\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Pavlov \Initial A. \Initial L. \Gender he \ORCID 0000-0003-0532-7486 \Email alex4909\@gmail.com \AffilRef 1 \AffilRef 2 \endAuthor \Affil 1 \Organization Donetsk State University \City Donetsk \Country Russia \endAffil \Affil 2 \Organization Institute of Applied Mathematics and Mechanics \City Donetsk \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted October 2, 2025\enddatesubmitted \daterevised February 5, 2026\enddaterevised \dateaccepted February 12, 2026\enddateaccepted \UDclass 517.951 \endUDclass \dedication Посвящается Геннадию Владимировичу Демиденко в связи с его семидесятилетием. \enddedication \title Преобразование Лапласа обобщенных функций в~задаче Коши для~уравнений соболевского типа \endtitle \abstract Рассмотрено преобразование Лапласа обобщенных функций, носители которых содержатся в полупространстве, его свойства, теорема обращения и применение для построения слабых обобщенных решений задачи Коши для линейных уравнений соболевского типа с постоянными коэффициентами в классе функций, растущих на бесконечности. %The Laplace transform of generalized functions whose support is contained in a half-space, its properties, %inversion theorem and application for constructing weak generalized %solutions of the Cauchy problem for linear Sobolev-type equations with %constant coefficients in the class of functions growing at infinity are considered. \endabstract \keywords преобразование Лапласа, обобщенная функция медленного роста, задача Коши, уравнение соболевского типа %Cauchy problem, %Sobolev type equation, %tempered distributions, %multiplier \endkeywords \endtopmatter \head 1. Введение \endhead Преобразование Лапласа широко используется при исследовании дифференциальных уравнений и связанных с ними задач, в частности, задачи Коши. Статья Ю.И.~Любича [1] является убедительным подтверждением тому. Задаче Коши для уравнений соболевского типа посвящено много работ (см. [2--4] и литературу в них). Работ, в которых рассматривалась разрешимость задачи Коши для уравнений соболевского типа с постоянными коэффициентами в классах функций, растущих на бесконечности, сравнительно немного (см. [5--11] и литературу в них). В настоящей работе преобразование Лапласа обобщенных функций применяется для построения обобщенного решения задачи Коши \iftex $$ \alignat2 &P(D_x,\partial_t)u\equiv\sum\limits^{m}_{k=0}P_k(D_x)\partial^k_tu=f, &\quad& x \in {\Bbb R}^n, \ t \geq 0, \tag1.1 \\ &\partial^k_t u\bigr|_{t=0}=g_k, &\quad& k=0,\dots,m-1, \tag1.2 \endalignat $$ \else $$ P(D_x,\partial_t)u\equiv\sum\limits^{m}_{k=0}P_k(D_x)\partial^k_tu=f, \quad x \in {\Bbb R}^n, \ t \geq 0, \tag1.1 $$ $$ \partial^k_t u\bigr|_{t=0}=g_k, \quad k=0,\dots,m-1, \tag1.2 $$ \fi где $$ D_x=(D_{x_1},\dots,D_{x_n}),\quad D_{x_k}=-i\frac{\partial}{\partial x_k}, \quad \partial_t=\frac{\partial}{\partial t},\quad P_k(\sigma),\quad k=0,\dots,m-1, $$ --- многочлены c комплексными коэффициентами. Предполагается, что многочлен $P_m(\sigma)$ имеет вещественные нули, т.~е. уравнение \Tag(1.1) является уравнением соболевского типа. Так называют уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной. Исследование задач для таких уравнений начато С.Л.~Соболевым в [12]. {\it Обобщенным решением\/} задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) называют семейство обобщенных функций $u(t)$, $t\geq 0$, гладко зависящее от $t$ и удовлетворяющее \Tag(1.1), \Tag(1.2) в обобщенном смысле [13]: $$ \sum\limits^{m}_{k=0}\frac{d^k(P_k(D_x)u(t),\varphi)}{dt^k}=(f,\varphi), \quad \frac{d^k(u(t),\varphi)}{dt^k}\Bigr|_{t=0}=(g_k,\varphi), \quad k=0,\dots,m-1, $$ где $\varphi$~--- произвольная функция основного пространства. Такое решение будем называть {\it сильным обобщенным решением\/} задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2). {\it Слабым обобщенным решением\/} задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) будем называть обобщенную функцию $u$ в ${\Bbb R}^{n+1}$, $\supp u\subset \overline{{\Bbb R}}^{n+1}_+=\{(x,t):x\in {\Bbb R}^n$, $t\geq 0\}$, удовлетворяющую уравнению $$ P(D_x,\partial_t)u=f+\sum\limits^{m-1}_{j=0} \sum\limits^{m-j-1}_{k=0}P_{j+k+1}(D_x) g_k\otimes \delta^{(j)}_t,\eqno(1.3) $$ где $f$~--- обобщенная функция в ${\Bbb R}^{n+1}$, $\supp f \subset \overline{{\Bbb R}}^{n+1}_+$. Если к обобщенным функциям $u$ и $f$ в \Tag(1.3) можно применить преобразование Фурье~--- Лапласа, т.~е. применить преобразование Фурье по пространственным переменным и преобразование Лапласа по выделенной переменной, то построение решения уравнения \Tag(1.3) сводится к построению решения уравнения $$ P(\sigma,\lambda)\widehat {u}(\lambda)=\widehat {f}(\lambda)+\sum\limits^{m- 1}_{j=0}\sum\limits^{m-j-1}_{k=0}P_{j+k+1}(\sigma)\widehat {g}_k\lambda^j, \eqno(1.4) $$ где $\widehat {u}(\lambda)$, $\widehat {f}(\lambda)$~--- преобразование Фурье~--- Лапласа обобщенных функций~$u$ и~$f$. Целью настоящей работы является исследование разрешимости уравнения \Tag(1.3) в пространствах обобщенных функций, определенных на основе пространства обобщенных функций медленного роста и его подпространств. Вводятся пространства обобщенных функций, отражающие анизотропную регулярность и анизотропный рост их элементов на бесконечности, дается определение преобразования Лапласа в этих пространствах, доказываются его свойства и теорема обращения, применяется преобразование Лапласа для построения слабых обобщенных решений задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) с использованием уравнения~\Tag(1.4). Основы теории преобразования Лапласа обобщенных функций заложены Л.~Шварцем и Лионсом. Элементы теории преобразования Лапласа обобщенных функций медленного роста, носители которых содержатся в замкнутом, выпуклом, остром конусе в ${\Bbb R}^n$ с вершиной в точке~0, и примеры ее применения в математической физике изложены в [14]. Теория преобразования Лапласа в специально конструируемых пространствах основных и обобщенных функций представлена в [15], в одномерном случае подробно, в многомерном~--- конспективно. В данной работе рассмотрение преобразования Лапласа обобщенных функций ориентировано на его применении к исследованию разрешимости задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) в классах функций, растущих на бесконечности. В определенной степени в ней реализовано обобщение теории преобразования Лапласа векторнозначных функций, широко используемой в теории абстрактной задачи Коши (см., например, [1,\,16,\,17]), на случай обобщенных функций. Преобразование Лапласа обобщенных функций применено в работе для доказательства существования обобщенных решений задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2), существенно усиливающего результаты, полученные автором в [7--11]. Будем предполагать, что уравнение \Tag(1.1) удовлетворяет условию Петровского [18] в такой форме: $$ (\exists\gamma\in{\Bbb R})(\operatorname{Re}\lambda(\sigma)\leq\gamma, \text{ если } P(\sigma, \lambda(\sigma))=0, \ \sigma\in{\Bbb R}^n\backslash N), %\iftex\tag{P}\else\tag{P}\fi \tag P %\? % \eqno(\text{P}) $$ где $N$~--- множество общих вещественных нулей многочленов $P_k(\sigma)$, $k=0,\dots,m$. Если $N=\varnothing$, то это условие эквивалентно условию $$ (\exists \gamma \in {\Bbb R})(P(\sigma, \lambda)\neq 0, \ \sigma\in {\Bbb R}^n, \ \operatorname{Re}\lambda>\gamma). \iftex\tag{P$'$}\else\tag{P$'$}\fi %\? %\eqno(\text{P}^\prime) $$ Как показано в [7], условие $N=\varnothing$ является необходимым и достаточным условием единственности решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) в классе обобщенных функций медленного роста. Этот факт отражает существенные различия в исследовании задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) при $N=\varnothing$ и $N\neq\varnothing$. Существование слабого обобщенного решения характеристической задачи Коши в пространстве обобщенных функций конечной регулярности $D'_F({\Bbb R}^{n+1})$ с носителем в $\overline{{\Bbb R}}_+^{n+1}$ для уравнения \Tag(1.1), правая часть которого принадлежит этому пространству, доказано Хермандером (см. [19, Theorem~12.8.1]) при выполнении условия, более слабого, чем условие Петровского. Доказательство этого фундаментального результата существенно связано с особенностями свойств пространства $D'_F({\Bbb R}^{n+1})$, в частности, при решении проблемы деления, и не позволяет отслеживать рост на бесконечности и регулярность решения в зависимости от свойств правой части в уравнении \Tag(1.1). В настоящей работе приведены достаточные условия существования слабых обобщенных решений задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) в пространствах, построенных на основе пространства обобщенных функций медленного роста и его подпространств, учитывающих регулярность и поведение на бесконечности начальных данных и правой части уравнения \Tag(1.1). В~частности, для уравнения \Tag(1.1), удовлетворяющего условию $$ N = \{\sigma_1,\dots,\sigma_p\}, %\iftex\tag{D}\else\tag{D}\fi \tag D %\? %\eqno(\text{D}) $$ доказано существование слабого обобщенного решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) для любых начальных данных из пространства $S'({\Bbb R}^n)$ и любых обобщенных функций $f$ из указанных пространств. Условиям \Tag(P) и \Tag(D) %$(\text{P})$ и $(\text{D})$ удовлетворяют многие линейные уравнения соболевского типа, возникающие в приложениях, в частности, уравнение Соболева, уравнение медленных волн Россби, уравнение динамики стратифицированной жидкости и др. С помощью преобразования Фурье~--- Лапласа построение слабого обобщенного решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) сводится к построению решения уравнения \Tag(1.4), существенной особенностью которого является обращение в нуль многочлена $P(\sigma, \lambda)$ при $\sigma\in N$, $\lambda \in \Pi_\gamma=\{\lambda\in {\Bbb C}:\operatorname{Re}\lambda>\gamma\}$. Поэтому основная трудность в нахождении решения уравнения \Tag(1.4) состоит в решении задачи о делении обобщенной функции из $S'({\Bbb R}^n)$, голоморфно зависящей от параметра, на многочлен $P(\sigma,\lambda)$, имеющий вещественные нули. Эта задача рассмотрена в [20]. Полученный в ней результат применяется в данной работе для построения слабого обобщенного решения задачи \Tag(1.1), \Tag(1.2) в шкале пространств, учитывающих регулярность и поведение на бесконечности рассматриваемых функций. Для уравнения \Tag(1.1), удовлетворяющего условию \Tag(P$'$), % $(\text{P}^\prime)$, построение слабого обобщенного решения задачи Коши в работе основано на описании мультипликаторов в рассматриваемых функциональных пространствах и получении оценок для производных функции $P^{- 1}(\sigma,\lambda)$. Полученные результаты являются основой для построения сильных обобщенных решений задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2). Речь идет о поиске условий на начальные данные и правую часть уравнения \Tag(1.1), обеспечивающих существование у слабых обобщенных решений следов на гиперплоскостях $t=\const$, гладко зависящих от $t$, и принятие начальных данных в \Tag(1.2). Некоторые результаты в этом направлении содержатся в [7--11]. \head 2. Функциональные пространства и~мультипликаторы в~них \endhead Пространство обобщенных функций медленного роста $S'=S'({\Bbb R}^n)$ является пространством линейных непрерывных функционалов над основным пространством $S({\Bbb R}^n)$, состоящим из бесконечно дифференцируемых функций $\varphi(x)$, для которых конечны полунормы $$ \|\varphi(x)\|_{l,k}=\sup\limits_{x\in {\Bbb R}^n}\Bigl[(1+|x|)^l\sum\limits_{|\alpha|\leq k} |D^\alpha_x\varphi(x)|\Bigr], \quad l, k=0,1,2,\dots\,. $$ Рассмотрим семейство подпространств $S'$, зависящих от параметров $s$ и $l$: $$ H^s_l=\biggl\{f \in S':\|f\|^s_l\equiv \Bigl[\ \int(1+|\sigma|^2)^s |\Cal F_x((1+|x|^2)^{l/2}f)|^2\,d\sigma\Bigr]^{1/2}<+\infty \biggr\}, $$ где $\Cal F_xg$ --- преобразование Фурье обобщенной функции $g\in S'$ [18]. Это двупараметрическое семейство пространств является семейством гильбертовых пространств и обладает следующими свойствами:\Label{IT} \Item (1) сопряженное к пространству $H^s_l$ изоморфно пространству $H^{-s}_{-l}$; \Item (2) пространства $H^s_l$ и $H^l_s$ двойственны относительно преобразования Фурье; \Item (3) $S'$ является индуктивным пределом семейства пространств $H^s_l$. Из свойства \Par{IT}{(3)} следует, что для любой обобщенной функции $g\in S'$ существуют числа $s$ и $l$ такие, что $g\in H^s_l$. Пространство $H^s_l$ можно рассматривать как пополнение $S({\Bbb R}^n)$ по указанной норме. Следовательно, пространство $S({\Bbb R}^n)$ плотно в $H^s_l$. При целых неотрицательных $l$ пространство $H^l_0$ совпадает с пространством Соболева $W^l_2$, в частности, $H^0_0=L_2$. Как показано в [18], $f\in H^l_s$ тогда и только тогда, когда справедливы равенства $$ f=(1+|\sigma|^2)^{-\frac{s}{2}}(1+|D|^2)^{- \frac{l}{2}}h=(1+|D|^2)^{-\frac{l}{2}}(1+|\sigma|^2)^{- \frac{s}{2}}g, \eqno(2.1) $$ где через $(1+|D|^2)^{-\frac{l}{2}}$ обозначен псевдодифференциальный оператор, символ которого равен $(1+|x|^2)^{-\frac{l}{2}}$, $h \in L_2$, $g\in L_2$ и $$ \|h\|_{L_2}=\|g\|_{L_2}=\|f\|^l_s. $$ Через $C^r_l$, $r \in {\Bbb Z}_+$, $l \in {\Bbb R}$, обозначим пространство непрерывно дифференцируемых функций $\varphi$ до порядка $r$ с конечной нормой $$ |\varphi|^r_l=\sup\limits_{x\in {\Bbb R}^n,\,|\alpha|\leq r} |(1+|x|^2)^{\frac{l}{2}}\partial^\alpha\varphi(x)|. $$ Пространство $C^r_l$ банахово. Связь шкал пространств $\{C^r_l\}$ и $\{H^s_l\}$ отражают неравенства [18] $$ \|\varphi\|^r_{l-p}\leq c_1|\varphi|^r_l\leq c_2\|\varphi\|^{r+q}_l, \quad p, q>\frac{n}{2}. \eqno(2.2) $$ Через $C^r_{[\gamma]}(\overline{{\Bbb R}}_+, H^l_s)$, $r\in {\Bbb Z}_+$, $\gamma\in {\Bbb R}$, обозначим множество $r$ раз непрерывно дифференцируемых отображений $\upsilon(t)$ замкнутой полуоси $\overline{{\Bbb R}}_+=\{t \in {\Bbb R}:t\geq 0\}$ в гильбертово пространство $H^l_s$ с конечной нормой $$ |||\upsilon(t)|||_{C^r_{[\gamma]}(\overline{{\Bbb R}}_+,H^l_s)} =\sup\limits_{t\in \overline{{\Bbb R}}_+,\, 0\leq\nu\leq r} \Bigl[e^{-\gamma t} \Bigl\|\frac{d^\nu\upsilon(t)}{dt^\nu}\Bigr\|^l_s\Bigr]. $$ Пространство $C^r_{[\gamma]}(\overline{{\Bbb R}}_+,H^l_s)$ банахово. Преобразование Фурье по пространственным переменным отображает изоморфно пространство $C^r_{[\gamma]}(\overline{{\Bbb R}}_+,H^l_s)$ на $C^r_{[\gamma]}(\overline{{\Bbb R}}_+,H^s_l)$. Через $D({\Bbb R}^n)$ обозначают множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, а через $D'({\Bbb R}^n)$~--- пространство, состоящее из линейных форм на $D({\Bbb R}^n)$ таких, что для всякого компакта $K\subset {\Bbb R}^n$ существуют постоянные $C(K)$, $p(K)$ и выполняется неравенство $$ |(f, \varphi)|\leq C(K)\sum\limits_{|\alpha|\leq p(K)}\sup\limits_{\sigma \in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|, \quad \varphi\in D({\Bbb R}^n), \ \supp\varphi\subset K. $$ Через $E'_+({\Bbb R}^n)$ будем обозначать множество обобщенных функций пространства $E'({\Bbb R}^n)$, где $E({\Bbb R}^n)$~--- некоторое пространство основных функций, носители которых содержатся в полупространстве ${\overline{\Bbb R}}^n_+$. Через $\Cal {H}(G, E')$ обозначим множество голоморфных функций со значениями в пространстве обобщенных функций $E'$, определенных в области $G\subset {\Bbb C}$: $$ \Cal {H}(G, E')=\bigl\{f(\lambda) \in E',\ \lambda\in G; \ \forall %\? \varphi\in E \ (f(\lambda), \varphi) \in \Cal {H}(G)\bigr\}, $$ где $\Cal {H}(G)$ --- пространство функций, голоморфных в области $G$. Для исследования слабых обобщенных решений задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) рассмотрим функциональные пространства обобщенных функций, носители которых содержатся в полупространстве. Через $S'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$ обозначим множество, состоящее из обобщенных функций $f\in S'({\Bbb R}^{n+1})$, удовлетворяющих условиям: \Item (1) $\supp f\subset {\overline{\Bbb R}}^{n+1}_+$; \Item (2) для любой функции $\psi\in S({\Bbb R})$ имеет место включение $f_\psi=(f, (\cdot)\psi)\in S'({\Bbb R}^n)$, т.~е. существуют числа $l$, $s\in {\Bbb R}$ такие, что для любой функции $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ справедливо неравенство $$ |(f_\psi,\varphi)|\equiv|(f, \varphi\psi)|\leq c_{ls}(\psi)\|\varphi\|^l_s; \eqno(2.3) $$ \Item (3) последовательность $f_{\psi_k}$ сходится к $f_\psi$ в слабой топологии пространства $S'({\Bbb R}^n)$, если последовательность функций $\psi_k(t)\in S({\Bbb R})$ сходится к $\psi$ в $S({\Bbb R})$. Так как $$ S'({\Bbb R}^{n+1})=\operatorname{ind} \lim\limits_{l, s} H^l_s({\Bbb R}^{n+1}), $$ то для любой обобщенной функции $f\in S'_+({\Bbb R},S'({\Bbb R}^n))$ существуют числа $l$ и $s$ такие, что $f\in H^l_{s+}({\Bbb R}^{n+1})$, где $$ H^l_{s+}({\Bbb R}^{n+1}) =\bigl\{f\in H^l_s({\Bbb R}^{n+1}):\supp f\subset {\overline{\Bbb R}}_+^{n+1}\bigr\}. $$ Следовательно, для любых $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ и $\psi\in S({\Bbb R})$ справедливо неравенство $$ |(f, \varphi\psi)|\leq \|f\|^l_s\|\varphi\psi\|^{-l}_{-s}. \eqno(2.4) $$ \proclaim{Lemma 2.1} Для любых функций $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ и $\psi\in S({\Bbb R})$ при $l\in {\Bbb R}_+$ и $s\in {\Bbb R}$ справедливо неравенство $$ \|\varphi(\sigma)\psi(t)\|^l_s\leq C \|\varphi(\sigma)\|^l_s\|\psi(t)\|^{\theta(l)}_{s'}, \eqno(2.5) $$ где $$ s'= \cases s, & \text{если $s\geq 0$}, \\ 0, & \text{если $s<0$}, \endcases \quad \theta(l)= \cases l, & \text{если $l\in {\Bbb Z}_+$}, \\ [l]+1, & \text{если $l\in {\Bbb R}_+\backslash {\Bbb Z}_+$}. \endcases $$ \endproclaim \demo{Proof} Если $l\in {\Bbb Z}_+$, то, пользуясь оценкой нормы в $H^l_s$, приведенной в [8, Lemma~2.1], получим неравенство $$ \|\varphi(\sigma)\psi(t)\|^l_s\leq C_1\biggl(\ \sum\limits_{|\alpha|\leq l}\int(1+|\sigma|^2+t^2)^s|\partial^\alpha(\varphi(\sigma)\psi(t))|^2 \,d\sigma dt\biggr)^{\frac{1}{2}}. $$ При $s\geq 0$ из полученной оценки следует неравенство $$ \align \|\varphi(\sigma)\psi(t)\|^l_s &\leq C_2\biggl(\ \sum\limits_{|(\alpha'\alpha_{n+1})|\leq l}\ \int(1+|\sigma|^2)^s|\partial^{\alpha'}\varphi(\sigma)|^2(1+t^2)^s| \partial^{\alpha_{n+1}}\psi(t)|^2\,d\sigma dt\biggr)^{\frac{1}{2}} \\ &= C_2\biggl(\ \sum\limits_{|(\alpha'\alpha_{n+1})|\leq l}\ \int(1+|\sigma|^2)^s|\partial^{\alpha'}\varphi(\sigma)|^2\,d\sigma \cdot \int(1+t^2)^s|\partial^{\alpha_{n+1}}\psi(t)|^2 \, dt\biggr)^{\frac{1}{2}} \\ &\leq C_3\|\varphi(\sigma)\|^l_s\max\limits_{\alpha_{n+1}\leq l} \biggl(\ \int(1+t^2)^s|\partial^{\alpha_{n+1}}\psi(t)|^2 \, dt\biggr)^{\frac{1}{2}}\leq C_4\|\varphi\|^l_s\|\psi\|^l_s. \endalign $$ Аналогичные рассуждения при $s<0$ с использованием неравенства $$ (1+|\sigma|^2+t^2)^s\leq (1+|\sigma|^2)^s $$ приводят к неравенству $$ \|\varphi(\sigma)\psi(t)\|^l_s\leq C'_4\|\varphi\|^l_s\|\psi\|^l_0. $$ Следовательно, при $l\in Z_+$ и $s\in {\Bbb R}$ неравенство \Tag(2.5) справедливо. К произвольным $l\in{\Bbb R}_+$ можно перейти с помощью интерполяции. Метод построения интерполяционных пространств между двумя гильбертовыми пространствами, предложенный Лионсом (см., например, [21]), примененный к пространствам $H^{m+1}_s$ и $H^m_s$, $m\in {\Bbb Z}_+$, дает пространства $H^{m+1-\theta}_s$, $0\leq \theta\leq 1$. Неравенство \Tag(2.5) выражает непрерывность оператора из $H^l_s({\Bbb R}^n)$ в $H^l_s({\Bbb R}^{n+1})$, который элементам $\varphi$ пространства $H^l_s({\Bbb R}^n)$ ставит в соответствие элементы $\varphi\psi$ пространства $H^l_s({\Bbb R}^{n+1})$, где $\psi\in S({\Bbb R})$. Выше доказано, что этот оператор непрерывен при $l\in Z_+$ и справедливо неравенство $$ \|\varphi(\sigma)\psi(t)\|^l_s\leq C'\|\varphi(\sigma)\|^l_s\|\psi(t)\|^l_{s'}, $$ где $s'=s$, если $s\geq 0$, и $s'=0$, если $s<0$. На основании теоремы об интерполяции (см. [21, Chapter~I, Theorem~5.1]) он непрерывен для любого $l\in {\Bbb R}_+$ и неравенство \Tag(2.5) справедливо. Лемма доказана. \enddemo Если в определении пространства $S'_+({\Bbb R},S'({\Bbb R}^n))$ заменить $S'({\Bbb R}^n)$ его подпространством $H^l_s({\Bbb R}^n)$, то получим определение пространства $S'_+({\Bbb R},H^l_s({\Bbb R}^n))$. При этом последовательность обобщенных функций $f_{\psi_k}$ сходится к $f_\psi$ по норме пространства $H^l_s$, если последовательность функций $\psi_k\in S({\Bbb R})$ сходится к $\psi$ в $S({\Bbb R})$. Пусть $f\in S'_+({\Bbb R},H^l_s({\Bbb R}^n))$. Тогда для любой функции $\psi\in S({\Bbb R})$ определена функция $f_\psi\in H^l_s({\Bbb R}^n)$. Следовательно, для любой функции $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ выполняется неравенство $$ |(f_\psi,\varphi)|\leq \|f_\psi\|^l_s\|\varphi\|^{-l}_{-s}. \eqno(2.6) $$ \proclaim{Lemma 2.2} Справедливо равенство $$ S'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))=\bigcup\limits_{s,l} S'_+({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n)). \eqno(2.7) $$ \endproclaim \demo{Proof} Так как $S'_+({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))\subset S'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$ по определению, достаточно показать, что для любой $f\in S'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$ существуют числа $l$ и $s$ такие, что $f\in S'_+({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))$. Как отмечено выше, для любой обобщенной функции $f\in S'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$ существуют числа $l$ и $s$ такие, что $f\in H^l_s({\Bbb R}^{n+1})$ и справедливо неравенство \Tag(2.4). Если $l\leq 0$, то из неравенств \Tag(2.4) и \Tag(2.5) следует неравенство $$ |(f_\psi,\varphi)|\leq C\|f\|^l_s\|\varphi(\sigma)\|^{-l}_{-s} \|\psi(t)\|^{\theta(-l)}_{-s'}. $$ Из этого неравенства следует, что для любой функции $\psi\in S({\Bbb R})$ обобщенная функция $f_\psi\in S'({\Bbb R}^n)$ может быть продолжена по непрерывности на пространство $H^{-l}_{- s}({\Bbb R}^n)$, т.~е. $f_\psi\in H^l_s$ и справедливо неравенство $$ \|f_\psi\|^l_s\leq C\|f\|^l_s\|\psi\|^{\theta(-l)}_{-s'}. \eqno(2.8) $$ Из неравенства \Tag(2.8) вытекает, что последовательность обобщенных функций $f_{\psi_k}$ сходится к $f_\psi$ в $H^l_s({\Bbb R}^n)$, если последовательность $\psi_k(t)\in S({\Bbb R})$ сходится к $\psi(t)$ в пространстве $S({\Bbb R})$. Следовательно, при $l\leq 0$ будет $f\in S'_+({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))$. Если $l>0$ и $f\in H^l_{s_+}({\Bbb R}^{n+1})$, то справедливо включение $$ (1+|\sigma|^2+t^2)^{\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}}f(\sigma, t) \in L_2({\Bbb R}^{n+1}). $$ Применяя теорему Фубини и неравенство Коши~--- Буняковского, для произвольных $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ и $\psi\in S({\Bbb R})$ получим $$ \align |(f_\psi, \varphi)|&=|(f, \varphi\psi)| =|((1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}}f, (1+|D_\sigma|^2)^{-\frac{l}{2}} \varphi(\sigma)\psi(t)| \\ &\biggl|\int(1+|\sigma|^2)^{\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}} f(\sigma,t)(1+|\sigma|^2)^{-\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{- \frac{l}{2}}\varphi(\sigma)\psi(t)\,d\sigma dt\biggr| \\ &\leq \int \biggl|\int(1+|\sigma|^2)^{\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}}f( \sigma,t)(1+|\sigma|^2)^{-\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{- \frac{l}{2}}\varphi(\sigma)\,d\sigma\biggr||\psi(t)|\,dt \\ &\leq\int\biggl(\ \int|(1+|\sigma|^2)^{\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}} f(\sigma,t)|^2\,d\sigma\biggr)^{\frac{1}{2}} \\ &\qquad\times\biggl(\ \int|(1+|\sigma|^2)^{-\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{- \frac{l}{2}}\varphi(\sigma)|^2\,d\sigma\biggr)^{\frac{1}{2}}|\psi(t)|\,dt \\ &\le \|\varphi\|^{-l}_{-s} \int\biggl(\ \int|(1+|\sigma|^2)^{\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}} f(\sigma,t)|^2\,d\sigma\biggr)^{\frac{1}{2}}|\psi(t)|\,dt. \endalign $$ Дальнейшее оценивание зависит от знака $s$. Если $s\leq 0$, то справедливо неравенство $$ (1+|\sigma|^2)^{\frac{s}{2}}(1+t^2)^{\frac{s}{2}}\leq (1+|\sigma|^2+t^2)^{\frac{s}{2}}. $$ Используя это неравенство, получим оценку $$ |(f_\psi,\varphi)|\leq\|\varphi\|^{-l}_{-s}\|\psi\|^0_{- s}\biggl(\ \int|(1+|\sigma|^2+t^2)^{\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}} f(\sigma,t)|^2\,d\sigma dt\biggr)^{\frac{1}{2}}. $$ Следовательно, при $s\leq 0$ справедливо неравенство $$ |(f_\psi,\varphi)|\leq C(f)\|\psi\|^0_{-s}\|\varphi\|^{-l}_{-s}, $$ где $$ C(f)=\biggl(\ \int|(1+|\sigma|^2+t^2)^{\frac{s}{2}}(1+|D_\sigma|^2)^{\frac{l}{2}} f(\sigma,t)|^2\,d\sigma dt\biggr)^{\frac{1}{2}}. $$ Если $s>0$, то справедливо неравенство $$ (1+|\sigma|^2)^{\frac{s}{2}}\leq (1+|\sigma|^2+t^2)^{\frac{s}{2}}. $$ Используя это неравенство, получим аналогичную оценку при $s>0$: $$ |(f_\psi,\varphi)|\leq C(f)\|\psi\|^0_0\|\varphi\|^{-l}_{-s}. $$ Следовательно, при $l>0$ обобщенная функция $f_\psi$ может быть продолжена по непрерывности на пространство $H^{-l}_{-s}({\Bbb R}^n)$, т.~е. $f_\psi\in H^l_s({\Bbb R}^n)$ и справедливо неравенство $$ \|f_\psi\|^l_s\leq C(f)\|\psi\|^0_{s'}, \eqno(2.9) $$ где $s'=0$, если $s>0$, и $s'=-s$, если $s\leq 0$. Из этого неравенства следует непрерывная зависимость $f_\psi$ от $\psi\in S({\Bbb R})$, т.~е. при $l>0$ будет $f\in S'_+({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))$. Лемма доказана. \enddemo Обозначим через $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$ множество таких обобщенных функций $f\in D'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$, что $e^{-\gamma t}f\in S'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$, т.~е. $f=e^{\gamma t}g$, $g\in S'_+({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$. Пространство $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$ инвариантно относительно дифференцирования. Это следует из описания элементов пространства $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$ и равенства $$ \frac{\partial f}{\partial t}=\gamma e^{\gamma t}g + e^{\gamma t}\frac{\partial g}{\partial t}=e^{\gamma t}\Bigl(\gamma g +\frac{\partial g}{\partial t}\Bigr). $$ Аналогично определяются пространства $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))$: $$ S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))= \bigl\{f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n) %\?) вроде скобки не хватает :e^{-\gamma t}f\in S'_+({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))\bigr\}. $$ Умножение на бесконечно дифференцируемую функцию $a(\sigma)$ является линейным непрерывным отображением пространства $S'$ в себя, т.~е. функция $a(\sigma)$ является мультипликатором в пространстве $S'$ тогда и только тогда, когда для всех $\alpha\in {\Bbb Z}^n_+$ выполняются неравенства $$ |\partial^\alpha a(\sigma)|\leq c_\alpha(1+|\sigma|)^{q(\alpha)}, \quad \sigma\in {\Bbb R}^n, \eqno(2.10) $$ где $c_\alpha>0$, $q(\alpha)$ --- числа, зависящие от производной функции $a(\sigma)$ порядка $\alpha$ (см. [18]). Так как $S'$ является объединением пространств $H^l_s$, $l$, $s\in {\Bbb R}$, то представляет интерес описание действия мультипликатора $a(\sigma)$ в шкале пространств $H^l_s$. \proclaim{Theorem 2.1} Умножение на функцию $a(\sigma)$, удовлетворяющую неравенствам \Tag(2.10), является непрерывным отображением из пространства $H^l_s$, $l$, $s\in {\Bbb R}$, в $H^l_{s-q(l)}$, где $$ q(l)=\max\limits_{|\alpha|\leq\nu(l)} q(\alpha), \quad \nu(l)=\cases |l|, &\text{если } l\in {\Bbb Z},\\ [|l|]+1,& \text{если } l\notin {\Bbb Z}, \endcases $$ и для любой обобщенной функции $g\in H^l_s$ справедливо неравенство $$ \|a(\sigma)g\|^l_{s-q(l)}\leq C(\max\limits_{|\alpha|\leq\nu(l)}c_\alpha)\|g\|^l_s, \tag2.11 $$ где $C>0$ --- некоторое число, не зависящее от функции $a(\sigma)$. \endproclaim \demo{Proof} Доказательство \Par*{Theorem 2.1} приведено в [8]. В нем используются только производные функции $a(\sigma)$ и их оценки до порядка $\nu(l)$. Поэтому справедливо следующее утверждение. \proclaim{Corollary 2.1} Умножение на функцию $a(\sigma) \in C^{\nu(l)}({\Bbb R}^n)$, удовлетворяющую неравенствам \Tag(2.10) при $|\alpha|\leq \nu(l)$, является непрерывным отображением из пространства $H^l_s$, $l, s\in {\Bbb R}$, в пространство $H^l_{s-q(l)}$ и справедливо неравенство \Tag(2.11). \endproclaim Приведенное утверждение означает, что функция $a(\sigma)\in C^{\nu(l)}({\Bbb R}^n)$, удовлетворяющая неравенствам \Tag(2.10) при $|\alpha|\leq \nu(l)$, является мультипликатором в $H^l_{-\infty}=\bigcup\nolimits_s H^l_s$. Рассмотрим семейство функций $a(\sigma,\lambda)$, $\sigma\in {\Bbb R}^n$, $\lambda\in G\subset {\Bbb C}$, непрерывно дифференцируемых по $\sigma$ до порядка $\nu\in {\Bbb Z}_+$ при каждом $\lambda \in G$, голоморфных по переменной $\lambda$ в области $G$ вместе с производными по $\sigma$ до порядка $\nu$ и удовлетворяющих неравенствам $$ |\partial^\alpha a(\sigma, \lambda)|\leq c_\alpha(1+|\lambda|)^{p(\alpha)}(1+|\sigma|)^{q(\alpha)}, \quad |\alpha|\leq \nu,\ \lambda \in G,\ \sigma\in {\Bbb R}^n, \eqno(2.12) $$ где $c_\alpha>0$, $p(\alpha)$, $q(\alpha)$ --- некоторые числа, зависящие от $\alpha$. \proclaim{Theorem 2.2} Умножение на функцию $a(\sigma,\lambda)$, удовлетворяющую неравенствам \Tag(2.12) при $\nu=\nu(l)$, $l\in {\Bbb R}$, является непрерывным отображением пространства $\Cal {H}(G, H^l_s)$, $s\in {\Bbb R}$, в пространство $\Cal {H}(G, H^l_{s-q(l)})$ и для любой функции $f(\lambda) \in \Cal {H}(G, H^l_s)$ справедливо неравенство $$ \|a(\sigma, \lambda)f(\lambda)\|^l_{s-q(l)}\leq C_l(1+|\lambda|)^{p(l)}\|f(\lambda)\|^l_s, \eqno(2.13) $$ где $C_l>0$ --- некоторое число, $p(l)=\max\nolimits_{|\alpha|\leq\nu(l)}p(\alpha)$. \endproclaim \demo{Proof} Из условия теоремы и \Par*{Theorem 2.1} следует, что обобщенная функция $a(\sigma,\lambda)f(\lambda)$ при каждом $\lambda\in G$ принадлежит пространству $H^l_{s-q(l)}$ и справедливо неравенство \Tag(2.13). Докажем голоморфность функции $a(\sigma, \lambda)f(\lambda)$. Для произвольной точки $\lambda_0\in G$ функцию $f(\lambda)\in\Cal {H}(G,H^l_s)$ в некотором замкнутом круге $V_r(\lambda_0)$ можно представить в виде $$ f(\lambda)=\sum\limits^{\infty}_{m=0}f_m(\lambda_0)(\lambda- \lambda_0)^m, \quad \lambda\in V_r(\lambda_0), $$ где $f_m(\lambda_0)\in H^l_s$ и справедливы неравенства $$ \|f_m(\lambda_0)\|^l_s\leq \frac{M}{r^m}, \quad M=\max\limits_{\lambda\in V_r(\lambda_0)}\|f(\lambda)\|^l_s, \quad m=0, 1, \dots\,. \eqno(2.14) $$ Аналогичное представление в круге $V_r(\lambda_0)$ имеет голоморфная в области $G$ функция $a(\sigma,\lambda)$, гладко зависящая от $\sigma\in {\Bbb R}^n$: $$ a(\sigma, \lambda)=\sum\limits^{\infty}_{k=0}a_k(\sigma, \lambda_0)(\lambda-\lambda_0)^k, \quad \lambda\in V_r(\lambda_0), $$ где $a_k(\sigma, \lambda_0)\in C^{\nu(l)}({\Bbb R}^n)$. Это следует из интегрального представления функции $a_k(\sigma,\lambda_0)$: $$ a_k(\sigma, \lambda_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\lambda- \lambda_0|=r}\frac{a(\sigma,\lambda)}{(\lambda- \lambda_0)^{k+1}}\,d\lambda. $$ Пользуясь этим представлением и неравенствами \Tag(2.12), получим оценки производных по $\sigma$ функций $a_k(\sigma,\lambda_0)$: $$ \aligned |\partial^\alpha a_k(\sigma, \lambda_0)| &\leq \frac{1}{2\pi}\int\limits_{|\lambda-\lambda_0|=r}|\partial^\alpha a(\sigma, \lambda)|\frac{|d\lambda|}{r^{k+1}} \\ &\leq C'_\alpha(1+|\sigma|)^{q(\alpha)}\frac{1}{r^{k+1}} \int\limits_{|\lambda-\lambda_0|=r} (1+|\lambda|)^{p(\alpha)}\,|d\lambda|\leq C''_\alpha(1+|\lambda_0|)^{p(\alpha)}(1+|\sigma|)^{q(\alpha)} \frac{1}{r^k}, \endaligned \tag2.15 $$ где $C'_\alpha$ и $C''_\alpha(r)$ --- числа, не зависящие от $k$. Следовательно, функции $a_k(\sigma, \lambda_0)$, $k=0,1,\dots$, удовлетворяют условию \Par*{Corollary 2.1}. Из \Par*{Corollary 2.1} и неравенств \Tag(2.15) при $r<1$ следует неравенство $$ \|a_k(\sigma,\lambda_0)f_m(\lambda_0)\|^l_{s-q(l)}\leq C_l\frac{1}{r^k}(1+|\lambda_0|)^{p(l)}\|f_m(\lambda_0)\|^l_s. $$ Из этого неравенства и неравенства \Tag(2.14) следует, что обобщенная функция $$ g_\tau(\lambda_0)=\sum\limits_{m+k=\tau}a_k(\sigma,\lambda_0)f_m(\lambda_0) $$ принадлежит пространству $H^l_{s-q(l)}$ и справедливо неравенство $$ \|g_\tau(\lambda_0)\|^l_{s-q(l)}\leq \frac{\widetilde{C}_l}{r^\tau_1}(1+|\lambda_0|)^{p(l)}\max\limits_{\lambda \in V_r(\lambda_0)}\|f(\lambda)\|^l_s, \quad r_10$, $p$, $q$ --- некоторые числа, $\gamma'>\gamma$. \endproclaim \Par*{Theorem 2.3} является частным случаем теоремы 3.3 в [22], доказанной с помощью оценки модуля многочлена от вещественных переменных (см. [23, Theorem~А.3. Supplements]). %\?(см. [23, Theorem~А.3. Дополнения]). Обобщением \Par*{Theorem 2.3} является следующее утверждение. \proclaim{Theorem 2.4} Если многочлен $P(\sigma,\lambda)$ удовлетворяет условию \Tag(P$'$), то для любого $\alpha\in {\Bbb Z}^n_+$ справедливо неравенство $$ \Bigl|\partial^\alpha\frac{1}{P(\sigma, \lambda)}\Bigr|\leq C(\gamma')_\alpha(1+|\sigma|)^{q(\alpha)}(1+|\lambda|)^{p(\alpha)}, \quad (\sigma, \lambda) \in {\Bbb R}^n\times\Pi_{\gamma'}, \eqno(2.17) $$ где $C_\alpha\gamma'>0$, $q(\alpha)=|\alpha|(q+\deg_\sigma P(\sigma, \lambda))+q$, $p(\alpha)=|\alpha|(p+m)+p$, $\gamma'>\gamma$. \endproclaim \demo{Proof} При $|\alpha|=0$ неравенство \Tag(2.17) справедливо, так как совпадает с неравенством \Tag(2.16). Предположим, что неравенство \Tag(2.17) справедливо для всех $\beta\in {\Bbb Z}^n_+$, $|\beta|\leq k$ и $\alpha'=\alpha+\gamma_i$, $|\alpha|=k$, $|\gamma_i|=1$. Воспользовавшись формулой Лейбница и предположением, получим $$ \align \Bigl|\partial^{\alpha'}\frac{1}{P(\sigma, \lambda)}\Bigr| &=\Bigl|\partial^\alpha\Bigl(\frac{\partial_i P(\sigma,\lambda)}{P^2(\sigma, \lambda)}\Bigr)\Bigr|\leq c_\alpha'\sum\limits_{\beta\leq\alpha}\Bigl|\partial^{\alpha- \beta}\frac{1}{P(\sigma, \lambda)}\Bigr|\Bigl|\partial^\beta\frac{\partial_i P(\sigma, \lambda)}{P(\sigma, \lambda)}\Bigr| \\ &\leq c_\alpha''\sum\limits_{\beta\leq\alpha}\Bigl|\partial^{\alpha- \beta}\frac{1}{P(\sigma, \lambda)}\Bigr| \sum\limits_{\gamma\leq\beta}\Bigl|\partial^{\beta- \gamma}\frac{1}{P(\sigma, \lambda)}\Bigr||\partial^\gamma\partial_i P(\sigma, \lambda)| \\ &\leq c'''_\alpha\sum\limits_{\beta\leq\alpha,\,\gamma\leq\beta}(1+|\sigma| )^{q(\alpha-\beta)+q(\beta-\gamma)+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda)}(1+|\lambda|)^{p(\alpha-\beta)+p(\beta-\gamma)+m} \\ &\leq c_{\alpha'}(1+|\sigma|)^{\tilde{q}(\alpha')} (1+|\lambda|)^{\tilde{p}(\alpha')}, \endalign $$ где \iftex $$ \align &\aligned \widetilde{q}(\alpha')&=\sup\limits_{\beta\leq\alpha,\gamma\leq\beta} (q(\alpha-\beta)+q(\beta-\gamma)+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda)) \\ &=\sup\limits_{\beta\leq\alpha,\gamma\leq\beta}[(|\alpha|- |\beta|)(q+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda))+q+(|\beta|- |\gamma|)(q+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda))+q \\ &\qquad+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda)]=|\alpha'|(q+\deg_\sigma P(\sigma, \lambda))+q=q(\alpha'), \endaligned \\ &\aligned \widetilde{p}(\alpha')&=\sup\limits_{\beta\leq\alpha\:\: %\? \gamma\leq\beta}( p(\alpha-\beta)+p(\beta-\gamma)+m) \\ &=\sup\limits_{\gamma\leq\alpha}[(|\alpha|- |\gamma|+1)(p+m)+p]=|\alpha'|(p+m)+p=p(\alpha'). \endaligned \endalign $$ \else $$ \gathered \widetilde{q}(\alpha')=\sup\limits_{\beta\leq\alpha,\gamma\leq\beta} (q(\alpha-\beta)+q(\beta-\gamma)+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda)) \\ =\sup\limits_{\beta\leq\alpha,\gamma\leq\beta}[(|\alpha|- |\beta|)(q+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda))+q+(|\beta|- |\gamma|)(q+\deg_\sigma P(\sigma,\lambda))+q \\ +\deg_\sigma P(\sigma,\lambda)]=|\alpha'|(q+\deg_\sigma P(\sigma, \lambda))+q=q(\alpha'), \endgathered $$ $$ \gathered \widetilde{p}(\alpha')=\sup\limits_{\beta\leq\alpha\:\: %\? \gamma\leq\beta}( p(\alpha-\beta)+p(\beta-\gamma)+m) \\ =\sup\limits_{\gamma\leq\alpha}[(|\alpha|- |\gamma|+1)(p+m)+p]=|\alpha'|(p+m)+p=p(\alpha'). \endgathered $$ \fi Следовательно, неравенство \Tag(2.17) справедливо. Теорема доказана. \enddemo \head 3. Преобразование Лапласа обобщенных функций и~его~свойства \endhead Определение преобразования Лапласа обобщенных функций, носители которых содержатся в полупространстве $\overline {{\Bbb R}}^{n+1}_+$, основано на определении преобразования Лапласа скалярных функций $f(t)$, $t\geq 0$, по формуле $$ \widehat {f}(\lambda)=\int\limits^{\infty}_0f(t)e^{-\lambda t}\,dt. $$ Если $e^{-\gamma t}|f(t)|\gamma-\operatorname{Re}\lambda$, $\lambda\in\Pi_\gamma$, $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ следуют равенства $$ \align (\widehat {f}(\lambda+\Delta\lambda)-\widehat {f}(\lambda),\varphi) &=(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma)\eta_\varepsilon(t)(e^{(\gamma- (\lambda+\Delta\lambda))t} - e^{(\gamma-\lambda)t})) \\ &=(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma)\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}\Bigl(-t\Delta\lambda+\frac{t^2}{2}e^{-\theta(\Delta\lambda) t}(\Delta\lambda)^2)\Bigr) \\ &=(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma)\eta_\varepsilon(t)(-t)e^{(\gamma- \lambda)t})\Delta\lambda+ \Bigl(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma) \eta_\varepsilon(t)\frac{t^2}{2}e^{(\gamma- (\lambda+\theta(\Delta\lambda)))t}\Bigr)(\Delta\lambda)^2, \endalign $$ где $0\leq\theta=\theta(\Delta\lambda)\leq 1$. Из определения пространства $S'_+({\Bbb R},S'({\Bbb R}^n))$ следует справедливость равенства $$ \lim\limits_{\Delta\lambda\rightarrow 0} \Bigl(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma)\eta_\varepsilon(t)\frac{t^2}{2}e^{(\gamma- (\lambda+\theta(\Delta\lambda)))t}\Bigr) =\Bigl(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma) \eta_\varepsilon(t)\frac{t^2}{2}e^{(\gamma-\lambda)t}\Bigr). $$ Следовательно, функция $(\widehat {f}(\lambda),\varphi)$ дифференцируема по $\lambda$ в полуплоскости $\Pi_\gamma$, т.~е. обобщенная функция $\widehat {f}(\lambda)$ голоморфна в полуплоскости $\Pi_\gamma$ как функция со значениями в локально выпуклом пространстве $S'({\Bbb R}^n)$. Теорема доказана. \enddemo Согласно определению преобразования Лапласа обобщенной функции $f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R},S'({\Bbb R}^n))$ в \Tag(3.1) отображение $f\rightarrow \widehat {f}(\lambda)$ линейно. Это отображение обратимо. \proclaim{Theorem 3.2} Если $f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R},S'({\Bbb R}^n))$ и $\widehat {f}(\lambda)=0$, $\lambda\in \Pi_\gamma$, то $f=0$. \endproclaim \demo{Proof} Предположим, что $f\neq 0$. Тогда существует функция $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ такая, что не равна нулю обобщенная функция $g_\varphi\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}):(g_\varphi, \psi)=(f,\varphi\psi), \psi\in S({\Bbb R})$. Так как $S'({\Bbb R})=\bigcup\nolimits_{l,s}H^l_s$, существуют числа $l$ и $s$ такие, что $\hbar_\varphi=e^{-\gamma t}g_\varphi\in H^l_s$. Если $l\geq 0$, то $\hbar_\varphi\in H^0_l$ и справедливо равенство $$ (\hbar_\varphi, \eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda(t)})=(\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \operatorname{Re}\lambda)t}\hbar_\varphi; e^{-i\eta t}), $$ $\eta=\operatorname{Im}\lambda$, $\operatorname{Re}\lambda>\gamma$. По построению $\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\operatorname{Re}\lambda)t}\hbar_\varphi\in L_1({\Bbb R})$. По условию левая часть полученного равенства равна нулю при $\operatorname{Re}\lambda>\gamma$, а правая является преобразованием Фурье функции из $L_1({\Bbb R})$. Следовательно, $\eta_\varepsilon(t)\hbar_\varphi=0$. А~тогда $g_\varphi=0$, так как $\supp g_\varphi\subset {\overline{\Bbb R}}_+$, что противоречит предположению. Если $l<0$, то $\hbar_\varphi\in H^{-2k}_l$ для некоторого $k\in N$. Из равенства \Tag(2.1) следует равенство $$ \eta_\varepsilon(t)\hbar_\varphi=(1+\partial^2_t)^k(1+|t|)^{- \frac{l}{2}}u,\quad u\in L_2(-2\varepsilon, +\infty). $$ Тогда справедливы равенства $$ \align (\hbar_\varphi, \eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}) =\ &((1+|t|)^{-\frac{l}{2}}u, (1+\partial^2_t)^ke^{(\gamma-\lambda)t}) \\ %\?надо какой-то знак &((1+|t|)^{-\frac{l}{2}}u, Q(\gamma-\lambda)e^{(\gamma-\lambda)t}) =(Q(\gamma-\lambda)e^{(\gamma-\operatorname{Re}\lambda)t}(1+|t|)^{- \frac{l}{2}}u, e^{-i\eta t}), \ \eta\in {\Bbb R}, \endalign $$ где $Q(\gamma-\lambda)$~--- некоторый многочлен от $\gamma-\lambda$. Рассуждениями, аналогичными предыдущим, приходим к противоречию и в этом случае. Следовательно, $f=0$. Теорема доказана. \enddemo \proclaim{Theorem 3.3} Если обобщенная функция $f$ принадлежит $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s)$, то ее преобразование Лапласа $\widehat {f}(\lambda)$ принадлежит пространству $\Cal {H}(\Pi_\gamma, H^l_s)$. \endproclaim \demo{Proof} Принадлежность $\widehat {f}(\lambda)$ при $\lambda\in\Pi_\gamma$ пространству $H^l_s$ следует из определения пространства $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s({\Bbb R}^n))$ и равенства $$ (\widehat {f}(\lambda), \varphi)=(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma)\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}), $$ которое имеет смысл для всех $\varphi\in H^{-l}_{-s}$. Из этого равенства следует равенство норм $$ \|\widehat {f}(\lambda)\|^l_s=\|e^{-\gamma t}f_{\psi(\varepsilon, k)}\|^l_s, \eqno(3.3) $$ где $\psi(\varepsilon, \lambda)=\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}$. Голоморфность функции $(\widehat {f}(\lambda), \varphi)$, $\varphi\in H^{-l}_{-s}$, устанавливается рассуждениями, аналогичными использованным в доказательстве \Par*{Theorem 3.1}. Обобщенная функция $\widehat {f}(\lambda)$ как функция со значениями в $H^l_s$ сильно непрерывна. Это следует из определения пространства $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s)$ и непрерывной зависимости функции $\psi(\varepsilon, \lambda)$ от $\lambda\in\Pi_\gamma$ в пространстве $S({\Bbb R})$. Следовательно, обобщенная функция $\widehat {f}(\lambda)$ сильно голоморфна по переменной $\lambda$ в полуплоскости $\Pi_\gamma$ как функция со значениями в пространстве $H^l_s$ (см. [26, Theorem~3.31]). Теорема доказана. \enddemo Если $u(t)\in C^0_{[\gamma]}({\overline{\Bbb R}}_+, H^l_s)$, то преобразование Лапласа обобщенной функции $\eta(t)u(t)\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s)$, где $\eta(t)=1$, если $t\geq 0$, и $\eta(t)=0$, если $t<0$, совпадает с обычным определением преобразования Лапласа $u(t)$ как функции со значениями в банаховом пространстве [1]. Это следует из справедливости для любой функции $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ равенств $$ \align (L(\eta(t)u(t)),\varphi) &=(e^{-\gamma t}\eta(t)u(t), \varphi\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}) \\ &=\int\limits^\infty_0(u(t),\varphi)\eta_\varepsilon(t)e^{-\lambda t}\,dt =\int\limits^\infty_0(u(t), \varphi)e^{-\lambda t}dt=\Biggl(\ \int\limits^\infty_0u(t)e^{-\lambda t}\,dt, \varphi\Biggr). \endalign $$ Так как $S({\Bbb R}^n)$ плотно в $H^{-l}_{-s}$, из приведенных равенств следует равенство $$ L\eta u(\lambda)=\int\limits^\infty_0u(t)e^{-\lambda t}\,dt . $$ Преобразование Лапласа $L$ обобщенных функций пространства $S'_{[\gamma]}({\Bbb R},S'({\Bbb R}^n))$ обладает свойством $$ L\frac{\partial f}{\partial t}=\lambda Lf. \eqno(3.4) $$ Его справедливость следует из равенств $$ \align \Bigl(L\frac{\partial f}{\partial t}, \varphi\Bigr) &=\Bigl(e^{- \gamma t}\frac{\partial f}{\partial t}, \varphi(\sigma)\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}\Bigr) \\ &=\Bigl(e^{-\gamma t}f, -\frac{\partial}{\partial t}(\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t})\varphi(\sigma)\Bigr)+ (e^{-\gamma t}f, \gamma\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}\varphi(\sigma)) \\ &=\Bigl(e^{-\gamma t}f, \varphi(\sigma)\Bigl(- \frac{\partial\eta_\varepsilon(t)}{\partial t}e^{(\gamma-\lambda)t}- (\gamma-\lambda)\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}+\gamma\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}\Bigr)\Bigr) \\ &=(e^{-\gamma t}f, \lambda\varphi(\sigma)\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t})=\lambda(Lf,\varphi). \endalign $$ Здесь использованы такие же рассуждения, как и при доказательстве равенства~\Tag(3.2). Если $u(t)\in C^1_{[\gamma]}(\overline{{\Bbb R}}_+, H^l_s)$, то из равенства \Tag(3.4) следует равенство $$ L\Bigl(\eta(t)\frac{du}{dt}\Bigr)(\lambda)=\lambda Lu(\lambda)- u(0), \eqno(3.5) $$ где $\frac{du}{dt}$ --- обычная производная функции $u(t)$. Его справедливость следует из равенств $$ \align \Bigl(L\Bigl(\eta(t)\frac{du}{dt}\Bigr)(\lambda), \varphi\Bigr) &=\Bigl(e^{-\gamma t}\eta(t)\frac{du }{dt}, \varphi\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}\Bigr) \\ &=\int\limits^\infty_0\Bigl(\frac{du}{dt}, \varphi\Bigr)e^{-\lambda t}\,dt =\int\limits^\infty_0\Bigl(\frac{d\,[(u(t),\varphi)e^{-\lambda t}]}{dt}+\lambda(u(t), \varphi)e^{-\lambda t}\Bigr)\,dt \\ &=(\lambda Lu(\lambda), \varphi) - (u(0), \varphi) = (\lambda Lu(\lambda) - u(0), \varphi). \endalign $$ {\it Преобразованием Фурье~--- Лапласа\/} обобщенной функции $f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R},S'({\Bbb R}^n))$ называется обобщенная функция $\widetilde{f}(\lambda)$, определенная равенством $$ (\widetilde{f}(\lambda), \varphi)\equiv (e^{-\gamma t}f, \widehat {\varphi}(\sigma)\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}), \quad \varphi\in S({\Bbb R}^n), $$ где $\widehat {\varphi}(\sigma)$ --- преобразование Фурье функции $\varphi(\sigma)$. Будем обозначать преобразование Фурье~--- Лапласа обобщенной функции $f$ через $\Cal {LF}f$. Если $u(t)\in C^m_{[\gamma]}({\overline{\Bbb R}}_+, H^l_s)$ является сильным обобщенным решением задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2), то, используя свойства преобразований Лапласа и Фурье обобщенных функций, нетрудно показать, что преобразование Фурье~--- Лапласа обобщенной функции $\eta(t)u(t)$ является решением уравнения \Tag(1.4). Применение преобразования Лапласа при изучении задачи Коши основано на теоремах обращения преобразования Лапласа. Классическая теорема обращения приведена, например, в [27]. Теоремы обращения преобразования Лапласа векторнозначных функций содержатся в [1,\,17,\,24]. Для доказательства теоремы обращения рассматриваемого преобразования Лапласа обобщенных функций приведем утверждение типа теоремы Пэли~--- Винера~--- Шварца (см. [25, Theorem~7.3.1]). \proclaim{Theorem 3.4} Если $f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R},H^l_s)$. %\?, $l, s\in{\Bbb R}$, то справедливо неравенство $$ \|\widehat {f}(\lambda)\|^l_s\leq C'(f)C(\delta,\gamma)(1+|\lambda|)^\mu, \quad \operatorname{Re}\lambda\geq\gamma+\delta, \quad \delta>0, \eqno(3.6) $$ где $C(\delta,\gamma)$, $\mu$ --- числа, зависящие от $f$. \endproclaim \demo{Proof} Из условия следует, что $e^{-\gamma t}f\in H^{l'}_{s'}({\Bbb R}^{n+1})$, $\supp e^{-\gamma t}f \subset {\Bbb R}^{n+1}_+$, где $l'$, $s'$ --- некоторые числа. Из равенства \Tag(3.3) и неравенств \Tag(2.8) и \Tag(2.9) следует неравенство $$ \|\widehat {f}(\lambda)\|^l_s\leq C'(f)\|\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}\|^{l''}_{s''}, \eqno(3.7) $$ где $l''$ и $s''$ --- числа, зависящие от $l'$ и $s'$, а $C'(f)$ --- число, зависящее от $e^{-\gamma t}f$. Если $l''>0$, то справедливы неравенства $$ \align \|\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}\|^{l''}_{s''} &\leq C_1\sum\limits_{k\leq\nu(l'')}\biggl(\ \int(1+t^2)^{s''}|\partial^k(\eta_ \varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}|^2\,dt \biggr)^{\frac{1}{2}} \\ &\leq C_2\sum\limits_{k\leq\nu(l'')}\Biggl(\ \int\limits^\infty_{- \varepsilon}(1+t^2)^{s''}|\partial^i\eta_\varepsilon(t)|^2|\gamma- \lambda|^{2(k-i)}e^{2(\gamma-\operatorname{Re} \lambda)t}\,dt \Biggr)^{\frac{1}{2}}. \endalign $$ Оценим каждое слагаемое в правой части полученного неравенства, пользуясь оценкой $$ |\partial^i\eta_\varepsilon(t)|\leq C\varepsilon^{-i}, $$ которая может быть обеспечена построением функции $\eta_\varepsilon(t)$ (см., например, [25, Theorem~1.4.1]). Так как функция $\widehat {f}(\lambda)$ не зависит от выбора $\varepsilon$, то для каждого $\lambda\in\Pi_\gamma$ выберем $\varepsilon=\frac{1}{1+|\lambda|}$. Тогда при $i\geq 1$ имеем неравенство $$ \int\limits^\infty_{-\varepsilon} (1+t^2)^{s''}|\partial^i\eta_\varepsilon(t)|^2|\gamma- \lambda|^{2(k-i)}e^{2(\gamma-\operatorname{Re} \lambda)t}\,dt \leq\int\limits^0_{- \varepsilon}(1+t^2)^{s''}(1+|\lambda|)^{2i}|\gamma-\lambda|^{2(k- i)}e^{-\frac{2(\gamma-\operatorname{Re} \lambda)}{1+|\lambda|}}\,dt. $$ При $\lambda\in\Pi_\gamma$ справедливы неравенства $$ (1+|\lambda|)^{2i}|\gamma-\lambda|^{2(k-i)}\leq C_1(\gamma)(1+|\lambda|)^{2k}, \quad e^{-\frac{2(\gamma-\operatorname{Re} \lambda)}{1+|\lambda|}}\leq C_2(\gamma). $$ Следовательно, для рассматриваемого слагаемого верна оценка $$ \int\limits^\infty_{-\varepsilon} (1+t^2)^{s''}|\partial^i\eta_\varepsilon(t)|^2|\gamma- \lambda|^{2(k-i)}e^{2(\gamma-\operatorname{Re} \lambda)t}\,dt \leq C_3(\gamma)(1+|\lambda|)^{2k}. $$ Если $i=0$ и $\varepsilon=\frac{1}{1+|\lambda|}$, то $$ \int\limits^\infty_{-\varepsilon}(1+t^2)^{s''}| \eta_\varepsilon(t)|^2|\gamma- \lambda|^{2k}e^{2(\gamma-\operatorname{Re} \lambda)t}\,dt \leq\int\limits^0_{-\varepsilon}(1+t^2)^{s''}|\gamma- \lambda|^{2k}e^{-\frac{(\gamma-\operatorname{Re} \lambda)}{1+|\lambda|}}\,dt +\int\limits^\infty_0(1+t^2)^{s''}|\gamma- \lambda|^{2k}e^{2(\gamma-\operatorname{Re}\lambda)t}\,dt. $$ Первое слагаемое в правой части этого неравенства не превосходит величины $C_1(\gamma)(1+|\lambda|)^{2k}$. При оценке второго слагаемого воспользуемся тем, что $\operatorname{Re}\lambda-\gamma\geq\delta$, $\delta>0$: $$ \int\limits^\infty_0(1+t^2)^{s''}|\gamma-\lambda|^{2k}e^{2(\gamma- \operatorname{Re} \lambda)t}\,dt\leq C_5(\delta, \gamma)(1+|\lambda|)^{2k}. $$ Учитывая все полученные оценки, при $l''\geq 0$ имеем неравенство $$ \|\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}\|^{l''}_{s''}\leq C_6(\delta, \gamma)(1+|\lambda|)^{\nu(l'')}. $$ Из этого неравенства и \Tag(3.7) следует справедливость неравенства \Tag(3.5) при $l''\geq 0$. Если $l''<0$, то $$ \|\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}\|^{l''}_{s''}\leq \|\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma-\lambda)t}\|^0_{s''} \leq \int\limits^\infty_{- \varepsilon}(1+t^2)^{s''}|\eta_\varepsilon(t)|^2e^{2(\gamma- \operatorname{Re}\lambda)t}\,dt \leq C_7(\delta,\gamma). $$ Следовательно, и при $l''<0$ неравенство \Tag(3.5) справедливо. Теорема доказана. \enddemo \proclaim{Theorem 3.5} Если обобщенная функция $\upsilon(\lambda)$ принадлежит пространству $\Cal {H}(\Pi_\gamma, H^l_s)$ и справедливо неравенство $$ \|\upsilon(\lambda)\|^l_s\leq C(1+|\lambda|)^r, \quad \operatorname{Re} \lambda>\gamma, \eqno(3.8) $$ то существует обобщенная функция $u\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s)$ такая, что $\widehat {u}(\lambda)=\upsilon(\lambda)$. \endproclaim \demo{Proof} Рассмотрим обобщенную функцию $\omega(t)$, заданную формулой $$ \omega(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits^{\xi+i\infty}_{\xi- i\infty}\upsilon(\lambda)\lambda^{-r-2}e^{\lambda t}\,d\tau, \quad \xi>\gamma, \ \tau=\operatorname{Im}\lambda, \ t>0. \eqno(3.9) $$ Из неравенства \Tag(3.8) следует справедливость неравенства $$ \int\limits^{\xi+i\infty}_{\xi-i\infty}\|\upsilon(\lambda)\lambda^{- r-2}\|^l_s\,d\tau\leq C \int\limits^{\xi+i\infty}_{\xi- i\infty}\Bigl(\frac{1+|\lambda|}{|\lambda|}\Bigr)^r\frac{1}{|\lambda|^2} \,d\tau<+\infty, \quad \xi>\gamma, $$ и равенства $$ \lim\limits_{\lambda\rightarrow+\infty}\upsilon(\lambda)\lambda^{-r-2}=0. $$ Из теоремы (2.6) %\? в [1] следует, что функция $\omega(t)$, определенная в~\Tag(3.9), принадлежит пространству $C^0_{[\gamma]}({\overline{\Bbb R}}_+, H^l_s)$ и ее преобразование Лапласа совпадает в полуплоскости $\Pi_\gamma$ с функцией $\upsilon(\lambda)\lambda^{-r-2}$. Рассмотрим обобщенную функцию $u=\partial^{r+2}_t(\eta(t)u(t))$. По построению $\supp u\subset {\overline{\Bbb R}}^{n+1}_+$. Так как для произвольных функций $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ и $\psi\in S({\Bbb R})$ справедливы равенства $$ \aligned (e^{-\gamma t}u, \varphi(\sigma)\psi(t)) &=(\eta(t)\omega(t), (- 1)^{r+2}\partial^{r+2}_t(\psi(t)e^{-\gamma t})\varphi) \\ &=\int\limits^\infty_0(e^{-\gamma t}\omega(t), \varphi)(- 1)^{r+2}e^{\gamma t}\partial^{r+2}_t(\psi(t)e^{-\gamma t})\,dt , \endaligned \tag3.10 $$ то $u\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$. Докажем, что $u\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^l_s)$. Так как $\omega(t)\in C^0_{[\gamma]}({\overline{\Bbb R}}_+, H^l_s)$, то справедливо неравенство $$ |(e^{-\gamma t}\omega(t), \varphi)|\leq \|e^{-\gamma t}\omega(t)\|^l_s\|\varphi\|^{-l}_{-s}\leq C\|\varphi\|^{-l}_{-s}. \eqno(3.11) $$ Из \Tag(3.10) и \Tag(3.11) следует справедливость неравенств $$ |(e^{-\gamma t}u, \varphi\psi)|\leq C_1\int\limits^\infty_0|(e^{-\gamma t}\omega(t),\varphi)|\sum\limits^{r+2}_{k=0} |\partial^k_t\psi(t)|\,dt \leq C_2\int\limits^\infty_0\|\varphi\|^{-l}_{- s}\sum\limits^{r+2}_{k=0} |\partial^k_t\psi(t)|\,dt \leq C_3\|\varphi\|^{- l}_{-s}\|\psi\|^{r+2}_0. $$ Следовательно, $u_\psi$ принадлежит $ H^l_s$ и непрерывно зависит от $\psi\in S({\Bbb R})$, т.~е. $e^{-\gamma t}u\in S'_+({\Bbb R}, H^l_s)$. Пользуясь определением обобщенной функции $u$, найдем ее преобразование Лапласа. Для произвольной функции $\varphi\in S({\Bbb R}^n)$ справедливы равенства $$ \align (Lu,\varphi)&=(e^{-\lambda t}u, \varphi\eta_\varepsilon(t)e^{(\gamma- \lambda)t}) =(\eta(t)\omega(t), (- 1)^{r+2}\partial^{r+2}_t(\eta_\varepsilon(t)e^{-\lambda t})\varphi) \\ &=\int\limits^\infty_0(\omega(t),\varphi)(- 1)^{r+2}\sum\limits^{r+2}_{k=0}C_k\partial^k_t\eta_\varepsilon(t) \partial^{r+2-k}_te^{-\lambda t}\,dt \\ &=\int\limits^\infty_0(\omega(t),\varphi)\lambda^{r+2}e^{-\lambda t}\,dt =\lambda^{r+2}\int\limits^\infty_0(\omega(t),\varphi)e^{-\lambda t}\,dt \\ &=\lambda^{r+2}(\upsilon(\lambda)\lambda^{-r-2}, \varphi)=(\upsilon(\lambda), \varphi). \endalign $$ Следовательно, $\widehat {u}(\lambda)=\upsilon(\lambda)$. Теорема доказана. \enddemo \head 4. Построение слабого обобщенного решения задачи Коши \endhead Для построения слабого обобщенного решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) воспользуемся преобразованием Фурье~--- Лапласа. Задача \Tag(1.1), \Tag(1.2) при этом преобразовании переходит в задачу нахождения решения уравнения \Tag(1.4) в классе функций, голоморфных в полуплоскости $\Pi_\gamma$, со значениями в пространстве $S'({\Bbb R}^n)$ и являющихся преобразованиями Фурье~--- Лапласа обобщенных функций из пространства $S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, S'({\Bbb R}^n))$. Рассмотрим уравнение $$ P(\sigma, \lambda)\upsilon(\lambda)=g(\lambda). \eqno(4.1) $$ В работе [20] доказано следующее утверждение. \proclaim{Theorem 4.1} Если выполнены условия \Tag(P) и \Tag(D), то для любой обобщенной функции $g(\lambda)\in\Cal {H}(\Pi_\gamma, H^l_s)$ можно построить обобщенную функцию $\upsilon(\lambda)$, принадлежащую пространству $\Cal {H}(\Pi_{\gamma_0}, H^{\tilde{l}}_{\tilde{s}})$, где $\gamma_0\geq\gamma$, $\widetilde{l}$, $\widetilde{s}$ --- некоторые числа, зависящие от многочлена $P(\sigma, \lambda)$ и чисел $l$ и $s$, которая удовлетворяет уравнению \Tag(4.1), и справедливо неравенство $$ \|\upsilon(\lambda)\|^{\tilde{l}}_{\tilde{s}}\leq c(1+|\lambda|)^\nu\|g(\lambda)\|^l_s, \quad \lambda\in \Pi_{\gamma_0}, \eqno(4.2) $$ где $c>0$ и $\nu$ --- некоторые числа, зависящие от $s$ и $l$. \endproclaim \demo{Proof} Доказательство \Par*{Theorem 4.1} состоит в построении сначала регуляризации обобщенной функции $P^{-1}(\sigma, \lambda)g(\lambda)\in D'({\Bbb R}^n\backslash N)$, $\lambda\in \Pi_\gamma$, голоморфно зависящей от параметра $\lambda$, а затем нахождении обобщенной функции, носитель которой принадлежит множеству общих вещественных нулей многочленов $P_i(\sigma)$, $i=0,1,\dots,m$, голоморфно зависящей от параметра $\lambda$ и такой, что сумма построенной регуляризации и этой обобщенной функции является решением уравнения \Tag(4.1), голоморфно зависящим от параметра $\lambda$. Следовательно, указанное в \Par*{Theorem 4.1} решение уравнения~\Tag(4.1) имеет вид $$ \upsilon(\lambda)=[P^{-1}(\sigma,\lambda)g(\lambda)]_{\overline{q}} + \sum\limits^{p}_{i=1}\sum\limits_{|\alpha|\leq r_i}u_{i \alpha}(\lambda, g(\lambda))\delta^{(\alpha)}_{\sigma_i}. \eqno(4.3) $$ Первое слагаемое в \Tag(4.3) является регуляризацией семейства обобщенных функций $P^{-1}(\sigma, \lambda)g(\lambda)\in D'({\Bbb R}^n\backslash N)$, $\lambda\in \Pi_\gamma$, где $g(\lambda)\in\Cal {H}(\Pi_\gamma, H^l_s)$, принадлежащей пространству $\Cal {H}(\Pi_\gamma, H^{l'}_{s'})$, где $l'$, $s'$ --- некоторые числа, зависящие от~$l$ и~$s$. При выполнении условий \Tag(P) и \Tag(D) существование указанной регуляризации доказано в [20]. Вектор $\overline{q}=(q_1,\dots,q_p)\in {\Bbb Z}^p_+$ зависит от порядка особенностей функции $P^{-1}(\sigma, \lambda)$ в точках $\sigma_1,\dots,\sigma_p$. При этом справедливо неравенство [20, Lemma~2.2] $$ \|[P^{-1}(\sigma, \lambda)g(\lambda)]_{\overline{q}}\|^{l'}_{s'}\leq C(1+|\lambda|)^{\tilde{\nu}}\|g(\lambda)\|^l_s, \quad \lambda\in\Pi_\gamma, \eqno(4.4) $$ где $C>0$, $\widetilde{\nu}$ --- некоторые числа, не зависящие от $g(\lambda)$. Во втором слагаемом в \Tag(4.3) $\delta_{\sigma_i}$ --- дельта-функция, сосредоточенная в точке $\sigma_i$, $u_{i\alpha}(\lambda, g(\lambda))$~--- голоморфные функции, являющиеся решением системы линейных уравнений $$ \sum\limits_{|\gamma|\leq r_i - |\alpha|}C^\alpha_{\alpha+\gamma}b_{i\gamma}(\lambda)u_{i\gamma+\alpha }(\lambda, g(\lambda))=\widetilde{h}_{i\alpha}(\lambda,g(\lambda)), \quad |\alpha|\leq r_i, \eqno(4.5) $$ где $b_{i\gamma}(\lambda) = (-1)^{|\gamma|}\partial^\gamma P(\sigma_i, \lambda)$ --- многочлены, $C^\alpha_\beta=\frac{\beta!}{\alpha!(\beta- \alpha)!}$, $$ \sum\limits^{p}_{i=1}\sum\limits_{|\alpha|\leq q_i}\widetilde{h}_{i\alpha}(\lambda,g(\lambda))\delta^{(\alpha)}_{\sigma_i }=g(\lambda)-P(\sigma,\lambda)[P^{-1} (\sigma,\lambda)g(\lambda)]_{\overline{q}}. $$ В [20] доказано существование решения системы \Tag(4.5), удовлетворяющее неравенствам $$ |u_{i_\beta}(\lambda, g(\lambda))|\leq c(1+|\lambda|)^{\nu'}\|g(\lambda)\|^l_s, \quad \lambda\in \Pi_{\gamma_0}, \ i=1,\dots,p, \eqno(4.6) $$ где $\gamma_0\geq\gamma$, $\nu'$ --- некоторые числа. Из равенства \Tag(4.3) и неравенств \Tag(4.4), \Tag(4.6) следует справедливость неравенства \Tag(4.2). \Par*{Theorem 4.1} обеспечивает существование слабого обобщенного решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2). \proclaim{Theorem 4.2} Если выполнены условия \Tag(P) и \Tag(D) то для любых начальных данных $g_i\in H^s_l$, $i=0,\dots,m-1$, и любой обобщенной функции $f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^{s'}_{l'})$ существует слабое обобщенное решение задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2), принадлежащее пространству $S'_{[\tilde{\gamma}]} ({\Bbb R}, H^{\tilde{s}}_{\tilde{l}})$, где $\widetilde{\gamma}>\gamma$, $\widetilde{s}$, $\widetilde{l}$~--- некоторые числа, зависящие от $s$, $l$, $s'$, и $l'$. \endproclaim \demo{Proof} Из условия теоремы и \Par*{Theorem 4.1} следует, что существует семейство обобщенных функций $\upsilon(\lambda)\in\Cal {H} (\Pi_{\gamma_0}, H^{\tilde{l}}_{\tilde{s}})$, удовлетворяющее уравнению \Tag(1.4), и справедливо неравенство $$ \|\upsilon(\lambda)\|^{\tilde{l}}_{\tilde{s}}\leq c(1+|\lambda|)^\nu \Biggl\|\widetilde{f}(\lambda)+\sum\limits^{m-1}_{j=0} \sum\limits^{m-j- 1}_{k=0}P_{j+k+1}(\sigma)\lambda^j\widehat {g}_k\Biggr\|^{l''}_{s''}, \eqno(4.7) $$ где $l''=\min\{l,l'\}$, $s''=\min\{s', s-\deg_\sigma P(\sigma,\lambda)\}$. Так как функция $\widetilde{f}(\lambda)$ является преобразованием Фурье~--- Лапласа обобщенной функции $f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^{s'}_{l'})$, то из \Par*{Theorem 3.4} следует справедливость неравенства $$ \|\widehat {f}(\lambda)\|^{l''}_{s''}\leq C(\gamma')(1+|\lambda|)^\mu, \quad \operatorname{Re}\lambda\geq \gamma', \eqno(4.8) $$ где $\gamma'>\gamma$, а $C(\gamma')$, $\mu$~--- числа, зависящие от $f$. Из неравенств \Tag(4.7) и \Tag(4.8) следует справедливость неравенства $$ \|\upsilon(\lambda)\|^{\tilde{l}}_{\tilde{s}}\leq \widetilde{c}(\widetilde{\gamma})(1+|\lambda|)^{\nu'}, \quad \operatorname{Re}\lambda\geq \widetilde{\gamma}, $$ где $\widetilde{\gamma}=\max\{\gamma_0,\gamma'\}$, $\nu'=\max\{\nu+\mu, \nu+m\}$, $\widetilde{c}(\widetilde{\gamma})$, $\mu$~--- числа, зависящие от $f$ и $g_i$, $i=0,\dots,m-1$. По \Par*{Theorem 3.5} существует обобщенная функция $u=(\Cal {LF})^{- 1}\upsilon(\lambda)$, принадлежащая пространству $S'_{[\tilde{\gamma}]}({\Bbb R}, H^{\tilde{s}}_{\tilde{l}})$. По построению она удовлетворяет уравнению \Tag(1.3), т.~е. является слабым обобщенным решением задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2). Теорема доказана. \enddemo Для уравнения \Tag(1.1), удовлетворяющего условию \Tag(P$'$), построение слабого обобщенного решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) упрощается. Решение уравнения \Tag(4.1) в этом случае сводится к умножению обобщенной функции $g(\lambda)$, голоморфно зависящей от $\lambda\in\Pi_\gamma$, на функцию $P^{-1}(\sigma,\lambda)$. \proclaim{Theorem 4.3} Если уравнение \Tag(1.1) удовлетворяет условию \Tag(P$'$), то для любых начальных данных $g_i\in H^s_l$, $i=0,\dots,m-1$, и любой обобщенной функции $f\in S'_{[\gamma]}({\Bbb R}, H^{s'}_{l'})$ существует единственное слабое обобщенное решение задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2), принадлежащее пространству $S'_{[\gamma']}({\Bbb R}, H^{\tilde{s}}_{\tilde{l}'})$, где $\gamma'>\gamma$, $\widetilde{l}=\min\{l,l'\}$, $\widetilde{s}=\min\{s', s- \deg_\sigma P(\sigma,\lambda)\}-q(\widetilde{l})$. \endproclaim \demo{Proof} Из условия \Tag(P$'$) следует, что функция $P^{-1}(\sigma,\lambda)$ удовлетворяет условиям \Par*{Theorem 2.2} в полуплоскости $\Pi_{\gamma'}$, $\gamma'>\gamma$. Это следует из неравенств~\Tag(2.17). Из этой теоремы следует, что решением уравнения~\Tag(4.1), где $g(\lambda)\in\Cal {H} (\Pi_\gamma,H^{\tilde{l}}_{\hat {s}})$, является обобщенная функция $\upsilon(\lambda)=P^{-1}(\sigma,\lambda)g(\lambda)$, принадлежащая пространству $\Cal {H} (\Pi_{\gamma'},H^l_{\hat {s}-q(\widetilde{l})})$, и справедливо неравенство $$ \|\upsilon(\lambda)\|^{\tilde{l}}_{\hat {s}-q(\tilde{l})}\leq C(\widetilde{l},\gamma')(1+|\lambda|)^{\nu(\tilde{l})(p+m)+P}\|g(\lambda) \|^{\tilde{l}}_{\hat {s}},\quad \operatorname{Re}\lambda\geq \gamma', \eqno(4.9) $$ где $C(\widetilde{l},\gamma')>0$, $p$~--- константа в \Tag(2.16), а $q(\widetilde{l})$~--- функция, определенная в \Par*{Theorem 2.1}. Если уравнение \Tag(4.1) получено в результате применения преобразования Фурье~--- Лапласа к уравнению \Tag(1.3), то его правая часть имеет вид $$ g(\lambda)=\widetilde{f}(\lambda)+\sum\limits^{m-1}_{j=1} \sum\limits^{m-j-1}_{k=0}P_{j+k+1}(\sigma)\lambda^j\widehat {g}_k $$ и принадлежит пространству $\Cal {H}(\Pi_\gamma,H^{\tilde{l}}_{\hat {s}})$, где $\widetilde{l}=\min\{l,l'\}$ и $\widehat {s}=\min\{s', s-\deg_\sigma P(\sigma,\lambda)\}$. Тогда искомое решение уравнения \Tag(1.4) имеет вид $$ \upsilon(\lambda)=P^{- 1}(\sigma,\lambda)(\widetilde{f}(\lambda)+\sum\limits^{m- 1}_{j=1}\sum\limits^{m-j- 1}_{k=0}P_{j+k+1}(\sigma)\lambda^j\widehat {g}_k), $$ а неравенство \Tag(4.9) принимает вид $$ \|\upsilon(\lambda)\|^{\tilde{l}}_{\tilde{s}}\leq C(\widetilde{l},\gamma')(1+|\lambda|)^{\nu(\tilde{l})(p+m)+p} \Biggl(\|\widetilde{f}(\lambda)\|^{l'}_{s'}+(1+|\lambda|)^m \sum\limits^{m-1}_{k=0}\|\widehat {g}_k\|^l_s\Biggr), $$ где $\operatorname{Re}\lambda\geq\gamma'$, $\widetilde{s}=\widehat {s}-q(\widetilde{l})$. Так как это неравенство аналогично неравенству \Tag(4.7), дальнейшие рассуждения совпадают с приведенными в доказательстве \Par*{Theorem 4.2} после получения неравенства \Tag(4.7). Следовательно, по \Par*{Theorem 3.5} существует обобщенная функция $u=(\Cal {LF})^{- 1}\upsilon(\lambda)$, принадлежащая пространству $S'_{[\gamma']}({\overline{\Bbb R}}_+, H^{\tilde{s}}_{\tilde{l}})$, которая по построению является решением уравнения~\Tag(1.3), т.~е. является слабым обобщенным решением задачи Коши~\Tag(1.1), \Tag(1.2). Единственность решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) в рассматриваемых пространствах следует из \Par*{Theorem 3.2}. Теорема доказана. \enddemo Представляют интерес условия на начальные данные в \Tag(1.2) и правую часть в \Tag(1.1), при которых построенные слабые обобщенные решения задачи Коши \Tag(1.1), \Tag(1.2) являются сильными обобщенными решениями. \Refs \ref\no 1 \by Lyubich~Yu.I. \paper The classical and local Laplace transformation in an abstract Cauchy problem \jour Russian Math. Surveys \yr 1966 \vol 21 \issue 3 \pages 1--52 \endref \ref\no 2 \by Galpern~S.A. \paper The Cauchy problem for the general systems of linear partial differential equations \jour Tr. Mosk. Mat. Obs. \yr 1960 \vol 9 \pages 401--423 \endref \ref\no 3 \by Demidenko~G.V. and Uspenskii~S.V. \book Partial Differential Equations and Systems Not Solvable with Respect to the Highest-Order Derivative %perevod \publ Marcel Dekker \publaddr New York and Basel \yr 2003 \endref \ref\no 4 \by Sveshnikov~A.G., Alshin~A.B., Korpusov~M.O., and Pletner~Yu.D. \book Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type \publaddr Moscow \publ Fizmatlit \yr 2007 \lang Russian \endref \ref\no 5 \by Kostyuchenko A.G. and \`Eskin~G.I. \paper The Cauchy problem for Sobolev--Gal'pern equations \jour Tr. Mosk. Mat. Obs. \yr 1961 \vol 10 %\issue - \pages 273--284 \endref \ref\no 6 \by \`Eskin~G.I. \paper Uniqueness of the solution of the Cauchy problem for equations not of Kovalevskaya type \jour Tr. Mosk. Mat. Obs. \yr 1961 \vol 10 %\issue - \pages 285--295 \endref \ref\no 7 \by Pavlov~A.L. \paper The Cauchy problem for Sobolev--Galpern type equations in spaces of functions of power growth \jour Sb. Math. \yr 1995 \vol 80 \issue 2 \pages 255--269 \endref \ref\no 8 \by Pavlov~A.L. \paper The Cauchy problem for one equation of Sobolev type \jour Siberian Adv. Math. \yr 2019 \vol 29 \issue 1 \pages 57--76 \endref \ref\no 9 \by Pavlov~A.L. \paper Existence of solutions to the Cauchy problem for some class of Sobolev-type equations in the space of tempered distributions \jour Sib. Math.~J. \yr 2019 \vol 60 \issue 4 \pages 644--660 \endref \ref\no 10 \by Pavlov~A.L. \paper The solvability of the Cauchy problem for a~class of Sobolev-type equations in tempered distributions \jour Sib. Math.~J. \yr 2022 \vol 63 \issue 5 \pages 940--955 \endref \ref\no 11 \by Pavlov~A.L. \paper The Cauchy problem for a~class of Sobolev-type equations in the space of tempered distributions \jour Sib. Math.~J. \yr 2025 \vol 66 \issue 4 \pages 1017--1030 \endref \ref\no 12 \by Sobolev~S.L. \paper On a~new problem of mathematical physics \jour Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. \yr 1954 \vol 18 \issue 1 \pages 3--50 \endref \ref\no 13 \by Gelfand~I.M. and Shilov~G.E. % \book Certain Problems of the Theory of Differential Equations \book Generalized Functions. Vol. 3: Theory of Differential Equations \publ Academic \publaddr New York, San Francisco, and London \yr 1967 \endref \ref\no 14 \by Vladimirov~V.S. \book Generalized Functions in Mathematical Physics \publaddr Moscow \publ Nauka \yr 1978 \lang Russian \endref \ref\no 15 \by Zemanyan~A.G. \book Integral Transformations of Generalized Functions \publaddr Moscow \publ Nauka \yr 1974 \lang Russian \endref \ref\no 16 \by Krein~S.G. and Khazan~M.I. \paper Differential equations in a~Banach space \inbook Mathematical Analysis. Vol.~21 \lang Russian \publaddr Moscow \publ VINITI \yr 1983 \pages 13--264 \finalinfo Itogi Nauki i Tekhniki %[Progress in Science and Technology] \endref \ref\no 17 \by Hille~E. and Phillips~R.S. \book Functional Analysis and Semigroups \publ Amer. Math. Soc. \publaddr Providence \yr 1957 \finalinfo Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 31 \endref \ref\no 18 \by Volevich~L.R. and Gindikin~S.G. \paper The Cauchy problem and other related problems for convolution equations \jour Russian Math. Surveys \yr 1972 \vol 27 \issue 4 \pages 71--160 \endref \ref\no 19 \by H\"ormander~L. \book The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Vol.~2: Differential Operators with Constant Coefficients \publ Mir \publaddr Moscow \yr 1986 \lang Russian translation \endref \ref\no 20 \by Pavlov~A.L. \paper On the division problem for a~tempered distribution that depends holomorphically on a~parameter \jour Sib. Math.~J. \yr 2015 \vol 56 \issue 5 \pages 901--911 \endref \ref\no 21 \by Lions~J.-L. and Magenes~E. \book Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications \publ Springer \publaddr Berlin, Heidelberg, and New York \yr 1971 \endref \ref\no 22 \by Pavlov~A.L. \paper Regularization of a~distribution holomorphic in a~parameter \jour Sib. Math.~J. \yr 2023 \vol 64 \issue 6 \pages 1397--1417 %\?1399--1419 % 1279--1303 \endref \ref\no 23 \by Treves~J.F. \book Lectures on Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients \publaddr Rio de Janeiro \publ Instituto de Matematica Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas \yr 1961 \endref \ref\no 24 \by Arendt~W. \etal %Batty~C.J.K., Hieber~M., and Neubrander~F. \book Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems \bookinfo Second edition \publ Springer \publaddr Basel \yr 2011 \finalinfo Monogr. Math.,~96 \endref \ref\no 25 \by H\"ormander~L. \book The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Vol.~1: Distribution Theory and Fourier Analysis \publ Springer \publaddr Berlin, Heidelberg, New York, and Tokyo \yr 1983 \endref \ref\no 26 \by Rudin~W. \book Functional Analysis \bookinfo Second edition \publaddr New York \publ McGraw-Hill \yr 1991 \finalinfo Internat. Ser. Pure Appl. Math. \endref \ref\no 27 \by Fuks B.A. and Levin~V.I. \book Functions of a~Complex Variable and Their Applications \publ Gostekhizdat \publaddr Moscow and Leningrad \yr 1951 \lang Russian \endref \endRefs \enddocument