\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Zikirov \Initial O. \Initial S. \Gender he \ORCID 0009-0001-0168-2707 \Email zikirov\@yandex.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Mirzo Ulugbek National University \City Tashkent \Country Uzbekistan \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted January 14, 2026\enddatesubmitted %\daterevised January 14, 2026\enddaterevised \dateaccepted February 10, 2026\enddateaccepted \UDclass 517.956.4 \endUDclass \dedication Посвящается юбилею Геннадия Владимировича Демиденко. %\?пока такое посвящение оставила %Dedicated to the jubilee of Gennady Vladimirovich Demidenko. \enddedication \title О разрешимости нелокальной задачи с~интегральным условием для~уравнения в~частных производных третьего порядка \endtitle \abstract Исследована разрешимость нелокальных задач с интегральными условиями для линейного уравнения в частных производных третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части. При доказательстве разрешимости задачи применяются методы теории дифференциальных уравнений, функции Грина для уравнения теплопроводности и теории интегральных уравнений. Изучаемые нелокальные задачи сводятся к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, которое безусловно разрешимо. \endabstract \keywords краевая задача, регулярное решение, разрешимость, нелокальное условие, условие интегрального вида, нелокальная задача, уравнение теплопроводности, функция Грина, интегральное уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Абеля \endkeywords \endtopmatter \head Введение \endhead В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории неклассических задач математической физики. Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Условия такого вида могут появиться при математическом моделировании явлений, связанных с распространением тепла [1,\,2], физикой плазмы [3], процессом влагопереноса в капиллярно-пористых средах [4], вопросами демографии и математической биологии. В большинстве работ, связанных с разрешимостью нелокальных задач с граничными условиями интегрального вида, изучается лишь уравнения второго порядка [5--9]. Различные нелокальные задачи с интегральными условиями для отдельных типов уравнений в частных производных третьего порядка изучались во многих работах (см., например, [10--15]). В данной работе исследуется разрешимость нелокальных задач с интегральными граничными условиями для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части. \head 1. Постановка задачи \endhead В области $D = \{ (x, t) : 0 < x < \ell,\ 0 < t < T\}$ рассмотрим уравнение в частных производных третьего порядка вида $$ Lu \equiv \frac{\partial }{\partial x} \Bigl(\frac{\partial u}{{\partial t}} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Bigr) + a(x,t)u_x + c(x,t)u = f(x, t),\eqno(1) $$ где $a(x,t)$, $c(x,t)$, и $f(x, t)$ ~--- заданные функции. Заметим, что уравнение \Tag(1) в области $D$ относительно старшей производной имеет трехкратную характеристику $t=\const$, по классификации работы [16] уравнение \Tag(1) соответствует первому каноническому виду. Этот фактор существенно влияет как на корректность постановки задач, так и на их разрешимость. В работе [17] уравнение \Tag(1) названо уравнением с кратными характеристиками и рассмотрены различные краевые задачи для этого уравнения. Для уравнения \Tag(1) рассмотрим нелокальную задачу с граничным условием интегрального вида в следующей постановке: {\sl найти регулярное в области $D$ решение $u(x, t)$ уравнения\/} \Tag(1), {\sl удовлетворяющее начальному $$ u(x,0) = \varphi(x), \quad 0 \leq x \leq \ell,\eqno(2) $$ граничным $$ u(0, t) = \mu_1(t), \quad u_x(0, t) = \mu_2(t), \quad 0 \leq t \leq T,\eqno(3) $$ и интегральному $$ u(\ell, t) = \int\limits_{0}^{\ell}p(x,t) u(x, t)dx + \mu_3(t), \quad 0 \leq t \leq T,\eqno(4) $$ условиям, где $\varphi(x)$, $p(x,t)$, и $\mu_i(t)$ $(i = 1,2,3)$~--- заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования $$ \varphi(0) = \mu_1(0), \quad \varphi^{\prime}(0) = \mu_2(0),\quad \varphi(\ell) = \int\limits_{0}^{\ell}p(x,0)\varphi(x)\,dx + \mu_3(0). \iftex\tag{$*$}\else\tag{*}\fi %\tag{$*$} $$ } Через $C^{ k, l}(D)$ обозначен класс функций $u(x, t)$, непрерывных вместе со своими частными производными ${\partial^{m+n}u(x, t) }/{\partial x^m \partial t^n}$ для всех $m = 0,\dots, k$, $n = 0,\dots l$, %\?\dots, $C^{0,0}(D)$ обозначим через $C(D)$. \demo{Definition} Под {\it регулярным в области $D$ решением\/} задачи будем понимать функцию $u(x, t)$ из класса $C^{3,1}(D) \cap C^{2,0}(\overline{D})$, удовлетворяющую условиям \Tag(1)--\Tag(4) в обычном смысле. \enddemo \head 2. Разрешимость нелокальной задачи \iftex(1)--(4)\else(1)--(4)\fi\ %(1)--(4) \endhead Задачу \Tag(1)--\Tag(4) исследуем в пространстве $C^{3,1}(D) \cap C^{2,0}(\overline{D})$, при этом справедлива следующая теорема о разрешимости нелокальной задачи \Tag(1)--\Tag(4). \proclaim{Theorem 1} Предположим, что выполнены условия \Item (a) %{\rm 1)} $a(x,t)$, $a_x(x,t)$, $c(x,t)$, $f(x,t)$, $p(x,t)$, $p_x(x,t) \in C(\overline{D})$; \Item (b) %{\rm 2)} $\varphi(x) \in C^1[0,\ell]$, $\mu_i(t) \in C^1[0,T]$ $(i=1,2,3)$, кроме того, выполнены условия согласования~\EquTag{*}{$(*)$}. %$(*)$. Тогда регулярное решение задачи \Tag(1)--\Tag(4) в классе $C^{3,1}(D) \cap C^{2,0}(\overline{D})$ существует и единственно. \endproclaim \demo{Proof} Сведем задачу \Tag(1)--\Tag(4) к эквивалентной смешанной задаче для линейного нагруженного параболического уравнения. Интегрируя уравнение \Tag(1) в пределах от $0$ до $x$, получим линейное нагруженное уравнение теплопроводности вида $$ u_t - u_{xx} + a(x,t)u = - u_{xx}(0, t) + \int\limits_{0}^{x}b(z,t) u(z, t)\,dz + f_1(x, t),\eqno(5) $$ где $$ b(z,t) = a_z(z,t) + c(z, t), \quad f_1(x, t) = \mu_1^{\prime}(t) - a(0,t)\mu_1(t) + \int\limits_{0}^{x}f(z, t)\,dz. $$ Для уравнения \Tag(5) исследуем вспомогательную задачу: {\sl найти решение $u(x,t)$ уравнения\/} \Tag(5), {\sl удовлетворяющее начальному условию\/} \Tag(2) {\sl и следующим граничным условиям}: $$ u_x(0,t) = \mu_2(t), \quad u(\ell,t) = \mu(t),\quad 0 \leq t \leq T,\eqno(6) $$ здесь $\mu(t)$~--- пока неизвестная функция. Она определяется равенством $$ \mu(t) = \int\limits_{0}^{\ell}p(x,t)u(x, t)\,dx + \mu_3(t). \eqno(7) $$ Для нахождения условий разрешимости задачи \Tag(1)--\Tag(4) установим условия ее эквивалентности смешанной задаче, используя при этом функцию Грина $G(x, t; \xi, \tau)$, для уравнения теплопроводности с начальным условием \Tag(2) и краевыми условиями \Tag(6). Нетрудно проверить, что функция Грина для уравнения теплопроводности с краевыми условиями \Tag(6) задается формулой (см., например, [18]) $$ G(x, t: \xi, \tau) = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty}(-1)^n [U(x-\xi+2n\ell, t-\tau) - U(x+\xi+2n\ell, t-\tau)], \quad t > \tau, $$ здесь $U(x,t;\xi,\tau)$~--- фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Для функции Грина $G(x,t;\xi,\tau)$ справедливы следующие свойства: \Item (a) %1) $G_t(x,t;\xi,\tau) - G_{xx}(x,t;\xi,\tau) = 0$ и $G_{\tau}(x,t;\xi,\tau) + G_{\xi\xi}(x,t;\xi,\tau) = 0$; \Item (b) %2) $G(x,t; \ell,\tau) = 0$, $G_{\xi}(x,t; 0,\tau) = 0$ при $(x,t) \in D$; \Item (c) %3) $\lim\nolimits_{\tau \to t}G(x,t; \xi,\tau) = 0$ при $x \neq \xi$. Согласно результатам [17] если правая часть уравнения \Tag(5)~--- известная функция, то решение смешанной краевой задачи \Tag(5), \Tag(2), \Tag(6) существует, единственно и может быть представлено в виде $$ \aligned u(x,t) &= \int\limits_{0}^{\ell}\varphi(\xi)G(x, t; \xi, 0)\,d\xi - \int\limits_{0}^{t}G(x, t; 0, \tau)\mu_2(\tau)\,d\tau \\ &\qquad+ \int\limits_{0}^{t}G_{\xi}(x, t; \ell, \tau)\mu(\tau)\,d\tau - \int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{\ell}G(x, t; \xi, \tau)u_{xx}(0,\tau) \,d\xi d\tau \\ &\qquad+ \int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{\ell}G(x, t; \xi, \tau) \Biggl[\int\limits_{0}^{\xi}b(z, \tau)u(z,\tau)\,dz + f_1(\xi,\tau)\Biggr]\,d\xi d\tau. \endaligned \tag8 $$ Введем обозначения: $$ \align &K_1(x,t,\tau) = \int\limits_{0}^{\ell}G(x,t;\xi,\tau)\,d\tau; \tag9 \\ &K_2(x,t;\xi,\tau) = a(\xi,\tau)G(x,t;\xi,\tau) - b(\xi,\tau)\int\limits_{\xi}^{\ell}G(x,t;z,\tau)\,dz; \\ &g_0(x,t) = \int\limits_{0}^{\ell}\varphi(\xi)G(x, t; \xi, 0)\,d\xi + \int\limits_{0}^{t}G(x, t; 0, \tau)\mu_2(\tau)\,d\tau -\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{\ell}G(x, t; \xi, \tau)f_1(\xi,\tau)\,d\xi d\tau. \endalign $$ Тогда формулу \Tag(8) можно переписать следующим образом: $$ \aligned u(x, t) &= g_0(x,t) - \int\limits_{0}^{t}K_1(x,t,\tau)u_{xx}(0,\tau)\,d\tau \\ &\qquad+ \int\limits_{0}^{t}G_{\xi}(x, t; \ell, \tau)\mu(\tau)\,d\tau + \int\limits_{0}^{t}\,d\tau \int\limits_{0}^{\ell}K_2(x, t; \xi, \tau)u(\xi, \tau)\,d\xi. \endaligned \tag10 $$ Формулу \Tag(10) будем рассматривать как интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно функции $u(x,t)$ с особенностью $(t-\tau)^{1/2}$, решение которого можно выписать через резольвенту $R(x,t;\xi,\tau)$ ядра $K_2(x,t;\xi,\tau)$, тогда относительно нагруженного слагаемого $u_{xx}(0,t)$ получим интегро-дифференциальное уравнение вида $$ u(x,t) = \int\limits_{0}^{t}K_3(x,t;\tau)u_{xx}(0,\tau)\,d\tau + \int\limits_{0}^{t}K_4(x, t, \tau)\mu(\tau)\,d\tau + g_1(x,t),\eqno(11) $$ здесь $$ \align &g_1(x,t) = \int\limits_{0}^{\ell}K_5(x,t; \xi)\varphi(\xi)\,d\xi + \int\limits_{0}^{t}K_6(x,t; \tau)\mu_2(\tau)\,d\tau -\int\limits_{0}^{\ell}\int\limits_{0}^{t} K_7(x,t; \xi,\tau)f(\xi,\tau)\,d\tau d\xi; \\ &K_3(x,t,\tau) = K_1(x,t;\tau) + \int\limits_{0}^{\ell} \Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}R(x,t;\xi,s)K_1(\xi, \tau; s)\,ds\Biggr)\,d\xi; \\ &K_4(x,t,\tau) = G_{\xi}(x, t; \ell, \tau) + \int\limits_{0}^{\ell}\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}R(x,t;\xi,s)G_{\xi}(\xi, \tau; \ell, s)\,ds\Biggr)\,d\xi; \\ &K_5(x,t,\xi) = G(x,t; \xi,0) + \int\limits_{0}^{\ell} \Biggl(\ \int\limits_{0}^{t}R(x,t; z,\tau)G(\xi, \tau; z,0)\,d\tau\Biggr)\,dz; \\ &K_6(x,t,\tau) = G(x,t; 0,\tau) + \int\limits_{0}^{\ell} \Biggl(\int\limits_{\tau}^{t}R(x,t; \xi,s)G(\xi, \tau; 0,s)\,ds\Biggr)\,d\xi; \\ &K_7(x,t; \xi,\tau) = G(x,t; \xi,\tau) + \int\limits_{0}^{\ell} \Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}R(x,t; z,s)G(\xi, \tau; z,s)\,ds\Biggr)\,dz. \endalign $$ В равенство \Tag(11) входят неизвестные функции $u_{xx}(0,t)$ и $\mu(t)$. Переходим к их нахождению. Сначала находим нагруженное слагаемое $u_{xx}(0,t)$. В дальнейшем необходимо знать дифференциальные свойства $K_3(x, t, \tau)$, $K_4(x, t, \tau)$ и свободного члена $g_1(x, t)$ в окрестности точки $x=0$. Уравнение \Tag(11) будем решать методом сведения к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно $u_{xx}(0,t)$. Но непосредственно дифференцировать по $x$ два раза равенство \Tag(11) нельзя, так как $\frac{\partial^2 K_3(x,t,\tau)}{\partial x^2}$ имеет особенность $(t-\tau)^{-3/2}$ при $x = 0$. Сначала выделяем главную часть ядра $K_3(x,t,\tau)$, т. е. функцию Грина $G(x,t;\xi,\tau)$ представим в виде $$ G(x,t;\xi,\tau) = G_0(x,t;\xi,\tau) + [G(x,t;\xi,\tau) - G_0(x,t;\xi,\tau)] = G_0(x,t;\xi,\tau) + G_1(x,t;\xi,\tau), $$ где $G_0(x,t;\xi,\tau)$~--- функция Грина второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке $[0,\ell]$. Имеет место равенство $$ \int\limits_{0}^{\ell}G_0(x,t;\xi,\tau)\,d\xi = 1, $$ в чем легко убедиться [19], воспользовавшись представлением функции Грина второй краевой задачи для уравнения теплопроводности. Тогда функция $G_1(x,t;\xi,\tau)$ имеет вид $$ G_1(x, t; \xi, \tau) = - 2\sum\limits_{-\infty}^{+\infty} [U(x-\xi+2(2k+1)\ell, t-\tau) + U(x+\xi+2(2k+1)\ell, t-\tau)]. $$ Таким образом, ядро $K_3(x,t,\tau)$ представимо в виде $$ K_3(x,t,\tau) = 1 + \int\limits_{0}^{\ell} G_1(x,t; \xi,\tau)\,d\xi + q(x,t; \xi,\tau),\eqno(12) $$ здесь $$ q(x,t,\tau) = \int\limits_{0}^{\ell} \Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}R(x,t;\xi,s) K_1(\xi, \tau; s)\,ds\Biggr)\,d\xi. $$ Правая часть функции $q(x,t,\tau)$ и ее производные являются непрерывными ограниченными функциями, и при помощи известных оценок функции Грина и ее производных [17] $$ \Bigl|\frac{\partial^{i+j} G(x,t;\xi,\tau)}{\partial x^i t^j}\Bigr| \leq \frac{c_0}{(t-\tau)^{(i+2j+1)/2}}\exp\Bigl\{-c_1\frac{(x-\xi)^2}{4(t- \tau)}\Bigr\},\quad i, j =1,2,3, \dots , \eqno(13) $$ $c_0 = \const >0$, $0 < c_= \const <1$, а также неравенства [7] $$ z^n\exp\{-z^2\} \leq A_n < \infty,\quad n \in [0, \infty),\ n=1,2,3,\dots, $$ легко установить оценку $$ |q(x,t,\tau)| \leq \int\limits_{0}^{\ell}\,d\xi \int\limits_{\tau}^{t}|R(x,t;\xi,s)||K_1(\xi, \tau; s)|\,ds \leq c_2\ell\pi, \quad c_2 = \const >0. $$ Здесь и всюду ниже через $c_i$, $i = 0, 1, 2, \dots $, будем обозначать положительную постоянную, конкретное значение которой для наших исследований принципиального значения не имеет. Относительно ядра $K_3(x,t,\tau)$ имеет место следующее утверждение. \proclaim{Lemma 1 \rm [14]} При $t > \tau$ ядро $K_3(x, t, \tau)$ принадлежит $C^2_x(D)$ и при $x = 0$ имеет место неравенство $$ \Bigl|\frac{\partial^2 K_3(x, t, \tau)}{\partial x^2}\Bigr|_{x=0}\Bigr| %\?лишняя \leq M. $$ \endproclaim \demo{Proof} Дифференцируя равенство \Tag(12) под знаком интеграла, имеем $$ \align \frac{\partial K_3}{\partial x} &= -2\int\limits_{0}^{\ell} \frac{\partial G_1(x, t; \xi, \tau)}{\partial x}\,d\xi = 2\int\limits_{0}^{\ell} \frac{\partial G_1(x, t; \xi, \tau)}{\partial \xi}\,d\xi \\ &= - 2\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial }{\partial \xi}U(x- \xi+2(2k+1)\ell,t-\tau)\,d\xi + 2\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial }{\partial \xi}U(x+\xi+2(2k+1)\ell,t-\tau)\,d\xi \\ &= 2\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}[-U(x+(4k+1)\ell, t-\tau) + U(x+(4k+3)\ell, t-\tau)]. \endalign $$ Отсюда видно, что функция $K_{3x}(x,t,\tau)$ непрерывно дифференцируемая и $$ \frac{\partial^2 K}{\partial x^2} = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\Bigl[\frac{x+(4k+1)\ell}{2(t- \tau)}U(x+(4k+1)\ell, t-\tau) - \frac{x+(4k+3)\ell}{2(t-\tau)}U(x+(4k+3)\ell, t-\tau)\Bigr]. $$ Полагая в последнем равенстве $x = 0$, получим $$ \aligned \frac{\partial^2 K}{\partial x^2}\Bigl|_{x=0} &= \sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\Bigl[\frac{(4k+1)\ell}{2(t- \tau)}U((4k+1)\ell, t-\tau) - \frac{(4k+3)\ell}{2(t-\tau)}U((4k+3)\ell, t-\tau)\Bigr] \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\pi(t-\tau)}}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac{(2k+1)\ell}{2(t-\tau)}\exp\Bigl\{-\frac{[(2k+1)\ell]^2}{4(t-\tau)}\Bigr\}. \endaligned \tag14 $$ Общий член ряда \Tag(14) представим в виде $$ \align \frac{(2k+1)\ell}{4\sqrt{\pi(t-\tau)^3}}\,& \exp\Bigl\{- \frac{[(2k+1)\ell]^2}{4(t-\tau)}\Bigr\} \\ &= \frac{[(2k+1)\ell]^3}{4\sqrt{\pi}(\sqrt{t-\tau})^3} \exp\Bigl\{-\frac{[(2k+1)\ell]^2}{8(t-\tau)}\Bigr\}\cdot \frac{1}{[(2k+1)\ell]^2} \exp\Bigl\{-\frac{[(2k+1)\ell]^2}{8(t-\tau)}\Bigr\}. \endalign $$ Используя известное неравенство [17] $$ 0 < \Bigl\{\frac{(2k+1)\ell}{2\sqrt{t-\tau}}\Bigr\}^3 \exp\Bigl\{-\frac{1}{2}\Bigl[\frac{(2k+1)\ell}{2\sqrt{t- \tau}}\Bigr]^2\Bigr\} \leq c_3, $$ получим оценку для общего члена ряда \Tag(14) $$ \Bigl|\frac{(2k+1)\ell}{2(t-\tau)} U((2k+1)\ell, t-\tau)\Bigr| \leq \frac{2c_3}{\sqrt{\pi}[(2k+1)\ell]^2} \exp\Bigl\{- \frac{[(2k+1)\ell]^2}{8(t-\tau)}\Bigr\}. $$ Так как $(2k+1)\ell \neq 0$ при любом $k \in N$, знакочередующийся ряд \Tag(14) сходится абсолютно и равномерно, т.~е. $$ \Bigl|\frac{\partial^2 K_3(x, t, \tau)}{\partial x^2}\Bigr|_{x=0} \leq M. $$ \Par*{Lemma 1} доказана. \enddemo Рассмотрим второй интеграл в правой части \Tag(11). Обозначим $$ W(x,t) = \int\limits_{0}^{t}\Biggl[G_{1\xi}(x, t; \ell, \tau) + \int\limits_{0}^{\ell}\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}R(x,t;\xi,s)G_{1\xi}(\xi, \tau; \ell, s)\,ds\Biggr)\,d\xi\Biggr]\mu(\tau)\,d\tau. $$ Учитывая свойство теплового потенциала двойного слоя и неравенства \Tag(13) при $t > \tau$, $x \neq \ell$, получаем, что $W_{xx}(x,t)$ принадлежит $ C^2(D)$ и удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности. Функция $g_1(x, t)$, входящая в равенство \Tag(11), состоит из суммы тепловых потенциалов (см., например, [19,\,20]). Для нахождения нагруженного слагаемого $u_{xx}(0,t)$ из интегрального уравнения~\Tag(11) достаточно показать существование ограниченной и непрерывной производной $g_{1xx}(x,t)$. Из теории тепловых потенциалов известны следующие свойства. \Item (a) %1. Если $\varphi(x) \in C^1(0,\ell)$, то при $t > 0$ функция $\int\nolimits_{0}^{\ell}K_5(x,t; \xi)\varphi(\xi)\,d\xi$ принадлежит $C_x^2[0,\ell]$ и ограничена. \Item (b) %2. Если $f(x,t) \in C_{x,t}^{\alpha,0}(\overline{D})$, то при $t > 0$ объемный потенциал $$ \int\limits_{0}^{\ell} \int\limits_{0}^{t}K_7(x,t; \xi,\tau)f(\xi,\tau)\,d\tau d\xi \in C_{x,t}^{2,1}(D), $$ ограничен и удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводности. Потенциал простого слоя $$ V_0(x,t) = \int\limits_{0}^{t}\Biggl[G_1(x, t; 0, \tau) + \int\limits_{0}^{\ell}\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}R(x,t;\xi,s)G_1(\xi, \tau; 0, s)\,ds\Biggr)\,d\xi\Biggr]\mu_2(\tau)\,d\tau \eqno(15) $$ определен на границе $x = 0$, поэтому надо доказать дифференцируемость и ограниченность $V_{xx}(0,t)$. Имеем $$ K_6(x,t, \tau) = G_1(x, t; 0, \tau) + \int\limits_{0}^{\ell}\,d\xi \int\limits_{\tau}^{t}R(x,t;\xi,s)G_1(\xi, \tau; 0, s)\,ds. $$ Относительно потенциала простого слоя $V_0(x,t)$ докажем следующее утверждение. \proclaim{Lemma 2} Пусть $\mu_2(t) \in C[0, +\infty)$ и $\mu_2(0) = 0$. Тогда функция $V_0(x,t)$ принадлежит $ C^2_x(D)$ и $$ \Bigl|\frac{\partial^2 V_0(x, t)}{\partial x^2}\Bigr|_{x=0}\Bigr| %\?лишняя \leq M. $$ \endproclaim \demo{Proof} Для краткости доказательства рассмотрим сингулярное слагаемое функции $$ V_0(x, t) = \int\limits_{0}^{t}\mu_2(\tau)G_1(x, t; 0, \tau)\,d\tau. $$ При $x \neq 0$ и $t \neq \tau$ ядро $G(x, t; 0, \tau) $ принадлежит $C^{2,1}_{x,t}(\overline{D})$. Дифференцируя два раза по $x$ под знаком интеграла, имеем $$ \frac{\partial^2 V_0(x,t)}{\partial x^2} = \int\limits_{0}^{t}\mu_2(\tau) \frac{\partial^2 G_1(x, t; 0, \tau)}{\partial x^2}\,d\tau = - \int\limits_{0}^{t}\mu_2(\tau) \frac{\partial G_1(x, t; 0, \tau)}{\partial \tau}\, d\tau. $$ Отсюда, интегрируя по частям и учитывая свойства функции Грина и $\mu_2(0)=0$, получим $$ \frac{\partial^2 V_0(x,t)}{\partial x^2} = \int\limits_{0}^{t}\mu_2^{\prime}(\tau) G_1(x, t; 0, \tau) \,d\tau.\eqno(16) $$ Правая часть \Tag(16) является потенциалом простого слоя с ядром $G(x, t; 0, \tau)$. При $x = 0$ оно будет непрерывной и ограниченной функцией при $0 < t < T$: $$ \frac{\partial^2 V_0(0, t)}{\partial x^2} = \int\limits_{0}^{t}\mu_2^{\prime}(\tau) G_1(0, t; 0, \tau) \,d\tau, $$ где $$ G_1(0, t; 0, \tau) = \frac{1}{2\sqrt{\pi(t-\tau)}} \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n\exp\Bigl\{- \frac{[(2n+1)\ell]^2}{4(t-\tau)}\Bigr\}. $$ Отсюда нетрудно заметить, что производная $\frac{\partial^2 V_0(0,t)}{\partial x^2}$ сходится абсолютно и равномерно, т. е. $$ \Bigl|\frac{\partial^2 V(0, t)}{\partial x^2}\Bigr|_{x=0} \leq M. $$ \Par*{Lemma 2} доказана. \enddemo Теперь находим нагруженное слагаемое $u_{xx}(0, t)$. Из доказанных лемм следует, что равенство \Tag(11) можно дифференцировать по $x$ два раза. Поэтому, дифференцируя \Tag(11) по $x$ и затем полагая $x=0$, относительно $u_{xx}(0, t)$ получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода $$ u_{xx}(0, t) = \int\limits_{0}^{t}K_{3xx}(0, t, \tau)u_{xx}(0, \tau)\,d\tau + \Phi_{xx}(0, t).\eqno(17) $$ Правая часть \Tag(17) является потенциалом простого слоя с ядром. Покажем, что ядро $K_{3xx}(0,t,\tau)$ --- ограниченная функция. Используя равенство \Tag(9), представим $K_3(x,t,\tau)$ в виде $$ K_3(x,t,\tau) = \int\limits_{0}^{\ell}[G_0(x,t; \xi,\tau)- 2G_1(x,t;\xi,\tau]\,d\xi + q(x,t,\tau) = 1 - 2\int\limits_{0}^{\ell}G_1(x,t;\xi,\tau)\,d\xi + q(x,t,\tau). $$ В силу доказанных лемм имеем $$ \Bigl|\frac{\partial^2 K_3(x,t,\tau)}{\partial x^2}\Bigr|_{x=0} \leq \frac{2c_3}{\sqrt{\pi}[(2k+1)\ell]^2}\, \exp\Bigl\{- \frac{[(2k+1)\ell]^2}{8(t-\tau)}\Bigr\} + c_4. $$ Легко заметить, что ядро интегрального уравнения Вольтерра второго рода \Tag(17)~--- непрерывная и ограниченная функция. Решение $u_{xx}(0, t)$ интегрального уравнения \Tag(17) можно найти методом последовательных приближений. Пусть $R_3(t, \tau)$ ~--- резольвента ядра $K_{3xx}(0, t, \tau)$. Тогда решение уравнения \Tag(17) имеет вид $$ u_{xx}(0, t) = \int\limits_{0}^{t}K_8(t, \tau)\mu(\tau)\,d\tau + g_2(t),\eqno(18) $$ где $$ \align K_8(t, \tau) &= K_{3xx}(0,t,\tau) + \int\limits_{\tau}^{t}R_3(t,s)K_{3xx}(0, \eta, s)\,ds; \\ g_2(t) &= g_{1xx}(0,x) + \int\limits_{0}^{t}R_3(t,\tau)g_{1xx}(0,\tau)\,d\tau. \endalign $$ Подставляя значение $u_{xx}(0, t)$ из \Tag(18) в формулу \Tag(11), получим $$ u(x, t) = \int\limits_{0}^{t}\Biggl[K_4(x,t,\tau) + \int\limits_{\tau}^{t}K_3(x, t, s)K_8(s,\tau)\,ds\Biggr]\mu(\tau)\,d\tau + g_3(x,t),\eqno(19) $$ здесь $$ g_3(x, t) = g_1(x,t) + \int\limits_{0}^{t}K_3(t,\tau)g_2(\tau)\,d\tau. $$ Далее определим неизвестную функцию $\mu(t)$. Подставляя функцию $u(x,t)$, представленную формулой \Tag(19), в равенство \Tag(7) будем иметь $$ \mu(t) = \int\limits_{0}^{t}K_9(t,\tau)\mu(\tau)\,d\tau + g_4(t), \eqno(20) $$ где $$ \align K_9(t,\tau) &= \int\limits_{0}^{\ell}p(x,t)\Biggl[K_4(x,t,\tau) + \int\limits_{\tau}^{t}K_3(x,t,s)K_8(s,\tau)\,ds\Biggr]\,dx; \\ g_4(t) &= \mu_3(t) + \int\limits_{0}^{\ell}p(x,t)g_3(x,t)\,dx. \endalign $$ Ядро интегрального уравнения \Tag(20) может быть преобразовано к виду $$ \align K_9(t,\tau) &= \frac{p(\ell,t)}{\sqrt{t-\tau}}\sum\limits_{- \infty}^{+\infty}\biggl[\exp\Bigl\{-\frac{[(2k+1)\ell]^2}{t-\tau}\Bigr\} + \exp\Bigl\{-\frac{[2(k+1)\ell]^2}{t-\tau}\Bigr\}\biggr] \\ &\qquad+ \frac{p(0,t)}{\sqrt{t-\tau}}\sum\limits_{- \infty}^{+\infty}\biggl[\exp\Bigl\{-\frac{[(4k+1)\ell]^2}{4(t-\tau)}\Bigr\} + \exp\Bigl\{-\frac{[(4k+3)\ell]^2}{4(t-\tau)}\Bigr\}\biggr] \\ &\qquad+ \int\limits_{0}^{\ell}p(x,t) \Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}K_3(x,t,s)K_8(s,\tau)\,ds\Biggr)\,dx, \endalign $$ и справедлива оценка $$ |K_9(t,\tau)| \leq \frac{c_5}{\sqrt{t-\tau}} + c_6. $$ Отсюда в силу \Par*{Lemma~1} ядро $K_9(t,\tau)$ имеет слабую особенность при $\tau\to t$, а свободный член $g_4(t)$ непрерывен. Интегральное уравнение \Tag(20) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно разрешимо, и поэтому единственное решение задачи \Tag(1)--\Tag(4) задается формулой \Tag(19). Таким образом, разрешимость нелокальной задачи \Tag(1)--\Tag(4) доказана. \enddemo \Refs \ref\no 1 \by Cannon~J.R. \paper The solution of the heat equation subject to the specification of energy \jour Quart. Appl. Math. \yr 1963 \vol 5 \issue 21 \pages 155--160 \endref \ref\no 2 \by Ionkin~N.I. \paper Solution of a~boundary-value problem in heat conduction with a~nonclassical boundary condition \jour Differ. Equ. \yr 1977 \vol 13 \issue 2 \pages 204--211 \endref \ref\no 3 \by Samarskii~A.A. \paper Some problems of the theory of differential equations \jour Differ. Equ. \yr 1980 \vol 16 \issue 11 \pages 1925--1935 \endref \ref\no 4 \by Nakhushev~A.M. \book Equations of Mathematical Biology \publ Vysshaya Shkola \publaddr Moscow \yr 1995 \lang Russian \endref \ref\no 5 \by Yurchuk~N.I. \paper A mixed problem with an integral condition for some parabolic equations \jour Differ. Uravn. \yr 1986 \vol 22 \issue 12 \pages 2117--2126 \endref \ref\no 6 \by Bouziani~A. \paper Mixed problem with boundary integral conditions for a~certain parabolic equation \jour J.~Appl. Math. Stochastic Anal. \yr 1996 \vol 9 \issue 3 \pages 323--330 \endref \ref\no 7 \by Ivanchov~N.I. \paper Boundary value problems for a~parabolic equation with integral conditions \jour Differ. Equ. \yr 2004 \vol 40 \issue 4 \pages 591--609 \endref \ref\no 8 \by Beylin~A.B., Bogatov~A.V., and Pulkina~L.S. \paper A~problem with nonlocal conditions for a~one-dimensional parabolic equation \jour J.~Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. %Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki \yr 2022 \vol 26 \issue 2 \pages 380--395 \endref \ref\no 9 \by Kozhanov~A.I. and Dyuzheva~A.V. \paper Integral analogue of the first initial-boundary value problem for second-order hyperbolic and parabolic equations \jour Math. Notes \yr 2022 \vol 111 \issue 4 \pages 562--570 \endref \ref\no 10 \by Kozhanov~A.I. and Popov~N.S. \paper On the solvability of boundary value problems with a~shift for parabolic equations \jour Vestnik Novosibirsk. Univ. Ser. Mat. Mekh. Inform. \yr 2010 \vol 10 \issue 3 \pages 46--62 \endref \ref\no 11 \by Popov~N.S. \paper On the solvability of spatial nonlocal boundary value problems for one-dimensional pseudoparabolic and pseudohyperbolic equations \jour Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser. \yr 2015 \vol 3 \pages 29--43 \endref \ref\no 12 \by Kozhanov A.I. and Tarasova~G.I. \paper The Samarsky--Ionkin problem with integral perturbation for a~pseudoparabolic equation \jour Bulletin of Irkutsk State University. Ser. Math. %Izv. Irkutsk. Gos. Univ. Ser. Mat. \yr 2022 \vol 42 \pages 59--74 \endref \ref\no 13 \by Kozhanov A.I. and Khromchenko~D.S. \paper Nonlocal problems with A.A.~Samarkii integral perturbed condition for third-order quasiparabolic equations \jour Mat. Zametki SVFU \yr 2023 \vol 30 \issue 4 \pages 12--23 \endref \ref\no 14 \by Zikirov~O.S. and Sagdullayeva~M.M. \paper Solvability of nonlocal problem with integral condition for third-order equation \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2024 \vol 284 \issue 2 \pages 287--298 \endref %DOI 10.1007/s10958-024-07350-3 \ref\no 15 \by Kozhanov~A.I. \paper On a~nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation \jour Differ. Equ. \yr 2004 \vol 40 \issue 6 \pages 815--826 \endref \ref\no 16 \by Dzhuraev~T.D. and Pop\"elek~J. \paper Classification and reduction to canonical form of third-order partial differential equations \jour Differ. Equ. \yr 1991 \vol 27 \issue 10 \pages 1225--1235 \endref \ref\no 17 \by Dzhuraev~T.D. \book Boundary Value Problems for Mixed and Mixed-Composite Type Equations \publaddr Tashkent \publ Fan \yr 1979 \lang Russian \endref \ref\no 18 \by Orynbasarov~M.O. \paper Solution of a mixed boundary value problem for a~third-order equation of composite type in a~half-strip \jour Izv. Nats. Akad. Nauk Resp. Kaz. Ser. Fiz.-Mat. \yr 2009 \vol 1 \pages 3--8 \endref \ref\no 19 \by Friedman~A. \book Partial Differential Equations of Parabolic Type \publ Prentice-Hall \publaddr Englewood Cliffs \yr 1964 \endref \ref\no 20 \by Tikhonov~A.N. and Samarskii~A.A. \book Equations of Mathematical Physics \publ Pergamon \publaddr Oxford etc. \yr 1963 \endref \endRefs \enddocument