\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Matveeva \Initial I. \Initial I. \ORCID 0000-0002-9390-2702 \Email matveeva.ii\@yandex.ru \AffilRef 1 \AffilRef 2 \Corresponding \endAuthor \Author Khmil' \Initial A. \Initial V. \Email khmilarseniy\@mail.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Novosibirsk State University \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \Affil 2 \Organization Sobolev Institute of Mathematics \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted February 14, 2026\enddatesubmitted %\daterevised February 14, 2026\enddaterevised \dateaccepted March 10, 2026\enddateaccepted \UDclass 517.929.4 \endUDclass \thanks Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение №~075--15--2025--349 с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации. %The work is supported by the Mathematical Center in Akademgorodok under Agreement %075--15--2025--349 with the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation. \endthanks \dedication Посвящается нашему Учителю профессору Демиденко Геннадию Владимировичу. \enddedication \title Асимптотическая устойчивость решений нелинейных разностных уравнений с~переменным запаздыванием и~периодическими коэффициентами в~линейных членах \endtitle \abstract Рассматривается класс систем нелинейных разностных уравнений с переменным запаздыванием и периодическими коэффициентами в линейных членах. Исследована асимптотическая устойчивость нулевого решения, получена оценка на множество притяжения нулевого решения и установлены оценки, характеризующие скорости стабилизации решений систем на бесконечности. При получении результатов используется функционал Ляпунова~--- Красовского специального вида. \endabstract \keywords разностные уравнения с запаздыванием, периодические коэффициенты, функционал Ляпунова~-- Красовского, оценки решений, скорость стабилизации \endkeywords \endtopmatter \head %1. Введение \endhead В работе рассматриваются системы разностных уравнений с периодическими коэффициентами в линейных членах следующего вида: $$ x_{n + 1} = A(n)x_n + B(n)x_{n - \tau(n)} + F(n, x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}), \quad n = 0,1,\dots, \eqno(0.1) $$ где $\{A(n)\}$ и $\{B(n)\}$~--- последовательности $N$-периодических матриц размера $m \times m$, т.~е. $$ A(n+N) = A(n), \quad B(n+N) = B(n), \quad n = 0,1,\dots, $$ $\tau(n) \in {\Bbb N}$~--- запаздывание, $1 \le \tau(n) \le \tau < \infty$, $F(n, u_0, u_1, \dots, u_{\tau})$~--- вектор-функция, удовлетворяющая оценке $$ \|F(n, u_0, u_1, \dots, u_{\tau})\| \le q\|u_0\|^{1+\omega}, \quad u_j \in {\Bbb C}^{m}, \ j = 0,1,\dots,\tau, \ n = 0, 1, \dots, \eqno(0.2) $$ $\omega, q > 0$. Цель работы~--- изучение асимптотической устойчивости нулевого решения систем вида \Tag(0.1) и получение оценок решений $\{x_n\}$, характеризующих скорость стабилизации при $n \to \infty$. Хорошо известно, что разностные уравнения с запаздыванием используются при моделировании различных процессов в биологии, химии, экономике, социологии и др. Одной из важных является проблема устойчивости решений возникающих уравнений и систем. Последние 30 лет проводятся активные исследования этой проблемы для различных классов разностных уравнений с запаздыванием (см., например, [1--14] и ссылки в этих работах). При изучении устойчивости применяются аналоги методов, используемых в теории функционально-дифференциальных уравнений (спектральные методы, метод неравенств типа Халаная, метод функций Ляпунова и функционалов Ляпунова~--- Красовского, построение решения в операторном виде, установление связей между обыкновенными дифференциальными уравнениями и разностными уравнениями с запаздыванием и т.~д.). В настоящее время крайне мало работ, в которых рассматриваются нелинейные разностные уравнения с переменным запаздыванием. Системы вида \Tag(0.1) с постоянными коэффициентами ($A(n) \equiv A, \, B(n) \equiv B$) рассматривались в~[15,\,16]. С использованием функционала Ляпунова~--- Красовского специального вида в~[15] исследовалась устойчивость нулевого решения в линейном случае ($F(n, u_0, u_1, \dots, u_{\tau}) \equiv 0$), в~[16]~--- в нелинейном случае. Системы вида \Tag(0.1) с $N$-периодическими коэффициентами в линейных членах рассматривались в~[17,\,18]. В~[17] изучалась асимптотическая устойчивость нулевого решения линейных систем ($F(n, u_0, u_1, \dots, u_{\tau}) \equiv 0$), в~[18]~--- квазилинейных систем ($\omega = 0$). В данной работе изучается более сложный нелинейный случай ($\omega > 0$). При проведении исследований мы будем использовать функционал Ляпунова~--- Красовского $$ v(n, x) = \langle H(n)x_n, x_n \rangle + \sum_{j=n-\tau}^{n-1}\langle K_{n-j-1}x_j, x_j \rangle, \eqno(0.3) $$ где $H(n) = H(n + N)$, $K_0$, $K_1, \dots, K_{\tau - 1}$~--- некоторые эрмитовы положительно определенные матрицы. Этот функционал был предложен в~[17] и является дискретным аналогом функционала Ляпунова~--- Красовского $$ \align &\langle H(t) y(t),y(t) \rangle + \int\limits_{t-\tau}^{t} \langle K(t-s)y(s),y(s) \rangle \,ds, \\ &H(t) = H^*(t) > 0, \quad K(s) = K^*(s) > 0, \quad s \in [0, \tau], \endalign $$ введенного в~[19] для исследования асимптотической устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими коэффициентами в линейных членах~[20] $$ \frac{d}{dt}y(t) = A(t)y(t) + B(t)y(t-\tau) + F(t, y(t), y(t-\tau)), \quad t > 0, $$ где $A(t)$ и $B(t)$~--- матрицы с $T$-периодическими коэффициентами. Используя функционал \Tag(0.3), мы установим оценку на множество притяжения нулевого решения нелинейных систем вида \Tag(0.1) и получим оценку на скорость стабилизации решений этих систем на бесконечности. В первом параграфе содержатся вспомогательные результаты, которые будут использоваться во втором параграфе при получении основных результатов. \head 1. Предварительные сведения \endhead Рассмотрим линейную систему разностных уравнений с запаздыванием и периодическими коэффициентами $$ x_{n + 1} = A(n)x_n + B(n)x_{n - \tau(n)}, \quad n = 0, 1, 2,\dots, \eqno(1.1) $$ где $\{A(n)\}$ и $\{B(n)\}$~--- последовательности $N$-периодических матриц размера $m \times m$, $\tau(n) \in {\Bbb N}$~--- запаздывание, $1 \le \tau(n) \le \tau<\infty$. Очевидно, эту систему можно записать в виде следующей системы линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами: $$ x_{n+1}=A(n)x_{n} + \sum_{j=1}^{\tau} B_{j}(n) x_{n-j}, \quad n = 0, 1, \dots, \eqno(1.2) $$ где $$ B_j(n)= \cases B(n) &\text{при } j = \tau(n), \\ 0 &\text{при } j \neq\tau(n). \endcases \eqno(1.3) $$ При изучении асимптотической устойчивости нулевого решения системы \Tag(1.2) в~[17] использовался функционал Ляпунова~--- Красовского \Tag(0.3). Были установлены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы \Tag(1.2), а следовательно, и \Tag(1.1), при этом также получена оценка на скорость убывания решения $\{x_n\}$ системы \Tag(1.1) с заданными начальными условиями $$ x_0, \ x_{-1}, \dots, x_{-\tau} \eqno(1.4) $$ при $n \to \infty$. Приведем соответствующие результаты из работы~[17]. Всюду далее $S>0$ $(S<0)$ означает, что $S$~--- эрмитова положительно (отрицательно) определенная матрица. \proclaim{Theorem 1 \rm [17]} Предположим, что существуют эрмитовы положительно определенные матрицы $$ H(n), \quad K_{j}, \quad j=0, 1, \dots, \tau, $$ такие, что $$ H(n) = H(n+N), \quad \Delta_j = K_{j-1} - K_j > 0, \quad j = 1, \dots, \tau, $$ и составные матрицы $$ C(n) =- \pmatrix C_{00}(n) & A^*(n)H(n+1)B_1(n) & \dots & A^*(n)H(n+1)B_{\tau}(n) \\ B_1^*(n)H(n+1)A(n) & C_{11}(n) & \dots & B_1^*(n)H(n+1)B_{\tau}(n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{\tau}^*(n)H(n+1)A(n) & B_{\tau}^*(n)H(n+1)B_1(n) & \dots & C_{\tau \tau}(n) \\ \endpmatrix \eqno(1.5) $$ с элементами $$ \align C_{00}(n) &= A^*(n)H(n+1)A(n)-H(n) + K_0, \\ C_{jj}(n) &= B_j^*(n)H(n+1)B_j(n) - \frac{1}{2}\Delta_j, \quad j = 1, \dots, \tau-1, \\ C_{\tau \tau}(n) &= B_{\tau}^*(n)H(n+1)B_{\tau}(n) - K_{\tau}, \endalign $$ положительно определены. Тогда нулевое решение системы \Tag(1.1) асимптотически устойчиво. \endproclaim Из условий на $A(n)$, $B(n)$, $\tau(n)$ вытекает, что количество различных матриц $C(n)$ конечно. Следовательно, при выполнении условий \Par*{Theorem 1} существует константа $c_1>0$ такая, что для любого $n \in {\Bbb N}$ справедлива оценка $$ \biggglangle C(n) \pmatrix u_0 \\ \vdots \\ u_\tau \endpmatrix , \pmatrix u_0 \\ \vdots \\ u_\tau \endpmatrix \bigggrangle \ge c_1 \sum_{i=0}^{\tau} \|u_i \|^2, \quad u_i \in {\Bbb C}^m. \eqno(1.6) $$ \proclaim{Theorem 2 \rm [17]} Предположим, что выполнены условия \Par*{Theorem {\rm 1}}. Пусть $\varkappa_j \in (0, 1)$, $j = 1, 2, \dots, \tau$, такие, что $$ -\frac{1}{2} \Delta_i +\varkappa_i K_{i-1} \le 0, \ i=1,\dots,\tau-1, \quad -\Delta_{\tau} + \varkappa_{\tau} K_{\tau-1} \le 0. \eqno(1.7) $$ Тогда для решения начальной задачи \Tag(1.1), \Tag(1.4) справедлива оценка $$ \align &{\|x_n\|} \le \Biggl[ (h_1(n))^{-1}\prod_{j=0}^{m-1}(1-\varepsilon_j) \varepsilon^k v(0,x)\Biggr]^{1/2}, \tag1.8 \\ &n = kN+m, \quad m = 1, \dots, N, \quad k = 0, 1, \dots, \endalign $$ где $h_1(n)>0$~--- минимальное собственное значение матрицы~$H(n)$, \iftex $$ \align &v(0,x) = \langle H(0)x_0, x_0 \rangle + \sum_{j=-\tau}^{-1}\langle K_{-j-1}x_{j},x_{j} \rangle, \tag1.9 \\ &\varepsilon_j = \min \Bigl\{\varkappa_1,\dots,\varkappa_{\tau}, \frac{c_1}{\|H(j)\|}\Bigr\}, \quad 0 < \varepsilon_j < 1, \quad \varepsilon = \prod_{j=0}^{N-1}(1-\varepsilon_j). \tag1.10 \endalign $$ \else $$ v(0,x) = \langle H(0)x_0, x_0 \rangle + \sum_{j=-\tau}^{-1}\langle K_{-j-1}x_{j},x_{j} \rangle, \tag1.9 $$ $$ \varepsilon_j = \min \Bigl\{\varkappa_1,\dots,\varkappa_{\tau}, \frac{c_1}{\|H(j)\|}\Bigr\}, \quad 0 < \varepsilon_j < 1, \quad \varepsilon = \prod_{j=0}^{N-1}(1-\varepsilon_j). \tag1.10 $$ \fi \endproclaim В предположении, что выполнены условия \Par*{Theorem 1}, с использованием функционала \Tag(0.3) в следующем параграфе сформулируем и докажем основные результаты работы. \head 2. Основные результаты \endhead Рассмотрим нелинейную систему разностных уравнений вида \Tag(0.1). Поскольку запаздывание ограничено, систему \Tag(0.1) можно записать в виде $$ x_{n+1} = A(n)x_{n} + \sum_{j=1}^{\tau} B_{j}(n) x_{n-j}+F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}), \quad n=0,1,\dots, \eqno(2.1) $$ где матрицы~$B_j(n)$ определены в \Tag(1.3). Рассмотрим для системы \Tag(2.1) начальную задачу с заданными начальными условиями $$ x_0, \ x_{-1}, \dots, x_{-\tau}, \quad x_j \in {\Bbb C}^n. \eqno(2.2) $$ Будем предполагать, что выполнены условия \Par*{Theorem 1}. Для формулировки результатов введем следующие обозначения: \iftex $$ \align &\aligned \Lambda_0 &= 1-\varepsilon_0+2q\|H(1)\|\|A(0)\|(h_1(0))^{-1- \omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(1)\|\Bigl(\frac{\|H(1)\|\|B(0)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(0))^{-1-\omega}(v(0,x))^{\omega}, \endaligned \tag2.3 \\ &\aligned \Lambda_j &= 1-\varepsilon_j+2q\|H(j+1)\|\|A(j)\| (h_1(j))^{-1-\omega/2}M_{j-1}^{\omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(j+1)\|\Bigl(\frac{\|H(j+1)\|\|B(j)\|^2}{c_1}+1\Bigr) %\\\times (h_1(j))^{-1-\omega}M_{j-1}^{\omega}(v(0,x))^{\omega}, \ j = 1, 2 \dots , %\?, перед \dots \endaligned \tag2.4 \\ &M_j = \prod_{k = 0}^j \Lambda_k, \quad M = M_{N-1} = \Lambda_0\Lambda_1\cdots \Lambda_{N-1}, \tag2.5 \endalign $$ \else $$ \gathered \Lambda_0 = 1-\varepsilon_0+2q\|H(1)\|\|A(0)\|(h_1(0))^{-1- \omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ \qquad+q^2\|H(1)\|\Bigl(\frac{\|H(1)\|\|B(0)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(0))^{-1-\omega}(v(0,x))^{\omega}, \endgathered \tag2.3 $$ $$ \gathered \Lambda_j = 1-\varepsilon_j+2q\|H(j+1)\|\|A(j)\| (h_1(j))^{-1-\omega/2}M_{j-1}^{\omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ +q^2\|H(j+1)\|\Bigl(\frac{\|H(j+1)\|\|B(j)\|^2}{c_1}+1\Bigr) %\\\times (h_1(j))^{-1-\omega}M_{j-1}^{\omega}(v(0,x))^{\omega}, \quad j = 1, 2 \dots , %\?, перед \dots \endgathered \tag2.4 $$ $$ M_j = \prod_{k = 0}^j \Lambda_k, \quad M = M_{N-1} = \Lambda_0\Lambda_1\cdots \Lambda_{N-1}, \tag2.5 $$ \fi где $h_1(j)>0$~--- минимальное собственное значение матрицы $H(j)$, $c_1$, $v(0,x)$, $\varepsilon_j$ определены в \Tag(1.6), \Tag(1.9), \Tag(1.10) соответственно. Поскольку $0 < \varepsilon_j < 1$ и $v(0,x) \ge 0$, то $\Lambda_j > 0$. Имеет место следующее утверждение. \proclaim{Theorem 3} Предположим, что выполнены условия \Par*{Theorem {\rm1}}. Тогда нулевое решение системы \Tag(2.1) асимптотически устойчиво и множество $$ {\Cal E} = \bigl\{x_0,\dots, x_{-\tau}\in {\Bbb C}^m: M < 1\bigr\} \eqno{(2.6)} $$ является множеством притяжения нулевого решения. При этом для решения задачи \Tag(2.1), \Tag(2.2) с начальными условиями из~${\Cal E}$ имеет место оценка $$ \align &{\|x_n\|} \le \Biggl[ (h_1(n))^{-1} \prod^{m-1}_{j=0}\Lambda_j M^k v(0,x) \Biggr]^{1/2}, \tag2.7 \\ &n = kN+m, \quad m = 1, \dots, N, \quad k = 0,1,\dots\,. \endalign $$ \endproclaim \demo{Proof} Пусть $\{x_n\}$~--- решение начальной задачи \Tag(2.1), \Tag(2.2). Рассмотрим на этом решении функционал $v(n,x)$, определенный в \Tag(0.3). В силу условий на $H(n)$ и $\{K_j\}$ при $\{x_n\} \neq 0$ имеем $v(n,x)>0$. Рассмотрим разность $v(n+1,x) - v(n,x)$, $n = 0, 1, \dots$. Используя обозначения для матриц $\Delta_j$, получим $$ \align v(n&+1,x) - v(n,x) = \langle H(n+1)x_{n+1}, x_{n+1} \rangle - \langle H(n)x_n, x_n \rangle \\ &+ \sum_{j=n+1-\tau}^{n}\langle K_{n-j}x_{j},x_{j} \rangle - \sum_{j=n-\tau}^{n-1}\langle K_{n-j-1}x_{j},x_{j} \rangle \\ &\qquad= \langle H(n+1)x_{n+1}, x_{n+1} \rangle - \langle H(n)x_n, x_n \rangle + \langle K_{0}x_{n}, x_{n} \rangle \\ &\qquad-(\langle K_0x_{n-1},x_{n-1}\rangle - \langle K_1x_{n-1},x_{n-1}\rangle )-\cdots \\ &\qquad-(\langle K_{\tau - 1}x_{n-\tau},x_{n-\tau}\rangle-\langle K_{\tau}x_{n- \tau},x_{n-\tau}\rangle ) - \langle K_\tau x_{n-\tau},x_{n-\tau}\rangle \\ &\qquad=\langle H(n+1)x_{n+1}, x_{n+1} \rangle - \langle H(n)x_n, x_n \rangle \\ &+ \langle K_0x_n,x_n \rangle -\sum_{j=n-\tau}^{n-1}\langle \Delta_{n-j} x_{j},x_{j} \rangle -\langle K_{\tau}x_{n-\tau}, x_{n-\tau} \rangle. \endalign $$ Учитывая, что $\{x_n\}$ является решением задачи \Tag(2.1), \Tag(2.2), имеем $$ \align v(n&+1,x) - v(n,x) = \langle A^*(n)H(n+1)A(n)x_n, x_n \rangle - \langle H(n)x_n, x_n \rangle + \langle K_{0}x_{n},x_{n} \rangle \\ &+ \sum_{j=1}^{\tau}\langle A^*(n)H(n+1)B_j(n)x_{n-j}, x_{n} \rangle + \sum_{j=1}^{\tau} \langle B_j^*(n)H(n+1)A(n)x_n, x_{n-j} \rangle \\ &+ \sum_{j, i=1}^{\tau}\langle B_j^*(n)H(n+1)B_i(n)x_{n-i}, x_{n-j} \rangle - \sum_{j=n-\tau}^{n-1}\langle\Delta_{n-j} x_{j},x_{j} \rangle - \langle K_{\tau}x_{n-\tau}, x_{n-\tau} \rangle \\ &+ 2 \operatorname{Re} \langle H(n+1)A(n)x_n,F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau})\rangle \\ &+ 2 \sum_{j = 1}^{\tau} \operatorname{Re}\langle H(n+1)B_j(n)x_{n-j},F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}) \rangle \\ &+\langle H(n+1)F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}),F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}) \rangle. \endalign $$ Используя матрицу $C(n)$, заданную в \Tag(1.5), разность $v(n+1,x) - v(n,x)$ можно переписать в виде $$ \aligned v(n+1, x)&-v(n, x)= - \biggglangle C(n) \pmatrix x_n \\ \vdots \\ x_{n-\tau} \endpmatrix, \pmatrix x_n \\ \vdots \\ x_{n-\tau} \endpmatrix \bigggrangle \\ &-\frac{1}{2} \sum_{j=n-\tau+1}^{n-1} \langle \Delta_{n-j} x_{j},x_{j} \rangle - \langle \Delta_{\tau} x_{n-\tau},x_{n-\tau} \rangle + W(n,x), \endaligned \tag2.8 $$ где $$ \align W(n,x) &= 2 \operatorname{Re}\langle H(n+1)A(n)x_n, F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n- \tau})\rangle \\ &\qquad+ 2\sum_{j = 1}^{\tau} \operatorname{Re}\langle H(n+1)B_j(n)x_{n-j}, F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}) \rangle \\ &\qquad+ \langle H(n+1)F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}),F(n,x_n, x_{n-1}, \dots, x_{n-\tau}) \rangle. \endalign $$ Оценим каждое из слагаемых в \Tag(2.8). По условию теоремы все матрицы $C(n)$ являются положительно определенными, при этом выполнена оценка \Tag(1.6). Поскольку $H(n) = H^*(n) > 0$, то $$ c_1 \sum_{i=0}^{\tau} \|x_{n-i} \|^2\ge\frac{c_1}{\|H(n)\|}\langle H(n)x_n,x_n\rangle + c_1 \sum_{i=1}^{\tau} \|x_{n-i} \|^2. \eqno(2.9) $$ Из условий \Tag(1.7) вытекает неравенство $$ \frac{1}{2} \sum_{j=n-\tau+1}^{n-1} \langle \Delta_{n-j} x_{j},x_{j} \rangle + \langle \Delta_{\tau} x_{n-\tau},x_{n-\tau} \rangle \ge \sum_{j=n-\tau+1}^{n-1} \varkappa_{n-j} \langle K_{n-j-1} x_{j},x_{j} \rangle + \varkappa_{\tau} \langle K_{\tau-1} x_{n-\tau},x_{n-\tau} \rangle. \tag2.10 $$ В силу \Tag(0.2) имеем $$ \aligned |W(n,x)|&\le 2q\|H(n+1)\|\|A(n)\|\|x_n\|^{2+\omega} \\ &\qquad+\Biggl[2q\|H(n+1)\|\|x_n\|^{1+\omega}\sum_{j=1}^{\tau}\|B_j(n)\|\|x_{n-j}\| +q^2\|H(n+1)\|\|x_n\|^{2+2\omega}\Biggr]. \endaligned \tag2.11 $$ Для проведения дальнейших рассуждений воспользуемся вспомогательной леммой. \proclaim{Lemma} Рассмотрим квадратичную форму $$ U = u_0 (\alpha_0u_0+\alpha_1u_1+\dots+\alpha_{\tau}u_{\tau}), \quad u_i \in {\Bbb R}, \ \alpha_i \ge 0. $$ Для любых $\beta_i>0$, $i = 1,\dots, \tau$, имеет место неравенство $$ U \le \beta_0u_0^2+\beta_1u_1^2\dots+ %\?+ перед \dots \beta_\tau u_{\tau}^2, \eqno(2.12) $$ где $$ \beta_0\ge \alpha_0+\frac{\alpha_1^2}{4\beta_1}+\dots+\frac{\alpha_\tau^2}{4\beta_\tau}. $$ \endproclaim Введем следующие обозначения: \iftex $$ \alignat2 &u_0 = \|x_n\|^{1+\omega}, &\quad& u_i=\|x_{n-i}\|, \\ &\alpha_0(n) = q^2\|H(n+1)\|, &\quad& \alpha_i(n) = 2q\|H(n+1)\|\|B_i(n)\|, \quad i =1,\dots, \tau. \endalignat $$ \else $$ u_0 = \|x_n\|^{1+\omega}, \quad u_i=\|x_{n-i}\|, $$ $$ \alpha_0(n) = q^2\|H(n+1)\|, \quad \alpha_i(n) = 2q\|H(n+1)\|\|B_i(n)\|, \quad i =1,\dots, \tau. $$ \fi Применим лемму к выражению, стоящему в квадратных скобках в \Tag(2.11), выбирая $$ \beta_i = c_1, \ i =1,\dots,\tau, \quad \beta_0(n) = \alpha_0(n)+\frac{1}{4c_1}\sum_{i=1}^{\tau}\alpha_i^2(n). $$ Тогда $$ \align 2q\|H(n+1)\|&\|x_n\|^{1+\omega}\sum_{j=1}^{\tau}\|B_j(n)\|\|x_{n- j}\|+q^2\|H(n+1)\|\|x_n\|^{2+2\omega} \\ &\le q^2\|H(n+1)\|\Bigl(\frac{\|H(n+1)\|\|B(n)\|^2}{c_1}+1\Bigr)\|x_n\|^{2+2\omega}+ c_1\sum_{j=1}^{\tau}\|x_{n-j}\|^2. \endalign $$ Следовательно, $$ \align |W(n,x)|&\le 2q\|H(n+1)\|\|A(n)\|\|x_n\|^{2+\omega} \\ &\qquad+q^2\|H(n+1)\|\Bigl(\frac{\|H(n+1)\|\|B(n)\|^2}{c_1}+1\Bigr)\|x_n\|^{2+2\omega} +c_1\sum_{j=1}^{\tau}\|x_{n-j}\|^2. \endalign $$ В силу положительной определенности матриц $H(n)$ и $K_j$ справедливы неравенства $$ v(n,x)\ge \langle H(n)x_n,x_n \rangle\ge h_1(n)\|x_n\|^2, $$ где $h_1(n)>0$~--- минимальное собственное значение матрицы $H(n)$. Следовательно, $$ \aligned |W(n,x)| &\le 2q\|H(n+1)\|\|A(n)\|(h_1(n))^{-1- \alpha}(v(n,x))^{1+\alpha} \\ &\qquad+ q^2\|H(n+1)\|\Bigl(\frac{\|H(n+1)\|\|B(n)\|^2}{c_1}+1\Bigr)(h_1(n))^ {-1-2\alpha}(v(n,x))^{1+2\alpha} \\ &\qquad+ c_1\sum_{j=1}^{\tau}\|x_{n-j}\|^2, \endaligned \tag2.13 $$ где $\alpha = \omega/2$. Учитывая оценки \Tag(2.9), \Tag(2.10), и \Tag(2.13), из \Tag(2.8) получаем $$ \align 0 &\le v(n+1,x) \le v(n,x) -\frac{c_1}{\|H(n)\|}\langle H(n)x_n,x_n\rangle \\ &\qquad\qquad-\sum_{j=n-\tau+1}^{n-1} \varkappa_{n-j} \langle K_{n-j-1}x_j,x_j \rangle - \varkappa_{\tau}\langle K_{\tau-1}x_{n-\tau},x_{n-\tau}\rangle \\ &\qquad+ 2q\|H(n+1)\|\|A(n)\|(h_1(n))^{-1- \alpha}(v(n,x))^{1+\alpha} \\ &\qquad+q^2||H(n+1)\|\Bigl(\frac{\|H(n+1)\|\|B(n)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(n))^{-1-2\alpha}(v(n,x))^{1+2\alpha}. \endalign $$ Используя $\varepsilon_n$, определенное в \Tag(1.10), имеем $$ \align v(n+1,x) &\le v(n,x) - \varepsilon_n \Biggl(\langle H(n)x_n,x_n \rangle + \sum_{j=n-\tau}^{n-1} \langle K_{n-j-1}x_{j},x_{j} \rangle\Biggr) \\ &\qquad+ 2q\|H(n+1)\|\|A(n)\|(h_1(n))^{-1-\alpha}(v(n,x))^{1+\alpha} \\ &\qquad+ q^2\|H(n+1)\|\Bigl(\frac{\|H(n+1)\|\|B(n)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(n))^ {-1-2\alpha}(v(n,x))^{1+2\alpha}. \endalign $$ В силу определения функционала $v(n,x)$ в \Tag(0.3) получаем $$ \aligned v(n+1,x)&\le \biggl(1-\varepsilon_n+2q\|H(n+1)\|\|A(n)\|(h_1(n))^{-1- \alpha}(v(n,x))^{\alpha} \\ &\qquad+ q^2\|H(n+1)\|\Bigl(\frac{\|H(n+1)\|\|B(n)\|^2}{c_1}+1\Bigr) \\ &\qquad\qquad\times (h_1(n))^{-1-2\alpha}(v(n,x))^{2\alpha}\biggr)v(n,x), \quad n = 0, 1, \dots\,. \endaligned \tag2.14 $$ Пусть $n=0$. Тогда $$ v(1,x)\le \Lambda_0 v(0,x), $$ где $\Lambda_0$ определено в \Tag(2.3). Пусть $n=1$. Тогда в силу \Tag(2.14) с учетом последнего неравенства получаем $$ \align v(2,x)&\le \biggl(1-\varepsilon_1+2q\|H(2)\|\|A(1)\|(h_1(1))^{-1- \alpha}(v(1,x))^{\alpha} \\ &\qquad+q^2\|H(2)\|\Bigl(\frac{\|H(2)\|\|B(1)\|^2}{c_1}+1\Bigr)(h_1(1))^{- 1-2\alpha}(v(1,x))^{2\alpha}\biggr)v(1,x) \\ &\le \Lambda_0 \biggl(1-\varepsilon_1+2q\|H(2)\|\|A(1)\|(h_1(1))^{-1- \alpha}\Lambda_0^{\alpha} (v(0,x))^{\alpha} \\ &\qquad+q^2\|H(2)\|\Bigl(\frac{\|H(2)\|\|B(1)\|^2}{c_1}+1\Bigr)(h_1(1))^{- 1-2\alpha} \Lambda_0^{2\alpha}(v(0,x))^{2\alpha}\biggr)v(0,x). \endalign $$ Следовательно, в силу определения $\Lambda_1$ в \Tag(2.4) имеем $$ v(2,x)\le \Lambda_0\Lambda_1v(0,x). $$ Повторяя аналогичные рассуждения, получаем неравенство $$ v(n,x) \le \prod_{j = 0}^{n-1}\Lambda_jv(0,x) = M_{n-1} v(0,x), \quad n = 1,2,\dots, \eqno(2.15) $$ где $\Lambda_j$ и $M_j$ определены в \Tag(2.4) и \Tag(2.5) соответственно. Покажем, что $$ \Lambda_{lN+j} < \Lambda_j, \quad j = 0,1,\dots, N-1, \ l =1,2,\dots\,. \eqno(2.16) $$ Рассмотрим $\Lambda_{N}$. В силу периодичности матриц $A(n)$, $B(n)$, и $H(n)$ получаем $$ \align \Lambda_{N} &= 1-\varepsilon_{0}+2q\|H(1)\|\|A(0)\|(h_1(0))^{-1- \omega/2}M_{N-1}^{\omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(1)\|\Bigl(\frac{\|H(1)\|\|B(0)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(0))^{-1-\omega}M_{N-1}^{\omega}(v(0,x))^{\omega}. \endalign $$ По определению $M_{N-1} = \Lambda_0\Lambda_1\dots\Lambda_{N-1} = M$. %\?\cdots Поскольку в силу условий теоремы $M < 1$, то $$ \align \Lambda_{N} &< 1-\varepsilon_{0}+2q\|H(1)\|\|A(0)\|(h_1(0))^{-1- \omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(1)\|\Bigl(\frac{\|H(1)\|\|B(0)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(0))^{-1-\omega}(v(0,x))^{\omega} = \Lambda_0. \endalign $$ Рассмотрим $\Lambda_{N+1}$ и опять воспользуемся периодичностью соответствующих матриц. Тогда $$ \align \Lambda_{N+1} &= 1-\varepsilon_{1}+2q\|H(2)\|\|A(1)\|(h_1(1))^{-1- \omega/2}M_{N}^{\omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(2)\|\Bigl(\frac{\|H(2)\|\|B(1)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(1))^{-1-\omega}M_{N}^{\omega}(v(0,x))^{\omega}. \endalign $$ Очевидно, $$ M_{N} = (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N-1})\Lambda_N = M \Lambda_0 < \Lambda_0 = M_0. $$ Следовательно, $\Lambda_{N+1} < \Lambda_1$. Аналогично в силу периодичности $$ \align \Lambda_{N+2} &= 1-\varepsilon_{2}+2q\|H(3)\|\|A(2)\| (h_1(2))^{-1-\omega/2}M_{N+1}^{\omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(3)\|\Bigl(\frac{\|H(3)\|\|B(2)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(2))^{-1-\omega}M_{N+1}^{\omega}(v(0,x))^{\omega}. \endalign $$ Поскольку $$ M_{N+1} = (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N-1})\Lambda_N\Lambda_{N+1} = M \Lambda_0\Lambda_1 < \Lambda_0\Lambda_1 = M_1, $$ то $\Lambda_{N+2} < \Lambda_2$. Повторяя аналогичные рассуждения, получаем неравенство $$ \Lambda_{N+j} < \Lambda_j, \quad j = 0, 1, \dots, N - 1. $$ Рассмотрим теперь $\Lambda_{2N}$ и воспользуемся периодичностью соответствующих матриц. Тогда $$ \align \Lambda_{2N} &= 1-\varepsilon_{0}+2q\|H(1)\|\|A(0)\|(h_1(0))^{-1- \omega/2}M_{2N-1}^{\omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(1)\|\Bigl(\frac{\|H(1)\|\|B(0)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(0))^{-1-\omega}M_{2N-1}^{\omega}(v(0,x))^{\omega}. \endalign $$ Учитывая предыдущие оценки, имеем $$ M_{2N - 1} = (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N- 1})\Lambda_N\Lambda_{N+1}\cdots \Lambda_{2N - 1} < (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N-1}) (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N-1}) = M^2 < 1. $$ Следовательно, $\Lambda_{2N} < \Lambda_0$. Рассмотрим $\Lambda_{2N+1}$ и опять воспользуемся периодичностью соответствующих матриц. Тогда $$ \align \Lambda_{2N+1} &= 1-\varepsilon_{1}+2q\|H(2)\|\|A(1)\|(h_1(1))^{-1- \omega/2}M_{2N}^{\omega/2}(v(0,x))^{\omega/2} \\ &\qquad+q^2\|H(2)\|\Bigl(\frac{\|H(2)\|\|B(1)\|^2}{c_1}+1\Bigr) (h_1(1))^{-1-\omega}M_{2N}^{\omega}(v(0,x))^{\omega}. \endalign $$ Поскольку $$ \align M_{2N} &= (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N-1}) (\Lambda_N\Lambda_{N+1}\cdots \Lambda_{2N-1})\Lambda_{2N} \\ &\qquad< (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N-1}) (\Lambda_0\Lambda_1 \cdots \Lambda_{N-1})\Lambda_0 = M^2 \Lambda_0 < \Lambda_0 = M_0, \endalign $$ то $\Lambda_{2N+1} < \Lambda_1$. Повторяя такие же рассуждения, получаем $$ \Lambda_{2N+j} < \Lambda_j, \quad j = 0, 1, \dots, N - 1. $$ Аналогичным образом приходим к неравенствам $$ \Lambda_{lN+j} < \Lambda_j, \quad j = 0,1,\dots, N - 1, \ l = 1,2,\dots, $$ что дает \Tag(2.16). Тогда при $n = kN+m$, $m = 1, \dots, N$, $k = 0, 1,\dots$, получаем $$ M_{n-1} = \prod^{n-1}_{j=0}\Lambda_j < \Biggl(\prod^{N-1}_{j=0}\Lambda_j\Biggr)^k \Lambda_{kN}\Lambda_{kN+1}\dots\Lambda_{kN+m-1} < M^k \Lambda_0\Lambda_1\dots\Lambda_{m-1}. %\?\cdots 2 раза $$ Следовательно, из \Tag(2.15) имеем $$ v(n,x) \le \Lambda_0\Lambda_1\cdots\Lambda_{m-1} M^k v(0,x), \quad n = kN+m, \ m = 1, \dots, N, \ k = 0, 1,\dots\,. $$ Используя определение функционала \Tag(0.3), для решения задачи \Tag(2.1), \Tag(2.2) получаем $$ {\|x_n\|}^2 \le (h_1(n))^{-1}\Lambda_0\Lambda_1\cdots\Lambda_{m-1} M^k v(0,x), $$ где $ n = kN+m$, $m = 1, \dots, N$, $k = 0, 1,\dots$. Поскольку по условию теоремы $M < 1$, нулевое решение системы \Tag(2.1) асимптотически устойчиво и для решения задачи \Tag(2.1), \Tag(2.2) с начальными данными из ${\Cal E}$ справедлива оценка \Tag(2.7). Теорема доказана. \enddemo \demo{Remark} Если $q = 0$, то $\Lambda_j = 1 - \varepsilon_j < 1$ и, следовательно, $M < 1$. Тогда оценка \Tag(2.7) переходит в оценку \Tag(1.8) без каких-либо ограничений на начальные данные; т.~е. результат \Par*{Theorem~3} переходит в результат теоремы 2, %\?\Par*{Theorem~2}, полученный в~[17]. \enddemo Отметим, что условия асимптотической устойчивости формулируются в виде легко проверяемых неравенств, а числовые характеристики множества притяжения и скорости убывания решений вычисляются конструктивно. Это дает возможность применять полученные результаты на практике при изучении устойчивости решений конкретных систем уравнений вида \Tag(0.1). \Refs \ref\no 1 \by Gyori~I. and Pituk~M. \paper Asymptotic formulae for the solutions of a~linear delay difference equation \jour J.~Math. Anal. Appl. \yr 1995 \vol 195 \issue 2 \pages 376--392 \endref \ref\no 2 \by Erbe~L.H., Xia~H., and Yu~J.S. \paper Global stability of a~linear nonautonomous delay difference equation \jour J.~Difference Equ. Appl. \yr 1995 \vol 1 \issue 2 \pages 151--161 \endref \ref\no 3 \by Yu J.S. \paper Asymptotic stability of a~linear difference equation with variable delay \jour Comput. Math. Appl. \yr 1998 \vol 36 \issue 10--12 \pages 203--210 \endref \ref\no 4 \by Gy\H{o}ri~I. and Hartung~F. \paper Stability in delayed perturbed differential and difference equations \inbook Topics in Functional Differential and Difference Equations \bookinfo (Lisbon, 1999) \publaddr Providence \publ Amer. Math. Soc. \yr 2001 \pages 181--194 \finalinfo Fields Inst. Commun., 29 \endref %Gy\~ori \ref\no 5 \by Agarwal~R.P., Kim~Y.H., and Sen~S.K. \paper Advanced discrete Halanay-type inequalities: stability of difference equations \jour J.~Inequal. Appl. \yr 2009 \vol 2009 %\issue - \num 535849 \size 11 \endref \ref\no 6 \by Berezansky~L. and Braverman~E. \paper Exponential stability of difference equations with several delays: recursive approach \jour Adv. Difference Equ. \yr 2009 \vol 2009 %\issue - \num 104310 \size 13 \endref \ref\no 7 \by Khusainov~D.Ya. and Shatyrko~A.V. \paper Investigation of absolute stability of difference systems with delay by Lyapunov's second method \jour Zh. Vychisl. Prikl. Mat. \yr 2010 \vol 4 %\issue 4 \pages 118--126 \endref \ref\no 8 \by Kulikov~A.Yu. and Malygina~V.V. \paper Stability of a~linear difference equation and estimation of its fundamental solution \jour Russian Math. (Iz. VUZ) \yr 2011 \vol 55 \issue 12 \pages 23--33 \endref \ref\no 9 \by Stojanovic~S.B., Debeljkovic~D.L.J., and Dimitrijevic~N. \paper Stability of discrete-time systems with time-varying delay: delay decomposition approach \jour Intern. J. Computers, Communications \& Control \yr 2012 \vol 7 \issue 4 \pages 775--783 \endref \ref\no 10 \by Malygina~V.V. and Chudinov~K.M. \paper Asymptotics of solutions of difference equations with delays \jour Russian Math. (Iz. VUZ) \yr 2016 \vol 60 \issue 7 \pages 56--70 \endref \ref\no 11 \by Ba\v stinec~J., Demchenko~H., Diblik~J., and Khusainov~D.Ya. \paper Exponential stability of linear discrete systems with multiple delays \jour Discrete Dyn. Nat. Soc. \yr 2018 \vol 2018 %\issue - \num 9703919 \size 7 \endref \ref\no 12 \by Ngoc~P.H.A., Trinh~H., Hieu~L.T., and Huy~N.D. \paper On contraction of nonlinear difference equations with time-varying delays \jour Math. Nachr. \yr 2019 \vol 292 \issue 4 \pages 859--870 \endref \ref\no 13 \by Park~J.H., Lee~T.H., Liu~Y., and Chen~J. \book Dynamic Systems with Time Delays: Stability and Control \publaddr Singapore \publ Springer \yr 2019 \endref \ref\no 14 \by Diblik~J. \paper Exponential stability of linear discrete systems with multiple delays by degenerated Lyapunov--Kra\-sovskii functionals \jour Appl. Math. Lett. \yr 2023 \vol 142 %\issue - \num 108654 \size 6 \endref \ref\no 15 \by Demidenko~G.V. and Baldanov~D.Sh. \paper Asymptotic stability of solutions to delay difference equations \jour J.~Math. Sci. (N.Y.) \yr 2017 \vol 221 \issue 6 \pages 815--825 \endref \ref\no 16 \by Matveeva~I.I. and Khmil'~A.V. \paper Stability of solutions of one class of nonlinear systems of delay difference equations \jour Math. Notes SVFU \yr 2021 \vol 28 \issue 3 \pages 31--44 \endref \ref\no 17 \by Demidenko~G.V. and Baldanov~D.Sh. \paper Exponential stability of solutions to delay difference equations with periodic coefficients \inbook Continuum Mechanics, Applied Mathematics and Scientific Computing: Godunov's Legacy---A~Liber Amicorum to Professor Godunov %(Editors: Demidenko~G.~V., Romenski E., Toro E., Dumbser M.) \publaddr Cham %, Switzerland \publ Springer %Nature \yr 2020 %\vol \pages 93--100 \endref \ref\no 18 \by Matveeva~I.I. and Khmil'~A.V. \paper Stability of solutions of one class of variable delay difference equations and periodic coefficients of linear terms \jour Math. Notes SVFU \yr 2023 \vol 30 \issue 4 \pages 37--48 \endref \ref\no 19 \by Demidenko~G.V. and Matveeva~I.I. \paper Asymptotic properties of solutions to delay differential equations \jour Vestnik Novosibirsk Univ. Ser. Mat. Mekh. Inform. \yr 2005 \vol 5 \issue 3 \pages 20--28 \endref \ref\no 20 \by Demidenko~G.V. and Matveeva~I.I. \paper Stability of solutions to delay differential equations with periodic coefficients of linear terms \jour Sib. Math.~J. \yr 2007 \vol 48 \issue 5 \pages 824--836 \endref \endRefs \enddocument