\documentstyle{SibMatJ}
% \TestXML
\Rus
\topmatter

  \Author             Radkevich
    \Initial          E.
    \Initial          V.
    \Email            evrad07\@gmail.com
    \AffilRef         1
  \endAuthor

  \Author             Vasil'eva
    \Initial          O.
    \Initial          A.
    \Email            vasiljeva.ovas\@yandex.ru
    \AffilRef         2
  \endAuthor

  \Affil 1
    \Division         Faculty of Mechanics and Mathematics
    \Organization     Lomonosov Moscow State University
    \City             Moscow
    \Country          Russia
  \endAffil

  \Affil 2
    \Organization     Moscow State Construction University
    \City             Moscow
    \Country          Russia
  \endAffil

  \opages
    ???--???
  \endopages

  \datesubmitted      January 6, 2026\enddatesubmitted
  \daterevised        February 12, 2026\enddaterevised
  \dateaccepted       February 14, 2026\enddateaccepted

  \UDclass
    517+517.9+536
  \endUDclass

  \dedication
    Геннадию Владимировичу Демиденко в связи с его 70-летием.
  \enddedication

  \title
    О~неустойчивости положений равновесия для~дискретных  кинетических моделей.
    Экспоненциальная стабилизация регулярных периодических возмущений  положений равновесия
  \endtitle

  \abstract
    Хорошо известно, особенно при численных экспериментах, рассогласование правой и
    левой частей кинетического уравнения Больцмана. Несовершенство кинетического
    уравнения Больцмана привело к необходимости построения так называемых дискретных
    кинетических уравнений. Статья посвящена исследованию проблемы стабилизации
    периодических возмущений положения равновесия для двумерного и одномерного
    кинетических уравнений Бродуэлла.
    Установлена экспоненциально быстрая стабилизация периодических возмущений
    положения равновесия для одномерного уравнения Бродуэлла к бегущей волне(при
    общих периодических начальных возмущениях).
    %The discrepancy between the right-hand and left-hand sides of the Boltzmann
    %kinetic equation is well known, especially in numerical experiments. The
    %imperfections of the Boltzmann kinetic equation led to the need to construct so-
    %called discrete kinetic equations. This article is devoted to studying the
    %problem of stabilizing periodic perturbations of the equilibrium position for
    %two-dimensional and one-dimensional Broadwell kinetic equations.
    %Exponentially fast stabilization of periodic perturbations of the equilibrium
    %position for the one-dimensional Broadwell equation for a traveling wave (under
    %general periodic initial perturbations) will be established.
  \endabstract

  \keywords
    периодические возмущения,
    стабилизация,
    дискретные модели кинетики,
    инвариантные решения
    %periodic perturbations,
    %stabilization,
    %discrete kinetic models,
    %invariant solutions
  \endkeywords

\endtopmatter

\head
1. Введение
\endhead

Кинетическая теория рассматривает газ как совокупность громадного числа
хаотически движущихся частиц (например, молекул), тем или иным образом
взаимодействующих между собой [1,\,2]. В~результате таких взаимодействий
частицы обмениваются импульсами и энергией. Взаимодействие может
осуществляться путем прямого столкновения частиц или при помощи тех или иных
сил. Для пояснения математической схемы, описывающей подобные явления,
рассматриваются [2] так называемые дискретные модели кинетического
уравнения Больцмана. Дискретная кинетическая модель уравнения Больцмана
представляет собой нелинейную систему уравнений в частных производных первого
порядка, каждое уравнение которой отвечает за динамику частиц, движущихся с
одной групповой скоростью. Квадратичная нелинейность задает парные
взаимодействия между частицами.

\specialhead
Неинтегрируемость
\endspecialhead

При помощи теста Пенлеве [3,\,4] была установлена {\it неинтегрируемость\/} дискретных моделей Карлемана [5]
$$
{\partial}_tn_1+{\partial}_xn_1=(n_2^2-n_1^2),\quad
{\partial}_tn_2-{\partial}_xn_2=-(n_2^2-n_1^2),
								\eqno(1)
$$
и Бродуэлла [6,\,7]
$$
\align
&{\partial}_tn_1+c{\partial}_xn_1=Q_1(u)=(n_3n_4-n_1n_2),
\\
&{\partial}_tn_2-c{\partial}_xn_2=Q_1(u),\quad
{\partial}_tn_3+c{\partial}_yn_3=-Q_1(u),
\quad
{\partial}_tn_4-c{\partial}_yn_4=-Q_1(u),
\endalign
$$
где $n_i (t, \widehat{x})$~--- функция распределения частиц в пространстве
$\widehat{x}\in R^d$, $d=1,2$, в момент времени~$t$, движущихся с групповой
скоростью $v_i\in R^d$. С физической точки зрения препятствием
интегрируемости являются взаимодействия между частицами, более того, никакими
заменами переменных невозможно развязать эти взаимодействия и свести динамику
к движению свободных частиц. В~[8] О.В.~Ильин показал, что любая дискретная
кинетическая модель является неинтегрируемой.
Следствие неинтегрируемости~---
чувствительность решений к начальным данным (эффект бабочки), т.~е.
кинетические модели уравнения Больцмана могут рассматриваться как кандидаты
на описание пространственно-неоднородной турбулентности. Теоретически
обоснована возможность существования хаотической динамики в этих моделях.

\specialhead
Групповая классификация
\endspecialhead

С вопросами интегрируемости тесно связаны
групповые свойства дифференциальных уравнений. В~работе О.В.~Ильина [8]
установлено, что для всех кинетических моделей группа точечных симметрий
конечна и состоит из сдвигов по пространственным переменным, сдвига
по временной переменной и масштабного преобразования. Это ведет к тому, что
класс автомодельных решений таких систем весьма узок. К нему относятся
стационарные решения (до четырех групповых скоростей), стационарные решения,
пространственно-однородные решения, а также решения типа бегущих волн (до
девяти
групповых скоростей) и стационарные решения, пространственно-однородные
решения, решения типа бегущих волн, а также типа разлета газового облака (9
и 10 групповых скоростей).

Отметим, что в 2- и 3-скоростных моделях (Карлемана, Годунова, и~т.~д.)
периодические возмущения положительных положений равновесия стабилизируются к
нулю экспоненциально быстро, положения равновесия устойчивы. В~4-скоростной
модели Бродуэлла и 6-скоростной модели положения равновесия неустойчивы.
Нерегулярные периодические возмущения положения равновесия стабилизируются к
бегущим волнам экспоненциально быстро.

Мы покажем, что коэффициенты Фурье периодического возмущения положения
равновесия в 4-скоростной модели Бродуэлла экспоненциально быстро
стабилизируются к нулю вне ``креста'' ($k^2-l^2=0)$. Существенно отличается
поведение возмущения на ``кресте.'' Система для коэффициентов Фурье
$u_{k,l}^{(j)}$, $j=1,\dots, 4$, %\?в русском запятой нет после \dots $j=1,\dots 4$
возмущения на ``кресте'' (для $k=l$)
совпадает с системой коэффициентов Фурье периодического возмущения положения
равновесия одномерной 4-скоростной системы с двумя групповыми скоростями
\iftex
$$
\alignedat2
&{\partial}_tn_1+c{\partial}_xn_1=Q_1(u),&\quad&
{\partial}_tn_2-c{\partial}_xn_2=Q_1(u),
\\
&{\partial}_tn_3+c{\partial}_xn_3=-Q_1(u),&\quad&
{\partial}_tn_4-c{\partial}_xn_4=-Q_1(u).
\endalignedat
                                                                \tag2
$$
\else
$$
\gathered
{\partial}_tn_1+c{\partial}_xn_1=Q_1(u),\quad
{\partial}_tn_2-c{\partial}_xn_2=Q_1(u),
\\
{\partial}_tn_3+c{\partial}_xn_3=-Q_1(u),\quad
{\partial}_tn_4-c{\partial}_xn_4=-Q_1(u).
\endgathered
                                                                \tag2
$$
\fi
Положения равновесия неустойчивы. Нерегулярные (см. ниже) периодические
возмущения положения равновесия экспоненциально быстро стабилизируются к
бегущим волнам. Более того, периодические возмущения периодических бегущих
волн ``перебрасываются'' из одной группы скоростей с общей групповой
скоростью в другую. В~этом случае в одной из групп идет стабилизация к новой
бегущей волне (ее рождение), а в другой идет экспоненциально быстрое
затухание возмущенной бегущей волны (упругие столкновения) либо возмущенная
бегущая волна только деформируется экспоненциально быстро (неупругие
столкновения (неправильный бильярд)). В~этой статье приведено доказательство
упомянутых выше утверждений для одномерной модели Бродуэлла.

\head
2. Постановка задачи
\endhead

Целью этой статьи является исследование периодических возмущений положения
равновесия 4-скоростной одномерной модели Бродуэлла \Tag(2),
положительные положения равновесия которой
$$
n^e_1 n^e_3-n_2^e n_4^e=0.
\eqno(3)
$$
Для системы Бродуэлла рассмотрим периодическое возмущение состояния
равновесия $n_i=n^i_e+\widehat{n}_i$, где выполнено \Tag(3) и
$n^i_e>0$, $i=1,\dots,4$. Возмущение $N(t,x)=(\widehat{u}, \widehat{v},
\widehat{w}, \widehat{z})$ удовлетворяет пространственно-периодическим
граничным условиям: $N(t,x)=N(t,x+2\pi)$, $x$ принадлежат ячейке
периодичности. Сделаем перенормировку
$$
N(t,x)=q (\sqrt{u_e} \widehat{u}, \sqrt{v_e} \widehat{v}, \sqrt{w_e}
\widehat{w}, \sqrt{z_e} \widehat{z}),
$$
тогда система для периодического возмущения $\widehat{u}$, $\widehat{v}$,
$\widehat{w}$, $\widehat{z}$ примет вид
$$
\aligned
&u_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{u}+{\partial}_x\widehat{u}]
- LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=q v_e^{1/2}u_e^{1/2}
Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}),
\\
&v_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{v}-{\partial}_x\widehat{v}]-
LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=q u_e^{1/2}v_e^{1/2}
Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}),
\\
&w_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{w}+{\partial}_x\widehat{w}]
+LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=
-q z_e^{1/2}w_e^{1/2} Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}),
\\
&z_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{z}-{\partial}_x\widehat{z}]+
LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=
-q z_e^{1/2}w_e^{1/2} Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}),
\\
&\widehat{u}(0)=u^0,\quad \widehat{v}(0)=v^0,\quad
\widehat{w}(0)=w^0,\quad\widehat{z}(0)=z^0.
\endaligned
                                                                \tag4
$$
Здесь
$$
LQ(\widehat{u},\widehat{v},
\widehat{w},\widehat{z})=z_ew_e^{1/2}\widehat{w}+w_ez_e^{1/2}
\widehat{z}
-u_ev^{1/2}\widehat{v}-v_eu_e^{1/2}\widehat{u}
$$
и квадратичная форма
$$
Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=\widehat{w} \widehat{z}-
\widehat{u}\widehat{v}.
$$
Для периодических решений %\?
$$
\align
&\widehat{u}(t,x)=u_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} u_{k}(t) e^{ikx},\quad\
\widehat{v}(t,x)=v_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} v_{k}(t) e^{ikx},
\\
&\widehat{w}(t,x)=w_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} w_{k}(t) e^{ikx},\quad
\widehat{z}(t,x)=z_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} z_{k}(t) e^{ikx},
\\
&Z_0=\{k\in Z,\ k\ne0 \}.
\endalign
$$
В~дальнейшем будем требовать, чтобы средние %\?что делали
$$
u_{0}(0)=\dots=z_{0}(0)=0.
\eqno(5)
$$
Введем весовые пространства $W^1_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+;{\Cal
H}_{\sigma})$ и $L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_{\sigma})$ с нормами
$$
\align
\|\widehat{u}\|_{W^1_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)}
&=
\Bigl\|\frac{d}{dt}\widehat{u}\Bigr\|_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_{\sigma-1})}+
\|\widehat{u}\|_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_{\sigma})},
\\
\|\widehat{u}\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal
H}_\sigma)}
&=\int\limits_0^\infty e^{2{\varepsilon}\gamma t}
\Bigl(|u_{0}(t)|^2+ \sup_{k\in Z_0} |k|^{2\sigma} |u_{k}(t)|^2\Bigr)\,dt,
\endalign
$$
и ${\Cal H}_{\sigma}$ с нормой
$$
\triplenorm{\widehat{u}^0} %\? было |||...|||
^2_{{\Cal H}_{\sigma}}=|u^0_{0}|^2+\sup_{k\in Z_0}
k^{2\sigma} |u^0_{k}|^2.
$$

\head
3. Проблемы ``креста''
\endhead

В~чем проблематичность модели \Tag(4)? Для двумерной модели
разбиение частиц по группам связано с различием их скоростей. Для одномерной
модели частицы с равными скоростями разнесены по разным группам (пары $n_1$,
$n_3$ и $n_2$, $n_4$). Это приводит в методе Фурье к препятствиям построения
аннуляторов секулярных членов соответствующей проекции. Такие препятствия не
позволяют построить решение задачи для любых начальных данных, периодических
возмущений положения равновесия.

\specialhead
$U$-проекция в системе для возмущений \iftex(5)\else(5)\fi\  %(5)
одномерной модели Бродуэлла \iftex(2)\else(2)\fi\  %(2)
\endspecialhead

Система для коэффициентов Фурье
$$
\aligned
&u_e^{1/2}[{\partial}_tu_{k}+ick u_{k}]-LQ_{k}=qv_e^{1/2}u_e^{1/2}{\varepsilon}
Q_{k},
\\
&v_e^{1/2}[{\partial}_tv_{k}-ickv_{k}]- LQ_{k}=qu_e^{1/2}v_e^{1/2}{\varepsilon}
Q_{k},
\\
&w_e^{1/2}[{\partial}_tw_{k}+i k w_{k}]]+ LQ_{k}=-
qz_e^{1/2}w_e^{1/2}{\varepsilon} Q_{k},
\\
&z_e^{1/2}[{\partial}_tz_{k}-ik z_{k}]+ LQ_{k}=-qz_e^{1/2}w_e^{1/2}{\varepsilon}
Q_{k},
\\
&u_{k}(0)=u^0_{k},\quad v_{k}(0)=v^0_{k},\quad w_{k}(0)=w^0_{k},\quad
z_{k}(0)=z^0_{k}.
\endaligned
                                                                \tag6
$$
Делается переход к проекции на одну переменную, например, $u_{k}$
($u$-проекция), т.~е.  выражаются
другие коэффициенты Фурье $z_{k}$, $v_{k}$,
$w_{k}$ уравнениями состояния через $u_{k}$. Существенную роль в исследовании
скорости стабилизации, как всегда, будет играть линеаризация $u$-проекции,
которая в этом случае есть интегро-дифференциальный оператор \Tag(9).
Переход к проекции приводит к появлению секулярных членов, которые однозначно
аннулируются для регулярных возмущений. Для нерегулярных возмущений возникают
препятствия к стабилизации коэффициентов Фурье.

Для этой системы $u$-проекция определяется уравнениями состояния:
$$
\aligned
\sqrt{v_e}v_k&=q_{v,k}^+e^{ikt}+\sqrt{u_e}u_k+2ik\int\limits_0^te^{ik(t-
s)}\sqrt{u_e}u_k\,ds,
\\
\sqrt{z_e}z_k&=q_{z,k}^+ e^{ikt}-\sqrt{u_e}u_k
-2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e}u_k\,ds,
\\
\sqrt{w_e}w_k&=q^-_{w,k} e^{-ikt}-\sqrt{u_e}u_k,
\endaligned
                                                                \tag7
$$
где
$$
q_{v,k}^+=\sqrt{v_e}v_k^0-\sqrt{u_e}u_k^0,\quad
q^-_{w,k}=\sqrt{w_e}w_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0,
\quad
q_{z,k}^+=\sqrt{z_e}z_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0.
$$
Уравнение для $u_k$ компоненты (которое назовем базовым):
$$
\align
&{\partial}_t\sqrt{u_e} u_k+ik\sqrt{u_e} u_k- LQ_k(u)=q \sqrt{u_e}\sqrt{v_e}
Q_k(u),
\\
&LQ_k(u)=w_e\sqrt{z_e} z_k+z_e\sqrt{w_e} w_k
-u_e\sqrt{v_e} v_k-v_e\sqrt{u_e} u_k.
\endalign
$$
Билинейная форма
$$
Q_{k}=\sum\limits_{k_1+k_2=k} (w_{k_1}z_{k_2}-u_{k_1} v_{k_2}),
$$
переменные $u_{k_1}$, $v_{k_2}$, и $w_{k_1}$
в квадратичной форме и в $LQ_k(u)$
выражаются из уравнений состояния через соответствующие переменные $z_{k_2}$ и $z_{k_1}$. Получаем базовое
интегро-дифференциальное уравнение для компоненты
$u_k$:
$$
\align
&T_{u,k}(\sqrt{u_e}u_k)
=\varepsilon\sqrt{u_e}\sqrt{v_e}(\widehat{w}\widehat{z}-
\widehat{u}\widehat{v})_k+d^+_ke^{ikt} +z_eq^-_{w,k} e^{-ikt},
\tag8
\\
&d^+_k=w_eq^+_{z,k}-u_eq^+_{v,k^+},
\endalign
$$
где $K_e=u_e+v_e+w_e+z_e$ и
$$
T_{u,k}(\sqrt{u_e}u_k)=\frac{d}{dt}\sqrt{u_e}u_k+ik\sqrt{u_e}u_k+K_e
\sqrt{u_e}u_k
+2ik(w_e+u_e)
\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e}u_k\,ds.
                                                                \tag9
$$
Как увидим в дальнейшем, этот
интегро-дифференциальный оператор~--- базовый
оператор построения решения $u$-проекции.
Ниже установим  (см. также [9,\,10]), что существенную роль в исследовании
проблемы стабилизации решений задачи Коши для системы \Tag(7), \Tag(8)
играют свойства
интегро-дифференциального оператора $T_{u,k}$.
Его символ (преобразование Лапласа по $t$)~---
$$
\sigma(T_{u,k})=p+ik+\frac{1}{\varepsilon}K_e+
\frac{1}{\varepsilon}2ik(w_e+u_e)\frac{1}{p-ik}.
$$
Заметим, что в разложении символа
$$
\Sigma(T_{u,k})(p)=\frac{\sigma(T_{u,k})}{p+ik}=1+\frac{1}{{\varepsilon}}
\Bigl((v_e+z_e)\frac{1}{p+ik}+(w_e+u_e)\frac{1}{p-ik}\Bigr)
$$
все коэффициенты положительны. Таким образом, здесь выполнены условия
\Par*{Lemma 6.1}. Функция $1/\sigma(T_{u,k})(p) $ аналитична в полуплоскости
$\operatorname{Re} p>-\gamma$ для достаточно малого $\gamma>0$. Этот факт
позволяет применить теорему Пэли~--- Винера и построить
обратный оператор $T^{-1}_{u,k}$.

\proclaim{Theorem \rm(Пэли~--- Винера)}
{\rm(a)} %\?$1.$
Пространство $H_2(\operatorname{Re} p>\gamma,H)$ совпадает с множеством
вектор-функций {\rm (}преобразований Лапласа{\rm )},
допускающих представление
$$
\widetilde{f(p)}=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int\limits_0^\infty e^{pt} f(t) \,dt
\eqno(10)
$$
для $f(t)\in L_{2,\gamma}(R_+,H)$, $p\in C$,
$\operatorname{Re} p>\gamma\ge0$.

{\rm(b)} %\?$2$.
Для любой вектор-функции $\widetilde{f(p)}\in H_2(\operatorname{Re}
p>\gamma,H)$ существует единственное представление~\Tag(10), где
$f(t)\in L_{2,\gamma}(R_+,H)$, причем справедлива формула обращения
$$
f(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty e^{(\gamma+iy)t}
\widetilde{f(\gamma+iy)} \,dy,\quad t\in R_+,\ \gamma\ge0.
$$

{\rm(c)} %\?$3$.
Для вектор-функций $\widetilde{f(p)}\in H_2(\operatorname{Re}
p>\gamma,H)$ и $f(t)\in L_{2,\gamma}(R_+,H)$, связанных
соотношением~\Tag(10), справедливо равенство
$$
\|\widetilde{f}\|^2_{H_2(\operatorname{Re} p>\gamma,H)}\equiv
\sup_{x>\gamma} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \|\widetilde{f(x+iy)}
\|^2_H \,dy
=\int\limits_0^\infty e^{-2\gamma t} \|f(t)\|^2_N \,dt\equiv
\|f\|^2_{L_2(R_+;H)}.
$$
\endproclaim

Если преобразование Лапласа функции $L(f)$ таково, что $L(f)$ принадлежат
пространству Харди $\widetilde{f(p)}\in H_2(\operatorname{Re} p>\gamma)$ при
некотором $\gamma\in R$, то по теореме Пэли~--- Винера
функция $f$ принадлежит
пространству $L_{2,\gamma}(R_+)$ и, следовательно, $f\in L_{2,\gamma}(R_+)$
для любого $g\in L_{2,\gamma}(R_+)$. Справедлива оценка
$$
\|f\|_{L_{2,\gamma}(R_+)}\le a_0\|g\|
_{L_{2,\gamma}(R_+)}.
$$

\head
4. Базовые оценки символа $\sigma(T_{u,k})(p)$
\endhead

Как мы установим ниже, существенную роль в исследовании проблемы
стабилизации решений задачи Коши для системы \Tag(13) играют свойства
интегро-дифференциального оператора $T_{u,k}$.
Приведем результаты, следующие
из \Par*{Lemma 6.1} и теоремы Пэли~--- Винера (см. [10]).

\proclaim{Lemma 4.1}
Равномерно по $k\in Z_0$ в полуплоскости $\operatorname{Re} p>-\gamma$,
$\gamma=\mu^2/K_e$ {\rm (}для достаточно малого $\mu\in(0,1))$
справедлива оценка
$$
|\sigma(T_{u,k}(p))|> c(\mu).
$$
Отсюда в силу теоремы Пэли~--- Винера следует, что для любой функции
$g(t)\in L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)$
решение $f=T^{-1}_{u,k}g$ задачи Коши
$$
T_{u,k}f=g,\quad f|_{t=0}=0
$$
принадлежит $L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)$ и $f|_{t=0}=0$.
Справедлива оценка
$$
\|T^{-1}_{u,k}g\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)}
\le c_0\|g\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)}.
$$
\endproclaim

\proclaim{Lemma 4.2}
Пусть выполнены условия \Par*{Lemma {\rm 4.1}}. Тогда
$$
\Bigl\|\Bigl(\frac{d}{dt}+ik\Bigr)T^{-1}_{u,k}
g\Bigr\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)}\le c_1
\|g\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)}.
$$
\endproclaim

\proclaim{Lemma 4.3}
В~условиях \Par*{Lemma {\rm 4.1}}
$$
\|T^{(-1)}_{u,k}(e^{ikt})\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}}\le c_2.
$$
\endproclaim

\head
5. Секулярные члены
\endhead

Переход к проекции приводит к появлению секулярных членов
$q^-_{w,k}e^{-ikt}$ и $d^+_{v,k}e^{ikt}$. Покажем, что секулярность
$e^{ikt}$
устранимая ($T^{-1}_{z,k}(e^{ikt})\in
L_{2,\gamma}(R_+)$), в то время как секулярность $e^{-ikt}$
неустранимая ($T^{-1}_{z,k}(e^{-ikt})\notin L_{2,\gamma}(R_+)$). Это
приводит в методе Фурье к препятствиям построения аннигиляторов секулярных
членов соответствующей проекции (например $u$-проекции):
$$
\sqrt{v_e}v_k^0+\sqrt{z_e}z_k^0=0,\quad
\sqrt{w_e}w_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0=0,\quad k\in Z_0.
\eqno(11)
$$
Такие препятствия не позволяют построить решение задачи для любых начальных
данных, периодических возмущений положения равновесия. Начальные данные, для
которых выполнены условия \Tag(11), будем называть регулярными для системы \Tag(6).

\proclaim{Theorem 5.1}
Пусть выполнено \Tag(5), $\sigma>1$ и
$$
\triplenorm{\{u_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}+\triplenorm{\{v_k^0\}}_{{\Cal
H}_\sigma}+\triplenorm{\{w_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}
+\triplenorm{\{z_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}<\infty.
$$
Тогда для регулярного возмущения системы
\Tag(6) существует взаимно однозначная
линейная замена независимых переменных,
которая переводит нелинейную интегро-дифференциальную
Фурье-систему в алгебраическую. Эта система имеет единственное
глобальное решение, экспоненциально быстро стабилизирующееся к нулю.
Справедлива оценка
$$
\|\{u_k, v_k, w_k, z_k\}\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_{\sigma-1})}
\le
C_0 (\triplenorm{\{u_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}
+\triplenorm{\{v_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}
+\triplenorm{\{w_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}+\triplenorm{\{z_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}),
$$
где $C_0>0$.
\endproclaim

Покажем, что нарушение второго условия препятствия
$$
\sqrt{w_e}w_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0\ne0
$$
хотя бы для одного $k\in Z_0$ порождает неустойчивость положения равновесия.
Нерегулярное периодическое возмущение положения
равновесия приводит к рождению бегущей волны.

\proclaim{Theorem 5.2}
Пусть выполнено \Tag(5), $\sigma>2$
и справедливо одно условие препятствия $u$-проекции
$$
\sqrt{z_e}z_k^0+\sqrt{v_e}v_k^0=0,\quad k\in Z_0
$$
{\rm (}один первый интеграл{\rm )}, в то время как
$$
q^-_{w,k}=\sqrt{u_e}u_k^0+\sqrt{w_e} w_k^0\ne 0
$$
хотя бы для одного $k\in Z_0$. Тогда заменой
$$
\sqrt{u_e} u_k=(u_k^0-N_k) e^{- K_e t}+N_k e^{-ikt}+
S^+_k T^{-1}_{u,k}(e^{ikt})+T^{-1}_{u,k}
({\Cal X}^{(2)}_k),\quad {\Cal
X}^{(2)}_k\in L_{2,\gamma}(R_+)
$$
Фурье-система $u$-проекции приводится к виду
$$
\align
&T_{u,k}(\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k)
={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q Q^{(1)}_k(u,u),
\\
&{\Cal F}^{(2)}_{u,k}={\Cal F}^{(1)}_{u,k}-2({\partial}_tS^+_k T^{-
1}_{X,k}(e^{ikt})+(ik+ K_e) S^+_k T^{-1}_{X,k}(e^{ikt})).
\endalign
$$
Квадратичная форма имеет следующий вид:
$$
\align
Q^{(1)}_k(u,u)
&=\sum\limits_{k_1+k_2=k} \Biggl\{ \Biggl( F_{z,k_1}
+G_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}
\\
&\qquad-2ik_1 \int\limits_0^t e^{ik_1(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1} \,ds
\Biggr) q^-
_{w,k_2} e^{-ik_2t}\Biggr\}\in L_{2\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)
\endalign
$$
для любого
$\{{\Cal X}^{(2)}_{k}\}\in W^1_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$.
\endproclaim

Как видим, квадратичная форма $Q^{(1)}_k(u,u)$ линейна относительно независимой
переменной $ \{{\Cal X}^{(2)}_{k}\}$.
Это снимает проблемы слабой сходимости.
Для регулярного процесса имеем
$q^-_{w,k_2}=0$, что аннулирует квадратичную часть.
Линейной заменой
$\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k=T^{-1}_{u,k}(\sqrt{u_e} {\Cal Y}_k)$
приходим к алгебраическому уравнению
$$
\sqrt{u_e} {\Cal Y}_k={\Cal F}^{(1)}_{u,k}.
$$

\proclaim{Theorem 5.3}
Пусть $\sigma>2$, выполнены условия \Par*{Theorem {\rm 5.2}} и
$$
q (\triplenorm{\{u_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}+\triplenorm{\{v_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}
+\triplenorm{\{w_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma}+\triplenorm{\{z_k^0\}}_{{\Cal H}_\sigma})
$$
достаточно мало.
Тогда нерегулярное периодическое возмущение положения равновесия одномерной
модели Бродуэлла стабилизируется к бегущей волне экспоненциально быстро.
\endproclaim

\specialhead
5.1. Оператор $L_{BD}$ уничтожения-рождения
\endspecialhead

Перейдем к доказательству
\Par{Theorem 5.2}{Theorems~5.2} и~\Par{Theorem 5.3}{5.3}. Вопрос в том, как выделить бегущую волну стабилизации
нерегулярного возмущения.
Попробуем ``уравновесить'' вторую и первую компоненты
с групповой скоростью $c=1$. Введем оператор
$$
L_{BD}u_k=u_k+2ik e^{ikt}\int\limits_0^t e^{ik(t-s)} u_k \,ds.
$$
Заметим, что
$$
L_{BD}(e^{-ikt})=e^{-2iks}+2ik \int\limits_0^t e^{-2iks} \,ds=e^{ikt},
\eqno(12)
$$
т.~е.  неустранимая секулярность переходит в устранимую. Сделаем замену
$$
\sqrt{u_e} {\Cal X}_k=N_{k,u} e^{ikt}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k
$$
с неизвестной амплитудой $N_{u,k}$ в уравнениях состояния и в уравнении для
${\Cal X}_k$-компоненты. В~силу~\Tag(12) получим
$$
T_{u,k}(N_{k,u} e^{ikt})= (z_e+v_e) N_{k,u}e^{-ikt}+
(w_e+u_e) N_{k,u} e^{ikt}.
$$
Отсюда в переменной ${\Cal X}^{(1)}_k$ имеем
$$
T_{u,k}(\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k)+ (z_e+v_e) N_{k,u}e^{-ikt}+
(w_e+u_e) N_{k,u} e^{ikt}
= d^+_ke^{ikt} +z_eq^-_{w,k} e^{-ikt}+{\Cal F}^{(1)}_{u,k}+q
Q^{(1)}_k(u,u).
$$
Выбираем $N_{k,u}$ из условия
$$
(w_e+u_e) N_{k,u}=z_eq_{w,k}^-.
$$
Тогда в переменной ${\Cal X}^{(1)}_k$
$$
\align
\sqrt{z_e} z_k
&=F_{z,k}+(q_{z,k}^+- N_{u,k}) e^{ikt}-
\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(1)}_k
-2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\,ds,
\\
\sqrt{v_e}v_k
&=F_{v,k}+(q_{v,k}^+ + N_{u,k}) e^{ikt}+\sqrt{u_e} {\Cal
X}^{(1)}_k+2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\,ds,
\\
\sqrt{w_e}w_k
&= \frac{v_e}{z_e+v_e} q^-_{w,k} e^{-ikt}-F_{u,k}-\sqrt{u_e} {\Cal
X}^{(1)}_k,
\\
\sqrt{w_e}u_k
&=\frac{z_e}{z_e+v_e} e^{-ikt}+F_{u,k}+\sqrt{u_e} {\Cal
X}^{(1)}_k.
\endalign
$$

Получили золотое сечение в распределении секулярности $e^{-ikt}$ по
компонентам $w_k$ и $u_k$. В~другой группе компонент $v_k$ и $z_k$ ее нет.
Уравнение для ${\Cal X}^{(1)}_k$-компоненты
\iftex
$$
\align
&\aligned
T_{u,k}(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(1)}_k)
&+
(w_e+u_e) N_{k,u} e^{ikt}=d^+_ke^{ikt}+{\Cal F}^{(1)}_{u,k}
\\
&+q \sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(- N_{k,u} e^{ik_1t}+F_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_{k_1}
\\
&\qquad-2ik_1 \int\limits_0^t e^{ik_1(t-s)}
\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_{k_1} \,ds\Biggr)q^-_{w,k_2} e^{-ik_2t}\Biggr\},
\endaligned
\\
&\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\bigr|_{t=0}
=\sqrt{u_e} X^{(1)}_k\bigr|_{t=0}-N_{u,k},\quad
k\in Z_0.
\endalign
$$
\else
$$
\gathered
T_{u,k}(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(1)}_k)
+(w_e+u_e) N_{k,u} e^{ikt}=d^+_ke^{ikt}+{\Cal F}^{(1)}_{u,k}
\\
+q \sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(- N_{k,u} e^{ik_1t}+F_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_{k_1}
\\
-2ik_1 \int\limits_0^t e^{ik_1(t-s)}
\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_{k_1} \,ds\Biggr)q^-_{w,k_2} e^{-ik_2t}\Biggr\},
\endgathered
$$
$$
\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\bigr|_{t=0}
=\sqrt{u_e} X^{(1)}_k\bigr|_{t=0}-N_{u,k},\quad
k\in Z_0.
$$
\fi
В~линейной части базового уравнения осталась только устранимая секулярность.

\specialhead
5.2. Аннигиляция устранимой секулярности
\endspecialhead

Сделав замену (для аннигиляции устранимой секулярности)
$$
\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k={\Cal X}^{(1)}_k\bigr|_{t=0} e^{- K_e t}+S_k^+T^{-
1}_{u.k}(e^{ik t}) +\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k,
$$
получим
$$
\align
\sqrt{z_e} z_k
&=F^{(1)}_{z,k}- \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k} e^{ikt}
-\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k
-2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)}
(R_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s})+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k)) %\?что-то не то со скобками вроде
\,ds,
\\
F^{(1)}_{z,k}
&=F_{z,k}+S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})-\frac{2ik}{ K_e+ik} N_{u,k}
e^{- K_e t}, %\?здесь была точка.
\\
\sqrt{v_e} v_k
&=-F^{(1)}_{z,k}+ \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k} e^{ikt}
-\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k
-2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)}
(S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s})+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k)) %\?что-то не то со скобками вроде
\,ds,
\\
F^{(1)}_{z,k}
&=F_{z,k}+S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})-\frac{2ik}{ K_e+ik} N_{u,k}
e^{- K_e t}.
\endalign
$$
Выделим секулярность из интеграла
$$
-2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)} S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s}) \,ds.
$$
В~силу оператора $T_{u,k}$ имеем
$$
\align
S_k^+ e^{ik t}
&=T_{u.k}T^{-1}_{u.k}(S_k^+ e^{ik t})=
2ik(w_e+u_e)
\int\limits_0^te^{ik(t-s)} S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s})\,ds
\\
&\qquad+\frac{d}{dt}\sqrt{u_e}S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})+(ik+K_e)
S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t}).
\endalign
$$
Следовательно,
$$
\align
&-2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)} S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s}) \,ds=-\frac{1}{u_e+w_e}
S_k^+ e^{ik t}+G^{(1)}_k,
\\
&G^{(1)}_k=\frac{1}{u_e+w_e}
\Bigl(\frac{d}{dt}\sqrt{u_e}S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})+(ik+K_e)
S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})\Bigr).
\endalign
$$
Отсюда
$$
\align
&\sqrt{z_e} z_k=F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_k+
\Bigl(-\frac{1}{u_e+w_e} S_k^+
+ \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k}\Bigr) e^{ikt}
-\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k
-2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds,
\\
&\sqrt{v_e} v_k=-F^{(1)}_{z,k}-G^{(1)}_k-
\Bigl(-\frac{1}{u_e+w_e} S_k^+ + \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k}\Bigr)
e^{ikt}
+\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k
+2ik \int\limits_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds.
\endalign
$$
Выберем $S_k^+$ из уравнения
$$
-\frac{1}{u_e+w_e} S_k^+ + \frac{ K_e -ik}{K_e+ik} N_{u,k}=0,
$$
аннулирующего устранимую секулярность в уравнениях состояния и в базовом
уравнении для независимой переменной ${\Cal X}^{(2)}_k$. Тогда
$$
\align
&\sqrt{z_e} z_k=F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_{z,k}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k-2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds,
\\
&\sqrt{v_e} v_k=-F^{(1)}_{z,k}-G^{(1)}_{z,k}
+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k+2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds,
\\
&F^{(1)}_{z,k}+ G^{(1)}_{z,k}\in L_{2,\gamma}(R_+),
\\
&\sqrt{w_e}w_k= \frac{v_e}{z_e+v_e} q^-_{w,k} e^{-ikt}-F^{(1)}_{u,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k,
\\
&\sqrt{u_e}u_k=\frac{z_e}{z_e+v_e} e^{-ikt}+F^{(1)}_{u,k}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k,
\\
&F^{(1)}_{u,k}=F_{u,k}+{\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0} e^{- K_e t}+R_k^+T^{-
1}_{u.k_1}(e^{ik_1 s})\in L_{2,\gamma}(R_+).
\endalign
$$
Базовое уравнение %\?
\iftex
$$
\align
&\aligned
T_{u,k}(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k)
&={\Cal F}^{(1)}_{u,k}+q \sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}
\\
&\qquad-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}\,ds
\Biggr)q^-_{w,k_2} e^{-ik_2t}\Biggr\},
\endaligned
\\
&\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0}=0,\quad k\in Z_0.
\endalign
$$
\else
$$
\gathered
T_{u,k}(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k)
={\Cal F}^{(1)}_{u,k}+q \sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}
\\
-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}\,ds
\Biggr)q^-_{w,k_2} e^{-ik_2t}\Biggr\},
\endgathered
$$
$$
\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0}=0,\quad k\in Z_0.
$$
\fi
Это завершает доказательство \Par{Theorem 5.1}{Theorems 5.1} и~\Par{Theorem 5.2}{5.2}.

\specialhead
5.3. Выделение бегущей волны
\endspecialhead

Сделаем сборку предельных периодических
частей компонент:
$$
{\Cal B}(x-t)=\sum\limits_{k\in Z_0}
\Bigl(\frac{z_e}{z_e+v_e},0,\frac{v_e}{z_e+v_e},0\Bigr)
q^-_{w,k} e^{-ik(x-t)}.
$$
Тогда
$$
W{\Cal B}(x-t)=(u_e+ q {\Cal B}(x-t)_1, v_e,w_e+q {\Cal B}(x-t)_3,z_e)
$$
есть бегущая волна, поскольку
$$
\align
z_e {\Cal B}(x-t)_3-v_e {\Cal B}(x-t)_1
&=z_e {\Cal B}(x-t)_3-v_e {\Cal B}(x-t)_1
\\
&={\varepsilon}^2
\Bigl(\frac{z_ev_e}{z_e+v_e}-\frac{z_ev_e}{z_e+v_e}\Bigr)
\sum\limits_{k\in Z_0} q^-_{w,k} e^{ik(x-t)}=0.
\endalign
$$
В~компонентах ${\Cal B}^{(j)}_k$ имеем
\iftex
$$
\align
&\sqrt{z_e} z_k={\Cal B}^{(4)}_k+F^{(1)}_{z,k}
+G^{(1)}_{z,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k-2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e}
{\Cal X}^{(2)}_k\,ds,
\\
&\sqrt{v_e} v_k={\Cal B}^{(2)}_k+F^{(1)}_{v,k}-G^{(1)}_{z,k}
+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k+2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds,
\\
&\sqrt{w_e}w_k={\Cal B}^{(3)}_k-F^{(1)}_{u,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k,
\quad
\sqrt{u_e}u_k={\Cal B}^{(1)}_k+F_{u,k}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k,
\\
&\aligned
T_{u,k}(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k)
&={\Cal F}^{(2)}_{u,k}
+q \sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}
\\
&\qquad-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}\,ds\Biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\Biggr\},
\endaligned
\\
&{\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0}=0,\quad k\in Z_0.
\endalign
$$
\else
$$
\sqrt{z_e} z_k={\Cal B}^{(4)}_k+F^{(1)}_{z,k}
+G^{(1)}_{z,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k-2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e}
{\Cal X}^{(2)}_k\,ds,
$$
$$
\sqrt{v_e} v_k={\Cal B}^{(2)}_k+F^{(1)}_{v,k}-G^{(1)}_{z,k}
+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k+2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds,
$$
$$
\sqrt{w_e}w_k={\Cal B}^{(3)}_k-F^{(1)}_{u,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k,
\quad
\sqrt{u_e}u_k={\Cal B}^{(1)}_k+F_{u,k}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k,
$$
$$
\gathered
T_{u,k}(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k)
={\Cal F}^{(2)}_{u,k}
+q \sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}
\\
-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}\,ds\Biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\Biggr\},
\endgathered
$$
$$
{\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0}=0,\quad k\in Z_0.
$$
\fi
Таким образом, имеем стабилизацию к бегущей волне, если ${\Cal
X}^{(2)}_{k}\in L_{2,\gamma}(R_+)$, $k\in Z_0$.
Переменная ${\Cal X}^{(2)}_k$ играет роль расстояния
до $k$-компоненты бегущей волны.

Последняя замена
$$
{\Cal X}^{(2)}_{k}=(T_{u,k})^{-1}Y_k,
\quad Y_k\in L_{2,\gamma}(R_+),\quad k\in Z_0,
$$
сводит базовое уравнение к линейному оператору
в $L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$:
\iftex
$$
\align
&Y_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q {\Cal Q}_k(Y),
\tag13
\\
&\aligned
{\Cal Q}_k(Y)
&=\sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}
\\
&\qquad-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\Biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\Biggr\},\quad k\in Z_0.
\endaligned
\endalign
$$
\else
$$
Y_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q {\Cal Q}_k(Y),
\tag13
$$
$$
\gathered
{\Cal Q}_k(Y)
=\sum\limits_{k_1+k_2=k}
\Biggl\{ \Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}
\\
-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\Biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\Biggr\},\quad k\in Z_0.
\endgathered
$$
\fi
Нулевая мода %\?
$$
Y_0=q (F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0}
-\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}Y_0)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k}.
\eqno(14)
$$

\specialhead
5.4. Усеченная система
\endspecialhead

Далее, как обычно (см. [10]), достаточно рассмотреть
усеченную систему для $Y^{(m)}_{k}\in L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$,
$|k|\le m$, $m\in N$,
$$
\aligned
&Y^{(m)}_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q {\Cal Q}_k(Y^{(m)}),
\\
&Y^{(m)}_0=q (F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0}
-\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}(Y^{(m)}_0))
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k}
\endaligned
                                                                \tag15
$$
и доказать фундаментальность последовательности итераций
$$
\align
{\Cal Y}^{j,m}_k
&={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q {\Cal Q}_k({\Cal Y}^{j-1,m}),
\quad
{\Cal Y}^{0,m}_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k},
\\
{\Cal Y}^{(j, m)}_0
&=q
(F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0}
-\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}({\Cal Y}^{(j, m)}_0))
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k},
\endalign
$$
где
$$
\align
{\Cal Q}_k({\Cal Y}^{j-1,m})_k
&=\sum\limits_{k_1+k_2=k} \Biggl\{
\Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}{\Cal Y}^{j-1,m}_{k_1} %\?в русском лишний минус -
\\
&\qquad-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}
\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1} {\Cal Y}^{j-1,m}_{k_1}\,ds\Biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\Biggr\},\quad k\in Z_0.
\endalign
$$
Из второго уравнения \Tag(15) следует, что
$$
(1-q c_1(\triplenorm{u^0_k}_{{\Cal H}_\sigma}+\triplenorm{w^0_k}_{{\Cal H}_\sigma}))
\|Y^{(m)}_0\|_{L_{2,\gamma}(R_+)}
\le q\,C_1 (\triplenorm{u^0_k}_{{\Cal H}_\sigma}+\dots +\triplenorm{z^0_k}_{{\Cal H}_\sigma})
$$
для достаточно малого
$$
q (\triplenorm{u^0_k}_{{\Cal H}_\sigma}+\triplenorm{w^0_k}_{{\Cal H}_\sigma}).
$$

\proclaim{Theorem 5.4}
Пусть справедливо \Tag(5), $\sigma>2$ и достаточно мало
$$
q (\triplenorm{u^0_k}_{{\Cal H}_\sigma}+\triplenorm{w^0_k}_{{\Cal H}_\sigma}).
$$
Тогда последовательность
$$
\bigl\{{\Cal Y}^{j,m}_k,\
k\in Z,\ |l|\le m,\ j\in N\bigr\}
$$
фундаментальна в $L_{2,\gamma}(R^+, {\Cal H}_\sigma)$. Как следствие
получаем сходимость
$$
\bigl\{{\Cal Y}^{j,m}_k,\
k\in Z,\ |l|\le m,\ j\in N\bigr\}
$$ к
решению
$$
\bigl\{Y_k^{(m)},\ k\in Z,\ |l|\le m\bigr\}
$$
системы \Tag(13), \Tag(14). Более того,
следует покоординатная сходимость
$$
Y^{(m)}=\bigl\{Y_k^{(m)},\ |k|\le m,\
Y_k^{(m)}=0,\ |k|>m\bigr\}
\to Y^*=\bigl\{(Y_k^*\in L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)),\ k\in Z\bigr\} \ \text{ при }m\to\infty.
$$
\endproclaim

\specialhead
5.5. Априорная оценка решения задачи Коши системы \iftex(13), (14)\else(13), (14)\fi\  %(13), (14)
\endspecialhead

Доказательство \Par*{Theorem 5.4} стандартно (подробности см. в [9,\,10]). Ниже
приведем процедуру получения априорных оценок в весовом пространстве на
примере
базовой оценки для квадратичной формы. Этими замечаниями ограничимся в силу
требуемого объема статьи, отсылая за подробностями к упомянутым работам [9,\,10].

\specialhead
Базовая априорная оценка квадратичной формы
\endspecialhead

Приведем технику доказательства базовой априорной оценки квадратичной формы
\iftex
$$
\align
&{\Cal Q}_k(Y)={\Cal Q}^{(0)}_k(Y)+{\Cal Q}^{(1)}_k(Y),
\\
&\aligned
{\Cal Q}^{(1)}_k(Y)
&=
\sum\limits_{k_1+k_2=k, |k_1|,|k^2|\le |k|, K-1k_2\ne0} \Biggl\{
\Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}
\\
&\qquad-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\Biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\Biggr\},
\endaligned
\\
&{\Cal Q}^{(0)}_k(Y)=(F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0}
-\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}Y_{0})
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k}.
\endalign
$$
\else
$$
{\Cal Q}_k(Y)={\Cal Q}^{(0)}_k(Y)+{\Cal Q}^{(1)}_k(Y),
$$
$$
\gathered
{\Cal Q}^{(1)}_k(Y)
=
\sum\limits_{k_1+k_2=k, |k_1|,|k^2|\le |k|, K-1k_2\ne0} \Biggl\{
\Biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}
\\
-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\Biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\Biggr\},
\endgathered
$$
$$
{\Cal Q}^{(0)}_k(Y)=(F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0}
-\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}Y_{0})
\frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k}.
$$
\fi

\proclaim{Lemma 5.1}
Пусть $\sigma>2$. Тогда для
любого $\{Y_k;\,|l|\le m\}\in L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$
выполняется неравенство
$$
\align
\int\limits_0^\infty e^{-2\gamma t} |k|^{2\sigma}
|{\Cal Q}^{(1)}_k(Y)|^2 \,dt
&\le
C_0(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}
+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma})
\\
&\qquad\times(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}+\dots+\triplenorm{\{z^0_k\}}^2_{{\Cal
H}_\sigma}+\|\{ %\?\}
Y_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)}).
\endalign
$$
\endproclaim

\demo{Proof}
Имеем
$$
\align
\int\limits_0^\infty e^{-2\gamma t}
& |k|^{2\sigma}
|{\Cal Q}^{(1)}_k(Y)|^2 \,dt
\le \int\limits_0^\infty e^{-2\gamma t}
\biggl|
\sum\limits_{k_1+k_2=k, |k_1|, |k_2|\le |k|, k_1k_2\ne0} \frac1{|k_2|^\sigma}
|k_1|^\sigma \biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
\\
&\qquad-\sqrt{u_e} (T_{u,k_1})^{-1}Y_{k_1}
-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} |k_2|^\sigma
|{\Cal B}^{(3)}_{k_2}|\biggr|^2 \,dt
\\
&\qquad+\int\limits_0^\infty e^{-2\gamma t} \biggl|
\sum\limits_{k_1+k_2=k, |k_1|, |k_2|\le |k|, k_1k_2\ne0} \frac1{|k_1|^\sigma}
|k_1|^\sigma \biggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1}
-\sqrt{u_e} (T_{u,k_1})^{-1}Y_{k_1}
\\
&\qquad-2ik_1\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\biggr)
\frac{z_e+v_e}{v_e} |k_2|^\sigma |{\Cal B}^{(3)}_{k_2}|\biggr|^2 \,dt
\\
&\le 2 C_\sigma^2 C_1^2
(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal
H}_\sigma}+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma})
\biggl\|\biggl\{F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_{z,k}
-\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k}
\\
&\qquad-2ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}
Y_{k}\,ds\biggr\}\biggr\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)},
\endalign
$$
где
$$
C_1=\sum\limits_{k\in Z_0} |k|^{-\sigma}<\infty,
$$
если $\sigma>1$,
$|k_1+k_2|^\sigma\le C_\sigma (|k_1|^\sigma+|k_2|^\sigma)$.
Из оценок для оператора $T_{u,k}$ следует, что
$$
\Biggl\|\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k}
+ik\int\limits_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}
Y_{k}\,ds\Biggr\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)}
\le C_2\|\{ %\?\} похоже всюду в таких местах
Y_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)}
$$
и
$$
\|F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_{z,k}\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)}
\le C_2 (\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}+
\dots+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}).
$$
Оценка нулевой моды
${\Cal Q}^{(0)}_k(Y)$ приведена выше.

\specialhead
5.6. Априорная оценка итераций
\endspecialhead

В~силу полученной выше оценки имеем
$$
\align
\int\limits_0^\infty |k|^{2\sigma}
|{\Cal Y}^{j,m}_k|^2 \,dt
&\le
C_2
(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}
+\dots+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma})
+q\,C_0(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}
+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma})
\\
&\qquad\times(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}+\dots+\triplenorm{\{z^0_k\}}^2_{{\Cal
H}_\sigma}+\|\{ %\?\}
{\Cal Y}^{j,m}_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)}).
\endalign
$$
Следовательно,
$$
\align
(1-q\,C_0
(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}
&+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal
H}_\sigma}))
\|{\Cal Y}^{j,m}_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)}
\\
&\le (
\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}+\dots+\triplenorm{\{z^0_k\}}^2_{{\Cal
H}_\sigma}+\|\{ %\?\} лишняя
{\Cal Y}^{j,m}_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal
H}_\sigma)})
\\
&\qquad\qquad\times (C_2+q\,C_0(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal
H}_\sigma}+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma})),
\endalign
$$
если достаточно мало
$q(\triplenorm{\{u^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma}
+\triplenorm{\{w^0_k\}}^2_{{\Cal H}_\sigma})$.
Из этой оценки следует ограниченность последовательности итераций в
$L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$. В~силу этой оценки фундаментальность
последовательности итераций и вторая часть \Par*{Theorem 5.4} доказываются
стандартно (см. [9,\,10]). Это завершает доказательство \Par*{Theorem 5.4}.
\enddemo

\specialhead
5.7. Аппроксимационное решение
\endspecialhead

Из приведенных выше оценок следует слабая сходимость (подробности см. [10]) аппроксимационного решения
$$
\align
&\widehat{u}^{(m)}(t,x)=u^{(m)}_{0}(t)+\sum\limits_{|k|\le m, k\in {\Cal Z}_0}
u^{(m)}_{k}(t) e^{ikx},
\\
&\widehat{v}^{(m)}(t,x)=v^{(m)}_{0}(t)+\sum\limits_{|k|\le m, k\in {\Cal Z}_0}
v^{(m)}_{k}(t) e^{ikx},
\\
&\widehat{w}^{(m)}(t,x)=w^{(m)}_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} w^{(m)}_{k}(t)
e^{ikx},
\\
&\widehat{z}^{(m)}(t,x)=z_{0}^{(m)}(t)+\sum\limits_{|k|\le m; k\in {\Cal Z}_0}
z^{(m)}_{k}(t) e^{ikx},
\\
&u^{(m)}_{0}(0)=\dots=z^{(m)}_{0}(0)=0.
\endalign
$$
к периодическому возмущению положения равновесия, которое стабилизируется к
бегущей волне. Это завершает доказательство \Par*{Theorem 5.3}.
%\enddemo

\specialhead
5.8. Каскад
\endspecialhead

В~общей ситуации, когда не выполнены оба условия препятствия, есть
возможность подключения второй проекции для построения Фурье-решения. Для
этого начальные данные разбиваются на две группы. Начальное возмущение
\iftex
$$
\alignedat2
&n^0_1=u_e+q \sqrt{u_e} \widehat{u}^0,
&\quad&
 n_2=v_e+q\sqrt{v_e}\widehat{v}^0,
\\
&n_3=w_e+q \sqrt{w_e} \widehat{w}^0,
&\quad&
n^0_4=z_e+q \sqrt{z_e} \widehat{z}^0
\endalignedat
                                                                \tag16
$$
\else
$$
\gathered
n^0_1=u_e+q \sqrt{u_e} \widehat{u}^0,
\quad
 n_2=v_e+q\sqrt{v_e}\widehat{v}^0,
\\
n_3=w_e+q \sqrt{w_e} \widehat{w}^0,
\quad
n^0_4=z_e+q \sqrt{z_e} \widehat{z}^0
\endgathered
                                                                \tag16
$$
\fi
разобьем на два.

1. %\?
Для первой группы:
$$
n^0_1=u_e+q \sqrt{u_e} \widehat{u}^0,\quad n^0_3=w_e+q \sqrt{w_e}
\widehat{w}^0,\quad n^0_4=z_e+q \sqrt{z_e} \widehat{z}^0
$$
выполнено первое начальное условие \Tag(11) для $u$-проекции
$$
n^0_2=v_e-q \sqrt{z_e} \widehat{z}^0.
$$
Для такого начального периодического возмущения решение соответствующей
задачи Коши для 1d 4v системы Бродуэлла в общем случае стабилизируется к
бегущей волне $SW_1(x-t)$ экспоненциально быстро.

2. %\?
Второе начальное условие:
$$
n^0_1=n^0_3=n^0_4=0,
\quad
n^0_2=q (\sqrt{v_e} \widehat{v}^0+\sqrt{z_e} \widehat{z}^0),
$$
для которого выполнено второе условие препятствия \Tag(11)
$$
\sqrt{u_e} \widetilde{u}^0+\sqrt{v_e} \widetilde{w}^0=0
$$
$z$-проекции. Оно рассматривается как возмущение бегущей волны $SW_1(x-t)$.
Каскад этих двух решений (решение задачи Коши с начальными данными \Tag(16)),
если
$$
\sqrt{v_e} \widehat{v}^0+\sqrt{z_e} \widehat{z}^0\ne0,\eqno(17)
$$
стабилизируется к бегущей волне $SW_2(x+t)$ также экспоненциально быстро.

3. %\?
Отметим, что каскад некоммутативен. При справедливости неравенства \Tag(17)
мы
не можем стартовать с $u$-проекции, поскольку не выполнено условие
препятствия $u$-проекции.

\head
6. Условия устойчивости полинома четной степени
\endhead

Пусть многочлен $P_{2n}(\xi)$ четной степени $2n$ есть возмущение полинома
$$
(\xi^2+a_1^2)\cdots(\xi^2+a_n^2)
$$
четной степени
$$
P_{2n}(\xi)=A_0(\xi^2+a_1^2)
\cdots(\xi^2+a_n^2)+P_{2n-1}(\xi),
$$
корни которого чисто мнимые и разные
$\pm i a_1, \pm i a_2, \dots,\pm i a_n$, $a_j\in R$,
с расстояниями между ними
$$
|a_j-a_k|\ge \mu_0>0,\quad j,k=1,\dots,n,\ j\ne k.
$$
Тогда
$$
\frac{P_{2n}(\xi)}{(\xi^2+a_1^2)
\cdots(\xi^2+a_n^2)}
=A_0+\sum\limits_{j=1}^n
\Bigl(\frac{A^+_j}{\xi+i a_j}+\frac{A^-_j}{\xi-i a_j}\Bigr).
$$
\Par{Lemma 4.1}{Lemmas 4.1}--\Par{Lemma 4.3}{4.3} вытекают из следующей леммы.

\proclaim{Lemma 6.1}
Пусть для полинома $P_{2n}(\xi)$ четной степени $2n$ выполнены
сформулированные выше условия. Более того, пусть
$$
A_0>0,\quad A^\pm_j>0,\quad j=1,\dots, n.
$$
Тогда для
$$
\gamma=\frac{A_0}{2K_0 \mu^2},
\quad
K_0=\sum\limits_{j=1}^n(A^+_j+A^-_j),\quad
\mu\in(0,\mu_0),
$$
вещественные части корней $\xi_j$ полинома $P_{2n}(\xi)$ %\?
$$
\operatorname{Re} \xi_j<-\gamma,\quad j=1,\dots,2n,
$$
для достаточно малого $\mu$.
\endproclaim

\demo{Proof}
1. Вещественная часть %\?
$$
\operatorname{Re}\frac{P_{2n}(\xi)}
{(\xi^2+a_1^2)\cdots(\xi^2+a_n^2)}
=A_0
+\operatorname{Re} \xi \sum\limits_{j=1}^n
\Bigl(\frac{A^+_j}{(\operatorname{Re}\xi)^2+(\operatorname{Im} \xi+
a_j)^2}+\frac{A^-_j}{(\operatorname{Re}\xi)^2+(\operatorname{Im} \xi-
a_j)^2}\Bigr)\ge A_0,
$$
если $\operatorname{Re} \xi>0$.

2. Если $-\gamma< \operatorname{Re} \xi\le0$
и $|\operatorname{Im} \xi \pm a_j|\ge \mu$,
$j=1,\dots,n$, то
$$
\operatorname{Re}\frac{P_{2n}(\xi)}
{(\xi^2+a_1^2)\cdots(\xi^2+a_n^2)}\ge A_0-
\gamma \sum\limits_{j=1}^n
\Bigl(\frac{A^+_j}{\mu^2}+\frac{A^-_j}{\mu^2}\Bigr)
= A_0-\frac{\gamma}{\mu^2} K_0=\frac12 A_0.
$$

3. Рассмотрим замыкание непересекающихся областей
$(-\gamma<\operatorname{Re} \xi<0$; $|\operatorname{Im} \xi + a_j|<\mu)$,
$(-\gamma<\operatorname{Re} \xi<0$; $|\operatorname{Im}\xi-a_j|<\mu)$,
$j=1,\dots,n$. Так, для $(-\gamma\le \operatorname{Re} \xi\le 0;
|\operatorname{Im} \xi - a_1|\le \mu)$
имеем
$$
\frac{(\xi-ia_1)P_{2n}(\xi)}
{(\xi^2+a_1^2)\cdots(\xi^2+a_n^2)}
\Bigr|_{\xi=ia_1}
=\frac{P_{2n}(\xi)}{(\xi+ia_1)(\xi^2+a_2^2)
\cdots(\xi^2+a_n^2)}\Bigr|_{\xi=ia_1}=A^-_1.
$$
Следовательно,
$$
\align
\Bigl|\frac{(\xi-ia_1)P_{2n}(\xi)}
{(\xi^2+a_1^2)\cdots(\xi^2+a_n^2)}
\Bigr|
&\ge
A^-_1
-\biggl|\frac{d}{d\xi}\biggl( %\?вроде не закрыта
A_0(\xi-ia_1)+\sum\limits_{j=2}^n
\Bigl(\frac{A^+_j(\xi-ia_1)}{\xi+i a_j}
\\
&\quad\qquad+\frac{A^-_j(\xi-ia_1)}{\xi-i a_j}+\frac{A^+_1(\xi-ia_1)}{\xi+i
a_1}\Bigr)\biggr|_{\xi=\xi^*} |\xi-ia_1|
\endalign
$$
для $\xi^*\in (-\gamma\le\operatorname{Re} \xi\le0; |\operatorname{Im} \xi -
a_1|\le\mu)$.
Теперь заметим, что для $j\ne1$
$$
\align
\Bigl|\frac{d}{d\xi}\frac{A^-_j(\xi-ia_1)}{\xi-i a_j}\Bigr|
&=
\frac{A^-_j}{|\xi-i a_j|}+\frac{A^-_j |\xi-ia_1|}{|\xi-i a_j|^2}
\\
&\qquad\le \frac{A^-_j}{|a_j+a_1|-\mu-\gamma}
+\frac{A^-_j (\gamma+\mu)}{(|a_j-a_1|-\mu-\gamma)^2}\le
\frac{A^-_j}{\mu_0-\mu-\gamma}+\frac{A^-_j
(\gamma+\mu)}{(\mu_0-\mu-\gamma)^2}.
\endalign
$$
Так же получим $(j\ne1)$
$$
\Bigl|\frac{d}{d\xi}\frac{A^+_j(\xi-ia_1)}{\xi+i a_j}\Bigr|=
\frac{A^+_j}{|\xi+i a_j|}+\frac{A^+_j |\xi-ia_1|}{|\xi+i a_j|^2}
\le \frac{A^+_j}{(a_j+a_1)-\mu-\gamma}
+\frac{A^+_j (\gamma+\mu)}{((a_j+a_1)-\mu-\gamma)^2}.
$$
Отсюда
$$
\align
\Bigl|\frac{(\xi-ia_1)P_{2n}(\xi)}
{(\xi^2+a_1^2)\cdots(\xi^2+a_n^2)}\Bigr|
&\ge
A^-_1-\frac\mu{\mu_0} \sum\limits_{j=1}^n
\Bigl(\frac{A^-_j}{1-\frac{\mu+\gamma}{\mu_0}}
+\frac{A^-_j (\gamma+\mu)}{\mu_0
(1-\frac{\mu+\gamma}{\mu_0})^2}\Bigr)
\\
&\quad\qquad-\frac\mu{(a_j+a_1)} \sum\limits_{j=1}^n
\Bigl(\frac{A^+_j}{1-\frac{\mu+\gamma}{(a_j+a_1)}}
+\frac{A^+_j (\gamma+\mu)}{(a_j+a_1)
(1-\frac{\mu+\gamma}{(a_j+a_1)})^2}\Bigr)
\\
&\quad\qquad-\frac\mu{2a_1}
\Bigl(\frac{A^+_1}{1-\frac{\mu+\gamma}{2a_1}}+\frac{A^+_1
(\gamma+\mu)}{2a_1
(1-\frac{\mu+\gamma}{2a_1})^2}\Bigr)\ge \frac12 A_1^-
\endalign
$$
для достаточно малого $\mu/\mu_0$. Это завершает доказательство.
\enddemo

\head
Заключение
\endhead

Проведенный анализ двух-, трех-, четырех-, шести- и девяти-скоростных
моделей дискретной кинетики установил возникновение в их одномерных моделях
(на ``кресте'') с ростом числа групповых скоростей цепочки инвариантных
решений, так что периодические возмущения предыдущего экспоненциально быстро
стабилизируются к последующему. Такой анализ дает надежду на выяснение
взаимосвязи дискретной кинетики и уравнения Больцмана. Групповой анализ
дискретных моделей позволит выделить бесконечную упорядоченную цепочку
инвариантных решений при неограниченном росте числа групповых скоростей.
Более того, существование в каком-то смысле предела для этой цепочки,
возможно, даст адекватное описание тонких кинетических эффектов, таких как
ударные волны.

\Refs

\ref\no 1
\by                 Boltzmann~L.
\book               Lectures on Gas Theory
\publ               University of California
\publaddr           Berkeley
\yr                 1964
\endref

\ref\no 2
\by                 Vedenyapin~V.V.
\book               The Boltzmann and Vlasov Kinetic Equations
\publaddr           Moscow
\publ               Fizmatlit
\yr                 2001
\lang               Russian
\endref

\ref\no 3
\by                 Euler~N. and Steeb~W.-H.
\paper              Painlev\'e test and discrete Boltzmann equations
\jour               Austral.~J. Phys.
\yr                 1989
\vol                42
\issue              1
\pages              1--10
\endref

\ref\no 4
\by                 Lindblom~O. and Euler~N.
\paper              Solutions of discrete-velocity Boltzmann equations via Bateman and Riccati equations
\jour               Theoret. and Math. Phys.
\yr                 2002
\vol                131
\issue              2
\pages              595--608
\endref

\ref\no 5
\by                 Carleman~T.
\book               Mathematical Problems of the Kinetic Theory of Gases
\publaddr           Moscow
\publ               Inostr. Lit.
\yr                 1960
\lang               Russian
\endref

\ref\no 6
\by                 Broadwell~J.E.
\paper              Shock structure in a simple discrete velocity gas
\jour               Phys. Fluids
\yr                 1964
\vol                7
\pages              1243--1247
\endref

\ref\no 7
\by                 Broadwell~J.E.
\paper              Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method
\jour               J.~Fluid Mech.
\yr                 1964
\vol                19
\pages              401--414
\endref

\ref\no 8
\by                 Il'in~O.V.
\paper              Symmetries and invariant solutions of the one-dimensional Boltzmann equation for inelastic collisions
\jour               Theoret. and Math. Phys.
\yr                 2016
\vol                186
\issue              2
\pages              183--191
\endref

\ref\no 9
\by           Vasil'eva~O.A., Dukhnovskii~S.A., and Radkevich~E.V.
\paper        On the nature of local equilibrium in the Carleman and Godunov--Sultangazin equations
\jour         J.~Math. Sci. (N.Y.)
\yr           2018
\vol          235
\issue        4
\pages        392--454
\endref

\ref\no 10
\by           Radkevich~E.V., Vasil'eva~O.A., and Dukhnovskii~S.A.
\paper        Local equilibrium of the Carleman equation
\jour         J.~Math. Sci. (N.Y.)
\yr           2015
\vol          207
\issue        2
\pages        296--323
\endref
\endRefs

\enddocument