\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Staroletov \Initial A. \Initial M. \Gender he \ORCID 0000-0002-3914-6758 \Email staroletov\@math.nsc.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Sobolev Institute of Mathematics \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted November 7, 2025\enddatesubmitted \daterevised December 3, 2025\enddaterevised \dateaccepted December 5, 2025\enddateaccepted \UDclass 512.542 %20D06 \endUDclass \thanks Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда 23--41--10003, {\tt https://rscf.ru/project/23-41-10003/}. %The work was supported by the Russian Science Foundation (project 23--41--10003, \Url*{https://rscf.ru/project/23-41-10003/}). \endthanks \title О~распознаваемости линейных и~унитарных групп по~спектру \endtitle \abstract Конечные группы называются изоспектральными, если они имеют одинаковые множества порядков элементов. В~данной статье завершается описание конечных групп, изоспектральных простым группам $PSL_n(q)$ или $PSU_n(q)$, где $n\geq 11$. Также получено существенное ограничение на структуру конечных групп, изоспектральных ортогональным и симплектическим группам. \endabstract \keywords порядок элемента, простая классическая группа, распознавание по спектру \endkeywords \endtopmatter \input epsf \input gutable \head 1. Введение \endhead В~данной работе рассматриваются только конечные группы. Множество порядков элементов группы $G$ обозначается через $\omega(G)$ и называется ее {\it спектром}. Группы называются {\it изоспектральными}, если они имеют одинаковые спектры. Обозначим через~$h(G)$ наибольшее число попарно неизоморфных групп, изоспектральных группе~$G$. Если $h(G)=1$, то $G$ однозначно (с точностью до изоморфизма) задается своим спектром в классе всех конечных групп и поэтому $G$ называется {\it распознаваемой\/} по спектру. Говорят, что $G$ {\it почти распознаваема}, если $h(G)$ конечно, и {\it нераспознаваема}, если $h(G)=\infty$. Будем говорить, что {\it проблема распознаваемости\/} ({\it по спектру}) {\it решена\/} для $G$, если число $h(G)$ известно, и в случае $h(G)<\infty$ все группы, изоспектральные $G$, явно описаны. В~силу [1, Lemma~1], если $G$ имеет нетривиальную нормальную разрешимую подгруппу, то $h(G)=\infty$, поэтому проблема распознаваемости по спектру представляет интерес только для групп с тривиальным разрешимым радикалом. Большинство работ по данной проблеме посвящены простым неабелевым группам, однако есть различные примеры, когда проблема решена для групп с непростым цоколем. Подробный обзор результатов и список открытых вопросов можно найти в [2]. Мы обозначаем простые классические группы согласно [3]. В~настоящее время проблема распознаваемости по спектру решена для всех простых неабелевых групп, кроме следующих классических групп, определенных над полем нечетного порядка $q$: \Label{(a-e)} \Item (a) $L_n(q)$, где $8\leq n\leq 26$, $n$ не является простым числом; \Item (b) $U_n(q)$, где $8\leq n\leq 26$, $n$ не является простым числом; \Item (c) $S_{2n}(q)$ и $O_{2n+1}(q)$, где $5\leq n\leq 15$, $n\neq8$; \Item (d) $O^+_{2n}(q)$, где $5\leq n\leq 18$; \Item (e) $O^-_{2n}(q)$, где $5\leq n\leq 17$, $n\neq8,16$. Более точные формулировки и необходимые ссылки для групп, отличных от $U_6(q)$, $L_6(q)$, и $U_n(q)$, где $n$~--- простое число, могут быть найдены в [2, Theorem~2.1]. Группы $U_5(q)$, $U_6(q)$, и $L_6(q)$ были рассмотрены в~[4]. Решение проблемы распознаваемости для групп $U_n(q)$, где $n$~--- простое число, было недавно завершено в~[5]. Эти два результата появились после публикации обзора [2]. Удобным инструментом для изучения проблемы распознаваемости является {\it граф простых чисел\/} (или {\it граф Грюнберга~--- Кегеля}). Граф простых чисел группы $G$ определяется следующим образом: его вершины являются простыми делителями порядка группы $G$ и две различные вершины $r$ и $s$ смежны тогда и только тогда, когда $rs\in\omega(G)$. Напомним, что подмножество вершин графа называется {\it кокликой}, если любые две вершины этого подмножества не смежны. Обозначим через $t(G)$ наибольший размер коклики в графе простых чисел группы $G$. Верхние границы размерностей групп в списке выше можно объяснить следующим образом. Основываясь на предыдущих результатах, А.~В.~Васильев и М.~А.~Гречкосеева доказали, что простая классическая группа $L$ почти распознаваема, если $t(L)\geq 23$~[6,\,7]. Позднее этот результат был распространен на классические группы $L$ с $14\leq t(L)<23$~[8]. Переписывая условие $t(L)\leq 13$ в терминах размерности группы $L$, мы в точности получаем верхние границы на $n$ из списка выше за исключение того, что в п.~\Par{(a-e)}{(c)} отсутствуют группы $S_{32}(q)$ и $O_{33}(q)$. Для этих групп проблема распознаваемости была ранее решена в~[9--11]. Мы понижаем верхнюю границу размерностей для линейных и унитарных групп $L$, рассматривая случаи, когда $6\leq t(L)\leq 13$. \proclaim{Theorem~1} Предположим, что $L$~--- одна из простых групп $L_n(q)$ или $U_n(q)$, где $n\geq 11$. Тогда проблема распознаваемости по спектру для~$L$ решена. Более того, $L\leq G\leq\operatorname{Aut} L$ для любой конечной группы $G$, изоспектральной $L$. \endproclaim Как следствие получаем, что проблема распознаваемости для линейных и унитарных групп размерности $n$ в настоящее время не решена только для $n=8,9,10$. На самом деле \Par*{Theorem~1} является следствием ряда предыдущих результатов и следующей теоремы, доказательство которой является основной целью данной статьи. \proclaim{Theorem~2} Предположим, что $L$~--- одна из простых групп $L_n(q)$ или $U_n(q)$, где $q$ нечетно и $12\leq {n}\leq 26$. Если $G$~--- конечная группа, изоспектральная $L$, и $S$~--- неабелев композиционный фактор группы $G$, то $S$ не изоморфна классической группе над полем характеристики, взаимно простой с~$q$. \endproclaim Ряд рассуждений из доказательства \Par*{Theorem~2} не использует по существу то, что $L$ является линейной или унитарной, и как следствие может быть проведен для классической группы $L$ любого типа. Результат этих рассуждений выделен в отдельную теорему. \proclaim{Theorem~3} Предположим, что $L$~--- простая классическая группа над полем нечетного порядка $q$ такая, что $5\leq t(L)\leq 13$. Предположим, что $G$~--- конечная группа, изоспектральная $L$, и $G$ имеет неабелев композиционный фактор $S$ такой, что $S$~--- классическая группа над полем характеристики, взаимно простой с~$q$. Тогда справедливы следующие утверждения. \Item (a) Если $L$~--- линейная или унитарная группа с $t(L)\geq 6$, то $t(S)=t(L)$. \Item (b) Если $L$~--- линейная или унитарная группа с $t(L)=5$ или ортогональная или симплектическая группа с $t(L)\geq 7$, то $0\leq t(S)-t(L)\leq 1$. \Item (c) Если $L$~--- симплектическая или ортогональная группа с $5\leq {t(L)}\leq 6$, то $0\leq {t(S)-t(L)}\leq 2$. \endproclaim Данная статья организована следующим образом. \Sec*{Section~2} посвящен определениям и вспомогательным арифметическим результатам, которые являются полезными при работе со спектром классических групп. В~\Sec*{Section~3} перечислены необходимые факты о спектрах и графах простых чисел классических групп. \Par*{Theorem~3} доказывается в \Sec*{Section~4}, а \Sec*{Sections~5} и~\Sec{Section 6}{6} посвящены доказательствам \Par*{Theorems~2} и~\Par{Theorem 1}{1} соответственно. \head 2. Предварительные данные: арифметические~результаты \endhead Наибольший общий делитель целых чисел $a$ и $b$ обозначается через $(a, b)$. Зафиксируем целое число $a$ с $|a|>1$ и простое число $r$. Через $\pi(a)$ обозначается множество всех простых делителей числа $a$. Через $a_{\{r\}}$ обозначается $r$-часть числа $a$, т.~е. наибольшая степень числа $r$, делящая $a$. Если $\pi$~--- множество простых чисел, то определим $a_\pi=\prod\nolimits_{r\in\pi}a_{\{r\}}$ и $a_{\pi'}=a/a_\pi$. В~этом случае числа $a_\pi$ и $a_{\pi'}$ называются {\it $\pi$-частью\/} и {\it $\pi'$-частью\/} числа $a$ соответственно. Если $r$ нечетно и $(a,r)=1$, то $e(r,a)$ обозначает мультипликативный порядок $a$ по модулю $r$. Положим $e(2,a)=1$, если $4$ делит $a-1$, и $e(2,a)=2$, если $4$ делит $a+1$. Простое число $r$ называется {\it примитивным простым делителем\/} числа $a^i-1$, если $e(r,a)=i$. Обозначим через $r_i(a)$ некоторый примитивный простой делитель числа $a^i-1$, если хотя бы один такой делитель существует, через $R_i(a)$~--- множество всех таких делителей. Существование примитивных простых делителей для почти всех пар $(a,i)$ было доказано Бэнгом~[12] и Жигмонди~[13]. \proclaim{Lemma 2.1 \rm (Бэнг--- Жигмонди)} Пусть $a$~--- целое число и $|a|>1$. Если $i$~--- натуральное число и $(a,i)\notin\{(2,1),(2,6),(-2,2),(-2,3),(3,1),(-3,2)\}$, то множество $R_i(a)$ непусто. \endproclaim Для числа $i\neq2$ произведение всех примитивных простых делителей числа $a^i-1$, взятых с учетом кратности, обозначается через $k_i(a)$. Положим $k_2(a)=k_1(-a)$. Число $k_i(a)$ называется {\it наибольшим примитивным делителем\/} числа $a^i-1$. Из определения следует, что $(k_i(a),k_j(a))=1$, если $i\neq j$. Легко проверить, что $k_1(a)=|a-1|$, если $a\not\equiv3\pmod4$, и $k_1(a)=|a-1|/2$, если $a\equiv3\pmod4$, а также $k_2(a)=|a+1|$, если $a\not\equiv1\pmod4$, и $k_2(a)=|a+1|/2$, если $a\equiv 1\pmod4$. Из [14] следует, что при $i>2$ $$ k_i(a)=\frac{|\Phi_i(a)|}{(r,\Phi_{i_{\{r\}'}}(a))},\eqno{(1)} $$ где $\Phi_i(x)$~--- $i$-й круговой многочлен, а $r$~--- наибольшее простое число, делящее $i$; более того, если $i_{\{r\}'}$ не делит $r-1$, то $(r,\Phi_{i_{\{r\}'}}(a))=1$. Для любого целого числа $n$, отличного от нуля, через $\varphi(n)$ обозначается значение функции Эйлера на $n$. Напомним, что $\deg\Phi_n(x)=\varphi(n)$. Из определения наибольших примитивных делителей и равенства~(1) вытекает следующее полезное утверждение. \proclaim{Lemma 2.2} Пусть $a$ и $i$~--- целые числа такие, что $|a|>1$ и $i\geq 1$. Если $i$ нечетно, то $k_i(-a)=k_{2i}(a)$, и если $i$ кратно $4$, то $k_i(-a)=k_i(a)$. \endproclaim \proclaim{Lemma 2.3 \rm [6, Lemma~1.5]} Пусть $a$ и $i$~--- целые числа, $\varepsilon\in\{+,-\}$. Если $a\geq 2$, $i\geq 3$ и $(a,i)\notin\{(2,3),(2,6)\}$, то $k_i(\varepsilon a)>a^{\varphi(i)/2}$. \endproclaim \proclaim{Lemma 2.4}\Label{L2.4} Справедливы следующие утверждения. \Item (a) Если $p$~--- простое число, то $\Phi_{pn}(x)=\cases \Phi_n(x^p), &\text{если }(n,p)=p;\\ \Phi_n(x^p)/\Phi_n(x), &\text{если }(n,p)=1. \endcases$ \Item (b) Если $n<105$, то все коэффициенты многочлена $\Phi_n(x)$ принадлежат множеству $\{-1,0,1\}$. \Item (c) Если $3\leq n<105$, то $\Phi_n(a)>0$ для всех действительных чисел $a$ с $|a|\geq 2$. \Item (d) Предположим, что унитарный многочлен $f(x)\in{\Bbb Z}[x]$ имеет степень $n\geq 1$ и все его коэффициенты принадлежат множеству $\{-1,0,1\}$. Если $a\geq k>1$, где $k$~--- действительное число, то $$ \frac{k-2}{k-1}a^n0. $$ Докажем \Par{L2.4}{(d)}. По предположению получаем, что $$ f(a)\leq 1+a+\dots+a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}, $$ поэтому для доказательства верхней оценки достаточно проверить, что $\frac{a^{n+1}-1}{a-1} <\frac{k}{k-1}a^n$. Последнее неравенство эквивалентно неравенству $a^{n+1}+k-1>ka^n$, которое верно, поскольку $a\geq k$. Аналогично получаем, что $$ f(a)\geq a^n-a^{n-1}-\dots-1=2a^n-a^n-a^{n-1}-\dots-1=2a^n-\frac{a^{n+1}-1}{a-1}. $$ Мы знаем, что $-\frac{a^{n+1}-1}{a-1}>-\frac{k}{k-1}a^n$. Поэтому $$ f(a)>2a^n-\frac{k}{k-1}a^n=\frac{k-2}{k-1}a^n, $$ что и требовалось показать. \qed\enddemo В~качестве следствия из п.~\Par{L2.4}{(c)} этой леммы получаем, что в равенстве~\Tag(1) для $k_i(a)$ модуль в числителе можно убрать, если $3\leq i<105$. \proclaim{Lemma 2.5 \rm [6, Lemma 1.7]} Пусть $q$ и $m$~--- целые числа, большие $1$, и $\varepsilon\in\{+,-\}$. \Item (a) Если нечетное простое число $r$ делит $\varepsilon{q}-1$, то $$ ((\varepsilon{q})^m-1)_{\{r\}}=m_{\{r\}}(\varepsilon{q}-1)_{\{r\}}. $$ \Item (b) Если нечетное простое число $r$ делит $(\varepsilon{q})^m-1$, то $r$ делит $(\varepsilon{q})^{m_{\{r\}'}}-1$. \Item (c) Если $\varepsilon{q}-1$ делится на $4$, то $((\varepsilon{q})^m-1)_{\{2\}}=m_{\{2\}}(\varepsilon{q}-1)_{\{2\}}$. \endproclaim \proclaim{Lemma 2.6} Пусть $q$~--- степень нечетного простого числа. Если $\varepsilon\in\{+,-\}$ и $r\geq 7$~--- простое число, то $k_r(\varepsilon{q})>\frac{5}{3}q^{r-2}$. \endproclaim \demo{Proof} Используя равенство~(1), находим, что $$ k_r(\varepsilon{q})=\frac{q^r-\varepsilon1}{(q-\varepsilon{1},r)(q- \varepsilon{1})}\geq \frac{q^r+1}{(q-\varepsilon{1},r)(q+1)}. $$ Если $(q-\varepsilon{1},r)=1$, то $$ k_r(\varepsilon{q})\geq \frac{q^r+1}{q+1}>\frac{5}{3}q^{r-2}, $$ так как $q\geq 3$. Предположим, что $(q-\varepsilon{1},r)=r$. Тогда $q-\varepsilon{1}$ делится на $r$, поэтому $q+1\geq 2r$. Теперь $\frac{q^r+1}{(q+1)r}>\frac{5}{3}q^{r-2}$ тогда и только тогда, когда $3q^r+3>5rq^{r-1}+5rq^{r-2}$. Поскольку $q\geq 2r-1$ и $r\geq 7$, получаем, что $$ 3q^r+3\geq (6r-3)q^{r-1}+3\geq (5r+4)q^{r-1}+3. $$ Далее, $$ (5r+4)q^{r-1}+3=5rq^{r-1}+4q^{r-1}+3\geq 5rq^{r-1}+(8r-4)q^{r-2}+3. $$ Наконец, находим, что $$ 5rq^{r-1}+(8r-4)q^{r-2}+3>5rq^{r-1}+5rq^{r-2} $$ и, следовательно, $3q^r+3>5rq^{r-1}+5rq^{r-2}$, что и требовалось показать. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 2.7} Пусть $q$~--- степень нечетного простого числа и $\varepsilon\in\{+,-\}$. Тогда $k_9(\varepsilon{q})>q^{5.5}$ или $k_7(\varepsilon{q})>q^{5.5}$. \endproclaim \demo{Proof} Предположим, что $q\geq 13$. Тогда $q^{0.5}>3.5$. Используя равенство~(1), находим, что $$ k_9(\varepsilon{q})\geq (q^6-q^3+1)/3>(3.5q^{5.5}- q^3)/3>q^{5.5}+(0.5q^{5.5}-q^3)>q^{5.5}. $$ Предположим, что $q<13$. Тогда $(q-\varepsilon1,7)=1$, поэтому $$k_7(\varepsilon{q})=\Phi_7(\varepsilon{q})\geq q^6-q^5+q^4-q^3+q^2-q+1>q^6-q^5. $$ Легко видеть, что $q^6-q^5>q^{5.5}$, если $q\geq 3$, и, значит, $k_7(\varepsilon{q})>q^{5.5}$ в этом случае. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 2.8} Пусть $q$ и $w$~--- степени простых чисел, при этом $q\neq w$ и $q$ нечетно. Если $k_7(\varepsilon{q})$ делит $k_7(\tau{w})$, где $\varepsilon,\tau\in\{+,-\}$ и $(q-\varepsilon1, 7) = 1$, то $5q^60$, то $$ \Phi_7(\varepsilon{(a+1)})-\Phi_7(\varepsilon{a})>0 \text{ и } \Phi_7(\tau{(a+1)})-\Phi_7(\tau{a})>0. $$ Поскольку $w\neq q$, верно, что $w\geq q+1$ или $q\geq w+1$. В~первом случае получаем, что $$ \Phi_7(\tau{w})\geq \Phi_7(\tau(q+1)) >q^6+q^5+q^4+q^3+q^2+q+1\geq \Phi_7(\varepsilon{q}), $$ а во втором случае $$ \Phi_7(\varepsilon{q})\geq \Phi_7(\varepsilon(w+1))>w^6+w^5+w^4+w^3+w^2+w+1\geq \Phi_7(\tau{w}); $$ противоречие с $\Phi_7(\varepsilon{q})=\Phi_7(\tau{w})$. Поэтому можно считать, что $(w-\tau{1},7)=7$ и тем самым $w\geq 8$. Заметим, что $k_7(\varepsilon{q})\leq \frac{3}{2}q^6$ по \Par*{Lemma~2.4}\itm(d), и $k_7(\tau{w})\geq \frac{1}{7}(w^6-w^5+w^4-w^3+w^2-w+1)>\frac{1}{8}w^6$, поскольку $w\geq 8$. Значит, $q^6\geq \frac{1}{12}w^6$ и поэтому $q\geq 7$. Теперь $$ \frac{6}{7}q^6<1-q+q^2-q^3+q^4-q^5+q^6\leq k_{7}(\varepsilon{q})=k_7(\tau{w}), $$ в то время как $k_7(\tau{w})<\frac{8}{49}w^6$ по \Par*{Lemma~2.4}\itm(d). Следовательно, $5q^6u^3$. \Item (b) Если $k_j(u)$ делит $(q^2-1)\log_vu$ и $(k_j(u),\log_vu)>1$, то $k_j(u)>u^3\log_vu$. \Item (c) Если $k_j(u)$ делит $p(q^2-1)$, где $p<31$, $p\in R_j(u)$, и $(j,u)\neq(10,4)$, то $k_j(u)>\frac{p}{12}u^3$. \Item (d) Если $k_j(u)$ делит $p(q^2-1)\log_vu$ и $p$ делит $(k_j(u),\log_vu)$, то $k_j(u)>pu^3\log_vu$. \Item (e) Если $k_j(u)$ делит $p(q^2-1)\log_vu$, $p<31$, и $(k_j(u),\log_vu)>1$, то $k_j(u)>pu^3\log_vu$. Более того, во всех пунктах верно неравенство $2u^3u^4$. Это верно, если $\varphi(j)\geq 8$, по \Par*{Lemma~2.3}. Предположим, что $\varphi(j)=6$. Тогда $j\in\{7,14,9,18\}$. Если $j=9$ или $j=18$, то $k_j(u)\geq \frac{u^6-u^3+1}{3}$ в силу равенства~(1). Следовательно, в этом случае $k_j(u)>u^4$. Более того, $$ k_7(u)=\frac{u^7-1}{(u-1,7)(u-1)}\geq \frac{u^7-1}{(u-1)^2}>u^4 $$ и $k_{14}(2)=43>2^4$, в то время как для $u>2$ верно, что $$ k_{14}(u)>\frac{u^7+1}{(u+1)^2}>u^4. $$ Поскольку $u>\log_vu$, получаем, что $k_j(u)>u^4>u^3\log_vu$. Предположим, что $p\in R_j(u)$ и $p<31$. Заметим, что $u^4>\frac{p}{12}u^3$, если $u\geq 3$ или $p\leq 23$. С~другой стороны, если $u=2$ и $23k^2$ и $2^k>31k$. Это означает, что $u=v^k>k^2$ и $u>31k$. Следовательно, $k_j(u)>u^4>u^3\cdot(\log_vu)^2$ и $k_j(u)>u^4>31u^3\log_vu$. Эти неравенства завершают доказательство для всех чисел $j$ с $\varphi(j)\geq 6$. Предположим, что $\varphi(j)=4$. Тогда $j\in\{5,8,12,10\}$. Сначала покажем, что $k_j(u)>u^3$, если $(j,u)\neq(10,4)$. Используя равенство~(1), видим, что $k_{12}(u)=\Phi_{12}(u)=u^4-u^2+1$ и $$ k_{8}(u)=\frac{\Phi_{8}(u)}{(u-1,2)}=\frac{u^4+1}{(u-1,2)}. $$ Следовательно, если $j=12$, то $k_j(u)\geq 2u^3-u^2+1>u^3$, а если $j=8$, то $k_j(u)\geq (u^4+1)/2>u^3$. Предположим, что $j=5,10$. Заметим, что $k_j(u)>u^3$ при $u=2,3$ и $k_{5}(4)=341>4^3$. Таким образом, можно считать, что $u\geq 5$. Используя равенство~(1), получаем, что $k_j(u)\geq \frac{1}{d}(u^4-u^3+u^2-u+1)$, где либо $d=1$, либо $d=5$ и $u\geq 9$. Если $d=1$, то $u^4-u^3+u^2-u+1\geq 2u^3-u^3+u^2-u+1>u^3$. Если $d=5$, то $k_j(u)\geq \frac{1}{5}(9u^3-u^3+u^2-u+1)>u^3$. Следовательно, требуемое неравенство $k_j(u)>u^3$ доказано во всех случаях. Предположим, что $p\in R_j(u)$, и $k_j(u)$ делит $p(q^2-1)$, где $p<31$ и $(j,u)\neq(10,4)$. Покажем, что $k_j(u)>\frac{p}{12}u^3$. Мы знаем, что $k_j(u)>u^3$, поэтому можно считать, что $p>12$. Поскольку $p<31$ и $p\in R_j(u)$ с $j\in\{5,8,10,12\}$, получаем, что $p-1$ делится на $j$ и, следовательно, $(p,j)\in\{(13,12),(17,8)\}$. Если $j=12$, то $k_{12}(2)=13>\frac{13}{12}2^3$, а для $u>2$ верно, что $$ k_{12}(u)=u^4-u^2+1>3u^3-u^2>2u^3>\frac{13}{12}u^3. $$ Если $j=8$, то $k_{8}(2)=17>\frac{17}{12}2^3$, а для $u>2$ верно, что $$ k_{8}(u)\geq {u^4+1\over 2}>\frac{3}{2}u^3>\frac{17}{12}u^3. $$ Предположим, что $(k_j(u),\log_vu)>1$, и возьмем простое число $r$, которое делит оба числа $k_j(u)$ и $\log_vu$. По малой теореме Ферма получаем, что $r\geq 11$, и поэтому $u\geq 2^{11}$. Используя равенство~(1), находим, что $k_j(u)\geq \frac{u^4-u^3+u^2-u+1}{5}$. По \Par*{Lemma~2.4}\itm(d) получаем, что $$ k_j(u)>\frac{u-2}{5(u-1)}u^4>\frac{1}{6}u^4. $$ Обозначим $k=\log_vu$. Поскольку $k\geq 11$, верно, что $u\geq 2^k>6k^2$ и $u\geq 2^k>6\cdot31\cdot k$. Это означает, что $k_j(u)>u^3(\log_vu)^2$ и $k_j(u)>31u^3\log_vu$. Теперь покажем, что $2u^34^3/2$ и $8\cdot\prod\nolimits_{i=1}^k k_{j_i}(u)$ делит $(q^2-1)\log_vu$, получаем, что $u^{3k}\frac{p}{12}u^3$. Заметим, что $p(q^2-1)$ делится на~24. Поэтому достаточно доказать, что $$ \prod\limits_{i=2}^kk_{j_i}(u)>\frac{1}{2}u^{3k-3}, $$ если каждое число $k_{j_i}(u)$ взаимно просто с $\log_v(u)$, или $$ \prod\limits_{i=2}^kk_{j_i}(u)>\frac{1}{2}u^{3k-3}\log_vu, $$ если хотя бы одно $k_{j_i}(u)$ не взаимно просто с $\log_v(u)$. Это верно в силу \Par*{Lemma~2.9}\itm(a),\,(b) и неравенства $k_{10}(4)=41>4^3/2$. Предположим, что существует число $j\in\{j_1,\dots,j_k\}$ такое, что $p$ делит $(\log_vu, k_j(u))$. \Par*{Lemma~2.9}\itm(d) влечет, что $k_j(u)>pu^3\log_vu$, и произведение оставшихся чисел $k_{j_i}(u)$ не меньше $u^{3k-3}/2$. Теперь утверждение следует из того, что $8$ делит $q^2-1$. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 2.11 \rm[17,\,18]} Предположим, что $x$, $y$, и $k$~--- ненулевые целые числа. Если $x^2+x+1=y^k$, то либо $k=1$, либо $k=3$ и $(x,y)\in\{(18,7), (-19,7)\}$. Если $x^2+x+1=3y^k$, то $k\leq 2$. \endproclaim \proclaim{Lemma 2.12} Предположим, что $q$~--- степень нечетного простого числа и $\varepsilon\in\{+,-\}$. Если $k_6(\varepsilon{q})=r^m$, где $r\in\{7, 31\}$ и $m$~--- натуральное число, то $$(r, m,\varepsilon{q})\in\{(7,1,5),(7,1,3),(7,3,19),(31,1,-5)\}. $$ \endproclaim \demo{Proof} Используя равенство~(1), находим, что $$ k_6(\varepsilon{q})=\frac{q^2-\varepsilon{q}+1}{(q+\varepsilon{1},3)}. $$ Пусть $k_6(\varepsilon{q})=r^m$, где $r\in\{7,31\}$. Если $(q+\varepsilon1,3)=3$, то $3r^m=q^2-\varepsilon{q}+1=(\varepsilon{q}-1)^2+(\varepsilon{q}-1)+1$. По \Par*{Lemma~2.11} находим, что $m=1$ или $m=2$. Поскольку $r=7$ или $r=31$, заключаем, что $(r,m,\varepsilon{q}-1)\in\{(7,1,4), (7, 1,-5)\}$. По предположению $q$ нечетно, поэтому возможен только случай $r=7$ и $\varepsilon{q}=5$. Пусть теперь $(q+\varepsilon1,3)=1$. Тогда $$ r^m=q^2-\varepsilon{q}+1=(\varepsilon{q}-1)^2+(\varepsilon{q}-1)+1. $$ По \Par*{Lemma~2.11} верно, что либо $m=3$ и $\varepsilon{q}-1\in\{18,-19\}$, либо $m=1$. Если $m=3$ и $\varepsilon{q}-1\in\{18,-19\}$, то $r=7$, $\varepsilon{q}=19$. Наконец, если $m=1$, то $(r,\varepsilon{q}-1)\in\{(7,2), (7-3), (31,5), (31,-6)\}$. Поскольку $q$ нечетно, получаем, что $(r,\varepsilon{q})\in\{(7,3), (31,-5)\}$. \qed\enddemo Далее для линейных и унитарных групп над полем порядка $q$ мы часто используем стандартное обозначение $L^\varepsilon_n(q)$, где $\varepsilon\in\{+, -\}$, т.~е. $L^+_n(q)=L_n(q)$ и $L^-_n(q)=U_n(q)$. Следуя~[6], через $\operatorname{prk}L$ будем обозначать размерность группы $L$, если $L$~--- линейная или унитарная группа, и лиев ранг группы $L$ в случае симплектических или ортогональных групп. Наименьшее общее кратное элементов спектра $\omega(G)$ равно периоду группы $G$ и обозначается через $\exp(G)$. Для простого числа $r\in\pi(G)$ период силовской $r$-подгруппы группы $G$ обозначается через $\exp_r(G)$, а наименьшее общее кратное элементов $\omega(G)$, взаимно простых с $r$, обозначается через $\exp_{r'}(G)$. \proclaim{Lemma~2.13 \rm[19, Corollary~0.5]} Предположим, что $L$~--- простая классическая группа над полем характеристики $p$. Пусть $p^\gamma>\operatorname{prk}L-1$, если $L$ линейная или унитарная, и $p^\gamma>2\operatorname{prk}L-1$ в противном случае. Тогда $\exp_p(L)\leq p^\gamma$. \endproclaim \proclaim{Lemma~2.14 \rm[20, Lemma 3.5]} Пусть $u$~--- степень простого числа $v$. Тогда справедливы следующие утверждения. \Item (a) Если $S=L_n^\tau(u)$, где $\tau\in\{+,-\}$ и $n\geq 3$, то $$ \exp_{v'}(S)=\frac{1}{c}\cdot\prod\limits_{i=1}^n\Phi_i(\tau u), $$ где $c=r\in\pi(u-\tau1)$, если $n=r^s$, и $c=1$ иначе. \Item (b) Если $S=S_{2n}(u)$ или $S=O_{2n+1}(u)$ при $n\geq 2$, то $$ \exp_{v'}(S)=\frac{1}{c}\cdot\prod\limits_{i=1}^n\Phi_i(u^2), $$ где $c=(2,u-1)^2$, если $n=2^s$, и $c=(2,u-1)$ иначе. \Item (c) Если $S=O^\epsilon_{2n}(u)$, где $\epsilon\in\{+,-\}$ и $n\geq 4$ четно, то $$ \exp_{v'}(S)=\exp_{v'}(O_{2n-\epsilon1}(q)). $$ \Item (d) Если $S=O^\epsilon_{2n}(u)$, где $\epsilon\in\{+,-\}$ и $n\geq 4$ нечетно, то $$ \exp_{v'}(S)=\frac{\Phi_{n}(\epsilon u)}{(2,u-1)}\prod\limits_{i=1}^{n-1}\Phi_i(u^2). $$ \endproclaim \proclaim{Proposition 2.15} Предположим, что $S$~--- простая классическая группа над полем характеристики $v$ и порядка $u$ такая, что $5\leq t(S)\leq 14$. Тогда $$ \frac{1}{\alpha(S)}\cdot v\cdot u^{\gamma(S)}\leq \exp(S)\leq \beta(S)\cdot v\cdot u^{\gamma(S)}, $$ где числа $\alpha(S), \beta(S)$ и $\gamma(S)$ указаны в \Tab*{Table~{\rm1}}. \endproclaim %%%%4946t1 \Table %[A:L] %[LR:0.5] \name{Table 1} %\float \small \caption{Оценки для $\exp(S)$, когда $5\leq t(S)\leq 14$} \top{&{$S$}&{$(\alpha(S),\beta(S),\gamma(S))$}&{$S$}&{$(\alpha(S),\beta(S),\gamma(S))$}} \row{&{$L^\pm_{9}$}&{$(32, 86, 28)$}&{$L^\pm_{19}$}&{$(1081, 1821, 120)$}} \row{&{$L^\pm_{10}$}&{$(6, 64, 32)$}&{$L^\pm_{20}$}&{$(76, 1922, 128)$}} \row{&{$L^\pm_{11}$}&{$(118, 143, 42)$}&{$L^\pm_{21}$}&{$(152, 4046, 140)$}} \row{&{$L^\pm_{12}$}&{$(15, 157, 46)$}&{$L^\pm_{22}$}&{$(76, 2832, 150)$}} \row{&{$L^\pm_{13}$}&{$(370, 342, 58)$}&{$L^\pm_{23}$}&{$(3490, 5934, 172)$}} \row{&{$L^\pm_{14}$}&{$(15, 247, 64)$}&{$L^\pm_{24}$}&{$(203, 6203, 180)$}} \row{&{$L^\pm_{15}$}&{$(29, 531, 72)$}&{$L^\pm_{25}$}&{$(2023, 12946, 200)$}} \row{&{$L^\pm_{16}$}&{$(57, 569, 80)$}&{$L^\pm_{26}$}&{$(203, 8990, 212)$}} \row{&{$L^\pm_{17}$}&{$(968, 1214, 96)$}&{$L^\pm_{27}$}&{$(1214, 18699, 230)$}} \row{&{$L^\pm_{18}$}&{$(29, 860, 102)$}&{$L^\pm_{28}$}&{$(540, 19419, 242)$}}[_] \row{&{$S_{10}$, $O_{11}$, $O_{12}^+$}&{$(5, 20, 20)$}&{$S_{32}$, $O_{33}$, $O^-_{32}$}&{$(21, 90, 160)$}} \row{&{$S_{12}$, $O_{13}$, $O^-_{12}$}&{$(4, 16, 24)$}&{$S_{34}$, $O_{35}$, $O^+_{36}$}&{$(16,135, 192)$}} \row{&{$S_{14}$, $O_{15}$, $O^+_{16}$}&{$(5, 29, 36)$}&{$S_{36}, O_{37}$, $O^-_{36}$}&{$(11,108, 204)$}} \row{&{$S_{16}$, $O_{17}$, $O^-_{16}$}&{$(10, 29, 44)$}&{$O^{\pm}_{10}$}&{$(7, 24, 16)$}} \row{&{$S_{18}$, $O_{19}$, $O^+_{20}$}&{$(8, 49, 56)$}&{$O^{\pm}_{14}$}&{$(7, 37, 30)$}} \row{&{$S_{20}$, $O_{21}$, $O^-_{20}$}&{$(5, 39, 64)$}&{$O^{\pm}_{18}$}&{$(10, 65, 50)$}} \row{&{$S_{22}$, $O_{23}$, $O^+_{24}$}&{$(8, 63, 84)$}&{$O^\pm_{22}$}&{$(10, 85, 74)$}} \row{&{$S_{24}$, $O_{25}$, $O^-_{24}$}&{$(8, 63, 92)$}&{$O^\pm_{26}$}&{$(16, 135, 104)$}} \row{&{$S_{26}$, $O_{27}$, $O^+_{28}$}&{$(12, 98, 116)$}&{$O^\pm_{30}$}&{$(16, 167,136)$}} \row{&{$S_{28}$, $O_{29}$, $O^-_{28}$}&{$(8, 78, 128)$}&{$O_{34}^\pm$}&{$(21, 190, 176)$}} \row{&{$S_{30}$, $O_{31}$, $O^+_{32}$}&{$(11, 90, 144)$}&{$O_{38}^\pm$}&{$(21, 228, 222)$}} \endTable \Table %[A:L] %\? надо выравнивать, или просто [LR:0.5] \name{Table 2} %\float \small \caption{Коклики наибольшего размера в $GK(L)$ с $t(L)\geq 5$} \top{&{$L$}&{Условия}&{$t(L)$}&{$E(L)$}&{$J(L)\setminus E(L)$}} \row{&{$U_n(q)$}&{$n\geq 9$ нечетно\\$n\geq 10$ четно}&{$\frac{n+1}{2}$\\$\frac{n}{2}$}&{$\{i\mid \frac{n}{2}2$}&{$5$}&{$\{8,5,10,12\}$}&{$\{3, 6\}$}} \row{&{}&{$n\geq 10$, $n\equiv{2}\pmod 4$}&{$\frac{3n+2}{4}$}&{$\{i\mid \frac{n}{2}<\eta(i)\leq n\}$}&{$\{\frac{n}{2}, n-2, n\}$}} \row{&{}&{$n\geq 7$, $n\equiv{3}\pmod 4$ и\\$q\neq2$}&{$\frac{3n+3}{4}$}&{$\{i\mid \frac{n-1}{2}\leq \eta(i)\leq n$,\\$i\neq n,\frac{n-1}{2}\}$}&{$\varnothing$}} \row{&{}&{$n=7$, $q=2$}&{$5$}&{$\{5,10,12,14\}$}&{$\{3,8\}$}} \endTable \demo{Proof} Будем использовать, что $\exp(S)=\exp_v(S)\cdot\exp_{v'}(S)$, и оценим каждый из этих множителей. Предположим, что $S=L_{m}^\tau(u)$, где $\tau\in\{+,-\}$. Тогда получаем, что $9\leq m\leq 28$ (см. \Tab*{Table~2}). По \Par*{Lemma~2.13} число $\exp_v(S)$ не превосходит минимальной степени $v$, большей $m-1$, и, следовательно, $v\leq \exp_v(S)\leq (m-1)v$. По \Par*{Lemma~2.14} $$ \exp_{v'}(S)=\frac{1}{c}\cdot\prod\limits_{i=1}^m\Phi_i(\tau u), $$ где $c=r\in\pi(u-\tau1)$, если $m=r^s$, и $c=1$ в противном случае. Тогда $1\leq c$ и $c\leq 3,11,13,2,17,19,23,5,3$, если $m=9,11,13,16,17,19,23,25,27$ соответственно. Будем использовать следующие оценки для произведений круговых многочленов. Если $s\geq 1$, то $$ \prod\limits_{k=0}^s\Phi_{2^k}(x)=x^{2^s}-1 $$ и тем самым $$ \frac{3}{4}u^{2^s}\leq \prod\limits_{k=0}^s\Phi_{2^k}(\tau u)2^{t^s-t^{s-1}-1}. $$ Более того, из \Par*{Lemma~2.4}\itm(a) следует, что $$ \Phi_{t^s}(\tau{u})\Phi_{2t^s}(\tau{u})=\Phi_{t^s}(u^2)=1+u^{2t^{s- 1}}+\dots+u^{2(t-1)t^{s-1}}. $$ Поскольку $u^2\geq 4$, \Par*{Lemma~2.4}\itm(d) влечет, что $$ u^{2t^{s-1}(t-1)}<\Phi_{t^s}(\tau{u})\Phi_{2t^s}(\tau{u})<\frac{4}{3}u^{2t^{s- 1}(t-1)}. $$ Для оставшихся многочленов используем следующие неравенства: $$ \align &\frac{3}{4}u^4<\Phi_{12}(\tau{u})=u^4-u^2+1v\cdot\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^3\cdot \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2u^{46} =\frac{9}{128}vu^{46}>\frac{1}{15}vu^{46} $$ и $$\exp(S)<11v\cdot \Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^22^3u^{46}<157vu^{46}. $$ Предположим, что $S\in\{S_{2m}(u), O_{2m+1}(u), O^+_{2m+2}(u)\}$, где $m$ нечетно и $5\leq m\leq 17$. По \Par*{Lemma~2.13} получаем, что $v\leq \exp_v(S)\leq (2m+1)v$. По \Par*{Lemma~2.14}\itm(b),\,(c) $$ \exp_v(S)=\frac{1}{c}\cdot\prod\limits_{i=1}^m\Phi_i(u^2), $$ где $c\leq 4$, если $n=2^s$, и $c\leq 2$ в противном случае. Оценим $\Phi_i(u^2)$ следующим образом. Во-первых, воспользуемся тем, что $$ \prod\limits_{k=0}^s\Phi_{2^k}(u^2)=u^{2^s}-1, $$ поэтому это произведение меньше $u^{2^s}$ и не меньше $\frac{15}{16}u^{2^s}$ для всех $s\geq 2$. Поскольку $u^2\geq 4$, из \Par*{Lemma~2.4} следует, что $$ \frac{2}{3}u^{2\varphi(i)}<\Phi_i(u^2)<\frac{4}{3}u^{2\varphi(i)}. $$ Используем эти неравенства, если $i=t^s$, где $t$~--- нечетное простое число и $2i>m$. Если $i=t^s$ и $2i\leq m$, то $$ \Phi_i(u^2)\Phi_{2i}(u^2)=\Phi_i(u^4)=1+u^4+\dots+u^{4\varphi(i)} >u^{4\varphi(i)} $$ и, поскольку $u^4\geq 16$, получаем, что $\Phi_i(u^2)\Phi_{2i}(u^2)<\frac{16}{15}u^{4\varphi(i)}$. Оставшиеся две оценки для этого случая: $$ \align &\frac{15}{16}u^{8}<\Phi_{12}(u^2)=u^8-u^4+1n$, и $\frac{\varphi(s,L)}{\varphi(r,L)}$ не является целым числом. \Item (b) Если $L\in\{O_{2n+1}(q), S_{2n}(q)\}$, то $r$ и $s$ не смежны в $GK(L)$ тогда и только тогда, когда $\varphi(r,L)+\varphi(s,L)>n$, и $\frac{l}{k}$ не является нечетным целым числом. \Item (c) Если $L=O^\varepsilon_{2n}(q)$, то $r$ и $s$ не смежны в $GK(L)$ тогда и только тогда, когда $2\varphi(r,L)+2\varphi(s,L)>2n-(1-\varepsilon(-1)^{k+l})$, $\frac{l}{k}$ не является нечетным целым числом, и если $\varepsilon = +$, то цепочка равенств $n=l=2\varphi(s,L)=2\varphi(r,S)=2k$ неверна. \endproclaim В~некоторых случаях удобнее использовать следствие критерия смежности. \proclaim{Lemma 3.3 \rm[6, Lemma 2.4]} Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$, и пусть $\operatorname{prk}L= n\geq 4$. \Item (a) Если $r\in\pi(L)\setminus\{p\}$, то $\varphi(r, L)\leq n$. \Item (b) Если $r$ и $s$~--- различные простые числа из $\pi(L)\setminus\{p\}$, причем $\varphi(r, L)\leq n/2$ и $\varphi(s, L)\leq n/2$, то $r$ и $s$ смежны в $GK(L)$. \Item (c) Если $r$ и $s$~--- различные простые числа из $\pi(L)\setminus\{p\}$, причем $n/2<\varphi(r, L)\leq n$ и $n/2<\varphi(s, L)\leq n$, то $r$ и $s$ смежны в $GK(L)$ тогда и только тогда, когда $e(r, q) = e(s, q)$. \Item (d) Если $r$ и $s$~--- различные простые числа из $\pi(L)\setminus\{p\}$ и $e(r, q) = e(s, q)$, то $r$ и $s$ смежны в $GK(L)$. \endproclaim Следующая лемма является аналогом [6, Lemma~2.7], сформулированным при новых ограничениях на $L$. \proclaim{Lemma 3.4} Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$, и пусть $t(L)\geq 5$. \Item (a) Если $\varphi(r,L)\geq n/2$, то $r$ является большим относительно~$L$. \Item (b) Если $r$ большое относительно~$L$, то $\varphi(r,L)\geq n/2-1$. \Item (c) Если $r$ большое относительно~$L$, то $$ \varphi(r,L)\geq \cases t(L), &\text{если }L\text{ линейная или унитарная};\\ (2t(L)-4)/3, &\text{если }L\text{ симплектическая или ортогональная}. \endcases $$ \Item (d) Если $\rho$~--- коклика в~$GK(L)$ и $n/2<\varphi(r,L)$ для каждого $r\in\rho$, то $GK(L)$ имеет коклику $\sigma$ размера $t(L)$ с $\rho\subseteq\sigma$. \endproclaim \demo{Proof} Все пункты могут быть проверены с помощью [25, Tables~2 and~3]. \qed\enddemo \proclaim{Lemma~3.5} Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$. Тогда $t(p,L)\leq 4$. Более того, предположим, что $\operatorname{prk}L\geq 8$, если $L$~--- линейная или унитарная группа, и $\operatorname{prk}L\geq 5$ в противном случае. Тогда справедливы следующие утверждения. \Item (a) Если $r$ не смежно с $p$ в $GK(L)$, то $r$ является большим относительно $L$. \Item (b) Если $L$~--- линейная или унитарная группа, то $t(p,L)=3$. \Item (c) Если $t(p,L)=2$, то $L\in\{O_{2n+1}(q), S_{2n}(q)\}$, где $n$~--- четное целое число. \endproclaim \demo{Proof} Обозначим $n=\operatorname{prk}L$. Значения $t(p,L)$ можно найти в [23, Table~4]. Предположим, что $r\in\pi(L)$ не смежно с $p$ в $GK(L)$. По [23, Proposition~3.1] находим, что $\varphi(r,L)>n-2$, если $L=L_n^\varepsilon(q)$ или $L=O_{2n}^\pm(q)$, и $\varphi(r,L)>n-1$, если $L=O_{2n+1}(q)$ или $L=S_{2n}(q)$. По \Par*{Lemma~3.4} получаем, что $r$ является большим по отношению к $L$. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 3.6 \rm[6, Lemma 2.3]} Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$. Если $r$~--- нечетное простое число из $\pi(L)\setminus\{p\}$, то $\varphi(r,L)$ делит $r-1$, а если $L$~--- симплектическая или ортогональная группа, то $2\varphi(r, L)$ делит $r-1$. \endproclaim \proclaim{Lemma 3.7 \rm[26, Lemma 1.3]} Предположим, что $S$~--- простая классическая группа лиева ранга $m$ над полем порядка $u$. Тогда порядки элементов группы $S$ не превосходят $\frac{u}{u-1}u^m$. \endproclaim Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$. Для $\sigma\subseteq\pi(L)\setminus\{p\}$ положим $E(\sigma,L)=\{e(r,-q)~|~r\in\sigma\}$, если $L$~--- унитарная группа, и $E(\sigma,L)=\{e(r,q)~|~r\in\sigma\}$ в противном случае. По \Par*{Lemma~3.5} верно, что $t(p, L)\leq 4$, поэтому если $t(L)\geq 5$, то любая коклика $\rho$ наибольшего размера в $GK(L)$ не содержит $p$ и, следовательно, множество $E(\rho, L)$ корректно определено. Определим $J(L)$ как объединение множеств $E(\rho, L)$, а $E(L)$~--- как пересечение этих множеств, где $\rho$ пробегает все коклики наибольшего размера из $GK(L)$. Следующая лемма является аналогом [6, Lemma~2.5] при новых ограничениях на $L$. \proclaim{Lemma 3.8} Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$, и пусть $t(L)\geq 5$. Пусть $\rho$~--- коклика наибольшего размера в~$GK(L)$. Если $J(L)=E(L)$, то $E(\rho,L)=E(L)$. Если $J(L)\neq E(L)$, то $E(\rho,L)=E(L)\cup\{j\}$ для некоторого $j\in J(L)\setminus E(L)$. В~частности, $|E(L)|\leq t(L)\leq |E(L)|+1$. Множества $E(L)$, $J(L)\setminus E(L)$ и числа $t(L)$ перечислены в \Tab*{Table~{\rm2}}. \endproclaim \demo{Proof} См. [25, Tables~2 and~3]. Отметим, что [25, Table~3] содержит опечатку для $L=O_{12}^-(q)$, поскольку $r_4(q)$ и $r_{12}(q)$ смежны в $GK(L)$ по \Par*{Lemma~3.2}\itm(c). \qed\enddemo \proclaim{Lemma 3.9} Предположим, что $L=L_n^\varepsilon(q)$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$ и $t(L)\geq 5$. Тогда справедливы следующие утверждения. \Item (a) Если $r\in R_i(\varepsilon{q})$, где $2\leq in/2>i$. Из \Par*{Lemma~3.2}\itm(a) следует, что $s$ не смежно с $r$ тогда и только тогда, когда $j\in J=\{n,n-1,\dots,n-i+1\}$ и $j$ не делится на $i$. Очевидно, что в $J$ существует хотя бы одно целое число, делящееся на $i$. Значит, существует не более $i-1$ вариантов для $j$ и поэтому $t(r,L)\leq i$. Предположим теперь, что $i>n/3$. Заметим, что если $j\in J$, то $r_j(\varepsilon{q})$ большое относительно $L$ согласно \Tab*{Table~2}, поэтому соответствующие простые числа для $J$ вместе с $r$ образуют коклику в $GK(L)$. Очевидно, что $2i$~--- единственное целое число, делящееся на $i$ среди элементов $J$. Следовательно, если $R_j(\varepsilon{q})\neq\varnothing$ для всех $j\in J$, то $t(r,L)=i$. Согласно \Tab*{Table~2} остается рассмотреть случаи $L=L_{11}(2)$ и $L_{12}(2)$. В~этих случаях $R_6(2)=\varnothing$ и $i=4,5$. Однако $6$ не принадлежит множеству $\{n-i+1,\dots,n\}$, так что снова $t(r,L)=i$, как и заявлено. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 3.10 \rm[6, Lemma 2.13]} Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$. Пусть $k$ и $l$~--- целые числа, $k\geq 0$, $l>0$, и $\delta=\delta(L)$. Для $j=1,\dots,l$ предположим, что попарно различные простые числа $r_j$ лежат в $\pi(L)\setminus(\delta\cup\{p\})$. Положим $\varepsilon=-$, если $L$~--- унитарная группа, и $\varepsilon=+$ в противном случае. Обозначим $i_j=e(r_j,\varepsilon{q})$. Произведение $p^k r_1r_2\cdots r_l$ лежит в $\omega(L)$ тогда и только тогда, когда $\delta'$-часть числа $p^k a$ лежит в $\omega(L)$, где $$ a=\cases [q^{i_1}-(\varepsilon1)^{i_1},q^{i_2}-(\varepsilon1)^{i_2},\dots,q^{i_l}- (\varepsilon1)^{i_l}], \text{ если }L=L_n^\varepsilon(q), \\ [q^{\eta(i_1)}+(-1)^{i_1},q^{\eta(i_2)}+(-1)^{i_2},\dots,q^{\eta(i_l)}+(- 1)^{i_l}]\text{ иначе}. \endcases $$ В~частности, если $i_1,i_2,\dots,i_l$ больше $2$ и попарно различны, то $p^kr_1r_2\cdots r_l\in\omega(L)$ тогда и только тогда, когда $p^k k_{i_1}(\varepsilon{q})k_{i_2}(\varepsilon{q})\cdots k_{i_l}(\varepsilon{q})\in\omega(L)$. \endproclaim \proclaim{Lemma 3.11 \rm[6, Lemma 3.8]} Для простой классической группы $L$ над полем порядка $q$ и характеристики $p$ с $\operatorname{prk}(L)=n\geq 4$ положим $$j=\cases n,&\text{если }L\simeq L_n(q);\\ 2n-2,&\text{если либо }L\simeq{O}^+_{2n}(q),\text{ либо }L\simeq U_n(q)\text{ и }n\text{ четно},\\ 2n,&\text{в противном случае}. \endcases $$ Тогда $(k_j(q),|P|)=1$ для любой собственной параболической подгруппы $P$ группы $L$. Если $i\neq j$ и примитивный простой делитель $r_i(q)$ принадлежит $\pi(L)$, то существует собственная параболическая подгруппа $P$ группы $L$ такая, что $k_i(q)$ принадлежит $\omega(P)$. В~частности, если два различных простых числа $r,s\in\pi(L)$ не делят порядок никакой собственной параболической подгруппы группы~$L$, то $r$ и $s$ смежны в $GK(L)$. \endproclaim \proclaim{Lemma 3.12 \rm[6, Lemma 3.5]} Пусть $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и характеристики $p$, $r\in\pi(L)$, $r^s\in\omega(P)$, где $P$~--- собственная параболическая подгруппа группы $L$, и $(r,6p(q+1))=1$. Если $L$ действует точно на векторном пространстве $V$ над полем характеристики $t$, отличной от $p$, то $tr^{s}\in\omega(V\rtimes L)$. \endproclaim \proclaim{Lemma 3.13} Предположим, что $L$~--- простая классическая группа над полем порядка $q$ и нечетной характеристики $p$. Если $t(L)\geq 5$ и $t(r,L)=2$, то $r$ делит $p(q^2-1)$. \endproclaim \demo{Proof} Предположим, что $r\in\pi(L)\setminus\{p\}$ и $r$ не делит $q^2-1$. Положим $i=\varphi(r,L)$, если $L$~--- линейная или унитарная группа, и $i=e(r,q)$, если $L$~--- симплектическая или ортогональная группа. Для доказательства утверждения покажем, что $t(r,L)>2$. Если $r$ является большим относительно~$L$, то $t(r, L)=t(L)\geq 5$. Поэтому можно считать, что $r$ мало относительно $L$. Предположим, что $L$~--- линейная или унитарная группа. Поскольку $(r,p(q^2-1))=1$, то $i\geq 3$. Согласно \Tab*{Table~2} видим, что $n\geq 9$ и $i\leq n/2$. Рассмотрим простые числа $s_j$ для $0\leq j\leq 2$ такие, что $\varphi(s_j,L)=n-j$. Тогда $\varphi(s_j,L)\geq n-2>\frac{n}{2}\geq i$. Поскольку $i\geq 3$, не более одного числа из~$n$, $n-1$, $n-2$ делится на~$i$. Из \Par*{Lemma~3.2}\itm(a) следует, что $r$ не смежно по крайней мере с двумя простыми числами из $\{s_0,s_1,s_2\}$ и, более того, множество $\{s_0,s_1,s_2\}$ является кокликой в $GK(L)$. Следовательно, получаем, что $t(r,L)\geq 3$. Предположим, что $L\simeq\{ O_{2n+1}(q), S_{2n}(q)\}$. Поскольку $(r,p(q^2-1))=1$, то $i\geq 2$. Согласно \Tab*{Table~2} видим, что $n\geq 5$. По \Par*{Lemma~3.4}\itm(a) получаем, что $in/2$ и $\varphi(s_2,L)>n/2$. Значит, $s_1$ и $s_2$ нечетны во всех случаях. Из \Par*{Lemma~3.1} следует, что $s_1,s_2\in\pi(S)$. По \Par*{Lemma~3.1} верно, что $t(S)\geq 4$. Значит, $S\neq L_2(v)$ согласно [25, Table~2]. Тогда силовские $\{v\}$-подгруппы группы $S$ нециклические и, следовательно, если $v=s_1$ или $v=s_2$, то $rs_1\in\omega(G)\setminus\omega(L)$ или $rs_2\in\omega(G)\setminus\omega(L)$ (см., например, [22, Lemma~2.13]). Поэтому можно считать, что $s_1,s_2\neq v$. Из \Par*{Lemma~3.11} следует, что $s_1$ или $s_2$ делит порядок собственной параболической подгруппы группы $S$. По [22, Lemma~2.16] получаем, что $rs_1\in\omega(G)\setminus\omega(L)$ или $rs_2\in\omega(G)\setminus\omega(L)$; противоречие. Следовательно, верно, что $t(r,L)=2$. По \Par*{Lemma~3.13} получаем, что $r$ делит $p(q^2-1)$, что и требовалось показать. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 4.2} Предположим, что простое число $r\neq p$ делит $|\overline{G}/S|$. \Item (a) Если существует целое число $i\geq 3$ такое, что $k_i(\varepsilon{q})$ взаимно просто с $|\overline{G}/S|\cdot|K|\cdot v$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$, и для каждого $r_i\in R_i(\varepsilon{q})$ верно, что $\varphi(r_i, S)>m/2$ и $rr_i\notin\omega(L)$, то $r$ делит $k_i(\varepsilon{q})-1$. \Item (b) Если существуют различные $i$ и $j$ такие, что $i,j\geq 3$ и $\{r, r_i(\varepsilon{q}), r_j(\varepsilon{q})\}$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$, является кокликой размера $3$ в $GK(L)$, то $r$ делит $(k_i(\varepsilon{q})-1)(k_j(\varepsilon{q})-1)$. \endproclaim \demo{Proof} Предположим, что существует $i\geq 3$ такое, что $k_i(\varepsilon{q})$ взаимно просто с $|\overline{G}/S|\cdot|K|\cdot v$ и для каждого $r_i\in R_i(\varepsilon{q})$ верно, что $\varphi(r_i, S)>m/2$ и $rr_i\notin\omega(L)$. По \Par*{Lemma~3.3}\itm(c) заключаем, что $e(r_i, u)$ одинаково для всех $r_i\in R_i(\varepsilon{q})$. Положим $t=e(r_i, u)$ и заметим, что $S$ имеет циклическую холлову подгруппу порядка $k_t(u)$ по [6, Lemma~2.12]. Пусть $s\in\pi(k_i(\varepsilon{q}))$ и $P\in Syl_s(S)$. По аргументу Фраттини число $r$ делит $|N_{\overline{G}}(P)|$. Выберем $x\in N_{\overline{G}}(P)$ так, чтобы $|x|=r$. Тогда $P\langle x\rangle$~--- группа Фробениуса с ядром $P$ и дополнением $\langle x\rangle$ и, следовательно, $|P|\equiv1\pmod{r}$. Мы знаем, что $(s, |\overline{G}/S|\cdot|K|)=1$, поэтому силовские $s$-подгруппы групп $G$ и $S$ изоморфны. Поскольку $s$~--- произвольный элемент множества $\pi(k_i(\varepsilon{q}))$, получаем, что $k_i(\varepsilon{q})-1$ делится на $r$. Предположим, что существуют различные $i$ и $j$ такие, что $i,j\geq 3$ и $\{r, r_i(\varepsilon{q}), r_j(\varepsilon{q})\}$~--- коклика в $GK(L)$. Тогда $3\notin\{r_i(\varepsilon{q}), r_j(\varepsilon{q})\}$. Поскольку $r$ делит $|\overline{G}/S|$, из \Par*{Lemma~3.1} следует, что $(k_i(\varepsilon{q})k_j(\varepsilon{q}), |\overline{G}/S|\cdot|K|)=1$ и тем самым $R_j(\varepsilon{q})\cup R_i(\varepsilon{q})\subseteq\pi(S)$. Покажем, что существует $\ell\in\{i,j\}$ такое, что если $r_\ell\in R_\ell(\varepsilon{q})$, то $r_\ell\neq v$ и $\varphi(r_\ell, S)>m/2$. Сначала предположим, что $v\in R_i(\varepsilon{q})\cup R_j(\varepsilon{q})$. Без ограничения общности пусть $r_i=v$. Тогда, поскольку $r_i$ и $r_j$ не смежны в $GK(S)$, используя~[23, Table~4], находим, что $\varphi(r_j,S)>m/2$, поэтому можно взять $\ell=j$. Если $v\notin R_i(\varepsilon{q})\cup R_j(\varepsilon{q})$ и хотя бы для одного $r_i\in R_i(\varepsilon{q})$ верно, что $\varphi(r_i,S)\leq m/2$, то по \Par*{Lemma~3.3}\itm(b) для каждого $r_j\in R_j(\varepsilon{q})$ верно неравенство $\varphi(r_j,S)>m/2$. Следовательно, число $j$ удовлетворяет условию п.~(a) и поэтому $r$ делит $k_j(\varepsilon{q})-1$. \qed\enddemo \proclaim{Proposition 4.3} Предположим, что $L=L^\varepsilon_n(q)$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$. Если $r_i=r_i(\varepsilon{q})\in\pi(\overline{G}/S)$ и $4\leq i\leq n$, то выполняется одно из следующих утверждений: \Item (a) $i=4$ и либо $r_i=61$ и $11\leq n\leq 12$, либо $r_i=5$ и $9\leq n\leq 12$, либо $n\geq 13$; \Item (b) $i=5$ и либо $n\geq 23$, либо $r_i=11$ и $n\in\{13,21,22\}$; \Item (c) $i=6$, $r_i=31$, $n=9$, $(q-\varepsilon{1},5)=5$, и $\varphi(s, S)\leq m/2$ для некоторого $s\in R_8(\varepsilon{q})$; \Item (d) $i=6$, $r_i=7$, $11\leq n\leq 13$, $(q+\varepsilon{1},5)=5$, $(q-\varepsilon{1},11)=11$, и $\varphi(s, S)\leq m/2$ для некоторого $s\in R_8(\varepsilon{q})$; \Item (e) $i=6$ и $n\geq 14$. \endproclaim \demo{Proof} Поскольку $5\leq t(L)\leq 13$, согласно \Tab*{Table~2} получаем $9\leq n\leq 26$. Пусть $j$~--- целое число и $3\leq j\leq n$. Обозначим через $r(j)$ наибольший простой делитель числа $j$, а через $d(j)$~--- число $(r(j),\Phi_{j_{\{r(j)\}'}}(\varepsilon{q}))$. Рассмотрим многочлен $f_j(x)=\frac{1}{d(j)}\cdot\Phi_j(x)-1$. В~силу равенства~(1) и \Par*{Lemma~2.4}\itm(c) получаем, что $f_j(\varepsilon{q})=k_j(\varepsilon{q})-1$. Предположим, что $\Phi_i(x)$ и $f_j(x)$ взаимно просты как элементы ${\Bbb Q}[x]$. Тогда согласно расширенному алгоритму Евклида существуют единственные многочлены $u_j(x),v_j(x)\in{\Bbb Q}[x]$ такие, что $u_j(x)\Phi_i(x)+v_j(x)f_j(x)=1$, $\deg u_j<\deg f_j$ и $\deg v_j<\deg\Phi_i$. Следовательно, существует положительное целое число $c(j)$ такое, что $c(j)u_j(x)\in{\Bbb Z}[x]$ и $c(j)v_j(x)\in{\Bbb Z}[x]$, поэтому $c(j)u_j(x)\Phi_i(x)+c(j) v_j(x)f_j(x)=c(j)$. Предположим, что существуют различные целые числа $j_1$ и $j_2$ такие, что $3\leq j_1,j_2\leq n$ и $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}), r_{j_2}(\varepsilon{q})\}$~--- коклика размера~3 в $GK(L)$. По \Par*{Lemma~4.2} получаем, что $r_i$ делит $(k_{j_1}(\varepsilon{q})-1)(k_{j_2}(\varepsilon{q})-1)$. Это означает, что если $f_{j_1}(x)$ и $f_{j_2}(x)$ взаимно просты с $\Phi_i(x)$ в ${\Bbb Q}[x]$, то $r_i$ делит $c(j_1)c(j_2)$. Теперь докажем утверждение при $i\geq 7$. Для каждой пары $(i,n)$ в \Tab*{Table~3} перечислены либо две пары целых чисел $(j_1, c(j_1))$ и $(j_2,c(j_2))$, либо три пары целых чисел $(j_1, c(j_1))$, $(j_2, c(j_2))$ и $(j_3,c(j_3))$. В~первом случае пары выбираются так, что $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_2}(\varepsilon{q})\}$ является кокликой в $GK(L)$ и $\pi(c(j_1)c(j_2))\cap R_i(\varepsilon{q})=\varnothing$. Во втором случае пары выбираются так, что либо $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_2}(\varepsilon{q}), r_{j_3}(\varepsilon{q})\}$ является кокликой в $GK(L)$ и $\pi(c(j_1)c(j_2))\cap\pi(c(j_1)c(j_3))\cap \pi(c(j_2)c(j_3))\cap R_i(\varepsilon{q})=\varnothing$, либо $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_2}(\varepsilon{q})\}$ и $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_3}(\varepsilon{q})\}$ являются кокликами в $GK(L)$ и $\pi(c(j_1)c(j_2))\cap\pi(c(j_1)c(j_3))\cap R_i(\varepsilon{q})=\varnothing$. Предыдущее рассуждение показывает, что $r_i$ принадлежит соответствующим пересечениям, поэтому эти пары чисел противоречат существованию $r_i$. %%%%%%%4946t3 Все проверки выполняются понятным образом: если имеются пары $(j_1,c(j_1))$, $(j_2,c(j_2))$ для фиксированных $i$ и $n$, то чтобы убедиться, что $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_2}(\varepsilon{q})\}$ --- коклика в $GK(L)$, достаточно проверить, что числа $i$, $j_1$ и $j_2$ не делят друг друга и что $i+j_1>n, i+j_2>n, j_1+j_2>n$ по \Par*{Lemma~3.2}. Аналогичная проверка проводится в случае трех индексов $j_1$, $j_2$ и $j_3$. Теперь, как упомянуто выше, расширенный алгоритм Евклида дает единственные многочлены $u_{j_1}(x)$, $u_{j_2}(x)$, $v_{j_1}(x)$, $v_{j_2}(x)$ и нам остается только проверить, что перечисленные числа $c(j_1)$ и $c(j_2)$ удовлетворяют следующим условиям: $$ c(j_1)u_{j_1}(x), c(j_1)v_{j_1}(x), c(j_2)u_{j_2}(x), c(j_2)v_{j_2}(x)\in{\Bbb Z}[x]. $$ Заметим, что если ${j_1}_{\{r(j_1)\}'}$ делит $r(j_1)-1$ (и аналогично для $j_2$ и $j_3$), то нужно рассмотреть два случая: $d(j_1)=1$ и, следовательно, $f_{j_1}(x)=\Phi_{j_1}(x)-1$, или $d(j_1)=r(j_1)$ и тем самым $$ f_{j_1}(x)=\frac{1}{r(j_1)}\Phi_{j_1}(x)-1. $$ Числа $c(j_1)$ выбраны так, чтобы $c(j_1)u_{j_1}$, $c(j_1)v_{j_1}$ в обоих случаях были многочленами с целыми коэффициентами. В~качестве примера рассмотрим случай, когда $i=7$ и $9\leq n\leq 12$. Используем целые числа $j_1=8$, $j_2=6$ и $j_3=9$. Поскольку $6+7>12$ и $6,7,8,9$ не делят друг друга, множества $\{r_7, r_8(\varepsilon{q}), r_6(\varepsilon{q})\}$ и $\{r_7, r_8(\varepsilon{q}), r_9(\varepsilon{q})\}$ являются кокликами в $GK(L)$. Следовательно, $r_7$ делит $(k_8(\varepsilon{q})-1)(k_6(\varepsilon{q})-1)$ и $(k_8(\varepsilon{q})-1)(k_9(\varepsilon{q})-1)$. Поскольку $q$ нечетно, находим, что $d(8)=2$ и $k_8(\varepsilon{q})-1=\frac{1}{2}\Phi_8(\varepsilon{q})-1$. Легко видеть, что если $u(x):=\frac{1}{7}(2x^3+2x^2-5x+2)$ и $v(x):=\frac{1}{7}(-4x^5-8x^4+2x^3-2x^2-6x-10)$, то $$ u(x)\Phi_7(x)+v(x)\Bigl(\frac{1}{2}\Phi_8(x)-1\Bigr)=1. $$ %\?в таких случаях $r_5:$ это двоеточие или знак деления? Оставила как было, хотя больше нравится $:. %\?Очень странные еще матрицы \Table \name{Table 3} \caption{Индексы для линейных и унитарных групп} \col{& & & &} \row{&{$r_4:$\\$(j, c(j))$}&{$n=9,10$\\$(7,2\cdot5^2)$, $(9,2\cdot5)$}&{$n=11,12$\\$(9,2\cdot5)$, $(11,2\cdot61)$}&{}}[_] \row{&{$r_5:$}&{$n=9,10,11$}&{$n=12$}&{$n=13$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\(8,5),\ (7,5\cdot311),\\(9,5\cdot11)\endmatrix$}&{$(8,5)$, $(12,5)$}&{$(9,5\cdot 11)$, $(12,5)$}} \row{&{}&{$n=14,15,16$}&{$n=17,18$}&{$n=19,20$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\(12,5),\\(14,5\cdot3011),\\(13,5\cdot11^2\cdot41)\endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\(16,5),\\(14,5\cdot 3011),\\(17,5\cdot11\cdot31\cdot41)\endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\(16,5),\\(18,5\cdot31),\\(19,5\cdot11\cdot2251)\endmatrix$}} \row{&{}&{$n=21,22$}&{}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (21,5\cdot11^2), \\ (18,5\cdot31),\\(19,5\cdot11\cdot2251)\endmatrix$}&{}&{}}[_] \row{&{$r_6:$}&{$n=9$}&{$n=10$}&{$11\leq n\leq 13$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$(8,3)$, $(5,3\cdot31)$}&{$\matrix\format\l\\(8,3),\ (5,3\cdot31),\\(10,3\cdot7)\endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\ (8,3),\ (10,3\cdot7),\\(11,3\cdot7\cdot19) \endmatrix $}}[_] \row{&{$r_7:$}&{$9\leq n\leq 12$}&{$n=13,14$}&{$15\leq n\leq 18$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (8,7),\ (6,7\cdot127),\\ (9,7\cdot43)\endmatrix$}&{$(8,7)$, $(12,7)$}&{$(12,7)$, $(15,2\cdot7)$}} \row{&{}&{$19\leq n\leq 21$}&{$22\leq n\leq 24$}&{$n=25,26$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$(15,2\cdot7)$, $(16,7)$}&{$\matrix\format\l\\ (18,7\cdot127),\\(20,7\cdot43\cdot197),\\(19,7\cdot1723\cdot3529) \endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\(24,7), \\ (20,7\cdot43\cdot197),\\(23,7\cdot16968421) \endmatrix$}}[_] \row{&{$r_8:$}&{$9\leq n\leq 10$}&{$11\leq n\leq16$}&{$17\leq n\leq19$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (5,2\cdot97),\ (6,2\cdot17),\\(7,2\cdot1201)\endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\ (9,2\cdot17),\ (10,2\cdot97),\\(11,2\cdot3\cdot569)\endmatrix$}&{$(12,2)$, $(15,2)$}} \row{&{}&{$20\leq n\leq 22$}&{$23\leq n\leq 26$}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (15,2),\ (18,2\cdot17),\\(19,2\cdot41\cdot 1289) \endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\ (21,2\cdot5^2), \\(22,2\cdot3\cdot569),\\ (23,2\cdot139921) \endmatrix$}&{}}[_] \row{&{$r_9:$}&{$9\leq n\leq12$}&{$13\leq n\leq19$}&{$20\leq n\leq 23$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (8,3),\ (6,3\cdot73),\\(7,3\cdot109\cdot127)\endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\ (12,3), \\ (11,3\cdot333667), \\(13,3\cdot440677)\endmatrix$}&{$(15,3)$, $(16,3)$}} \row{&{}&{$24\leq n\leq 26$}&{}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (20,3\cdot4051),\\(21,3\cdot9811),\\(24,3)\endmatrix$}&{}&{}}[_] \row{&{$r_{10}:$}&{$10\leq n\leq 14$}&{$15\leq n\leq 21$}&{$22\leq n\leq 24$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (8,5),\ (9,5\cdot31),\\ (7,5\cdot3011)\endmatrix$}&{$(12,5)$, $(15,5)$}&{$(15,5)$, $(16,5)$}} \row{&{}&{$n=25,26$}&{}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (18,5\cdot11),\ (24,5),\\(23,5\cdot71\cdot3301)\endmatrix$}&{}&{}}[_] \row{&{$r_{11}:$}&{$11\leq n\leq16$}&{$17\leq n\leq22$}&{$23\leq n\leq24$}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\ (8,11),\ (9,11\cdot683),\\(10,11\cdot23\cdot199\cdot463)\endmatrix$}&{$(12,11)$, $(16,11)$}&{$\matrix\format\l\\ (16,11),\\ (18, 11\cdot23\cdot89),\\(14,11\cdot353\cdot361219)\endmatrix$}} \row{&{}&{$n=25,26$}&{}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$(16,11)$, $(24,11)$}&{}&{}}[_] \endTable %\? сделала двумя таблицами, но Вы когда-то делали такие разрывающиеся таблицы, у меня записано \Table %\name{Table 3} \caption{Окончание таблицы 3} \col{& & & &} %\top{&{}&{}&{}&{}} \row{&{$r_{12}:$}&{$12\leq n\leq 16$}&{$17\leq n\leq 26$}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$(8,3)$, $(9,2\cdot 5)$}&{$(15,3)$, $(16,3)$}&{}}[_] \row{&{$r_{13}$, $r_{14}$}&{$13\leq n\leq 19$}&{$20\leq n\leq 24$}&{$n=25,26$}} \row{&{$r_{15}$, $r_{17}$}&{}&{}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$(8,\ast)$, $(12,\ast)$}&{$(12,\ast)$, $(16,\ast)$}&{$(16,\ast)$, $(24,\ast)$}}[_] \row{&{$r_{16}:$}&{$16\leq n\leq 21$}&{$22\leq n\leq 26$}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$\matrix\format\l\\(12,2), (15,2\cdot17),\\(10, 2\cdot 7\cdot353)\endmatrix$}&{$\matrix\format\l\\ (15,2\cdot17), (20,2\cdot97),\\(18,2\cdot257)\endmatrix$}&{}} \row{&{$\matrix\format\l\\ r_{18}, r_{19},\\r_{20}, r_{21},\\r_{22}, r_{23},\\r_{25}, r_{26}\endmatrix:$} %\?запятые тоже остаются &{$18\leq n\leq 26$}&{}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$(12,\ast)$, $(16,\ast)$}&{}&{}}[_] \row{&{$r_{24}$}&{$24\leq n\leq 26$}&{}&{}} \row{&{$(j, c(j))$}&{$(15,5)$, $(16,3)$}&{}&{}} \endTable \noindent Поэтому можно взять $c(8)=7$. Это означает, что если $r_7$ делит $k_8(\varepsilon{q})-1$, то $r_7$ делит $7$. Поскольку $r_7\equiv 1\pmod7$, получаем, что $\pi(k_8(\varepsilon{q})-1)\cap R_7(\varepsilon{q})=\varnothing$. Теперь $k_6(\varepsilon{q})-1$ равно либо $\Phi_6(\varepsilon{q})-1$, либо $\frac{1}{3}\Phi_6(\varepsilon{q})-1$. В~первом случае получаем, что $u(x)\Phi_7(x)+v(x)(\Phi_6(x)-1)=1$ для $u(x):=\frac{1}{7}(-6x+7)$ и $v(x):=\frac{1}{7}(6x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1)$, а во втором случае видим, что $u(x)\Phi_7(x)+v(x)(\frac{1}{3}\Phi_6(x)-1)=1$ для $u(x):=\frac{1}{127}(-42x+85)$ и $v(x):=\frac{1}{127}(126x^5-3x^4+120x^3-15x^2+96x-63)$. Следовательно, если $r_7$ делит $k_6(\varepsilon{q})-1$, то $r_7$ делит $7\cdot 127$ и тем самым $r_7=127$. Аналогично $k_9(\varepsilon{q})-1$ равно либо $\Phi_9(\varepsilon{q})-1$, либо $\frac{1}{3}\Phi_9(\varepsilon{q})-1$. В~первом случае получаем, что $$ u(x)\Phi_7(x)+v(x)(\Phi_9(x)-1)=1 $$ для $u(x):=-x^4-x+1$ и $v(x):=x^4+x^3+x^2+x$, а во втором случае $$ u(x)\Phi_7(x)+v(x)\Bigl(\frac{1}{3}\Phi_9(x)-1\Bigr)=1 $$ для $$ u(x):=\frac{1}{7\cdot 43}(-38x^5-31x^4+46x^3-48x^2-55x+169) $$ и $$ v(x):=\frac{1}{7\cdot43}(114x^5+207x^4+69x^3+99x^2+171x-198). $$ Следовательно, если $r_7$ делит $k_9(\varepsilon{q})-1$, то $r_7$ делит $7\cdot 43$ и поэтому $r_7=43$. Приходим к противоречию, поскольку $r_7$ не может быть равно одновременно~127 и~43. Информация, которую можно использовать для воспроизведения этого рассуждения, представлена в \Tab*{Table~3}: добавляем пары $(8,7)$, $(6,7\cdot 127)$ и $(9,7\cdot 43)$ в ячейку, соответствующую $i=7$ и $9\leq n\leq 12$. Другие случаи проверяются аналогично. Явные значения многочленов $u(x)$ и $v(x)$ для всех случаев записаны в отдельных файлах для каждого $i$~[27]. Как упоминалось выше, эти многочлены можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида. Заметим, что мы используем те же $j_1$ и $j_2$, если $i\in\{13,14,15,17\}$, а также если $i\in\{18,19,20,21,22,23,25,26\}$. Поэтому пишем $\ast$ вместо $c(j_1)$ и $c(j_2)$ в соответствующих ячейках таблицы. Это означает, что $c(j_1)$ и $c(j_2)$ зависят от $i$, но всегда имеем $\pi(c(j_1)c(j_2))\cap R_i(\varepsilon{q})=\varnothing$. Случаи $i=4,5$ рассматриваются аналогично с той лишь разницей, что некоторые пересечения множеств непусты, поэтому простые числа из этих пересечений дают возможные исключения. Рассмотрим в качестве примера случай $i=4$ и $n=9,10$. Мы используем коклику $\{r_4, r_7(\varepsilon{q}), r_9(\varepsilon{q})\}$ из $GK(L)$. Заметим, что $k_7(\varepsilon{q})-1$ равно либо $\Phi_7(\varepsilon{q})-1$, если $d(7)=1$, либо $\frac{1}{7}\Phi_7(\varepsilon{q})-1$, если $d(7)=7$. Легко проверить, что если $u(x)=\frac{1}{2}(x^5+2x^4+x^3+x+2)$ и $v(x)=\frac{1}{2}(-x-1)$ или $u(x)=\frac{1}{50}(x^5+8x^4+7x^3+x+8)$ и $v(x):=\frac{1}{50}(-7x-49)$ соответственно, то $$ u(x)\Phi_4(x)+v(x)\Bigl(\frac{1}{7}\Phi_7(x)-1\Bigr)=1. $$ Следовательно, можно взять $c(7)=50$. Аналогично получаем, что $c(9)=10$. Это означает, что $r_4\in \{\pi(50)\cup\pi(10)\}\cap R_4(\varepsilon{q})\subseteq\{5\}$. Таким образом, можно гарантировать лишь невозможность случаев $r_4\neq5$. Наконец, рассмотрим случай $i=6$. По предположению $9\leq n\leq 13$. Пусть сначала $n=9$. Согласно \Tab*{Table~3} используем $j_1=8$ и $j_2=5$. Если $(q-\varepsilon{1},5)=1$, то $d(5)=1$ и видим, что $c(8)=c(5)=3$, и, следовательно, $r\in\{3\}\cap R_6(\varepsilon{q})=\varnothing$. Таким образом, $(q-\varepsilon{1},5)=5$. Тогда $c(5)=3\cdot 31$, и тем самым $r\in\{3,31\}\cap R_6(\varepsilon{q})\subseteq\{31\}$. Значит, $r$ может быть равно только~31. Согласно \Tab*{Table~2} $\{r_5(\varepsilon{q}), r_6(\varepsilon{q}), r_7(\varepsilon{q}), r_8(\varepsilon{q}), r_9(\varepsilon{q})\}$~--- коклика в $GK(L)$. Из \Par*{Lemma~3.1} следует, что $r_5(\varepsilon{q}), r_7(\varepsilon{q}), r_8(\varepsilon{q}), r_9(\varepsilon{q})\in\pi(S)$. Предположим, что $v\in R_8(\varepsilon{q})$. Если $k_6(\varepsilon{q})=31^m$, где $m$~--- положительное целое число, то из \Par*{Lemma~2.12} следует, что $m=1$ и $\varepsilon{q}=5$; противоречие с $(q-\varepsilon{1},5)=5$. Значит, существует $s\in R_6(\varepsilon{q})$ такое, что $s\neq31$. Мы уже знаем, что $(s,|\overline{G}/S|)=1$. \Par*{Lemma~4.1} влечет, что $(s,|K|)=1$. Это означает, что $s\in\pi(S)$ и поэтому $t(v,S)\geq 5$. С~другой стороны, $t(v,S)\leq 4$ согласно \Par*{Lemma~3.5}; противоречие. Следовательно, $v\notin R_8(\varepsilon{q})$. Значит, существует $r_8(\varepsilon{q})$ такое, что $\varphi(r_8(\varepsilon{q}),S)\leq m/2$, поскольку в противном случае из \Par*{Lemma~4.2}\itm(a) следует, что $r$ делит $k_8(\varepsilon{q})-1=\frac{1}{2}(q^4-1)$, поэтому $i\neq 6$. Предположим, что $n=10$. Согласно \Tab*{Table~3} используем $j_1=8$, $j_2=5$ и $j_3=10$. Легко видеть, что $\{r, r_8(\varepsilon{q}), r_5(\varepsilon{q})\}$ и $\{r, r_8(\varepsilon{q}), r_{10}(\varepsilon{q})\}$~--- коклики в $GK(L)$. Поскольку $c(8)=3$, $c(5)=3\cdot31$ и $c(10)=3\cdot7$, получаем, что $r\in \pi(3\cdot31)\cap\pi(3\cdot7)\cap R_6(\varepsilon{q})=\varnothing$; противоречие. Предположим, что $11\leq n\leq 13$. Согласно \Tab*{Table~3} используем $j_1=8$, $j_2=10$ и $j_3=11$. Легко видеть, что $\{r,r_8(\varepsilon{q}), r_{10}(\varepsilon{q}), r_{11}(\varepsilon{q})\}$ ~--- коклика в $GK(L)$. Заметим, что $c(8)=3$. Если $(q+\varepsilon1,5)=1$, то $d(10)=1$ и $c(10)=1$, поэтому $r\in\pi(3)\cap R_6(\varepsilon{q})=\varnothing$; противоречие. Следовательно, $(q+\varepsilon1,5)=5$ и $c(10)=3\cdot 7$. Аналогично если $(q-\varepsilon1,11)=1$, то $d(11)=1$ и $c(11)=3$, поэтому $r\in\pi(3)\cap R_6(\varepsilon{q})=\varnothing$. Следовательно, $(q-\varepsilon1,11)=11$ и $c(11)=3\cdot 7\cdot 19$. Тогда $r\in\pi(3\cdot7)\cap\pi(3\cdot7\cdot19)\cap R_6(\varepsilon{q})\subseteq\{7\}$. Это означает, что $r=7$, как и было заявлено. Заметим, что $v\notin R_8(q)$, поскольку в противном случае \Par*{Lemma~3.1} влечет, что $t(v, S)\geq t(L)-1=5$, а это неравенство противоречит \Par*{Lemma~3.5}. Как и выше, видим, что из \Par*{Lemma~4.2}\itm(a) следует существование $r_8(\varepsilon{q})$ такого, что $\varphi(r_8(\varepsilon{q}),S)\leq m/2$, что и требовалось доказать. \qed\enddemo \proclaim{Proposition 4.4} Предположим, что $L$~--- симплектическая или ортогональная группа. Если $r_i=r_i(q)\in\pi(\overline{G}/S)$ и $3\leq \eta(i)\leq n$, то выполняется одно из следующих утверждений. \Item (a) $\eta(i)=3$ и $n\geq 8$; \Item (b) $i=8$ и $n\geq 11$. \endproclaim \demo{Proof} В~случае симплектических и ортогональных групп рассуждаем аналогично доказательству \Par*{Proposition~4.3}, в частности, используем те же обозначения для чисел $c(j)$ и $d(j)$, определяемых целым числом $j$. Для каждой пары $(i,n)$ в \Tab*{Table~4} приведены либо две пары целых чисел $(j_1, c(j_1))$ и $(j_2,c(j_2))$ такие, что $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_2}(\varepsilon{q})\}$~--- коклика и $\pi(c(j_1)c(j_2))\cap R_i(\varepsilon{q})=\varnothing$, либо три пары целых чисел $(j_1, c(j_1))$, $(j_2, c(j_2))$ и $(j_3,c(j_3))$ такие, что $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_2}(\varepsilon{q})\}$ и $\{r_i, r_{j_1}(\varepsilon{q}),r_{j_3}(\varepsilon{q})\}$ являются кокликами в $GK(L)$ и $\pi(c(j_1)c(j_2))\cap\pi(c(j_1)c(j_3))\cap R_i(\varepsilon{q})=\varnothing$. Если $n>5$, то используются $j_1$, $j_2$, $j_3$ такие, что $\eta(j_1),\eta(j_2),\eta(j_3)n/2$ по \Par*{Lemma~3.3}\itm(b) и, следовательно, $s$ большое относительно $L$ по \Par*{Lemma~3.4}\itm(a). Значит, каждый элемент $\rho\setminus\{r\}$ является большим относительно $L$. Согласно \Tab*{Table~2} если $s$ является большим относительно $L$, то $\varphi(s,L)\geq 4$, если $L$~--- линейная или унитарная группа, и $\varphi(s,L)\geq 3$ в противном случае. По п.~\Par{L4.5}{(b)} можно предполагать, что каждый элемент $\rho\setminus\{r\}$ не делит $|\overline{G}/S|$. Если $(\rho\setminus\{r\})\cap\pi(K)=\varnothing$, то $\rho\subseteq\pi(S)$ и поэтому $t(r,S)\geq t(r,L)$, что и требовалось показать. Остается рассмотреть случай, когда $(\rho\setminus\{r\})\cap\pi(K)\neq\varnothing$. Тогда из \Par*{Lemma~4.1} следует, что $(\rho\setminus\{r\})\cap\pi(K)=\{v\}$. Поскольку $v\in\pi(S)$, получаем, что $\rho\subseteq\pi(S)$, и, следовательно, $t(r,S)\geq t(r,L)$, как и утверждалось. Поскольку $t(L)\geq 5$, \Par*{Lemma~3.1} влечет существование $r\in\pi(S)$, которое является большим относительно $L$. Используя п.~\Par{L4.5}{(c)}, получаем, что $t(S)\geq t(r,S)\geq t(r,L)=t(L)$. \qed\enddemo По \Par*{Lemma~4.5} получаем, что $t(S)\geq t(L)$. В~дальнейшем будем использовать этот факт, не упоминая лемму. \proclaim{Lemma~4.6} Пусть $r$~--- простое число, большое относительно $S$. Если $S$~--- линейная или унитарная группа, то $\varphi(r, S)\geq t(L)\geq n/2$ и $r\geq n/2+1$. Если $S$~--- симплектическая или ортогональная группа, то $\varphi(r, S)\geq (2t(L)-4)/3\geq (n-4)/3$ и $r>n/2$. \endproclaim \demo{Proof} Если $S$ линейная или унитарная, то из \Par*{Lemma~3.4}\itm(c) следует, что $\varphi(r, S)\geq t(S)\geq t(L)\geq n/2$. По \Par*{Lemma~3.6} получаем, что $r\geq \varphi(r,S)+1\geq n/2+1$. Если $S$ симплектическая или ортогональная, то согласно \Tab*{Table~2} получаем, что $\varphi(r,S)\geq 3$ и тем самым $r\geq 7$ по \Par*{Lemma~3.6}. Из \Par*{Lemma~3.4}\itm(c) следует, что $\varphi(r, S)\geq (2t(S)-4)/3\geq (2t(L)-4)/3\geq (n-4)/3$. Осталось показать, что $r>n/2$. Если $n\leq 13$, то $r\geq 7>n/2$. Если $n\geq 14$, то \Par*{Lemma~3.6} влечет, что $r\geq 2\varphi(r,S)+1\geq (2n-5)/3>n/2$. \qed\enddemo \demo{Definition 4.7} Будем говорить, что натуральное число $j$ является {\it $J$-индексом\/} (относительно~$G$), если оно удовлетворяет следующим условиям. \Item (a) Каждое число $r\in R_j(u)$ является большим относительно $S$ и делит $|\overline{G}/S|\cdot|K|$. \Item (b) Если $t(S)>t(L)$ и каждая коклика $\rho$ наибольшего размера в $GK(L)$ содержит простое число $s$ такое, что $s\in\pi(S)$ и $\varphi(s,S)\leq m/2$, то $\varphi(r,S)>m/2$ для всех $r\in R_j(u)$. \enddemo Следующие три леммы являются аналогами [6, Lemmas~6.1, 6.2, and 6.4] соответственно. \proclaim{Lemma 4.8} Существует множество $M$ натуральных чисел размера $t(S)-t(L)$ такое, что каждый элемент из $M$ является $J$-индексом. \endproclaim \demo{Proof} Можно считать, что $t(S)>t(L)$. Обозначим $t=t(S)$ и $\ell=t(L)$. Рассмотрим коклику $\rho=\{r_{i_1}(u),\dots,r_{i_t}(u)\}$ размера $t$ в $GK(S)$. Предположим, что существует $\ell+1$ индекс $i\in I=\{i_1,\dots,i_t\}$ такой, что некоторые числа $r_i\in R_i(u)$ взаимно просты с $|K|\cdot|\overline{G}/S|$. Тогда соответствующие $\ell+1$ простых чисел $r_i$ образуют коклику размера $\ell+1$ в $GK(L)$; противоречие. Следовательно, существует подмножество $M$ множества $I$, содержащее не менее $t-\ell$ элементов и такое, что если $i\in M$, то каждое число $r_i(u)\in R_i(u)$ делит $|K|\cdot|\overline{G}/S|$. Покажем, что множество $M$ можно выбрать так, чтобы каждый его элемент удовлетворял второму условию \Par*{Definition~4.7}. Предположим, что каждая коклика наибольшего размера в $GK(L)$ содержит простое число $s$ с $\varphi(s,S)\leq m/2$. Из \Par*{Lemma~3.3}\itm(b) следует, что множество $I$ включает в себя подмножество $I'$ размера не менее $t-1$ такое, что для любого простого числа $r\in R_i(u)$ с $i\in I'$ выполняется неравенство $\varphi(r,S)>m/2$. Если $I'=I$, то можно взять $M$, как и выше. Поэтому можно считать, что $|I'|=t-1$. Предположим, что существуют $\ell$ чисел $i\in I'$ с $\widetilde{R}_i(u) =R_i(u)\setminus(\pi(K)\cup\pi(\overline{G}/S))\neq\emptyset $. Тогда множество $\rho$, состоящее из $\ell$ простых чисел из различных $\widetilde{R}_i(u)$, образует коклику в~$GK(L)$, которая не содержит простого числа $s$ с $\varphi(s,S)\leq m/2$; противоречие. Таким образом, существует подмножество $M$ множества $I'$ такое, что $|M|=t-1-(\ell-1)=t-\ell\geq 1$, и для любого $j\in M$ каждое простое число $r$ из $R_j(u)$ является большим относительно $S$, делит~$|\overline{G}/S|\cdot|K|$ и удовлетворяет условию $\varphi(r,S)>m/2$. Лемма доказана. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 4.9} Предположим, что $j$~--- это $J$-индекс. Тогда для любого $r\in R_j(u)$ существует большое относительно $L$ простое число $s$ такое, что $rs\in\omega(L)\setminus\omega(S)$ и $s\notin\pi(\overline{G}/S)$. \endproclaim \demo{Proof} Обозначим $\ell=t(L)$ и $t=t(S)$. Зафиксируем $r\in R_j(u)$. Пусть $\rho=\{s_1,\dots,s_\ell\}$~--- коклика размера $\ell$ в~$GK(L)$. По \Par*{Lemmas~4.1} и~\Par{Lemma 4.5}{4.5}\itm(b) можно считать, что каждое простое число из $\rho$ не делит $|\overline{G}/S|\cdot|K|$. Заметим, что $v\notin\rho$, так как $t(L)\geq 5$. Пусть $\tau=-$, если $S$~--- унитарная группа, иначе положим $\tau=+$. Обозначим $I=\{e(s,\tau u)\mid s\in\rho\}$. Тогда $j'=e(r,\tau u)\notin I$, поскольку каждый элемент из $R_j(u)$ делит произведение $|\overline{G}/S|\cdot|K|$. Выберем коклику $\sigma$ размера $t$ в~$GK(S)$, содержащую $r$, и положим $Y=\{e(w,\tau u)\mid w\in\sigma\}$. Если $t=\ell$, то $\rho$ также является кокликой наибольшего размера в~$GK(S)$. \Par*{Lemma~3.8} влечет, что $I\cap Y=Y\setminus\{j'\}$. Следовательно, $\rho$ содержит подмножество $\rho'$ размера $\ell-1$ такое, что множество $M=\{r\}\cup\rho'$ является кокликой в~$GK(S)$. Если $r$ мало относительно $L$, то $M$ не может быть кокликой в~$GK(L)$, поскольку $|M|=\ell$. Следовательно, существует $s\in\rho$ с $rs\in\omega(L)\setminus\omega(S)$. Теперь покажем, что $r$ не может быть большим относительно $L$. Предположим от противного, что $r$ таково. Тогда из \Par*{Lemma~4.5} следует, что $L=L_n^\varepsilon(q)$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$, $r\in R_6(\varepsilon{q})$ и либо $11\leq n\leq 12$ и $r=7$, либо $n=9$ и $r=31$. Поскольку $\rho\cup\{r\}$ не является кокликой в $GK(S)$, заключаем, что $r$ смежно с некоторым $s\in\rho$ в $GK(S)$. Согласно \Tab*{Table~2} верно, что $s\in R_6(\varepsilon{q})\cup R_{12}(\varepsilon{q})$. Так как $j'\notin I$, получаем, что $e(s,u)\neq j$. Поскольку $r$ и $s$ смежны в $GK(S)$, из \Par*{Lemma~3.3}\itm(c) следует, что $\varphi(r, S)\leq m/2$ или $\varphi(s, S)\leq m/2$. По \Par*{Proposition~4.3}\itm(c),\,(d) существует число $r_8(\varepsilon{q})\in R_8(\varepsilon{q})$ такое, что $\varphi(r_8(\varepsilon{q}), S)\leq m/2$. По \Par*{Lemma~3.3}\itm(b) получаем, что $rr_8(\varepsilon{q})\in\omega(S)\setminus\omega(L)$ или $sr_8(\varepsilon{q})\in\omega(S)\setminus\omega(L)$; противоречие. Таким образом, можно считать, что $t>\ell$. Предположим, что $\varphi(r,S)>m/2$. По \Par*{Lemma~3.3}\itm(b) множество $\rho$ содержит подмножество $\rho'$ размера $\ell-1$ такое, что $\varphi(s,S)>m/2$ для любого $s\in\rho'$. Поскольку $j'\notin I$, из \Par*{Lemma~3.3}\itm(c) следует, что $\{r\}\cup\rho'$~--- коклика в~$GK(S)$. Если $r$ мало относительно $L$, то $\{r\}\cup\rho'$ не является кокликой в~$GK(L)$, поэтому утверждение леммы в этом случае выполняется. Следовательно, можно считать, что $r$ большое относительно $L$, и $\{r\}\cup\rho'$~--- коклика в~$GK(L)$. По \Par*{Lemma~4.5}\itm(a) получаем, что $L=L_n^\varepsilon(q)$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$, $n\leq 12$ и $r\in R_6(\varepsilon{q})$. Мы знаем, что $|\{r\}\cup\rho'|=\ell$. Согласно \Tab*{Table~2} получаем, что $r_8(\varepsilon{q})\in\rho'$, поэтому $t(r_8(\varepsilon{q}),S)>m/2$. Это противоречит \Par*{Proposition~4.3}\itm(c),\,(d). Пусть теперь $\varphi(r,S)\leq m/2$. Предположим, что $r$ является большим относительно $L$. Тогда $L=L_n^\varepsilon(q)$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$ и $n\leq 12$, $r\in R_6(\varepsilon{q})$ и $\varphi(r_8(\varepsilon{q}), S)\leq m/2$ для хотя бы одного $r_8(\varepsilon{q})$. Из \Par*{Lemma~3.3}\itm(c) следует, что $rr_8(\varepsilon{q})\in\omega(S)\setminus\omega(L)$; противоречие. Значит, $r$ мало относительно $L$. По определению $J$-индекса множество $\rho$ можно выбрать таким образом, что либо $\varphi(s,S)>m/2$ для любого $s\in\rho$, либо некоторое $s\in\rho$ не принадлежит $\pi(S)$. Рассмотрим первый случай. Используя \Tab*{Table~2}, видим, что существует коклика $\sigma'$ наибольшего размера в $GK(S)$ с $\rho\subseteq\sigma'$. Положим $X=\{e(w,\tau u)\mid w\in\sigma'\}$. Применяя \Par*{Lemma~3.8}, получаем, что $Y\cap X\supseteq Y\setminus\{j'\}$. Следовательно, $\rho$ включает подмножество $\rho'$ размера $\ell-1$ такое, что $\{r\}\cup\rho'$ является кокликой в~$GK(S)$ и не является кокликой в~$GK(L)$. Значит, найдется число $s\in\rho'$ такое, что $rs\in\omega(L)\setminus\omega(S)$. Если $s\notin\pi(\overline{G}/S)$, то оно является требуемым числом. Пусть теперь $s\in\pi(\overline{G}/S)$. Тогда $L=L^\varepsilon_n(q)$, где $s\in R_6(\varepsilon{q})$, и либо $n=9$, либо $11\leq n\leq 12$. Более того, существует число $r_8\in R_8(\varepsilon{q})$ такое, что $\varphi(r_8, S)\leq m/2$. Следовательно, $r$ смежно с $r_8(\varepsilon{q})$ и $r_6(\varepsilon{q})$ в $GK(L)$. Используя критерий смежности в $GK(L)$, находим, что если $n=9$, то $r\in\{p, r_1(\varepsilon{q}),r_2(\varepsilon{q})\}$ и поэтому $r$ смежно с $r_5(\varepsilon{q})$ и $r_7(\varepsilon{q})$ в $GK(L)$. Таким образом, хотя бы одно из чисел $r_5(\varepsilon{q})$ и $r_7(\varepsilon{q})$ принадлежит $\rho'$ и является требуемым. Аналогично если $n=11,12$, то $r\in\{p,r_1,r_2,r_3,r_4\}$, поэтому $r$ смежно с $r_7(\varepsilon{q})$ и $r_8(\varepsilon{q})$, хотя бы одно из которых принадлежит $\rho'$. Наконец, предположим, что существует коклика $\rho$ в $GK(L)$ размера $\ell$ такая, что для некоторого $s\in\rho$ верно, что $s\notin\pi(S)$. Из \Par*{Lemmas~4.1} и~\Par{Lemma 4.5}{4.5} получаем, что $L=L^\varepsilon_n(q)$, где $s\in R_6(\varepsilon{q})$, и либо $n=9$, либо $11\leq n\leq 12$. Более того, существует $r_8\in R_8(\varepsilon{q})$ такое, что $\varphi(r_8, S)\leq m/2$ по \Par*{Proposition~4.3}\itm(c),\,(d). Поскольку $\varphi(r_8,S)\leq m/2$ и $\varphi(r,S)\leq m/2$, по \Par*{Lemma~3.3}\itm(b) получаем $rr_8\in\omega(S)$. Это означает, что либо $r=p$, либо $\varphi(r,L)\in\{1,2,4\}$, если $n=9$, и $\varphi(r,L)\in\{1,2,3,4\}$, если $n=11,12$. По \Par*{Lemma~3.1} находим, что $r\notin R_4(\varepsilon{q})$, если $n=9$, поскольку $\{r_4(\varepsilon{q}), r_6(\varepsilon{q}),r_7(\varepsilon{q})\}$~--- коклика в $GK(L^\varepsilon_9(q))$. Из \Par*{Lemma~4.5} следует, что можно выбрать $r_6\in R_6(\varepsilon{q})$ и $r_7\in R_7(\varepsilon{q})$ таким образом, что $(r_6r_7,|K|\cdot|\overline{G}/S|)=1$. Поскольку $\varphi(r_8,S)\leq m/2$, из \Par*{Lemma~3.3}\itm(b) следует, что $\varphi(r_6, S)>m/2$ и $\varphi(r_{7}, S)>m/2$. По \Par*{Lemma~3.4}\itm(a) получаем, что $r_6$ и $r_7$ являются большими относительно $S$. Используя [23, Table~4] и \Par*{Lemma~3.2}, получаем, что $r$ смежно как с $r_6$, так и с $r_7$ в $GK(L)$. Если $rr_7,rr_6\in\omega(S)$, то из \Par*{Lemma~3.8} следует, что $e(r_6,\tau u), e(r_7,\tau u)\in J(S)\setminus E(S)$ и, следовательно, $r_6$ и $r_7$ смежны в $GK(S)$; противоречие. Значит, $rr_7\in\omega(L)\setminus\omega(S)$ или $rr_6\in\omega(L)\setminus\omega(S)$. Лемма доказана. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 4.10} Предположим, что $r\in R_j(u)$, где $j$~--- это $J$-индекс. Тогда выполняется одно из следующих утверждений: \Item (a) $k_j(u)$ делит $(q^2-1)\log_vu$, \Item (b) $k_j(u)$ делит $p(q^2-1)\log_vu$, и $p$ делит $k_j(u)$ и $\log_vu$, \Item (c) $k_j(u)$ делит $p(q^2-1)$, при этом $p<31$. \endproclaim \demo{Proof} Положим $(k_j(u))_{\{r\}}=r^\gamma$. Поскольку $r$ является большим относительно $S$, находим, что $r\geq 5$ и $r\neq v$. Применяя \Par*{Lemma~2.5}, получаем, что $r^\gamma=\exp_r(S)$. Предположим, что $r$ делит $|K|$. Поскольку $r\neq v$, из \Par*{Lemma~4.1} следует, что~$r$ делит $p(q^2-1)$ и $t(r,L)=2$. Равенство $t(r,L)=2$ влечет, что $r$ мало относительно $L$. По [6, Lemma~2.10\itm(b)] существует $s\in\pi(L)\setminus\{r,p\}$ такое, что $s$ и $r$ не смежны в $GK(L)$. Используя \Par*{Lemmas~3.4}\itm(a) и \Par{Lemma 3.3}{3.3}\itm(b), получаем, что $s$ большое относительно $L$. По \Par*{Lemma~4.5}\itm(b),\,(c) можно считать, что $s\in\pi(S)$ и $t(s,S)\geq 5$. Следовательно, $s\neq v$ по \Par*{Lemma~3.5}. Теперь [22, Lemma~2.16] %\?[22 лемма~2.16] влечет, что $s$ не делит порядки собственных параболических подгрупп группы $S$. По \Par*{Lemma~3.11} существует собственная параболическая подгруппа $P$ группы $S$ такая, что $r^\gamma\in\omega(P)$. Если $R$~--- силовская $r$-подгруппа группы $K$ (напомним, что $K$ нильпотентна), то $S$ действует на $R/\Phi(R)$ сопряжением. Это действие должно быть точным, поскольку $r$ и $s$ несмежны. Более того, поскольку $r$ большое относительно $S$, имеем $(r,6u(u^2-1))=1$. Применяя \Par*{Lemma~3.12}, получаем $r^{\gamma+1}\in\omega(G)=\omega(L)$. По \Par*{Lemma~4.6} получаем неравенство $r>n/2$. Предположим, что $r=p$. Поскольку $t(p,L)=2$, из \Par*{Lemma~3.5} следует, что $L\in\{O_{2n+1}(q), S_{2n}(q)\}$, где $n$ ~--- четное число. По предположению $t(L)\leq 13$ и $n\neq16$, поэтому $n\leq 14$ согласно \Tab*{Table~2}. Мы знаем, что $p^2\in\omega(L)$, поэтому $p<29$ по \Par*{Lemma~2.13}. Поскольку $n^2/4>2n-1$ при $n\geq 8$ и $5^2>2\cdot 8-1$, то $p^2>2n-1$. Из \Par*{Lemma~2.13} следует, что $\exp_p(L)$ не превосходит $p^2$. Тогда $p^2\geq p^{\gamma+1}$, откуда $k_j(u)_{\{p\}}\leq p$. Следовательно, $k_j(u)_{\{r\}}$ делит $p$ в этом случае. Предположим, что $r$ делит $(q^2-1)$, и положим $(q^2-1)_{\{r\}}=r^\delta$. Используя неравенство $r>n/2$ и \Par*{Lemma~2.5}, получаем, что $\exp_r(L)$ не превосходит $r^{\delta+1}$. Следовательно, $r^{\delta+1}\geq r^{\gamma+1}$. Таким образом, для любого $j\in J$ и любого $r\in R_j(u)\cap\pi(K)$ число $(k_j(u))_{\{r\}}$ делит $p(q^2-1)$, а если $p\in R_j(u)$, то $p<31$. Предположим теперь, что $r$ не делит~$|K|$. Тогда $|\overline{G}/S|_{\{r\}}=r^\kappa>1$. Следовательно, $\overline{G}$ содержит подгруппу, изоморфную расширению $S$ посредством автоморфизма $\tau$ порядка~$r^\kappa$, где $\kappa\geq 1$. Поскольку $r$ нечетно и взаимно просто с $|\operatorname{Inndiag}(S)/S|$, можно считать, что $\tau$~--- полевой автоморфизм. Если $u=v^\beta$ и $\beta=r^\mu\cdot l$, где $(r,l)=1$, то $\mu\geq \kappa\geq 1$. Если $r$ не делит $v^{lj}-1$, то $r$ не делит $v^{r^\mu\cdot lj}-1=u^j-1$, что неверно. Следовательно, $$ r^\gamma=(k_j(u))_{\{r\}}=(u^j-1)_{\{r\}}=(v^{r^\mu\cdot lj}-1)_{\{r\}}=r^\mu(v^{lj}-1)_{\{r\}}>r^\kappa $$ по \Par*{Lemma~2.5}. Кроме того, $r^\gamma$~--- это наибольшая степень числа~$r$, лежащая в~$\omega(S)$. В~силу~[6, Lemma~3.10] получаем, что $r^\gamma$ равно $\exp_r(\overline{G})$, значит, и $\exp_r(G)$. Если $r\neq p$ и $k=e(r,q)\geq 3$, то неравенство $r>n/2$ влечет, что $(q^k-1)_{\{r\}}$ равно $\exp_r(L)$. По \Par*{Lemma~4.9} существует большое относительно $L$ простое число $s$ такое, что $rs\in\omega(L)\setminus\omega(S)$ и $s\notin\pi(\overline{G}/S)$. \Par*{Lemma~4.1} влечет, что $s\notin\pi(K)$. Из \Par*{Lemma~3.10} следует, что $r^\gamma{s}\in\omega(L)$. Поскольку $(rs,|K|)=1$, группа $\overline{G}$ содержит элемент $x$ порядка $r^\gamma{s}$. Тогда элемент $y=x^{r^{\kappa}}$ имеет порядок $r^{\gamma-\kappa}{s}$ и принадлежит~$S$, что невозможно, поскольку $\gamma>\kappa$. Таким образом, $r$ делит $p(q^2-1)$. Если $r$ делит $q^2-1$, то снова неравенство $r>n/2$ и \Par*{Lemma~2.5} влекут, что $r^\gamma\leq r(q^2-1)_{\{r\}}$. Предположим, что $r=p$, в частности, $p$ делит $\log_vu$. Заметим, что число $\exp_p(L)$ не превосходит~$p^2$, поскольку $p>n/2$ и $r\geq 5$. Поскольку произведение различных простых чисел из $R_j(u)$, делящих $|\overline{G}/S|$, делит число $\log_vu$, получаем, что $k_j(u)$ делит $p(q^2-1)\log_vu$. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 4.11} Пусть $d=t(S)-t(L)$ и $d>0$. Предположим, что $t(S)\geq 7$, и $S$ содержит элемент порядка, большего $q^\alpha$, где $\alpha>2$. Тогда справедливы следующие утверждения: \Item (a) $u^{3d}\frac{m-1}{2}$, если $S$~--- симплектическая или ортогональная группа; противоречие. Таким образом, $\alpha<2+\frac{4t(L)}{3d}$ и тем самым $d<\frac{4t(L)}{3(\alpha-2)}$. \qed\enddemo Теперь мы готовы доказать \Par*{Theorem~3}. \demo{Proof of \Par*{Theorem~3}} Обозначим $d=t(S)-t(L)$. Напомним, что $d\geq 0$. Можно считать, что $d\geq 1$, иначе доказывать нечего. Предположим, что $L$~--- линейная или унитарная группа и $t(L)\geq 6$. Пусть $j$~--- наибольшее простое число, меньшее или равное $n$. Легко видеть, что $j>n/2$ и, следовательно, $r_j(\varepsilon{q})$ большое относительно $L$ согласно \Tab*{Table~2}. По \Par*{Proposition~4.3} и \Par*{Lemma~4.1} получаем, что $k_j(\varepsilon{q})\in\omega(S)$. По \Par*{Lemma~2.6} $k_j(\varepsilon{q})>q^{j-2}$. Следовательно, по \Par*{Lemma~4.11} получаем, что $d<\frac{4t(L)}{3(j-4)}$, если $t(S)\geq 7$. Если $23\leq n\leq 26$, то $t(L)\leq 13$ и $j\geq 23$, поэтому $d<\frac{18}{19}<1$. Если $19\leq n\leq 22$, то $t(L)\leq 11$ и $j\geq 19$, поэтому $d<\frac{14.7}{15}<1$. Аналогично если $17\leq n\leq 18$, то $t(L)\leq 9$ и $j=17$, стало быть, $d<\frac{12}{13}<1$. Пусть теперь $13\leq n\leq 16$. Тогда $t(L)\leq 8$ и $j=13$, поэтому $d<\frac{11}{9}<2$. Если $11\leq n\leq 12$, то $t(L)=6$, $t(S)\geq 7$ и $j=11$, следовательно, $d<\frac{8}{7}<2$. Осталось рассмотреть случай $d=1$, если $6\leq t(L)\leq 8$. В~этом случае из \Par*{Lemmas~4.10} и~\Par{Lemma 2.9}{2.9} следует, что $2u^3q^{11}$. Из \Par*{Proposition~4.4} и \Par*{Lemma~4.1} следует, что $\omega(S)$ содержит элемент, больший $q^{11}$. Используя \Par*{Lemma~4.11}, получаем, что $d<\frac{17.4}{9}<2$. Если $9\leq t(L)\leq 10$, то $k_{11}(q)\in\omega(L)$ или $k_{11}(-q)\in\omega(L)$ согласно \Tab*{Table~2}. По \Par*{Lemma~2.6} оба этих числа больше $q^9$. Из \Par*{Proposition~4.4} и \Par*{Lemma~4.1} следует, что $\omega(S)$ содержит элемент, больший $q^{9}$. По \Par*{Lemma~4.11} верно неравенство $d<\frac{13.4}{7}<2$. Если $7\leq t(L)\leq 8$, то $k_{16}(q)\in\omega(L)$ согласно \Tab*{Table~2}. Заметим, что $k_{16}(q)=\frac{1}{2}(q^8+1)>q^{7.35}$, поскольку $3^{0.65}>2$. Из \Par*{Proposition~4.4} и \Par*{Lemma~4.1} следует, что $\omega(S)$ содержит элемент, больший $q^{7.35}$. Используя \Par*{Lemma~4.11}, получаем, что $d<\frac{10.7}{5.35}=2$. Предположим, что $t(L)=6$. Тогда $k_{7}(q)\in\omega(L)$ или $k_{14}(q)\in\omega(L)$ согласно \Tab*{Table~2}. Используя \Par*{Lemma~2.6}, получаем, что $\omega(S)$ содержит элемент, больший $q^{5}$. Из \Par*{Lemma~4.11} следует, что $d<\frac{8}{3}<3$. Предположим, что $t(L)=5$. Тогда $k_{8}(q)\in\omega(L)$. Заметим, что $k_8(q)=(q^4+1)/2>q^{3.35}$. Это означает, что $\omega(S)$ содержит элемент, больший $q^{3.35}$. Из \Par*{Lemma~4.11} вытекает, что $d<\frac{6.7}{1.35}<5$. Предположим, что $d=4$. Тогда по \Par*{Lemma~4.11} $u^{12}2$ такое, что $r_s(\varepsilon{q})$, $r_{2s}(\varepsilon{q})\in R_j(u)$. Положим $r=r_{s-1}(\varepsilon{q})$, если $s\neq 7$, и $r=r_{5}(\varepsilon{q})$, если $s=7$. По \Par*{Lemma~3.9} получаем, что $t(r, L)\geq 5$. По \Par*{Proposition~4.3} можно считать, что $r$ взаимно просто с $|\overline{G}/S|$. Если $r\in\pi(K)$, то из \Par*{Lemma~4.1} следует, что $r=v$. Тогда $t(v, S)\geq 5$ по \Par*{Lemma~3.1}; противоречие с \Par*{Lemma~3.5}. Значит, можно считать, что $r$ взаимно просто с $|\overline{G}/S|\cdot|K|$, в частности, $r\in\pi(S)$. По \Par*{Lemma~4.5}\itm(d) получаем, что $t(r, S)\geq t(r, L)\geq s-1>2$, поэтому $r\notin\delta(S)$. Тогда $r$ смежно с $r_{s}(\varepsilon{q})$ и не смежно с $r_{2s}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$; противоречие. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 5.3} Предположим, что $t(S)=t(L)$ и $S=L_m^\tau(u)$, где $\tau\in\{+,-\}$. Обозначим $s=[\frac{n-1}{2}]$. Если $t(L)\geq 10$ и $0\leq i\leq 2$ или $t(L)=9$ и $0\leq i\leq 1$, то $R_{s-i}(\varepsilon{q})\subseteq R_{s-i}(\tau{u})$. \endproclaim \demo{Proof} Согласно \Tab*{Table~2} находим, что $t(L)=[\frac{n+1}{2}]$ и, следовательно, $s=t(L)-1$. Если $t(L)=9$, то $17\leq n\leq 18$, поэтому $s\geq 8$ и $s-1>6$, в частности, $s-1>\frac{n}{3}$. Аналогично если $t(L)\geq 10$, то $s-2>\frac{n}{3}>6$. С~другой стороны, $s9$, и $n\geq j \geq s-1$, если $t(L)=9$. Мы утверждаем, что каждое число $r_j(\varepsilon{q})$ взаимно просто с $|\overline{G}/S|\cdot|K|$. По \Par*{Proposition~4.3} получаем, что $r_j(\varepsilon{q})$ не делит $|\overline{G}/S|$. Предположим, что $r_j(\varepsilon{q})\in\pi(K)$. Из \Par*{Lemma~4.1} следует, что $r_j(\varepsilon{q})=v$. Используя \Par*{Lemma~4.5}, получаем, что $t(v,S)\geq t(v,L)\geq 6$; противоречие с \Par*{Lemma~3.5}. Следовательно, $r_j(\varepsilon{q})$ взаимно просто с $|\overline{G}/S|\cdot|K|$, в частности, $r_j(\varepsilon{q})\in\pi(S)$. По \Par*{Lemma~4.5}\itm(c) $t(r_j(\varepsilon{q}), S)\geq t(r_j(\varepsilon{q}), L)$. Значит, если $r_j(\varepsilon{q})$ большое относительно $L$, то $r_j(\varepsilon{q})$ большое относительно $S$. Более того, если $t(L)\geq 10$ и $0\leq i\leq 2$ или $t(L)=9$ и $0\leq i\leq 1$, то $t(r_{s-i}(\varepsilon{q}),S)\geq t(r_{s-i}(\varepsilon{q}), L)=s-i$. Предположим, что $i=0$. Если $t(r_s(\varepsilon{q}),S)\neq s$, то $t(r_s(\varepsilon{q}),S)\geq s+1=t(S)$ и, следовательно, $r_s(\varepsilon{q})$ большое относительно $S$. Поскольку $2s+1\leq n$, \Par*{Lemma~3.2} влечет, что $r_s(\varepsilon{q})$ смежно с $r_{s+1}(\varepsilon{q})$ и $r_{2s}(\varepsilon{q})$ в $GK(L)$. Согласно \Tab*{Table~2} видим, что $r_{s+1}(\varepsilon{q})$ и $r_{2s}(\varepsilon{q})$ являются большими относительно $L$ и не смежны в $GK(L)$. Следовательно, числа $e(r_{s}(\varepsilon{q}), \tau u)$, $e(r_{s+1}(\varepsilon{q}), \tau u)$, $e(r_{2s}(\varepsilon{q}), \tau u)$ попарно различны и принадлежат $J(S)\setminus E(S)$; противоречие, поскольку $|J(S)\setminus E(S)|\leq 2$ по \Tab*{Table~2}. Значит, $t(r_s(\varepsilon{q}),S)=s$ и поэтому $r_s(\varepsilon{q})\in R_s(\tau{u})$ по \Par*{Lemma~3.9}. Поскольку это верно для любого $r_s(\varepsilon{q})\in R_s(\varepsilon{q})$, получаем, что $R_s(\varepsilon{q})\subseteq R_s(\tau{u})$. Предположим, что $i=1$. Если $t(r_{s-1}(\varepsilon{q}),S)\neq s-1$, то $t(r_{s-1}(\varepsilon{q}),S)\geq s$. Если $t(r_{s-1}(\varepsilon{q}),S)=s$, то $r_{s-1}(\varepsilon{q})\in R_s(\tau{u})$ по \Par*{Lemma~3.9}. Однако $r_{s}(\varepsilon{q})\in R_s(\tau{u})$. Поскольку $r_{2s}(\varepsilon{q})$ смежно с $r_{s}(\varepsilon{q})$ и не смежно с $r_{s-1}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$, приходим к противоречию. Если $t(r_{s-1}(\varepsilon{q}),S)\geq s+1$, то $r_{s-1}(\varepsilon{q})$ большое относительно $S$. Рассматривая простые числа $r_{s+2}(\varepsilon{q})$ и $r_{2s-2}(\varepsilon{q})$ и рассуждая, как в предыдущем случае, получаем противоречие с $|J(S)\setminus E(S)|\leq 2$. Следовательно, для любого $r_{s-1}(\varepsilon{q})\in R_{s-1}(\varepsilon{q})$ верно, что $t(r_{s-1}(\varepsilon{q}),S)=s-1$. Тогда $R_{s-1}(\varepsilon{q})\subseteq R_{s-1}(\tau{u})$ по \Par*{Lemma~3.9}. Предположим, что $i=2$. Тогда $t(L)\geq 10$, поэтому $n\geq 19$ и $s\geq 9$. Если $t(r_{s-2}(\varepsilon{q}),S)\neq s-2$, то $t(r_{s-2}(\varepsilon{q}),S)\geq s-1$. Если $t(r_{s-2}(\varepsilon{q}),S)=s$ или $t(r_{s-2}(\varepsilon{q}),S)=s-1$, то из \Par*{Lemma~3.9} следует, что $r_{s-2}(\varepsilon{q})\in R_s(\tau{u})$ или $r_{s-2}(\varepsilon{q})\in R_{s-1}(\tau{u})$ соответственно. Мы уже знаем, что $R_s(\varepsilon{q})\subseteq R_s(\tau u)$, при этом $r_{s}(\varepsilon{q})$ смежно с $r_{2s}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$, кроме того, $R_{s-1}(\varepsilon{q})\subseteq R_{s-1}(\tau u)$ и $r_{s-1}(\varepsilon{q})$ смежно с $r_{2s-2}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$. Поскольку $r_{s-2}(\varepsilon{q})$ не смежно с $r_{2s}(\varepsilon{q})$ и $r_{2s-2}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$, получаем противоречие. Предположим, что $t(r_{s-2}(\varepsilon{q}),S)\geq s+1$. Тогда $r_{s-2}(\varepsilon{q})$ является большим относительно $S$. Рассматривая простые числа $r_{s+3}(\varepsilon{q})$ и $r_{2s-4}(\varepsilon{q})$, которые являются большими относительно $L$ и смежными с $r_{s-2}(\varepsilon{q})$ в $GK(L)$, получаем противоречие с $|J(S)\setminus E(S)|\leq 2$, как и выше. Следовательно, для любого $r_{s-2}(\varepsilon{q})\in R_{s-2}(\varepsilon{q})$ верно, что $t(r_{s-2}(\varepsilon{q}),S)=s-2$. Тогда $R_{s-2}(\varepsilon{q})\subseteq R_{s-2}(\tau{u})$ по \Par*{Lemma~3.9}. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 5.4} Если $S=L_m^\tau(u)$, где $\tau\in\{+,-\}$, то $$ u^{m-1}<\frac{q}{q-1}\cdot\frac{u}{u-1}\cdot(m,u-\tau1)q^{n-1}, $$ в частности, $u^{m-1}<3mq^{n-1}$. \endproclaim \demo{Proof} По~[29, Corollary~3] находим, что $\frac{u^{m}-{\tau1}}{(u-\tau1,m)(u-\tau1)}\in\omega(S)$. Заметим, что $$ \frac{u^{m}-{\tau1}}{(u-\tau1,m)(u-\tau1)}\geq \frac{u^m+1}{(u- \tau1,m)(u+1)}. $$ Легко видеть, что $$ \frac{u^m+1}{u+1}>\frac{u-1}{u}u^{m-1}. $$ По \Par*{Lemma~3.7} каждый элемент $\omega(L)$ не превосходит $\frac{q}{q-1}q^{n-1}$. Следовательно, $$ \frac{u-1}{(u-\tau1,m)u}u^{m-1}<\frac{u^m+1}{(u- \tau1,m)(u+1)}\leq \frac{q}{q-1}q^{n-1} $$ и поэтому $$ u^{m-1}<\frac{q}{q-1}\frac{u}{u-1}(u-\tau1,m)q^{n-1}. $$ Поскольку $q\geq 3$ и $u\geq 2$, получаем, что $\frac{q}{q-1}\leq \frac{3}{2}$ и $\frac{u}{u-1}\leq 2$, следовательно, $$ \frac{q}{q-1}\frac{u}{u-1}mq^{n-1}\leq 3mq^{n-1}. \qed $$ \enddemo Теперь докажем \Par*{Theorem~2}, рассматривая несколько случаев в следующих леммах. \proclaim{Lemma 5.5} \Par*{Theorem~{\rm2}} верна, если $17\leq n\leq 26$. \endproclaim \demo{Proof} Согласно \Tab*{Table~2} находим, что $9\leq t(L)\leq 13$. Из \Par*{Theorem~3} следует, что $t(S)=t(L)$. Обозначим $m=\operatorname{prk} S$. Разобьем доказательство на несколько случаев в зависимости от значения~$t(L)$. {\sc Случай $t(L)=13$}. Тогда $n=25$ или $n=26$. Предположим, что $S$~--- симплектическая или ортогональная группа. Поскольку $t(S)=t(L)=13$, получаем, что $S\in\{ O_{33}(u), S_{32}(u), O^\pm_{34}(u),O^+_{36}(u), O^-_{32}(u)\}$ согласно \Tab*{Table~2}. Предположим, что $S\in\{ O_{33}(u), S_{32}(u), O^-_{32}(u)\}$. Согласно \Tab*{Table~2} видим, что $J(S)=E(S)$. Теперь покажем, что $q^{17}\Phi_i(u)\geq k_i(u)>\frac{5}{3}q^{17}, $$ в частности, $u\geq 3$. Следовательно, $\frac{3}{2}u^{12}>\frac{5}{3}q^{17}$, и поэтому $q^{17}\frac{5}{3}q^{21}$. Из \Par*{Lemma~2.4}\itm(d) следует, что $$ k_i(u)\leq \Phi_i(u)<\frac{u}{u-1}u^{\varphi(i)}, \quad k_9(u)k_{18}(u)\leq \Phi_9(u)\Phi_{18}(u)<4u^{12} $$ и $$ k_9(\tau u)k_{16}(u)\leq \Phi_9(\tau u)\Phi_{16}(u)<4u^{14}. $$ Следовательно, $$ \frac{5}{3}q^{21}u^{m-1}\geq u^{n-1}$; противоречие с неравенством $u^4>6q^4$. {\sc Случай $t(L)=12$}. Тогда $n=23$ или $n=24$. Предположим, что $S$~--- симплектическая или ортогональная группа. Поскольку $t(S)=12$, то $S\in\{ O_{31}(u), S_{30}(u), O^\pm_{30}(u), O^+_{32}(u)\}$. Предположим, что $S\in\{O_{31}(u), S_{30}(u)\}$. Согласно \Tab*{Table~2} видим, что $|J(S)\setminus E(S)|=3$; противоречие с \Par*{Lemma~5.1}. Предположим, что $S\in\{O^+_{30}(u), O^-_{30}(u), O^+_{32}(u)\}$. Согласно \Tab*{Table~2} верно, что $J(S)=E(S)$. Из \Par*{Lemma~5.1} следует, что существует целое число $i$ такое, что $k_{23}(\varepsilon{q})$ делит $k_i(u)$. Поскольку $\eta(i)\leq 15$, то $\varphi(i)\leq 12$. Используя \Par*{Lemma~2.4}, получаем, что $k_i(u)\leq \Phi_i(u)\leq \frac{u}{u-1}u^{12}$. \Par*{Lemma~2.6} влечет, что $k_{23}(\varepsilon{q})>\frac{5}{3}q^{21}$. Следовательно, $u\geq 3$ и $\frac{5}{3}q^{21}<\frac{5}{3}u^{12}$. По \Par*{Proposition~2.15} находим, что $\frac{2}{16}u^{136}\leq \exp(S)\leq \exp(L)\leq 6203q^{181}$. Следовательно, получаем, что $q^{238}3q^6$ влечет, что $u^{n-1}>3^{22/6}q^{n-1}>56q^{n-1}$; противоречие. {\sc Случай $t(L)=11$}. Тогда $n=21$ или $n=22$. Предположим, что $S$~--- симплектическая или ортогональная группа. Поскольку $t(S)=11$, находим, что $S\in\{ O_{27}(u), S_{26}(u), O_{29}(u), S_{28}(u), O^-_{28}(u)\}$ согласно \Tab*{Table~2}. Если $S=O^-_{28}(u)$, то $|J(S)\setminus E(S)|=3$, значит, случай невозможен по \Par*{Lemma~5.1}\itm(b). В~других случаях $J(S)=E(S)$ или $J(S)\setminus E(S)=\{7,14\}$. Из \Par*{Lemma~5.1}\itm(a) следует, что $k_{19}(\varepsilon{q})$ делит $k_7(u)k_{14}(u)$ или $k_i(u)$, где $i$~--- целое число такое, что $\eta(i)\leq 14$. Тогда $\varphi(i)\leq 12$. \Par*{Lemma~2.4}\itm(d) влечет, что $k_i(u)\leq \frac{u}{u-1}u^{12}$ и $$ k_7(u)k_{14}(u)\leq \Phi_7(u)\Phi_{14}(u)=\Phi_{7}(u^2) <\frac{4}{3}u^{12}. $$ Используя \Par*{Lemma~2.6}, получаем, что $\frac{5}{3}q^{17}7^3q^{n-1}$. {\sc Случай $t(L)=9$}. Тогда $n=17$ или $n=18$. Предположим, что $S$~--- симплектическая или ортогональная группа. Поскольку $t(S)=9$, получаем, что $S\in\{ O_{23}(u), S_{22}(u), O^\pm_{22}(u), O^+_{24}(u)\}$. Если $S\in\{O_{23}(u), S_{22}(u)\}$, то $|J(S)\setminus E(S)|=3$, стало быть, этот случай невозможен по \Par*{Lemma~5.1}\itm(b). Предположим, что $S\in \{O^+_{24}(u), O^+_{22}(u), O^-_{22}(u)\}$. Согласно \Tab*{Table~2} видим, что $J(S)=E(S)$. По \Par*{Lemma~5.1}\itm(a) существует целое число $i$ такое, что $k_{17}(\varepsilon{q})$ делит $k_i(u)$. Поскольку $\eta(i)\leq 12$, заключаем, что $\varphi(i)\leq 10$. Из \Par*{Lemmas~2.6} и~\Par{Lemma 2.4}{2.4} следует, что $$ \frac{5}{3}q^{15}7^3q^{n-1}$. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 5.6} \Par*{Theorem~{\rm2}} верна, если $15\leq n\leq 16$. \endproclaim \demo{Proof} В~этом случае получаем, что $t(L)=8$. По \Par*{Theorem~3} верно, что $t(S)=8$. Предположим, что $S$~--- симплектическая или ортогональная группа. Согласно \Tab*{Table~2} $S\in\{O_{19}(u), S_{18}(u), O_{21}(u), S_{20}(u), O^-_{20}(u)\}$. Предположим, что $S\in\{O_{19}(u), S_{18}(u)\}$. Согласно \Tab*{Table~2} $J(S)=E(S)$. Если $n=16$, то $r_8(\varepsilon{q})$ и $r_{16}(\varepsilon{q})$ большие относительно $L$ и смежны в $GK(L)$. По \Par*{Lemma~3.9} получаем, что $r_8(\varepsilon{q})$ и $r_{16}(\varepsilon{q})$ большие относительно $S$ и смежны в $GK(S)$. Поскольку $J(S)=E(S)$, получаем равенство $\varphi(r_8(\varepsilon{q}),S)=\varphi(r_{16}(\varepsilon{q}),S)$. С~другой стороны, $r_7(\varepsilon{q})$ взаимно просто с $|K|\cdot|\overline{G}/S|$ по \Par*{Lemma~4.1} и \Par*{Proposition~4.3}. Следовательно, $r_7(\varepsilon{q})$ смежно с $r_8(\varepsilon{q})$ и не смежно с $r_{16}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$; противоречие с \Par*{Lemma~3.10}. Следовательно, можно считать, что $n=15$. Из \Par*{Lemma~5.1} следует, что существует целое число $i$ такое, что $k_{13}(\varepsilon{q})$ делит $k_i(u)$. Поскольку $\eta(i)\leq 9$, имеем $\varphi(i)\leq 8$, поэтому $k_i(u)\leq \frac{u}{u-1}u^8$ по \Par*{Lemma~2.4}. Поскольку $k_i(u)\geq k_{13}(\varepsilon{q})>q^{11}$, находим, что $u\geq 5$. По \Par*{Lemma~2.6} получаем, что $\frac{5}{3}q^{11}\frac{5}{3}q^{11}$ и тем самым $u>2$. Из \Par*{Lemma~2.4}\itm(d) следует, что $\frac{5}{3}q^{11}\frac{12}{13d}q^{12}$, где $d=(q-\varepsilon{1},13)$. С~другой стороны, $$ k_{16}(\tau{u})k_8(\tau{u})\leq (u^8+1)(u^4+1)<\frac{u}{u-1}u^{12} $$ и $$k_i(\tau{u})\leq \frac{u}{u-1}u^{12} $$ по \Par*{Lemma~2.4}\itm(d). Следовательно, $u\geq 7$ и поэтому $$ q^{12}<\frac{13}{12}\cdot\frac{7}{6}du^{12}<\frac{3}{2}du^{12}. $$ Тогда $$ q^{80}<\Bigl(\frac{3}{2}d\Bigr)^7u^{80}< \Bigl(\frac{3}{2}d\Bigr)^7\cdot29\cdot531q^{73}. $$ Значит, $q^7<300000d^7$. Если $d=1$, то $q<7$; противоречие с $q\geq 13$. Если $d=13$, то $q-\varepsilon{1}$ делится на~7 и~13, поэтому $q\geq 183$. Тогда $q^7>(13^2)^{7}>d^713^7>300000d^7$; противоречие. \qed\enddemo \proclaim{Lemma 5.7} \Par*{Theorem~{\rm2}} верна, если $13\leq n\leq 14$. \endproclaim \demo{Proof} Поскольку $n$ не является простым числом, получаем, что $n=14$. По \Par*{Theorem~3} верно, что $t(S)=7$. Предположим, что $S$~--- симплектическая или ортогональная группа. Согласно \Tab*{Table~2} $S\in\{O_{17}(u), S_{16}(u), O_{18}^\pm(u), O_{20}^+(u), O^-_{16}(u)\}$. Из \Par*{Lemma~4.1} и \Par*{Proposition~4.3} следует, что $r_5(\varepsilon{q})$, $r_7(\varepsilon{q})$ и $r_{14}(\varepsilon{q})$ взаимно просты с $|K|\cdot|\overline{G}/S|$. Тогда $r_7(\varepsilon{q})$ и $r_{14}(\varepsilon{q})$ являются большими относительно $L$ и смежными в $GK(S)$. Поскольку $r_5(\varepsilon{q})$ смежно с $r_7(\varepsilon{q})$ и не смежно с $r_{14}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$, получаем, что $J(S)\neq E(S)$. Следовательно, $S\notin\{O_{17}(u), S_{16}(u), O^-_{16}(u)\}$ согласно \Tab*{Table~2}. Таким образом, можно считать, что $S=O_{18}^\pm(u)$ или $S=O^+_{20}(u)$. В~этом случае имеем $|J(S)\setminus E(S)|=2$. Значит, $R_7(\varepsilon{q})\subseteq R_{j_1}(u)$ и $R_{14}(\varepsilon{q})\subseteq R_{j_2}(u)$, где $J(S)\setminus E(S)=\{j_1,j_2\}$. Следовательно, $R_{13}(\varepsilon{q})\cap(R_{j_1}(u)\cup R_{j_2}(u))=\varnothing$. Из \Par*{Lemma~5.1} следует, что $k_{13}(\varepsilon{q})$ делит $k_i(u)$ для некоторого целого числа $i$ такого, что $\eta(i)\leq 10$. Тогда $\varphi(i)\leq 8$. Обозначим число $(q-\varepsilon{1},13)$ через $d$. Используя равенство~(1), находим, что $k_{13}(\varepsilon{q})\geq \frac{2}{3d}q^{12}$. Из \Par*{Lemma~2.4}\itm(d) следует, что $$ \frac{u}{u-1}u^8>k_i(u)\geq \frac{2}{3d}q^{12}. $$ Поскольку $q\geq 3$, получаем, что $u\geq 4$. Следовательно, $$ q^{12}<\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}du^8=2du^8. $$ По \Par*{Proposition~2.15} находим, что $\frac{v}{10}u^{50}<\exp(S)\leq \exp(L)\leq 247q^{65}$. Это означает, что $q^{75}<(2d)^{6.25}u^{50}<(2d)^{6.25}\cdot 1235q^{65}$. Тогда $q^{10}<93995d^{6.25}$. Если $d=1$, то $q<4$ и, следовательно, $q=3$. В~этом случае $R_7(3)=\{1093\}$ и $R_{14}(3)=\{547\}$. Согласно \Tab*{Table~2} $j_1\in\{5,10\}$ или $j_2\in\{5,10\}$, следовательно, $1093-1$ или $547-1$ должно делиться на 10; противоречие. Если $d=13$, то $q<15$, но это невозможно, поскольку $q-\varepsilon{1}$ делится на~13. Предположим, что $S=L_{m}^\tau(u)$, где $13\leq m\leq 14$. Из \Par*{Lemma~5.2} следует, что $m=14$. Согласно \Tab*{Table~2} видим, что $J(L)\setminus E(L)=J(S)\setminus E(S)=\{7,14\}$. Применяя \Par*{Lemma~4.1} и \Par*{Proposition~4.3}, получаем, что $r_5(\varepsilon{q})$ взаимно просто с $|K|\cdot|\overline{G}/S|$. Следовательно, $r_5(\varepsilon{q})$ смежно с $r_7(\varepsilon{q})$ и не смежно с $r_{14}(\varepsilon{q})$ в $GK(S)$. Это означает, что $R_7(\varepsilon{q})\subseteq R_7(\epsilon{u})$ и $R_{14}(\varepsilon{q})\subseteq R_{14}(\epsilon{u})$, где $\epsilon\in\{+,-\}$. По \Par*{Lemma~2.8} получаем, что $5q^6