\documentstyle{SibMatJ}
% \TestXML
\Rus
\topmatter

  \Author           Chechkina
    \Initial        A.
    \Initial        G.
    \Gender         she
    \ORCID          0000-0002-8529-9296
    \Email          chechkina\@gmail.com
    %\Email         sasha.chechkina\@yandex.ru
    \AffilRef       1
  \endAuthor

  \Affil 1
    \Organization   Lomonosov Moscow State University
    \City           Moscow
    \Country        Russia
  \endAffil

  \opages
    ???--???
  \endopages

  \datesubmitted    January 26, 2026\enddatesubmitted
  %\daterevised     January 26, 2026\enddaterevised
  \dateaccepted     February 12, 2026\enddateaccepted

  \UDclass
    517.956.2
  \endUDclass

  %\dedication %\? находится в \acknowledgments
  %\enddedication

  \title
    Об~оценке спектральной функции задачи Зарембы для дивергентного эллиптического уравнения с~измеримыми коэффициентами
  \endtitle

  \abstract
    Рассматривается задача Зарембы для дивергентного равномерно
    эллиптического оператора с измеримыми коэффициентами. Найдена оценка спектральной функции.
  \endabstract

  \keywords
    задача Зарембы,
    эллиптический оператор,
    спектральная функция
  \endkeywords

\endtopmatter

\head
1. Введение
\endhead

Настоящая работа посвящена оценке спектральной функции для
дивергентного эллиптического оператора с измеримыми коэффициентами однородной
задачи Зарембы, рассматриваемой в ограниченной строго липшицевой области $D
\subset {\Bbb R} ^{n}$, $n\ge2$.

Напомним, что область $D$ называется
{\it строго липшицевой}, если для каждой точки
$x_0\in\partial D$ существует
открытый куб $Q$ с центром в $x_0$, грани которого
параллельны
координатным осям,  длина ребра не зависит от $x_0$ и в некоторой декартовой
системе координат с началом в $x_0$ множество $Q\cap\partial D$ есть график
липшицевой функции
%$x_n=g(x_1, \dots, x_{n-1})$
с постоянной Липшица, не зависящей от $x_0$.

Для постановки задачи Зарембы введем соболевское пространство функций
$W^1_2(D,F)$. Здесь  $F\subset \partial D$  --- замкнутое множество,
$W^1_2(D,F)$ --- пополнение множества бесконечно дифференцируемых
в замыкании $D$ функций,
равных нулю в окрестности $F$, по норме пространства $W^1_2(D)$
$$
\|v\|_{W^{1}_2(D,F)}=\biggl (\ \int\limits_{D}
|v|^2\,dx+\int\limits_{D}|\nabla v|^2\,dx\biggr )^{1/2}.
$$
Априори для функций $v\in W^1_2(D,F)$  требуется  выполнение неравенства
Фридрихса
$$
\int\limits_D |v|^2\,dx\le C\int\limits_D |\nabla v|^2\, dx.
                                                                \tag1
$$
Приведем необходимое и достаточное условие на множество $F\subset\partial D$,
гарантирующее выполнение неравенства \Tag(1). Для этого нам потребуется понятие емкости.

Обозначим через ${\Cal Q}_d$ открытый куб с длиной ребра $d$ и гранями,
параллельными координатным осям, предполагая, что строго липшицева область
$D$ имеет диаметр $d$ и $D\subset {\Cal Q}_d$.
Введем понятие емкости $C_p(K,{\Cal Q}_{2d})$ компакта $K\subset\overline
{{\Cal Q}}_d$ по отношению к кубу ${\Cal Q}_{2d}$ следующим равенством:
$$
C_p(K,{\Cal Q}_{2d})=\inf \biggl \{\
\int\limits_{{\Cal Q}_{2d}}|\nabla\varphi|^p\,dx:
\varphi\in C^\infty_0
({\Cal Q}_{2d}),
\ \varphi\ge 1 \text{ на }K\biggr \}.
$$
Из результатов Мазьи (см.  [1, Section~14.1.2] и комментариев к результатам
гл.~14  монографии [1]) следует, что
для функций $v \in W^1_2 (D, F)$
неравенство \Tag(1) имеет место тогда и только тогда, когда
$$
C_p(F,{\Cal Q}_{2d}) > 0.
                                                                \tag2
$$

Рассмотрим спектральную задачу Зарембы
$$
{\Cal L}u:=-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial }{\partial
x_i}\Bigl(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\Bigr)=\lambda u, \quad
u\vert_{F}=0, \quad \frac{\partial u}{\partial \nu}\Bigr|_{G}=0
                                                                \tag3
$$
с собственными функциями, нормированными равенством
$$
\int\limits_{D}u^{2}\,dx=1.
                                                                \tag4
$$
Здесь $\{a_{ij}(x,t)\}_{i,j=1}^n$ --- измеримая симметрическая матрица,
удовлетворяющая условию равномерной эллиптичности
$$
\alpha |\eta|^2 \leq \sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \eta_i \eta_j\leq \alpha^{-
1}|\eta|^2 , \quad \alpha >0,
$$
для всех $\eta \in {\Bbb R}^n$
и почти всех $x \in D$; $G=\partial D\setminus
F$, а $\nu=(\nu_1,\dots, \nu_n)$ --- единичная внешняя нормаль к границе
$\partial D$.

Под {\it решением\/}
задачи \Tag(3) понимается ненулевая функция $u\in W^{1}_2(D,F)$, для
которой справедливо интегральное тождество
$$
\sum\limits_{i,j=1}^{n}\int\limits_{D}
a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial \varphi}{\partial
x_j}\,dx = \lambda\int\limits_{D}u \varphi \,dx,
$$
выполненное на пробных функциях $\varphi \in
W_{2}^{1}(D, F)$.
Те значения $\lambda$, для которых существуют собственные функции,
называются {\it собственными значениями.}

Поскольку оператор задачи является самосопряженным в $W^{1}_2(D,F)$ и
положительным, при сделанных выше предположениях
относительно области $D$ задача
\Tag(3) имеет полную ортонормированную
систему обобщенных собственных функций. Все собственные функции соответствуют
положительным собственным значениям.

Оценкам собственных функций задачи Дирихле для равномерно эллиптических
операторов
посвящены многочисленные исследования (см. [2--7]). В~частности, в
работе В.А.~Ильина и И.А.~Шишмарева [5] показано, что если область и коэффициенты $a_{ij}(x)$
достаточно гладкие, то для классической собственной функции $u_{k}(x)$,
отвечающей собственному значению $\lambda_{k}$, имеет место
оценка
$$
\max\limits_{x\in \overline D}\vert  u_{k}(x)\vert\leq C(n, D,
\alpha)\lambda_{k}^{\frac{n}{4}}.
$$

В.Я.~Якубовым показано, что оценка
$$
\esssup\limits_{x\in D}\vert  u(x)\vert\leq C(n, D,
\alpha)\lambda^{\frac{n}{4}}
$$
для обобщенной собственной функции
является точной. Аналогичные оценки для задачи Зарембы установлены в [8].

Рассмотрим спектральную функцию
$$
e_{\lambda}(x,x')=\sum\limits_{\lambda_j<\lambda}u_j(x)   u_j(x'),
$$
где $u_j$ --- нормированная собственная функция, отвечающая
собственному значению $\lambda_j$.
Нашей целью является оценка максимума модуля данной функции.

Оценки максимума модуля спектральной функции однородной задачи Дирихле можно
найти в [9,\,10].

\demo{Remark}
Доказываемая в настоящей работе оценка спектральной функции будет впоследствии
использоваться для получения асимптотики ``считающей'' функции, которая
определяется как число собственных значений (с учетом кратности), меньших
данного $\lambda >0$. Для наших дальнейших целей достаточно ``грубой'' оценки
спектральной функции. Отметим, что асимптотика считающей функции для задачи
Дирихле впервые установлена в [11].
\enddemo

Основной результат настоящей работы состоит в следующем утверждении.

\proclaim{Theorem 1}
Если выполнено условие \Tag(2), то в предположении \Tag(4)
для собственных функций задачи \Tag(3) справедлива оценка
$$
|e_{\lambda}(x,x')|\le C\lambda^{\frac{n}{4}},\quad n\ge2,
                                                                \tag5
$$
с константой $C$, не зависящей от $x,x'\in \Omega$ и зависящей только от $n$,
области $D$ и компакта $F$.
\endproclaim

Как отмечалось выше, для функций из пространства $W^1_2(D,F)$ выполнено
неравенство Фридрихса \Tag(1), в силу чего это пространство  можно снабдить
нормой, в которой присутствует только градиент.
В~последующих рассуждениях будем
использовать теоремы вложения Соболева для строго липшицевых областей, имея в
виду такую норму. Кроме того, предполагается выполненным условие \Tag(2),
влекущее неравенство Фридрихса \Tag(1).

\head
2.  Доказательство основного результата
\endhead

Пусть $E_\lambda$ --- спектральный проектор, другими словами, интегральный
оператор с симметричным ядром $e_\lambda(x,x')$:
$$
(E_\lambda f)(x)
=\int\limits_{D} e_\lambda(x, x')f(x')\,dx',\quad f\in L_2(D).
                                                                \tag6
$$
Пусть $({\Cal L})^lu=\lambda^l u$, где $u$ --- собственная функция,
отвечающая собственному значению $\lambda$, а  $({\Cal L})^l$ ---
суперпозиция операторов
$\underbrace{{\Cal L}\circ{\Cal L}\circ\dots\circ{\Cal L}}\limits_{l}$.
Положим
$$
u_l=({\Cal L})^l(E_\lambda f), \quad l=1,\dots\,.
                                                                \tag7
$$
По определению ${\Cal L} u_l=u_{l+1}$, поэтому справедливо интегральное
тождество
$$
\sum\limits_{i,j=1}^{n}\int\limits_{D}
a_{ij}(x)\frac{\partial u_l}{\partial x_i}\frac{\partial \varphi}{\partial
x_j}\,dx=\int\limits_{D} u_{l+1}\varphi \,dx, \quad \varphi\in W^1_2(D,F).
$$
Выберем пробную функцию $\varphi=u_l |u_l|^\beta$, $\beta\geq 0$.
Применяя неравенство Г\"ельдера
к интегралу в правой части равенства и используя
условие эллиптичности, получим
$$
(\beta+1)\int\limits_{D}|u_l|^\beta |\nabla u_l|^2 \,dx\le \widetilde
C(\alpha)\biggl(\ \int\limits_{D}|u_{l+1}|^{\beta+2} \,
dx\biggr)^{\frac{1}{\beta+2}}
\biggl(\ \int\limits_{D}|u_l|^{\beta+2}\,dx\biggr)^{\frac{\beta+1}{\beta+2}} .
$$
Сначала предположим, что $n>2$.

Далее будем пользоваться условием \Tag(2). Поскольку $1<p<2$, в силу
определения емкости $C_p(K,Q)$ и неравенства Г\"ельдера имеем оценку
$$
C_p(K,Q_{2d})\le |Q_{2d}|^{(2-p)/2}(C_2(K,Q_{2d}))^{p/2},
                                                                \tag8
$$
в которой $|Q_{2d}|$ означает $n$-мерную меру куба $Q_{2d}$.
Из этого условия
следует неравенство Соболева (см. [1, Section~14.1.2])
$$
\biggl(\ \int\limits_{D}|\varphi|^{2\varkappa}\,dx\biggr)^{\frac{1}{2\varkappa}}\le
C_0 \biggl(\ \int\limits_{D}|\nabla \varphi|^2\,dx\biggr)^{\frac{1}{2}}, \quad
\varphi\in W^1_2(D, F), \ \varkappa=\frac{n}{n-2},
$$
которое будем применять. Имеем
$$
\biggl(\ \int\limits_{D}|u_l|^{\varkappa(\beta+2)}\,
dx\biggr)^{\frac{1}{\varkappa(\beta+2)}}
\le
\Bigl(\frac{C(\alpha)(\beta+2)^2}{4(\beta+1)}\Bigr)^{\frac{1}{\beta+2}}
\biggl(\ \int\limits_{D}|u_{l+1}|^{\beta+2}\,dx\biggr)^{\frac{1}
{(\beta+2)^2}}
\biggl(\ \int\limits_{D}|u_{l}|^{\beta+2}\,dx\biggr)^{\frac{\beta+1}{(\beta+2)^2}}.
                                                                \tag9
$$
Здесь $C(\alpha)=C_0 \widetilde C(\alpha)$.
Дальнейшие рассуждения основаны на итерационном методе Мозера. Для получения
рекуррентного соотношения положим в \Tag(9) $\beta=2\varkappa^j-2$,
$j=0,1,\dots$.
Обозначим
$$
\chi_j=2\varkappa^j, \quad a_j=\Bigl(\frac{C(\alpha) \chi_j^2}{4(\chi_j-
1)}\Bigr)^{\frac{1}{\chi_j}},\quad
\Phi_{l,j}=\biggl(\ \int\limits_{D}|u_l|^{\chi_j}\,dx\biggr)^{\frac{1}{\chi_j}}.
$$
Тогда \Tag(9) запишется в виде
$$
\Phi_{l,j+1}\le a_j (\Phi_{l+1,j})^{\frac{1}{\chi_j}}
(\Phi_{l,j})^{\frac{\chi_j-1}{\chi_j}}.
                                                                \tag10
$$
В~частности, для $l= 0$ имеем
$$
\Phi_{0,j+1}\le a_j (\Phi_{1,j})^{\frac{1}{\chi_j}}
(\Phi_{0,j})^{\frac{\chi_j-1}{\chi_j}}.
                                                                \tag11
$$
Проитерируем \Tag(11), пользуясь \Tag(10). Для этого заметим, что сумма
степеней множителей в правой части \Tag(10) равна $1$. Поэтому после каждой
итерации в \Tag(11) будут появляться множители $a_{j-1}$, $a_{j-2},\dots$.
В~результате найдем, что
$$
\Phi_{0, j+1}\le \prod\limits_{l=k}^{j} a_l\prod\limits_{i=0}^{j-
k+1}(\Phi_{i,k})^{\gamma_{ij}^k}, \quad k=0,1,\dots, j.
$$
Основную роль это неравенство играет при $k = 0$:
$$
\Phi_{0, j+1}\le \prod\limits_{l= 0}^{j}
a_l\prod\limits_{i=0}^{j+1}(\Phi_{i,0})^{\gamma_{ij}^0}.
                                                                \tag12
$$
Показатели степени $\gamma_{ij}^k$ могут быть получены как коэффициенты
многочлена
$$
F_{kj}(x)= \prod\limits_{i=k}^j \Bigl(1- \frac{1}{\chi_i}
+\frac{x}{\chi_i}\Bigr) = \sum\limits_{i=0}^{j+1-k} \gamma_{ij}^k x^i.
$$
Имеем
$$
\sum\limits_{i=0}^{j+1-k} \gamma_{ij}^k = F_{kj}(1)=1,
                                                                \tag13
$$
а также
$$
\sum\limits_{i=0}^{j+k-1} i \gamma_{ij}^k = F_{kj}'(1) = \sum\limits_{i=k}^{j}
\frac{1}{\chi_i}.
                                                                \tag14
$$

Далее нам понадобятся тождество
$$
\sum\limits_{j=0}^\infty \frac{1}{\chi_j} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=0}^{\infty}
\frac{1}{\varkappa^i}  = \frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)} = \frac{n}{4},
                                                                \tag15
$$
а также следствие тождества
$\sum\nolimits_{j=0}^\infty jx^j = x(1-x)^{-2}$:
$$
\sum\limits_{j=0}^\infty \frac{j}{\chi_j} = \frac{1}{2} \sum\limits_{j=0}^\infty j
\varkappa^{-j} = \frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)^2}=\frac{n(n-2)}{8}.
                                                                \tag16
$$
В~силу неравенства $x^2/(2x-1) \leq 2x$ при $x\geq 1$
из определения $a_j$
получаем $a_j \leq (2C(\alpha) \varkappa^j)^{1/\chi_j}$. Отсюда,
используя соотношения \Tag(15) и \Tag(16), приходим к оценке
$$
\prod\limits_{j=0}^\infty a_j \leq \prod\limits_{j=0}^\infty
(2C(\alpha) \varkappa^j)^{1/\chi_j}=
((2C(\alpha))^{\varkappa-1} \varkappa)^
\frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)^2}=:C(n,\alpha) < \infty.
\tag17 %\?сюда поставила (17)
$$

Поскольку $\Phi_{i,0}\le\lambda^i\Phi_{0,0}$,
ввиду \Tag(12) и \Tag(17)  %\?(17) нет
получаем
$$
\Phi_{0,j+1}\le C(n,\alpha)\lambda^{\theta_j}(\Phi_{0,0})^{\mu_j},
$$
где
$$
\theta_j=\sum\limits_{i=1}^{j+1} i \gamma_{ij}^0,\quad
\mu_j=\sum\limits_{i=0}^{j+1}\gamma_{ij}^0.
$$
В~силу \Tag(13)--\Tag(15) имеем
$$
\mu_j =1, \quad \theta_j = \sum\limits_{i=0}^{j}\frac{1}{\chi_j} \leq
\frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)} = \frac{n}{4}.
$$

Окончательно
$$
\lim\limits_{j\to\infty} \Phi_{0,j+1}\le C(n,\alpha)
\lambda^{\frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)}}\Phi_{0,0}.
                                                                \tag18
$$
Поскольку $\Phi_{0,0}=\|u_0\|_{L_2(D)}$ (см. \Tag(7)) и
$$
\lim\limits_{j\to\infty} \Phi_{0,j+1}=
\sup\limits_{D} |u_0|,\quad \text{где }
u_0=E_\lambda f,
$$
с учетом величины $\varkappa$ имеем
$$
 \sup\limits_{D} |E_\lambda f|\le C(n,\alpha)
\lambda^{\frac{n}{4}}\|E_\lambda f\|_{L_2(D)}.
                                                                \tag19
$$
Заметим, что $\|E_\lambda f\|_{L_2(D)}\le\|f\|_{L_2(D)}$.
Значит, из \Tag(6) и \Tag(19) непосредственно следует оценка
$$
\|e_\lambda(x, \cdot)\|_{L_2(D)}\le C \lambda^{\frac{n}{4}}.
                                                                \tag20
$$
Выбирая в \Tag(19) $f=e_\lambda(x,\cdot)$, ввиду равенства $E_\lambda
f=e_\lambda(x, \cdot)$ получаем искомое соотношение \Tag(5).

Теперь рассмотрим случай $n=2$.

В~этом случае применяем неравенство Соболева вида
$$
\biggl(\ \int\limits_{D}|\varphi|^{2\varkappa}\,dx\biggr)^{\frac{1}{2\varkappa}}\le
C_0 \biggl(\ \int\limits_{D}|\nabla \varphi|^2\,dx\biggr)^{\frac{1}{2}}, \quad
\varphi\in W_2^1(D,F), \ \varkappa>1.
$$
Повторяя предыдущие рассуждения, придем к оценке \Tag(18). Следовательно,
$$
 \sup\limits_{D} |E_\lambda f|\le
C(n,\alpha)\lambda^{\frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)}}\|E_\lambda f\|_{L_2(D)}.
$$
Отсюда, как и выше при $n>2$, приходим к оценке, аналогичной \Tag(20), вида
$$
\|e_\lambda(x, \cdot)\|_{L_2(D)}
\le C \lambda^{\frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)}},
$$
в силу которой получаем соотношение
$$
|e_{\lambda}(x,x')|\le C\lambda^{\frac{\varkappa}{2(\varkappa-1)}},
\quad \varkappa>1,\ n=2.
$$
Уточним эту оценку.

Поскольку функция $e_{\lambda}(x,x')$ ограничена и непрерывна в области $D$,
найдется точка $x_0$ в $D$ такая, что
$$
|e_{\lambda}(x,\cdot)|\ge |e_{\lambda}(x_0,\cdot)|-\varepsilon
$$
для некоторого положительного $\varepsilon$. Сделаем замену переменных
(гомотетию)
$$
y=(x-x_0)\lambda^{\frac12}, \quad v(y)=u(x_0+y\lambda^{-\frac12}),
$$
где $y\in D^1$, а $D^1$ --- образ области $D$ при таком преобразовании. Задача
\Tag(3) переписывается в виде
$$
{\Cal L}^1v:=\sum\limits_{i,j=1}^{n}\frac{\partial}{\partial
y_{i}} \Bigl(b_{ij}(y)\frac{\partial
v}{\partial y_{j}} \Bigr)=-v \text{ в } D^1, \quad v\vert_{\widetilde F}=0,
\quad \frac{\partial v}{\partial \mu}\Bigr|_{\widetilde G}=0,
$$
где
$$
\frac{\partial v}{\partial \mu}
=\sum\limits_{i,j=1}^{n}b_{ij}(y)\frac{\partial v}{\partial y_i} \nu_j,
$$
а $\widetilde F$ и $\widetilde G$ --- образы $F$ и $G$
при этом преобразовании.
Ясно, что коэффициенты $b_{ij}(y)$ удовлетворяют условию
эллиптичности с той же константой $\alpha$, что и коэффициенты $a_{ij}(x)$,
матрица остается симметрической.
Решение понимается в обобщенном смысле, т.~е.
$v\in W^1_2(D^1, \widetilde F)$
является решением, если имеет место интегральное тождество
$$
\sum\limits_{i,j=1}^{2}\int\limits_{D^1}
b_{ij}(y)v_{y_i}\varphi_{y_j}\,dy =
\int\limits_{D^1}v \varphi \,dy
$$
для любой функции $\varphi\in W^1_2(D^1, \widetilde F)$.

Пусть $({\Cal L}^1)^lv=v$, где $v$ --- собственная функция, отвечающая
собственному значению $1$, а  $({\Cal L}^1)^l$ --- суперпозиция операторов
$\underbrace{{\Cal L}^1\circ{\Cal L}^1\circ\dots\circ{\Cal L}^1}\limits
_{l}$.
Положим
$$
v_l=({\Cal L}^1)^l(E_\lambda f), \quad l=1,\dots\,.
$$
По определению ${\Cal L}^1 v_l=v_{l+1}$, поэтому справедливо интегральное
тождество
$$
\sum\limits_{i,j=1}^{n}\int\limits_{D}
b_{ij}(y)\frac{\partial v_l}{\partial y_i}\frac{\partial \varphi}{\partial
y_j}\,dy=\int\limits_{D} v_{l+1}\varphi \,dy,
\quad \varphi\in W^1_2(D,F).
$$
Выберем пробную функцию $\varphi=v_l |v_l|^\beta$, $\beta\geq 0$.
Применяя неравенство Г\"ельдера
к интегралу в правой части равенства и используя
условие эллиптичности, получаем
$$
(\beta+1)\int\limits_{D}|v_l|^\beta |\nabla v_l|^2 \,dy\le \widetilde
C(\alpha)\biggl(\ \int\limits_{D}|v_{l+1}|^{\beta+2} \,
dy\biggr)^{\frac{1}{\beta+2}}\biggl(\ \int\limits_{D}
|v_l|^{\beta+2}\,dy\biggr)^{\frac{\beta+1}{\beta+2}}.
$$

Далее будем пользоваться условием \Tag(2). Имеем оценку \Tag(8), поэтому
$$
\biggl(\ \int\limits_{D}|v_l|^{\varkappa(\beta+2)}\,dy\biggr)^{\frac{1}{\varkappa(\beta+2)}}
\le
\Bigl(\frac{C(\alpha)(\beta+2)^2}{4(\beta+1)}\Bigr)^{\frac{1}{\beta+2}}
\biggl(\ \int\limits_{D}|v_{l+1}|^{\beta+2}\, dy\biggr)^{\frac{1}{(\beta+2)^2}}
\biggl(\ \int\limits_{D}|v_{l}|^{\beta+2}\,dy\biggr)^{\frac{\beta+1}{(\beta+2)^2}}.
$$
Дальнейшие рассуждения повторяют те, которые приведены в случае $n>2$. После
этого делаем обратную замену переменных.
Имеем
$$
 \sup\limits_{D} |E_\lambda f|\le C(n,\alpha)
\lambda^{\frac{1}{2}}\|E_\lambda f\|_{L_2(D)}.
                                                                \tag21
$$
Заметим, что $\|E_\lambda f\|_{L_2(D)}\le\|f\|_{L_2(D)}$.
Значит, из \Tag(6) и \Tag(21) непосредственно следует оценка
$$
\|e_\lambda(x, \cdot)\|_{L_2(D)}\le C \lambda^{\frac{1}{2}}.
$$
Выбирая в \Tag(19) $f=e_\lambda(x,\cdot)$, ввиду равенства $E_\lambda
f=e_\lambda(x, \cdot)$ получаем искомое соотношение \Tag(5),
что и доказывает \Par*{Theorem 1}  при $n=2$.

\acknowledgment
Работа посвящается юбилею Геннадия Владимировича Демиденко и вдохновлена
участием автора в конференции в Новосибирске осенью 2025~г. с ее атмосферой
научного поиска и плодотворными дискуссиями, которые были бы невозможны без
деятельного участия, энтузиазма и поддержки Геннадия Владимировича.

\Refs

\ref\no 1
\by               Maz'ya~V.
\book             Sobolev Spaces with Applications to Elliptic Partial Differential Equations
%\bookinfo         Second, revised and augmented edition
\publaddr         Berlin
\publ             Springer
\yr               2011
\finalinfo        Grundlehren Math. Wiss., 342 %[Fundamental Principles of Mathematical Sciences]
\endref

\ref\no 2
\by               Smolitskii Kh.L. %Smolickii H.L.
\paper            Estimates of derivatives of fundamental functions
\jour             Dokl. Akad. Nauk SSSR
\yr               1950
\vol              74
\issue            2
\pages            205--208
\endref

\ref\no 3
\by               \'Eidus~D.M.
\paper            Estimates of the moduli of eigenfunctions
\jour             Dokl. Akad. Nauk SSSR
\yr               1953
\vol              90
\issue            6
\pages            973--974
\endref

\ref\no 4
\by               \'Eidus~D.M.
\paper            Some inequalities for eigenfunctions
\jour             Dokl. Akad. Nauk SSSR
\yr               1956
\vol              107
\issue            6
\pages            796--798
\endref

\ref\no 5
\by              Il'in~V.A. and Shishmarev~I.A.
\paper           Uniform estimates in a closed domain for the eigenfunctions of an elliptic operator and their derivatives
\jour            Izv. Akad. Nauk SSSR
\yr              1960
\vol             24
\issue           6
\pages           883--896
\endref

\ref\no 6
\by             Yakubov~V.Ya.
\paper          Sharp estimates for $L_2$-normalized eigenfunctions of an elliptic operator
\jour           Russian Acad. Sci. Dokl. Math.
\yr             1994
\vol            48
\issue          1
\pages          92--94
\endref

\ref\no 7
\by             Yakubov~V.Ya.
\paper          Estimates for eigenfunctions of elliptic operators with respect to the spectral parameter
\jour           Funct. Anal. Appl.
\yr             1999
\vol            33
\issue          2
\pages          128--136
\endref
%pr

\ref\no 8
\by             Chechkina~A.G.
\paper          Estimate for the maximum of the absolute value of eigenfunctions of the Zaremba problem for
                a~second order elliptic equation in divergence form
\jour           J.~Math. Sci. (N.Y.)
\yr             2025
\vol            292
\issue          2
\pages          218--225
\endref

\ref\no 9
\by             Avakumovi\v{c}~V.G.
\paper          \"Uber die Eigenfunktionen auf geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
\jour           Math.~Z.
\yr             1956
\vol            65
%\issue         -
\pages          327--344
\endref

\ref\no 10
\by             H\"ormander~L.
\paper          The spectral function of an elliptic operator
\jour           Acta Math.
\yr             1968
\vol            121
%\issue         -
\pages          193--218
\endref

\ref\no 11
\by             Weyl~H.
\paper          Das asimptotishe Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller
                Differntialeichungen (miteiner Anuendung auf die Theorie Hohlraumstranhlung)
\jour           Math. Ann.
\yr             1912
\vol            71
\pages          441--449
\endref
\endRefs

\enddocument