Ни традиции обучения, ни отсутствие подходящих учебников не объясняют малого влияния современных идей математического анализа на преподавание. Настоящая причина здесь в том, что место понятия бесконечно малой величины в науке капитально изменилось.
Корни анализа исходят из атомистических идей античности. Представление об атоме как о неделимой материальной частице сочеталось с представлением о последней воображаемой составляющей идей о Вселенной. Эти двойственные представления нашли отражение в первичных математических понятиях «Элементов» Евклида: точка — атом геометрии — это то, что не имеет частей, а монада — атом арифметики — то, посредством чего каждое существующее считается единым.
Взгляды на мироздание века телескопа и микроскопа привели к появлению двух форм дифференциального и интегрального исчисления. Лейбницева монадология и ньютонов метод первых и последних отношений отражают двойственную природу древних представлений о микрокосме.
В современном анализе по-новому реализуется восходящая к древним идея актуальной инфинитезимали, которая в своём историческом развитии была заменена понятием исчезающей переменной величины в середине XIX века. Недоверие к актуальным бесконечным величинам в математике нарастало в связи с трудностями их формального обоснования. В рамках теоретико-множественной концепции в начале XX века сложилось довольно догматическое суждение о принципиальной невозможности реабилитации актуальной бесконечности и с середины тридцатых до начала шестидесятых годов прошлого века актуально бесконечные величины в математике были запрещены как некорректные, а понятие предела было объявлено единственным инструментом строгого обоснования анализа. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в физике и других разделах естествознания, невзирая на произвольные математические запреты. Последние, к счастью, просуществовали недолго и были парадоксальным образом разрушены, когда появилось первое современное изложение инфинитезимальных методов, данное Робинсоном, причем именно в рамках теоретико-множественной установки, ставшей уже классической к тому времени.
Робинсонов анализ прекрасно объединяет и завершает двухтысячелетнее развитие старых воззрений, прокладывая наилучший путь к классическому дифференциальному и интегральному исчислению. В наши дни нестандартный анализ стали понимать шире — как общий математический метод, основанный на представлениях об актуально бесконечных величинах. Сейчас нестандартный анализ строится в рамках новых аксиоматик, среди которых наиболее распространены теория внутренних множеств Нельсона и теория внешних множеств Каваи. Эти теории строятся на формализации идей, восходящих к древнейшим представлениям о различии актуальной и потенциальнй бесконечностей. Указанные теории являются консервативными расширениями теории Цермело — Френкеля, имея тот же статус строгости и достоверности при рассмотрении их как претендентов на обоснование математики. При этом новые теории обладают несравненно более широкими возможностями.
Содержательным исходным пунктом аксиоматики нестандартного анализа является представление о том, что в каждом математическом объекте могут быть элементы только двух типов. Элементы первого типа доступны нам или прямым или потенциально бесконечным способом в том смысле, что мы можем или указать такие элементы непосредственно или доказать их существование и единственность, используя уже имеющиеся в нашем распоряжении доступные объекты. Элементы первого типа называют стандартными, а прочие — нестандартными. Нестандартный анализ постулирует, что в каждом бесконечном множестве объектов имеется хотя бы один нестандартный элемент — принцип идеализации. При этом стандартных объектов достаточно для изучения классических математических свойств любых объектов — принцип переноса. Имеется также возможность задавать стандартные объекты, отбирая стандартные элементы с заданным свойством — принцип стандартизации. Варианты этих принципов присутствуют во всех аксиоматиках нестандартного анализа.
Важно осознать, что нестандартный анализ использует новое первичное понятие — свойство объекта быть или не быть стандартным. В «стандартной» математике эта вещь невыразима и поэтому в ней нельзя говорить об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых постоянных величинах. При этом формальная теория нестандартного анализа представляет собой консервативное расширение классической. То есть любое суждение классической математики, доказанное с помощью нестандартного анализа, может быть установлено и без использования новых методов.
В то же время нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные обычной математике. Можно сказать, что нестандартный анализ изучает ровно те же математические объекты, что и вся математика в целом. Однако в каждом объекте он видит дополнительную внутреннюю структуру, которая обычной математикой полностью игнорируется. Иногда метод нестандартного анализа сравнивают с цветным телевидением. Черно-белый телевизор способен видеть те же объекты, что и цветной, но не в состоянии различить богатство расцветок составляющих их элементов. Эта аналогия наглядно иллюстрирует то принципиальное обстоятельство, что роль нестандартного анализа существенно шире, нежели предоставление дополнительных средств для упрощения аппарата обычной математики. Нестандартный анализ открывает нам богатую внутреннюю структуру классических математических объектов, наполненных как доступными, так и только воображаемыми элементами.
Теперешние физические взгляды имеют мало общего с атомизмом древних. Мы воспринимаем законы микромира в рамках квантовой механики и принципа неопределённости, чуждых аристотелевой логике. Вездесущим стал процесс дискретизации и конструктивизации прикладной математики, связанный с ведущей ролью технологий, основанных на бинарных физических устройствах.
Математика обязана постоянно приспосабливать себя к общим парадигмам науки. Робинсонов нестандартный анализ завершает догматический этап развития идей древнего математического атомизма подобно тому, как воображаемая геометрия Лобачевского завершила догматический этап развития евклидовой геометрии.
Человечество никогда не расстаётся со своими интеллектуальными сокровищами. Поэтому нестандартный анализ в той или иной форме будет «анализом будущего», как предсказывал Гёдель. Тем не менее нет оснований считать, что исчисление Ньютона и Лейбница будет играть ключевую роль в формировании мировоззрения будущих поколений.
Слабая востребованность сегодняшнего инфинитезимального анализа связана не только с нехваткой новых учебников и консерватизмом и невежеством преподавателей. На самом деле проблема здесь в статусе классического исчисления, а не в современных подходах нестандартной теории множеств.
Главная причина стагнации обучения — уменьшение живучести того, чему учат.
С. Кутателадзе
23 мая 2009 г.
| English Page |
Russian Page |