%% \magnification=\magstep1 \documentstyle{SibMatZh} \hoffset=-.4in \voffset=-.4in \topmatter \UDclass 517+517.9+536\endUDclass \subjclass 35R30\endsubjclass \title О~неустойчивости положений равновесия для~дискретных кинетических моделей. Экспоненциальная стабилизация регулярных периодических возмущений положений равновесия \endtitle \rightheadtext{О~неустойчивости положений равновесия} %\thanks %\endthanks \author Е.~В.~Радкевич, О.~А.~Васильева\endauthor \xauthor Радкевич~Е.~В., Васильева~О.~А.\endxauthor \datesubmitted 6 января 2026 г.\enddatesubmitted \daterevised 12 февраля 2026 г.\enddaterevised \dateaccepted 14 февраля 2026 г.\enddateaccepted \address Радкевич Евгений Владимирович\quad (ORCID\quad \?)\linebreak Московский государственный университет им. М.~В.~Ломоносова,\linebreak механико-математический факультет,\linebreak Ленинские горы, 1, Москва~119991 \endaddress \email evrad07\@gmail.com\endemail \address Васильева Ольга Александровна\quad (ORCID\quad \?)\linebreak Московский государственный строительный университет,\linebreak Ярославское шоссе, 26, Москва~129337 \endaddress \email vasiljeva.ovas\@yandex.ru \endemail \affil \endaffil \keywords периодические возмущения, стабилизация, дискретные модели кинетики, инвариантные решения. \endkeywords \abstract Хорошо известно, особенно при численных экспериментах, рассогласование правой и левой частей кинетического уравнения Больцмана. Несовершенство кинетического уравнения Больцмана привело к необходимости построения так называемых дискретных кинетических уравнений. Статья посвящена исследованию проблемы стабилизации периодических возмущений положения равновесия для двумерного и одномерного кинетических уравнений Бродуэлла. Установлена экспоненциально быстрая стабилизация периодических возмущений положения равновесия для одномерного уравнения Бродуэлла к бегущей волне(при общих периодических начальных возмущениях). \endabstract \endtopmatter %The discrepancy between the right-hand and left-hand sides of the Boltzmann %kinetic equation is well known, especially in numerical experiments. The %imperfections of the Boltzmann kinetic equation led to the need to construct so- %called discrete kinetic equations. This article is devoted to studying the %problem of stabilizing periodic perturbations of the equilibrium position for %two-dimensional and one-dimensional Broadwell kinetic equations. %Exponentially fast stabilization of periodic perturbations of the equilibrium %position for the one-dimensional Broadwell equation for a traveling wave (under %general periodic initial perturbations) will be established. %Keywords: periodic perturbations, stabilization, discrete kinetic models, %invariant solutions. \rightline{\sl Геннадию Владимировичу Демиденко\quad } \rightline{\sl в связи с его 70-летием\quad } %{\baselineskip=1.022\baselineskip \head 1. Введение\endhead Кинетическая теория рассматривает газ как совокупность громадного числа хаотически движущихся частиц (например, молекул), тем или иным образом взаимодействующих между собой [1,\,2]. В~результате таких взаимодействий частицы обмениваются импульсами и энергией. Взаимодействие может осуществляться путем прямого столкновения частиц или при помощи тех или иных сил. Для пояснения математической схемы, описывающей подобные явления, рассматриваются [2] так называемые дискретные модели кинетического уравнения Больцмана. Дискретная кинетическая модель уравнения Больцмана представляет собой нелинейную систему уравнений в частных производных первого порядка, каждое уравнение которой отвечает за динамику частиц, движущихся с одной групповой скоростью. Квадратичная нелинейность задает парные взаимодействия между частицами. {\bf Неинтегрируемость.} При помощи теста Пенлеве [3,\,4] была установлена {\it неинтегрируемость} дискретных моделей Карлемана [5] $$ {\partial}_tn_1+{\partial}_xn_1=\bigl(n_2^2-n_1^2\bigr),\quad {\partial}_tn_2-{\partial}_xn_2=-\bigl(n_2^2-n_1^2\bigr), \eqno(1) $$ и Бродуэлла [6,\,7] $$ {\partial}_tn_1+c{\partial}_xn_1=Q_1(u)=(n_3n_4-n_1n_2), $$ $$ {\partial}_tn_2-c{\partial}_xn_2=Q_1(u),\quad {\partial}_tn_3+c{\partial}_yn_3=-Q_1(u), \quad {\partial}_tn_4-c{\partial}_yn_4=-Q_1(u), $$ где $n_i (t, \widehat{x})$~--- функция распределения частиц в пространстве $\widehat{x}\in R^d$, $d=1,2$, в момент времени $t$, движущихся с групповой скоростью $v_i\in R^d$. С физической точки зрения препятствием интегрируемости являются взаимодействия между частицами, более того, никакими заменами переменных невозможно развязать эти взаимодействия и свести динамику к движению свободных частиц. В~[8] О.~В.~Ильин показал, что любая дискретная кинетическая модель является неинтегрируемой. Следствие неинтегрируемости~--- чувствительность решений к начальным данным (эффект бабочки), т.~е. кинетические модели уравнения Больцмана могут рассматриваться как кандидаты на описание пространственно-неоднородной турбулентности. Теоретически обоснована возможность существования хаотической динамики в этих моделях. \medskip {\bf Групповая классификация.} С вопросами интегрируемости тесно связаны групповые свойства дифференциальных уравнений. В~работе О.~В.~Ильина [8] установлено, что для всех кинетических моделей группа точечных симметрий конечна и состоит из сдвигов по пространственным переменным, сдвига по временной переменной и масштабного преобразования. Это ведет к тому, что класс автомодельных решений таких систем весьма узок. К нему относятся стационарные решения (до четырех групповых скоростей), стационарные решения, пространственно-однородные решения, а также решения типа бегущих волн (до девяти групповых скоростей) и стационарные решения, пространственно-однородные решения, решения типа бегущих волн, а также типа разлета газового облака (9 и 10 групповых скоростей). Отметим, что в 2- и 3-скоростных моделях (Карлемана, Годунова, и~т.~д.) периодические возмущения положительных положений равновесия стабилизируются к нулю экспоненциально быстро, положения равновесия устойчивы. В~4-скоростной модели Бродуэлла и 6-скоростной модели положения равновесия неустойчивы. Нерегулярные периодические возмущения положения равновесия стабилизируются к бегущим волнам экспоненциально быстро. Мы покажем, что коэффициенты Фурье периодического возмущения положения равновесия в 4-скоростной модели Бродуэлла экспоненциально быстро стабилизируются к нулю вне <<креста>> ($k^2-l^2=0)$. Существенно отличается поведение возмущения на <<кресте>>. Система для коэффициентов Фурье $u_{k,l}^{(j)}$, $j=1,\dots 4$, возмущения на <<кресте>> (для $k=l$) совпадает с системой коэффициентов Фурье периодического возмущения положения равновесия одномерной 4-скоростной системы с двумя групповыми скоростями $$ \gathered {\partial}_tn_1+c{\partial}_xn_1=Q_1(u),\quad {\partial}_tn_2-c{\partial}_xn_2=Q_1(u), \\ {\partial}_tn_3+c{\partial}_xn_3=-Q_1(u),\quad {\partial}_tn_4-c{\partial}_xn_4=-Q_1(u). \endgathered \tag2 $$ Положения равновесия неустойчивы. Нерегулярные (см. ниже) периодические возмущения положения равновесия экспоненциально быстро стабилизируются к бегущим волнам. Более того, периодические возмущения периодических бегущих волн <<перебрасываются>> из одной группы скоростей с общей групповой скоростью в другую. В~этом случае в одной из групп идет стабилизация к новой бегущей волне (ее рождение), а в другой идет экспоненциально быстрое затухание возмущенной бегущей волны (упругие столкновения) либо возмущенная бегущая волна только деформируется экспоненциально быстро (неупругие столкновения (неправильный бильярд)). В~этой статье приведено доказательство упомянутых выше утверждений для одномерной модели Бродуэлла. \head 2. Постановка задачи\endhead Целью этой статьи является исследование периодических возмущений положения равновесия 4-скоростной одномерной модели Бродуэлла (2), положительные положения равновесия которой $$ n^e_1 n^e_3-n_2^e n_4^e=0.\eqno(3) $$ Для системы Бродуэлла рассмотрим периодическое возмущение состояния равновесия $n_i=n^i_e+\widehat{n}_i$, где выполнено (3) и $n^i_e>0$, $i=1,\dots,4$. Возмущение $N(t,x)=(\widehat{u}, \widehat{v}, \widehat{w}, \widehat{z})$ удовлетворяет пространственно-периодическим граничным условиям: $N(t,x)=N(t,x+2\pi)$, $x$ принадлежат ячейке периодичности. Сделаем перенормировку $$ N(t,x)=q (\sqrt{u_e} \widehat{u}, \sqrt{v_e} \widehat{v}, \sqrt{w_e} \widehat{w}, \sqrt{z_e} \widehat{z}), $$ тогда система для периодического возмущения $\widehat{u}$, $\widehat{v}$, $\widehat{w}$, $\widehat{z}$ примет вид $$ \gathered u_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{u}+{\partial}_x\widehat{u}] - LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=q v_e^{1/2}u_e^{1/2} Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}), \\ v_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{v}-{\partial}_x\widehat{v}]- LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=q u_e^{1/2}v_e^{1/2} Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}), \\ w_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{w}+{\partial}_x\widehat{w}] +LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})= -q z_e^{1/2}w_e^{1/2} Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}), \\ z_e^{1/2}[{\partial}_t\widehat{z}-{\partial}_x\widehat{z}]+ LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})= -q z_e^{1/2}w_e^{1/2} Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z}), \\ \widehat{u}(0)=u^0,\quad \widehat{v}(0)=v^0,\quad \widehat{w}(0)=w^0,~\widehat{z}(0)=z^0. \endgathered \tag4 $$ Здесь $$ LQ(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=z_ew_e^{1/2}\widehat{w}+w_ez_e^{1/2} \widehat{z} -u_ev^{1/2}\widehat{v}-v_eu_e^{1/2}\widehat{u} $$ и квадратичная форма $$ Q(\widehat{u},\widehat{v}, \widehat{w},\widehat{z})=\widehat{w} \widehat{z}- \widehat{u}\widehat{v}. $$ Для периодических решений $$ \widehat{u}(t,x)=u_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} u_{k}(t) e^{ikx},\quad \widehat{v}(t,x)=v_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} v_{k}(t) e^{ikx}, $$ $$ \widehat{w}(t,x)=w_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} w_{k}(t) e^{ikx},\quad \widehat{z}(t,x)=z_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} z_{k}(t) e^{ikx}, $$ $$ Z_0=\{k\in Z,\ k\ne0 \}. $$ В~дальнейшем будем требовать, чтобы средние $$ u_{0}(0)=\dots=z_{0}(0)=0.\eqno(5) $$ Введем весовые пространства $W^1_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+;{\Cal H}_{\sigma})$, $L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_{\sigma})$ с нормами $$ \|\widehat{u}\|_{W^1_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)}= \left\|\frac{d}{dt}\widehat{u}\right\|_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_{\sigma-1})}+ \|\widehat{u}\|_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_{\sigma})}, $$ $$ \|\widehat{u}\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)}=\int_0^\infty~e^{2{\varepsilon}\gamma t} (|u_{0}(t)|^2+ \sup_{k\in Z_0} |k|^{2\sigma} |u_{k}(t)|^2)\,dt, $$ и ${\Cal H}_{\sigma}$ с нормой $$ |||\widehat{u}^0|||^2_{{\Cal H}_{\sigma}}=|u^0_{0}|^2+\sup_{k\in Z_0} k^{2\sigma} |u^0_{k}|^2. $$ \head 3. Проблемы <<креста>>\endhead В~чем проблематичность модели (4)? Для двумерной модели разбиение частиц по группам связано с различием их скоростей. Для одномерной модели частицы с равными скоростями разнесены по разным группам (пары $n_1$, $n_3$ и $n_2$, $n_4$). Это приводит в методе Фурье к препятствиям построения аннуляторов секулярных членов соответствующей проекции. Такие препятствия не позволяют построить решение задачи для любых начальных данных, периодических возмущений положения равновесия. \medskip {\bf $U$-проекция в системе для возмущений (5) одномерной модели Бродуэлла (2).} Система для коэффициентов Фурье $$ \gathered u_e^{1/2}[{\partial}_tu_{k}+ick u_{k}]-LQ_{k}=qv_e^{1/2}u_e^{1/2}{\varepsilon} Q_{k}, \\ v_e^{1/2}[{\partial}_tv_{k}-ickv_{k}]- LQ_{k}=qu_e^{1/2}v_e^{1/2}{\varepsilon} Q_{k}, \\ w_e^{1/2}[{\partial}_tw_{k}+i k w_{k}]]+ LQ_{k}=- qz_e^{1/2}w_e^{1/2}{\varepsilon} Q_{k}, \\ z_e^{1/2}[{\partial}_tz_{k}-ik z_{k}]+ LQ_{k}=-qz_e^{1/2}w_e^{1/2}{\varepsilon} Q_{k}, \\ u_{k}(0)=u^0_{k},\quad v_{k}(0)=v^0_{k},\quad w_{k}(0)=w^0_{k},\quad z_{k}(0)=z^0_{k}. \endgathered \tag6 $$ Делается переход к проекции на одну переменную, например, $u_{k}$ ($u$-проекция), т.~е. выражаются другие коэффициенты Фурье $z_{k}$, $v_{k}$, $w_{k}$ уравнениями состояния через $u_{k}$. Существенную роль в исследовании скорости стабилизации, как всегда, будет играть линеаризация $u$-проекции, которая в этом случае есть интегро-дифференциальный оператор (9). Переход к проекции приводит к появлению секулярных членов, которые однозначно аннулируются для регулярных возмущений. Для нерегулярных возмущений возникают препятствия к стабилизации коэффициентов Фурье. Для этой системы $u$-проекция определяется уравнениями состояния: $$ \gathered \sqrt{v_e}v_k=q_{v,k}^+e^{ikt}+\sqrt{u_e}u_k+2ik\int_0^te^{ik(t- s)}\sqrt{u_e}u_k\,ds, \\ \sqrt{z_e}z_k=q_{z,k}^+ e^{ikt}-\sqrt{u_e}u_k -2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e}u_k\,ds, \\ \sqrt{w_e}w_k=q^-_{w,k} e^{-ikt}-\sqrt{u_e}u_k, \endgathered \tag7 $$ где $$ q_{v,k}^+=\sqrt{v_e}v_k^0-\sqrt{u_e}u_k^0,\quad q^-_{w,k}=\sqrt{w_e}w_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0, \quad q_{z,k}^+=\sqrt{z_e}z_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0. $$ Уравнение для $u_k$ компоненты (которое назовем базовым): $$ {\partial}_t\sqrt{u_e} u_k+ik\sqrt{u_e} u_k- LQ_k(u)=q \sqrt{u_e}\sqrt{v_e} Q_k(u), $$ $$ LQ_k(u)=w_e\sqrt{z_e} z_k+z_e\sqrt{w_e} w_k -u_e\sqrt{v_e} v_k-v_e\sqrt{u_e} u_k. $$ Билинейная форма $$ Q_{k}=\sum\limits_{k_1+k_2=k} (w_{k_1}z_{k_2}-u_{k_1} v_{k_2}), $$ переменные $u_{k_1}$, $v_{k_2}$, $w_{k_1}$ в квадратичной форме и в $LQ_k(u)$ выражаются из уравнений состояния через соответствующие переменные $z_{k_2}$, $z_{k_1}$. Получаем базовое интегро-дифференциальное уравнение для компоненты $u_k$: $$ T_{u,k}(\sqrt{u_e}u_k) =\varepsilon\sqrt{u_e}\sqrt{v_e}(\widehat{w}\widehat{z}- \widehat{u}\widehat{v})_k+d^+_ke^{ikt} +z_eq^-_{w,k} e^{-ikt},\eqno(8) $$ $$ d^+_k=w_eq^+_{z,k}-u_eq^+_{v,k^+}, $$ где $K_e=u_e+v_e+w_e+z_e$ и $$ T_{u,k}(\sqrt{u_e}u_k)=\frac{d}{dt}\sqrt{u_e}u_k+ik\sqrt{u_e}u_k+K_e \sqrt{u_e}u_k +2ik(w_e+u_e) \int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e}u_k\,ds. \tag9 $$ Как увидим в дальнейшем, этот интегро-дифференциальный оператор~--- базовый оператор построения решения $u$-проекции. Ниже установим (см. также [9,\,10]), что существенную роль в исследовании проблемы стабилизации решений задачи Коши для системы (7), (8) играют свойства интегро-дифферен\-циаль\-но\-го оператора $T_{u,k}$. Его символ (преобразование Лапласа по $t$)~--- $$ \sigma(T_{u,k})=p+ik+\frac{1}{\varepsilon}K_e+ \frac{1}{\varepsilon}2ik(w_e+u_e)\frac{1}{p-ik}. $$ Заметим, что в разложении символа $$ \Sigma(T_{u,k})(p)=\frac{\sigma(T_{u,k})}{p+ik}=1+\frac{1}{{\varepsilon}} \left((v_e+z_e)\frac{1}{p+ik}+(w_e+u_e)\frac{1}{p-ik}\right) $$ все коэффициенты положительны. Таким образом, здесь выполнены условия леммы~6.1. Функция $1/\sigma(T_{u,k})(p) $ аналитична в полуплоскости $\operatorname{Re} p>-\gamma$ для достаточно малого $\gamma>0$. Этот факт позволяет применить теорему Пэли~--- Винера и построить обратный оператор $T^{-1}_{u,k}.$ \proclaim{Теорема \rm(Пэли~--- Винера)} $1.$ Пространство $H_2(\operatorname{Re} p>\gamma,H)$ совпадает с множеством вектор-функций {\rm (}преобразований Лапласа{\rm )}, допускающих представление $$ \widetilde{f(p)}=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_0^\infty e^{pt} f(t) \,dt\eqno(10) $$ для $f(t)\in L_{2,\gamma}(R_+,H)$, $p\in C$, $\operatorname{Re} p>\gamma\ge0$. $2$. Для любой вектор-функции $\widetilde{f(p)}\in H_2(\operatorname{Re} p>\gamma,H)$ существует единственное представление {\rm (10)}, где $f(t)\in L_{2,\gamma}(R_+,H)$, причем справедлива формула обращения $$ f(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{(\gamma+iy)t} \widetilde{f(\gamma+iy)} \,dy,\quad t\in R_+,\ \gamma\ge0. $$ $3$. Для вектор-функций $\widetilde{f(p)}\in H_2(\operatorname{Re} p>\gamma,H)$ и $f(t)\in L_{2,\gamma}(R_+,H)$, связанных соотношением {\rm (10)}, справедливо равенство $$ \|\widetilde{f}\|^2_{H_2(\operatorname{Re} p>\gamma,H)}\equiv \sup_{x>\gamma} \int_{-\infty}^{+\infty} \|\widetilde{f(x+iy)} \|^2_H \,dy =\int_0^\infty e^{-2\gamma t} \|f(t)\|^2_N \,dt\equiv \|f\|^2_{L_2(R_+;H)}. $$ \endproclaim Если преобразование Лапласа функции $L(f)$ таково, что $L(f)$ принадлежат пространству Харди $\widetilde{f(p)}\in H_2(\operatorname{Re} p>\gamma)$ при некотором $\gamma\in R$, то по теореме Пэли~--- Винера функция $f$ принадлежит пространству $L_{2,\gamma}(R_+)$ и, следовательно, $f\in L_{2,\gamma}(R_+)$ для любого $g\in L_{2,\gamma}(R_+)$. Справедлива оценка $$ \|f\|_{L_{2,\gamma}(R_+)}\le a_0\|g\| _{L_{2,\gamma}(R_+)}. $$ \head 4. Базовые оценки символа $\sigma(T_{u,k})(p)$\endhead Как мы установим ниже, существенную роль в исследовании проблемы стабилизации решений задачи Коши для системы (13) играют свойства интегро-дифференциального оператора $T_{u,k}$. Приведем результаты, следующие из леммы~6.1 и теоремы Пэли~--- Винера (см. [10]). \proclaim{Лемма 4.1} Равномерно по $k\in Z_0$ в полуплоскости $\operatorname{Re} p>-\gamma$, $\gamma=\mu^2/K_e$ {\rm (}для достаточно малого $\mu\in(0,1))$ справедлива оценка $$ |\sigma(T_{u,k}(p))|> c(\mu). $$ Отсюда в силу теоремы Пэли~--- Винера следует, что для любой функции $g(t)\in L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)$ решение $f=T^{-1}_{u,k}g$ задачи Коши $$ T_{u,k}f=g,\quad f|_{t=0}=0 $$ принадлежит $L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)$ и $f|_{t=0}=0$. Справедлива оценка $$ \bigl\|T^{-1}_{u,k}g\bigr\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)} \le c_0\|g\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)}. $$ \endproclaim \proclaim{Лемма 4.2} Пусть выполнены условия леммы~{\rm 4.1}. Тогда $$ \left\|\left(\frac{d}{dt}+ik\right)T^{-1}_{u,k} g\right\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)}\le c_1 \|g\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}(R_+)}. $$ \endproclaim \proclaim{Лемма 4.3} В~условиях леммы~{\rm 4.1} $$ \bigl\|T^{(-1)}_{u,k}(e^{ikt})\bigr\|_{L_{2,{\varepsilon}\gamma}}\le c_2. $$ \endproclaim \head 5. Секулярные члены\endhead Переход к проекции приводит к появлению секулярных членов $q^-_{w,k}e^{-ikt}$, $d^+_{v,k}e^{ikt}$. Покажем, что секулярность $e^{ikt}$ устранимая ($T^{-1}_{z,k}(e^{ikt})\in L_{2,\gamma}(R_+)$), в то время как секулярность $e^{-ikt}$ неустранимая ($T^{-1}_{z,k}(e^{-ikt})\notin L_{2,\gamma}(R_+)$). Это приводит в методе Фурье к препятствиям построения аннигиляторов секулярных членов соответствующей проекции (например $u$-проекции): $$ \sqrt{v_e}v_k^0+\sqrt{z_e}z_k^0=0,\quad \sqrt{w_e}w_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0=0,\quad k\in Z_0.\eqno(11) $$ Такие препятствия не позволяют построить решение задачи для любых начальных данных, периодических возмущений положения равновесия. Начальные данные, для которых выполнены условия (11), будем называть регулярными для системы (6). \proclaim{Теорема 5.1} Пусть выполнено {\rm (5)}, $\sigma>1$ и $$ |||\{u_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{v_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{w_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma} +|||\{z_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}<\infty. $$ Тогда для регулярного возмущения системы {\rm (6)} существует взаимно однозначная линейная замена независимых переменных, которая переводит нелинейную интегро-дифференциальную Фурье-систему в алгебраическую. Эта система имеет единственное глобальное решение, экспоненциально быстро стабилизирующееся к нулю. Справедлива оценка $$ \multline \|\{u_k, v_k, w_k, z_k\}\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_{\sigma-1})} \\ \le C_0 (|||\{u_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma} +|||\{v_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma} +|||\{w_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{z_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}), \endmultline $$ где $C_0>0$. \endproclaim Покажем, что нарушение второго условия препятствия $$ \sqrt{w_e}w_k^0+\sqrt{u_e}u_k^0\ne0 $$ хотя бы для одного $k\in Z_0$ порождает неустойчивость положения равновесия. Нерегулярное периодическое возмущение положения равновесия приводит к рождению бегущей волны. \proclaim{Теорема 5.2} Пусть выполнено {\rm (5)}, $\sigma>2$ и справедливо одно условие препятствия $u$-проекции $$ \sqrt{z_e}z_k^0+\sqrt{v_e}v_k^0=0,\quad k\in Z_0, $$ {\rm (}один первый интеграл{\rm )}, в то время как $$ q^-_{w,k}=\sqrt{u_e}u_k^0+\sqrt{w_e} w_k^0\ne 0 $$ хотя бы для одного $k\in Z_0.$ Тогда заменой $$ \sqrt{u_e} u_k=(u_k^0-N_k) e^{- K_e t}+N_k e^{-ikt}+ S^+_k T^{-1}_{u,k}(e^{ikt})+T^{-1}_{u,k} \bigl({\Cal X}^{(2)}_k\bigr),\quad {\Cal X}^{(2)}_k\in L_{2,\gamma}(R_+) $$ Фурье-система $u$-проекции приводится к виду $$ T_{u,k}\bigl(\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\bigr) ={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q Q^{(1)}_k(u,u), $$ $$ {\Cal F}^{(2)}_{u,k}={\Cal F}^{(1)}_{u,k}-2\big({\partial}_tS^+_k T^{- 1}_{X,k}(e^{ikt})+(ik+ K_e) S^+_k T^{-1}_{X,k}(e^{ikt})\big). $$ Квадратичная форма имеет следующий вид: $$ \multline Q^{(1)}_k(u,u)=\sum\limits_{k_1+k_2=k} \bigggl\{ \bigggl( F_{z,k_1} +G_{z,k_1}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1} \\ -2ik_1 \int_0^t e^{ik_1(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1} \,ds \bigggr) q^- _{w,k_2} e^{-ik_2t}\bigggr\}\in L_{2\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma), \endmultline $$ для любого $ \bigl\{{\Cal X}^{(2)}_{k}\bigr\}\in W^1_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$. \endproclaim Как видим, квадратичная форма $Q^{(1)}_k(u,u)$ линейна относительно независимой переменной $ \bigl\{{\Cal X}^{(2)}_{k}\bigr\}$. Это снимает проблемы слабой сходимости. Для регулярного процесса имеем $q^-_{w,k_2}=0$, что аннулирует квадратичную часть. Линейной заменой $\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k=T^{-1}_{u,k}(\sqrt{u_e} {\Cal Y}_k)$ приходим к алгебраическому уравнению $$ \sqrt{u_e} {\Cal Y}_k={\Cal F}^{(1)}_{u,k}. $$ \proclaim{Теорема 5.3} Пусть $\sigma>2$, выполнены условия теоремы~{\rm 5.2} и $$ q (|||\{u_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{v_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma} +|||\{w_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{z_k^0\}|||_{{\Cal H}_\sigma}) $$ достаточно мало. Тогда нерегулярное периодическое возмущение положения равновесия одномерной модели Бродуэлла стабилизируется к бегущей волне экспоненциально быстро. \endproclaim \medskip {\bf 5.1. Оператор $L_{BD}$ уничтожения-рождения.} Перейдем к доказательству теорем~5.2 и~5.3. Вопрос в том, как выделить бегущую волну стабилизации нерегулярного возмущения. Попробуем <<уравновесить>> вторую и первую компоненты с групповой скоростью $c=1$. Введем оператор $$ L_{BD}u_k=u_k+2ik e^{ikt}\int_0^t e^{ik(t-s)} u_k \,ds. $$ Заметим, что $$ L_{BD}(e^{-ikt})=e^{-2iks}+2ik \int_0^t e^{-2iks} \,ds=e^{ikt},\eqno(12) $$ т.~е. неустранимая секулярность переходит в устранимую. Сделаем замену $$ \sqrt{u_e} {\Cal X}_k=N_{k,u} e^{ikt}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k $$ с неизвестной амплитудой $N_{u,k}$ в уравнениях состояния и в уравнении для ${\Cal X}_k$-компоненты. В~силу (12) получим $$ T_{u,k}(N_{k,u} e^{ikt})= (z_e+v_e) N_{k,u}e^{-ikt}+ (w_e+u_e) N_{k,u} e^{ikt}. $$ Отсюда в переменной ${\Cal X}^{(1)}_k$ имеем $$ \multline T_{u,k}\bigl(\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\bigr)+ (z_e+v_e) N_{k,u}e^{-ikt}+ (w_e+u_e) N_{k,u} e^{ikt} \\ = d^+_ke^{ikt} +z_eq^-_{w,k} e^{-ikt}+{\Cal F}^{(1)}_{u,k}+q Q^{(1)}_k(u,u). \endmultline $$ Выбираем $N_{k,u}$ из условия $$ (w_e+u_e) N_{k,u}=z_eq_{w,k}^-. $$ Тогда в переменной ${\Cal X}^{(1)}_k$ $$ \sqrt{z_e} z_k=F_{z,k} +(q_{z,k}^+- N_{u,k}) e^{ikt}- \sqrt{u_e}{\Cal X}^{(1)}_k -2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\,ds, $$ $$ \sqrt{v_e}v_k=F_{v,k}+(q_{v,k}^+ + N_{u,k}) e^{ikt}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k+2ik\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\,ds, $$ $$ \sqrt{w_e}w_k= \frac{v_e}{z_e+v_e} q^-_{w,k} e^{-ikt}-F_{u,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k, $$ $$ \sqrt{w_e}u_k=\frac{z_e}{z_e+v_e} e^{-ikt}+F_{u,k}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k. $$ Получили золотое сечение в распределении секулярности $e^{-ikt}$ по компонентам $w_k$, $u_k$. В~другой группе компонент $v_k$, $z_k$ ее нет. Уравнение для ${\Cal X}^{(1)}_k$-компоненты $$ \multline T_{u,k}\bigl(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(1)}_k\bigr)+ (w_e+u_e) N_{k,u} e^{ikt}=d^+_ke^{ikt}+{\Cal F}^{(1)}_{u,k} \\ +q \sum\limits_{k_1+k_2=k} \bigggl\{ \bigggl(- N_{k,u} e^{ik_1t}+F_{z,k_1} -\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_{k_1} \\ -2ik_1 \int_0^t e^{ik_1(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_{k_1} \,ds\bigggr)q^-_{w,k_2} e^{-ik_2t}\bigggr\}, \endmultline $$ $$ \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k\bigr|_{t=0} =\sqrt{u_e} X^{(1)}_k\bigr|_{t=0}-N_{u,k},\quad k\in Z_0. $$ В~линейной части базового уравнения осталась только устранимая секулярность. \medskip {\bf 5.2. Аннигиляция устранимой секулярности.} Сделав замену (для аннигиляции устранимой секулярности) $$ \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(1)}_k={\Cal X}^{(1)}_k\bigr|_{t=0} e^{- K_e t}+S_k^+T^{- 1}_{u.k}(e^{ik t}) +\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k, $$ получим $$ \multline \sqrt{z_e} z_k=F^{(1)}_{z,k}- \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k} e^{ikt} -\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k \\ -2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} \bigl(R_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s})+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k)\bigr)\,ds, \endmultline $$ $$ F^{(1)}_{z,k}=F_{z,k}+S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})-\frac{2ik}{ K_e+ik} N_{u,k} e^{- K_e t}. $$ $$ \multline \sqrt{v_e} v_k=-F^{(1)}_{z,k}+ \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k} e^{ikt} -\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k \\ -2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} \bigl(S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s})+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k)\bigr)\,ds, \endmultline $$ $$ F^{(1)}_{z,k}=F_{z,k}+S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})-\frac{2ik}{ K_e+ik} N_{u,k} e^{- K_e t}. $$ Выделим секулярность из интеграла $$ -2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s}) \,ds. $$ В~силу оператора $T_{u,k}$ имеем $$ \multline S_k^+ e^{ik t}=T_{u.k}T^{-1}_{u.k}(S_k^+ e^{ik t})= 2ik(w_e+u_e) \int_0^te^{ik(t-s)} S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s})\,ds \\ +\frac{d}{dt}\sqrt{u_e}S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})+(ik+K_e) S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t}). \endmultline $$ Следовательно, $$ -2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik s}) \,ds=-\frac{1}{u_e+w_e} S_k^+ e^{ik t}+G^{(1)}_k, $$ $$ G^{(1)}_k=\frac{1}{u_e+w_e} \left(\frac{d}{dt}\sqrt{u_e}S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})+(ik+K_e) S_k^+T^{-1}_{u.k}(e^{ik t})\right). $$ Отсюда $$ \multline \sqrt{z_e} z_k=F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_k+ \left(-\frac{1}{u_e+w_e} S_k^+ + \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k}\right) e^{ikt} \\ -\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k -2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds, \endmultline $$ $$ \multline \sqrt{v_e} v_k=-F^{(1)}_{z,k}-G^{(1)}_k- \left(-\frac{1}{u_e+w_e} S_k^+ + \frac{ K_e -ik}{ K_e+ik} N_{u,k}\right) e^{ikt} \\ +\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k +2ik \int_0^t e^{ik(t-s)} \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds. \endmultline $$ Выберем $S_k^+$ из уравнения $$ -\frac{1}{u_e+w_e} S_k^+ + \frac{ K_e -ik}{K_e+ik} N_{u,k}=0, $$ аннулирующего устранимую секулярность в уравнениях состояния и в базовом уравнении для независимой переменной ${\Cal X}^{(2)}_k$. Тогда $$ \sqrt{z_e} z_k=F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_{z,k} -\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k-2ik\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds, $$ $$ \sqrt{v_e} v_k=-F^{(1)}_{z,k}-G^{(1)}_{z,k} +\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k+2ik\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds, $$ $$ F^{(1)}_{z,k}+ G^{(1)}_{z,k}\in L_{2,\gamma}(R_+), $$ $$ \sqrt{w_e}w_k= \frac{v_e}{z_e+v_e} q^-_{w,k} e^{-ikt}-F^{(1)}_{u,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k, $$ $$ \sqrt{u_e}u_k=\frac{z_e}{z_e+v_e} e^{-ikt}+F^{(1)}_{u,k}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k, $$ $$ F^{(1)}_{u,k}=F_{u,k}+{\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0} e^{- K_e t}+R_k^+T^{- 1}_{u.k_1}(e^{ik_1 s})\in L_{2,\gamma}(R_+). $$ Базовое уравнение $$ \multline T_{u,k}\bigl(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k\bigr)={\Cal F}^{(1)}_{u,k} +q \sum\limits_{k_1+k_2=k} \bigggl\{ \bigggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1} -\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1} \\ -2ik_1\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}\,ds \bigggr)q^-_{w,k_2} e^{-ik_2t}\Biggr\}, \endmultline $$ $$ \sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0}=0,\quad k\in Z_0. $$ Это завершает доказательство теорем 5.1 и~5.2. \medskip {\bf 5.3. Выделение бегущей волны.} Сделаем сборку предельных периодических частей компонент: $$ {\Cal B}(x-t)=\sum\limits_{k\in Z_0} \left(\frac{z_e}{z_e+v_e},0,\frac{v_e}{z_e+v_e},0\right) q^-_{w,k} e^{-ik(x-t)}. $$ Тогда $$ W{\Cal B}(x-t)=(u_e+ q {\Cal B}(x-t)_1, v_e,w_e+q {\Cal B}(x-t)_3,z_e) $$ есть бегущая волна, поскольку $$ \multline z_e {\Cal B}(x-t)_3-v_e {\Cal B}(x-t)_1 =z_e {\Cal B}(x-t)_3-v_e {\Cal B}(x-t)_1 \\ ={\varepsilon}^2 \left(\frac{z_ev_e}{z_e+v_e}-\frac{z_ev_e}{z_e+v_e}\right) \sum\limits_{k\in Z_0} q^-_{w,k} e^{ik(x-t)}=0. \endmultline $$ В~компонентах ${\Cal B}^{(j)}_k$ имеем $$ \sqrt{z_e} z_k={\Cal B}^{(4)}_k+F^{(1)}_{z,k} +G^{(1)}_{z,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k-2ik\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds, $$ $$ \sqrt{v_e} v_k={\Cal B}^{(2)}_k+F^{(1)}_{v,k}-G^{(1)}_{z,k} +\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k+2ik\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k\,ds, $$ $$ \sqrt{w_e}w_k={\Cal B}^{(3)}_k-F^{(1)}_{u,k}-\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k, \quad \sqrt{u_e}u_k={\Cal B}^{(1)}_k+F_{u,k}+\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_k, $$ $$ \multline T_{u,k}(\sqrt{u_e}{\Cal X}^{(2)}_k)={\Cal F}^{(2)}_{u,k} +q \sum\limits_{k_1+k_2=k} \bigggl\{ \bigggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1} -\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1} \\ -2ik_1\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} {\Cal X}^{(2)}_{k_1}\,ds\bigggr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\bigggr\}, \endmultline $$ $${\Cal X}^{(2)}_k\bigr|_{t=0}=0,\quad k\in Z_0. $$ Таким образом, имеем стабилизацию к бегущей волне, если ${\Cal X}^{(2)}_{k}\in L_{2,\gamma}(R_+)$, $k\in Z_0$. Переменная ${\Cal X}^{(2)}_k$ играет роль расстояния до $k$-компоненты бегущей волны. Последняя замена $$ {\Cal X}^{(2)}_{k}=(T_{u,k})^{-1}Y_k, \quad Y_k\in L_{2,\gamma}(R_+),\quad k\in Z_0, $$ сводит базовое уравнение к линейному оператору в $L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$: $$ Y_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q {\Cal Q}_k(Y),\eqno(13) $$ $$ \multline {\Cal Q}_k(Y)=\sum\limits_{k_1+k_2=k} \bigggl\{ \bigggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1} -\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1} \\ -2ik_1\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\bigggr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\bigggr\},\quad k\in Z_0. \endmultline $$ Нулевая мода $$ Y_0=q \bigl(F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0} -\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}Y_0\bigr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k}. \eqno(14) $$ \medskip {\bf 5.4. Усеченная система.} Далее, как обычно (см. [10]), достаточно рассмотреть усеченную систему для $Y^{(m)}_{k}\in L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$, $|k|\le m$, $m\in N$, $$ \gathered Y^{(m)}_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q {\Cal Q}_k(Y^{(m)}), \\ Y^{(m)}_0=q \bigl(F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0} -\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}(Y^{(m)}_0)\bigr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k} \endgathered \tag15 $$ и доказать фундаментальность последовательности итераций $$ {\Cal Y}^{j,m}_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k}+q {\Cal Q}_k({\Cal Y}^{j-1,m}), \quad {\Cal Y}^{0,m}_k={\Cal F}^{(2)}_{u,k}, $$ $$ {\Cal Y}^{(j, m)}_0=q \bigl(F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0} -\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}({\Cal Y}^{(j, m)}_0)\bigr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k}, $$ где $$ \multline {\Cal Q}_k({\Cal Y}^{j-1,m})_k=\sum\limits_{k_1+k_2=k} \bigggl\{ \bigggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1} -\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}{\Cal Y}^{j-1,m}_{k_1}- \\ -2ik_1\int_0^te^{ik(t-s)} \sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1} {\Cal Y}^{j-1,m}_{k_1}\,ds\bigggr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\bigggr\},\quad k\in Z_0. \endmultline $$ Из второго уравнения (15) следует, что $$ (1-q c_1(|||u^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||w^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma})) \|Y^{(m)}_0\|_{L_{2,\gamma}(R_+)} \le q C_1 (|||u^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma}+\dots +|||z^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma}) $$ для достаточно малого $ q (|||u^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||w^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma}). $ \proclaim{Теорема 5.4} Пусть справедливо {\rm (5)}, $\sigma>2$ и достаточно мало $$ q (|||u^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma}+|||w^0_k|||_{{\Cal H}_\sigma}). $$ Тогда последовательность $$ \bigl\{{\Cal Y}^{j,m}_k,\ k\in Z,\ |l|\le m,\ j\in N\bigr\} $$ фундаментальна в $L_{2,\gamma}(R^+, {\Cal H}_\sigma)$. Как следствие получаем сходимость $$ \bigl\{{\Cal Y}^{j,m}_k,\ k\in Z,\ |l|\le m,\ j\in N\bigr\} $$ к решению $$ \bigl\{Y_k^{(m)},\ k\in Z,\ |l|\le m\bigr\} $$ системы {\rm (13), (14)}. Более того, следует покоординатная сходимость $$ \multline Y^{(m)}=\bigl\{Y_k^{(m)},\ |k|\le m,\ Y_k^{(m)}=0,\ |k|>m\bigr\} \\ \to Y^*=\bigl\{(Y_k^*\in L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)),\ k\in Z\bigr\} \ \text{при $m\to\infty$.} \endmultline $$ \endproclaim \medskip {\bf 5.5. Априорная оценка решения задачи Коши системы (13), (14).} Доказательство теоремы~5.4 стандартно (подробности см. в [9,\,10]). Ниже приведем процедуру получения априорных оценок в весовом пространстве на примере базовой оценки для квадратичной формы. Этими замечаниями ограничимся в силу требуемого объема статьи, отсылая за подробностями к упомянутым работам [9,\,10]. \medskip {\bf Базовая априорная оценка квадратичной формы.} Приведем технику доказательства базовой априорной оценки квадратичной формы $$ {\Cal Q}_k(Y)={\Cal Q}^{(0)}_k(Y)+{\Cal Q}^{(1)}_k(Y), $$ $$ \multline {\Cal Q}^{(1)}_k(Y)= \sum\limits_{k_1+k_2=k, |k_1|,|k^2|\le |k|, K-1k_2\ne0} \bigggl\{ \bigggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1} -\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1} \\ -2ik_1\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\bigggr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k_2}\bigggr\}, \endmultline $$ $$ {\Cal Q}^{(0)}_k(Y)=\bigl(F^{(1)}_{z,0}+G^{(1)}_{z,0} -\sqrt{u_e} (T_{u,0})^{-1}Y_{0}\bigr) \frac{z_e+v_e}{v_e} {\Cal B}^{(3)}_{k}. $$ \proclaim{Лемма 5.1} Пусть $\sigma>2$. Тогда для любого $\{Y_k;\,|l|\le m\}\in L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$ выполняется неравенство $$ \multline \int_0^\infty e^{-2\gamma t} |k|^{2\sigma} \bigl|{\Cal Q}^{(1)}_k(Y)\bigr|^2 \,dt\le C_0\bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma} +|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}\bigr) \\ \times\bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+\dots+|||\{z^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+\|\{Y_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)}\bigr). \endmultline $$ \endproclaim \demo{Доказательство} Имеем $$ \allowdisplaybreaks\multline \int_0^\infty e^{-2\gamma t} |k|^{2\sigma} \bigl|{\Cal Q}^{(1)}_k(Y)\bigr|^2 \,dt \\ \le \int_0^\infty e^{-2\gamma t} \bigggl| \sum\limits_{k_1+k_2=k, |k_1|, |k_2|\le |k|, k_1k_2\ne0} \frac1{|k_2|^\sigma} |k_1|^\sigma \bigggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1} \\ -\sqrt{u_e} (T_{u,k_1})^{-1}Y_{k_1} -2ik_1\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\bigggr) \frac{z_e+v_e}{v_e} |k_2|^\sigma \bigl|{\Cal B}^{(3)}_{k_2}\bigr|\bigggr|^2 \,dt \\ +\int_0^\infty e^{-2\gamma t} \bigggl| \sum\limits_{k_1+k_2=k, |k_1|, |k_2|\le |k|, k_1k_2\ne0} \frac1{|k_1|^\sigma} |k_1|^\sigma \bigggl(F^{(1)}_{z,k_1}+G^{(1)}_{z,k_1} -\sqrt{u_e} (T_{u,k_1})^{-1}Y_{k_1} \\ -2ik_1\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k_1}\,ds\bigggr) \frac{z_e+v_e}{v_e} |k_2|^\sigma \bigl|{\Cal B}^{(3)}_{k_2}\bigr|\bigggr|^2 \,dt \\ \le 2 C_\sigma^2 C_1^2 \bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}\bigr) \bigggl\|\bigggl\{F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_{z,k} -\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k} \\ -2ik\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1} Y_{k}\,ds\bigggr\}\bigggr\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)}, \endmultline $$ где $$ C_1=\sum\limits_{k\in Z_0} |k|^{-\sigma}<\infty, $$ если $\sigma>1,$ $|k_1+k_2|^\sigma\le C_\sigma (|k_1|^\sigma+|k_2|^\sigma)$. Из оценок для оператора $T_{u,k}$ следует, что $$ \multline \left\|\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1}Y_{k} +ik\int_0^te^{ik(t-s)}\sqrt{u_e} (T_{u,k})^{-1} Y_{k}\,ds\right\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)} \\ \le C_2\|\{Y_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)} \endmultline $$ и $$ \bigl\|F^{(1)}_{z,k}+G^{(1)}_{z,k}\bigr\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+;{\Cal H}_\sigma)} \le C_2 \bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+ \dots+|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}\bigr). $$ Оценка нулевой моды ${\Cal Q}^{(0)}_k(Y)$ приведена выше. \medskip {\bf 5.6. Априорная оценка итераций.} В~силу полученной выше оценки имеем $$ \multline \int_0^\infty |k|^{2\sigma} \bigl|{\Cal Y}^{j,m}_k\bigr|^2 \,dt\le C_2 \bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma} +\dots+|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}\bigr) \\ +q~C_0\bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma} +|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}\bigr) \\ \times\bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+\dots+|||\{z^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+\|\{{\Cal Y}^{j,m}_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)}\bigr). \endmultline $$ Следовательно, $$ \multline \bigl(1-q~C_0 \bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}\bigr)\bigr) \bigl\|{\Cal Y}^{j,m}_k\bigr\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)} \\ \le \bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+\dots+|||\{z^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+\|\{{\Cal Y}^{j,m}_k\|^2_{L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)}\bigr) \\ \times \bigl(C_2+q~C_0(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}+|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma})\bigr), \endmultline $$ если достаточно мало $ q\bigl(|||\{u^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma} +|||\{w^0_k\}|||^2_{{\Cal H}_\sigma}\bigr). $ Из этой оценки следует ограниченность последовательности итераций в $L_{2,\gamma}(R_+; {\Cal H}_\sigma)$. В~силу этой оценки фундаментальность последовательности итераций и вторая часть теоремы~5.4 доказываются стандартно (см. [9,\,10]). Это завершает доказательство теоремы~5.4. \medskip {\bf 5.7. Аппроксимационное решение.} Из приведенных выше оценок следует слабая сходимость (подробности см. [10]) аппроксимационного решения $$ \widehat{u}^{(m)}(t,x)=u^{(m)}_{0}(t)+\sum\limits_{|k|\le m, k\in {\Cal Z}_0} u^{(m)}_{k}(t) e^{ikx}, $$ $$ \widehat{v}^{(m)}(t,x)=v^{(m)}_{0}(t)+\sum\limits_{|k|\le m, k\in {\Cal Z}_0} v^{(m)}_{k}(t) e^{ikx}, $$ $$ \widehat{w}^{(m)}(t,x)=w^{(m)}_{0}(t)+\sum\limits_{k\in {\Cal Z}_0} w^{(m)}_{k}(t) e^{ikx}, $$ $$ ~\widehat{z}^{(m)}(t,x)=z_{0}^{(m)}(t)+\sum\limits_{|k|\le m; k\in {\Cal Z}_0} z^{(m)}_{k}(t) e^{ikx}, $$ $$ u^{(m)}_{0}(0)=\dots=z^{(m)}_{0}(0)=0. $$ к периодическому возмущению положения равновесия, которое стабилизируется к бегущей волне. Это завершает доказательство теоремы~5.3. \medskip {\bf 5.8. Каскад.} В~общей ситуации, когда не выполнены оба условия препятствия, есть возможность подключения второй проекции для построения Фурье-решения. Для этого начальные данные разбиваются на две группы. Начальное возмущение $$ \gathered n^0_1=u_e+q \sqrt{u_e} \widehat{u}^0,\quad n_2=v_e+q\sqrt{v_e}\widehat{v}^0, \\ n_3=w_e+q \sqrt{w_e} \widehat{w}^0, \quad n^0_4=z_e+q \sqrt{z_e} \widehat{z}^0 \endgathered \tag16 $$ разобьем на два. 1. Для первой группы: $$ n^0_1=u_e+q \sqrt{u_e} \widehat{u}^0,\quad n^0_3=w_e+q \sqrt{w_e} \widehat{w}^0,\quad n^0_4=z_e+q \sqrt{z_e} \widehat{z}^0 $$ выполнено первое начальное условие (11) для $u$-проекции $$ n^0_2=v_e-q \sqrt{z_e} \widehat{z}^0. $$ Для такого начального периодического возмущения решение соответствующей задачи Коши для 1d 4v системы Бродуэлла в общем случае стабилизируется к бегущей волне $SW_1(x-t)$ экспоненциально быстро. 2. Второе начальное условие: $$ n^0_1=n^0_3=n^0_4=0, \quad n^0_2=q (\sqrt{v_e} \widehat{v}^0+\sqrt{z_e} \widehat{z}^0), $$ для которого выполнено второе условие препятствия (11) $$ \sqrt{u_e} \widetilde{u}^0+\sqrt{v_e} \widetilde{w}^0=0 $$ $z$-проекции. Оно рассматривается как возмущение бегущей волны $SW_1(x-t)$. Каскад этих двух решений (решение задачи Коши с начальными данными (16)), если $$ \sqrt{v_e} \widehat{v}^0+\sqrt{z_e} \widehat{z}^0\ne0,\eqno(17) $$ стабилизируется к бегущей волне $SW_2(x+t)$ также экспоненциально быстро. 3. Отметим, что каскад некоммутативен. При справедливости неравенства (17) мы не можем стартовать с $u$-проекции, поскольку не выполнено условие препятствия $u$-проекции. \head 6. Условия устойчивости полинома четной степени\endhead Пусть многочлен $P_{2n}(\xi)$ четной степени $2n$ есть возмущение полинома $$ \bigl(\xi^2+a_1^2\bigr)\cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr) $$ четной степени $$ P_{2n}(\xi)=A_0\bigl(\xi^2+a_1^2\bigr) \cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)+P_{2n-1}(\xi), $$ корни которого чисто мнимые и разные $\pm i a_1, \pm i a_2, \dots,\pm i a_n, a_j\in R$, с расстояниями между ними $$ |a_j-a_k|\ge \mu_0>0,\quad j,k=1,\dots,n,\ j\ne k. $$ Тогда $$ \frac{P_{2n}(\xi)}{\bigl(\xi^2+a_1^2\bigr) \cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)} =A_0+\sum\limits_{j=1}^n \biggl(\frac{A^+_j}{\xi+i a_j}+\frac{A^-_j}{\xi-i a_j}\biggr). $$ Леммы 4.1--4.3 вытекают из следующей леммы. \proclaim{Лемма 6.1} Пусть для полинома $P_{2n}(\xi)$ четной степени $2n$ выполнены сформулированные выше условия. Более того, пусть $$ A_0>0,\quad A^\pm_j>0,\quad j=1,\dots, n. $$ Тогда для $$ \gamma=\frac{A_0}{2K_0 \mu^2}, \quad K_0=\sum\limits_{j=1}^n(A^+_j+A^-_j),\quad \mu\in(0,\mu_0), $$ вещественные части корней $\xi_j$ полинома $P_{2n}(\xi)$ $$ \operatorname{Re} \xi_j<-\gamma,\quad j=1,\dots,2n, $$ для достаточно малого $\mu$. \endproclaim \demo{Доказательство} 1. Вещественная часть $$ \multline \operatorname{Re}\frac{P_{2n}(\xi)} {\bigl(\xi^2+a_1^2\bigr)\cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)} \\ =A_0 +\operatorname{Re} \xi~ \sum\limits_{j=1}^n \biggl(\frac{A^+_j}{(\operatorname{Re}\xi)^2+(\operatorname{Im} \xi+ a_j)^2}+\frac{A^-_j}{(\operatorname{Re}\xi)^2+(\operatorname{Im} \xi- a_j)^2}\biggr)\ge A_0, \endmultline $$ если $\operatorname{Re} \xi>0$. 2. Если $-\gamma< \operatorname{Re} \xi\le0$ и $|\operatorname{Im} \xi \pm a_j|\ge \mu$, $j=1,\dots,n$, то $$ \operatorname{Re}\frac{P_{2n}(\xi)} {\bigl(\xi^2+a_1^2\bigr)\cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)}\ge A_0- \gamma \sum\limits_{j=1}^n \biggl(\frac{A^+_j}{\mu^2}+\frac{A^-_j}{\mu^2}\biggr) = A_0-\frac{\gamma}{\mu^2} K_0=\frac12 A_0. $$ 3. Рассмотрим замыкание непересекающихся областей $(-\gamma<\operatorname{Re} \xi<0$; $|\operatorname{Im} \xi + a_j|<\mu)$, $(-\gamma<\operatorname{Re} \xi<0$; $|\operatorname{Im}\xi-a_j|<\mu)$, $j=1,\dots,n$. Так, для $(-\gamma\le \operatorname{Re} \xi\le 0; |\operatorname{Im} \xi - a_1|\le \mu)$ имеем $$ \frac{(\xi-ia_1)P_{2n}(\xi)} {\bigl(\xi^2+a_1^2\bigr)\cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)} \biggr|_{\xi=ia_1} =\frac{P_{2n}(\xi)}{(\xi+ia_1)\bigl(\xi^2+a_2^2\bigr) \cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)}\biggr|_{\xi=ia_1}=A^-_1. $$ Следовательно, $$ \multline \left|\frac{(\xi-ia_1)P_{2n}(\xi)} {\bigl(\xi^2+a_1^2\bigr)\cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)} \right|\ge A^-_1 -\Biggl|\frac{d}{d\xi}\Biggl(A_0(\xi-ia_1)+\sum\limits_{j=2}^n \biggl(\frac{A^+_j(\xi-ia_1)}{\xi+i a_j} \\ +\frac{A^-_j(\xi-ia_1)}{\xi-i a_j}+\frac{A^+_1(\xi-ia_1)}{\xi+i a_1}\biggr)\Biggr|_{\xi=\xi^*} |\xi-ia_1| \endmultline $$ для $\xi^*\in (-\gamma\le\operatorname{Re} \xi\le0; |\operatorname{Im} \xi - a_1|\le\mu)$. Теперь заметим, что для $j\ne1$ $$ \multline \biggl|\frac{d}{d\xi}\frac{A^-_j(\xi-ia_1)}{\xi-i a_j}\biggr|= \frac{A^-_j}{|\xi-i a_j|}+\frac{A^-_j |\xi-ia_1|}{|\xi-i a_j|^2} \\ \le \frac{A^-_j}{|a_j+a_1|-\mu-\gamma} +\frac{A^-_j (\gamma+\mu)}{(|a_j-a_1|-\mu-\gamma)^2}\le \frac{A^-_j}{\mu_0-\mu-\gamma}+\frac{A^-_j (\gamma+\mu)}{(\mu_0-\mu-\gamma)^2}. \endmultline $$ Так же получим $(j\ne1)$ $$ \multline \biggl|\frac{d}{d\xi}\frac{A^+_j(\xi-ia_1)}{\xi+i a_j}\biggr|= \frac{A^+_j}{|\xi+i a_j|}+\frac{A^+_j |\xi-ia_1|}{|\xi+i a_j|^2} \\ \le \frac{A^+_j}{(a_j+a_1)-\mu-\gamma} +\frac{A^+_j (\gamma+\mu)}{((a_j+a_1)-\mu-\gamma)^2}. \endmultline $$ Отсюда $$ \multline \left|\frac{(\xi-ia_1)P_{2n}(\xi)} {\bigl(\xi^2+a_1^2\bigr)\cdots\bigl(\xi^2+a_n^2\bigr)}\right|\ge A^-_1-\frac\mu{\mu_0} \sum\limits_{j=1}^n \biggl(\frac{A^-_j}{1-\frac{\mu+\gamma}{\mu_0}} +\frac{A^-_j (\gamma+\mu)}{\mu_0 \bigl(1-\frac{\mu+\gamma}{\mu_0}\bigr)^2}\biggr) \\ -\frac\mu{(a_j+a_1)} \sum\limits_{j=1}^n \biggl(\frac{A^+_j}{1-\frac{\mu+\gamma}{(a_j+a_1)}} +\frac{A^+_j (\gamma+\mu)}{(a_j+a_1) \bigl(1-\frac{\mu+\gamma}{(a_j+a_1)}\bigr)^2}\biggr) \\ -\frac\mu{2a_1} \biggl(\frac{A^+_1}{1-\frac{\mu+\gamma}{2a_1}}+\frac{A^+_1 (\gamma+\mu)}{2a_1 \bigl(1-\frac{\mu+\gamma}{2a_1}\bigr)^2}\biggr)\ge \frac12 A_1^- \endmultline $$ для достаточно малого $\mu/\mu_0$. Это завершает доказательство. \head Заключение\endhead Проведенный анализ двух-, трех-, четырех-, шести- и девяти-скоростных моделей дискретной кинетики установил возникновение в их одномерных моделях (на <<кресте>>) с ростом числа групповых скоростей цепочки инвариантных решений, так что периодические возмущения предыдущего экспоненциально быстро стабилизируются к последующему. Такой анализ дает надежду на выяснение взаимосвязи дискретной кинетики и уравнения Больцмана. Групповой анализ дискретных моделей позволит выделить бесконечную упорядоченную цепочку инвариантных решений при неограниченном росте числа групповых скоростей. Более того, существование в каком-то смысле предела для этой цепочки, возможно, даст адекватное описание тонких кинетических эффектов, таких как ударные волны. %} \Refs \ref\no 1 \by Boltzmann~L. \book Lectures on gas theory \publ Univ. California Press \publaddr Berkeley \yr 1964 \endref \ref\no 2 \by Веденяпин~В.~В. \book Кинетические уравнения Больцмана и Власова \publaddr М. \publ Физматлит \yr 2001 \endref \ref\no 3 \by Euler~N., Steeb~W.-H. \paper Painleve test and discrete Boltzmann equations \jour Aust. J. Phys. \vol 42 \pages 1--10 \yr 1989 \endref \ref\no 4 \by Линдблом~О., Эйлер~Н. \paper Решение уравнения Больцмана для дискретных скоростей при помощи уравнений Бейтмена и Риккати \jour Теорет. и мат. физика \vol 131 \pages 179--192 \yr 2002 \endref \ref\no 5 \by Карлеман~Т. \book Математические задачи кинетической теории газов \publaddr М. \publ Изд-во иностр. лит. \yr 1960 \endref \ref\no 6 \by Broadwell~J.~E. \paper Shock structure in a simple discrete velocity gas \jour Phys. Fluids \vol 7 \pages 1243--1247 \yr 1964 \endref \ref\no 7 \by Broadwell~J.~E. \paper Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method \jour J. Fluid Mechanics \vol 19 \pages 401--414 \yr 1964 \endref \ref\no 8 \by Ильин~О.~В. \paper Симметрии и инвариантные решения одномерного уравнения Больцмана для неупругих столкновений \jour Теорет. и мат. физика \vol 186 \issue 2 \pages 221--229 \yr 2016 \endref \ref\no 9 \by Радкевич~Е.~В., Васильева~О.~А., Духновский~С.~А. \paper О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова~--- Султангазина \jour Современная математика. Фундаментальные направления \vol 60 \pages 1--58 \yr 2016 \endref \ref\no 10 \by Radkevich~E.~V., Vasil'eva~O.~A., Dukhnovskii~S.~A. \paper Local equilibrium of the Carleman equation \jour J. Math. Sci. \vol 207 \issue 2 \yr 2015 \endref в 10 надо указать страницы. \endRefs \enddocument