\documentstyle{SibMatJ}
%\proofmodetrue

\topmatter

  \Author     Kusraev
    \Initial  A.
    \Initial  G.
    \Email    kusraev\@smath.ru
    \ORCID    0000-0002-1318-9602
    \AffilRef 1
    \AffilRef 2
  \endAuthor

  \Author     Kutateladze
    \Initial  S.
    \Initial  S.
    \Email    sskut\@math.nsc.ru
    \ORCID    0000-0002-5306-2788
    \AffilRef 3
  \endAuthor

  \Affil 1
\Organization     Southern Mathematical Institute
    \City         Vladikavkaz
    \Country      Russia
  \endAffil

  \Affil 2
\Organization     North Caucasus Center for Mathematical Research
    \City         Mikhailovskoye Village
    \Country      Russia
  \endAffil

 \Affil 3
    \Organization Sobolev Institute of Mathematics
    \City         Novosibirsk
    \Country      Russia
  \endAffil

\translator  S.~S. Kutateladze\endtranslator
\iauthor     Kusraev~A.G. and Kutateladze~S.S.\endiauthor
\UDclass     517.982\endUDclass

\source
      The article was submitted by the authors in English.
\endsource


\pforename   A.G.\endpforename
\psurname    Kusraev\endpsurname
\pemail      kusraev\@smath.ru\endpemail

\pforename   S.S.\endpforename
\psurname    Kutateladze\endpsurname
\pemail      sskut\@math.nsc.ru\endpemail

\title
Prolegomena to Boolean Valued Analysis: Boolean topoi 
\endtitle

\thanks
The research of Kusraev was executed in the North Caucasus Mathematical Research Center
of the Vladikavkaz Scientific Center of the Russian
Academy of Sciences and supported by the Ministry of Science and Higher Education
of the Russian Federation (Agreement 075--02--2023--914).
The research of Kutateladze was carried out in the framework of the State Task
to the Sobolev Institute of Mathematics (Project FWNF--2022--0004).
\endthanks

\author   A.~G.~Kusraev and S.~S.~Kutateladze\endauthor

\datesubmitted  November 17, 2023\enddatesubmitted
\dateaccepted   November 26, 2023\enddateaccepted

\address  Vladikavkaz; Novosibirsk \endaddress
\affil
A.~G.~Kusraev\\
Southern Mathematical Institute, Vladikavkaz, Russia\\
North Caucasus Center for Mathematical Research\\
Mikhailovskoye Village, Russia
\endaffil
\email     kusraev\@smath.ru\endemail

\orcid     0000-0002-1318-9602\endorcid

\affil   S.~S.~Kutateladze\\
Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia
\endaffil
\email     sskut\@math.nsc.ru\endemail

 \orcid    0000-0002-5306-2788\endorcid


\keywords
Boolean valued analysis,
category,
functor,
Boolean topos,
classifier
variable set
\endkeywords

\abstract
We present the notions of category theory that are of use in Boolean valued analysis.
and describe the Boolean topoi that form the backstages of  Boolean valued universes.
\endabstract

\endtopmatter
\input diagxy
\input xy

\define\End{\opname{End}}
\define\Ext{\opname{Ext}}
\define\im{\opname{im}}
\define\mix{\opname{mix}}
\define\cyc{\opname{cyc}}
\define\bosum{\mathop{bo\mskip1mu\hbox{-}\!\sum}}
\define\bolim{\mathop{bo\mskip1mu\hbox{-}\!\lim}}
\define\brlim{\mathop{br\mskip1mu\hbox{-}\!\lim}}
\define\On{\opname{On}}
\define\St{\opname{St}}
\def\BAP{\mathop{\roman{BAP}}}
\define\Dom{\opname{Dom}}
\define\lin{\opname{lin}}
\def\sa{\opname{sa}\nolimits}
\def\fin{\opname{fin}\nolimits}
\define\Orth{\opname{Orth}}
\define\A{\roman A}
\define\Alpha{\roman A}
\define\Clop{\opname{Clop}}
\define\Ob{\opname{Ob}}
\define\Mor{\opname{Mor}}
\define\Com{\opname{Com}}




\iftex
  \def\upwardarrow{\mathord{\hbox to 5pt{\hss$\vcenter{\hbox to2.4pt{\hss$\mathchar"222$\hss}\hrule}\hss$}}}
  \def\downwardarrow{\mathord{\hbox to 5pt{\hss$\vcenter{\hrule\hbox to2.4pt{\hss$\mathchar"223$\hss}}\hss$}}}
\else
  \def\upwardarrow{{\Unicode{21A5}}}
  \def\downwardarrow{{\Unicode{21A7}}}
\fi

\head
Introduction
\endhead

Set theory rules in the present-day mathematics.
The buffoon's role of ``abstract nonsense''
is assigned in mathematics to category theory.
History and literature demonstrate to us that
the relations between the ruler and the jester
may be totally intricate and unpredictable.
Something very similar transpires in  the interrelations
of set theory and category theory and the dependency
of one of them on the other.

From a logic standpoint, set theory and category theory 
are instances of a first order theory. The former deals with sets and 
the membership relation between them. The latter speaks of objects and 
morphisms (or arrows). Of course, there is no principle difference between 
the atomic formulas $a\in b$ and $a\to b$. However, the precipice in meaning is abysmal 
between the two concepts that are formalized by the two atomic formulas. The stationary 
universe of Zermelo--Fraenkel, cluttered up with uncountably many copies 
of equipollent sets confronts the free world of categories, ensembles of arbitrary nature 
that are determined by the dynamics of their transformations. 



Alongside set theory, the theory of categories serves as a universal
language of the modern mathematics.
In Boolean valued analysis we use categories and functors as a convenient tools
for uniformly addressing the various properties of the objects and arguments 
under consideration. However, the category theoretic language serves much more than
a cozy tool. Infact, it is category theory that one of the most ambitious projects
of the twentieth century mathematics was realized within,
the project of socializing set theory.
This evoked topos theory that provides  a profusion of
categories of which the classical set theory is an ordinary
member. Furthermore,  Boolean valued models were
extra stimuli in search of a category-theoretic foundation of
mathematics.



Lawvere, who accepted The concept of topos
proposed and eleborated by Grothendieck,  considers the objects of a topos
as some sort of variabble sets and emphasizes that the classical set theory
studies stationary sets. He wrote in  \cite{Law75}[p. 136]:
``Every notion of constancy is relative, being derived perceptually or conceptually 
as a limiting case of variation and the undispited value of such notions in clarifying 
is always limited by that origin. This applies in particular to the notion of constant set,
and explains why so much of naive set theory carriesm over in some form into the theory of variable
sets.'' It is worth emphasizing that Boolean valued models became the impetus
to searching  category theoretic foundations of mathematics in the early 1960s.

We will confine exposition to the simple draft
of the basics of category theory up to the key concept of topos.
As regard the details of the general category theory we refer the reader to
As regrads the details of the general category theory, we refer the reader
to \cite{11}, \cite{50}, \cite{Mac}, and \cite{141}. As regards topos theory,
see  \cite{21} and \cite{31}.

We will restrict exposition to sketching the
prerequisites of category theory up to the key concepts
of topos and Boolean topos.


\head 
1. Categories
\endhead


In this section we will recall the concept of category, describe some elementary construction, and exhibit
a few examples.

 {\bf 1.1.}~A~category $\Cal K$ consists of the classes
 $\Ob\Cal K$, $\Mor\Cal K$, and  $\Com$ which are
 called the {\it class of objects},
 {\it classof morphisms}, and  {\it composition law\/}
 of~$\Cal K$.Furthermore, the following must hold:


 $(1)$~there are mappings $\Cal D$  and $\Cal R$
  from $\Mor\Cal K$ to $\Ob\Cal K$ such that the class
 $$
 H_{\Cal K}(a,b)\!:={\Cal K}(a,b)\!:= \{f\in\Mor\Cal K:\,\Cal
 D(f) =a\wedge\Cal R(f)=b\},
 $$
called the {\it class of morphisms\/} from $a$ to~ $b$, 
is a set for all ${a,b\in\Ob\Cal K}$;

 $(2)$~$\Com$ is an associative partial binary operation on
 $\Mor\Cal K$ and
 $$
 \dom(\Com)=\big\{(f,g)\in (\Mor\Cal K)\times(\Mor\Cal
 K):\ \Cal D(g )= \Cal R(f)\big\};
 $$

 $(3)$~for each $a\in\Ob\Cal K$ there is a morphism $1_a$, called
the  {\it identity morphism\/} of~$a$,  such that
$\Cal D(1_a)=a=\Cal R(1_a)$ and we have
 $\Com (1_a,f)=f$ if $\Cal R(f)=a$ and
 $\Com (g,1_a)=g$ if $\Cal D(g )=a$.

 Clearly, $\Mor\Cal K$ is the union of the sets $H_{\Cal  K}(a,b)$, where $a$ and $b$ 
range over $\Ob\Cal K$, while $H_{\Cal K}(a,b)$ and $H_{\Cal K}(c,d)$ are disjoint for
 $(a,b)\ne(c,d)$. Given $f,g\in\Mor\Cal K$, we usually write пишут
  $g\circ f$ or $gf$ instead of $\Com (f,g)$.
 Also, $f\in H_{\Cal K}(a,b)$ is often written as
 $f:a\to b$ and read as follows:
 ``$f$ is a morphism from $a$ to~ $b$.'' 
In this event, $a$ is the begginhg of~$f$; andа $b$, the ending of~$f$.

In practice the classes of objects and morphisms can intersect, which happens rather often.
However there is no loss in geberality in assuming the classs disjoint on
supplementing, if need be, some mark to each oblect of the cftegory under study,
We will proceed likewise in the sequel.

\enddocument
 \subsection{3.1.2}~Категорию $\Cal H$ называют
 {\it подкатегорией категории}\subject{Подкатегория} $\Cal K$, если
 выполнены условия:

 \itemitemitem{\bf{(1)}}
 $\Ob\Cal H\subset\Ob\Cal K$ и $H_{\Cal H}(a,b)\subset  H_{\Cal
 K}(a,b)$ для любой пары объектов $a,b\in\Ob\Cal H $;

 \itemitemitem{\bf{(2)}}
 композиция категории $\Cal H$ есть ограничение композиции
 категории $\Cal K$ на класс $(\Mor\Cal H )\times(\Mor\Cal H )$.

 Понятно, что при этом тождественный морфизм любого объекта
 $a\in\Ob\Cal H$ совпадает с тождественным морфизмом этого же
 объекта в категории $\Cal K$.

 Подкатегорию $\Cal H$ категории $\Cal K$ называют {\it
 полной\/}\subject{Подкатегория категории полная}
 в случае
 выполнения равенства $H_{\Cal K}(a,b)=H_{\Cal H}(a,b)$ для любых
 $a,b\in\Ob\Cal H$.

 \subsection{3.1.3}~{\it Произведение\/}\subject{Произведение}
 $\Cal H\times\Cal K$ категорий $\Cal H$ и $\Cal K$ определяют
 следующими соотношениями:
 $$
 \gathered
 \Ob(\Cal H\times\Cal K)\!:=(\Ob\Cal H )\times (\Ob\Cal K);
 \\[0.5\jot]
 H_{\Cal H\times\Cal K}((a,b),(a',b'))\!:=H_{\Cal H}(a,a') \times H_{\Cal K}(b,b'),
 \\[0.5\jot]
 (f',g ')\circ (f,g)\!:=(f'f,g'g ),
 \endgathered
 $$
 где $a,a'\in\Ob\Cal H $; $b,b'\in\Ob\Cal K$;
 $f,f'\in\Mor\Cal H$ и $g,g '\in\Mor\Cal K$.

 \subsection{3.1.4}~Введем понятие фактор-категории. Пусть
 $\Cal K$~--- произвольная категория.
 {\it Конгруэнтностью\/}\subject{Конгруэнтность}
 на $\Cal K$ называют функцию $R$, для которой выполнены следующие два
 условия:

 \subsubsec{(1)}~$R$ определена на $\Ob\Cal K\times\Ob\Cal K$ и
 сопоставляет каждой паре объектов $(a,b)$ отношение
 эквивалентности $R(a,b)$ на множестве морфизмов $\Cal K(a,b)$;

 \subsubsec{(2)}~если морфизмы $f_1,f_2\in\Cal K(a,b)$
 удовлетворяют соотношению $(f_1,f_2)\in R(a,b)$, то для любых
 морфизмов $g:a'\to a$ и $h:b\to b'$ будет $(h\circ f_1\circ
 g,h\circ f_2\circ g)\in R(a',b')$.

 Если $R$~--- конгруэнтность на $\Cal K$, то {\it
 фактор-категорию\/}\subject{Фактор-категория} $\Cal
 K/R$\formula{$\Cal K/R$} определяют соотношениями:
 $$
 \gathered
 \Ob\Cal K/R\!:=\Ob\Cal K,
 \\[0.5\jot]
 (\Cal K/R)(a,b)\!:=\Cal K(a,b)/R(a,b),
 \\[0.5\jot]
 \widetilde{g}\circ\widetilde{f}\!:=\widetilde{g\circ f},
 \endgathered
 $$
 где $\widetilde{f}$ обозначает класс эквивалентности морфизма $f$.
 Корректность определения композиции в $\Cal K/R$ следует из (2).

 \subsection{3.1.5}~Категория $\Cal K^\ast$,\formula{$\Cal K^\ast$}
 {\it двойственная\/}\subject{Категория двойственная} к
 произвольной категории $\Cal K$, имеет те же объекты и морфизмы,
 что и $\Cal K$, а закон композиции $\Com^\ast$ категории $\Cal K^*$ введен соотношением
 ${\Com{}^\ast}(\alpha,\beta)\!:=\Com(\beta,\alpha)$.
 Обозначим $\Cal K$-объект $a$ и \mbox{$\Cal K$-морфизм} $f$, рассматриваемые как
 объект и морфизм $\Cal K^\ast$, символами $a^\ast$ и $f^\ast$
 соответственно. Тогда определение двойственной категории можно
 записать в виде:
 $$
 \Cal K^\ast(a^\ast,b^\ast)\!:=\Cal K(b,a),\quad g^\ast\circ
 f^\ast\!:=(f\circ g)^\ast.
 $$
 Очевидно, что $(\Cal K^\ast)^\ast=\Cal K$. В частности, всякая категория имеет вид $\Cal H^*$.

 \subsection{3.1.6}~Понятие двойственной категории позволяет
 сформулировать принцип двойственности для категорий. Для этой цели
 рассмотрим формальный язык первого порядка~---
 {\it категорный  язык\/}\subject{Язык категорный}
 (1.1.2). Сигнатура этого языка не
 содержит функциональных символом, но содержит шесть предикатных
 символов: одноместные~--- $\ob$ и $\mor$, двуместные~--- $\dom$,
 $\cod$ и $\id$, трехместный~--- $\com$.
 Формулы описанного категорного
 языка определяют в соответствии с 1.1.3. Ниже аксиомы категории
 мы запишем в виде формул категорного языка. Но при этом для удобства
 восприятия полезно иметь в виду следующую интерпретацию указанных
 предикатов: $\ob(x)$ и $\mor(y)$ обозначают, что $x$~--- объект, а
 $y$~--- морфизм; $\dom(x,y)$, $\cod(x,y)$ и $\id(x,y)$ утверждают
 соответственно, что $x=\Cal D(y)$, $x=\Cal R(y)$ и $y=1_x$;
 наконец, $\com(x,y,z)$~--- композиция морфизмов, т.~е. $x=y\circ
 z$. Мы будем также использовать следующие переменные: для объектов~---
 $a,b,\dots$ и для морфизмов~--- $f,g,h,\dots$

\proclaim{Аксиомы категории:}

 \subsubsec{(1)}~существование начала и конца у каждого
 морфизма\/$:$
 $$
 (\forall\, f)\big(\mor(f)\to (\exists!\,\, a)(\exists!\,\, b)
 (\ob(a)\wedge\ob(b)\wedge \dom(a,f)\wedge \cod(b,f))\big);
 $$

 \subsubsec{(2)}~класс морфизмов с фиксированными началом и
 концом~--- множество\/$:$
 $$
 (\forall\, a)(\forall\, b)(\ob(a)\wedge\ob(b)\to
 \{f:\,\mor(f)\wedge\dom(a,f)\wedge\cod(b,f)\}\in\Bbb V);
 $$

 \subsubsec{(3)}~область определения композиции\/$:$
 $$
 \gathered
  (\forall\, g)(\forall\, h)
 (\mor(g)\wedge\mor(h)\wedge(\exists\,
 a) \ob(a)\wedge\dom(a,g)\wedge\cod(a,h)\to
 \\[0.5\jot]
 \to(\exists\, f)
 \mor(f)\wedge\com(f,g,h));
 \endgathered
 $$

 \subsubsec{(4)}~однозначность композиции\/$:$
 $$
 (\forall\, f_1)(\forall\, f_2)(\forall\, g)(\forall\, h)
 (\com(f_1,g,h)\wedge\com(f_2,g,h)\to f_1=f_2)
 $$

 \subsubsec{(5)}~ассоциативность композиции $((f\circ g)\circ
 h=f\circ(g\circ h)):$
 $$
 \gathered
 (\forall\, f)(\forall\, g)(\forall\, h) (\forall\,
 u)(\forall\,
 v)(\forall\, w)
 \\[0.5\jot]
 \com(u,f,g)\wedge\com(v,u,h)\wedge\com(w,g,h)\to\com(v,f,w);
 \endgathered
 $$

 \subsubsec{(6)}~существование тождественного морфизма\/$:$
 $$
 (\forall\, a)(\ob(a)\to(\exists!\, 1_a)
 \mor(1_a)\wedge\dom(a,1_a)\wedge\cod(a,1_a)\wedge\id(a,1_a));
 $$

 \subsubsec{(7)}~закон тождества для композиции\/$:$
 $$
 \gathered
  (\forall\, f)(\forall\, g)(\forall\, a)
 \big(\big(\mor(f)\wedge\ob(a)\wedge\dom(a,f)\to \com(f,f,1_a)\big)\wedge
 \\[0.5\jot]
\wedge
 \big(\mor(g)\wedge\ob(a)\wedge\cod(a,g)\to
 \com(g,1_a,g)\big)\big).
 \endgathered
 $$
\Endproc

\subsection{3.1.7}~Возьмем формулу $\varphi$ категорного языка. Обозначим символом
 $\varphi^\ast$ формулу того же языка, которая получается из
 $\varphi$ путем замены $\dom$ на $\cod$, а $\cod$ на $\dom$,
 $\com(f,g,h)$ на $\com(f,h,g)$. Образно говоря, все морфизмы и
 композиции, входящие в $\varphi$, повернуты в $\varphi^\ast$ в
 противоположную сторону. Понятие, описываемое формулой
 $\varphi^\ast$, называют двойственным по отношению к
 соответствующему понятию, описываемому формулой $\varphi$.

 Если $\varphi$ истинно в категории $\Cal K$,
 то $\varphi^*$ истинно в двойственной категории $\Cal K^*$.
 Однако совсем не обязательно, что $\varphi^*$ будет справедлива в $\Cal K$.
 Другое дело, если $\varphi$~--- теорема теории категорий.
 В этом случае $\varphi$ истинна во всех категориях,
 а $\varphi^*$ истинна во всех категориях вида $\Cal K^*$.
 Но в силу 3.1.5 каждая категория $\Cal K$  имеет вид $\Cal K=\Cal H^*$.
 Поэтому имеет место следующий {\it принцип двойственности\/}:\subject{Принцип двойственности}
 если $\varphi$ истинна в любой категории, то и $\varphi^*$ истинна в любой категории.

 \subsection{3.1.8}~Для произвольной категории $\Cal K$ введем
 {\it категорию морфизмов\/}\subject{Категория морфизмов} $m\Cal
 K$\formula{$m\Cal K$} следующим образом. Объектами $m\Cal K$
 являются все морфизмы категории $\Cal K$. Морфизм из объекта
 $f:a\to b$ в объект $g:c\to d$ представляет собой пару $\Cal
 K$-морфизмов $(h,k)$ таких, что диаграмма
 $$
 \bfig
 \square|alra|[a`c`b`d;h`f`g`k]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
%{\footnotesize
% \put(0.4,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(4,0.5){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна, т.~е. $g\circ h=k\circ f$. Композицию в
 категории $m\Cal K$ введем правилом $(h,k)\circ
 (h^\prime,k^\prime)\!:= (h\circ h^\prime, k\circ k^\prime)$.
 Тождественным морфизмом объекта $f:a\to b$ в категории $m\Cal K$
 служит пара тождественных морфизмов $(1_a,1_b)$.


 Если в определении категории морфизмов $m\Cal K$ ограничиться
 морфизмами с фиксированным концом или началом, то получаемые
 категории называют {\it относительными}.\subject{Категории
 относительные}

 Точнее, для фиксированного объекта $a$ категории $\Cal K$ вводят
 категорию $\Cal K^a$\formula{$\Cal K^a$}
  {\it морфизмов}, прибывающих в~$a$,  и
 категорию  $\Cal K_a$\formula{$\Cal K_a$}
 {\it морфизмов,\/}\subject{Категория морфизмов}
 отправляющихся из~$a$.
 Объектами категории $\Cal K^a$ (категории $\Cal K_a$) являются все
 морфизмы с концом в $a$ (с началом $a$). Морфизмами в $\Cal K^a$
 (в $\Cal K_a$) из объекта $f:b\to a$ в объект $g:c\to a$ (из
 объекта $f:a\to b$ в объект $g:a\to c$) служат $\Cal K$-морфизмы
 $h:b\to c$, удовлетворяющие условию $g\circ h=f$
 (соответственно, $h\circ f=g$).

 \subsection{3.1.9}~В качестве примера рассмотрим
 {\it категорию множеств и отображений\/} $\Set$.\subject{Категория множеств и отображений}
 Объектами категории $\Set$  служат всевозможные множества, а
 морфизмами~--- произвольные отображения множеств. Композиция
 морфизмов~--- обычная композиция отображений. Для $f\in\Mor\Set$
 множества $\Cal D(f)$ и $\Cal R(f)$~--- соответственно область
 определения и область значений отображения~$f$. Морфизм $1_a$~---
 тождественное отображение множества~$a$.

 Полезно рассмотреть и более широкую {\it категорию
 множеств\/}\subject{Категория множеств и соответствий}
 и {\it  соответствий\/} $\Set_*$. Классы объектов категорий $\Set$ и
 $\Set_*$ совпадают, морфизмами же в категории $\Set_*$ служат
 всевозможные соответствия. Для соответствия $\Phi\!:=(F,X,Y)$
 положим $\Cal D(\Phi )\!:=X$ и $\Cal R(\Phi )\!:=Y$. Композиция
 соответствий ассоциативна, причем $\Psi\circ\Phi $ существует в
 том и только в том случае, если $\Cal R(\Phi )=\Cal D(\Psi)$.
 Тождественный морфизм на множестве $A$~--- тождественное
 отображение множества~$A$. Итак, $\Set_*$~--- категория, а
 $\Set$~--- ее подкатегория.

 \subsection{3.1.10}~Разнообразные примеры категорий возникают
 как {\it подкатегории структурированных
 множеств}.\subject{Подкатегория структурированных множеств}
 Объектами такой категории являются множества, наделенные
 некоторой структурой $\sigma$ (включающей алгебраические операции,
 отношения, норму, топологию и т.~п.), а морфизмами~---
 отображения, в определенном смысле сохраняющие структуру~$\sigma$.
 Рассмотрим конкретные примеры.

 \subsubsec{(1)}~Первой идет категория $\Set$,
объекты которой можно считать
 структурированными множествами, наделенными  пустой структурой.

 \shortpage
 \subsubsec{(2)}~Категорию $\Cal K$ называют {\it категорией
 предпорядка},\subject{Категория предпорядка} если для любых двух
 объектов $a$ и $b$ этой категории существует не более одного
 морфизма из $a$ в $b$, т.~е. множество $H_{\Cal K}(a,b)$ либо
 пусто, либо содержит единственный элемент. В множестве объектов
 $K\!:=\Ob\Cal K$ можно ввести отношение предпорядка $\leq$,
 полагая $a\leq b$ в том и только в том случае, если $H_{\Cal
 K}(a,b)\ne\varnothing$. Рефлексивность отношения $\leq$ следует из
 существования тождественного морфизма $1_a:a\to a$ для каждого
  $a\in K$, а транзитивность~--- из существования композиции
 морфизмов $a\to b$ и $b\to c$.

 Наоборот, если $K$~--- предупорядоченный класс с отношением
 предпорядка $\leq$, то можно построить категорию $\Cal K$
 предпорядка следующим образом: $\Ob\Cal K\!:=K$, $\Mor\Cal
 K\!:=\{(a,b)\in K\times K:\,a\leq b\}$, причем $\Cal D((a,b))=a$ и
 $\Cal R((a,b))=b$. Если $a\leq b\leq c$, то  по
 определению положим $(b,c)\circ (a,b)\!:=(a,c)$. Корректность этого
 определения следует из транзитивности предпорядка. Из
 рефлексивности предпорядка видно, что  $1_a=(a,a)$.

 \subsubsec{(3)}~Пусть $\Bbb F$~--- произвольное поле. Символом
 $\Vect(\Bbb F)$\formula{$\Vect(\Bbb F)$}
 обозначают категорию {\it векторных пространств},\subject{Категория векторных пространств}
 классы объектов и морфизмов которой~--- суть векторные
 пространства над полем $\Bbb F$ и всевозможные $\Bbb F$-линейные
 операторы с обычной суперпозицией операторов в качестве композиции.

 \subsubsec{(4)}~Зафиксировав упорядоченное поле $\Bbb F$, вводят
 {\it категорию\/} $\VLat(\Bbb F)$\formula{$\VLat(\Bbb F)$}
 {\it векторных решеток и решеточных гомоморфизмов}.\subject{Категория векторных решеток}
 Объектами $\VLat(\Bbb F)$ служат векторные решетки над $\Bbb F$, а
 морфизмами~--- решеточные гомоморфизмы, т.~е. \mbox{$\Bbb F$-линейные}
 отображения, сохраняющие точные границы непустых конечных множеств.

 \subsubsec{(5)}~Рассмотрим {\it категорию булевых алгебр\/}\subject{Категория булевых алгебр}
 $\Bool$.\formula{$\Bool$} Объектами этой категории служат
 всевозможные булевы алгебры, а морфизмами~--- булевы гомоморфизмы.

 \subsubsec{(6)}~{\it У категории топологических
 пространств\/}\subject{Категория топологических пространств}
 $\Top$\formula{$\Top$} класс объектов $\Ob\Top$ составляют все
  топологические пространства, а класс морфизмов
  $\Mor\Top$~--- все непрерывные
 отображения между топологическими пространствами. В $\Top$
 принято выделять полную подкатегорию компактов
 $\Comp$,\formula{$\Comp$}\subject{Категория компактов} объекты
 которой~--- всевозможные компакты. Всюду в этой книге под {\it
 компактом\/}\subject{Компакт}
 мы будем подразумевать
 хаусдорфово компактное топологическое пространство.

 \subsubsec{(7)}~{\it Категорию банаховых пространств и линейных
 сжатий\/}\subject{Категория банаховых пространств}
 $\Ban_1$\formula{$\Ban_1$} вводят следующим образом:
 в $\Ob\Ban_1$ включают все
 банаховы пространства,
 а класс морфизмов $\Mor\Ban_1$
 составляют из всех линейных сжатий, т.~е.
 из линейных операторов между банаховыми пространствами с нормой, не
 превосходящей единицы.  Если оставить класс объектов неизменным,
 а класс морфизмов расширить, допустив все линейные ограниченные
 операторы, то возникает {\it категория банаховых пространств и
 ограниченных линейных операторов\/}\subject{Категория банаховых
 пространств}, которую обозначают символом
 $\Ban_\infty$.\formula{$\Ban_\infty$}

 \subsection{3.1.11}~Рассмотрим произвольную категорию $\Cal K$.

 \subsubsec{(1)}~Морфизм $f:a\to b$ категории $\Cal K$ называют
 {\it мономорфизмом},\subject{Мономорфизм} если для любой пары
 $\Cal K$-морфизмов $g,h:c\to a$ из равенства $f\circ g=f\circ h$
 следует $g=h$. Мономорфизм обозначают символом
 $f:a\rightarrowtail b$.\formula{$f:a\rightarrowtail b$}

 В каждой из категорий $\Set$, $\Vect(\Bbb F)$ и $\Top$ морфизм
 будет мономорфизмом в том и только в том случае, если он
 представляет собой инъективное теоретико-множественное
 отображение. В категории же предпорядка всякий морфизм является
 мономорфизмом.\shortpage

 \subsubsec{(2)}~Морфизм $f:a\to b$ категории $\Cal K$ называют
 {\it эпиморфизмом},\subject{Эпиморфизм}
 если для любой пары
 $\Cal K$-морфизмов $g,h:b\to c$ из равенства $g\circ f=h\circ f$
 следует $g=h$. Эпиморфизм принято обозначать символом
 $f:a \twoheadrightarrow b$.\formula{$f:a \twoheadrightarrow b$}

 В категориях $\Set$ и $\Vect(\Bbb F)$ эпиморфизмы являются
 сюръективными отображениями, т.~е.
 отображениями на весь образ.
 В категории $\Top$ морфизм $f:X\to Y$ будет
 эпиморфизмом в том и только в том случае, если
 $f(X)$~--- плотное множество~$Y$.

 \subsubsec{(3)}~Морфизм $f:a\to b$ категории $\Cal K$ называют
 {\it изоморфизмом},\subject{Изоморфизм} если существует
 $\Cal K$-морфизм $g:b\to a$ такой, что $g\circ f=1_a$ и $f\circ g=1_b$.
 Такой морфизм $g$ единствен, ибо если $h\circ f=1_a$ и $f\circ
 h=1_b$ для некоторого \mbox{$\Cal K$-морфизма} $h:b\to a$, то $h=1_a\circ
 h=(g\circ f)\circ h=g\circ (f\circ h)= g\circ 1_b=g$. Этот
 единственный морфизм $g$ называют {\it обратным}\/\subject{Морфизм обратный}
  к $f$ и обозначают
 символом $f^{-1}:b\to a$. Таким образом, морфизм $f^{-1}$
 определен условиями $f^{-1}\circ f=1_a$ и $f\circ f^{-1}=1_b$.

 Легко видеть, что изоморфизм является одновременно мономорфизмом и
 эпиморфизмом. В категории $\Set$ верно и обратное утверждение, но
 в произвольной категории это не так.

 \subsubsec{(4)}~Говорят, что объекты $a$ и $b$ {\it изоморфны\/} в
 категории $\Cal K$\subject{Объекты изоморфные} и пишут $a\simeq b$
 (или полнее $a\simeq_{\Cal K}b$), если существует $\Cal K$-морфизм
 $f:a\to b$, являющийся изоморфизмом. Как видно, в категории $\Set$
 изоморфизм множеств означает их биективность.


 \head
2. Universal Constructions
\endhead

 Особое место в теории категорий занимают универсальные конструкции,
 которые часто в том или ином виде встречаются в различных разделах математики.

 \subsection{3.2.1}~Рассмотрим произвольную категорию $\Cal K$.

 {\it Диаграммой\/}\subject{Диаграмма} в категории $\Cal K$
 называют пару $D\!:=(D_{\ob},D_{\mor})$, где $D_{\ob}$~---
некоторое множество объектов, а $D_{\mor}$~---
некоторое множество морфизмов категории
 $\Cal K$, причем начало $\Cal D(\alpha)$ и конец $\Cal R(\alpha)$
 каждого морфизма $\alpha\in D_{\mor}$ содержатся в $D_{\ob}$.
 Семейство морфизмов $(f_d:c\to d)_{d\in D_{\ob}}$ с фиксированным
 началом (или $(f_d:d\to c)_{d\in D_{\ob}}$ с фиксированным концом)
 $c$ именуют {\it конусом\/}\subject{Конус для диаграммы}
 (соответственно, {\it коконусом\/})\subject{Коконус для диаграммы}
  {\it для диаграммы\/} $D$, если $g\circ f_d=f_e$
 (соответственно, $f_e\circ g=f_d$) для любого морфизма $g:d\to e$
 из $D_{\mor}$. Используют также более короткие термины $D$-конус
 и $D$-коконус.

 {\it Пределом\/}\subject{Предел диаграммы}
  диаграммы $D$ называют такой $D$-конус $(f_d:c\to
 d)_{d\in D_{\ob}}$, что для любого другого $D$-конуса
 $(f_d^\prime:c^\prime\to d)_{d\in D_{\ob}}$ существует и притом
 единственный морфизм $f:c^\prime\to c$, для которого диаграмма

$$
\bfig
\Atriangle/<-`<-`-->/[d`c'`c;f_d'`f_d`f]
\efig
$$


 %%%%%%%%%%% figure %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,8)(0,-1)
% % spaces
% \put(6,5.8){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1.2,1.3){\makebox(0,0){$c{\,}'$}}\put(11,1.1){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(2.9,4){\makebox(0,0){$f'_d$}}\put(9,4){\makebox(0,0){$f^{\,}_d$}}
% \put(6,0){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(2,2){\Vector{45}{4.3}}\put(10,2){\Vector{135}{4.3}}
% \put(2,1){\dashVec{0}{8}}
% \end{picture}
% \end{center}
% % endn n of~figure

 \noindent коммутативна при  любом объекте $d\in D_{\textrm{ob}}$.

 {\it Копределом\/}\subject{Копредел диаграммы} диаграммы $D$ называют такой $D$-коконус
 $(f_d:d\to c)_{d\in D_{\ob}}$, что для любого другого $D$-коконуса
 $(f_d^\prime:d\to c^\prime)_{d\in D_{\ob}}$ существует и притом
 единственный морфизм $f:c\to c^\prime$, для которого диаграмма

$$
\bfig
\Atriangle/>`>`-->/[d`c`c';f_d`f_d'`f]
\efig
$$


%%%%%%%%%%%% figure %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %\unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,8)(0,-1)
% % spaces
% \put(6,5.8){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1.1){\makebox(0,0){$c$}}\put(11.2,1.3){\makebox(0,0){$c{\,}'$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(2.9,4){\makebox(0,0){$f^{\,}_d$}}\put(9,4){\makebox(0,0){$f'_d$}}
% \put(6,0){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(5,5){\Vector{-135}{4.3}}\put(7,5){\Vector{-45}{4.3}}
% \put(2,1){\dashVec{0}{8}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent коммутативна при  любом объекте $d\in D_{\ob}$.

 Отметим, что предел и копредел обладают свойством универсальности:
  по определению предел (копредел)~--- такой конус (коконус), что
  любой другой конус (коконус) однозначно <<пропускается>> через
  универсальный в соответствии с указанными выше диаграммами.
   Определения такого вида принято называть
  {\it универсальными конструкциями}.\subject{Конструкция универсальная}

 Легко видеть, что предел и копредел диаграммы единственны с
 точностью до изоморфизма. В самом деле, из определения предела
 следует, что если ${(f_d:c\to d)_{d\in D_{\ob}}}$~--- предел и для
 некоторого морфизма $h:c\to c$ будет $f_d\circ h=f_d$ при
 всех $d\in D_{\ob}$, то ввиду очевидного соотношения $f_d\circ
 1_c=f_d$ и требования единственности должно быть $h=1_c$.
 Предположим, что $(f_d:c\to d)_{d\in D_{\ob}}$ и $(f'_d:c'\to
 d)_{d\in D_{\ob}}$~--- пределы одной и той же диаграммы $D$. Тогда
 в силу свойства универсальности предела существуют морфизмы
 $f:c'\to c$ и $f':c\to c'$ такие, что диаграммы
 $$
 \bfig
 \Atriangle(-600,200)/<-`<-`-->/[d`c'`c;f_d'`f_d`f]
 \quad
 \Atriangle(600,200)/<-`<-`<--/[d`c'`c;f_d'`f_d`f']
 \efig
 $$
%
%%%%%%%%%%% figure %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %\unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,8)(0,-1)
% % spaces
% \put(6,5.8){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1.2,1.3){\makebox(0,0){$c{\,}'$}}\put(11,1.1){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(2.9,4){\makebox(0,0){$f'_d$}}\put(9,4){\makebox(0,0){$f^{\,}_d$}}
% \put(6,0){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(2,2){\Vector{45}{4.3}}\put(10,2){\Vector{135}{4.3}}
% \put(2,1){\Vector{0}{8}}
% \end{picture}
% \qquad
% \begin{picture}(12,8)(0,-1)
% % spaces
% \put(6,5.8){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1.2,1.3){\makebox(0,0){$c{\,}'$}}\put(11,1.1){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(2.9,4){\makebox(0,0){$f'_d$}}\put(9,4){\makebox(0,0){$f^{\,}_d$}}
% \put(6,0){\makebox(0,0){$f'$}}}
% % arrows
% \put(2,2){\Vector{45}{4.3}}\put(10,2){\Vector{135}{4.3}}
% \put(10,1){\Vector{180}{8}}
% \end{picture}
% \end{center}
% % endn n of~figure
%
 \noindent
 коммутативны при любом $d\in D_{\ob}$. Отсюда $f_d\circ
 f\circ f'=f_d$ и $f'_d\circ f'\circ f=f'_d$ и, согласно сделанному
 выше замечанию, получаем $f\circ f'=1_c$ и $f'\circ
 f=1_{c^\prime}$, т.~е. $f$~--- изоморфизм. Для копредела требуемое
 следует теперь из принципа двойственности.

 \subsection{3.2.2}~Если $D$~--- пустая диаграмма, т.~е.
 $D_{\ob}=\varnothing$ и $D_{\mor}=\varnothing$, то $D$-конус и
 \mbox{$D$-коконус}~--- это просто некоторые фиксированные объекты.
 Предел и
 копредел в этой ситуации носят названия {\it начального\/} и {\it
 конечного объектов\/}\subject{Объект начальный}\subject{Объект конечный} соответственно.

 Таким образом, объект $\bbold 0$\formula{$\bbold 0$} является
 начальным\subject{Объект начальный} в категории $\Cal K$ в том и
 только в том случае, если для каждого объекта $a\in\Ob\Cal K$
 существует ровно один $\Cal K$-мор\-физм из $\bbold 0$ в $a$. Аналогично,
 объект $\bbold 1$\formula{$\bbold 1$} является
 конечным\subject{Объект конечный}
 в категории $\Cal K$ в том и только в том случае, если
 для каждого объекта $a\in\Ob\Cal K$ существует ровно один морфизм
 из $a$ в $\bbold 1$. Начальные и конечные объекты единственны с
 точностью до изоморфизма.

 Единственный морфизм из начального объекта $\bbold 0$ в произвольный
 объект $a$ обозначают
 символом $0_a$.\formula{$0_a$}
 Единственный морфизм из произвольного объекта $a$
 в конечный объект $\bbold 1$
 обозначают  символом $|_a$.\formula{$|_a$}

 В категории предпорядка начальным элементом является любой
 наименьший элемент, а конечным элементом~--- любой наибольший
 элемент. В категории $\Set$ начальный объект единствен и
 совпадает с пустым множеством, а конечный объект~--- любое
 одноточечное множество. В качестве канонического представителя
 класса конечных объектов в $\Set$ берут ординал
 $1\!:=\{\varnothing\}$ (см. 1.5.6). В категориях $\Vect(\Bbb F)$,
 $\VLat(\Bbb F)$ и $\Ban_\infty$ начальные и конечные объекты~---
 нульмерные (т.~е. одноэлементные) векторные пространства.
 Объект, являющийся одновременно начальным и конечным, называют {\it
 нулевым\/} \subject{Объект нулевой} объектом. В категории $\Bool$
 начальный объект~--- произвольная двухэлементная булева алгебра, а
 конечные объекты отсутствуют. В относительной категории
 $\Set^\Bbb R$ вещественных функций начальный объект
 представляет собой пустую функцию $0_\Bbb R:\varnothing\to\Bbb R$,
 а конечный объект~--- тождественную функцию $\id_\Bbb R:\Bbb
 R\to\Bbb R$. Действительно, если $g:A\to\Bbb R$~--- произвольный
 морфизм в $\Set^\Bbb R$, то для $\Set^\Bbb R$-морфизмов
 $\jmath:0_\Bbb R\to g$ и $k:g\to\id_\Bbb R$ диаграммы %Diag.3.2.2.
 $$
 \bfig
 \Vtriangle/>`>`>/[\varnothing`A`\mathbb{R};\jmath`0_{\mathbb{R}}`g]
 \efig
 \qquad
 \bfig
 \Vtriangle/>`>`>/[A`\mathbb{R}`\mathbb{R};k`f`\id_\mathbb{R}]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,8)(0,-0.5)
% % spaces
% \put(6,1){\makebox(0,0){$\mathbb{R}$}}
% \put(1,6){\makebox(0,0){$\varnothing$}}
% \put(11,6){\makebox(0,0){$A$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(6,6.7){\makebox(0,0){$\jmath $}}
% \put(9,3){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(3,3){\makebox(0,0){$0_{\mathbb{R}}$}}}
% % arrows
% \put(2,6){\Vector{0}{8}} \put(2,5){\Vector{-45}{4.3}}
% \put(10,5){\Vector{-135}{4.3}}
% \end{picture}
% \qquad
% \begin{picture}(12,8)(0,-0.5)
% % spaces
% \put(11,6){\makebox(0,0){$\mathbb{R}$}}
% \put(1,6){\makebox(0,0){$A$}}
% \put(6,1){\makebox(0,0){$\mathbb{R}$}}
% % operators
%  {\footnotesize
% \put(6,6.7){\makebox(0,0){$k$}}
% \put(9.2,3){\makebox(0,0){$\id_\mathbb{R}$}}
% \put(3,3){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(2,6){\Vector{0}{8}} \put(2,5){\Vector{-45}{4.3}}
% \put(10,5){\Vector{-135}{4.3}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
%
 \noindent должны быть коммутативны, что возможно только при
 условии $\jmath=0_A$ и $k=f$.

 \subsection{3.2.3}~Пусть $D_{\ob}\ne\emptyset$ и
 $D_{\mor}=\varnothing$. Тогда предел и копредел диаграммы $D$~---
 соответственно произведение и копроизведение множества объектов
 $D_{\ob}$.

 \subsubsec{(1)}~{\it Произведение}\/\subject{Произведение} непустого
 множества $\Cal K$-объектов $D\!:=D_{\ob}$~--- по определению
 $\Cal K$-объект $c$, обозначаемый символом $\prod_{d\in
 D}d$, \formula{$\prod_{d\in D}d$} и семейство морфизмов
 $(\pr_d:c\to d)_{d\in D}$ такие, что для произвольного семейства
 морфизмов $(f_d:b\to d)_{d\in D}$ существует и притом единственный
 морфизм $f:b\to c$, для которого $\pr_d\circ f=f_d$ для любого
 объекта $d\in D$. Морфизм $f$ при этом называют {\it произведением
 семейства морфизмов\/}\subject{Произведение морфизмов} $(f_d:b\to
 d)_{d\in D}$ относительно семейства {\it
 проекций\/}\subject{Проекция} $(\pr_d:c\to d)_{d\in D}$.

 \subsubsec{(2)}~{\it Копроизведение}\/\subject{Копроизведение}
 непустого множества $\Cal K$-объектов $D\!:=D_{\ob}$~--- по
 определению $\Cal K$-объект $c$, обозначаемый символом
 $\sum_{d\in D}d$, \formula{$\sum_{d\in D}d$} и семейство
 морфизмов $(\imath_d:d\to c)_{d\in D}$
 такие, что для произвольного семейства
 морфизмов $(f_d:d\to b)_{d\in D}$ существует и притом единственный
 морфизм $f:c\to b$, для которого $f\circ \imath_d=f_d$ для любого
 объекта $d\in D$. Морфизм $f$ при этом называют {\it
 копроизведением семейства морфизмов\/}\subject{Копроизведение
 семейства морфизмов} $(f_d:b\to d)_{d\in D}$ относительно
 семейства {\it инъекций\/}\subject{Инъекции} $(\imath_d:c\to d)_{d\in
 D}$.

 Выделим отдельно случай двух сомножителей (слагаемых).

 \subsubsec{(3)}~Произведение двух $\Cal K$-объектов $a$ и $b$
 представляет собой $\Cal K$-объ\-ект, обозначаемый символом
 $a\times  b$,\formula{$a\times  b$}
 и пару морфизмов
 $\pr_a:a\times b\to a$\formula{$\pr_a:a\times b\rightarrow a$}
 и
 $\pr_b:a\times b\to b$\formula{$\pr_b:a\times b\rightarrow b$}
 таких, что для  любой пары
 $\Cal K$-морфизмов $f:c\to a$ и $g:c\to b$ существует и притом
 единственный морфизм $\langle f,g\rangle :c\to a\times b$,\formula{$\langle f,g\rangle$}
 для которого диаграмма %Diag 3.2.3(1).
 $$
 \bfig
 \Atrianglepair/>`-->`>`<-`>/[c`a`a\times b`b;f`\langle f, g\rangle`g`\ \pr_a`\pr_b]
 \efig
 $$
% %\unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(16,9)(0,0)
% % spaces
% \put(8,8){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(15,1){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$a\times b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(4,5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(12,5){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(9.3,4){\makebox(0,0){$\langle f, g\rangle$}}}
% % arrows
% \put(8,7){\dashVec{-90}{5}}
% \put(9,7){\Vector{-45}{7}}
% \put(7,7){\Vector{-135}{7}}
% \put(6,0.8){\Vector{180}{4}}
% \put(10,0.8){\Vector{0}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна, т.~е. $\pr_a\circ \langle f,g\rangle=f$ и $\pr_b\circ
 \langle f,g\rangle=g$. Морфизм $\langle f,g\rangle$ называют
 {\it произведением морфизмов\/}\subject{Произведение морфизмов} $f$ и $g$
 относительно {\it проекций\/}\subject{Проекция} $\pr_a$ и $\pr_b$.

 \subsubsec{(4)}~Копроизведение двух $\Cal K$-объектов $a$ и $b$
 представляет собой $\Cal K$-объ\-ект, обозначаемый символом $a+b$,\formula{$a+b$}
 и пару морфизмов $\imath_a:a\to a+b$ и $\imath_b:b\to
 a+b$,\formula{$\imath_a:a\to a+b$}\formula{$\imath_b:b\to a+b$}
 таких,
 что для любой пары $\Cal K$-морфизмов $f:a\to c$ и $g:b\to c$
 существует и притом единственный морфизм $[f,g]:a+b\to c$,\formula{$[f,g]$}
 для которого диаграмма %Diag 3.2.3(2)
 $$
 \bfig
 \Vtrianglepair(800,200)|aalmb|/>`<-`>`-->`>/[a`a+b`b`c;\imath_a`\imath_b`f`{[f,g]}`g]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(16,10)(0,0)
% % spaces
% \put(8,1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(1,8){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(15,8){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(8,8){\makebox(0,0){$a + b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(4,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(12,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(9.3,5){\makebox(0,0){$[f,g]$}}}
% % arrows
% \put(8,7){\dashVec{-90}{5}}
% \put(2,7){\Vector{-45}{7}}
%  \put(14,7){\Vector{-135}{7}}
% \put(2,8.1){\Vector{0}{4}}
% \put(14,8.1){\Vector{180}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна,
 т.~е. $[f,g]\circ \imath_a=f$ и $[f,g]\circ \imath_b=g$.
 Морфизм $[f,g]$ называют {\it копроизведением морфизмов\/}\subject{Копроизведение морфизмов}
 $f$ и $g$
 относительно {\it инъекций\/}\subject{Инъекция} $\imath_a$ и $\imath_b$.

 \subsubsec{(5)}~В категории предпорядка произведение и
 копроизведение множества означают точную нижнюю и точную верхнюю
 границы соответственно. В категории $\Set$ произведение непустого
 семейства множеств $(A_i)_{i\in I}$~--- обычное декартово
 произведение $\prod_{i\in I}A_i$, а копроизведение~--- дизъюнктное
 объединение
 $\sum_{i\in I}A_i\!:=\bigcup_{i\in I}A_i\times\{i\}$.
 В подкатегории $\Top$ множества $\prod_{i\in I}A_i$ и
 $\bigcup_{i\in I}A_i\times\{i\}$
 следует снабдить тихоновской
 топологией и топологией суммы (2.5.4) соответственно. В
 категории $\Bool$ произведение и копроизведение совпадают
 соответственно с декартовым произведением и тензорным
 произведением булевых алгебр в смысле 2.2.5 и 2.2.7. В категориях
 $\Vect(\Bbb F)$ и $\VLat(\Bbb F)$ произведение семейства векторных пространств
 (решеток) $(X_i)_{i\in I}$ вновь дает обычное декартово
 произведение, а копроизведение совпадает с прямой суммой
 $\bigoplus_{i\in I}X_i$.

 \subsection{3.2.4}~Пусть $D_{\ob}$ состоит ровно из двух
 объектов $a$ и $b$ и $D_{\mor}$ содержит два морфизма $f:a\to b$ и
 $g:a\to b$. В этой ситуации предел и копредел диаграммы~$D$
 называют  соответственно
 {\it уравнителем\/}\subject{Уравнитель} и
 {\it коуравнителем\/}\subject{Коуравнитель}.

 Таким образом, уравнителем пары $\Cal K$-морфизмов $f,g:a\to b$
 является такой $\Cal K$-морфизм $\imath:e\to a$, что
 $f\circ \imath=g\circ
 \imath$ и для любого $\Cal K$-морфизма $h:c\to a$, удовлетворяющего
 равенству $f\circ h=g\circ h$,
 существует и притом только один
 \mbox{$\Cal K$-морфизм} $k:c\to e$, для которого $\imath\circ k=h$.

 Аналогично, коуравнителем пары $\Cal K$-морфизмов $f,g:a\to b$
 является такой $\Cal K$-морфизм $\jmath:b\to e$, что
 $\jmath\circ f=\jmath\circ g$
 и для любого $\Cal K$-морфизма $h:b\to c$, удовлетворяющего
 равенству $f\circ h=g\circ h$, существует и притом только один
 $\Cal K$-морфизм $k:e\to c$, для которого $\jmath\circ k=h$.

 Определения уравнителя и коуравнителя иллюстрируют следующие
 коммутативные диаграммы: %Diag 3.2.4
 $$
 \bfig
 \Vtriangle(-1050,-200)/>`<--`<-/[e`a`c;\imath`k`h]
 \morphism(0,300)|a|/@{>}@<2pt>/<380,0>[`b;f]
 \morphism(0,300)|b|/@{>}@<-2pt>/<380,0>[`b;g]
 \qquad
 \morphism(400,300)|a|/@{>}@<2pt>/<380,0>[a`;f]
 \morphism(400,300)|b|/@{>}@<-2pt>/<380,0>[a`;g]
 \Vtriangle(850,-200)/>`>`-->/[b`e`c;\jmath`h`k]
 \efig
 $$
%% \unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(17,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,6){\makebox(0,0){$e$}}
% \put(11,6){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(6,1.1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(17,6){\makebox(0,0){$b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(9.2,3.1){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(6,6.7){\makebox(0,0){$\imath$}}
% \put(14,7){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(14,5){\makebox(0,0){$g$}}}
% % arrows
% \put(2,6){\Vector{0}{8}}\put(12,6.3){\Vector{0}{4}}\put(12,5.7){\Vector{0}{4}}
% \put(7,2){\Vector{45}{4}}\put(5,2){\dashVec{135}{4}}
% \end{picture}
% \quad
% \begin{picture}(17,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,6){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(17,6){\makebox(0,0){$e$}}
% \put(12,1.1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(7,6){\makebox(0,0){$b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(4,7){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(4,5){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(12,6.7){\makebox(0,0){$q$}}
% \put(8.4,3.5){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(15.2,3.5){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(8,6){\Vector{0}{8}}
% \put(2,6.3){\Vector{0}{4}}
% \put(2,5.7){\Vector{0}{4}}
% \put(8,5){\Vector{-45}{4.1}}
% \put(16,5){\dashVec{-135}{4.1}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \subsubsec{(1)}\proclaim{} Всякий уравнитель является
 мономорфизмом и всякий коуравнитель является эпиморфизмом.
 \Endproc

 \beginproof~Пусть $\imath $~--- уравнитель $f$ и $g$ (см. диаграмму из определения уравнителя)
 и $\imath \circ p= \imath \circ q$ для некоторых $p,q:c\to e$.
 В указанной диаграмме положим $h\!:=\imath \circ p$.
 Тогда $f\circ h=f\circ(\imath \circ p)=(f\circ \imath )\circ p=(g\circ \imath )\circ p=g\circ (\imath \circ p)=g\circ h$ и,
 стало быть, по определению уравнителя существует единственный морфизм $k:c\to e$,
 для которого $\imath \circ k=h$.
 Из равенств $\imath \circ k=h=\imath \circ p$ в силу условия единственности в определении уравнителя
 получаем $k=p$. В то же время $\imath \circ q=\imath \circ p=h$. Следовательно,  $k=q$.
 Значит,    $p=q$  и уравнитель $\imath $ является мономорфизмом.~\endproof

 \subsubsec{(2)}\proclaim{} Эпиморфный уравнитель и мономорфный
 коуравнитель являются изоморфизмами. \Endproc

  \beginproof~Пусть $\imath$~--- эпиморфный уравнитель $f$ и $g$.
  Тогда $f\circ \imath=g\circ \imath$, а
  из определения эпиморфизма выводим $f=g$.
  Если в определении уравнителя положить $ c\!:=a$ и $h\!:=1_a$,
  то в силу очевидного равенства
  $f\circ 1_a=g\circ 1_a$ существует единственный морфизм $k:a\to e$,
  для которого $\imath\circ k=1_a$.
  Тем самым
  $\imath\circ k\circ \imath=1_a\circ \imath=\imath=\imath\circ 1_a$,
  что в силу предложения (1) дает $k\circ \imath=1_a$ и,
  следовательно, $k=\imath^{-1}$.~\endproof

 В категории $\Set$ уравнителем пары функций $f,g:A\to B$ служит
 тождественное вложение $\imath$ множества $E\!:=\{x\in A:\,f(x)=g(x)\}$
 в множество $A$. Для описания коуравнителя той же пары функций
 введем множество $S\!:=\{(f(x),g(x))\in B\times B:\,x\in A\}$.
 Пусть $\sim$~--- наименьшее отношение эквивалентности на $B$,
 содержащее $S$. Это определение корректно, так как пересечение
 непустого семейства отношений эквивалентности будет отношением
 эквивалентности и эквивалентность $B\times B$ содержит $S$.
 Коуравнителем пары $f,g$ будет фактор-отображение $\varphi:B\to B/\sim$.


 \subsection{3.2.5}~Пусть теперь $D_{\ob}$
 состоит ровно из
 трех объектов $a$, $b$ и $c$, а $D_{\mor}$ содержит два морфизма
 $f:a\to c$ и $g:b\to c$ с общим концом. В этой ситуации предел
 диаграммы $D$ называют {\it обратным образом}.\subject{Образ обратный}

 Конус для указанной диаграммы состоит из трех морфизмов $f':d\to
 b$, $g':d\to a$ и $h':d\to c$, для которых $h=g\circ f'=f\circ
 g'$. Поэтому конус  фактически определен фактически двумя морфизмами
 $f':d\to b$ и $g':d\to a$, для которых $g\circ f'=f\circ g'$.
 Итак, по определению предела диаграммы обратным образом пары $\Cal
 K$-морфизмов $f:a\to c$ и $g:b\to c$ будет пара $\Cal
 K$-морфизмов $f':d\to b$ и $g':d\to a$, обладающих следующими свойствами:

 \subsubsec{(1)}~$g\circ f'=f\circ g'$, т.~е. диаграмма
 $$
 \bfig
 \square[d`b`a`c;f'`g'`g`f]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$g'$}}
% \put(4,7.6){\makebox(0,0){$f'$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$g^{}$}}
% \put(4,0.5){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
\noindent коммутативна;

 \subsubsec{(2)}~для любых $\Cal K$-морфизмов $h:e\to a$ и $\jmath :e\to b$
 таких, что $f\circ h=g\circ \jmath $, существует и притом единственный
 $\Cal K$-морфизм $k:e\to d$, для которого выполнены равенства
 $h=g'\circ k$ и $\jmath =f'\circ k$, т.~е. диаграмма %Diag 3.2.5

 $$
 \bfig
 \pullback|brrb|[d`b`a`c;f'`g'`g`f]%
 |amb|/>`-->`>/<500,400>[e;\jmath`\,k\,`h]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,13)(0,0)
% % spaces
% \put(5,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(11,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(5,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(11,1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(1,11){\makebox(0,0){$e$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(8,7.7){\makebox(0,0){$f'$}}
% \put(8,0.5){\makebox(0,0){$f$}}
%% \put(8,1.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(5.7,4){\makebox(0,0){$g'$}}
% \put(11.5,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(3.2,9.4){\makebox(0,0){$k$}}
% \put(6,10.1){\makebox(0,0){$\jmath $}}
% \put(1.8,6){\makebox(0,0){$h$}}}
% % arrows
% \put(6,7){\Vector{0}{4}}
% \put(6,1){\Vector{0}{4}}
% \put(5,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(1.7,10.3){\dashVec{-45}{3.5}}
% \put(1,10){\Vector{-70}{8.5}}
% \put(2,11){\Vector{-20}{8.5}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна.

 Диаграмму из (1) называют {\it декартовым
 квадратом,\/}\subject{Квадрат декартов}
 если выполнены условия (1)
 и (2). При этом говорят, что $f'$~--- {\it обратный образ\/} $f$
 {\it относительно\/}\subject{Обратный образ $f$ относительно $g$}
 $g$ и $f'$ получается {\it подъемом\/} $f$
 {\it вдоль\/}\subject{Подъем вдоль морфизма} $g$.
 Аналогично, $g'$~--- {\it обратный образ\/} $g$ {\it относительно\/} $f$ и $g'$
 получается {\it подъемом\/} $g$ {\it вдоль\/}~$f$.

 Несложно убедиться, что если морфизм $k:e\to a\times b$ служит
 уравнителем морфизмов $f\circ\pr_a$ и $g\circ\pr_b$, то пара
 морфизмов $f^\prime\!:=\pr_b\circ k$ и $g^\prime\!:=\pr_a\circ k$
 будет обратным образом пары $f:a\to c$ и $g:b\to c$.

 В категории $\Set$ обратный образ двух отображений
 $f:A\to C$ и  $f:B\to C$~---
 это два отображения $f':D\to B$ и $g':D\to A$,
 определяемые соотношениями
 $$
 \gathered
 D\!:=\{(x,y)\in A\times B:\,f(x)=g(y)\},
 \\
  f':(x,y)\mapsto y,\quad g':(x,y)\mapsto x.
 \endgathered
 $$
 В категории $\Vect(\Bbb F)$ (или $\VLat(\Bbb F)$)
 обратным образом
 линейного оператора (решеточного гомоморфизма) $T:X\to Y$ и
 нулевого оператора $0:\bbold 0\to Y$ будет пара операторов $\iota
 :\ker(T)\to X$ и $0:\ker(T)\to\bbold 0$, где $\bbold 0$~---
 нульмерное векторное
 пространство, $\ker(T)$~--- ядро оператора $T$ и $\iota $~---
 тождественное вложение.

 \subsection{3.2.6}~Следующий простой факт,
 называемый {\it леммой о квадратах,\/}\subject{Лемма о квадратах}
 часто оказывается весьма полезным в теории топосов.

 \Proclaim{} Для коммутативной диаграммы %Diag. 3.2.6
 $$
 \bfig
 \square/>`<-`<-`>/[\bullet`\bullet`\bullet`\bullet;```]
 \square(500,0)/>``<-`>/[\ `\bullet`\ `\bullet;```]
 \efig
 $$
% %\unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,8)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bullet$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\bullet$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bullet$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\bullet$}}
% \put(13,1){\makebox(0,0){$\bullet$}}
% \put(13,7){\makebox(0,0){$\bullet$}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,2){\Vector{90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,2){\Vector{90}{4}}
% \put(8,7){\Vector{0}{4}}
% \put(8,1){\Vector{0}{4}}
% \put(13,2){\Vector{90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
\noindent cправедливы следующие утверждения\/$:$

 \subsubsec{(1)}~если два малых квадрата декартовы, то внешний
 прямоугольник также декартов\/$;$

 \subsubsec{(2)}~если внешний прямоугольник и правый квадрат
 декартовы, то левый квадрат также декартов. \Endproc

 \subsection{3.2.7} {\bf(1)}\proclaim{} Мономорфизмы и эпиморфизмы сохраняются при обратных
 образах. Точнее, если $f:a\to c$~--- мономорфизм $($эпиморфизм\/$)$ и
 квадрат

 $$
 \bfig
 \square[d`b`a`c;f'`g'`g`f]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$g'$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$f'$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(4,0.4){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent декартов, то $f':d\to b$ также будет мономорфизмом
 $($соответственно, эпиморфизмом\/$)$. \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. в  П.~Фрейд\author{Фрейд~П.}~\cite{Fre}.~\endproof

 Морфизмы $f:a\to c$ и $g: b\to c$ называют {\it дизъюнктными},\subject{Морфизмы дизъюнктные}
 если начальный объект $\bbold 0$ служит их обратным образом, т.~е. если квадрат
 $$
 \bfig
 \square[\bbold 0`b`a`c;0_b` 0_a`g`f]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$0_a$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$0_b$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(4,0.4){\makebox(0,0){$f$}}}
%% \put(4,1.5){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent декартов. В категории $\Set$ дизъюнктность $f$ и $g$ означает, что
 $\im(f)\cap\im(g)=\emptyset$.

 \subsubsec{(2)}\proclaim{} Если $f:a\rightarrowtail c$ и $g:b\rightarrowtail c$~---
 дизъюнктные мономорфизмы, то $[f,g]:a+b\to c$~--- мономорфизм.
 \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. в~Р.~Голдблатт\author{Голдблатт~Р. ()}~\cite{21}.~\endproof


 \subsection{3.2.8}~Двойственным по отношению к обратному образу
 является понятие {\it амальгамы}.\subject{Амальгама}
 Итак,
 амальгама~--- копредел диаграммы $D$, где $D_{\ob}$ содержит три
 объекта $a$, $b$ и $c$, а $D_{\mor}$ содержит два морфизма $f:a\to
 b$ и $g:a\to c$ с общим началом. Точнее, амальгамой $\Cal K$-морфизмов
 $f$ и $g$ будет пара $\Cal K$-морфизмов $f':c\to d$
 и $g':b\to d$, обладающих следующими свойствами:

 \subsubsec{(1)}~$g'\circ f=f'\circ g$;

 \subsubsec{(2)}~для любых $\Cal K$-морфизмов $h:b\to e$ и $\jmath :c\to
 e$ таких, что $h\circ f=\jmath \circ g$, существует и притом единственный $\Cal
 K$-морфизм $k:d\to e$, для которого выполнены равенства
 $h=k\circ g'$ и $\jmath =k\circ f'$.

 Нетрудно видеть, что амальгаму можно получить следующим образом.
 Рассмотрим копроизведение $b+c$ объектов $b$ и $c$ с инъекциями
 $\iota_b:b\to b+c$ и $\iota_c:c\to b+c$. Тогда амальгама $\Cal
 K$-морфизмов $f$ и $g$ будет коуравнителем пары $\Cal
 K$-морфизмов $\iota_b\circ f$ и $\iota_c\circ g$.

 Амальгама двух отображений $f:A\to B$ и $g:A\to
 C$ в категории $\Set$ получается, если в дизъюнктном объединении $B$ и $C$  для каждого
 $x\in A$ отождествить элементы $f(x)$ и  $g(x)$.

 \subsection{3.2.9}~Категорию называют {\it полной\/}\subject{Категория
 полная} ({\it кополной\/})\subject{Категория кополная}, если в ней
 каждая диаграмма имеет предел (копредел). Диаграмму называют {\it
 конечной}\subject{Диаграмма конечная}, если она содержит конечное
 число объектов и морфизмов. Если в категории каждая конечная
 диаграмма имеет предел (копредел), то ее называют {\it конечно
 полной\/}\subject{Категория конечно полная} ({\it конечно
 кополной\/}).\subject{Категория конечно кополная} О категории
 одновременно (конечно) полной и (конечно) кополной говорят как о
 (конечно) {\it биполной\/}\subject{Категория
 биполная}\subject{Категория конечно биполная} категории.

 \Proclaim{} Если категория $\Cal K$ имеет конечный $($начальный\/$)$
 объект и в ней любая пара морфизмов с общим концом $($с общим
 началом\/$)$ имеет обратный образ $($амальгаму\/$)$, то $\Cal K$
 конечно полна $($конечно кополна\/$)$. \Endproc


 \head
3. Functors
\endhead


 В этом параграфе даны  понятия функтора,
 естественного преобразования функторов и сопряженного функтора.
 Эти понятия относятся к числу важнейших в теории
 категорий.

 \subsection{3.3.1}~Рассмотрим категории $\Cal H$ и $\Cal K$.
 {\it Ковариантный функтор\/} \subject{Функтор ковариантный} $\Cal
 F:\Cal H\to\Cal K$ из $\Cal H$ в $\Cal K$~--- это отображение,
 область определения которого составлена из всех объектов и
 морфизмов категории $\Cal H$ и которое удовлетворяет следующим
 условиям:

 \subsubsec{(1)}~если $f:a\to b$~--- морфизм категории $\Cal
 H$, то $\Cal F(f):\Cal F (a)\to\Cal F (b)$;

 \subsubsec{(2)}~если $f:a\to b$ и $g:b\to c$~--- морфизмы
 категории $\Cal H$, то $\Cal F(gf)=\Cal F(g)\Cal F(f)$;

 \subsubsec{(3)}~если $a\in\Ob\Cal H$, то $\Cal F (1_a)=1_{\Cal F
 (a)}$.

 Итак, для каждой пары объектов $a,b\in\Ob\Cal H$ функтор $\Cal F$
 определяет отображение $\Cal F _{a,b}:H_{\Cal H}(a,b)\to H_{\Cal
 K}(a,b)$. Если $\Cal F_{a,b}$ инъективно (сюръективно) при любых
 $a$ и $b$, то функтор $\Cal F$ называют {\it унивалентным\/} ({\it
 полным}).\subject{Функтор унивалентный}\subject{Функтор полный}
 Категорию называют {\it малой},\subject{Категория малая} если
 объекты этой категории образуют множество.

 Ковариантный функтор из $\Cal H ^\ast$ в $\Cal K$ (или из $\Cal H$
 в $\Cal K^\ast$) называют {\it контравариантным
 функтором\/}\subject{Функтор контравариантный} из $\Cal H$ в $\Cal
 K$. В дальнейшем слово функтор означает ковариантный функтор.

 \subsection{3.3.2}~Для двух функторов $\Cal F_1:\Cal K\to\Cal K'$
 и $\Cal F_2:\Cal K'\to\Cal K''$ можно определить композицию $\Cal
 F_2\circ\Cal F_1$ соотношениями
 $$
 \gathered
 \Cal F_2\circ\Cal F_1:a\mapsto\Cal F_2(\Cal F_1(a))
 \quad (a\in\Ob\Cal K),
 \\[1\jot]
 \Cal F_2\circ\Cal F_1:f\mapsto\Cal F_2(\Cal
 F_1(f))\quad (f\in\Mor\Cal K).
 \endgathered
 $$
 Композиция функторов ассоциативна. Для каждой категории $\Cal K$
 существует тождественный функтор $I_{\Cal K}$,
 который служит единицей относительно композиции морфизмов.

 Эти свойства позволяют ввести еще один пример категории~---
 категорию $\Cat$\formula{$\Cat$} малых категорий. Объектами $\Cat$
 служат все малые категории, а морфизмами~--- функторы.

 {\it Изоморфизмом категорий\/}\subject{Изоморфизм категорий} $\Cal
 H$ и $\Cal K$ называют функтор $\Cal F:\Cal H\to\Cal K$,
 являющийся биекцией как на объектах, так и на морфизмах. Как
 видно, функтор $\Cal F:\Cal H\to\Cal K$ будет изоморфизмом в том и
 только в том случае, если существует функтор $\Cal G:\Cal K\to\Cal
 H$, для которого обе композиции $\Cal G\circ\Cal F$ и $\Cal
 F\circ\Cal G$ являются тождественными функторами на $\Cal H$ и на
 $\Cal K$ соответственно. Более общее понятие эквивалентности
 категорий будет введено ниже в 3.3.5.

 \subsection{3.3.3}~Рассмотрим примеры функторов.

 \subsubsec{(1)}~Если $\Cal H$~--- подкатегория категории $\Cal K$,
 то функтор тождественного вложения $\iota\!:=\iota_{\Cal H}:\Cal H\to\Cal K$
 определяют равенствами $\iota(a)=a$
 ${(a\in\Ob\Cal H)}$ и $\iota(f)=f$ $(f\in\Mor\Cal H)$.
 Так же определяют
 тождественный функтор ${\id_{\Cal K}:\Cal K\to\Cal K}$.

 \subsubsec{(2)}~{\it Забывающий функтор\/}\subject{Функтор
 забывающий} действует из произвольной категории структурированных
 множеств $\Cal K$ в категорию $\Set$. Он сопоставляет каждому
 $\Cal K$-объ\-екту несущее множество этого объекта, а каждому $\Cal
 K$-морфизму~--- сам этот морфизм, рассматриваемый как
 теоретико-множественное отображение. Тем самым забывающий функтор
 <<пренебрегает>> структурой $\Cal K$-объекта и свойством
 \mbox{$\Cal K$-морфизма} сохранять эту структуру.

 \subsubsec{(3)}~Пусть в категории $\Cal K$ существуют произведения
 $a\times c$ и $b\times d$. Возьмем два морфизма $f:a\to b$ и
 $g:c\to d$ и образуем два новых морфизма $f\circ \pr_a:a\times
 c\to b$ и $g\circ \pr_c:a\times c\to d$. По определению
 произведения $b\times d$ существует единственный морфизм
 $h:a\times c\to b\times d$, для которого $\pr_b\circ h=f\circ
 \pr_a$ и $\pr_d\circ h=g\circ \pr_c$. Морфизм $h$ принято называть
 {\it произведением морфизмов\/}\subject{Произведение морфизмов}
 $f$ и $g$ и обозначать символом $f\times g$.\formula{$f\times g$}

 Если в категории $\Cal K$ существует произведение любых двух
 объектов, то каждый фиксированный объект $a\in\Ob\Cal K$
 определяет функтор $(\cdot)\times a:\Cal K\to\Cal
 K$,\formula{$(\cdot)\times a$} сопоставляющий объекту $b$ объект
 $b\times a$, а морфизму $f:b\to c$ ---
 морфизм $f\times 1_a:b\times
 a\to c\times a$.

 \subsubsec{(4)}~Фиксированный объект $a$ категории $\Cal K$
 определяет функтор $H_\Cal K(a,\cdot):\Cal K\to\Set$,\formula{$H_\Cal K(a,\cdot)$}
 называемый {\it ковариантным $\hom$-функтором\/}\subject{$\hom$-функтор ковариантный}
 и сопоставляющий объекту $b$ множество $H_{\Cal K}(a,b)$ всех
 морфизмов из $a$ в $b$, а каждому морфизму $f:b\to c$
 --- отображение
 $H_{\Cal K}(a,f):H_{\Cal K}(a,b)\to H_{\Cal K}(a,c)$, переводящее
 $g$ в $f\circ g$.

 \subsubsec{(5)}~Аналогично определяют {\it контравариантный\/
 $\hom$-функтор\/}\subject{$\hom$-функтор контравариантный}
 $H_\Cal K(\cdot,a):\Cal K\to\Set$,\formula{$H_\Cal K(\cdot,a)$}
 сопоставляющий объекту $b$ множество $H_{\Cal K}(b,a)$ всех
 морфизмов из $b$ в $a$, а каждому морфизму $f:b\to c$
 --- отображение
 $H_{\Cal K}(f,a):H_{\Cal K}(c,a)\to H_{\Cal K}(b,a)$, переводящее
 $g$ в $g\circ f$.

 \subsubsec{(6)}~Обозначим символом $\St$ отображение,
 сопоставляющее булевой алгебре $B$ ее стоунов компакт
 $\St(B)$, а булеву гомоморфизму $h:B\to C$ то единственное
 непрерывное отображение $\varphi\!:=\St(h):\St(C)\to\St(B)$, для
 которого $h(b)=\iota_C^{-1}\varphi^{-1}(\iota_B(b))$, где
 $\iota_B:B\to\Clop(\St(B))$~---
 стоуново представление алгебры~$B$, см. теорему Сикорского 2.4.8.

 Отображение $\St$ является контравариантным функ\-тором из
 категории $\Bool$ в категорию $\Comp$, называемым {\it функтором
 Стоуна}.\subject{Функтор Стоуна}

 \subsubsec{(7)}~Примером ковариантного функтора из категории
 $\Vect(\Bbb F)$ в нее же служит отображение, сопоставляющее
 произвольному векторному пространству $X$ над $\Bbb F$
 алгебраически сопряженное пространство $X^{\#}$ ($=$~пространство
 всех линейных функционалов $x^{\#}:X\to\Bbb F$), а линейному оператору
 $T:X\to Y$~--- алгебраически сопряженный оператор
 $T^{\#}:Y^{\#}\to X^{\#}$, определяемый соотношением $\langle
 x\,|\,T^{\#}y^{\#}\rangle\!:=\langle Tx\,|\,y^{\#}\,\rangle$ $(x\in
 X,\,y^{\#}\in Y^{\#})$, где $\langle
 x\,|\,x^{\#}\rangle\!:=x^{\#}(x)$.

 \subsubsec{(8)}~По теореме Алаоглу~--- Бурбаки единичный шар в
 сопряженном банаховом пространстве является компактом в $*$-слабой
 топологии. Пусть отображение $\Cal U$ сопоставляет каждому
 банахову пространству $X$ единичный шар $\Cal U(X)$ сопряженного
 пространства $X'$, снабженный слабой топологией $\sigma (X',X)$.
 Линейному сжатию $T:X\to Y$ поставим в
 соответствие непрерывное отображение $\Cal U(T):\Cal U(Y)\to\Cal U(X)$,
 где $\Cal U(T)$~--- ограничение сопряженного оператора $T'$ на
 единичный шар пространства $Y'$.  Тогда $\Cal U$~---
 контравариантный функтор из $\Ban_1$ в $\Comp$.

 \subsubsec{(9)}~Рассматривая топологическое пространство $Q$, обозначим
 символом $C_b(Q)$ банахово пространство всех ограниченных
 непрерывных функций из $Q$ в $\Bbb R$. С~произвольным непрерывным
 отображением $\sigma:Q\to P$ свяжем линейный сжимающий оператор
 $\sigma^\ast:C_b(P)\to C_b(Q)$, действующий по правилу $u\mapsto
 u\circ\sigma$ $(u\in C_b(Y))$.
 Легко видеть, что отображение $C_b$, действующее по правилу
 $Q\to C_b(Q)$, $\sigma\mapsto C_b(\sigma)\!:=\sigma^*$,
 является контравариантным функтором из $\Top$ в $\Ban_1$.

 \subsection{3.3.4}~Пусть $\Cal H$ и $\Cal K$~--- категории.
 Рассмотрим ковариантные функторы $\Cal F:\Cal H\to\Cal K$ и $\Cal
 G:\Cal H\to\Cal K$. {\it Естественным
 преобразованием\/}\subject{Преобразование функтора естественное}
 $\varphi:\Cal F\to\Cal G$  функтора $\Cal F$ в функтор $\Cal G$
 называют отображение $\varphi:\Ob\Cal H\to\Mor\Cal K$ такое, что

 \subsubsec{(1)}~$\varphi _a\!:=\varphi(a)\in H_{\Cal K}(\Cal
 F(a),\Cal F(b))$ для любого $a\in\Ob\Cal H$;

 \subsubsec{(2)}~для любого морфизма $f:a\to b$ категории
 $\Cal H$ диаграмма
 $$
 \bfig
 \square<700,600>[\Cal F(a)`\,\Cal G(a)`\Cal F(b)`\,\Cal G(b);\varphi _a`\Cal F(f)`\Cal G(f)`\varphi_b]
 \efig
 $$


%% \unitlength=5mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(10,11)(0,0)
% % spaces
% \put(2,9){\makebox(0,0){$\Cal F(a)$}}
% \put(10,9){\makebox(0,0){$\Cal G(a)$}}
% \put(2,2){\makebox(0,0){$\Cal F(b)$}}
% \put(10,2){\makebox(0,0){$\Cal G(b)$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.8,5.5){\makebox(0,0){$\Cal F(f)$}}
% \put(6,9.5){\makebox(0,0){$\varphi _a$}}
% \put(11.2,5.5){\makebox(0,0){$\Cal G(f)$}}
% \put(6,1.5){\makebox(0,0){$\varphi_b$}}}
% % arrows
% \put(4,9){\Vector{0}{4}}
% \put(2,7.5){\Vector{-90}{4}}
% \put(4,2){\Vector{0}{4}}
% \put(10,7.5){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent коммутативна, т.~е. $\Cal G(f)\varphi_a=\varphi_b\Cal F(f)$.
 Если функторы $\Cal F$ и $\Cal G$ контравариантны, то определение функторного морфизма
 претерпевает единственное изменение: в последней диаграмме
 вертикальные стрелки меняют направления. В этой
 ситуации говорят также, что $\varphi$~--- {\it функторный
 морфизм\/}\subject{Морфизм функторный}
 из функтора $\Cal F$ в
 функтор $\Cal G$ и пишут $\varphi:\Cal G\to\Cal G$.
 Если заданы
 два функторных морфизма $\varphi:\Cal F\to\Cal G$ и
 $\psi:\Cal G\to\Cal G'$, то можно ввести их композицию $\psi
 \varphi\!:=\psi\circ\varphi$ как функторный морфизм из $\Cal F$ в
 $\Cal G'$, определенный правилом
 $\psi\circ\varphi(a)\!:=\psi(a)\circ\varphi(a)$ $(a\in\Ob\Cal H)$.

 С понятием функторного морфизма связан еще один пример категории,
 а именно категория функторов $\Funct(\Cal H,\Cal K)$, где
 $\Cal H$~--- малая категория. Объектами этой категории являются
 всевозможные функторы из $\Cal H$ в $\Cal K$, а множество морфизмов
 $\Hom(\Cal F,\Cal G)$ состоит из всех функторных морфизмов из
 $\Cal H$ в $\Cal K$.

 Естественное преобразование $\varphi:\Cal F\to\Cal G$ называют
 {\it естественной эквивалентностью
 функторов\/}\subject{Эквивалентность функторов естественная}
 $\Cal F$ и $\Cal G$ или {\it функторным
 изоморфизмом\/}\subject{Изоморфизм функторный}
 между $\Cal F$
 и~$\Cal G$, если $\varphi_a$ есть изоморфизм в категории $\Cal K$
 для каждого $a\in\Ob\Cal H$. В этом случае отображения
 $\varphi^{-1}_a$ образуют естественное преобразование $\Cal G$ в
 $\Cal F$, которое мы обозначим через $\varphi ^{-1}$.

 \subsection{3.3.5}~Категории $\Cal H$ и $\Cal K$ называют
 {\it эквивалентными},\subject{Категории эквивалентные}
 если
 существуют функторы $\Cal F:\Cal H\to\Cal K$ и $\Cal G:\Cal
 K\to\Cal H$ такие, что функтор $\Cal F\Cal G$ естественно
 изоморфен тождественному функтору $I_{\Cal H}$, а функтор $\Cal
 G\Cal F$ естественно изоморфен тождественному функтору $I_{\Cal
 K}$. При этом говорят, что функторы $\Cal F$ и $\Cal G$ {\it
 устанавливают эквивалентность категорий\/} $\Cal H$ и $\Cal K$.

 Отношение эквивалентности между категориями рефлексивно,
 симметрично и транзитивно. Рассмотрим примеры эквивалентных
 категорий.

 \subsubsec{(1)}~Пусть $\DComp$~--- полная подкатегория категории
 $\Comp$, объекты которой~--- вполне несвязные компакты. Функтор Стоуна $\St$
 устанавливает изоморфизм категорий $\Bool$ и $\DComp$.

 \subsubsec{(2)}~Категория $\Comp$\formula{$\Comp$}
 эквивалентна категории
 коммутативных $C^\ast$-алгебр с единицей (теорема Гельфанда~---
 Наймарка).  Эквивалентность этих категорий показывает функтор
 $C(\cdot,\Bbb C)$, который  переводит компакт $X$ в
 $C^\ast$-алгебру непрерывных комплексных функций на $X$, а
 непрерывное отображение $\sigma:X\to Y$
 --- в оператор замены переменной
 $C(\sigma,\Bbb C):x\mapsto x\circ\sigma$ $(x\in C(Y,\Bbb C))$.

 \subsubsec{(3)}~Пусть $\CAb$\formula{$\CAb$}~--- категория компактных абелевых
 групп и непрерывных групповых гомоморфизмов. Отображение,
 сопоставляющее топологической группе $G$ ее группу непрерывных
 характеров $G^\ast$, определяет эквивалентность категорий (теорема
 двойственности Понтрягина).

 \subsubsec{(4)}~Пусть $\Vect_f(\Bbb F)$~--- полная подкатегория
 категории $\Vect(\Bbb F)$, состоящая из конечномерных пространств.
 Эта категория эквивалентна категории матриц $\Matr(\Bbb F)$ над
 полем $\Bbb F$, объектами которой служат все целые положительные числа, а
 морфизмами $A:n\to m$~--- все прямоугольные $m\times n$-матрицы с
 обычным умножением матриц в качестве композиции.

 \subsection{3.3.6}
 \proclaim{} Категории $\Cal H$ и $\Cal K$ эквивалентны в том и
 только в том случае, если существует полный унивалентный функтор
 $\Cal F$ из $\Cal H$ в $\Cal K$ такой, что для каждого объекта
 $b\in\Ob\Cal K$ существует изоморфный ему объект вида $\Cal F
 (a)$, где $a\in\Ob\Cal H$. \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. в книгах
 И.~Букура\author{Букур~И.} и А.~Деляну\author{Деляну~А.}~\cite[предложение~1.19]{11},
 С.~Маклейна\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)}~\cite[теорема 4.4.1]{Mac},
 М.~Ш.~Цаленко\author{Цаленко~М.~Ш. (Tsalenko~M.~Sh.)} и
 Е.~Г.~Шульгейфера\author{Шульгейфер~Е.~Г. (Shul$'$ge\u\i fer~E.~G.)}
 \cite[предложение~3.8]{141}.~\endproof

 \subsection{3.3.7}~Возьмем функторы $\Cal F:\Cal H\to\Cal K$ и
 $\Cal G:\Cal K\to\Cal H$. Сопоставим этим функторам два новых
 функтора $H^{\Cal F}$ и $H_{\Cal G}$ из категории $\Cal H^*\times\Cal K$
 в категорию множеств и отображений. Именно,
 для любых $a\in\Ob\Cal H$, $b\in\Ob\Cal K$,
 $u\in H_{\Cal H}(a,a')$, $v\in H_{\Cal K}(b,b')$ положим
 $$
 \gathered H^{\Cal F}(a,b)\!:=H_{\Cal K}(\Cal F (a),b),
 \\[0.5\jot]
 H_{\Cal G}(a,b)\!:=H_{\Cal H}(a,\Cal G (b)),
 \\[0.5\jot]
 H^{\Cal F}(u,v):f\to v f\Cal F(u),
 \\[0.5\jot]
 H_{\Cal G}(u,v):g\to\Cal G (v)gu,
 \endgathered
 $$
 где $f\in H_{\Cal K}(\Cal F (u),b)$ и $g\in H_{\Cal H}(a,\Cal G (b))$.

 Говорят, что {\it функторы $\Cal F$ и $\Cal G$ составляют
 сопряженную пару,\/}\subject{Пара сопряженная}
 если функторы
 $H^{\Cal F}$ и $H_{\Cal G}$ изоморфны. При этом $\Cal F$ называют
 {\it левым сопряженным\/}\subject{Функтор сопряженный левый}
 к  $\Cal G$, а $\Cal G$~---
 {\it правым сопряженным\/}\subject{Функтор сопряженный правый}
 к $\Cal F$. Изоморфизм $\varphi:H^{\Cal F}\to
 H_{\Cal G}$ называют {\it сопряжением,\/}\subject{Сопряжение} а
 обратный изоморфизм $\varphi ^{-1}$~--- {\it
 косопряжением}.\subject{Косопряжение}

 \subsection{3.3.8}~Пусть $\Cal G:\Cal H\to \Cal K$~---
 произвольный функтор. Объект $b\in\Ob\Cal H$ называют {\it
 свободным объектом над $\Cal K$-объектом $a$ относительно
 функтора\/}\subject{Объект относительно функтора свободный}
 $\Cal G$, если существует такой $\Cal K$-морфизм $f:a\to\Cal G(b)$, что
 любой $\Cal K$-морфизм $g:a\to\Cal G(c)$, $c\in\Ob\Cal H$,
 представим в виде композиции $g=f\circ G(h)$ для однозначно
 определенного $\Cal H$-морфизма $h:b\to c$. При этом $f$ именуют
 {\it определяющим морфизмом}.\subject{Морфизм определяющий}
 Двойственным образом определяют {\it косвободный объект\/} и
 {\it коопределяющий морфизм}.\subject{Морфизм коопределяющий}

 \proclaim{} Функтор $\Cal G:\Cal H\to \Cal K$ обладает левым
 сопряженным функтором $\Cal F:\Cal K\to \Cal H$ в том и только в
 том случае, если для каждого $\Cal K$-объекта $a$ существует
 $\Cal H$-объ\-ект $b$, свободный над $a$ относительно $\Cal G$.
 \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. у
 М.~Ш.~Цаленко\author{Цаленко~М.~Ш.} и
 Е.~Г.~Шульгейфера\author{Шульгейфер~Е.~Г.} \cite[Гл.\,IV, предложение~1.8]{141}.~\endproof

 \subsection{3.3.9}~В качестве важного примера дадим описание
 правого сопряженного функтора к функтору $(\cdot)\times a$, см. 3.3.3\,(3).

 Возьмем два объекта $a$ и $b$ категории $\Cal K$. {\it
 Экспоненциал\/}\subject{Экспоненциал} и {\it морфизм
 значения\/}\subject{Морфизм значения}
 определяют как $\Cal K$-объект $b^a$ и $\Cal K$-морфизм $\ev:b^a\times a\to b$,
 удовлетворяющие условию: для любых $\Cal K$-объекта $c$ и
 $\Cal K$-морфизма $g:c\times a\to b$ существует единственный
 $\Cal K$-морфизм $\bar{g}:c\to b^a$, для которого диаграмма
 $$
 \bfig
 \qtriangle|alr|<800,500>[\ \ \ c\times a`\,b^a\times a`b;\bar{g}\times 1_a`g`\ev]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(13,9)(0,0)
% % spaces
% \put(11,1){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(2,7){\makebox(0,0){$c\times a$}}
% \put(11,7){\makebox(0,0){$b^a\times a$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(6,7.7){\makebox(0,0){$\bar{g}\times 1_a$}}
% \put(11.8,4){\makebox(0,0){$\ev$}}
% \put(5,3.6){\makebox(0,0){$g$}}}
% % arrows
% \put(4,7){\Vector{0}{4.5}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,6){\Vector{-30}{9}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна, т.~е. $\ev\circ (\bar{g}\times 1_a)=g$.
 Функция, сопоставляющая морфизму $g$ морфизм $\bar{g}$,
 устанавливает биекцию между множествами $H_{\Cal K}(c\times a,b)$
 и $H_{\Cal K}(c,b^a)$.
 Два морфизма $g$ и $\bar{g}$,
 соответствующие друг другу в силу этой биекции, называют {\it
 экспоненциально присоединенными\/}\subject{Морфизмы,
 экспоненциально присоединенные} друг к другу.

 Говорят что категория $\Cal K$ допускает {\it
 экспоненцирование},\subject{Экспоненцирование} если в ней для
 любых двух объектов $a$ и $b$ существуют произведение $a\times b$,
 экспоненциал $b^a$ и морфизм значения $\ev$. Категорию называют
 {\it декартово замкнутой},\subject{Категория декартово
 замкнутая} если она конечно полна и допускает экспоненцирование. В
 такой категории для объекта $d$ также существуют экспоненциал
 $d^a$ и морфизм значения $\ev':d^a\times a\to d$. Возьмем морфизм
 $f:d\to b$. Тогда для композиции $f\circ\ev':d^a\times a\to b$
 существует экспоненциально присоединенный морфизм, который
 мы обозначим символом $f^a$. Итак, $f^a$~--- единственный морфизм из
 $d^a$ в $b^a$, для которого диаграмма
 $$
 \bfig
 \qtriangle|alr|<800,500>[\ \ \ d^a\times a`\,b^a\times a`b;f^a\times 1_a`f\circ\ev'`\ev]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(13,9)(0,0)
% % spaces
% \put(11,1){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(2,7){\makebox(0,0){$d^a\times a$}}
% \put(11,7){\makebox(0,0){$b^a\times a$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(6,7.7){\makebox(0,0){$f^a\times 1_a$}}
% \put(11.8,4){\makebox(0,0){$\ev$}}
% \put(4,3.6){\makebox(0,0){$f\circ\ev'$}}}
% % arrows
% \put(4,7){\Vector{0}{4.5}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,6){\Vector{-30}{9}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна.

 В декартово замкнутой категории $\Cal K$ определен функтор
 $(\cdot)^a$,\formula{$(\cdot)^a$} сопоставляющий объекту $b$
 объект $b^a$, а морфизму $f:c\to b$ ---
 морфизм $f^a:c^a\to b^a$. Этот
 функтор является правым сопряженным к функтору $(\cdot)\times a$.
 Таким образом, имеет место утверждение.

 \Proclaim{}Категория $\Cal K$ допускает экспоненцирование в том и
 только в том случае, если функтор $(\cdot)^a$ имеет правый
 сопряженный для любого $\Cal K$-объекта $a$. \Endproc

 \subsection{3.3.10}~Пусть $\Cal K$~--- подкатегория категории
 $\Cal H$ и пусть $\iota:\Cal K\to\Cal H$~--- функтор тождественного
 вложения. Если $\Cal K$-объект $b$ свободен над $\Cal H$-объектом
 $a$ относительно $\iota$, то $b$ называют $\Cal K$-{\it
 рефлектором\/} объекта $a\in\Ob\Cal
 H$. Таким образом, $b\in\Ob\Cal K$ будет
 $\Cal K$-{\it рефлектором\/} объекта $a\in\Ob\Cal H$, если существует такой
 $\Cal H$-морфизм $\varphi:a\to b$, что всякий $\Cal H$-морфизм
 $f:a\to c$, $c\in\Ob\Cal K$, представим в виде
 $f=\varphi g$ для однозначно определенного $\Cal K$-морфизма  $g:b\to c$.
 Подкатегорию $\Cal K$ называют
 {\it  рефлективной,\/}\subject{Подкатегория рефлективная}
 если для
 каждого объекта категории $\Cal H$ существует $\Cal K$-рефлектор.
 Двойственным образом вводят понятия
 {\it корефлектора\/}\subject{Корефлектор} и
 {\it корефлективной подкатегории}.\subject{Подкатегория корефлективная}

 \subsubsec{(1)}\proclaim{} Подкатегория $\Cal K$ категории $\Cal
 H$ будет рефлективной {\rm(}корефлективной{\rm)}
  в том и только в том
 случае, когда функтор тождественного вложения $\iota_{\Cal K}:\Cal
 K\to\Cal H$ обладает сопряженным слева $($справа\/$)$ функтором
 $\Cal R:\Cal H\to\Cal K$. \Endproc

 Функтор $\Cal R$ называют $\Cal K$-{\it рефлектором
 категории\/}\subject{$\Cal K$-рефлектор категории} $\Cal H$. Пусть
 $\pi:\id_{\Cal H}\to\Cal R\circ\iota_{\Cal K}$ обозначает единицу
 сопряжения.

 \subsubsec{(2)}\proclaim{} Рефлективная подкатегория $\Cal K$
 категории $\Cal H$ будет полной подкатегорией в том и только в том
 случае, когда для любого $\Cal K$-объекта $a$ выполняется
 $\pi_a\in\Mor\Cal K$. \Endproc

 \subsection{3.3.11}~Рассмотрим примеры рефлективных подкатегорий.

 \subsubsec{(1)}~Если $\Cal K$~--- рефлективная подкатегория
 категории $\Cal H$, а $\Cal K'$~--- рефлективная подкатегория
 категории $\Cal K$, то $\Cal K'$~--- рефлективная подкатегория
 категории $\Cal H$. При этом рефлектором $\Cal R':\Cal H\to\Cal
 K'$ служит композиция $\Cal R''\Cal R$ рефлекторов $\Cal R:\Cal
 H\to\Cal K$ и $\Cal R'':\Cal K\to\Cal K'$.

 \subsubsec{(2)}~Пусть $\Cal K$~--- рефлективная подкатегория
 категории $\Cal H$. Тогда для любой малой категории $\Cal D$
 категория $\Funct(\Cal D,\Cal K)$ будет рефлективной подкатегорией
 категории $\Funct(\Cal D,\Cal H)$.

 \subsubsec{(3)}~Пусть $\CBool$ обозначает подкатегорию категории
 $\Bool$, состоящую из полных булевых алгебр и булевых мономорфизмов.
 Тогда $\CBool$~--- рефлективная
 подкатегория категории $\Bool$. Рефлектором булевой алгебры служит
 ее порядковое пополнение, см. 2.2.8.

 \subsubsec{(4)}~Пусть $\AVLat(\Bbb R)$~--- полная подкатегория
 категории $\VLat(\Bbb R)$, состоящая из архимедовых векторных
 решеток. Тогда $\AVLat(\Bbb R)$ будет рефлективной подкатегорией
 категории $\VLat(\Bbb R)$. Рефлектором векторной решетки $X$ служит
 фактор-решетка $X/\Cal N$, где $\Cal N$~--- порядковый идеал,
 состоящий из элементов $x\in X$, удовлетворяющих неравенству
 $|x|\leq ny$ для некоторого $0\leq y\in X$ и для всех $n\in\Bbb
 N$.

 \subsubsec{(5)}~Пусть $\CVLat(\Bbb R)$~--- подкатегория категории
 $\AVLat(\Bbb R)$, состоящая из порядково полных векторных решеток и
 порядково непрерывных решеточных гомоморфизмов. Тогда $\CVLat(\Bbb R)$
 будет рефлективной подкатегорией категории $\AVLat(\Bbb R)$.
 Рефлектором векторной решетки служит ее дедекиндово пополнение.

 \subsubsec{(6)}~Пусть $\TTop$~--- категория вполне регулярных
 (тихоновских) хаусдорфовых топологических пространств и
 непрерывных отображений. Тогда полная подкатегория $\Comp$
 является рефлективной подкатегорией, причем рефлектор отображает
 каждое тихоновское пространство в его компактификацию Стоуна~---
 Чеха.

 \subsubsec{(7)}~Обозначим символом $\EDComp$ полную подкатегорию
 категории $\Comp$, состоящую из экстремально несвязных компактов.
 Тогда $\EDComp$ является корефлективной подкатегорией, причем
 корефлектор отображает каждый компакт в его абсолют.


 \head
4. Topoi
\endhead


 Здесь собраны определения и простейшие свойства топосов
 --- категорий, составляющих  социум для различных вариантов
  теории множеств.

 \subsection{3.4.1}~Рассмотрим произвольную категорию $\Cal K$.
 {\it Подобъектом\/}\subject{Подобъект} $\Cal K$-объекта~$d$
 называют любой мономорфизм $f:a\to d$ с концом в~$d$. Введем
 отношение включения для подобъектов. Возьмем два подобъекта
 $f:a\to d$ и $g:b\to d$ объекта~$d$. Если существует такой $\Cal
 K$-морфизм $h:a\to b$, что $f=g\circ h$, то пишут $f\subset g$.
 Введенное отношение $\subset$, очевидно, рефлексивно и
 транзитивно, однако оно не антисимметрично. В действительности,
 если $f\subset g$ и $g\subset f$, то $f=g\circ h$ и $g=f\circ k$
 для некоторых $\Cal K$-морфизмов $h:a\to b$ и $k:b\to a$. Более
 того, $h$ и $k$ взаимно обратны. Следовательно, $f$ и $g$ имеют
 изоморфные начала. На этом основании подобъекты $f$ и $g$
 мы будем
 называть изоморфными и писать $f\simeq g$.

 Итак, отношение $\subset$ является предпорядком на классе всех
 подобъектов и для образования упорядоченного множества необходима
 факторизация (см. 1.5.8). Обозначим символом $\Sub(d)$\formula{$\Sub(d)$}
 фактор-класс предупорядоченного класса всех под\-объектов
 объекта~$d$. В дальнейшем, допуская обычную вольность,
 мы будем отождествлять класс
 эквивалентности и представитель этого класса.
 Согласно этому соглашению подобъект~--- это и мономорфизм, и класс
 эквивалентности этого мономорфизма, а что
 подразумевается в точности, видно из контекста.

 \subsection{3.4.2}~Пусть $\Cal K$~--- категория с конечным
 объектом $\bbold 1$. {\it Классификатором подобъектов\/}
 \subject{Классификатор подобъектов} для $\Cal K$ называют
 $\Cal K$-объект $\Omega$ и $\Cal K$-морфизм
 $\top:\bbold 1\to\Omega$,\formula{$\top:\bbold 1\to\Omega$}
 удовлетворяющие условию: для любого мономорфизма $f:a\to d$
 существует и притом единственный $\Cal K$-морфизм
 $\chi_f:d\to\Omega$,\formula{$\chi_f$} для которого диаграмма

 $$
 \bfig
 \square[a`d`\bbold 1`\Omega;f``\chi_f`\top]
 \efig
 $$

%% \unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% %\put(1,4.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(8,4){\makebox(0,0){$\chi_f$}}
% \put(4,0.4){\makebox(0,0){$\top$}}}
%% \put(4,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent является декартовым квадратом.  Морфизм $\chi_f$ называют
 {\it характеристическим морфизмом\/}\subject{Морфизм характеристический} или
 {\it характером\/}\subject{Характер мономорфизма} мономорфизма $f$.

 \subsubsec{(1)}~{\sl Любой морфизм, началом которого служит конечный объект, мономорфен.
 В частности, $\top:\bbold 1\to \Omega$~--- мономорфизм.}

 \beginproof~Следует непосредственно из определений.~\endproof

 \subsubsec{(2)}~{\sl Справедливы следующие равенства\/}:
 $$
 \chi_{\top}=1_\Omega,\quad \chi_{1_\Omega}=\top\circ |_\Omega.
 $$

 \beginproof~Легко видеть, что следующие три диаграммы:
 $$
 \bfig
 \square[\bbold 1`\Omega`\bbold 1`\Omega;\top``1_\Omega`\top]
 \efig
 \qquad
 \bfig
 \square[\bbold 1`\bbold 1`\bbold 1`\Omega;``\top`\top]
 \efig
 \qquad
 \bfig
 \square[\Omega`\Omega`\bbold 1`\bbold 1;1_\Omega`|_\Omega`|_\Omega`]
 \efig
 $$

% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
%  \put(4,7.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(8,4){\makebox(0,0){$1_\Omega$}}
% \put(4,0.4){\makebox(0,0){$\top$}}}
%% \put(4,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \qquad
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
%% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(8,4){\makebox(0,0){$\top$}}
%  \put(4,0.4){\makebox(0,0){$\top$}}}
%%  \put(4,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \qquad
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$1_\Omega$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$|_\Omega$}}
% \put(1.7,4){\makebox(0,0){$|_\Omega$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

\noindent являются декартовыми квадратами. Первый квадрат дает
 $1_\Omega=\chi_\top$, а два других в силу леммы о квадратах влекут
 $\top\circ |_\Omega=\chi_{1_\Omega}$.~\endproof


\subsubsec{(3)}\proclaim{} Если существует классификатор подобъектов, то он
 единствен с точностью до изоморфизма.\Endproc

 \beginproof~Действительно, если
 $\top:\bbold 1\to\Omega$ и $\top':\bbold 1\to\Omega'$~--- классификаторы
 подобъектов, то $\top$ и $\top'$ мономорфны ввиду (1), и можно построить
 характер  $\chi_{\top^\prime}$ морфизма $\top^\prime$ относительно
 классификатора $\top$ и характер $\chi^\prime_{\top}$ морфизма
 $\top$ относительно классификатора $\top^\prime$. Привлекая лемму
 о квадратах, несложно усмотреть, что квадрат с вершинами
 $\bbold 1$, $\bbold 1$, $\Omega$, $\Omega$ и со сторонами
 $1_{\bbold 1}: \bbold 1\to \bbold 1$, $\top:\bbold 1\to\Omega$,
 $\chi_{\top'}\circ \chi_\top':\Omega\to\Omega$ декартов.
 Однако указанный квадрат декартов и в том случае, если $\chi_{\top'}\circ \chi_\top'$
 заменить на $1_\Omega$,
 следовательно, $\chi_{\top'}\circ \chi_\top'=1_\Omega$.
 Поменяв в этом рассуждении местами $\top$ и $\top'$, получим, что
 $\chi_{\top^\prime}$ и
 $\chi^\prime_{\top}$ взаимно обратны.~\endproof


 \subsection{3.4.3}
 \proclaim{Теорема.} В категории с классификатором подобъектов два
 подобъекта изоморфны в том и только в том случае, если их
 характеристические морфизмы совпадают. Иными словами, если
 $f:a\rightarrowtail d$ и $g:b\rightarrowtail d$~--- мономорфизмы,
 то  $f\simeq g\,\leftrightarrow\,\chi_f=\chi_g$. \Endproc

 \beginproof~$\leftarrow$:~Предположим, что $\chi_f=\chi_g$, и
 рассмотрим диаграмму %Diag.3.3.3.
 $$
 \bfig
 \pullback|brrb|<500,500>[a`d`\bbold1`\Omega;f`|_a`\chi_f`\top]%
 |amb|/>`-->`>/<400,300>[b;g`\,k\,`|_b]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,13)(0,0)
% % spaces
% \put(5,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(11,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(5,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(11,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,11){\makebox(0,0){$b$}}
%% \put(13,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(8,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(8,0.4){\makebox(0,0){$\top$}}
%% \put(8,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(5.7,4){\makebox(0,0){$|_a$}}
% \put(11.8,4){\makebox(0,0){$\chi_f$}}
% \put(3.2,9.4){\makebox(0,0){$k$}}
% \put(6,10.1){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(1.8,6){\makebox(0,0){$|_b$}}}
% % arrows
% \put(6,7){\Vector{0}{4}}
% \put(6,1){\Vector{0}{4}}
% \put(5,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(1.7,10.3){\dashVec{-45}{3.5}}
% \put(1,10){\Vector{-70}{8.5}}
% \put(2,11){\Vector{-20}{8.5}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
\noindent Внешний квадрат коммутативен (и даже декартов) ввиду равенства
 $\chi_f=\chi_g$. Но~внутренний квадрат декартов по определению
 $\chi_f$. Следовательно, в силу свойства универсальности
 существует морфизм $k$, пропускающий $g$ через $f$. Значит,
 $g\subset f$. Меняя местами $g$ и $f$, получим $f\subset g$.
 Стало быть, $f\simeq g$.

 $\rightarrow$:~Пусть теперь $f\simeq g$ и внутренний квадрат
 указанной диаграммы декартов. Тогда существует изоморфизм $k:b\to
 a$, для которого верхний треугольник коммутативен. Отсюда
 следует, что внешний квадрат также декартов. Из определения
 классификатора подобъектов, примененного к $g$, получаем
 ${\chi_f=\chi_g}$.~\endproof

 \subsection{3.4.4}\proclaim{} В категории $\Cal K$ с классификатором подобъектов
 классы $\Sub(d)$ и $\Cal K(d,\Omega)$ биективны. В частности,
 $\Sub(d)$~--- множество. \Endproc

 \beginproof~Отображение $\chi$, сопоставляющее классу
 эквивалентности мономорфизма $f:a\to d$ характер $\chi_f$,
 является инъективным вложением $\Sub(d)$ в $\Cal K(d,\Omega)$
 согласно теореме 3.4.3. Для обоснования сюръективности возьмем
 произвольный морфизм $h:d\to\Omega$. Пусть пара морфизмов $f:a\to
 d$ и $|_a:a\to\bbold 1$ служит обратным образом пары $h:d\to\Omega$ и
 $\top:\bbold 1\to\Omega$, т.~е. диаграмма
 $$
 \bfig
 \square[a`d`\bbold 1`\Omega;f`|_a`h`\top]
 \efig
 $$
%
%% \unitlength=3mm \allinethickness{0.5pt}
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.2,4){\makebox(0,0){$|_a$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(7.8,4){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(4,0.4){\makebox(0,0){$\top$}}}
%% \put(4,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent является декартовым квадратом. Иными словами, $h$ есть
 подъем $\top$ вдоль $h$.
 В~этом случае $f$~--- мономорфизм, так как
 $\top$~--- мономорфизм (3.4.2\,(1)),
 а подъем мономорфизма есть мономорфизм (3.2.7).
 По определению классификатора подобъектов $h=\chi_f$.~\endproof

 \subsection{3.4.5}~Категорию называют
 {\it элементарным топосом,\/}\subject{Топос элементарный}
 если она декартово
 замкнута и имеет классификатор подобъектов. Вспомнив определение
 декартово замкнутой категории из 3.3.9, можно дать развернутое
 определение: элементарный топос~--- это категория $\Cal K$,
 удовлетворяющая следующим условиям:

 \subsubsec{(1)}~$\Cal K$ конечно полна,

 \subsubsec{(2)}~$\Cal K$ конечно кополна,

 \subsubsec{(3)}~$\Cal K$ допускает экспоненцирование,

 \subsubsec{(4)}~$\Cal K$ имеет классификатор подобъектов.

 В соответствии с 3.2.9 условия (1) и (2) можно заменить
 соответственно требованиями:

 \subsubsec{(1$'$)}~$\Cal K$ обладает конечным объектом и обратными
 образами,

 \subsubsec{(2$'$)}~$\Cal K$ имеет начальный объект и амальгамы.

 Кроме того, можно показать что условие (2) следует из остальных
 аксиом топоса.

 \subsection{3.4.6}~Рассмотрим примеры топосов.

 \subsubsec{(1)}~Категория $\Set$ представляет собой топос.
 Конечные объекты и обратные образы в этой категории описаны
 соответственно в 3.2.2 и 3.2.5.

 Для множеств $A$ и $B$ экспоненциалом служит множество-степень
 $B^A$, а морфизмом значения~--- отображение $\ev:B^A\times A\to
 B$, действующее по правилу $\ev(f,x)\!:=f(x)$. Действительно, взяв
 множество $C$ и произвольное отображение $g:C\times A\to B$,
 определим отображение $\bar g:C\to B^A$ по формуле $\bar
 g(c)\!:=g_c$ $(c\in C)$, где $g_c:A\to B$ задано правилом
 $g_c(a)\!:=g(c,a)$ $(a\in A)$. Тогда для любой пары $(c,a)\in
 C\times A$ выполнено равенство $\ev(\bar g(c),a)= g_c(a)=g(c,a)$,
 т.~е. диаграмма
 $$
 \bfig
 \qtriangle|alr|<900,500>[\ \ \ C\times A`\,B^A\times A`B;\bar{g}\times \id_A`g`\ev]
 \efig
 $$
% % \unitlength=3mm \begin{picture}(20,16)(-5,0)
% \begin{center}
% \begin{picture}(13,9)(0,0)
% % spaces
% \put(11,1){\makebox(0,0){$B$}}
% \put(1,7){\makebox(0,0){$C\times A$}}
% \put(11,7){\makebox(0,0){$B^A\times A$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(5.7,7.6){\makebox(0,0){$\bar g\times\id_A$}}
% \put(11.7,4){\makebox(0,0){$\ev$}}
% \put(4.5,3.5){\makebox(0,0){$g$}}}
% % arrows
% \put(3,7){\Vector{0}{5.5}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,6){\Vector{-30}{9}}
% \end{picture}
% \end{center}
\noindent коммутативна. Легко видеть, что такое отображение $\bar
 g$ единственно.

 Классификатором подобъектов является множество $2\!=\{0,1\}$
 вместе с отображением $\top:1\to 2$, $\top(0)=1$.

 \subsubsec{(2)}\proclaim{} Если $\Cal E_1$ и $\Cal E_2$~---
 топосы, то произведение категорий $\Cal E_1\times\Cal E_2$
 также топос. \Endproc

 \beginproof~Пусть при $k:=1,2$ задан топос $\Cal E_k$ с
 классификатором подобъектов $\bbold 1_k\to\Omega _k$. Конечные пределы в
 произведении $\Cal E_1\times\Cal E_2$ вычисляются отдельно по
 каждому сомножителю, и поэтому существуют. Экспоненцирование
 задают формулами
 $$
 (b_1,b_2)^{(a_1,a_2)}:=(b_1^{a_1},b_2^{a_2}),\quad
 \ev\!:=(\ev_1,\ev_2),
 $$
 где $\ev_k$~--- морфизм значения топоса $\Cal E_k$. Кроме того,
 пара $(\Omega_1, \Omega_2)$ является классификатором подобъектов в
 $\Cal E_1\times\Cal E_2$.~\endproof

 \subsubsec{(3)}~Категория морфизмов $m\Set$, построенная по
 категории множеств и отображений $\Set$, будет топосом.
 Конечным объектом служит тождественная функция из $\{0\}$ в
 $\{0\}$.


 \subsubsec{(4)}\proclaim{} Возьмем произвольный топос $\Cal E$ и
 произвольный $\Cal E$-объект $a$. Тогда категория $\Cal E^a$
 морфизмов в $a$ также будет топосом. \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. у Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р.}~\cite{21}
 и П.~Фрейда\author{Фрейд~П.}~\cite{Fre}.~\endproof

 Отметим, что конечным объектом в $\Cal E^a$ служит морфизм
 $1_a:a\to a$. Пусть классификатором подобъектов в $\Cal E$ является объект
 $\Omega$ с морфизмом $\top:\bbold 1\to\Omega$. Тогда классификатором
 подобъектов в $\Cal E^a$ будет $\Cal E^a$-объект
 $\pr_a:\Omega\times a\to a$ вместе с морфизмом $\langle\top_a,1_a\rangle$,
 где $\top_a\!:=\top\circ |_a$, в соответствии с диаграммой
 $$
 \bfig
 \qtriangle|alr|<750,500>[\ a`\,\Omega\times a`a;\langle\top_a,1_a\rangle`1_a`\pr_a]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,9)(0,0)
% % spaces
% \put(9,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(9,7){\makebox(0,0){$\Omega\times a$}}
% %\put(11,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(4.5,7.7){\makebox(0,0){$(\top_a,1_a)$}}
% \put(10,4){\makebox(0,0){$\pr_a$}}
% \put(5,3){\makebox(0,0){$1_a$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{5}}
% \put(9,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,6){\Vector{-35}{7}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \subsubsec{(5)}~Рассмотрим
 {\it категорию пучков\/}\subject{Категория пучков}
 $\Shv(Q)$.\formula{$\Shv(Q)$}
 Пусть $Q$~--- топологическое пространство.
 % и $\tau\!:=\tau{Q}$~--- его
 %топология (= совокупность всех открытых множеств).
 {\it Пучком\/}\subject{Пучок}
 над $Q$ называют пару $(A,\rho)$, где
 $A$~--- топологическое пространство, а $\rho:A\to Q$~---
 непрерывное отображение, являющееся локальным гомеоморфизмом.
 Последнее означает, что для каждой точки $x\in A$ имеется открытая
 окрестность, которая посредством $\rho$ гомеоморфно отображается
 на открытое множество в $Q$. Множества $A_q\!:=\rho^{-1}(q)$
 $(q\in Q)$ называют {\it слоями}\/\subject{Слои пучка}
 пучка $(A,\rho)$. В качестве морфизмов
 из $(A,\rho)$ в $(B,\sigma)$ возьмем все непрерывные отображения
 $h:A\to B$, для которых $\rho=h\circ\sigma$. Отображение $h$ будет
 локальным гомеоморфизмом и, следовательно,  открытым. Как видно,
 такое отображение $h$ действует в слоях, т.~е. $h(A_q)\subset
 B_q$, где $B_q\!:=\sigma ^{-1}(q)$. Вообще, многие категорные
 понятия для пучков оказываются расслоениями соответствующих
 понятий для категории~$\Set$.

 Легко проверить, что классы всех пучков над $Q$ и всех морфизмов
 между такими пучками вместе с обычной суперпозицией отображений в
 качестве композиции образуют категорию, обозначаемую
 $\Shv(Q)$.\formula{$\Shv(Q)$}
 На самом деле эта категория~--- топос, называемый
 {\it пространственным}.\subject{Топос пространственный}

\newpage

 \subsection{3.4.7} \proclaim{Теорема.} Категория $\Shv(Q)$ является топосом.\Endproc

 \beginproof~Ограничимся для экономии места описанием классификатора подобъектов.
 Все прочие подробности можно найти в книге
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. ()}~\cite{21}.

 Непосредственно из определений видно, что конечным объектом служит пара $\Bbb 1\!:=(Q,\iota)$, где
 $\iota\!:=\id_Q:Q\to Q$. Для произвольного объекта $(A,\rho)$ единственным морфизмом $(A,\rho)\to(Q,\iota)$
 будет отображение $\rho$.

 Решетка открытых множеств $\tau$ представляет собой гейтингову алгебру
 (см. 2.6.6\,(1)). Взяв $q\in Q$,
 обозначим символом ${\tau/\!\sim}$ гейтингову алгебру из~2.6.6\,(2),
 т.~е. росток открытых множеств в точке~$q$.
 Пусть $U\mapsto[U]_q$~--- каноническое фактор-отображение.
 Положим $\widehat{Q}\!:=\bigcup_{q\in Q}\Omega_q$,
 где $Q_q\!:=\{(q,[U]_q):\,U\in\tau\}$.
 Топологию в~$\widehat{Q}$ мы определим базой, состоящей из множеств вида
 $\{(q,[U]_q):\,q\in V\}$, где $U,V\in\tau$ и $U\subset V$.
 Отображение $\pi:\widehat{Q}\to Q$, определяемое
 формулой $\pi(q,[U]_q)\!:=q$, будет локальным гомеоморфизмом. Cледовательно,
 $\Omega\!:=(\widehat{Q},\pi)$~---~пучок.

 По определению произвольный $\Shv(Q)$-морфизм $s:\Bbb 1\to\Omega$ представляет собой непрерывное отображение
 $s:Q\to\widehat{Q}$ такое, что $s(q)\in\Omega_q$ (или $\pi(s(q))=q$) для всех $q\in Q$. Такое отображение $s$
 называют {\it непрерывным сечением\/}\subject{Сечение непрерывное} пучка $(\widehat{Q},\pi)$. Примером
 непрерывного сечения указанного пучка служит отображение $s_U:q\mapsto(q,[U]_q)$, где $U\subset Q$~---
 произвольное открытое множество. Значит,    $s_U:\Bbb 1\to\Omega$ для любого $U\in\tau$.
 При этом для любого
 непрерывного сечения $s:\Bbb 1\to\Omega$ будет $s=s_U$, если положить $U\!:=\{q:\,s(q)=(q,[Q]_q)\}$.
 Таким
 образом, множество всех морфизмов из $\Bbb 1$ в $\Omega$ биективно с решеткой $\tau$.

 Морфизм $\top:\Bbb 1\to\Omega$~--- такое непрерывное сечение $\top:Q\to\widehat{Q}$, что $\top(q)=(q,[Q]_q)$ для
 всех $q\in Q$. Возьмем мономорфизм $h:(X,\rho)\to(Y,\sigma)$. Тогда $h:X\to Y$~--- инъективный локальный
 гомеоморфизм. Следовательно, мы можем считать, что $X$~--- открытое
 подмножество $Y$, а $h$~--- тождественное
 вложение. Характеристический морфизм $\chi_h:(Y,\sigma)\to(\widehat{Q},\iota)$ представляет собой непрерывное
 отображение $\chi_h:Y\to\widehat{Q}$, определяемое следующим образом. Возьмем окрестность $U$ точки $y\in Y$, в
 которой $\sigma$ является гомеоморфизмом. В качестве $\chi_h(y)$ возьмем росток открытого множества $\sigma (X\cap
 U)$ в точке $\sigma (y)$, т.~е. положим $\chi_h(y)\!:=(\sigma (y),[\sigma (X\cap U)]_{\sigma (y)})$.~\endproof



 \subsection{3.4.8}~В произвольной категории изоморфизм является
 мономорфизмом и эпиморфизмом.
 Существуют категории, в
 которых не верно обратное утверждение.  Между тем для  топоса такое
 невозможно.

 \subsubsec{(1)}\proclaim{} В каждом топосе произвольный мономорфизм
 $f:a\to b$ является уравнителем $\chi_f$ и
 $\top_b\!:=\top\circ|_b$. \Endproc

 \beginproof~Так как по определению конечного объекта
 $|_a=|_b\circ f$, а по определению характера подобъекта
 декартов квадрат из первой диаграммы
 $$
 \bfig
 \ptriangle|all|/>`>`>/[a`b`\bbold1;f`|_a`|_b]
 \dtriangle|arb|/`>`>/[\ `\ `\Omega;`\chi_f`\top]
 \efig
 \quad\qquad
 \bfig
 \Vtriangle/ >->`<--`<-/<450,500>[a`b`c;f`h`g]
 \morphism(950,500)|a|/@{>}@<2pt>/<380,0>[`\,\Omega;\chi_f]
 \morphism(950,500)|b|/@{>}@<-2pt>/<380,0>[`\,\Omega;\top_b]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$|_a$}}
% \put(4,5){\makebox(0,0){$|_b$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$\chi_f$}}
% \put(4,0.5){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(6,6){\Vector{-135}{6}}
% \end{picture}
% \qquad
% \begin{picture}(17,9)(0,-0.5)
% % spaces
% \put(1,6){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(11,6){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(6,1.1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(17,6){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(9.2,3.1){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(3,3.1){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(6,6.7){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(14,7){\makebox(0,0){$\chi_f$}}
% \put(14,5){\makebox(0,0){$\top_b$}}}
% % arrows
% \put(2.4,6){\VectorV{0}{7.5}}
% \put(12,6.3){\Vector{0}{4}}
% \put(12,5.7){\Vector{0}{4}}
% \put(7,2){\Vector{45}{4}}
% \put(5,2){\dashVec{135}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативен, то $\chi_f\circ f=\top\circ|_a=\top_b\circ f$. Если
 же для какого-нибудь морфизма $g:c\to b$ выполняется
 $\chi_f\circ g=\top_b\circ g$, то, учитывая очевидное равенство
 $|_c=|_b\circ g$, выводим:
 $\top\circ |_c=\top\circ |_b\circ g=\top_b\circ g=\chi_f\circ g$.
 В силу свойства  универсальности указанного декартова квадрата существует
 единственный морфизм $h:c\to a$, для которого $g=h\circ f$, т.~е. вторая диаграмма коммутативна.~\endproof

 \subsubsec{(2)}\proclaim{} В произвольном топосе морфизм является
 изоморфизмом в том и только в том случае, если он одновременно мономорфен и
 эпиморфен. \Endproc

 \beginproof~В соответствии с (1) эпиморфный мономорфизм будет
 эпиморфным уравнителем. Но последний всегда является изоморфизмом
 в силу 3.2.4\,(2).~\endproof

 \subsection{3.4.9}~Докажем теперь, что в произвольном топосе
 каждый морфизм имеет эпи-моно-разложение. Взяв произвольный
 морфизм $f:a\to b$, построим амальгаму $f$ с $f$.
 Пусть эта амальгама определена парой морфизмов
 $h:b\to c$ и $k:b\to c$ (см.~3.2.8), как показано ниже на первой диаграмме.
 Пусть $\im f:f(a)\to b$~--- уравнитель морфизмов $h$ и
 $k$. Так как $h\circ f=k\circ f$, то по определению уравнителя
 существует единственный морфизм $f^\ast:a\to f(a)$, для которого вторая
 диаграмма  %%% Диаграмма стр. 3.3.8(1) %%%%%%
 $$
 \bfig
 \square[a`b`b`c;f`f`h`k]
 \efig
 \quad\qquad
 \bfig
 \ptriangle/ >->`<--`<-/<650,500>[f(a)`b`a;\im f`f^*`f]
 \morphism(700,500)|a|/@{>}@<2pt>/<380,0>[`\,c;h]
 \morphism(700,500)|b|/@{>}@<-2pt>/<380,0>[`\,c;k]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.5,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(4,0.5){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% % endn n of~figure
% \qquad
% \begin{picture}(15,9)(0,0)
% % spaces
% \put(2,7){\makebox(0,0){$f(a)$}}
% \put(10,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(2,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(16,7){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(1,4){\makebox(0,0){$f^*$}}
% \put(7,4){\makebox(0,0){$f^{}$}}
% \put(6,7.5){\makebox(0,0){$\im f$}}
% \put(13,8){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(13,6){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(4,7){\VectorV{0}{5}}
% \put(11,7.3){\Vector{0}{4}}
% \put(11,6.7){\Vector{0}{4}}
% \put(3,2){\Vector{35}{7}}
% \put(2,2){\dashVec{90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent коммутативна. Согласно 3.2.4\,(1) $\im f$ является
 мономорфизмом. Можно показать, что $f^\ast$ --- эпиморфизм,
 см.~\cite[следствие 3 теоремы 5.2.1]{21}.
 %Р.~Голдблатт\author{Голдблатт~Р. ()}

 Таким образом, всякий морфизм в топосе $f:a\to b$ допускает {\it
 эпи-моно-разложение\/}\subject{Эпи-моно-разложение}, т.~е.
 представление в виде $f=\im f\circ f^\ast:a\twoheadrightarrow
 f(a)\rightarrowtail b$. Свойства единственности эпи-моно-разложения
 описаны в следующем утверждении.

 \Proclaim{Теорема.} Если для некоторых эпиморфизма $g$ и
 мономорфизма $h$ имеет место представление $f=h\circ
 g:a\twoheadrightarrow c\rightarrowtail b$, то существует
 единственный изоморфизм $k:f(a)\to c$, для которого диаграмма
 %%%% Диаграмма. 3.3.8(2) %%%%%%%%
 $$
 \bfig
 \Ctriangle/<<-`-->`->>/<500,400>[f(a)`a`\ \ c\ \ ;f^*`k`g]
 \Dtriangle(500,0)|aar|/` >->`<-< /<500,400>[\phantom{f(a)\ }`b`\phantom{c\ };`\im f`h]
 \efig
 $$
 %\begin{center}
% \begin{picture}(14,14)(0,0)
% % spaces
% \put(7,12.5){\makebox(0,0){$f(a)$}}
% \put(13,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,1.2){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(3,10){\makebox(0,0){$f^*$}}
% \put(11,4){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(12,10){\makebox(0,0){$\im f$}}
% \put(3,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(6,7){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(2,6){\VVector{-45}{5.5}}
% \put(2,8){\VVector{45}{5}}
% \put(9.1,11.4){\VectorV{-45}{4.6}}
% \put(8.3,2.4){\VectorV{45}{5.2}}
% \put(7,11.2){\dashVec{-90}{9}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent коммутативна. \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. у
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. ()}~\cite[теорема 5.2.2]{21}.~\endproof

 \subsection{3.4.10}\proclaim{} Если в топосе квадрат
 $$
 \bfig
 \square[a`b`c`d;f`u`v`k]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,-0.5)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.5,4){\makebox(0,0){$u$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$v$}}
% \put(4,0.5){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent декартов, то существует морфизм $h:f(a)\to g(c)$ такой,
 что в диаграмме  %Diag.3.3.9(1)
 $$
 \bfig
 \square/->>`->`->`->>/[a`f(a)`c`g(c);f^*`u`h`g^*]
 \square(500,0)/ >->`` >->`->/[\phantom{f(a)} `b`\phantom{g(c)} `d;\im f``v`\im g]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(17,9)(0,0)
% % spaces
% \put(2,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(9,7){\makebox(0,0){$f(a)$}}
% \put(2,1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(9,1){\makebox(0,0){$g(c)$}}
% \put(16,1){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(16,7){\makebox(0,0){$b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(5,7.7){\makebox(0,0){$f^*$}}
% \put(5,0.3){\makebox(0,0){$g^*$}}
% \put(13,7.5){\makebox(0,0){$\im f$}}
% \put(13,0.3){\makebox(0,0){$\im g$}}
% \put(1.5,4){\makebox(0,0){$u$}}
% \put(9.5,4){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(16.5,4){\makebox(0,0){$v$}}}
% % arrows
% \put(3,7){\VVector{0}{4.5}}
% \put(2,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(3,1){\VVector{0}{4.5}}
% \put(9,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(11,7){\VectorV{0}{4}}
% \put(11,1){\VectorV{0}{4}}
% \put(16,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}


 \noindent правый квадрат также декартов. \Endproc

 \beginproof~Пусть пара морфизмов $h':e\to g(c)$ и $\imath:e\to b$
 представляет собой обратный образ пары морфизмов $\im g:g(c)\to d$
 и $v:b\to d$. Тогда ввиду 3.2.7 $\imath$~--- мономорфизм и в диаграмме
 %Diag.3.3.9(1).
 $$
 \xyoption{curve}
 \bfig
 \morphism(0,500)|a|/{@{>}@/^15pt/}/<1000,0>[a`b;f]
% \efig
%\bfig
 \square|blrb|/-->`->`->`->>/[a`e`c`g(c);f'`u`h'`g^*]
 \square(500,0)|brrb|/->``->` >->/[\phantom{e} `b`\phantom{g(c)} `d;\imath``v`\im g]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(17,10)(0,0)
% % spaces
% \put(2,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(9,7){\makebox(0,0){$e$}}
% \put(2,1){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(9,1){\makebox(0,0){$g(c)$}}
% \put(16,1){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(16,7){\makebox(0,0){$b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(1.5,4){\makebox(0,0){$u$}}
% \put(9.7,4){\makebox(0,0){$h'$}}
% \put(16.5,4){\makebox(0,0){$v$}}
% \put(5,1.7){\makebox(0,0){$g^*$}}
% \put(13,1.7){\makebox(0,0){$\im g$}}
% \put(13,7.5){\makebox(0,0){$\imath$}}
% \put(5,7.7){\makebox(0,0){$f'$}}}
% % arrows
% \put(9,8){\oval(14,3)[t]}\put(16,8.1){\makebox(0,0){$\scriptstyle\vee$}}
% \put(3,7){\dashVec{0}{5}}
% \put(3,1){\VVector{0}{4.5}}
% \put(11,1){\VectorV{0}{4}}
% \put(10,7){\Vector{0}{5}}
% \put(2,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(9,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(16,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}


 \noindent правый квадрат будет декартовым. Из свойства
 универсальности этого квадрата следует существование морфизма
 $f'$, для которого вся диаграмма коммутативна, поскольку по
 условию $v\circ f=g\circ u$, т.~е. <<периметр>> диаграммы
 коммутативен. По лемме о квадратах левый квадрат также декартов, и
 вновь по 3.2.7 $f'$~--- эпиморфизм. Итак, композиция $\imath\circ f'$~---
 эпи-моно-разложение $f$. Следовательно, согласно 3.4.9 существует
 единственный изоморфизм $k:f(a)\to e$, для которого диаграмма
 %Diag.3.3.9(2)
 $$
 \bfig
 \Ctriangle/<<-`-->`->>/<500,400>[f(a)`a`\ \ e\ \ ;f^*`k`f']
 \Dtriangle(500,0)|rab|/` >->`<-< /<500,400>[\phantom{f(a)\ }`b`\phantom{e\ };`\im f`\imath]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,14)(0,0)
% % spaces
% \put(7,12.5){\makebox(0,0){$f(a)$}}
% \put(13,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,1.2){\makebox(0,0){$e$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(3,10){\makebox(0,0){$f^*$}}
% \put(11,4){\makebox(0,0){$\imath$}}
% \put(12,10){\makebox(0,0){$\im f$}}
% \put(3,4){\makebox(0,0){$f'$}}
% \put(6,7){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(2,6){\VVector{-45}{5.5}}
% \put(2,8){\VVector{45}{5}}
% \put(9.1,11.4){\VectorV{-45}{4.6}}
% \put(8.3,2.4){\VectorV{45}{5.2}}
% \put(7,2.2){\dashVec{90}{9}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent коммутативна. Полагая $h\!:=h'\circ k$, получим
 требуемый морфизм.~\endproof

 \subsection{3.4.11}~Пусть $a$ ---
 произвольный объект топоса $\Cal E$.
 {\it Элементом объекта\/}\subject{Элемент объекта} $a$ называют
 любой морфизм $x:\bbold 1\to a$. Элемент $a$ называют {\it
 непустым},\subject{Объект непустой} если он имеет хотя бы один
 элемент, т.~е. существует хотя бы один морфизм $\bbold 1\to a$. Объекты,
 изоморфные начальному объекту $\bbold 0$, именуют
 {\it нулевыми\/},\subject{Объект нулевой} и
 {\it ненулевыми\/}\subject{Объект ненулевой}
 --- в противном случае. Если
 нулевой элемент топоса $\Cal E$ непуст, то топос
 {\it вырожден},\subject{Топос вырожденный}  т.~е. все объекты
 $\Cal E$ изоморфны между собой. Следовательно, в невырожденном
 топосе нулевой объект не имеет элементов.

 Обратное утверждение неверно. В качестве примера можно привести
 объект $(\varnothing,\{\varnothing\})$ топоса $\Set^2$. Очевидно,
 что он не изоморфен начальному объекту
 $\bbold 0\!:=(\varnothing,\varnothing)$ топоса $\Set^2$. Но если
 существует элемент объекта $(\varnothing,\{\varnothing\})$, т.~е.
 \mbox{$\Set^2$-морфизм} $(f,g):\bbold 1\!:=(\{\varnothing\},\{\varnothing\})
 \to (\varnothing,\{\varnothing\})$, то $f$~--- отображение из
 $\{\varnothing\}$ в $\varnothing$, что невозможно.

 Вопрос о непустоте ненулевых объектов топоса связан с {\it
 принципом экстенсиональности для топосов,}\subject{Принцип
 экстенсиональности для топосов} который можно сформулировать
 следующим образом: {\sl если морфизмы $f:a\to b$ и $g:a\to b$ не
 совпадают, то существует элемент $x:\bbold 1\to a$
  такой, что $f\circ
 x\ne g\circ x$.} Невырожденный топос, удовлетворяющий этому
 принципу экстенсиональности, называют {\it
 точечным.}\subject{Топос точечный}

 \Proclaim{}В точечном топосе каждый ненулевой
 объект непуст. \Endproc

 \beginproof~Для ненулевого объекта $a$ мономорфизмы
 $0_a:\bbold 0\to a$ и $1_a:a\to a$ имеют неизоморфные начала и,
 следовательно, представляют собой различные подобъекты $a$.
 Согласно 3.4.3 характеристические морфизмы $\chi_{0_a}$ и
 $\chi_{1_a}$ различны. По принципу экстенсиональности для
 некоторого $x:\bbold 1\to a$ будет $\chi_{0_a}\circ x\ne\chi_{1_a}\circ
 x$. В~частности, $x$~--- элемент $a$.~\endproof

 \subsection{3.4.12}~Пусть $\bot$ обозначает характеристический
 морфизм подобъекта ${0_{\bbold1}:\bbold 0\to\bbold 1}$. Таким образом,
 $\bot:\bbold 1\to\Omega$~--- единственный $\Cal E$-морфизм, для которого
 квадрат

 $$
 \bfig
 \square[\bbold 0`\bbold 1`\bbold 1`\Omega;0_\bbold 1`0_\bbold 1`\bot`\top]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$0_{\bbold 1}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$0_{\bbold 1}$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$\bot $}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent декартов. Итак, $\bot=\chi_{0_{\bbold 1}}$~--- характер
 морфизма $0_{\bbold 1}:\bbold 0\to\bbold 1$.

 \Proclaim{} Для произвольного $\Cal E$-объекта $a$ имеет место
 равенство: $\chi_{0_a}=\bot\circ |_a$. \Endproc

 \beginproof~Рассмотрим два квадрата:
$$
 \bfig
 \square[\bbold 0`a`\bbold 0`\bbold 1;0_a`1_\bbold 0`|_a`0_\bbold 1]
 \efig
 \qquad
 \bfig
 \square[\bbold 0`\bbold 1`\bbold 1`\Omega;0_\bbold 1`0_\bbold 1`\bot`\top]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$1_{\bbold 0}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$0_a$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$|_a$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$0_{\bbold 1}$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \qquad
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
%% \put(9,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$0_{\bbold 1}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$0_{\bbold 1}$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$\bot $}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent Второй квадрат декартов по определению морфизма $\bot$.
 Первый квадрат коммутативен, так как $|_a\circ 0_a=0_{\bbold 1}$ в силу
 единственности морфизма $0_{\bbold 1}:\bbold 0\to \bbold 1$.
 Если для некоторых морфизмов  $g:c\to\bbold 0$ и $h:c\to a$
 выполняется $0_{\bbold 1}\circ g=|_a\circ h$, то $|_a\circ(0_a\circ g)=|_a\circ h$.
 Следовательно, $0_a\circ g=h$,
 так как $|_a$~--- мономорфизм. Отсюда видно, что первый квадрат также декартов.
 Склеим теперь два указанных квадрата по общей стороне $\bbold 0\to \bbold 1$,
 нижней для первого квадрата и верхней для второго,
 и применим лемму о квадратах.
 Декартовость полученного при этом  прямоугольника дает требуемое.~\endproof

 \subsection{3.4.13}~Невырожденный топос называют
 {\it двузначным},\subject{Топос двузначный} если $\Omega$ не
 содержит других элементов кроме $\top$ и $\bot$, т.~е. если
 любой мономорфизм $\bbold 1\to\Omega$ совпадает либо с $\bot$, либо с
 $\top$.

 \subsubsec{(1)} \proclaim{} Всякий точечный топос двузначен.
 \Endproc

 \beginproof~Рассмотрим произвольный элемент $f:\bbold 1\to\Omega$.
 Пусть $g:a\to\bbold 1$~--- поднятие мономорфизма $\top$ вдоль $f$,
 т.~е. диаграмма

 $$
 \bfig
 \square[a`\bbold 1`\bbold 1`\Omega;g`|_a`f`\top]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$|_a$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent является декартовым квадратом. При этом возможны два
 случая: либо $a\simeq\bbold 0$, либо $a\not\simeq\bbold 0$. Если $a\simeq\bbold 0$, то
 $a$~--- начальный объект и $g=0_{\bbold 1}$,  поэтому
 $f=\chi_g=\chi_{0_{\bbold 1}}=\bot$. Если же $a\not\simeq\bbold 0$, то в силу
 точечности рассматриваемого топоса из 3.4.11 выводим существование
 элемента $x:\bbold 1\to a$ у объекта $a$.
 Покажем, что тогда $g$ будет
 эпиморфизмом. В самом деле, если морфизмы $h,k:\bbold 1\to b$
 таковы, что $h\circ g=k\circ g$, то $h\circ g\circ x=k\circ g\circ
 x$. Но $g\circ x:\bbold 1\to\bbold 1$. Значит,   ввиду свойств конечного объекта
 $g\circ x=1_{\bbold 1}$ и поэтому $h=k$. Итак, $g$ --- эпиморфизм.
 Но~$g$
 также и мономорфизм как поднятие  мономорфизма. Согласно
 3.4.8\,(2) $g$ будет изоморфизмом. Итак, $a$~--- конечный объект и
 $f=\chi_g=\chi_{1_{\bbold 1}}=\top$.~\endproof

 В произвольном топосе существуют копроизведения. В частности,
 существует копроизведение $\bbold 1+\bbold 1$ и копроизведение морфизмов
 $[\bot,\top]:\bbold 1+\bbold 1\to\Omega$. Это обстоятельство демонстрирует
 коммутативная диаграмма
 $$
 \bfig
 \Vtrianglepair|aalrb|/>`<-`>`-->`>/<700,600>[\bbold1`\,\bbold 1 + \bbold 1`\bbold 1`\Omega;``\bot`{[\bot,\top]}`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(16,10)(0,0)
% % spaces
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,8){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(15,8){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,8){\makebox(0,0){$\bbold 1 + \bbold 1$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(4,4){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(12,4){\makebox(0,0){$\bot$}}
% \put(9.4,5){\makebox(0,0){$[\top,\bot]$}}}
% % arrows
% \put(8,7){\dashVec{-90}{5}}
% \put(2,7){\Vector{-45}{7}}
%  \put(14,7){\Vector{-135}{7}}
% \put(2,8.1){\Vector{0}{4}}
% \put(14,8.1){\Vector{180}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent Топос называют {\it классическим},\subject{Топос классический}
 если морфизм $[\bot,\top]$ является изоморфизмом.

 \subsubsec{(2)}\proclaim{} В произвольном топосе морфизм $[\bot,\top]$ мономорфен. \Endproc

 \beginproof~По определению 3.4.12 морфизмы $\bot$ и $\top$ дизъюнктны,
 а в силу 3.4.2\,(1) они мономорфны. Осталось сослаться на 3.2.7\,(2).~\endproof


 \subsubsec{(3)}\proclaim{} Топос является точечным в том и только
 в том случае, если он классический и всякий его ненулевой объект
 непуст. \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. у
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. ()}~\cite{21}.~\endproof


 \head
5. The Logic of a Topos
\endhead

 В категории множеств правила классической логики можно задать с
 помощью некоторых операций, использующих множество $2\!:=\{0,1\}$. Точнее,
 если истина и ложь обозначены цифрами $1$ и $0$ соответственно,
 то конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и отрицание обычно определяют
 истинностными таблицами, представляющими собой
 двуместные  и одноместное отображения из $2$ в $2$. Аналогично можно поступить
 и в любом топосе, используя вместо множества $2$ классифицирующий объект.

 \subsection{3.5.1}~Пусть $\Cal E$~--- произвольный топос с
 классификатором подобъектов $\top:\bbold 1\to\Omega$. Определим в топосе
 аналоги истинностных функций: $\Neg$~--- морфизм из $\Omega$ в
 $\Omega$, а $\wedge$, $\vee$ и $\Rightarrow$~--- морфизмы из
 $\Omega\times\Omega$ в $\Omega$. Назовем их {\it
 истинностными морфизмами}.\subject{Морфизм истинностный}

 \subsubsec{(1)}~Отрицание вводят формулой $\Neg\!:=\chi_{\bot}$,\formula{$Neg:=\chi_{\bot}$}
 т.~е. $\Neg$~--- характер мономорфизма $\bot$. Таким образом,
 $\Neg:\Omega\to\Omega$\formula{$\neg:\Omega\rightarrow\Omega$}~---
 единственный $\Cal E$-морфизм, для которого квадрат
 $$
 \bfig
 \square[\bbold 1`\Omega`\bbold 1`\Omega;\bot`1_\bbold 1`\Neg`\top]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$1_{\bbold 1}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$\bot$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$\Neg
% $}}\put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
%  \end{center}

 \noindent является декартовым в $\Cal E$. Напомним, что сам
 морфизм $\bot$ является характером для морфизма $0_{\bbold 1}:\bbold 0\to\bbold 1$.

 \subsubsec{(2)}~Пусть $\langle\top,\top\rangle:\bbold 1\to\Omega\times\Omega$~---
 произведение морфизма $\top$ на себя в топосе $\Cal E$. Характер
 мономорфизма $\langle\top,\top\rangle$ мы обозначим символом $\frown$.\formula{$frown$}
 Таким образом, $\frown:\Omega\times\Omega\to\Omega$~--- тот единственный
 $\Cal E$-морфизм\formula{$frown:\Omega\times\Omega\rightarrow\Omega$},
 для которого квадрат
 $$
 \bfig
 \square<600,500>[\bbold 1`\Omega\times\Omega`\bbold 1`\Omega;\langle \top,\top\rangle `1_\bbold 1`\frown`\top]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,7){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$1_{\bbold 1}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$\bot$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\frown$}}
% \put(4.5,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{5}}
% \put(8,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent является декартовым в $\Cal E$.

 \subsubsec{(3)}~Напомним обозначение $\top_a\!:=\top\circ|_a$. Для
 двух морфизмов $\top_\Omega:\Omega\to\Omega$ и
 $1_\Omega:\Omega\to\Omega$ рассмотрим произведение
 $\langle\top_\Omega,1_\Omega\rangle:\Omega\to\Omega\times\Omega$.
 Рассмотрим также
 произведение с измененным порядком сомножителей:
 $\langle 1_\Omega,\top_\Omega\rangle:\Omega\to\Omega\times\Omega$. Далее, образуем
 копроизведение
 $\phi\!:=[\langle 1_\Omega,\top_\Omega\rangle,\langle\top_\Omega,1_\Omega\rangle]:
 \Omega+\Omega\to\Omega\times\Omega$. В~топосе существует образ
 $\im \phi:\phi(\Omega+\Omega)\to\Omega\times\Omega$ морфизма $\phi$,
 который
 является мономорфизмом. Характер этого мономорфизма мы обозначим
 символом $\smile$.\formula{$smile$}
 Значит,
 ${\smile:\Omega\times\Omega\to\Omega}$ ---
 \formula{$smile:\Omega\times\Omega\rightarrow\Omega$}%
 единственный морфизм, для которого диаграмма
 $$
 \bfig
 \square<700,500>[\phi(\Omega+\Omega)`\Omega\times\Omega`\bbold 1`\Omega;\im\phi``\smile`\top]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(3,7){\makebox(0,0){$\varphi(\Omega+\Omega)$}}
% \put(11,7){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% \put(3,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(11,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(2.3,4){\makebox(0,0){$1_{\bbold 1}$}}
% \put(7.2,7.7){\makebox(0,0){$\im \varphi$}}
% \put(11.7,4){\makebox(0,0){$\smile$}}
% \put(7,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(5.8,7){\Vector{0}{3}}
% \put(3,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(4,1){\Vector{0}{6}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
 \noindent является декартовым квадратом в $\Cal E$.

 \subsubsec{(4)}~Пусть $e:\oleq\to\Omega\times\Omega$\formula{$oleq$}
 служит уравнителем пары морфизмов $\frown:\Omega\times\Omega\to\Omega$ и
 $\pr_1:\Omega\times\Omega\to\Omega$, где $\frown$~--- истинностный
 морфизм конъюнкции, а $\pr_1$~--- проекция на первый сомножитель
 произведения $\Omega\times\Omega$, т.~е. $\pr_1\circ\langle f,g\rangle=f$ для
 любых морфизмов $f,g:c\to\Omega$.
 Обозначим символом $\Rightarrow$\formula{$\Rightarrow$}
 характер мономорфизма~$\oleq$. Итак,
 $\Rightarrow:\Omega\times\Omega\to\Omega$~---
 единственный\formula{$\Rightarrow:\Omega\times\Omega\rightarrow\Omega$}
 $\Cal E$-мор\-физм, для которого квадрат
 $$
 \bfig
 \square[\oleq`\Omega\times\Omega`\bbold 1`\Omega;e``\Rightarrow`\top]
 \efig
 $$
%
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\oleq$}}
% \put(8,7){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$!$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$e$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\Rightarrow$}}
% \put(4.5,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{5}}
% \put(8,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent является декартовым в $\Cal E$.

 \subsection{3.5.2}~Для пары морфизмов
 $f,g:\bbold 1\to\Omega$ определено произведение
 $\langle f,g\rangle:\bbold 1\to\Omega\times\Omega$ относительно канонических проекций
 произведения $\Omega\times\Omega$. Положим по определению
 $f\frown g\!:=\frown\circ\langle f,g\rangle$,\formula{$f frown g$}
 $f\smile g\!:=\smile\circ\langle f,g\rangle$\formula{$f smile g$}
 и $f\Rightarrow g\!:=\Rightarrow\circ\langle f,g\rangle$.\formula{$f\Rightarrow g$}

 \Proclaim{}В произвольном топосе $\Cal E$ морфизмы $\top$ и
 $\bot$ удовлетворяют следующим условиям\/$:$

%\vspace{2pt}
 \subsubsec{(1)}~$\Neg\circ\top=\bot$, $\Neg\circ\bot=\top;$

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(2)}~$\top\frown\top=\top,\ \top\frown\bot=\bot,\
 \bot\frown\top=\bot,\ \bot\frown\bot=\bot;$

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(3)}~$\top\smile\top=\top,\ \top\smile\bot=\top,\
 \bot\smile\top=\top,\ \bot\smile\bot=\bot;$

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(4)}~$\top\Rightarrow\top=\top,\
 \top\Rightarrow\bot=\bot,\ \bot\Rightarrow\top=\top,\
 \bot\Rightarrow\bot=\top$. \Endproc

\vspace{2pt}
 \beginproof~Эти утверждения можно вывести из определений 3.5.1. Так,
 например, свойства $\Neg\circ\bot=\top$ и $\top\frown\top=\top$
 вытекают непосредственно из определений 3.5.1\,(1) и 3.5.1\,(2).
 Ниже в 3.6.5 приводится доказательство, основанное на других
 соображениях.~\endproof

 \subsection{3.5.3}~Используя истинностные морфизмы из 3.5.1,
  исчисление высказываний можно интерпретировать
  в произвольном топосе $\Cal  E$.
  {\it Истинностными значениями\/}\subject{Значения истинностные}
 в топосе с классифицирующим объектом $\Omega$ называют
 морфизмы вида $\bbold 1\to\Omega$. Тем самым $\Cal E(\bbold 1,\Omega)$~---
 множество всех истинностных значений.

 Произвольное отображение $v$ из множества пропозициональных
 переменных $\Phi_0$ в множество истинностных значений топоса $\Cal
 E(\bbold 1,\Omega)$ называют $\Cal E$-{\it оценкой}.\subject{$\Cal
 E$-оценка} Такое отображение можно продолжить на множество всех формул
 $\Phi $ по следующим правилам:

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(1)}~$v(\neg \varphi)\!:=\Neg\circ v(\varphi)$;

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(2)}~$v(\varphi\wedge\psi)\!:=\frown\circ\langle v(\varphi),v(\psi)\rangle$;

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(3)}~$v(\varphi\vee\psi)\!:=\smile\circ\langle v(\varphi),v(\psi)\rangle$;

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(4)}~$v(\varphi\rightarrow\psi)\!:={\Rightarrow\circ\langle v(\varphi),v(\psi)\rangle}$.

\vspace{2pt}
 Итак, каждой формуле $\varphi$ исчисления высказываний ставится в
 соответствие истинностное значение $v(\varphi):\bbold 1\to\Omega$.
 Формулу $\varphi$ называют $\Cal E$-{\it
 общезначимой\/}\subject{Формула $\Cal E$-общезначимая} и
 пишут $\Cal E\vDash\varphi$,\formula{$\Cal E\vDash\varphi$} если
 $v(\varphi)=\top:\bbold 1\to\Omega$ для любой $\Cal E$-оценки  $v$.

 \subsubsec{(5)} \proclaim{} Любое $\Cal E$-общезначимое
 предложение выводимо в классическом  исчислении высказываний~$\CL$:
 $$
 \Cal E\vDash\varphi\,\rightarrow\,\vdash_{\CL}\varphi.
 $$
 \Endproc

 \beginproof~Возьмем произвольную классическую оценку
 $v:\Phi_0\to\{0,\,1\}$. Построим \mbox{$\Cal E$-оценку} $v'$, полагая
 $v'(x):=\top$, если $v(x):=1$ и $v'(x)=\bot$, если $v(x)=0$.
 Нетрудно видеть, что $v'$ принимает только два значения~--- $\top$
 или $\bot$, причем $v'(\varphi)=\top$ в том и только в том случае,
 если $v(\varphi)=1$. В самом деле, это утверждение очевидным
 образом выполняется, когда $\varphi$~--- переменная; далее,
 действуя индукцией по длине формулы $\varphi$, на шагах индукции
 для формул $\varphi\wedge\psi$, $\varphi\vee\psi$,
 $\varphi\rightarrow\psi$ и $\neg\varphi$ получаем требуемое, если
 оно выполняется для $\varphi$ и $\psi$, так как в силу 3.5.2\,(1--4)
 решетки $\{0,\,1\}$ и $\{\bot,\,\top\}$ изоморфны.

 Предположим, что $\Cal E\vDash\varphi$ для некоторой
 пропозициональной формулы $\varphi$. Тогда по определению
 $v'(\varphi)=\top$. Следовательно, по указанной выше причине
 $v(\varphi)=1$. Осталось вспомнить теорему о полноте
 исчисления высказываний
 (см. у Ю.~Л.~Ершова и Е.~А.~Палютина~\cite{33}).~\endproof

 Отметим, что утверждение, обратное к (5), вообще говоря, неверно.
 Тем не менее, имеет место следующий факт.

 \subsubsec{(6)} \proclaim{} Если $\Cal E$~--- двузначный топос, то
 справедлива эквивалентность
 $$
 \Cal E\vDash\varphi\,\leftrightarrow\,\vdash_{\CL}\varphi.
 $$
 \Endproc

 \beginproof~Очевидно, так как для двузначного топоса соответствие
 $v\mapsto v'$ является биекцией.~\endproof

 \subsection{3.5.4}~Для определения истинностных морфизмов
 кванторов необходимо ввести еще несколько специальных морфизмов.
 Как и выше, рассматриваем произвольный топос $\Cal E$ с
 классификатором подобъектов $\top:\bbold 1\to\Omega$. Пусть $a$~---
 некоторый $\Cal E$-объект.

 \subsubsec{(1)}~По определению произведения (см. 3.2.3\,(3))
 существует произведение морфизмов
 $\Delta_a\!:=\langle 1_a,1_a\rangle:a\to a\times a$
 относительно проекции $p_a$, которое однозначно
 задается равенством $p_a\circ\Delta_a=1_a$. Нетрудно видеть,
 что $\Delta_a$~--- мономорфизм. Характеристику морфизма $\Delta_a$
 мы обозначим символом $\delta_a$. Таким образом,
 $\delta_a:a\times a\to\Omega$~--- единственный морфизм, для которого квадрат
 $$
 \bfig
 \square|alrb|<600,500>[a`a\times a`\bbold 1`\Omega;\Delta_a`|_a`\delta_a`\top]
 \efig
 $$
%\begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(8,7){\makebox(0,0){$a\times a$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$|_a$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$\Delta_a$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\delta_a$}}
% \put(4.5,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{5}}
% \put(8,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
 \noindent является декартовым в $\Cal E$.

 \subsubsec{(2)}~{\it Объектом-степенью\/}\subject{Объект-степень}
 объекта $a$ называют объект $\Cal P(a)$,\formula{$\Cal P(a)$}
 если существуют объект $\in_a$\formula{$\in_a$}
 и мономорфизм $\in\,:\,\in_a\rightarrowtail\Cal P(a)\times a$
 такие, что для произвольного объекта $b$ и подобъекта
 $r:R\rightarrowtail b\times a$ существует единственный морфизм
 $f_r:b\to\Cal P(a)$, для которого существует $\Cal E$-морфизм
 $R\to{\in_a}$, делающий декартовым следующий квадрат:
 $$
 \bfig
 \quad\square|alrb|<600,500>[R`b\times a`\in_a`\Cal P(a)\times a;r``f_r\times 1_a`\in\ ]
 \efig
 $$
 %\begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$R$}}
% \put(8,7){\makebox(0,0){$b\times a$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\in_a$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Cal P(a)\times a$}}
% % operators
% {\footnotesize
%% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$ $}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$r$}}
% \put(9.8,4){\makebox(0,0){$f_r\times 1_a$}}
% \put(3.5,0.3){\makebox(0,0){$\in$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{3}}
% \put(8,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
% \noindent является декартовым при подходящем $\Cal E$-морфизме  $R\to{\in_a}$.

 \subsection{3.5.5}
 \proclaim{} Для произвольного $\Cal E$-объекта $a$ объект-степень
 существует и имеет вид $\Omega^a$. \Endproc

 \beginproof~Положим $\Cal P(a)\!:=\Omega^a$. Так как топос
 допускает экспоненцирование, то существует морфизм значения
 $\ev_a:\Omega^a\times a\to\Omega$. Пусть теперь
 $\in:\in_a\rightarrowtail\Omega^a\times a$~--- подъем $\bot$ вдоль
 $\ev_a$, т.~е. квадрат
 $$
 \bfig
 \square<600,500>[\in_a`\Omega^a\times a`\bbold 1`\Omega;\in`|_{\in_a}`\ev_a`\top]
 \efig
 $$
%\begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\in_a$}}
% \put(8,7){\makebox(0,0){$\Omega^a\times a$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(-0.3,4){\makebox(0,0){$|_{\in_a}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$\in$}}
% \put(9,4){\makebox(0,0){$\ev_a$}}
% \put(4.5,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{3.9}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{5}}
% \put(8,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent является декартовым. Так как $\top:\bbold 1\to\Omega$~--- мономорфизм,
 а подъем мономорфизма также мономорфизм, то $\in$ будет
 подобъектом объекта $\Omega^a\times a$ и при этом
 $\ev_a=\chi_{\in}$. Возьмем произвольный мономорфизм
 $r:R\rightarrowtail b\times a$, и пусть $\chi_r:b\times
 a\to\Omega$~--- его характеристика. Пусть $f_r:b\to\Omega^a$~---
 морфизм, экспоненциально присоединенный к $\chi_r$
 (см. 3.3.9), т.~е. $f_r$~--- единственный морфизм, для
 которого диаграмма  %Diag.3.5.33.
 $$
 \bfig
 \qtriangle|alr|<800,500>[\ \ \ b\times a`\,\Omega^a\times a`\Omega;f_r\times 1_a`\chi_r`\ev_a]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(13,9)(0,0)
% % spaces
% \put(11,7){\makebox(0,0){$\Omega^a\times a$}}
% \put(11,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(2,7){\makebox(0,0){$b\times a$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(6,7.7){\makebox(0,0){$f_r\times 1_a$}}
% \put(5,3.5){\makebox(0,0){$\chi_r$}}
% \put(12,4){\makebox(0,0){$\ev_a$}}}
% % arrows
% \put(4,7){\Vector{0}{4.5}}
% \put(2,6){\Vector{-30}{9}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent коммутативна: $\ev_a\circ(f_r\times 1_a=\chi_r)$. Отсюда,
 учитывая определение классифицирующего объекта, выводим, что в
 диаграмме  %Diag.3.5.34.
 $$
 \xyoption{curve}
 \bfig
 \morphism(-60,20)|l|/{@{<-}@/^20pt/}/<40,1030>[\ `\ ;|_R]
 \square(0,500)|alra|/->`-->`->`->/<600,500>[R`b\times a`\in_a`\Omega^a\times a;r``f_r\times1_a`\in]
 \square|alra|<600,500>[\phantom{\in_a} `\Omega^a\times a`\bbold1`\Omega;``\ev_a`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,14)(0,0)
% % spaces
% \put(3,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(9,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(3,7){\makebox(0,0){$\in_a$}}
% \put(9,7){\makebox(0,0){$\Omega^a\times a$}}
% \put(3,13){\makebox(0,0){$R$}}
% \put(9,13){\makebox(0,0){$b\times a$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(10.7,10){\makebox(0,0){$f_r\times 1_a$}}
% \put(6,13.5){\makebox(0,0){$r$}}
% \put(10,4){\makebox(0,0){$\ev_a$}}
% \put(5.5,7.5){\makebox(0,0){$\in$}}
% \put(6,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(-0.2,7){\makebox(0,0){$|_R$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\oval(3,12)[l]}\put(1.9,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle>$}}
% \put(4,1){\Vector{0}{4}}
% \put(4,7){\Vector{0}{2.9}}
% \put(4,13){\Vector{0}{3.2}}
% \put(3,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(3,12){\dashVec{-90}{4}}
% \put(9,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(9,12){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
 \noindent квадрат с вершинами $(R,b\times a,\Omega,\bbold 1)$ декартов.
 В силу отмеченного выше свойства универсальности нижнего декартова
 квадрата существует единственный морфизм $R\to{\in_a}$, для которого
 вся диаграмма коммутативна. По лемме о квадратах верхний квадрат
 также декартов, что равносильно требуемому.

 Единственность $f_r$ видна из следующих рассуждений. Если в
 последней диаграмме декартовость верхнего квадрата вместо
 $f_r$ обеспечивает какой-нибудь морфизм $f$, то по лемме о
 квадратах декартовым будет и внешний квадрат с тем же самым $f$.
 Тогда по определению классификатора подобъектов имеет место
 равенство $\ev_a\circ(f\times 1_a)=\chi _r$, откуда ввиду
 единственности экспоненциально присоединенного к $\chi _r$ морфизма получаем $f=f_r$.~\endproof

 \subsection{3.5.6}~Введем истинностные морфизмы кванторов.

 \subsubsec{(1)}~Итак, для произвольного $\Cal E$-объекта $a$
 имеется подобъект ${\in\,:\,\in_a}\rightarrowtail\Omega^a\times a$ объекта
 $\Omega^a\times a$ с характером $\ev_a:\Omega^a\times a\to\Omega$.
 Пусть $p_a:\Omega^a\times a\to\Omega^a$~--- первая проекция, т.~е.
 для любых морфизмов $f:c\to\Omega^a$ и $g:c\to a$ будет
 $p_a\circ\langle f,g\rangle=f$. Построим эпи-моно-разложение морфизма
 $p_a\circ{\in}$, т.~е. представление $\im(p_a\circ{\in})\circ(p_a\circ{\in})^\ast:
 {\in_a}\twoheadrightarrow{{\in}({\in_a})}\rightarrowtail\Omega^a$.
 Обозначим теперь символом
 $\exists_a:\Omega^a\to\Omega$\formula{$\exists_a:\Omega^a\to\Omega$}
 характер мономорфизма
 $\im(p_a\circ{\in})$. Тогда мы имеем диаграмму  %Diag.3.5.44.,
 $$
 \bfig
 \square(0,500)|alra|/ >->`->>`->` >->/<800,500>[\in_a`\Omega^a\times a`{\in}(\in_a)`\Omega^a;\in`(p_a\circ\in)^*`p_a`\im(p_a\circ\in)]
 \square|alra|<800,500>[\phantom{\in(\in_a)} `\Omega^a`\bbold1`\Omega;`|_{{\in}(\in_a)}`\exists_a`\top]
 \efig\quad
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,14)(0,0)
% % spaces
% \put(3,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(3,7){\makebox(0,0){$\!\!\!{\in}(\in_a)$}}
% \put(3,13){\makebox(0,0){$\in_a$}}
% \put(11.5,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(11.5,7){\makebox(0,0){$\Omega^a$}}
% \put(11.5,13){\makebox(0,0){$\Omega^a\times a$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(6.5,13.5){\makebox(0,0){$\in$}}
% \put(6.7,7.5){\makebox(0,0){$\im(p_a\circ{\in})$}}
% \put(6.5,0.4){\makebox(0,0){$\top$}}
%% \put(6.5,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(12.5,10){\makebox(0,0){$p_a$}}
% \put(1,10){\makebox(0,0){$(p_a\circ\in)^*$}}
% \put(12.5,4){\makebox(0,0){$\exists_a$}}
% \put(1.5,4){\makebox(0,0){$|_{\in(\in_a)}$}}}
% % arrows
% \put(4,1){\Vector{0}{6}}
% \put(4.9,7){\VectorV{0}{4.9}}
% \put(4.7,13){\VectorV{0}{4.5}}
% \put(3,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(3,12){\VVector{-90}{4}}
% \put(11.5,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(11.5,12){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent в которой верхний квадрат~--- эпи-моно-разложение, а
 нижний квадрат декартов.

 \subsubsec{(2)}~Пусть $\pr_a:\bbold 1\times a\to a$~---  вторая проекция
 произведения $\bbold 1\times a$. Рассмотрим композицию
 $\tau\!:=\top_a\circ\pr_a=\top\circ|_a\circ\pr_a:\bbold 1\times a\to \Omega
 $. Обозначим символом $\widehat{\tau}$  морфизм, экспоненциально
 присоединенный к $\tau$, т.~е.
 $\widehat{\tau}:\bbold 1\to\Omega^a$~---
 единственный морфизм, для которого $\ev\circ(\widehat{\tau}\times 1_a)=\tau$.
 Существует единственный морфизм
 $\forall_a:\Omega^a\to\Omega$\formula{$\forall_a:\Omega^a\to\Omega$},
 для которого диаграмма
 $$
 \bfig
 \square[\bbold1`\Omega^a`\bbold 1`\Omega;\widehat\tau`1_{\bbold1}`\forall_a`\top]
 \efig
 $$
 %\begin{center}
% \begin{picture}(9,8)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\ \Omega^a$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$1_{\bbold 1}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$\widehat\tau$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$\forall_a $}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
%  \end{center}

 \noindent является декартовым квадратом.

 \subsection{3.5.7}~Используя введенные в 3.5.1 и 3.5.6
 истинностные морфизмы, теперь мы в состоянии развить исчисление предикатов
 в произвольном топосе $\Cal E$. На этом пути возникают определенные
 технические трудности,
 преодоление которых не входит в круг наших намерений. Мы ограничимся здесь простым упоминанием
 нескольких  результатов в указанном направлении. Подробности и доказательства можно найти у
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. ()}~\cite{21}.

 Рассмотрим интуиционистское исчисление предикатов (см. 1.1.10).
 Понятие $\Cal E$-модели мы поясним на примере простой сигнатуры
 $\sigma$, содержащей один \mbox{$2$-арный} предикатный символ $R$ и один
 символ константы $c$. Скажем, что тройка $(a,r,f_c)$ служит
 $\Cal E$-моделью сигнатуры $\sigma$, если выполнены условия:

 \subsubsec{(a)}~$a$~--- непустой $\Cal E$-объект, т.~е. $\Cal
 E(\bbold 1, a)\ne\emptyset$;

 \subsubsec{(b)}~$r:a\times a\to\Omega$~--- произвольный $\Cal
 E$-морфизм;

 \subsubsec{(c)}~$f_c:\bbold 1\to a$~--- некоторый элемент объекта
 $a$.

 Возьмем формулу $\varphi$ сигнатуры $\sigma$. Натуральное
 число $m$ называют {\it подходящим\/} для формулы $\varphi$,
 если все переменные этой формулы, как свободные, так
 и связанные, содержатся в списке $\{v_1,\dots,v_m\}$.
 Список может содержать и другие переменные, не входящие в
 $\varphi$. Стало быть, если $k\geq m$, то $k\in\Bbb N$
 также является подходящим для $\varphi$.
 Индукцией по длине формулы $\varphi$ можно определить $\Cal E$-морфизм
 $[\![\varphi]\!]^m:a^m\to\Omega$\formula{$[\![\varphi]\!]^m:a^m\to\Omega$}
 для любого подходящего числа $m$.

 Начнем с термов. Из 3.2.3 видно что $m$-кратное произведение
 $a^m\!:=a\times\ldots\times a$ объекта $a$ на себя
 определяет набор $m$ проекций
 $\pr^m_l:a^m\to a$\formula{$\pr^m_l:a^m\to a$}
 со следующим свойством универсальности:
 для любых морфизмов $f_1,\dots,f_m:c\to a$
 существует и притом единственный морфизм
 $\langle f_1,\dots, f_m\rangle: c\to a^m$
 такой, что $f_l=\pr^m_l\circ\langle f_1,\dots, f_m\rangle$
 $(l:=1,\dots,m)$.
 В силу этого свойства для любого $1\leq l\leq m$ существует морфизм
 $\tau^{m+1}_l:a^{m+1}\to a^m$, для которого
 $\pr^{m+1}_k=\pr^m_k\circ\tau^{m+1}_l$ при
 $l\ne k\leq m$ и $\pr^{m+1}_{m+1}=\pr^m_l\circ\tau^{m+1}_l$.

 Если $t$~--- терм, то либо $t=v_l$ для некоторого $l\in\Bbb N$, либо $t=c$.
 В первом случае положим $\rho^m_t\!:=\pr^m_l:a^m\to a$,
 во втором случае~--- $\rho^m_t\!:=f_c\circ |_{a^m}$.
 Если определен морфизм
 $[\![\varphi]\!]^m:a^m\to\Omega$, то символом $|\varphi|^m_l:a^m\to\Omega^a$
мы обозначим морфизм, экспоненциально
 присоединенный к композиции $[\![\varphi]\!]^m\circ\tau^{m+1}_l$.
 Теперь индуктивное определение морфизма
 $[\![\varphi]\!]^m:a^m\to\Omega$ содержится в следующих восьми формулах:

\vspace{2pt}\subsubsec{(1)}~$[\![t=u]\!]^m\!:=\delta_a\circ
 \langle\rho_t^m,\rho^m_u\rangle$;

\vspace{2pt}
 \subsubsec{(2)}~$[\![tRu]\!]^m\!:=r\circ \langle\rho_t^m,\rho^m_u\rangle$;

\vspace{2pt}
\subsubsec{(3)}~$[\![\neg\varphi]\!]^m\!:=\Neg\circ[\![\varphi]\!]^m$;

 \vspace{2pt}
 \subsubsec{(4)}~$[\![\varphi\wedge\psi]\!]^m\!:=[
 \![\varphi]\!]^m\frown[\![\psi]\!]^m$;

 \vspace{2pt}
 \subsubsec{(5)}~$[\![\varphi\vee\psi]\!]^m\!:=
 [\![\varphi]\!]^m\smile[\![\psi]\!]^m$;

 \vspace{2pt}
 \subsubsec{(6)}~$[\![\varphi\rightarrow\psi]\!]^m\!:=
 [\![\varphi]\!]^m\Rightarrow [\![\psi]\!]^m$;

 \vspace{2pt}
 \subsubsec{(7)}~$[\![(\forall\, x_l)\varphi]\!]^m\!:= \forall_a\circ
 |\varphi|^m_l$;

 \vspace{2pt}
 \subsubsec{(8)}~$[\![(\exists\, x_l)\varphi]\!]^m\!:= \exists_a\circ
 |\varphi|^m_l$.
\vspace{2pt}

 Пусть формула $\varphi\!:=\varphi(v_{l_1},\dots,v_{l_n})$
 имеет ровно $n$ свободных переменных. Выберем
 подходящее для $\varphi$ число $m$.
 Возьмем произвольный морфизм ${g:a^n\to a}$.
 Обозначим символом $f:a^n\to a^m$ произведение $\langle p_1,\dots,p_m\rangle$,
 где $p_\jmath\!:=\pr^n_k$ при $\jmath=l_k$
 для некоторого $1\leq k\leq n$ и
 $p_\jmath=g$ --- в противном случае.
 Положим $[\![\varphi]\!]_{\goth A}\!:=[\![\varphi]\!]^m\circ f$,
 где $\goth A\!:=(a,r,f_c)$.
 Морфизм $[\![\varphi]\!]_{\goth A}$ не зависит от выбора~$m$ и~$g$.
 Говорят, что~$\varphi$ истинна в $\Cal E$-модели $\goth A$,
 если $[\![\varphi]\!]_{\goth A}=\top_{a^n}=\top\circ |_{a^n}$.
 Наконец, формулу~$\varphi$ (сигнатуры $\sigma$) называют
 $\Cal E$-{\it общезначимой},\subject{Формула $\Cal E$-общезначимая}
 если $\varphi$ истинна в любой $\Cal E$-модели (сигнатуры $\sigma$).


 \Proclaim{Теорема.} Формула $\varphi$
является  $\Cal E$-общезначимой в каждом топосе~$\Cal E$
 в том и только в том случае, если $\varphi$ выводима в
 интуиционистском исчислении предикатов. \Endproc

 \beginproof~Доказательство см. у
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. ()}~\cite{21}.~\endproof


 \subsection{3.5.8}~Пусть $\Cal E$~--- произвольный топос, а
 $d$~--- его объект. Определим операции дополнения, пересечения и
 объединения на множестве $\Sub(d)$ всех подобъектов объекта $d$.

 \subsubsec{(1)}~Рассмотрим мономорфизм $f:a\rightarrowtail d$.
 {\it Дополнением подобъекта\/}\subject{Дополнение подобъекта} $f$
 относительно $d$ называют подобъект $-f:-a\rightarrowtail d$,
 характеристический морфизм которого равен $\Neg\circ\chi_f$, т.~е.
 $\chi_{-f}=\Neg\circ\chi_f$ (см. 3.5.1\,(1)).
 Значит,    $-f$ будет обратным образом
 морфизма $\top$ относительно $\Neg\circ\chi_f$ в соответствии с
 декартовым квадратом
 $$
 \bfig
 \square[-a`d`\bbold 1`\Omega;-f`|_{-a}`\Neg\circ\chi_f`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,8)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$-a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
%  %\put(9,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0,4){\makebox(0,0){$|_{-a}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$-f$}}
% \put(8.5,4){\makebox(0,0){$\Neg\circ\chi_f$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
%  \end{center}

 \subsubsec{(2)}~{\it Пересечением подобъектов\/}\subject{Пересечение подобъектов}
 $f:a\rightarrowtail d$ и $g:b\rightarrowtail d$ называют подобъект
 $f\cap g:a\cap b\rightarrowtail d$, получаемый подъемом $\top$
 вдоль $\chi_f\frown\chi_g\!:=\frown\circ\langle\chi_f, \chi_g\rangle$ (см. 3.5.1\,(2)).
 Значит,    $\chi_{f\cap g}=\frown\circ\langle\chi_f,\chi_g\rangle$ в соответствии
 с декартовым квадратом
 $$
 \bfig
 \square[a\cap b`d`\bbold 1`\Omega;f\cap g`|_{a\frown b}`\chi_f\frown\chi_g`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a\cap b$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % \put(10,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(-0.1,4){\makebox(0,0){$|_{a\frown b}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$f\cap g$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\chi_f\frown\chi_g$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2.5,7){\Vector{0}{3.5}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \subsubsec{(3)}~{\it Объединением
 подобъектов\/}\subject{Объединение подобъектов}
 $f:a\rightarrowtail d$ и $g:b\rightarrowtail d$ называют подобъект
 $f\cup g:a\cup b\rightarrowtail d$, получаемый подъемом $\top$
 вдоль $\chi_f\smile\chi_g\!:=\smile\circ\langle\chi_f, \chi_g\rangle$, см 3.5.1\,(3).
 Значит,    $\chi_{f\cup g}=\smile\circ\langle\chi_f,\chi_g\rangle$ в соответствии
 с декартовым квадратом
 $$
 \bfig
 \square[a\cup b`d`\bbold 1`\Omega;f\cup g`|_{a\smile b}`\chi_f\smile\chi_g`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a\cup b$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
%  %\put(10,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(-0.1,4){\makebox(0,0){$|_{a\smile b}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$f\cup g$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\chi_f\smile\chi_g$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2.5,7){\Vector{0}{3.5}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
%  \end{center}

 \subsubsec{(4)}~Введем попутно еще одну операцию $\Rrightarrow$ над
 подобъектами, используя импликацию $\Rightarrow$ из 3.5.1\,(4). Для
 подобъектов $f:a\rightarrowtail d$ и $g:b\rightarrowtail d$
 символом $f\Rrightarrow g:(a\Rrightarrow b)\rightarrowtail d$
 мы обозначим подобъект, получаемый подъемом $\top$ вдоль
 $\chi_f\Rightarrow\chi_g\!:=\;\Rightarrow\circ\langle\chi_f, \chi_g\rangle$.
 Значит,    $\chi_{f\Rrightarrow b}=\;\Rightarrow\circ\langle\chi_f,\chi_g\rangle$ в
 соответствии с декартовым квадратом
 $$
 \bfig
 \square[a\Rrightarrow b`d`\bbold 1`\Omega;f\Rrightarrow g`|_{a\Rrightarrow b}`\chi_f\Rightarrow\chi_g`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(0.5,7){\makebox(0,0){$a\,{\Rrightarrow}\,b$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
%  %\put(10,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(-0.1,4){\makebox(0,0){$|_{a\Rrightarrow b}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$f\Rrightarrow g$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\chi_f{\Rightarrow}\chi_g$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2.4,7){\Vector{0}{3.5}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
%  \end{center}


 Введенные понятия пересечения и объединения подобъектов обладают
 важным свойством универсальности, описанным в следующих двух
 теоремах.

 \subsection{3.5.9}
 \proclaim{Теорема.}  Для любых $\Cal E$-мономорфизмов
 $f:a\rightarrowtail d$ и $g:b\rightarrowtail d$ в $\Cal E$
 существует декартов квадрат

 $$
 \bfig
 \square/ >->` >->` >->` >->/[a\cap b`b`a`d;f'`g'`g`f]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a\cap b$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$d$}}
% % \put(8,1){\makebox(0,0){,}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.5,4){\makebox(0,0){$g'$}}
% \put(4.5,7.7){\makebox(0,0){$f'$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(3,7){\VectorV{0}{2.9}}
% \put(2.2,1){\VectorV{0}{3.8}}
% \put(1,5.8){\VectorV{-90}{3.8}}
% \put(7,5.8){\VectorV{-90}{3.8}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent причем для морфизма $h:g\circ f^\prime=f\circ g^\prime$
 выполнено $\chi_h=\chi_{f\cap g}$ или, что то же самое, $h\simeq
 f\cap g$. \Endproc

 \beginproof~Доказательство можно провести по следующей схеме. Рассмотрим
 диаграмму %Diag. 3.6.2.
 $$
 %\xyoption{curve}
 \bfig
 %\morphism(-60,20)|l|/{@{<-}@/^20pt/}/<40,1030>[\ `\ ;|_R]
 \square(0,500)|alra|<600,500>%
 [a\cap b`d`\bbold1`\Omega\times\Omega;h`|_{a\cap b}`\langle\chi_f,\chi_g\rangle`\langle\top,\top\rangle]
 \square|alra|<600,500>[\phantom{\bbold1} `\phantom{\Omega\times\Omega}`\bbold1`\Omega;`1_{\bbold1}`\cap`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,14)(0,0)
% % spaces
% \put(3,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(10,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(3,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(10,7){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% \put(3,13){\makebox(0,0){$a\cap b$}}
% \put(10,13){\makebox(0,0){$d$}}
% %\put(11,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(11.8,10){\makebox(0,0){$\langle\chi_f,\chi_g\rangle$}}
% \put(6.5,13.5){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(10.6,4){\makebox(0,0){$\frown$}}
% \put(5.8,7.5){\makebox(0,0){$\langle\top,\top\rangle$}}
% \put(6.5,0.4){\makebox(0,0){$\top$}}
%% \put(6.5,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(2,4){\makebox(0,0){$1_{\bbold 1}$}}
% \put(2,10){\makebox(0,0){$|_{a\cap b}$}}}
% % arrows
% \put(4,1){\Vector{0}{5}}
% \put(4,7){\Vector{0}{3.9}}
% \put(4.5,13){\Vector{0}{4.5}}
% \put(3,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(3,12){\Vector{-90}{4}}
% \put(10,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(10,12){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}


 \noindent Сначала отметим, что верхний квадрат декартов.
 Нижний квадрат декартов по определению $\frown$. По лемме о
 квадратах внешний квадрат будет также декартовым. Значит,   в силу
 определения классифицирующего объекта будет
 $\chi_h=\frown\circ\langle\chi_f,\chi_g\rangle$.~\endproof

 \subsection{3.5.10}
 \proclaim{Теорема.} Пусть $f:a\rightarrowtail d$ и
 $g:b\rightarrowtail d$~--- некоторые $\Cal E$-мономорфизмы, а $[f,g]:a+b\to
 d$~--- их копроизведение. Положим $h\!:=\im [f,g]$. Тогда
 $\chi_h=\chi_{f\cup g}$ и $h\simeq f\cup g$. Следовательно,
 эпи-моно-разложение морфизма $[f,g]$ имеет вид:
 %Diag.3.6.3(1).
 $$
 \bfig
 \Vtriangle/>`>`<-/[\ a+b`\,d`a\cup b;{[f,g]}`{[f,g]^*}`f\cup g]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(11,6)(0,0)
% % spaces
% \put(1,5){\makebox(0,0){$a+b$}}
% \put(10,5){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(5.5,0.7){\makebox(0,0){$a\cup b$}}
%% \put(10.5,0.7){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(1.9,2.5){\makebox(0,0){$[f,g]^*$}}
% \put(9,2.5){\makebox(0,0){$f\cup g$}}
% \put(5.7,5.7){\makebox(0,0){$[f,g]$}}}
% % arrows
% \put(2.8,5){\Vector{0}{6.2}}
% \put(2,4){\Vector{-45}{3.3}}
% \put(6.7,1.7){\Vector{45}{3.3}}
% \end{picture}
% \end{center}
 \Endproc

 \beginproof~Сначала заметим, что два малых квадрата
 из диаграммы %Diag.3.6.3(2).
 $$
 \bfig
 \square|alrb|/>`>`>`<-/<700,500>%
 [a`d`\Omega`\Omega\times\Omega;f`\chi_g\circ f`(\chi_f,\chi_g)`\langle{\top}_\Omega,1_\Omega\rangle]
 \square(700,0)|arrb|/<-`>`>`>/<700,500>%
 [\phantom{d} `b`\phantom{\Omega\times\Omega} `\Omega;g``\chi_f\circ g`\langle1_\Omega,{\top}_\Omega\rangle]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(20,9)(0,0)
% % spaces
% \put(2,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(10,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(2,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(10,1){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% \put(18,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(18,7){\makebox(0,0){$b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.5,4){\makebox(0,0){$\chi_g\circ f$}}
% \put(12,4){\makebox(0,0){$(\chi_f,\chi_g)$}}
% \put(19.4,4){\makebox(0,0){$\chi_f\circ g$}}
% \put(6,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(14.5,7.5){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(5.6,0.25){\makebox(0,0){$\langle{\top}_\Omega,1_\Omega\rangle$}}
% \put(14.4,0.25){\makebox(0,0){$\langle1_\Omega,{\top}_\Omega\rangle$}}}
%% \put(5.6,1.7){\makebox(0,0){$\langle{\top}_\Omega,1_\Omega\rangle$}}
% %\put(14.4,1.7){\makebox(0,0){$\langle1_\Omega,{\top}_\Omega\rangle$}}}
% % arrows
% \put(2,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(10,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(18,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(3,7){\Vector{0}{6}}
% \put(17,7){\Vector{180}{6}}
% \put(8,1){\Vector{180}{4.8}}
% \put(12,1){\Vector{0}{4.8}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent декартовы. Так как копроизведения сохраняют обратные
 образы, то декартовым будет также и квадрат

 $$
 \bfig
 \quad\square|alrb|<700,500>[a+b`d`\Omega +\Omega`\Omega\times\Omega;%
 {[f,g]}`\chi_g\circ f+\chi_f\circ g`\langle\chi_f,\chi_g\rangle`k]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(16,9)(0,0)
% % spaces
% \put(5,7){\makebox(0,0){$a+b$}}
% \put(13,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(5,1){\makebox(0,0){$\Omega+\Omega$}}
% \put(13,1){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% %\put(17.5,1){\makebox(0,0){,}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(9,0.5){\makebox(0,0){$k$}}
% \put(9.3,7.7){\makebox(0,0){$[f,g]$}}
% \put(1.5,4){\makebox(0,0){$\chi_g\circ f+\chi_f\circ g$}}
% \put(15,4){\makebox(0,0){$\langle\chi_f,\chi_g\rangle$}}}
% % arrows
% \put(7.1,1){\Vector{0}{3.6}}
% \put(7,7){\Vector{0}{4.8}}
% \put(5,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(13,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent где
 $k\!:=[\langle\top_\Omega,1_\Omega\rangle,\langle1_\Omega,\top_\Omega\rangle]$. Теперь
 воспользуемся предложением 3.4.10 и возьмем морфизм $j:[f,g](a+b)\to
 k(\Omega+\Omega)$, для которого квадрат
 $$
 \bfig
 \qquad\square|alrb|<700,500>[{[f,g](a+b)}`d`k(\Omega+\Omega)`\Omega\times\Omega;%
 h`\jmath`\langle\chi_f,\chi_g\rangle`\im k]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,9)(0,0)
% % spaces
% \put(3,7){\makebox(0,0){$[f,g](a+b)$}}
% \put(12,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(3,1){\makebox(0,0){$k(\Omega+\Omega)$}}
% \put(12,1){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% %\put(15,1){\makebox(0,0){,}}%% после диаграмм знаки препинания НЕ СТАВЯТ
% % operators
% {\footnotesize
% \put(8,0.5){\makebox(0,0){$\im k$}}
% \put(8,7.7){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(2.5,4){\makebox(0,0){$\jmath$}}
% \put(13.9,4){\makebox(0,0){$\langle\chi_f,\chi_g\rangle$}}}
% % arrows
% \put(5.8,1){\Vector{0}{4}}
% \put(6.5,7){\Vector{0}{4.3}}
% \put(3,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(12,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent является декартовым. Из определения 3.5.1\,(3) видно, что
 морфизм $\smile:\Omega\times\Omega\to\Omega$ является характером
 для подобъекта $\im k$. Стало быть, квадрат
 $$
\qquad \bfig
 \square|alrb|<700,500>[k(\Omega+\Omega)`\Omega\times\Omega`\bbold1`\Omega;%
 \im k`1_{k(\Omega+\Omega)}`\smile`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,9)(0,0)
% % spaces
% \put(3,7){\makebox(0,0){$k(\Omega+\Omega)$}}
% \put(12,7){\makebox(0,0){$\Omega\times\Omega$}}
% \put(3,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(12,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(7.5,0.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(8,7.7){\makebox(0,0){$\im k$}}
% \put(1,4){\makebox(0,0){$1_{k(\Omega+\Omega)}$}}
% \put(12.6,4){\makebox(0,0){$\smile$}}}
% % arrows
% \put(4,1){\Vector{0}{7}}
% \put(5.8,7){\Vector{0}{4}}
% \put(3,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(12,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent также декартов. Последние две диаграммы в силу леммы о
 квадратах дают $\chi_h=\smile\circ\langle\chi_f,\chi_g\rangle$.~\endproof



 \head
6. Boolean Topoi
Булевы топосы
\endhead

 В предыдущем параграфе мы выяснили, что в топосе естественным
 образом возникает внутреннее логическое исчисление, основанное на
 принципах интуиционистской логики. От этого обстоятельства
 существенно зависит, в частности, строение упорядоченного
 множества подобъектов, наделенного операциями, введенными в конце предыдущего
 параграфа.

 \subsection{3.6.1}
 \proclaim{Теорема.} Упорядоченное множество $(\Sub(d),\subset)$
 является решеткой с нулем $0_d$ и единицей $1_d$, в которой точные
 границы совпадают с пересечением и объединением подобъектов,
 определенными в $3.5.8$. \Endproc

 \beginproof~(1):~Для произвольного мономорфизма $f:a\rightarrowtail d$
 следующие диаграммы коммутативны (первая из них означает, что
 $0_d\subset f$, а вторая~--- $f\subset 1_d$):
 $$
 \bfig
 \Atriangle(-500,200)/<-`>`->/[a`\bbold0`d;0_a`f`0_d]
 \quad\qquad
 \Atriangle(500,200)/>`>`->/[a`d`d;f`f`1_d]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,8)(0,0)
% % spaces
% \put(6,5.8){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(1.2,1.3){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(11,1.1){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(2.9,4){\makebox(0,0){$0_a$}}
% \put(9,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(6,0){\makebox(0,0){$0_d$}}}
% % arrows
% \put(2,2){\Vector{45}{4.3}}
% \put(7,5){\Vector{-45}{4.3}}
% \put(2,1){\Vector{0}{8}}
% \end{picture}
% \qquad
% \begin{picture}(12,8)(0,0)
% % spaces
% \put(6,5.8){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(1.2,1.3){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(11,1.1){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(3,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(9,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(6,0){\makebox(0,0){$1_d$}}}
% % arrows
% \put(5,5){\Vector{-135}{4.3}}
% \put(7,5){\Vector{-45}{4.3}}
% \put(2,1){\Vector{0}{8}}
% \end{picture}
% \end{center}
% \noindent коммутативны. Первая из них означает, что
% $0_d\subset f$, а вторая~--- $f\subset 1_d$.

 (2):~Возьмем два подобъекта $f:a\rightarrowtail d$ и
 $g:b\rightarrowtail d$. По теореме 3.5.9 $f\cap g$~--- обратный
 образ морфизмов $f$ и $g$. Это означает, что существует декартов
 квадрат
 $$
 \bfig
 \square[a\cap b`d`\bbold1`\Omega;f'`g'`g`f]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a\cap b$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
%%  \put(8,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$g'$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$f'$}}
% \put(7.5,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(4,0.5){\makebox(0,0){$f$}}}
% % arrows
% \put(2.5,7){\Vector{0}{3.5}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent Отсюда видно, что $f\cap g\subset f$ и $f\cap g\subset g$,
 так как $f\cap g\simeq g\circ f'$ и $f\cap g\simeq f\circ g'$ согласно 3.5.9.
 Если $h\subset f$ и $h\subset g$ для некоторого мономорфизма
 $h:c\rightarrowtail d$, то по определению порядка в $\Sub(d)$
 найдутся мономорфизмы $\jmath:c\to a$ и $k:c\to b$, для которых  $h=g\circ k=f\circ \jmath$.
 Но в силу свойства универсальности указанного декартова квадрата можно подобрать морфизм
 $h^\prime:c\to a\cap b$ так, что $\jmath=g'\circ h'$ и  $k=f'\circ h'$.
 Тем самым $h=f\circ \jmath=f\circ g'\circ h'\simeq (f\cap g)\circ h'$ и,
 стало быть, $h\subset f\cap g$.

 (3):~Из 3.5.10 и определения копроизведения морфизмов следует
 коммутативность диаграммы  %Diag.3.6.4(3).
 $$
 \bfig
 \square|alra|/>` >->`->>`<- /<600,500>[a`a+b`d`a\cup b;\imath_a`f`{[f,g]^*}`f\cup g]
 \square(600,0)|arra|/<-`` >->` ->/<600,500>%
 [\phantom{a+b} `b`\phantom{a\cup b} `d;\imath_b``g`f\cup g]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(18,9)(0,0)
% % spaces
% \put(2,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(9,7){\makebox(0,0){$a+b$}}
% \put(2,1){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(9,1){\makebox(0,0){$a\cup b$}}
% \put(16,1){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(16,7){\makebox(0,0){$b$}}
%% \put(17,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(1.5,4){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(10.5,4){\makebox(0,0){$[f,g]^*$}}
% \put(16.5,4){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(5,7.7){\makebox(0,0){$\imath_a$}}
% \put(13,7.7){\makebox(0,0){$\imath_b$}}
% \put(5,1.7){\makebox(0,0){$f\cup g$}}
% \put(13,1.7){\makebox(0,0){$f\cup g$}}}
% % arrows
% \put(2,5.8){\VectorV{-90}{3.8}}
% \put(9,6){\VVector{-90}{4}}
% \put(16,5.8){\VectorV{-90}{3.8}}
% \put(3,7){\Vector{0}{4.2}}
% \put(10.7,1){\Vector{0}{4.2}}
% \put(15,7){\Vector{180}{4.2}}
% \put(7.3,1){\Vector{180}{4.2}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
\noindent Тем самым $f$ и $g$ пропускаются через $f\cup g$, т.~е.
 $f=h_f\circ (f\cup g)$ и $g=h_g\circ (f\cup g)$, где
 $h_f\!:[f,g]^\ast\circ \imath_a$ и $h_g\!:=[f,g]^\ast\circ \imath_b$. Поэтому
 $f\subset f\cup g$ и $g\subset f\cup g$. Допустим, что $f\subset
 h$ и $g\subset h$ для некоторого подобъекта $h:c\rightarrowtail
 d$. Тогда по определению $f$ и $g$ пропускаются через $h$, т.~е.
 существуют $h_a$ и $h_b$, для которых диаграмма  %Diag 3.6.4(4)
 $$
 \bfig
 \Atrianglepair|arrbb|/<-< `<-< `<-< `->`<-/[d`a`\,c`b;f`h`g`h_a`h_b]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(17,10)(0,0)
% % spaces
% \put(9,9){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(2,2){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(9,2){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(16,2){\makebox(0,0){$b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(4.5,5.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(9.5,5.5){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(13.5,5.5){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(5.5,1.2){\makebox(0,0){$h_a$}}
% \put(12.5,1.2){\makebox(0,0){$h_b$}}}
% % arrows
% \put(3,2){\line(1,0){5}}
% \put(10,2){\line(1,0){5}}
% \put(9,3.3){\VectorV{90}{4.5}}
% \put(3.2,3.2){\VectorV{45}{6.6}}
% \put(14.8,3.2){\VectorV{135}{6.6}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна. Отсюда, используя свойства копроизведения
 морфизмов, выводим: $[f,g]=[h\circ h_a,h\circ h_b]=h\circ
 [h_a,h_b]$. Если $k\!:=\im[h_a,h_b]$ и
 $\jmath\!:=[h_a,h_b]^\ast$,
 то
 имеет место эпи-моно-разложение $[h_a,h_b]=k\circ \jmath$. Таким
 образом, мы получаем представление $[f,g]=(h\circ k)\circ \jmath$, которое
 является эпи-моно-разложением, ибо $\jmath$~--- эпиморфизм, а $h\circ
 k$~--- мономорфизм. В силу единственности с точностью до
 изоморфизма эпи-моно-разложения существует изоморфизм $\imath:a\cup
 b\to [h_a,h_b](a+b)$ такой, что диаграмма  %Diag.3.6.4(5)
 $$
 \bfig
 \ptriangle|all|/>`>`>/<700,500>[a+b`a\cup b`{[h_a,h_b](a,b)};{[f,g]^*}`\jmath`\imath]
 \dtriangle|lra|/`>`>/<700,500>[\phantom{a\cup b} `\phantom{[h_a,h_b](a,b)} `d;`f\cup g`h\circ k]
 \efig\quad
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,9)(0,0)
% % spaces
% \put(2,7){\makebox(0,0){$a+b$}}
% \put(10,7){\makebox(0,0){$a\cup b$}}
% \put(2,0.7){\makebox(0,0){$[h_a,h_b](a,b)$}}
% \put(10,0.7){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(1.5,4){\makebox(0,0){$\jmath$}}
% \put(11.2,4){\makebox(0,0){$f\cup g$}}
% \put(6,7.7){\makebox(0,0){$[f,g]^*$}}
% \put(6.8,1.3){\makebox(0,0){$h\circ k$}}
% \put(6,5){\makebox(0,0){$\imath$}}}
% % arrows
% \put(2,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(10,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(3.9,7){\Vector{0}{4.4}}
% \put(5.4,0.7){\Vector{0}{3.4}}
% \put(9,6){\Vector{-145}{7}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
\noindent коммутативна. Итак, $f\cup g=h\circ (k\circ \imath)$ и, стало
 быть, $f\cup g$ пропускается через $h$ посредством $k\circ \imath$.
 Поэтому $f\cup g\subset h$.~\endproof

 \subsection{3.6.2}
 \proclaim{} Пусть $\Cal E$~--- топос, $d$~--- произвольный $\Cal
 E$-объект и $f:a\rightarrowtail d$, $g:b\rightarrowtail d$,
 $h:c\rightarrowtail d$~--- некоторые подобъекты объекта $d$.
 Справедливы следующие эквивалентности:

 \subsubsec{(1)}~$f\cap h\simeq g\cap h\,\leftrightarrow\,
 \chi_f\circ h=\chi_g\circ h ;$

 \subsubsec{(2)}~$\chi_f\frown\chi_h=\chi_g\frown\chi_h
 \,\leftrightarrow\,\chi_f\circ h=\chi_g\circ h ;$

 \subsubsec{(3)}~$f\cap h\subset g\,\leftrightarrow\, \chi_{f\cap g}\circ h=\chi_f\circ h $.
 \Endproc

 \beginproof~(1):~Рассмотрим следующие две диаграммы:
 %\Diag 3.6.5(*)
 $$
 \bfig
 \morphism(20,980)|a|/{@{->}}/<540,-440>[\ `\ ;f\cap h]
 \square(0,500)|alra|/ >->`>`>` >->/<600,500>[a\cap c`c`a`d;h_1``h`f]
 \square|alra|/ >->`>`>`->/<600,500>[\phantom{a }`\phantom{d}`\bbold1`\Omega;``\chi_f`\top]
 \efig
 \qquad
 \bfig
 \morphism(20,980)|a|/{@{->}}/<540,-440>[\ `\ ;g\cap h]
 \square(0,500)|alra|/ >->`>`>` >->/<600,500>[b\cap c`c`b`d;h_2``h`g]
 \square|alra|/ >->`>`>`->/<600,500>[\phantom{b}`\phantom{d}`\bbold1`\Omega;``\chi_g`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(9,14)(0,0)
% % spaces
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(8,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,13){\makebox(0,0){$a\cap c$}}
% \put(8,13){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(5,11){\makebox(0,0){$f\cap h$}}
% \put(8.5,10){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\chi_f$}}
% \put(4.7,13.7){\makebox(0,0){$h_1$}}
% \put(4.5,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(4.5,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,1){\line(1,0){5}}
% \put(2.5,7){\VectorV{0}{4.5}}
% \put(3.2,13){\VectorV{0}{3.8}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(1,12){\Vector{-90}{4}}
% \put(8,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(8,12){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,12){\Vector{-40}{6.3}}
% \end{picture}
% \qquad\qquad
% \begin{picture}(9,14)(0,0)
% % spaces
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(8,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,7){\makebox(0,0){$b$}}
% \put(8,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,13){\makebox(0,0){$b\cap c$}}
% \put(8,13){\makebox(0,0){$c$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(5,11){\makebox(0,0){$g\cap h$}}
% \put(8.5,10){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(8.7,4){\makebox(0,0){$\chi_g$}}
% \put(4.7,13.7){\makebox(0,0){$h_2$}}
% \put(4.5,7.5){\makebox(0,0){$g$}}
% \put(4.5,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2,1){\line(1,0){5}}
% \put(2.5,7){\VectorV{0}{4.5}}
% \put(3.2,13){\VectorV{0}{3.8}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(1,12){\Vector{-90}{4}}
% \put(8,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(8,12){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,12){\Vector{-40}{6.3}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent Верхние квадраты в этих диаграммах декартовы по
 теореме 3.5.9, а нижние квадраты~--- по определению
 классификатора подобъектов 3.4.2. Привлекая лемму о квадратах и
 определение классификатора подобъектов, выводим: $\chi_f\circ
 h= \chi_{h_1}$ и $\chi_g\circ g=\chi_{h_2}$. Значит,    равенство
 $\chi_f\circ h=\chi_g\circ h $ равносильно соотношению $h_1\simeq
 h_2$. Последнее выполнено тогда и только тогда, когда $h_1\circ
 k=h_2$ для некоторого изоморфизма $k:b\cap c\to a\cap c$. Но в
 силу равенств $f\cap h=h\circ h_1$ и $g\cap h=h\circ h_2$
 изоморфизм $k$ обеспечивает соотношения $h_1\circ k=h_2$ и $(f\cap
 h)\circ k=g\cap h$ одновременно. Значит,    соотношения $h_1\simeq
 h_2$ и $f\cap h\simeq g\cap h$ также равносильны.

 (2):~Следует из (1) и из определения 3.5.8\,(2).

 (3):~В произвольной решетке равносильны соотношения $f\cap
 h\subset g$ и $(f\cap g)\cap h=f\cap h$. Осталось применить
 (1).~\endproof

 \subsection{3.6.3}
 \proclaim{Теорема.} Для любых подобъектов $f$, $g$ и $h$ из
 $\Sub(d)$ справедливы следующие утверждения\/$:$

 \subsubsec{(1)}~$h\subset f\Rrightarrow g$ в том и только в том
 случае, если $f\cap h\subset g;$

 \subsubsec{(2)}~$f\subset g$ в том и только в том случае, если
 $f\Rrightarrow g\simeq 1_d;$

 \subsubsec{(3)}~$f\subset g$ в том и только в том случае, если
 $\chi_f\Rightarrow\chi_g=\top_d$. \Endproc

 \beginproof~(1):~Рассмотрим диаграмму %Diag 3.6.6(1).
 $$
 \xyoption{curve}
 \bfig
 \morphism(-100,20)|l|/{@{<-}@/^20pt/}/<20,1030>[\ `\ ;{|_{a\Rrightarrow b}}]
 \square(0,500)|alra|/ >->`-->`->` >->/<600,500>[\ \ a\Rrightarrow b`d`\oleq`\Omega\times\Omega;%
 f\Rrightarrow g`\jmath`\langle \chi_f,\chi_g\rangle`e]
 \square|alra|/`->`->`->/<600,500>[\phantom{\oleq}`\phantom{\Omega\times\Omega}`\bbold1`\Omega;``{\Rightarrow}`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(18,14)(0,0)
% % spaces
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(15,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\oleq$}}
% \put(15,7){\makebox(0,0){$\Omega\times \Omega$}}
% \put(7,13){\makebox(0,0){$a\Rrightarrow b$}}
% \put(15,13){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(17,10){\makebox(0,0){$\langle \chi_f,\chi_g\rangle$}}
% \put(6.5,10){\makebox(0,0){$\jmath$}}
% \put(11.4,13.7){\makebox(0,0){$f\Rrightarrow g$}}
% \put(16,4){\makebox(0,0){$\Rightarrow$}}
% \put(10.5,7.5){\makebox(0,0){$e$}}
% \put(11,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(2,7){\makebox(0,0){$|_{a\Rrightarrow b}$}}}
% % arrows
% \put(5,7){\oval(3,12)[l]}\put(4.8,1.1){\Vector{0}{1}}%{\makebox(0,0){$\scriptstyle>$}}
% \put(8,1){\Vector{0}{6}}
% \put(8.6,7){\VectorV{0}{4.3}}
% \put(9.4,13){\VectorV{0}{4.5}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(7,12){\dashVec{-90}{4}}
% \put(15,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(15,12){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
 <<Граница>> этой диаграммы коммутативна в силу определения объекта
 $f\Rrightarrow g$. Нижний квадрат декартов по определению
 импликации $\Rightarrow$. Следовательно, существует морфизм $\jmath$,
 для которого вся диаграмма будет коммутативной. Вновь привлекая
 определение объекта $f\Rrightarrow g$, видим декартовость
 прямоугольника. По лемме о квадратах верхний квадрат также будет
 декартовым. Дальнейшие рассуждения видны из следующей диаграммы:
%Diag 3.6.6(2).
 $$
 \qquad\bfig
 \Atriangle(0,600)/-->`>`/<400,400>[c`\phantom{\ \ a\Rrightarrow b}`\phantom{d};k`h`]
 \square(0,0)|alra|<800,600>[\ \ a\Rrightarrow b`d`\oleq`\Omega\times\Omega;%
 f\Rrightarrow g`\jmath`\langle \chi_f,\chi_g\rangle`e]
 \morphism(960,0)|a|/@{>}@<2pt>/<380,0>[`\Omega;\frown]
 \morphism(960,0)|b|/@{>}@<-2pt>/<380,0>[`\phantom{\Omega};\pr_1]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(17,13)(0,-0.5)
% % spaces
% \put(5,11.5){\makebox(0,0){$c$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\oleq$}}
% \put(9,1){\makebox(0,0){$\Omega\times \Omega$}}
% \put(16,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a\Rrightarrow b$}}
% \put(9,7){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(11,4){\makebox(0,0){$\langle \chi_f,\chi_g\rangle$}}
% \put(0.5,4){\makebox(0,0){$\jmath$}}
% \put(5,7.7){\makebox(0,0){$f\Rrightarrow g$}}
% \put(2,10){\makebox(0,0){$k$}}
% \put(4.5,1.5){\makebox(0,0){$e$}}
% \put(8,10){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(13,2){\makebox(0,0){$\frown$}}
% \put(13,0){\makebox(0,0){$\pr_1$}}}
% % arrows
% %\put(5,7){\oval(3,12)[l]}\put(4.8,1.1){\Vector{0}{1}}%{\makebox(0,0){$\scriptstyle>$}}
% \put(2,1){\Vector{0}{5}}
% \put(3,7){\Vector{0}{5}}
% \put(11,0.7){\Vector{0}{4}}
% \put(11,1.3){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(9,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(6,11){\Vector{-45}{4}}
% \put(4,11){\dashVec{-135}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent Справедливость включения $h\subset f\Rrightarrow g$
 означает по определению существование морфизма $k:c\to
 a\Rrightarrow b$, для которого верхний треугольник коммутативен.
 Так как квадрат этой диаграммы декартов, то существование такого
 морфизма~$k$ равносильно тому, что $e\circ u=\langle\chi_f,\chi_g\rangle\circ
 h$ для некоторого морфизма $u:c\to\oleq$. Ввиду свойства
 универсальности уравнителя $e$ последнее равносильно, в свою
 очередь, равенству $\pr_1\circ \langle\chi_f,\chi_g\rangle\circ
 h=\frown\circ\langle\chi_f,\chi_g\rangle\circ h$ или, что то же, $\chi_f\circ
 h=\chi_{f\cap g}\circ h$. Согласно 3.6.2\,(3) полученное равенство
 выполнено в том и только в том случае, если $f\cap h\subset g$.

 (2):~Если $f\subset g$, то $f\cap h\subset f\subset g$ для любого
 $h\in\Sub(d)$. (Это утверждение выполняется в любой решетке.) Но
 тогда в силу доказанного в (1) $h\subset f\Rrightarrow g$ для
 произвольного $h\in\Sub(d)$. Следовательно, $f\Rrightarrow g$~---
 единица решетки $\Sub(d)$, т.~е. $f\Rrightarrow g\simeq 1_d$.

 (3):~Это вытекает из (2) и определения операции $\Rrightarrow$,
 поскольку $\chi_{1_d}=\top_d$ (см. 3.4.2\,(2)).~\endproof

 \subsection{3.6.4}
 \proclaim{Теорема.}  Для произвольного мономорфизма
 $f:a\rightarrowtail d$ имеет место соотношение
 $-f=f\Rrightarrow 0_d$. В частности, $f\cap-f\simeq 0_d$. \Endproc

 \beginproof~Согласно теореме 3.6.3\,(1) достаточно установить
 равносильность соотношений $f\cap h\subset 0_d$ и $h\subset -f$
 для произвольного  мономорфизма $h:b\rightarrowtail d$.

 Пусть $f\cap h\subset 0_d$ или, что то же самое, $f\cap h\simeq 0_d$.
 Тогда в соответствии с 3.6.2\,(3) будет
 $\chi_f\circ h=\chi_{f\cap 0_b}\circ h=\chi_{0_b}\circ h$.
 Учитывая равенства
 $\chi_{0_d}=\bot\circ |_d$  (3.4.12) и $\Neg\circ\bot=\top$ (3.5.2\,(1)),
 получим
 $\Neg\circ\chi_f\circ h=\top\circ |_d\circ h$. Отсюда видно, что
 диаграмма %Diag. 3.6.7.
 $$
 \bfig
 \pullback|brrb|<600,600>[-a`d`\bbold1`\Omega;-f`|_{-a}`\Neg\circ \chi_f`\top]%
 |amb|/>`-->`>/<400,300>[b;h`\,k\,`|_d\circ h]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,11)(0,0)
% % spaces
% \put(5,7){\makebox(0,0){$-a$\ \ }}
% \put(11,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(5,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(11,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(1,11){\makebox(0,0){$b$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(7.5,7.5){\makebox(0,0){$-f$}}
% \put(8,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(6,4){\makebox(0,0){$|_{-a}$}}
% \put(12.5,4){\makebox(0,0){$\Neg\circ\chi_f$}}
% \put(3.2,9.5){\makebox(0,0){$k$}}
% \put(6,10.2){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(1,6){\makebox(0,0){$|_a\circ h$}}}
% % arrows
% \put(6,7){\Vector{0}{4}}
% \put(6,1){\Vector{0}{4}}
% \put(5,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(11,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(1.7,10.3){\dashVec{-45}{3.5}}
% \put(1,10){\Vector{-70}{8.5}}
% \put(2,11){\Vector{-20}{8.5}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent коммутативна. Так как внутренний квадрат декартов по
 определению $-f$ (см. 3.5.8\,(1)), то существует единственный
 морфизм $k:b\to-a$, для которого $h=(-f)\circ k$ и $|_{-a}\circ k=|_d\circ h$.
 Отсюда согласно определению 3.4.1 вытекает $h\subset-f$.



 \subsection{3.6.5}~\proclaim{Теорема.} Для произвольного  объекта $d$
 топоса  упорядоченное множество $(\Sub(d),\subset)$ представляет собой
 гейтингову алгебру.
 \Endproc

 \beginproof~В самом деле, теорема 3.6.1 утверждает, что $\Sub(d)$~---
 решетка с нулем и единицей, а по теореме 3.6.3 в ней существуют
 относительные псевдодополнения.~\endproof


 Теперь мы в состоянии дать доказательство предложения 3.5.2.

 \beginproof~Рассмотрим гейтингову алгебру $\Sub(\bbold 1)$. Нулем и
 единицей в этой алгебре будут морфизмы $\bold1\!:=1_{\bbold 1}$ и
 $\bold0\!:=0_{\bbold 1}$ соответственно. Значит,
 $\top\!=\chi_{\bold1}$ и $\bot\!=\chi_{\bold0}$. Следовательно,
 отображение $f\mapsto\chi_f$ осуществляет изоморфизм решеток
 $\{\bold0,\,\bold1\}$ и $\{\bot,\,\top\}$. Осталось заметить, что
 в $\{\bold0,\,\bold1\}$ решеточные операции и относительное
 дополнение устроены в соответствии с 3.5.2. Так, например, для
 $\smile$ получаем:
 $$
 \gathered
 \top\smile\top=\chi_{\bold 1}\smile\chi_{\bold 1}=
 \chi_{\bold 1\cup\bold 1}=\chi_{\bold 1}=\top,
 \\
 \ \top\smile\bot=\bot\smile\top=\chi_{\bold 1}\smile\chi_{\bold 0}=
 \chi_{\bold 1\cup\bold 0}=\chi_{\bold 0}=\bot,
 \\
 \ \bot\smile\bot=\chi_{\bold 0}\smile\chi_{\bold 0}= \chi_{\bold
 0\cup\bold 0}=\chi_{\bold 0}=\bot.
 \endgathered
 $$
 В силу 3.6.3\,(3) будет $\bold1\Rrightarrow\bold1\simeq
 \bold0\Rrightarrow\bold1\simeq\bold0\Rrightarrow\bold0\simeq\bold1$.
 Кроме того,
 $\bold1\Rrightarrow\bold0\subset\bold1\Rrightarrow\bold0$ и поэтому по 3.6.3\,(1)
 $\bold1\cap(\bold1\Rrightarrow\bold0)\subset\bold0$.
 Следовательно, $\bold1\Rrightarrow\bold0\simeq\bold0$.
 Отсюда, как и выше, выводим:
 $$
 \gathered
  \top\Rightarrow\top=\chi_{\bold 1}\Rightarrow\chi_{\bold
 1}= \chi_{\bold 1\Rrightarrow\bold 1}=\chi_{\bold 1}=\top,
 \\[0.5\jot]
 \bot\Rightarrow\top=\chi_{\bold 0}\Rightarrow\chi_{\bold 1}=
 \chi_{\bold 0\Rrightarrow\bold 1}=\chi_{\bold 1}=\top,
 \\[0.5\jot]
 \bot\Rightarrow\bot=\chi_{\bold 0}\Rightarrow\chi_{\bold 0}=
 \chi_{\bold 0\Rrightarrow\bold 0}=\chi_{\bold 1}=\top,
 \\[0.5\jot]
 \top\Rightarrow\bot=\chi_{\bold 1}\Rightarrow\chi_{\bold 0}=
 \chi_{\bold 1\Rrightarrow\bold 0}=\chi_{\bold 0}=\bot.~\endproof
 \endgathered
 $$

 \subsection{3.6.6}~Теорема 3.6.5 утверждает, что алгебра
 подобъектов в произвольном топосе представляет собой гейтингову
 алгебру, которая не является, вообще говоря, булевой алгеброй.
 Следовательно, логика топоса может не выражать аристотелевы принципы.
 Выделим класс топосов, интерпретирующих классическую логику.

 Топос $\Cal E$ называют {\it булевым,}\subject{Топос булев} если
 для каждого $\Cal E$-объекта $d$ решетка $\Sub(d)$ является
 булевой алгеброй. Мы уже знаем, что $\Sub(d)$~--- гейтингова
 алгебра, которая будет булевой алгеброй в том и только в том
 случае, когда в ней каждый элемент имеет дополнение. Следовательно,
 $\Cal E$ будет булевым топосом, если и только если для любого
 $\Cal E$-объекта $d$ и любого его подобъекта $f\in\Sub(d)$
 выполняется $f\cup-f\simeq 1_d$.

 Для характеризации булевых топосов необходимы некоторые
 вспомогательные утверждения, которые приведены ниже в
 3.6.7--3.6.9.

 \subsection{3.6.7}~{\bf(1)}\proclaim{} Мономорфизмы $\bot$ и $-\top$ определяют
 один и тот же элемент решетки~$\Sub(\Omega)$. \Endproc

 \beginproof~Привлекая определения классификатора подобъектов,
 морфизма $\Neg$ и подобъекта $-f$ при $f\!:=\top$ (см.
 3.4.2\,(2), 3.5.1\,(1) и 3.5.8\,(1))
 можно написать цепочку равенств:
 $$
 \chi_{\bot}=\Neg=\Neg\circ
 1_\Omega=\Neg\circ\chi_\top=\chi_{-\top}.~\endproof
 $$

 \subsubsec{(2)} \proclaim{} Если морфизм $\top:\bbold 1\to\Omega$ имеет
 дополнение в решетке $\Sub(\Omega)$, то оно совпадает с
 $\bot:\bbold 1\to\Omega$. \Endproc

 \beginproof~Предположим, что мономорфизм $h:a\to\Omega$ является
 дополнением ${\top:\bbold 1\to\Omega}$ в решетке $\Sub(\Omega)$. Тогда
 $\top\cap h\simeq 0_\Omega$ и по теореме 3.5.9 имеется декартов
 квадрат
 $$
 \bfig
 \square[a\cap b`a`\bbold1`\Omega;0_a`0_\bbold1`h`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 0\cup b$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% %\put(8,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$0_{\bbold 1}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$0_a$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$h$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\top$}}}
% % arrows
% \put(2.5,7){\Vector{0}{3.5}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{4}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
%  \end{center}
%
 \noindent Отсюда по определению классификатора подобъектов
 мы получаем $h=\chi_{0_a}=\bot\circ |_a$. Последнее по определению
 подобъекта влечет $h\subset\bot$. По условию $\top\cup h\simeq
 1_\Omega$ и, используя общие свойства решеток, выводим $\top\cup
 h\subset\top\cup\bot$. Значит,   $\top\cup\bot\simeq 1_\Omega$.
 Осталось заметить, что в силу 3.6.4 и (1)
 $\top\cap\bot=\top\cap-\top\simeq 0_\Omega$.
 Таким образом, $\bot$~--- дополнение $\top$,
 а поскольку дополнение в дистрибутивной решетке единственно, то $h\simeq \bot$.~\endproof

 \subsection{3.6.8}
 \proclaim{} Пусть $\Cal E$~--- произвольный топос с начальным
 объектом $\bbold 0$ и конечным объектом $\bbold 1$, а $\imath_1$ и
 $\imath_2:\bbold 1\to\bbold 1+\bbold 1$~---
 инъекции, соответствующие копроизведению
 $\bbold 1+\bbold 1$ $($см. $3.2.3\,(2))$. Тогда диаграмма
 %Diag 3.6.1(61).
 $$
 \bfig
 \square[\bbold0`\bbold1`\bbold1`\bbold1+\bbold1;0_\bbold1`0_\bbold1`\imath_1`\imath_2]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(10,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\bbold 1+\bbold 1$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$0_{\bbold 1}$}}
% \put(4,7.7){\makebox(0,0){$0_\bbold 1$}}
% \put(7.7,4){\makebox(0,0){$\imath_1$}}
% \put(3.6,0.3){\makebox(0,0){$\imath_2$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{3.2}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent представляет собой декартов квадрат. \Endproc

 \beginproof~Указанная диаграмма коммутативна по определению
 начального объекта. Она будет также и кодекартовым квадратом в
 силу свойства универсальности пары инъекций $(\imath_1,\imath_2)$
 (см.~3.2.3\,(4)). Дальнейшие рассуждения иллюстрирует следующая
 диаграмма:  %Diag 3.6.1(62).
 $$
 \bfig
 \morphism(-400,700)/@{>}/<830,-160>[a`\ \ ;]
 \morphism(-400,680)|b|/@{-->}/<330,-160>[\phantom{a}`\ \ ;\jmath]
 \morphism(-400,700)/@{>}/<340,-635>[a`\ \ ;]
 \square|alla|[\bbold0`\bbold1`\bbold1`\bbold1+\bbold1;``\imath_2`\imath_2]
 \morphism(900,-200)|b|/@{<-}/<-900,155>[\Omega`\ \ ;\top]
 \morphism(370,-20)|a|/@{-->}/<520,-150>[\phantom{\bbold1+\bbold1}`\phantom{\Omega};\ k]
 \morphism(900,-200)|a|/@{<-}/<-385,700>[\Omega`\ \ ;\bot]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,14)(0,0)
% % spaces
% \put(4,4){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(4,10){\makebox(0,0){$\bbold 0$}}
% \put(10,10){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(10,4){\makebox(0,0){$\bbold 1+\bbold 1$}}
% \put(14,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(0,13){\makebox(0,0){$a$}}
%% \put(15,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(1.5,11){\makebox(0,0){$\jmath$}}
% \put(11.7,2.9){\makebox(0,0){$k$}}
% \put(10.7,7){\makebox(0,0){$\imath_2$}}
% \put(6.6,3.5){\makebox(0,0){$\imath_2$}}
% \put(9,1){\makebox(0,0){${\top}$}}
% \put(13,5.6){\makebox(0,0){$\bot$}}}
% % arrows
% \put(5,4){\Vector{0}{3}}
% \put(5,10){\Vector{0}{4}}
% \put(4,9){\Vector{-90}{4}}
% \put(10,9){\Vector{-90}{4}}
% \put(1,13){\Vector{-15}{8.3}}
% \put(0,12){\Vector{-67}{7.5}}
% \put(0.5,12.5){\dashVec{-35}{3.2}}
% \put(5,3){\Vector{-17}{7.8}}
% \put(11,9){\Vector{-68}{7.4}}
% \put(10.3,3.1){\dashVec{-32}{3}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent В этой диаграмме квадрат с вершинами $(\bbold 1,\bbold 0,\bbold 1,\Omega)$
 коммутативен в соответствии с определениями классификатора
 подобъектов и  морфизма $\bot$. Но тогда в силу отмеченной
 кодекартовости существует единственный морфизм $k:\bbold 1+\bbold 1\to\Omega$,
 для которого коммутативна вся диаграмма, если исключить из
 нее все морфизмы с началом в $a$. Предположим теперь, что
 коммутативен квадрат с вершинами $(\bbold 1,a,\bbold 1,\bbold 1+\bbold 1)$. Тогда
 коммутативным  будет и внешний квадрат с вершинами
 $(\bbold 1,a,\bbold 1,\Omega)$. Ввиду декартовости квадрата с вершинами
 $(\bbold 1,\bbold 0,\bbold 1,\Omega)$ (определение~$\bot$)
 отсюда вытекает
 существование и единственность морфизма $\jmath:a\to\bbold 0$, необходимого
 для обоснования требуемого.~\endproof

 \subsection{3.6.9}
 \proclaim{} Если в топосе $\Cal E$ мономорфизм $\imath_1:\bbold 1\to\bbold 1+\bbold 1$
 служит классификатором подобъектов, то $[f,-f]$~--- эпиморфизм для
 любого $\Cal E$-мономорфизма~$f$. \Endproc

 \beginproof~Итак, пусть имеется два (изоморфных) классификатора
 подобъектов $\Omega$ и $\bbold 1+\bbold 1$. Возьмем произвольный $\Cal
 E$-мономорфизм~$f$. Наряду с $\chi_f$ и $\bot$ определим морфизмы
 $\chi'_f$ и $\bot'$,  используя $\imath_1:\bbold 1\to\bbold 1+\bbold 1$ вместо
 $\Omega$. Согласно 3.6.8, $\imath_2=\bot'$. Рассмотрим теперь две
 диаграммы:
 $$
 \bfig
 \square[a`d`\bbold1`\bbold1+\bbold1;f`|_a`\chi'_f`\imath_1]
 \quad\qquad
 \square(800,0)[-a`d`\bbold1`\bbold1+\bbold1;-f`|_{-a}`\chi'_f`\imath_2]
 \efig\quad
 $$
%\begin{center}
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\bbold 1+\bbold 1$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0.3,4){\makebox(0,0){$|_{a}$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$f$}}
% \put(8,4){\makebox(0,0){$\chi_f'$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\imath_1$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\Vector{0}{4}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{3.2}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \qquad\quad
% \begin{picture}(9,9)(0,0)
% % spaces
% \put(1,7){\makebox(0,0){$-a$}}
% \put(7,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(1,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(7,1){\makebox(0,0){$\bbold 1+\bbold 1$}}
%% \put(9,1){\makebox(0,0){.}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(0,4){\makebox(0,0){$|_{-a}$}}
% \put(4,7.5){\makebox(0,0){$-f$}}
% \put(8,4){\makebox(0,0){$\chi_f'$}}
% \put(4,0.3){\makebox(0,0){$\imath_2$}}}
% % arrows
% \put(2.3,7){\Vector{0}{3.7}}
% \put(1,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(2,1){\Vector{0}{3.2}}
% \put(7,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent Первая из них будет декартовым квадратом по определению $\chi'_f$.
 Декартовость второй диаграммы видна из следующих рассуждений.
 Рассмотрим диаграмму  %Diag. 3.6.5(1).
 $$
 \xyoption{curve}
 \bfig
 \morphism(-80,20)|l|/{@{<-}@/^20pt/}/<40,1030>[\ `\ ;|_{-a}]
 \square(0,500)|alra|/->`-->`->`->/[-a`d`\bbold1`\bbold1+\bbold1;-f`\jmath`\chi'_f`\imath_2]
 \square|alra|[\phantom{\bbold1}`\phantom{\bbold1+\bbold1}`\bbold1`\Omega;`1_\bbold1`\Neg`\top]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(12,15)(0,0)
% % spaces
% \put(3,1){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(9,1){\makebox(0,0){$\Omega$}}
% \put(3,7){\makebox(0,0){$\bbold 1$}}
% \put(9,7){\makebox(0,0){$\bbold 1+\bbold 1$}}
% \put(3,13){\makebox(0,0){$-a$}}
% \put(9,13){\makebox(0,0){$d$}}
% % operators
% {\footnotesize %\put(7,9){\makebox(0,0){$f\cap h$}}
% \put(10,10){\makebox(0,0){$\chi_f'$}}
% \put(2.5,10){\makebox(0,0){$\jmath$}}
% \put(6,13.7){\makebox(0,0){$-f$}}
% \put(9.7,4){\makebox(0,0){$\Neg$}}
% \put(2.3,4){\makebox(0,0){$1_{\bbold 1}$}}
% \put(6,7.7){\makebox(0,0){$\imath_2$}}
% \put(6,1.5){\makebox(0,0){$\top$}}
% \put(-0.5,7){\makebox(0,0){$|_{-a}$}}}
% % arrows
% \put(2,7){\oval(3,12)[l]}\put(1.9,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle>$}}
% \put(4,1){\Vector{0}{4}}
% \put(4,7){\Vector{0}{3.2}}
% \put(4,13){\Vector{0}{4}}
% \put(3,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(3,12){\dashVec{-90}{4}}
% \put(9,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(9,12){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}

 \noindent и заметим, что в ней нижний квадрат служит определением
 $\Neg$, а внешний квадрат определяет $-f$ относительно классификатора
 подобъектов $\bbold 1+\bbold 1$.
 Следовательно, оба эти
 квадрата декартовы и, в частности, коммутативны. В силу свойства
 универсальности нижнего квадрата существует морфизм $\jmath:-a\to\bbold 1$,
 для которой вся диаграмма становится коммутативной. По лемме о
 квадратах верхний квадрат также декартов. По определению конечного
 объекта $\bbold 1$ будет $\jmath=|_{-a}$.


 Так как копроизведение сохраняет обратные образы, то и квадрат
 $$
 \bfig
 \square<700,500>[a+(-a)`d`\bbold1+\bbold1`\bbold1+\bbold1;{[f,-f]}`|_a\,+\,|_{-a}`\chi'_f`{[\imath_1,\imath_2]}]
 \efig\quad
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,9)(0,0)
% % spaces
% \put(5,7){\makebox(0,0){$a+(-a)$}}
% \put(13,7){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(5,1){\makebox(0,0){$\bbold 1+\bbold 1$}}
% \put(13,1){\makebox(0,0){$\bbold 1+\bbold 1$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(3,4){\makebox(0,0){$|_a+|_{-a}$}}
% \put(9.8,7.5){\makebox(0,0){$[f,-f]$}}
% \put(13.8,4){\makebox(0,0){$\chi_f'$}}
% \put(9,0.3){\makebox(0,0){$[\imath_1,\imath_2]$}}}
% % arrows
% \put(7.8,7){\Vector{0}{4}}
% \put(5,6){\Vector{-90}{4}}
% \put(7,1){\Vector{0}{4}}
% \put(13,6){\Vector{-90}{4}}
% \end{picture}
% \end{center}
%
 \noindent будет декартовым. Но морфизм $[\imath_1,\imath_2]=1_{\bbold 1+\bbold 1}$
 эпиморфен. Следовательно, морфизм $[f,-f]$, который служит
 подъемом эпиморфизма, также будет эпиморфизмом.~\endproof

 \subsection{3.6.10}
 \proclaim{Теорема.} Для произвольного топоса $\Cal E$ с начальным
 объектом $\bbold 0$, конечным объектом $\bbold 1$ и классифицирующим объектом
 $\Omega$ равносильны следующие утверждения\/$:$

 \subsubsec{(1)}~$\Cal E$ булев\/$;$

 \subsubsec{(2)}~$\Sub(\Omega)$ является булевой алгеброй\/$;$

 \subsubsec{(3)}~$\top:\bbold 1\to\Omega$ имеет дополнение в решетке
 $\Sub(\Omega);$

 \subsubsec{(4)}~$\bot:\bbold 1\to\Omega$
 является дополнением $\top$ в
 решетке $\Sub(\Omega);$

 \subsubsec{(5)}~$\top\cup\bot\simeq 1_\Omega$ в решетке
 $\Sub(\Omega) ;$

 \subsubsec{(6)}~$\Cal E$~--- классический топос\/$;$

 \subsubsec{(7)}~$\imath_1:\bbold 1\to\bbold 1+\bbold 1$ служит классификатором
 подобъектов. \Endproc

 \beginproof~(1)~$\rightarrow$~(2):~Вытекает из определения булева топоса.

 (2)~$\rightarrow$~(3):~Следует из определения булевой алгебры.

 (3)~$\rightarrow$~(4):~Это является следствием предложения
 3.6.7\,(2).

 (4)~$\rightarrow$~(5):~Нужно лишь сослаться на определение
 дополнения в решетке.

 (5)~$\rightarrow$~(6):~Морфизм $[\top,\bot]$ является
 мономорфизмом (см. 3.4.13\,(2)) и
 поэтому композиция $[\top,\bot]\circ
 1_{\bbold 1+\bbold 1}$ будет его эпи-моно-разложением. Отсюда согласно
 теореме 3.5.10 получаем $\top\cup\bot\simeq[\top,\bot]$. Но по условию
 $\top\cup\bot\simeq 1_\Omega$ и поэтому $[\top,\bot]\simeq
 1_\Omega$. Следовательно, $[\top,\bot]$~--- изоморфизм.

 (6)~$\rightarrow$~(7):~Следует из того, что всякий морфизм,
 изоморфный классификатору подобъектов, сам будет классификатором
 подобъектов.

 (7)~$\rightarrow$~(1):~Предполагая выполненным (7), нужно
 убедиться в том, что для всякого мономорфизма $f:a\rightarrowtail
 d$ мономорфизм $-f$ служит дополнением в $\Sub(d)$, т.~е.
 $f\cup-f\simeq 1_d$. Тогда решетка $\Sub(d)$ будет булевой
 алгеброй. В силу 3.6.9 $[f,-f]$~--- эпиморфизм и, значит, по свойству
 универсальности эпи-моно-разложения существует морфизм $k:d\to a\cup -a$,
 пропускающий $1_d$ через $f\cup-f$:
 %Diag.3.6.5(60).
 $$
 \bfig
 \Ctriangle/<-`<--`->/<600,400>[a\cup -a`a+(-a)`\ \ d\ \ ;{[f,-f]^*}`k`{[f,-f]}]
 \Dtriangle(600,0)/` ->`<- /<600,400>[\phantom{a\cup -a}`d`\phantom{d\ };f\cup-f``1_d]
 \efig
 $$
% \begin{center}
% \begin{picture}(14,11)(0,0)
% % spaces
% \put(2,5){\makebox(0,0){$a+(-a)$}}
% \put(7.5,0){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(13,5){\makebox(0,0){$d$}}
% \put(7.5,9.5){\makebox(0,0){$a\cup-a$}}
% % operators
% {\footnotesize
% \put(3,2){\makebox(0,0){$[f,-f]$}}
% \put(11,2){\makebox(0,0){$1_d$}}
% \put(2.8,7.8){\makebox(0,0){$[f,-f]^*$}}
% \put(12.4,7.8){\makebox(0,0){$f\cup-f$}}
% \put(8,5){\makebox(0,0){$k$}}}
% % arrows
% \put(3,6){\Vector{45}{3.6}}
% \put(3,4){\Vector{-45}{4.3}}
% \put(9,1.1){\Vector{45}{4.3}}
% \put(9.5,8.5){\Vector{-45}{3.6}}
% \put(7.5,1.1){\dashVec{90}{7.3}}
% \end{picture}
% \end{center}


 Так как $f\cup-f$~--- мономорфизм по определению, то $k$~---
 изоморфизм. Стало быть, $f\cup-f\simeq 1_d$.~\endproof

 \subsection{3.6.11}
 \proclaim{Теорема.} В любом топосе $\Cal E$ следующие условия
 эквивалентны\/$:$

 \subsubsec{(1)}~$\Cal E$ --- булев топос\/$;$

 \subsubsec{(2)}~$f\Rrightarrow g\simeq(-f)\cup g$ для любых
 $f,g\in\Sub(\Omega);$

 \subsubsec{(3)}~$\top=-\bot$ в $\Sub(\Omega);$

 \subsubsec{(4)}~$\Neg\circ\Neg=1_\Omega$. \Endproc

 \beginproof~(1)~$\to$~(2):~Если $\Cal E$ --- булев топос, то $\Sub(\Omega)$~---
 булева алгебра и, следовательно,  относительное
 псевдодополнение в ней имеет указанный в (2) вид.

 (2)~$\to$~(3):~В силу 3.6.7\,(1) из (2) выводим:
 $\top\cup\bot=(-\top)\cup\top=\top\Rightarrow\top\simeq 1_\Omega$.
 Осталось сослаться на 3.6.10\,(5).

 (3)~$\to$~(4):~Если выполнено (3), то, привлекая 3.5.1\,(1),
 3.5.8\,(1), видим, что
 $1_{\Omega}=\chi_{\top}=\chi_{-\bot}=\Neg\circ\chi_{\bot}=\Neg\circ
 \Neg$.


 (4)~$\to$~(1):~Если выполнено (4), то для подобъекта $f$
 произвольного объекта~$d$ будет
 $\chi_{-(-f)}=\Neg\circ\Neg\circ\chi_f=\chi_f$. Тогда
 $f\simeq-(-f)$ и, стало быть, гейтингова алгебра $\Sub(d)$ состоит из
 регулярных элементов. Такая гейтингова алгебра на самом деле
 является булевой алгеброй (см. 2.6.4).~\endproof


\head
7. Comments
\endhead

 \subsection{3.7.1}~{\bf(1)}~Категории и функторы были
 введены в 1944 году
 С.~Маклейном\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)} и
 С.~Эйленбергом\author{Эйленберг~С. (Eilenberg~S.)}
 в связи с исследованиями по гомологической алгебре. В
 последующие  десятилетия теория категорий вышла далеко за
 пределы алгебраической топологии, превратилась в самостоятельную
 дисциплину и стала играть существенную роль в различных разделах
 математики. Каждая категория представляет собой особый универсум~--- мир
 математических суждений и конструкций. Теория категорий
 вырабатывает выразительные и технические средства  работы с такими
 универсумами.

 {\bf(2)}~Основы теории категорий и функторов изложены
 в монографиях:
 И.~Букура\author{Букур~И. (Bucur~I.)} и
 А.~Деляну\author{Деляну~А. (Deleanu~A.)} \cite{11},
 С.~Маклейна\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)} \cite{Mac},
 М.~Ш.~Цаленко\author{Цаленко~М.~Ш. ()} и
 Е.~Г.~Шульгейфера\author{Шульгейфер~Е.~Г. ()}~\cite{141}.
 Всюду в этой книге мы рассматриваем категории,
 являющиеся классами (собственными или нет). Поэтому для
 изложения теории категорий и функторов достаточно тех средств,
 которые доставляет аксиоматическая система фон Неймана~---
 Г\"еделя~--- Бернайса.  Категории, не являющиеся классами,
 из рассмотрения нами исключены. Обсуждение логических вопросов основания теории
 категорий имеется в работе
 В.~К.~Захарова\author{Захаров~В.~К. (Zakharov~V.~K.)} и
 А.~В.~Михалева\author{Михалев~А.~В. (Mikhalev~A.~V.)} \cite{ZM}.


 {\bf(3)}~Концепция двойственности математических объектов имеет давнюю историю.
 Уже у Евклида мы сталкиваемся с дуализмом первичных математичес\-ких
 понятий, отраженном в определениях точки и монады.  Развитие проективной геометрии сделало двойственность
 рабочим инструментом исследования.  Геометрическая идея двойственности принадлежит
 к фундаментальным концепциям  топологии и  функционального анализа.
 О роли двойственности в выпуклом анализе см. в монографиях
 А.~Д.~Иоффе\author{Иоффе~А.~Д. (Ioffe~A.~D.)} и
 В.~М.~Тихомирова\author{Тихомиров~В.~М. (Tikhomirov~V.~M.)} \cite{153}, %???[SBD1 58],
 А.~Г.~Кусраева\author{Кусраев~А.~Г. (Kusraev~A.~G.)} и
 С.~С.~Кутателадзе \cite{SBD1, SBD2},\author{Кутателадзе~С.~С. (Kutateladze~S.~S.)}
 Р.~Т.~Рокафеллара\author{Рокафеллар~Р.~Т. (Rockafellar~R.~T.)} \cite{129},
 а также в обзоре
 В.~М.~Тихомирова~\cite{Tikh}.\author{Тихомиров~В.~М. (Tikhomirov~V.~M.)}
 О~принципе двойственности для булевых алгебр см. у
 Д.~А.~Владимирова\author{Владимиров~Д.~А.} \cite{5b} и
 Р.~Сикорского\author{Сикорский~Р. (Sikorski~R.)}~\cite{133}.

 {\bf(4)}~Относительные категории из 3.1.7 являются
 частными случаями общей конструкции, называемой {\it категорией
 запятой}.\subject{Категория запятой} Рассмотрим три категории
 $\Cal C$, $\Cal D$ и $\Cal E$ и два функтора
 $\Cal S:\Cal D\to\Cal C$ и $\Cal T:\Cal E\to\Cal C$. Объектами
 категории запятой $(\Cal T{\downarrow}\Cal S)$ служат
 всевозможные тройки $(e,d,f)$, где $d\in\Ob\Cal D$, $e\in\Ob\Cal
 E$ и $f:\Cal T(e)\to\Cal S(d)$. В качестве морфизма из $(e,d,f)$ в
 $(e',d',f')$ в этой категории приняты пары $(k,h)$, где
 морфизмы $k:e\to e'$ и $h:d\to d'$ таковы, что
 $f\circ\Cal T(k)=\Cal S(h)\circ f$. Композицию морфизмов
 $(k',h')\circ(k,h)$ определяют как пару
 $(k'\circ k,h'\circ h)$.
 Категорию запятой ввел Ф.~У.~Ловер.\author{Ловер~Ф.~У.}
 Подробности см. у
 С.~Маклейна\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)}~\cite{Mac}.

 \subsection{3.7.2}~{\bf(1)}~Универсальные конструкции,
 описанные в параграфе 3.2, имеют весьма важное значение для
 построения категорных аналогов математических понятий и
 конструкций.
 Примеры универсальных объектов или морфизмов существовали давно, но явное
 определение было выделено
 П.~Сэмюэлем\author{Сэмюэль~П. (Samuel~P.)} \cite{Sam}.
 Значительную роль в распространении  универсальных конструкций сыграла деятельность
 Н.~Бурбаки\author{Бурбаки~Н. ()}, см.~\cite{12}.

 {\bf(2)}~Приведем общее определение универсального
 морфизма. Рассмотрим категории $\Cal D$ и $\Cal C$ и функтор
 $\Cal S:\Cal D\to\Cal C$. Возьмем произвольный $\Cal C$-объект $c$.
 Пару $(r,u)$, состоящую из $\Cal D$-объекта $r$ и $\Cal C$-морфизма
 $u:c\to\Cal S(r)$, называют {\it универсальным морфизмом}\/\subject{Морфизм универсальный}
 из $c$ в $\Cal S$,
 если для любых  $\Cal D$-объекта $d$ и
 $\Cal C$-морфизма $f:c\to\Cal S(d)$ существует единственный
 морфизм $f':r\to d$, для которого $\Cal S(f')\circ u=f$.
 Аналогично вводят и двойственное понятие:
 пару $(r,v)$,
 состоящую из $\Cal D$-объекта $r$ и $\Cal C$-морфизма $v:\Cal S(r)\to c$,
 называют
 универсальным морфизмом из $\Cal S$ в $c$, если
 для любых $\Cal D$-объекта $d$ и $\Cal C$-морфизма $f:\Cal S(d)\to c$
 существует единственный морфизм $f':d\to r$ такой, что
 $f=v\circ \Cal S(f')$. Подробности см.
 у~С.~Маклейна\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)} \cite{Mac}.


{\bf(3)}~Важными примерами универсальных конструкций
 являются пределы.
 Приведем определение предела функтора, используя понятие универсального морфизма.
 Пусть $\Cal C$~--- произвольная категория, а $D$~--- произвольная малая категория.
 Рассмотрим категорию функторов $\Cal C^D\!:=\Funct(D,\Cal C)$ (см. 3.3.4).
 {\it Диагональный функтор}\/\subject{Функтор диагональный}
 $\Delta:\Cal C\to \Cal C^D$
 вводят так: для $\Cal C$-объекта $c$ функтор $\Delta(c):D\to \Cal C$
 постоянен и действует по правилу $\Delta(c):d\mapsto c$, $\Delta(c):\varphi\mapsto 1_c$,
 где $d\in \Ob D$ и $\varphi\in \Mor D$;
 если же $f:c\to c'$~--- какой-нибудь $\Cal C$-морфизм, то $\Delta(f)$~---
 естественное преобразование функтора $\Delta(c)$ в функтор $\Delta(c')$,
 принимающее на любом объекте $d\in \Ob D$ одно и то же значение $f$.
 Возьмем теперь произвольный функтор $\Cal F:D\to \Cal C$.
 Так как $\Cal F$~--- объект категории $\Cal C^D$, то можно говорить об
 универсальном морфизме  из $\Cal F$ в $\Delta$.
 {\it Копределом}\/\subject{Копредел функтора}
 (или
 {\it индуктивным пределом}\/)\subject{Предел функтора индуктивный}
 {\it функтора}\/ $\Cal F$
 называют универсальный морфизм $(r,u)$ из $\Cal F$ в $\Delta$;
 при этом пишут
$r:=\underrightarrow{\Lim}\Cal F$.
 Аналогично, универсальный морфизм $(r,u)$ из $\Delta$ в $\Cal F$ называют
 {\it  пределом}\/ (или {\it проективным пределом}\/) {\it функтора}
 \subject{Предел функтора}\subject{Предел функтора проективный}%
  $\Cal F$ и обозначают
 символом $r\!:=\underleftarrow{\Lim} \Cal F$,
 см. у С.~Маклейна\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)} \cite{Mac},
 М.~Ш.~Цаленко\author{Цаленко~М.~Ш. ()} и
 Е.~Г.~Шульгейфера\author{Шульгейфер~Е.~Г. ()} \cite{141}.

 \subsection{3.7.3}~{\bf(1)}~Функторы и естественные
 преобразования функторов появились в 1942~г. в работах
 С.~Маклейна\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)} и
 С.~Эйленберга.\author{Эйленберг~С. (Eilenberg~S.)}

 {\bf(2)}~Сопряженные функторы начал изучать
 Д.~Кан\author{Кан~Д. (Kan~D.~M.)} в 1958 году (см.~\cite{Kan}).
 Сопряженные функторы широко распространены в различных
 областях математики и играют в них существенную роль.
 Многочисленные примеры сопряженных функторов можно найти в монографиях
 И.~Букура\author{Букур~И. (Bucur~I.)} и
 А.~Деляну\author{Деляну~А. (Deleanu~A.)} \cite{11},
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. (Goldblatt~R.)} \cite{21},
 П.~Т.~Джонстона\author{Джонстон~П.~Т. (Johnstone~P.~T.)} \cite{31},
 С.~Маклейна\author{Маклейн~С. (MacLane~S.)} \cite{Mac},
 З.~Семадени\author{Семадени~З. (Semadeni~Zb.)} \cite{Sem},
 М.~Ш.~Цаленко\author{Цаленко~М.~Ш. ()} и
 Е.~Г.~Шульгейфера\author{Шульгейфер~Е.~Г. ()} \cite{141}.

{\bf(3)}~Эквивалентность категорий можно выразить следующим образом.
 Категорию называют {\it скелетной},\subject{Категория скелетная}
  если в ней изоморфные объекты совпадают.
 {\it Скелетом}\/\subject{Скелет категории}
 категории $\Cal C$ называют полную подкатегорию
 $\Cal C_0$ категории $\Cal C$, если $\Cal C_0$ скелетна
 и каждый $\Cal C$-объект изоморфен некоторому $\Cal C_0$-объекту.
 У каждой категории имеется скелет.
 В этом можно убедиться с помощью теоремы Фреге~--- Рассела~--- Скотта.
 При этом две категории эквивалентны в том и только в том случае,
 если они имеют изоморфные скелеты.


 \subsection{3.7.4}~{\bf(1)}~Определение элементарного
 топоса, данное в 3.4.5, принадлежит
 Ф.~У.~Ловеру\author{Ловер~Ф.~У. (Lawvere~F.~W.)}
 и
 М.~Тьерне\author{Тьерне~М. (Tierney~M.)} (см. об этом у
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. (Goldblatt~R.)} \cite{21},
 П.~Т.~Джонстона\author{Джонстон~П.~Т. (Johnstone~P.~T.)} \cite{31},
 П.~Фрейда\author{Фрейд~П. (Freyd~P.)} \cite{Fre}). Ими же было
 введено понятие классифицирующего объекта~(см.~3.4.2).
 С.~Миккелсен\author{Миккелсен~С. (Mikkelsen~C.~J.)}~\cite{Mik}
 установил, что условие 3.4.5\,(2) вытекает из остальных аксиом
 топоса (см.~\cite{31}).
% П.~Т.~Джонстона\author{Джонстон~П.~Т. (Johnstone~P.~T.)} \cite{31}.



{\bf(2)}~Пример 3.4.6\,(3) представляет собой частный
 случай более общей конструкции, доставляющей целый спектр
 топосов. Именно, для любой малой категории $\Cal K$ категория
 функторов $\Funct(\Cal K,\Set)$ является топосом.
 Строение топоса $\Funct(\Cal K,\Set)$ подробно описано у
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. (Goldblatt~R.)}
\cite[\S\,9.3]{21}.

{\bf(3)}~Утверждение 3.4.6\,(4) составляет часть
 результата, названного П.~Фрейдом\author{Фрейд~П. (Freyd~P.)}
 в \cite{Fre}
 {\it основной теоремой теории топосов}.\subject{Теорема теории топосов основная}
 Приведем полную формулировку этого результата.

 \Proclaim{Теорема.} Для любого топоса $\Cal E$
 и для любого $\Cal E$-объекта $a$ относительная категория
 $\Cal E^a$ является топосом.
 Для любого $\Cal E$-морфизма $f:a\to b$ функтор обратного образа $f^\ast:\Cal E^b\to\Cal
 E^a$ имеет сопряженный слева и сопряженный справа.
 \Endproc

 {\bf(4)}~Истоки теории топосов находятся в трех областях
(см.~\cite{McLarty}).
 Во-первых, это алгебраическая геометрия, а именно теория пучков,
 развитие которой привело к топологии Гротендика и понятию пучка
 для такой топологии (см. работы
 Р.~Годемана\author{Годеман~Р. (Godement~R.)}~\cite{Gode},
 А.~Гротендика\author{Гротендик~А. (Grothendieck~A.)} и
 Ж.~Вердье\author{Вердье~Ж. (Verdier~J.~L.)} \cite{GroV}).
 Во-вторых,~--- теория категорий, в рамках которой возникла
 проблема категорной аксиоматизации теории множеств и дано первое решение этой проблемы
 Ф.~У.~Ловером\author{Ловер~Ф.~У. ()}.
 Наконец, в-третьих, ---  теория моделей, породившая
 метод форсинга П.~Дж.~Коэна\author{Коэн~П.~Дж.()}
 и булевозначные модели Скотта~---  Соловея~--- Вопенки
 (см. работы
 Дж.~Белла\author{Белл~Дж. (Bell~J.~L.)} \cite{158},
 Т.~Йеха\author{Йех~Т. (Jech~T.~J.)} \cite{39} и
 П.~Дж.~Коэна\author{Коэн~П.~Дж. (Cohen~P.~J.)} \cite{49}).


 \subsection{3.7.5}~{\bf(1)}~Основная идея параграфа~3.5
 состоит в том, что каждый топос порождает внутренний язык,
 который можно использовать для образования высказываний
 относительно объектов и морфизмов топоса. Эта идея принадлежит
 У.~Митчелу.\author{Митчел~У. (Mitchell~W.)} Относительно
 дальнейшего ее развития см.
 у~Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. (Goldblatt~R.)} \cite{21},
 П.~Т.~Джонстона\author{Джонстон~П.~Т. (Johnstone~P.~T.)} \cite{31},
 М.~П.~Фурмана\author{Фурман~М.~П. (Fourman~M.~P.)} \cite{139},
 М.~П.~Фурмана\author{Фурман~М.~П. (Fourman~M.~P.)} и
 Д.~Скотта\author{Скотт~Д. (Scott~D.~S.)} \cite{181}.

 {\bf(2)}~Пусть $\Cal E$~--- топос.
 {\it Топологией\/}\subject{Топология на топосе} на топосе
 $\Cal E$  называют морфизм $\tau:\Omega\to\Omega$,
 удовлетворяющий следующим трем условиям:
 1)~$\tau\circ\top=\top$;
 2)~$\tau\circ\tau=\tau$;
 3)~$\frown\circ(\tau\times\tau)=\tau\circ\frown$.
 Топология $\tau$ индуцирует отображение $\Cal T$ из $\Sub(d)$
 в $\Sub(d)$ для любого $\Cal E$-объекта $d$. Отображение
 $\Cal T$ ставит в соответствие подобъекту $f:a\rightarrowtail d$
 подобъект $\Cal T(f):\Cal T(a)\rightarrowtail d$ по правилу
 $\chi_{\Cal T(f)}=\tau\circ\chi_f$. Мономорфизм (подобъект)
 $f:a\rightarrowtail d$ называют
 $\tau$-{\it плотным}\author{$\tau$-плотный подобъект},\subject{$\tau$-плотный мономорфизм}
 если
 $\Cal T(f)\simeq 1_d$.

 {\bf(3)}~Пусть $\tau$~--- топология на топосе $\Cal E$.
 Объект $b$ топоса $\Cal E$ называют $\tau$-пучком, если для
 произвольных $\Cal E$-объекта $d$, $\tau$-плотного мономорфизма
 $f:a\rightarrowtail d$ и \mbox{$\Cal E$-морфизма} $g:a\to b$ существует
 единственный морфизм $g':d\to b$, для которого $g'\circ f=g$.
 Символом $\sh_\tau (\Cal E)$\formula{$\sh_\tau (\Cal E)$} обозначают полную
 подкатегорию топоса~$\Cal E$, объектами которой являются
 $\tau$-пучки.
 Ф.~У.~Ловер\author{Ловер~Ф.~У.} и
 М.~Тьерне\author{Тьерне~М.} установили, что для любого топоса
 $\Cal E$ категория $\sh_\tau (\Cal E)$ является топосом
 (доказательство см.
 у~Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. (Goldblatt~R.)} \cite{21},
 П.~Т.~Джонстона\author{Джонстон~П.~Т. (Johnstone~P.~T.)} \cite{31},
 А.~Кока\author{Кок~А. (Kock~A.)} и
 Г.~Райса\author{Райс~Г. (Reyes~G.)} \cite{KoRe},
 П.~Фрейда\author{Фрейд~П. (Freyd~P.)}~\cite{Fre}).


 {\bf(4)}~Если в какой-нибудь категории $\Cal K$
 существуют объекты-степени, то объект
 $\Omega\!\simeq\Omega^{\Bbb 1}:=\Cal P(\Bbb 1)$ вместе с мономорфизмом
 $\in_{\Bbb 1}:\Omega^{\Bbb 1}\times\Bbb 1\to\Omega^{\Bbb 1}$
 представляет собой классификатор подобъектов в $\Cal K$. Более того,
 объекты-степени можно использовать для построения экспоненциалов.
 Эти факты установили А.~Кок\author{Кок~А. (Kock~A.)} и
 С.~Миккелсен\author{Миккелсен~С. (Mikkelsen~C.~J.)}
 (см. работы
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. (Goldblatt~R.)} \cite{21}
 и  П.~Т.~Джонстона\author{Джонстон~П.~Т. (Johnstone~P.~T.)} \cite{31}).
 Таким образом, категория является топосом в том и только в том
 случае, когда она конечно полна и имеет объекты-степени.

 \subsection{3.7.6}~{\bf(1)}~Как показано в 2.6.4, регулярные
 элементы гейтинговой алгебры образуют булеву алгебру. Оказывается,
 что и <<регулярные>> элементы топоса образуют булев топос. Точнее,
 имеют место следующие результаты. Для любого топоса $\Cal E$
 морфизм $\tau\!:=\Neg\circ\Neg$ является топологией. Ее называют
 {\it топологией двойного отрицания}.\subject{Топология двойного
 отрицания} При этом $\sh_\tau(\Cal E)$~--- булев топос для любого
 топоса $\Cal E$. Эти факты установили
 Ф.~У.~Ловер\author{Ловер~Ф.~У.} и
 М.~Тьерне\author{Тьерне~М.}.

 {\bf(2)}~Аксиому выбора можно сформулировать в следующем виде:
 {\sl всякое сюръективное отображение имеет правое обратное
 отображение, т.~е. если $f:X\to Q$~--- сюръективное отображение,
 то существует такое отображение $s:Q\to X$, что $f\circ s=1_Q$}.
 В терминах расслоений это означает, что всякое расслоение имеет
 сечение. Поэтому аксиому выбора в указанной формулировке
 называют также принципом~$\ES$.
 Р.~Диаконеску\author{Диаконеску~Р. (Diaconescu~R.)} \cite{Dia}
 установил, что если в топосе выполнен принцип $\ES$,
 то этот топос булев, см. работы
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт} \cite{21}
 и
 П.~Т.~Джонстона\author{Джонстон} \cite{31}.

 {\bf(3)}~Иная формулировка аксиомы выбора $\AC$ принадлежит
 С.~Маклейну\author{Маклейн} и звучит следующим образом:
{\sl
 если $a\not\simeq0$, то для
 любого морфизма $f:a\to b$ существует морфизм $g:b\to a$, для
 которого $f\circ g\circ f=f$}. Можно показать, что если в топосе
 $\Cal  E$ справедлива аксиома $\AC$, то в нем выполняется  $\ES$ и этот топос двузначен.
 Верно также, что если топос точечный и в нем имеет место
 $\ES$, то в нем справедлива аксиома $\AC$.
 Вообще,  условие $\Cal E\models\AC$
 выполнено  для топоса  $\Cal E$ в том и только в том случае,
 если $\Cal E\models\ES$ и  любой неначальный объект  в $\Cal E$ непуст.
 Тем самым ввиду (2) из $\Cal E\models\AC$ вытекает булевость $\Cal E$.
 Все эти утверждения можно найти у
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт} \cite{21}.

 {\bf(4)}~Анализ других теоретико-множественных аксиом,
 понятий и конструкций во внутреннем языке топоса приводит
 к их более глубокому пониманию. Большое число результатов в этом направлении
 содержится в книгах
 Р.~Голдблатта\author{Голдблатт~Р. (Goldblatt~R.)} \cite[главы 12,\,13]{21},
 П.~Джонстона\author{Джонстон~П.~Т. (Johnstone~P.~T.)} \cite[глава 9]{31}.
 В частности, в \cite{31} имеется категорное доказательство независимости гипотезы континуума
 от аксиом теории множеств.

\end{document}

Bucur i. and Deleanu A. 
Introduction to the Theory of Categories and Functors (Pure & Applied Mathematics Monograph, v. 19) 
Wiley-Interscience, London etc. 1968