\documentstyle{SibMatJ}
% \TestXML
\Rus
\topmatter

  \Author             Malyugin
    \Initial          S.
    \Initial          A.
    \Gender           he
    \ORCID            0009-0004-0202-7669
    \Email            mal\@math.nsc.ru
    \AffilRef         1
  \endAuthor

  \Affil 1
    \Organization     Sobolev Institute of Mathematics
    \City             Novosibirsk
    \Country          Russia
  \endAffil

  \opages
    ???--???
  \endopages

  \datesubmitted      December 11, 2025\enddatesubmitted
  %\daterevised       December 11, 2025\enddaterevised
  \dateaccepted       January 6, 2026\enddateaccepted

  \UDclass
    514.114
  \endUDclass

  \thanks
    Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, тема FWNF--2026--0011.
    %The work was carried out in the framework of the State Task to the Sobolev Institute of Mathematics (project FWNF--2026--0011).
  \endthanks

  \title
    Многомерный аналог внешней окружности Конвея
  \endtitle

  \abstract
    Если в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ продолжить за точку
    $A$ на расстояние, равное длине противолежащей стороны $BC$, и то же
    самое проделать с вершинами $B$ и $C$, то построенные 6 точек лежат
    на одной окружности (окружности Конвея), центр которой совпадает с
    центром вписанной окружности. В~работе Гарсиа Капитана
    рассматривался ``внешний'' аналог окружности Конвея, центр которой
    совпадал с центром одной из вневписанных окружностей треугольника
    $ABC$. В~настоящей работе для симплекса в $n$-мерном евклидовом
    пространстве рассматривается многомерный аналог внешней окружности Конвея.
    %If the sides $AB$ and $AC$ of a triangle $ABC$ are
    %prolonged beyond the point $A$ by the length of the opposite side
    %$BC$ and the same is done with the vertices $B$ and $C$, then the
    %so-constructed 6 points lie on the sole circle (the Conway circle),
    %whose center coincides with the center of the inscribed circle. In
    %the work of F.J. Garcia Capitan considered an ``external analog'' of
    %the Conway circle, the center of which coincided with the center of
    %one of the excircles of triangles ABC. In this work, for a simplex
    %in $n$-dimensional Euclideaan space, we consider a multidimensional
    %analog of the external Conway circle.
  \endabstract

  \keywords
    окружность Конвея,
    сфера Конвея,
    каркасный тетраэдр,
    внекаркасный тетраэдр,
    евклидово пространство,
    треугольник,
    тетраэдр,
    симплекс
    %Conway circle,
    %Conway sphere,
    %frame tetrahedron,
    %exframe tetrahedron,
    %Euclidean space,
    %triangle,
    %tetrahedron,
    %simplex
  \endkeywords

\endtopmatter
\input epsf
\input gutable

\head
1. Введение
\endhead

Если в треугольнике $[A_1,A_2,A_3]$ стороны $[A_1,A_2]$ и $[A_1,A_3]$
продолжить за точку $A_1$ на расстояние, равное длине противолежащей
стороны $[A_2,A_3]$, и то же самое проделать с вершинами $A_2$ и
$A_3$, то построенные таким способом 6 точек будут лежать на одной
окружности, центр которой совпадает с центром окружности, вписанной
в треугольник $[A_1,A_2,A_3]$, [1--3]. %\?
Такая окружность
называется {\it окружностью Конвея}. В.А.~Александровым
рассмотрена конструкция сферы Конвея для тетраэдра в $3$-мерном
евклидовом пространстве [4,\,5]. Такая сфера является двумерным
аналогом окружности Конвея. Она существует тогда и только тогда,
когда тетраэдр является {\it каркасным\/} (т.~е. суммы длин любой пары
противолежащих ребер одинаковы). Многомерный аналог окружности
Конвея (для симплекса в $n$-мерном евклидовом пространстве) был
рассмотрен в [6].

Определим внешний аналог окружности Конвея. В~треугольнике
$[A_1,A_2,A_3]$ на продолжении сторон $[A_1,A_2]$ и $[A_1,A_3]$
откладываем от точки $A_1$ две точки $A_{2,1}$ и $A_{3,1}$ на
расстоянии, равном длине противолежащей стороны $[A_2,A_3]$, в
направлении векторов $\overrightarrow{A_1A_2}$ и
$\overrightarrow{A_1A_3}$ соответственно. Аналогичным образом на
продолжениях сторон $[A_1,A_2]$ и $[A_2,A_3]$ откладываем от точки
$A_2$ две точки $A_{1,2}$ и $A_{3,2}$ на расстоянии, равном длине
противолежащей стороны $[A_1,A_3]$, в направлении векторов
$\overrightarrow{A_1A_2}$ и $\overrightarrow{A_2A_3}$
соответственно. И наконец, от вершины $A_3$ откладываем на
расстоянии $|A_1A_2|$ еще две точки $A_{1,3}$ и $A_{2,3}$ в
направлении векторов $\overrightarrow{A_1A_3}$ и
$\overrightarrow{A_3A_2}$ соответственно. Шесть построенных точек
$A_{i,j}$ ($i,j=1,2,3$; $i\neq j$) будут лежать на одной окружности,
которую можно назвать {\it внешней окружностью Конвея}. Центр такой
окружности совпадает с центром вневписанной окружности, касающейся
стороны $[A_2,A_3]$ и продолжений сторон $[A_1,A_2]$, $[A_1,A_3]$
(см. [7, Corollary~5\itm(a)]). В~итоге для заданного треугольника
$[A_1,A_2,A_3]$ можно построить четыре различные окружности Конвея: одну
внутреннюю и три внешних. Многомерный аналог внешней окружности
Конвея нигде ранее не рассматривался и в настоящей работе дается
решение такой задачи. Работа является логическим завершением
предыдущей публикации автора [6].

\head
2. Внешняя сфера Конвея и полувневписанная сфера
\endhead

Рассмотрим в $n$-мерном евклидовом пространстве $E_n$ $n$-мерный
симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ с вершинами в точках
$A_1,\dots,A_{n+1}$ ($n\geq    2$). Нас будут интересовать
условия существования $(n-1)$-мерной сферы, касающейся каждого ребра
симплекса $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ или его продолжения. Сфера,
касающаяся каждого ребра симплекса, называется {\it полувписанной сферой}. 
Возможны также варианты, когда для некоторой вершины $A_i$
сфера касается каждого ребра $[A_j,A_k]$ $(j,k\neq i)$ и продолжения
за вершину $A_j$ каждого ребра $[A_i,A_j]\ (j\neq i)$. Такую сферу
будем называть {\it полувневписанной сферой\/} (относительно вершины
$A_i$). Без существенного ограничения общности можно считать, что
$i=n+1$.

Зафиксируем $n+1$ вещественных чисел $h_1,\dots,h_{n+1}$. На прямой,
содержащей ребро $[A_{n+1},A_l]$, отмечаем точку $A_{n+1,l}$,
находящуюся на расстоянии $|h_l|$ от точки $A_l$ (в направлении
$\overrightarrow{A_{n+1}A_l}$, если $h_l>0$, и в противоположном
направлении $\overrightarrow{A_lA_{n+1}}$, если $h_l<0$). Кроме
того, отметим на этой же прямой точку $A_{l,n+1}$ на расстоянии
$|h_{n+1}|$ от $A_{n+1}$ (в направлении
$\overrightarrow{A_{n+1}A_l}$, если $h_{n+1}>0$; в направлении
$\overrightarrow{A_lA_{n+1}}$, если $h_{n+1}<0$), $l=1,\dots,n$.
И~наконец, для любых $i,j<n+1$ ($i\neq j$) отмечаем на прямой,
содержащей ребро $[A_i,A_j]$, точку $A_{j,i}$, находящуюся на
расстоянии $|h_i|$ от точки $A_i$ (в направлении
$\overrightarrow{A_iA_j}$, если $h_i>0$; в направлении
$\overrightarrow{A_jA_i}$, если $h_i<0$). Обозначим
\iftex
$$
\alignedat2
&a_{k,l}=h_k+h_l-|A_kA_l|&\quad& k,l=1,\dots,n,\  k<l,
\\
&a_{k,n+1}=|A_kA_{n+1}|+h_k-h_{n+1},&\quad& k=1,\dots,n.
\endalignedat
                                                                \tag1
$$
\else
$$
\aligned
&a_{k,l}=h_k+h_l-|A_kA_l|\quad k,l=1,\dots,n,\  k<l,
\\
&a_{k,n+1}=|A_kA_{n+1}|+h_k-h_{n+1},\quad k=1,\dots,n.
\endaligned
                                                                \tag1
$$
\fi
Очевидно, $|a_{k,l}|$ --- это расстояние между точками $A_{k,l}$ и
$A_{l,k}$.

\proclaim{Lemma 1}\Label{L1}
Если выполняется условие

\Item (a) %$1)$
все числа $a_{k,l}$ равны между собой,

\noindent то имеют место следующие утверждения:

\Item (b) %$2)$
существует $(n-1)$-мерная сфера {\rm(}полувневписанная сфера{\rm)},
касающаяся всех ребер $[A_k,A_l]$ {\rm(}$k,l=1,\dots,n$; $k<l${\rm)} и
касающаяся всех продолжений за точки $A_k$ ребер $[A_k,A_{n+1}]$ $(k=1,\dots,n)$;

\Item (c) %$3)$
существует $(n-1)$-мерная сфера, проходящая через все точки
$A_{k,l}$ $(k,l=1,\dots,n+1$; $k\neq l)$.

При этом сферы из пп. \Par{L1}{\rm(b)} и \Par{L1}{\rm(c)} %$2$ и $3$
имеют один и тот же центр.
\endproclaim

\demo{Proof}
Доказательство проведем индукцией по размерности $n$. База индукции $n=2$.

\Figure
\name{Fig.~1} % \caption{}
\body
\iftex
\epsfxsize85mm
\epsfbox{4962.ams+fig1.eps}
\else
\file{4962.ams+fig1.png}
\fi
\endbody
\endFigure

Рассмотрим треугольник $[A_1,A_2,A_3]$. Проведем
вневписанную окружность с центром в точке~$C$, касающуюся ребра
$[A_1,A_2]$ в точке $B_3$ и продолжений ребер $[A_1,A_3]$, $[A_2,A_3]$
в точках $B_2$, $B_1$ соответственно. На \Fig*{Fig.~1} отмечены точки
$A_{i,j}$ ($i,j=1,2,3$) в предположении, что $h_1,h_2,h_3>0$,
$h_1+h_2>|A_1A_2|$ (в этом случае будет также
$|A_iA_3|<h_3<|A_iA_3|+h_i$, $i=1,2$). Так как $|A_1B_2|=|A_1B_3|$ и
$|A_{2,1}A_1|=|A_{3,1}A_1|=|h_1|$, то $|A_{2,1}B_3|=|A_{3,1}B_2|$.
Из равенства длин отрезков $[A_{3,1},A_{1,3}]$ и $[A_{2,1},A_{1,2}]$
следует равенство $|A_{1,3}B_2|=|A_{1,2}B_3|$. Аналогичным образом
$|A_{1,2}B_3|=|A_{3,2}B_1|$ и $|A_{1,3}B_2|=|A_{2,3}B_1|$. Поэтому
$|A_{2,3}B_1|=|A_{3,2}B_1|$ и точка касания $B_1$ лежит на середине
отрезка $[A_{2,3},A_{3,2}]$. Аналогично $B_2$ лежит на середине
$[A_{1,3},A_{3,1}]$ и $B_3$ на середине $[A_{1,2},A_{2,1}]$. Так как
$[B_3,C]$ ортогонально $[A_{1,2},A_{2,1}]$, то
$|A_{2,1}C|=|A_{1,2}C|$. Аналогично $|A_{1,3}C|=|A_{3,1}C|$ и
$|A_{2,3}C|=|A_{3,2}C|$. Из равенства длин отрезков $[A_{i,j},B_k]$
($i\neq j\neq k$) и равенств $|B_1C|=|B_2C|=|B_3C|$ следует
равенство длин всех шести отрезков $[A_{k,l},C]$ ($k,l=1,2,3$; $k\neq l$).
Случай $h_1+h_2\leq   |A_1A_2|$, а также другие не
рассмотренные случаи доказываются аналогичным образом. База индукции
установлена.

Допустим, что утверждение установлено для размерности $\leq   n-1$,
и рассмотрим в пространстве $E_n$ $n$-мерный симплекс
$[A_1,\dots,A_{n+1}]$, для которого выбраны вещественные числа
$h_1,\dots,h_{n+1}$ и построены точки $A_{k,l}$
$(k,l=1,\dots,n+1$; $k\neq l)$, для которых выполняется посылка~$1$.
В~симплексе $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ рассмотрим две $(n-1)$-мерные грани
$[A_1,A_3,\dots,A_{n+1}]$ и $[A_2,\dots,A_{n+1}]$. По предположению
индукции существует $(n-2)$-мерная сфера с центром в точке $C$,
содержащая все отмеченные точки $A_{k,l}$ $(k,l=1,3,\dots,n+1$; $k\neq l)$
и существует $(n-2)$-мерная сфера $S$ с тем же центром $C$,
касающаяся всех ребер $[A_k,A_l]$ $(k,l=1,3,\dots,n$; $k<l)$ и
продолжений за точку $A_k$ ребер $[A_k,A_{n+1}]$ $(k=1,3,\dots,n)$.
Аналогично существует $(n-2)$-мерная сфера с центром в точке~$C'$,
содержащая все точки $A_{k,l}$ $(k,l=2,\dots,n$; $k\neq l)$, и
существует $(n-2)$-мерная сфера $S'$ с тем же центром $C'$,
касающаяся всех ребер $A_{k,l}$ $(k,l=2,\dots,n$; $k<l)$ и продолжений
за точку $A_k$ ребер $[A_k,A_{n+1}]$ $(k=2,\dots,n)$.
Через точку~$C$ проведем прямую $L$, ортогональную $(n-1)$-мерной плоскости
$\Pi$, проходящей через грань $[A_1,A_3,\dots,A_{n+1}]$. Аналогично
проведем через точку $C'$ прямую $L'$, ортогональную $(n-1)$-мерной
плоскости $\Pi'$, проходящей через грань $[A_2,\dots,A_{n+1}]$.
Любая точка $D$ прямой $L$ находится на одинаковом расстоянии от
всех точек $A_{k,l}$ $(k,l=1,3,\dots,n+1$; $k\neq l)$ и на одинаковом
расстоянии от всех точек касания сферы $S$ с ребрами грани
$[A_1,A_3,\dots,A_n]$ и продолжений ребер $[A_k,A_{n+1}]$
$(k=1,3,\dots,n)$. Докажем, что прямые $L$ и $L'$ пересекаются. Для
этого рассмотрим общую $(n-2)$-мерную грань $[A_3,\dots,A_{n+1}]$
граней $[A_1,A_3,\dots,A_{n+1}]$ и $[A_2,\dots,A_{n+1}]$. Она лежит
в $(n-2)$-мерной плоскости $\Pi''$, являющейся пересечением
$(n-1)$-мерных плоскостей~$\Pi$ и~$\Pi'$. Сечением сферы $S$
плоскостью $\Pi''$ будет $(n-3)$-мерная сфера $S''$, касающаяся всех
ребер $(n-3)$-мерной грани $[A_3,\dots,A_n]$ и продолжений ребер
$[A_k,A_{n+1}]$ $(k=3,\dots,n)$. В~случае $n=3$ эта $0$-мерная сфера
вырождается в точку. Пусть $C''$ --- центр этой сферы. Аналогичным
сечением сферы $S'$ плоскостью $\Pi''$ будет та же самая сфера $S''$
с тем же центром $C''$, так как сфера, касающаяся всех ребер грани
$[A_3,\dots,A_n]$ и продолжений ребер $[A_k,A_{n+1}]$
$(k=3,\dots,n)$, единственна. В~случае $n=3$ точка $C''$ является
общей точкой касания двух окружностей $S$ и $S'$ с продолжением
ребра $[A_3,A_4]$ и эта точка лежит на середине отрезка
$[A_{34},A_{43}]$ как для треугольника $[A_1,A_3,A_4]$, так и для
треугольника $[A_2,A_3,A_4]$. Очевидно, отрезок $[C,C'']$
ортогонален $\Pi''$ и $[C',C'']$ тоже ортогонален $\Pi''$. Через
$C''$ проведем двумерную плоскость $\Pi_2$, ортогональную
$(n-2)$-мерной плоскости~$\Pi''$. Эта плоскость содержит точки $C$,
и $C'$. Рассмотрим любую точку $X\in L$. Так как $[C,X]$
перпендикулярно гиперплоскости $\Pi$ и $[C,C'']$ перпендикулярно
$(n-2)$-мерной плоскости $\Pi''$, то $[X,C'']$ перпендикулярно
$\Pi''$ (по теореме о трех перпендикулярах в $n$-мерном пространстве
$E_n$). Следовательно, вся прямая $L$ лежит в плоскости $\Pi_2$.
Аналогичным образом вся прямая $L'$ тоже лежит в $\Pi_2$. Так как
для невырожденного симплекса $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ гиперплоскости
$\Pi$ и $\Pi'$ не параллельны, то ортогональные к ним прямые $L$ и
$L'$ тоже не параллельны. Поэтому внутри двумерной плоскости $\Pi_2$
прямые $L$ и $L'$ пересекаются в некоторой точке~$D$.

Рассмотрим теперь $(n-1)$-мерную грань $[A_1,\dots,A_n]$ и проведем
через нее $(n-1)$-мерную плоскость $\Pi'''$. В~[6] было доказано
существование $(n-2)$-мерной сферы с центром в точке $C'''$,
содержащей все отмеченные точки $A_{k,l}$ ($k,l=1,\dots,n$), которые
лежат на продолжении ребер этой грани, и существование
$(n-2)$-мерной сферы $S'''$ с тем же центром $C'''$, которая
касается всех ребер этой же грани (в [6] предположение, что все
$h_i>0$, является несущественным). Сечением сферы $S'''$
$(n-1)$-мерной плоскостью $\Pi$ будет $(n-3)$-мерная сфера $S''''$.
Если $n>3$, то она получается также сечением сферы $S$
$(n-1)$-мерной плоскостью $\Pi'''$. Пусть $C''''$ --- центр сферы
$S''''$. Если $n=3$, то $C''''$ является общей точкой касания
окружностей $S$ и $S'''$ (эта точка лежит на середине отрезка
$[A_{1,3},A_{3,1}]$ для треугольника $[A_1,A_3,A_4]$ и для
треугольника $[A_1,A_2,A_3]$, что было доказано в [6, Lemma~1]).
Проведем через $C'''$ прямую $L'''$, ортогональную гиперплоскости
$\Pi'''$. Из предыдущего следует, что прямые $L$ и $L'''$, а также
$L'$ и $L'''$ тоже должны пересекаться в некоторых точках $D'$ и
$D''$ соответственно.

Докажем, что $D=D'=D''$. Если это неверно, то
существует двумерная плоскость $\Pi_2'$, проходящая через эти три
прямые $L$, $L'$, $L'''$. Рассмотрим $(n-2)$-мерную плоскость
$\Pi_{n-2}'$, ортогональную плоскости $\Pi_2'$. Так как $L$
перпендикулярно $\Pi$, то $\Pi_{n-2}'$ после переноса на некоторый
вектор вкладывается в $\Pi$. По той же самой причине $\Pi_{n-2}'$
после переноса на подходящий вектор вкладывается в $\Pi'$ и в
$\Pi'''$. Поэтому $\Pi_{n-2}'$ после переноса на некоторый вектор
должно вкладываться в пересечение $\Pi\cap\Pi'\cap\Pi'''$,
размерность которого равна $n-3$. Полученное противоречие
доказывает, что $D=D'=D'''$. Это утверждение остается верным, если
рассмотреть любые другие три различных грани симплекса
$[A_1,\dots,A_{n+1}]$.

Итак, доказано, что существует точка $D$, которая находится на
одинаковом расстоянии от ребер $(n-1)$-мерной грани
$[A_1,\dots,A_{n}]$ и от продолжений ребер граней, содержащих
вершину $A_{n+1}$. Так как любая пара $(n-1)$-мерных граней имеет
общие ребра, то $D$ находится на одинаковом расстоянии от
продолжений всех ребер симплекса $[A_1,\dots,A_{n+1}]$.
Следовательно, существует сфера, касающаяся всех ребер грани
$[A_1,\dots,A_{n}]$ и всех продолжений ребер $[A_i,A_{n+1}]$
($i=1,\dots,n$). Аналогичным образом доказывается, что $D$ находится
на одинаковом расстоянии от всех точек $A_{k,l}$ $(k,l=1,\dots,n+1$; $k\neq l)$.
\enddemo

\proclaim{Lemma 2}\Label{L2}
Допустим, что для симплекса
$[A_1,\dots,A_{n+1}]$ выполняется условие

\Item (iii) %\?$3)$  %\?условие одно, но обозначено 3)
для некоторого набора вещественных чисел
$h_1,\dots,h_{n+1}$ существует
 $(n-1)$-мерная сфера~$S$, содержащая
все определенные выше точки $A_{k,l}$ $(k,l=1,\dots,n+1$; $k\neq l)$.

Тогда центр $C$ сферы $S$ является одновременно центром
другой сферы, полувневписанной относительно вершины $A_{n+1}$.
\endproclaim

\demo{Proof}
Пусть выполнено условие~\Par{L2}{(iii)}. %\?условие~3.
Через двумерную грань $[A_{i_1},A_{i_2},A_{n+1}]$ ($i_1<i_2<n+1$) проведем двумерную
плоскость $\Pi$. Сечением сферы $S$ (содержащей все точки $A_{k,l}$)
плоскостью $\Pi$ будет окружность $S_1$  (\Fig*{Fig.~2}).

\Figure
\name{Fig.~2} % \caption{}
\body
\iftex
\epsfxsize80mm
\epsfbox{4962.ams+fig2.eps}
\else
\file{4962.ams+fig2.png}
\fi
\endbody
\endFigure

Так как
$|A_{i_2,i_1}A_{i_1}|=|A_{n+1,i_1}A_{i_1}|=|h_{i_1}|$, то хорды
$[A_{i_2,i_1},A_{i_1,i_2}]$ и $[A_{n+1,i_1},A_{i_1,n+1}]$ имеют с
окружностью $S_1$ (в точках $A_{i_2,i_1}$ и $A_{n+1,i_1}$
соответственно) один и тот же угол $\alpha$. Поэтому эти две хорды
имеют одинаковую длину, т.~е.
$|A_{i_2,i_1}A_{i_1,i_2}|=|A_{n+1,i_1}A_{i_1,n+1}|$. Аналогично из
равенства $|A_{n+1,i_2}A_{i_2}|=|A_{i_1,i_2}A_{i_2}|=|h_{i_2}|$
следует, что и третья хорда $[A_{n+1,i_2},A_{i_2,n+1}]$ имеет с
окружностью~$S_1$ в точке $A_{n+1,i_2}$ такой же угол $\alpha$,
поэтому
$$
|A_{i_2,n+1}A_{n+1,i_2}|=|A_{i_1,i_2}A_{i_2,i_1}|=|A_{i_1,n+1}A_{n+1,
i_1}|.
$$
Для любой грани $[A_{i_1},A_{j_2},A_{n+1}]$, имеющей общее ребро
$[A_{i_1},A_{n+1}]$ с гранью $[A_{i_1},A_{i_2},A_{n+1}]$, будем иметь
продолжение предыдущих равенств:
$$
|A_{i_1,n+1}A_{n+1,i_1}|
=|A_{j_2,n+1}A_{n+1,j_2}|=|A_{i_1,j_2}A_{j_2,i_1}|
$$
и т.~д. Поэтому
в симплексе $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ все числа $|A_{k,l}A_{l,k}|$
($k,l=1,\dots,n+1$; $k<l$) равны одному числу $d$. Пусть $R$ --- радиус
сферы $S$. Рассмотрим сферу $S'_1$ с центром в $C$ и радиусом
$r=\sqrt{R^2-(d/2)^2}$. Эта сфера касается середины каждого отрезка
$[A_{k,l},A_{l,k}]$ $(k,l=1,\dots,n+1$; $k<l)$. Следовательно, центр $C$
сферы $S$ является одновременно и центром другой сферы $S'_1$ либо
полувписанной в симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$, либо
полувневписанной относительно некоторой вершины симплекса
$[A_1,\dots,A_{n+1}]$. Для выяснения точного расположения сферы
$S'_1$ рассмотрим любую двумерную грань $[A_{i_1},A_{i_2},A_{n+1}]$
($i_1<i_2<n+1$) и проведем через нее двумерную плоскость $\Pi$.
Пересечением сферы $S'_1$ и плоскости $\Pi$ будет некоторая
окружность $S_1$, касающаяся трех отрезков $[A_{i_1},A_{i_2}]$,
$[A_{i_1},A_{n+1}]$, $[A_{i_2},A_{n+1}]$ либо их продолжений. Точки
$A_{i_1,n+1}$ и $A_{i_1,i_2}$ находятся на одинаковом расстоянии
$|h_{i_1}|$ от вершины $A_{i_1}$ и лежат на окружности $S_1$. Кроме
этого, $A_{i_1,n+1}$ лежит на продолжении отрезка
$[A_{i_1},A_{n+1}]$ за точку~$A_{i_1}$, а $A_{i_1,i_2}$ лежит на
отрезке $[A_{i_1},A_{i_2}]$ либо на его продолжении за точку~$A_{i_2}$ 
(либо, наоборот, $A_{i_1,i_2}$ лежит на продолжении отрезка
$[A_{i_1},A_{i_2}]$ за точку~$A_{i_1}$, а $A_{i_1,n+1}$ лежит на
отрезке $[A_{i_1},A_{n+1}]$ либо на его продолжении за точку
$A_{n+1}$). Это означает, что центр $C_1$ окружности $S_1$ лежит на
биссектрисе внешнего угла треугольника $[A_{i_1},A_{i_2},A_{n+1}]$ при
вершине $A_{i_1}$. Аналогичным образом доказывается, что $C_1$ лежит
на биссектрисе внешнего угла этого треугольника при вершине
$A_{i_2}$. Поэтому $S_1$ является вневписанной окружностью
треугольника $[A_{i_1},A_{i_2},A_{n+1}]$, касающейся стороны
$[A_{i_1},A_{i_2}]$ и продолжений сторон $[A_{i_1},A_{n+1}]$,
$[A_{i_2},A_{n+1}]$. Такая ситуация возможна в единственном случае,
когда $S'_1$ является полувневписанной сферой симплекса
$[A_{1},\dots,A_{n+1}]$ относительно вершины~$A_{n+1}$.
\enddemo

\proclaim{Lemma 3}
Пусть в $n$-мерном евклидовом пространстве $E_n$
задан симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$. Допустим, что существует
$(n-1)$-мерная сфера, касающаяся всех ребер грани
$[A_1,\dots,A_{n}]$ и всех продолжений за точку $A_i$ ребер
$[A_i,A_{n+1}]$ $(i=1,\dots,n)$. Тогда существует набор чисел
$h_1,\dots,h_{n+1}$ такой, что все числа $a_{k,l}$
$(k,l=1,\dots,n$; $k<l)$, $a_{k,n+1}$ $(k=1,\dots,n)$, определяемые
формулами \Tag(1), равны между собой.
\endproclaim

\demo{Proof}
Обозначим точку касания сферы и ребра
$[A_k,A_l]$ (или его продолжения) через $B_{k,l}$. Из условия
касания следует, что для каждого фиксированного $k$ все длины
$|A_kB_{k,l}|$ ($l=1,\dots,n+1$; $l\neq k$) равны между собой и равны
$a_k$. Из определения чисел $a_k$ вытекают равенства
$$
|A_kA_l|=a_k+a_l,
\quad
 |A_kA_{n+1}|=a_{n+1}-a_k
\quad  (k,l=1,\dots,n;\ k\neq l).
\eqno{(2)}
$$
Для фиксированного параметра $\lambda$ полагаем
$$
h_k=\lambda+\sum\limits_{j\neq k}^{n}(a_{n+1}-a_{j})\
(k=1,\dots,n),
\quad
h_{n+1}=-\lambda+\frac{1}{n-
1}\sum\limits_{i<j}^{n}(a_{i}+a_{j}).
\eqno{(3)}
$$
Тогда все числа
$$
\align
&\aligned
a_{k,l}&=h_k+h_l-|A_kA_l|
\\
&=2\lambda+2a_{n+1}-a_k-a_l+\sum\limits_{j\neq
k}^{n}(a_{n+1}-a_j)+\sum\limits_{j\neq l}^{n}(a_{n+1}-a_j)
\\
&=2\lambda+2na_{n+1}-2(a_1+\dots+a_{n})\quad
(k,l=1,\dots,n;\ k<l),
\endaligned
\\
&a_{k,n+1}=h_k+|A_kA_{n+1}|-h_{n+1}=2\lambda+2na_{n+1}-
2(a_1+\dots+a_{n})
\endalign
$$
равны между собой. Мы построили однопараметрическое семейство сфер,
проходящих через все точки $A_{k,l}$ (полувневписанная сфера тоже
входит в это семейство).
\enddemo

Для данного $n$-мерного симплекса $[A_1,\dots,A_{n+1}]$
$(n\geq   3)$ и вещественного параметра $\lambda$ рассмотрим $n+1$
вещественных чисел
$$
h_k=\lambda+\sum\limits_{j\neq k}^n|A_jA_{n+1}|;\quad
h_{n+1}=-\lambda+\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i<j}^n|A_iA_j|.
							\eqno{(4)}
$$
По набору $h_1,\dots,h_{n+1}$ на ребрах $[A_k,A_l]$ ($k,l=1,\dots,n$; $k<l$)
и на продолжении ребер $[A_k,A_{n+1}]$ за точку $A_k$ строим
точки $A_{k,l}$ ($k,l=1,\dots,n+1$), как описано в начале этого раздела.
Определим также числа $a_{k,l}$ ($k<l\leq    n+1$) по
формулам \Tag(1). Теперь основной результат можно сформулировать
следующим образом.

\proclaim{Theorem 1}\Label{T1}
Следующие утверждения эквивалентны между собой:

\Item $(\alpha)$ все числа $a_{k,l}$, определяемые формулами \Tag(1), равны между собой;
\Item $(\beta)$ существует $(n-1)$-мерная сфера {\rm(}полувневписанная
сфера{\rm)}, касающаяся всех ребер $[A_k,A_l]$ $(k,l=1,\dots,n$; $k<l)$
и касающаяся всех продолжений за точки $A_k$ ребер $[A_k,A_{n+1}]$ $(k=1,\dots,n)$;
\Item $(\gamma)$ существует набор из $n+1$ положительных чисел $a_1,\dots,
a_{n+1}$, для которого выполняются равенства \Tag(2);
\Item $(\delta)$ существует $(n-1)$-мерная сфера, проходящая через все точки $A_{k,l}$ $(k,l=1,\dots,n+1$; $k\neq l)$;
\Item $(\varepsilon)$ существует набор из $n+1$ вещественных чисел $\{h_k:k=1,\dots,n+1\}$ для которого все точки~$A_{k,l}$
$(k,l=1,\dots,n+1$; $k\neq l)$, определенные в начале раздела по
этому набору, лежат на одной $(n-1)$-мерной сфере.

При этом центры сфер в утверждениях
\Par{T1}{$(\beta)$} и \Par{T1}{$(\delta)$}, \Par{T1}{$(\varepsilon)$}  совпадают.
\endproclaim

\demo{Proof}
Импликация \Par{T1}{$(\alpha)$}$\Rightarrow$\Par{T1}{$(\beta)$} следует из \Par*{Lemma 1}. %не я комментировала %(свойство~2).
Импликация \Par{T1}{$(\beta)$}$\Rightarrow$\Par{T1}{$(\gamma)$} доказана в \Par*{Lemma~3}.
Импликация \Par{T1}{$(\gamma)$}$\Rightarrow$\Par{T1}{$(\delta)$} обоснована тем, что из равенств \Tag(2) и \Tag(3) следуют
равенства \Tag(4) и в \Par*{Lemma~3} доказано, что тогда все числа $a_{k,l}\
(k,l=1,\dots,n+1$; $k<l)$, определяемые формулами \Tag(1), равны между
собой. Следовательно, выполнено свойство~\Par{L1}{(c)} %свойство 3
из \Par*{Lemma 1} и доказана
также импликация \Par{T1}{$(\gamma)$}$\Rightarrow$\Par{T1}{$(\alpha)$}. Импликация
\Par{T1}{$(\delta)$}$\Rightarrow$\Par{T1}{$(\varepsilon)$} очевидна (мы не предполагаем в
утверждении \Par{T1}{$(\varepsilon)$}, что числа $h_1,\dots,h_{n+1}$
обязательно определяются по формулам \Tag(4)). Импликация
\Par{T1}{$(\varepsilon)$}$\Rightarrow$\Par{T1}{$(\beta)$} доказана в \Par*{Lemma~2}. Установлена
эквивалентность между собой всех утверждений
\Par{T1}{$(\alpha)$}, \Par{T1}{$(\beta)$}, \Par{T1}{$(\gamma)$}, \Par{T1}{$(\delta)$}, и~\Par{T1}{$(\varepsilon)$}. В~частности
доказано, что если существует набор из $n+1$ вещественных чисел
$\{h_1,\dots,h_{n+1}\}$, для которого все точки $A_{k,l}$
$(k,l=1,\dots,n+1$; $k\neq l)$ лежат на одной $(n-1)$-мерной сфере, то
$h_k$ определяются при некотором $\lambda$ формулами~\Tag(4).
\enddemo

Для симплекса $[A_1,\dots,A_{n+1}]$  $(n\geq    3)$,
удовлетворяющего одному из условий $(\alpha),\dots,(\varepsilon)$,
мы построили семейство сфер $S_\lambda$, зависящее от вещественного
параметра $\lambda$.  Особый интерес представляет случай, когда
набор чисел $\{h_k:k=1,\dots,n+1\}$ определяется формулами \Tag(4) при
$\lambda=0$. Сферу $S_0$, проходящую через все точки $A_{k,l}$
($k,l=1,\dots,n+1$), определяемые по этому набору
$\{h_k:k=1,\dots,n+1\}$, будем далее называть {\it внешней сферой
Конвея {\rm(}внешней относительно вершины $A_{n+1}${\rm)}}.

При $n=2$ и $\lambda=0$ формулы \Tag(4) для треугольника $[A_1,A_2,A_3]$
принимают следующий вид: $h_1=|A_2A_3|$, $h_2=|A_1A_3|$,
$h_3=|A_1A_2|$. Точки $A_{k,l}$ и $A_{l,k}$ на продолжении сторон
$[A_k,A_l]$ определяются теперь не так, как при построении
стандартной (``внутренней'') окружности Конвея. А именно, две точки
$A_{3,1}$, $A_{3,2}$ откладываются на продолжениях сторон $[A_1,A_3]$
и $[A_2,A_3]$ так же, как и в случае ``внутренней'' окружности
Конвея. Остальные четыре точки $A_{1,2}$, $A_{2,1}$, $A_{1,3}$, $A_{3,1}$
откладываются на соответствующих продолжениях сторон $[A_1,A_2]$
$[A_1,A_2]$, $[A_2,A_3]$ в направлениях, противоположных тем, в
которых они откладывались бы при построении внутренней окружности
Конвея. Шесть точек $\{A_{k,l}:k,l=1,2,3$; $k\neq l\}$ будут лежать на
окружности, которую можно назвать {\it внешней окружностью Конвея
{\rm(}относительно вершины $A_3${\rm)}}. Центр этой окружности совпадает с
центром вневписанной окружности, касающейся стороны $[A_1,A_2]$ и
продолжений сторон $[A_1,A_3]$, $[A_2,A_3]$. Такая внешняя
окружность рассматривалась ранее в [7]. При $n=2$ в \Par*{Theorem 1}
утверждения \Par{T1}{$(\beta)$} и \Par{T1}{$(\gamma)$} становятся тавтологиями, поэтому
случай $n=2$ переформулируется (с заменой слов ``сферы'' на
``окружности'' следующим образом.

\proclaim{Corollary 1}
При $n=2$ для треугольника $[A_1,A_2,A_3]$
свойства \Par{T1}{$(\alpha)$}, \Par{T1}{$(\delta)$}, и \Par{T1}{$(\varepsilon)$} в \Par*{Theorem {\rm1}} эквивалентны.
\endproclaim

Особый интерес имеет также пространственный случай $n=3$. Для
тетраэдров, имеющих полувписанную сферу (каркасных тетраэдров),
задача о (внутренней) сфере Конвея была поставлена и решена
В.А.~Александровым [4,\,5]. Внешняя сфера Конвея согласно нашим
определениям строится следующим образом. Для тетраэдра
$[A_1,A_2,A_3,A_4]$ на прямых, проходящих через ребра $[A_1,A_4]$,
$[A_2,A_4]$, $[A_3,A_4]$, откладываются три точки
$A_{1,4}$, $A_{2,4}$, $A_{3,4}$ на расстоянии
$h_4=(|A_1A_2|+|A_2A_3|+|A_1A_3|)/2$ от точки $A_4$ в направлении
векторов $\overrightarrow{A_4A_1}$, $\overrightarrow{A_4A_2}$,
$\overrightarrow{A_4A_3}$. На прямой, проходящей через ребро
$[A_1,A_4]$, откладываем точку $A_{4,1}$ на расстоянии
$h_1=|A_2A_4|+|A_3A_4|$ от точки $A_1$ в направлении вектора
$\overrightarrow{A_4A_1}$. Кроме этого, откладываем еще две точки
$A_{2,1}$ и $A_{3,1}$ на том же расстоянии $h_1$ от точки $A_1$ в
направлении векторов $\overrightarrow{A_1A_2}$ и
$\overrightarrow{A_1A_3}$. Аналогичным образом откладываем точки
$A_{k,2}$ ($k=1,3,4$) и $A_{k,3}$ ($k=1,2,4$) на расстояниях
$h_2=|A_1A_4|+|A_3A_4|$ и $h_3=|A_1A_4|+|A_2A_4|$ от точек $A_2$ и
$A_3$ соответственно. Из \Par*{Theorem 1} получаем

\proclaim{Corollary 2}
Точки $A_{k,l}$ {\rm(}$k,l=1,2,3,4$; $k\neq l${\rm)}
будут лежать на сфере {\rm(}внешней сфере Конвея{\rm)} тогда и только
тогда, когда тетраэдр $[A_1,A_2,A_3,A_4]$ имеет полувневписанную
сферу {\rm(}относительно вершины $A_4${\rm)}. Центры внешней сферы Конвея и
полувневписанной сферы совпадают.
\endproclaim

Из критерия \Par{T1}{$(\gamma)$} \Par*{Theorem 1} и равенств \Tag(2) получаем

\proclaim{Corollary 3}
Тетраэдр $[A_1,A_2,A_3,A_4]$ имеет
полувневписанную сферу {\rm(}относительно вершины~$A_4${\rm)} тогда и
только тогда, когда разности длин следующих противолежащих ребер
равны
$$
|A_1A_4|-|A_2A_3|=|A_2A_4|-|A_1A_3|=|A_3A_4|-|A_1A_2|.\eqno{(5)}
$$
\endproclaim

Введем новый термин и будем называть тетраэдр $[A_1,A_2,A_3,A_4]$,
для которого выполняются равенства \Tag(5), {\it внекаркасным тетраэдром
{\rm(}относительно вершины $A_4${\rm)}}.

\head
3. Характеризация симплексов с~полувневписанной сферой
\endhead

В \Par*{Theorem 1} дается критерий существования внешней сферы Конвея, но
естественно возникает вопрос о достаточном разнообразии тех
симплексов, для которых можно построить такую сферу. Иными словами,
как много симплексов имеют полувневписанную сферу? В~[6] получена
характеризация $n$-мерных симплексов, имеющих полувписанную сферу.
В~этом разделе будет дана аналогичная полная характеризация
$n$-мерных симплексов, имеющих полувневписанную сферу.

\proclaim{Lemma 4}
Рассмотрим набор положительных
чисел $a_1,\dots,a_{n+1}$. Если в $n$-мерном евклидовом пространстве
$E_n$ существует симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ с ребрами, длины
которых удовлетворяют равенствам \Tag(2), то существует набор чисел
$h_1,\dots,h_{n+1}$ такой, что все числа $a_{k,l}$
$(k,l=1,\dots,n+1$; $k<l)$, задаваемые формулами \Tag(1), будут
одинаковыми. Кроме этого, существует сфера, касающаяся всех ребер
$[A_k,A_l]$ в точках $B_{k,l}$ $(k,l=1,\dots,n$; $k<l)$ и всех
продолжений за точку $A_k$ ребер $[A_k,A_{n+1}]$ в точках
$B_{k,n+1}$ {\rm(}полувневписанная сфера{\rm)}, при этом будут выполняться
равенства $|A_kB_{k,l}|=a_k$ и $|A_kB_{k,n+1}|=a_{n+1}$
{\rm(}$k,l=1,\dots,n$; $k\neq l${\rm)}.
\endproclaim

\demo{Proof}
Достаточно положить для произвольного
вещественного параметра $\lambda$
$$
h_k=\lambda+\sum\limits_{j\neq k}^{n}(a_{n+1}-a_{j})\
(k=1,\dots,n),
\quad
h_{n+1}=-\lambda+\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i<j}^{n}(a_{i}+a_{j}).
$$
Существование полувневписанной сферы сразу следует из \Par*{Lemma 1}. Если
обозначить через $B_{k,l}$ и $B_{k,n+1}$ точки касания этой сферы с
ребрами $[A_k,A_l]$ и с продолжениями ребер $[A_k,A_{n+1}]$
соответственно, то система линейных уравнений
$$
x_k+x_l=|A_kA_l|\quad (k,l=1,\dots,n;\ k<l)
$$
может иметь не более одного решения, поэтому имеем равенства
$a_k=|A_kB_{k,l}|$ $(k,l=1,\dots,n$; $k\neq l)$. Так как
$|A_kB_{k,l}|=|A_kB_{k,n+1}|$, то также верны равенства
$|A_kA_{n+1}|=|A_kB_{k,n+1}|-a_k$ ($k=1,\dots,n$). Следовательно,
$|A_kB_{k,n+1}|=a_{n+1}$ ($k=1,\dots,n$).
\enddemo

\Par*{Lemma 4} дает ответ на вопрос о характеризации. Очевидно, правильный
$n$-мерный симплекс (с равными ребрами) имеет полувневписанную сферу
(даже $n+1$ штук для каждой $(n-1)$-мерной грани). Параметры
$a_1,\dots,a_{n+1}$ в формуле \Tag(2) для этого симплекса можно менять
произвольно в достаточно малых окрестностях, и новый симплекс,
который строится по длинам ребер $|A_kA_l|$, заданным по формуле
\Tag(2), тоже может быть реализован в $E_n$. Поэтому существует открытое
множество $U\subset {\Bbb  R}^{n+1}$, состоящее из всех наборов
$(a_1,\dots,a_{n+1})\in U$, для которых в $E_n$ существует
$n$-мерный симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$, длины ребер которого
удовлетворяют равенствам \Tag(2). Следовательно, ответ на вопрос о
разнообразии таких симплексов можно сформулировать в следующем виде
[6, Corollary 4].

\proclaim{Corollary 4}
Если считать симплекс заданным длинами своих
ребер, то множество всех $n$\=мерных симплексов, имеющих
полувневписанныю сферу {\rm(}и касающуюся всех ребер грани
$[A_1,\dots,A_n]${\rm)}, образует $(n+1)$-мерное подмногообразие в
$[n(n+1)]/2$-мерном многообразии всех $n$-мерных симплексов.
\endproclaim

Рассмотрим вопрос о том, насколько много полувневписанных
сфер может иметь один симплекс. Правильный симплекс имеет наибольшее
количество таких сфер, именно $n+1$ штук (каждая такая сфера
касается всех ребер одной из $(n-1)$-мерных граней). В~общем случае
ответ зависит от размерности. Очевидный случай $n=2$ мы не
рассматриваем.

{\sc Случай $n=3$.}

\proclaim{Proposition 1 \rm [8, Section 41]}
Тетраэдр имеет
более одной полувневписанной сферы тогда и только тогда, когда равны
длины любой его пары противолежащих ребер {\rm(}равногранный
тетраэдр{\rm)}. В~этом случае тетраэдр имеет все четыре
полувневписанные сферы. Как следствие в равногранном тетраэдре
можно построить четыре различные внешние сферы Конвея.
\endproclaim

{\sc Случай $n>3$.}

\proclaim{Proposition 2}
Если $n\geq    4$ и $n$-мерный симплекс
$[A_1,\dots,A_{n+1}]$ имеет более чем две полувневписанные сферы,
то он является правильным симплексом. Если $n$-мерный симплекс имеет
ровно две полувневписанные сферы $S_1$ и $S_2$, где $S_1$ касается
всех ребер грани $[A_1,\dots,A_n]$, а $S_2$ касается всех ребер
грани $[A_1,\dots,A_{n-1},A_{n+1}]$, то для некоторых $b,c>0$
$(b\neq c)$ верны равенства
\iftex
$$
\alignat2
&|A_nA_{n+1}|=|A_kA_l|=2b&\quad&  (k,l=1,\dots,n-1;\ k<l),
\\
&|A_kA_n|=|A_kA_{n+1}|=2c&\quad&  (k=1,\dots,n-1).
\endalignat
$$
\else
$$
\align
&|A_nA_{n+1}|=|A_kA_l|=2b\quad  (k,l=1,\dots,n-1;\ k<l)
\\
&|A_kA_n|=|A_kA_{n+1}|=2c\quad  (k=1,\dots,n-1).
\endalign
$$
\fi
Как следствие в таком симплексе существуют ровно две различные
внешние сферы Конвея.
\endproclaim

\demo{Proof}
Существуют два набора параметров
$(a_1,\dots,a_{n+1})$,
$(b_1,\dots,b_{n+1})\in{\Bbb  R}^{n+1}$,
для которых
\iftex
$$
\alignat2
&a_k+a_l=b_k+b_l\ (k,l=1,\dots,n-1;\ k<l),
&\quad&
 a_{n+1}-a_k=b_{n+1}+b_k\
(k=1,\dots,n-1);
\\
&a_{n+1}-a_n=b_n-b_{n+1},
&\quad&  a_k+a_n=b_n-b_k\ (k=1,\dots,n-1).
\endalignat
$$
\else
$$
\align
&a_k+a_l=b_k+b_l\ (k,l=1,\dots,n-1;\ k<l),
\quad
 a_{n+1}-a_k=b_{n+1}+b_k\
(k=1,\dots,n-1);
\\
&a_{n+1}-a_n=b_n-b_{n+1},
\quad  a_k+a_n=b_n-b_k\ (k=1,\dots,n-1).
\endalign
$$
\fi
Обе сферы $S_1$ и $S_2$ в пересечении с гранью $[A_1,\dots,A_{n-1}]$
дают $(n-3)$-мерную сферу, полувписанную в эту грань. Из \Par*{Lemma 4}
вытекает, что $a_k=b_k=b$. Последнее равенство следует из того, что
для трехмерной грани $[A_i,A_j,A_n,A_{n+1}]$ ($i<j<n$) имеют место
равенства $a_i=b_j$ и $a_j=b_i$, т.~е. $a_i=b_i=b_j=a_j$; см.
доказательство \Par*{Proposition 1}. Поэтому $|A_kA_l|=a_k+a_l=2b$
($k,l=1,\dots,n-1$; $k<l$). Кроме того, $b_n=a_{n+1}$, $b_{n+1}=a_n$ и
$|A_nA_{n+1}|=a_{n+1}-a_{n}=2b$,
$|A_kA_n|=a_k+a_n=b_n-b_k=a_{n+1}-a_k=2c$. Вторая часть \Par*{Proposition 2}
доказана.

Для доказательства первой части допустим, что существует еще одна
полувневписанная сфера $S_3$, касающаяся всех ребер грани
$[A_2,\dots,A_{n+1}]$. Тогда еще для одного набора
параметров $(c_1,\dots,c_{n+1})\in {\Bbb  R}^{n+1}$ имеем
равенства
$$
a_1+a_k=c_1-c_k\ (k=2,\dots,n),\quad  a_k+a_l=c_k+c_l\
(k,l=2,\dots,n+1;\ k<l).
$$
Так же, как и раньше, получаем $a_k=c_k=b$ ($k=2,\dots, n$). Поэтому
$a_n=c_n=b$, $a_{n+1}=a_n+2b=3b$. И наконец,
$|A_kA_{n+1}|=|A_kA_n|=a_k+a_n=2b$, т.~е. длины всех ребер
симплекса $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ равны~$2b$.
\enddemo

\proclaim{Proposition 3}
Если $n$-мерный симплекс
$[A_1,\dots,A_{n+1}]$ $(n\geq    3)$ имеет полувписанную сферу и
по крайней мере две полувневписанные сферы, то он является
правильным симплексом. Если $n$-мерный симплекс имеет полувписанную
сферу и одну полувневписанную сферу, касающуюся всех ребер грани
$[A_1,\dots,A_n]$, то для некоторых $b,c>0\ (b\neq c)$ будем иметь
$$
|A_kA_l|=2b\ (k,l=1,\dots,n;\ k<l);\quad |A_kA_{n+1}|=2c\ (k=1,\dots,n).
$$
Как следствие в таком симплексе существует внутренняя сфера Конвея
и существует ровно одна внешняя сфера Конвея.
\endproclaim

\demo{Proof}
Случай $n=3$ рассмотрен в [8]. Если $n>3$ и
симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ имеет две полувневписанные сферы
$S_1$, $S_2$, где $S_1$ касается всех ребер грани $[A_1,\dots,A_n]$,
а $S_2$ касается всех ребер грани $[A_1,\dots,A_{n-1},A_{n+1}]$, по
\Par*{Proposition 2} уже имеем равенства $|A_nA_{n+1}|=|A_kA_l|=2b$
$(k,l=1,\dots,n-1$; $k<l)$ и $|A_kA_n|=|A_kA_{n+1}|=2c$ $(k=1,\dots,n-1)$.
Если симплекс имеет также полувписанную сферу, то из [4,\,5] следует,
что $3$-мерная грань $[A_k,A_l,A_n,A_{n+1}]$ ($k<l<n$) является
каркасным тетраэдром, поэтому
$$
4b=|A_kA_l|+|A_nA_{n+1}|=|A_kA_n|+|A_lA_{n+1}|=4c.
$$
Значит, $b=c$ и
$|A_kA_n|=|A_kA_{n+1}|=2b$, что означает равенство всех ребер
симплекса $[A_1,\dots,A_{n+1}]$.

Допустим теперь, что $n$-мерный симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$
($n\geq    3$) имеет полувписанную сферу и одну полувневписанную
сферу, касающуюся всех ребер грани $[A_1,\dots,A_n]$. Из \Par*{Theorem 1}
(критерий~\Par{T1}{$(\gamma)$}) следует существование набора
$(a_1,\dots,a_{n+1})$, для которого $|A_kA_l|=a_k+a_l$,
$|A_kA_{n+1}|=a_{n+1}-a_k$ $(k,l=1,\dots,n$; $k\neq l)$. Из
существования полувписанной сферы следует существование еще одного
набора $(b_1,\dots,b_{n+1})$, для которого $|A_kA_l|=b_k+b_l$
$(k,l=1,\dots,n+1$; $k<l)$. Так как полувписанная и полувневписанная
сферы касаются всех ребер одной и той же грани $[A_1,\dots,A_n]$, то
$a_k=b_k$ ($k=1,\dots,n$). Но тогда
$|A_kA_{n+1}|=a_{n+1}-a_k=a_k+b_{n+1}$, поэтому
$a_k=(a_{n+1}-b_{n+1})/2=b$ не зависит от $k$. Поэтому
$|A_kA_{n+1}|=a_{n+1}-b=2c$ тоже не зависит от $k$.
\enddemo

\head
4. Еще один критерий существования полувневписанной сферы
\endhead

Рассмотрим полный граф $K_{n+1}$ с $n+1$ вершинами $1,2,\dots,n+1$.
Рассмотрим также абелеву группу $(G,+)$, в которой для любого
элемента $a\in G$ уравнение $2x:=x+x=a$ имеет единственное решение,
которое будем обозначать через $x/2$. Задача о делении весов с
вычитанием формулируется следующим образом. Каждому ребру графа
$K_{n+1}$, соединяющему вершины $i$ и $j$, сопоставим вес $w_{i,j}\in
G$. Нужно найти условия, при которых существует последовательность
$a_1,\dots,a_{n+1}\in G$, для которой $w_{i,j}=a_i+a_j$
($i,j=1,\dots,n$; $i<j$) и $w_{i,n+1}=a_{n+1}-a_i$ ($i=1,\dots,n$).

\proclaim{Lemma 5}
При $n\geq    3$ задача о делении весов
разрешима единственным образом тогда и только тогда, когда для любой
четверки $i_1<i_2<i_3<i_4<n+1$ выполняются равенства
$$
w_{i_1,i_2}+w_{i_3,i_4}=w_{i_1,i_3}+w_{i_2,i_4}=w_{i_1,i_4}+w_{i_2,i_3}
							\eqno{(6)}
$$
и для любой тройки $i_1<i_2<i_3<n+1$ выполняются равенства
$$
w_{i_1,n+1}-w_{i_2,i_3}=w_{i_2,n+1}-w_{i_1,i_3}=w_{i_3,n+1}-
w_{i_1,i_2}.\eqno{(7)}
$$
\endproclaim

\demo{Proof}
{\sc Необходимость} %\?
условий \Tag(6) и \Tag(7) очевидна.
Докажем {\sc достаточность}. %\?
Для четверки индексов $i_1<i_2<i_3<i_4<n+1$
обозначим $b=w_{i_1,i_2}+w_{i_3,i_4}$ и полагаем
\iftex
$$
\alignat2
&x_1=b-(w_{i_2,i_3}+w_{i_2,i_4}+w_{i_3,i_4})/2;
&\quad&
x_2=b-(w_{i_1,i_3}+w_{i_1,i_4}+w_{i_3,i_4})/2;
\\
&x_3=b-(w_{i_1,i_2}+w_{i_2,i_4}+w_{i_1,i_4})/2;
&\quad&
x_4=b-(w_{i_1,i_2}+w_{i_2,i_3}+w_{i_1,i_3})/2.
\endalignat
$$
\else
$$
\align
&x_1=b-(w_{i_2,i_3}+w_{i_2,i_4}+w_{i_3,i_4})/2;
\quad
x_2=b-(w_{i_1,i_3}+w_{i_1,i_4}+w_{i_3,i_4})/2;
\\
&x_3=b-(w_{i_1,i_2}+w_{i_2,i_4}+w_{i_1,i_4})/2;
\quad
x_4=b-(w_{i_1,i_2}+w_{i_2,i_3}+w_{i_1,i_3})/2.
\endalign
$$
\fi
Непосредственно проверяется, что $w_{i_k,i_l}=x_k+x_l$
($k,l=1,2,3,4$; $k<l$). Пусть $i_1<i_2<i_3<n+1$ и $c=w_{i_1,n+1}-w_{i_2,i_3}$. Полагаем
\iftex
$$
\alignat2
&y_1=[(w_{i_2,n+1}+w_{i_3,n+1}-w_{i_2,i_3})/2]-c;
&\quad&
y_2=[(w_{i_1,n+1}+w_{i_3,n+1}-w_{i_1,i_3})/2]-c;
\\
&y_3=[(w_{i_1,n+1}+w_{i_2,n+1}-y_{i_1,i_2})/2]-c;
&\quad&
y_4=c+[(w_{i_1,i_2}+w_{i_1,i_3}+w_{i_2,i_3})/2].
\endalignat
$$
\else
$$
\align
&y_1=[(w_{i_2,n+1}+w_{i_3,n+1}-w_{i_2,i_3})/2]-c;
\quad
y_2=[(w_{i_1,n+1}+w_{i_3,n+1}-w_{i_1,i_3})/2]-c;
\\
&y_3=[(w_{i_1,n+1}+w_{i_2,n+1}-y_{i_1,i_2})/2]-c;
\quad
y_4=c+[(w_{i_1,i_2}+w_{i_1,i_3}+w_{i_2,i_3})/2].
\endalign
$$
\fi
Непосредственно проверяется, что $w_{i_k,i_l}=y_k+y_l$
($k,l=1,2,3$; $k<l$) и $w_{i_k,n+1}=y_4-y_k$ ($k=1,2,3$).

Далее будем действовать по индукции. В~качестве базы индукции
рассмотрим четверку индексов $i_1=1$, $i_2=2$, $i_3=3$, $i_4=n+1$ и положим
$a_i=y_i$ ($i=1,2,3$), $a_{n+1}=y_4$, где $y_1,y_2,y_3,y_4\in G$ ~---
полученное выше решение. Допустим, что для некоторого $4\leq
p<n$ уже найдены элементы $a_1,\dots,a_p,a_{n+1}\in G$, для которых
$w_{i,j}=a_i+a_j$ $(i,j=1,\dots,p$; $i<j)$ и $w_{i,n+1}=a_{n+1}-a_i$
($i=1,\dots,p$). Положим $a_{p+1}=w_{1,p+1}-a_1$. Необходимо
проверить, что для любого $1<i\leq    p$ выполняется
$w_{i,p+1}=a_i+a_{p+1}$. Для этого рассмотрим четверку индексов
$1,i,j,p+1$, где $1<j\leq    p$; $j\neq i$. По предыдущему условию
для этой четверки тоже существует решение $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, т.~е.
$w_{1,i}=x_1+x_2$, $w_{1,j}=x_1+x_3$, $w_{i,j}=x_2+x_3$,
$w_{1.p+1}=x_1+x_4$. Вычтя из первого равенства третье и сложив со
вторым, получим $2x_1=w_{1,i}-w_{i,j}+w_{1,j}=2a_1$, что означает
$x_1=a_1$. Аналогично получаем $x_2=a_i$, $x_3=a_j$ и
$x_4=w_{1,p+1}-x_1=a_{p+1}$. Поэтому
$w_{i,p+1}=x_2+x_4=a_i+a_{p+1}$. Последнее равенство
$w_{p+1,n+1}=a_{n+1}-a_{p+1}$ следует из
$$
a_{n+1}-a_{p+1}=a_{n+1}-w_{1,p+1}+a_1
=a_{n+1}-a_2-w_{1,p+1}+a_1+a_2=w_{2,n+1}-
w_{1,p+1}+w_{1,2}=w_{p+1,n+1},
$$
в силу равенств \Tag(7).
\enddemo

\proclaim{Proposition 4}
Пусть в $n$-мерном евклидовом пространстве
$E_n$ задан симплекс $[A_i,\dots,A_{n+1}]$ с вершинами
$A_1,\dots,A_{n+1}$. Если для любой четверки индексов
$i_1<i_2<i_3<i_4<n+1$ выполняются равенства
$$
|A_{i_1}A_{i_2}|+|A_{i_3}A_{i_4}|=|A_{i_1}A_{i_3}|+
|A_{i_2}A_{i_4}|=|A_{i_2}A_{i_3}|+|A_{i_1}A_{i_4}|
\iftex\tag{$6'$}\else\tag{6'}\fi
							%\eqno{(6')}
$$
и для любой тройки индексов $i_1<i_2<i_3<n+1$ выполняются равенства
$$
|A_{i_1}A_{n+1}|-|A_{i_2}A_{i_3}|=|A_{i_2}A_{n+1}|-
|A_{i_1}A_{i_3}|=|A_{i_3}A_{n+1}|-|A_{i_1}A_{i_2}|,
\iftex\tag{$7'$}\else\tag{7'}\fi
%\eqno{(7')}
$$
то симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ имеет полувневписанную сферу,
касающуюся всех ребер грани $[A_1,\dots,A_n]$.
\endproclaim

\demo{Proof}
Рассмотрим полный граф с вершинами
$A_1,\dots,A_{n+1}$, ребрами которого являются все ребра симплекса
$[A_1,\dots,A_{n+1}]$. Применим \Par*{Lemma 5}, положив $G=\Bbb  R$ и
выбрав веса $w_{i,j}=|A_iA_j|$ ($i,j=1,\dots,n+1$; $i<j$). В~этом
случае условия \EquTag{6}{$(6^\prime)$} и \EquTag{7}{$(7^\prime)$}  %$(6')$, $(7')$
совпадают с условиями \Tag(6) и \Tag(7), т.~е.
найдено единственное решение $a_1,\dots,a_{n+1}$ задачи о делении
весов. Условие положительности $a_i>0$ ($i=1,\dots,n+1$)
сразу
следует из того, что для любых трех различных индексов $i,j,k<n+1$
имеем $a_i=\frac{1}{2}(|A_iA_j|+|A_iA_k|-|A_jA_k|)>0$
в силу
неравенства треугольника. Кроме этого, $a_{n+1}=|A_1A_{n+1}|+a_1>0$.
Существование требуемой полувневписанной сферы теперь следует из \Par*{Lemma 4}.
\enddemo

Исходя из изложенного выше можно сформулировать

\proclaim{Corollary 5 \rm (см. [6, Corollary 5])}
%\?\proclaim{Corollary 5 \rm  [6, Corollary 5]}
В~евклидовом пространстве $E_n$ $(n\geq   3)$ $n$-мерный
симплекс $[A_1,\dots,A_{n+1}]$ имеет полувневписанную
сферу относительно вершины $A_{n+1}$ тогда и только тогда, когда
любая его трехмерная грань $[A_{i_1},A_{i_2},A_{i_3},A_{i_4}]$
$(1\leq    i_1<i_2<i_3<i_4\leq    n)$ является каркасным
тетраэдром, а любая его трехмерная грань
$[A_{i_1},A_{i_2},A_{i_3},A_{n+1}]$ $(1\leq
i_1<i_2<i_3\leq    n)$ является {\rm(}относительно вершины $A_{n+1}${\rm)}
внекаркасным тетраэдром.
\endproclaim

\Refs

\ref\no 1
\by              De~Villiers~M.
\paper           Conway's circle theorem as a special case of a~more general side divider theorem
\jour            Learn. Teach. Math. %Learning and Teaching Mathematics
\yr              2023
\vol             34
\pages           37--42
\endref

\ref\no 2
\by              Akopyan~A.V.
\book            Geometry in Figures
\bookinfo        Second edition
\publaddr        Exeter
\publ            CreateSpace Independent Publishing Platform
\yr              2017
\endref

\ref\no 3
\by              Braude~E.
\preprint        Conway's Circle Theorem: A Short Proof Enabling Generalization to Polygons\nofrills
\yr              2021
 \bookinfo       arXiv:2111.01835
\endref

\ref\no 4
\by              Alexandrov~V.A.
\paper           Problem M2747 from the Quantum Problem Book
\jour            Kvant
\yr              2023
\vol             5
%\issue          5
\pages           28
\endref

\ref\no 5
\by              Alexandrov~V.A.
\paper           Solution to problem M2747 from the Quantum Problem Book
\jour            Kvant
\yr              2023
\vol             8
%\issue          5
\pages           17--18
\endref

\ref\no 6
\by                   Malyugin~S.A.
\paper                A Multidimensional analog of the Conway circle
\jour                 Sib. Math.~J.
\yr                   2024
\vol                  65
\issue                4
\pages                810--817
\endref

\ref\no 7
\by                   Garc\'ia Capit\'an F.J.
\paper                A generalization of the Conway circle
\jour                 Forum Geom.
\yr                   2013
\vol                  13
%\issue               -
\pages                191--195
\endref

\ref\no 8
\by                   Ponarin~Ya.P.
\book                 Elementary Geometry. Vol.~3: Triangles and Tetrahedra
\publaddr             Moscow
\publ                 MCCME
\yr                   2009
\lang                 Russian
\endref
\endRefs

\enddocument