь именуем евклидовой геометрией. Сочинение Евклида «Начала» — чудесный феномен античной культуры, одно из самых прекрасных и вечных свершений человеческого гения. Евклид придал математике безупречную форму науки, основанной на доказательствах. Математическое доказательство стало обязательным элементом поиска истины. Новая революционная технология познания отличает математику Евклида от достижений всех предшественников из Египта, Вавилонии, Урарту и от творений Фалеса и Пифагора, живших всего за двести лет до Евклида. Методология и стиль Евклида благоденствуют уже два с половиной тысячелетия, по-прежнему привлекая необыкновенной красотой удивительного сочетания лапидарности, точности, достоверности и объективности.
Со времен Евклида до наших дней математика — наука исчислений и доказательств.
5 апреля 2006 г.
| English Page |
Russian Page |