\documentstyle{SibMatJ}
% \TestXML
\Rus
\topmatter

  \Author             Malygina
    \Initial          V.
    \Initial          V.
    \ORCID            0000-0003-2194-680X
    \Email            mavera\@list.ru
    \AffilRef         1
  \endAuthor

  \Author             Postanogova
    \Initial          I.
    \Initial          Yu.
    \ORCID            0009-0003-7014-2426
    \Email            ipostanogova\@psu.ru
    \AffilRef         1
  \endAuthor

  \Affil 1
    \Organization     Perm National Research Polytechnic University
    \City             Perm
    \Country          Russia
  \endAffil

  \opages
    ???--???
  \endopages

  \datesubmitted      February  20, 2026\enddatesubmitted
  %\daterevised       February  20, 2026\enddaterevised
  \dateaccepted       March 10, 2026\enddateaccepted

  \UDclass
    517.929
  \endUDclass

  \dedication
    Геннадию Владимировичу Демиденко в связи с его 70-летием.
  \enddedication

  \title
    Об~устойчивости систем линейных автономных уравнений нейтрального типа
    %On Stability of Systems of Linear Autonomous Equations of Neutral Type
  \endtitle

  \abstract
    Исследуется устойчивость систем линейных автономных
    функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. В~основе
    исследования лежит представление решения в виде интегрального оператора, ядром
    которого является функция Коши исследуемой системы уравнений нейтрального типа.
    Определения устойчивости по Ляпунову, асимптотической и экспоненциальной
    устойчивости сформулированы в терминах свойств функции Коши. Наряду с понятием
    асимптотической устойчивости рассматривается новое понятие сильной асимптотической устойчивости.
    %The stability of systems of linear autonomous functional differential equations
    %of neutral type is investigated. The research is based on representing a
    %solution in the form of an integral operator whose kernel is the Cauchy function
    %of the system. Definitions of Lyapunov stability, asymptotic stability, and
    %exponential stability are formulated in terms of the corresponding properties of
    %the Cauchy function. In addition to the concept of asymptotic stability, a new
    %notion of strong asymptotic stability is considered.
  \endabstract

  \keywords
    функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа,
    фундаментальная матрица,
    матрица Коши,
    устойчивость по Ляпунову,
    асимптотическая устойчивость,
    экспоненциальная устойчивость
    %functional differential equation of neutral type,
    %Cauchy matrix,
    %fundamental matrix,
    %Lyapunov stability,
    %asymptotic stability,
    %exponential stability
  \endkeywords

\endtopmatter

\head
1. Введение
\endhead

Цель работы~--- исследование асимптотических свойств решений линейного
функционально-дифференциального
уравнения (ФДУ) нейтрального типа
$$
\dot x(t) - \sum\limits_{k = 1}^K {A_k \dot x(t - h_k)}
= \sum\limits_{j = 0}^J{B_j x({t - r_j})} ,\quad t \ge 0,
\eqno{(1)}
$$
где $h_k$~--- вещественные положительные, $r_j$~--- вещественные неотрицательные
числа, $A_k$ и $B_j$~--- вещественные $n\times n$-матрицы.
		
В~настоящее время количество работ, посвященных ФДУ, продолжает расти, однако
некоторые принципиальные вопросы, связанные с определениями относящихся к
уравнению понятий, включая вопрос определения решения, остаются нерешенными или
не имеют общепринятого решения.
Несогласованность основных понятий обусловливает разрозненность результатов
исследований ФДУ, в том числе исследований асимптотических свойств решений.
		
Если в уравнении~\Tag(1) все матрицы $A_k$ нулевые, т.~е.~\Tag(1) принадлежит к
уравнениям запаздывающего типа, то исследование задач устойчивости упрощается
тем, что определения устойчивости (как и для обыкновенных дифференциальных
уравнений) формулируются в терминах одного объекта~--- фундаментальной матрицы,
а для случая автономных уравнений различаются только два вида устойчивости:
равномерная и асимптотическая (совпадающая с экспоненциальной).
		
Для ФДУ нейтрального типа ситуация сложнее: свойства фундаментальной матрицы уже
не определяют асимптотическое поведение всех решений уравнения. Кроме того,
появляются примеры уравнений, которые
являются асимптотически устойчивыми, не
будучи при этом экспоненциально устойчивыми. Все это требует, на наш взгляд,
более внимательного отношения к определениям устойчивости для уравнений
нейтрального типа. В~настоящей работе мы предлагаем
подойти к этому вопросу,
используя идеи и методы функционального анализа,
и рассматривать устойчивость как
свойства линейных интегральных функционалов, определенных на пространствах
начальных функций. Этот подход позволил получить ряд эффективных критериев,
которые складываются в общую картину устойчивости для уравнений нейтрального
типа.

\head
2. Описание объекта исследования и~постановка задачи
\endhead

Нормы в пространствах ${\Bbb R}^n$ и ${\Bbb R}^{n\times n}$ вещественных
$n$-мерных вектор-столбцов и $n\times n$-матриц обозначаются одинарными
линиями $|\cdot|$, при этом норма в ${\Bbb R}^n$ везде евклидова, а норма в
${\Bbb R}^{n\times n}$ согласована с ней: для $A\in{\Bbb R}^{n \times n}$
имеем $|A|=\sup\nolimits_{|x|=1}|Ax|$, где $x\in{\Bbb R}^n$.

Норма в функциональном пространстве ${\Bbb X}$ обозначается символом
${\|\cdot\|_{\Bbb X}}$.
		
Для измеримого множества $A\subseteq {\Bbb R}_+$ через $L_p (A)$ обозначаются
пространства вектор-функций, действующих из $A$ в ${\Bbb R}^n$ и суммируемых
со степенью $p$, где $1\le p < \infty$, и через $L_\infty (A)$~--- пространство
измеримых и ограниченных в существенном на множестве $A$ вектор-функций.
Нормы в этих функциональных пространствах традиционны.
		
Символами $\Theta$ и $I$ будем обозначать соответственно
нулевую и единичную $n\times n$-матрицы.
		
Определитель матрицы $A$ обозначим через $\det{A}$.
		
Рассмотрим уравнение
$$
\dot x(t) - \sum\limits_{k = 1}^K {A_k \dot x(t - h_k)}
= \sum\limits_{j = 0}^J
{B_j x({t - r_j})} ,\quad t \in {\Bbb R}_ +\equiv[0,+\infty),
\eqno{(2)}
$$
где $K \in {\Bbb N}$, $0<h_1<h_2<\dots< h_K$, $J \in
{\Bbb N}_0\equiv{\Bbb N}\cup\{0\}$, $0\le r_0<r_1<\dots<r_J$, $A_k ,B_j \in
{\Bbb R}^{n\times n}$.
		
Для корректности записи~\Tag(2) требуется доопределить значения $x(t)$ и $\dot x(t)$
при $t<0$.
Для этого вводятся {\it начальные функции\/}
$\varphi,\psi\colon[-\omega,0)\to{\Bbb R}^n$, где $ \omega = \max \{ h_K,
r_J\} $, и при $t<0$ полагается $x(t)=\varphi(t)$ и $\dot x(t)=\psi(t)$.
		
Обозначим через $S_h$ {\it оператор сдвига}, действующий в пространствах
вектор-функций и матриц-функций по правилу
$$
(S_h y)(t) =\cases
y(t - h),&t - h \ge 0,\\ 0,&t - h < 0,
\endcases
$$
и рассмотрим наряду с уравнением~\Tag(2) неоднородное уравнение
$$
\dot x(t)-\sum\limits_{k = 1}^K {A_k (S_{h_k} \dot x)(t)}
=\sum\limits_{j = 0}^J{B_j (S_{r_j} x)(t)}+f(t).
\eqno{(3)}
$$
				
Под {\it решением\/}
$x\colon {\Bbb R}_+\to {\Bbb R}^n$ уравнения~\Tag(3) будем понимать
локально (т.\,е. на каждом конечном отрезке) абсолютно непрерывную
вектор-функцию, считать оператор $S_h$ действующим в пространстве локально
суммируемых функций и предполагать функцию внешнего возмущения $f\colon
{\Bbb R}_+\to {\Bbb R}^n$ локально суммируемой.
		
Определим функцию $\sigma$ равенством
$$
\sigma (t) = \sum\limits_{k = 1}^K {A_k \psi (t - h_k)\chi _{h_k} (t) + }
\sum\limits_{j = 1}^J {B_j \varphi (t - r_j)\chi _{r_j} (t)},\quad
t\in{\Bbb R}_+;\eqno{(4)}
$$
здесь $\chi _a (t)$~--- характеристическая
функция множества $( - \infty , a)$.
		
Если положить $f(t)=\sigma(t)$, то уравнение~\Tag(2) с заданными начальными
функциями $\varphi$ и $\psi$ представляется в виде~\Tag(3).
При таком подходе начальные функции становятся частью внешнего возмущения и это
определяет условия, которым мы их подчиняем. Очевидно, что нет необходимости
требовать от функций $\varphi$ и $\psi$ непрерывности, необязательны также
условие ``непрерывной стыковки'' $x(0)= \varphi (0)$ и условие согласования
$\dot \varphi=\psi$; мы будем предполагать лишь, что обе начальные функции
локально суммируемы.
		
В~указанных условиях, как известно~[1, p.~84], уравнение~\Tag(3) с заданным
начальным значением $x(0)\in{\Bbb R}^n$ однозначно разрешимо и его решение
представимо в виде
$$
x(t) = X(t)x(0) + \int\limits_0^t Y(t - s)f(s)\,ds,\quad
t\in{\Bbb R}_+.\eqno{(5)}
$$
Представление~\Tag(5) по аналогии с известным представлением решения обыкновенного
дифференциального уравнения (ОДУ) называют {\it формулой Коши}.
Матрица-функция $X\colon{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}^{n \times n}$ называется
{\it фундаментальным решением}, а $Y\colon{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}^{n \times
n}$~--- {\it функцией Коши\/} уравнения~\Tag(3).
На отрицательной полуоси фундаментальное решение и функцию Коши доопределим
нулевой матрицей.
Матрицы-функции $X$ и $Y$ не зависят ни от начального значения $x(0)$, ни от
внешнего возмущения~$f$.
				
В~работе~[2] показано, что фундаментальное решение уравнения~\Tag(3) выражается
через функцию Коши следующим образом:
$$
X(t)=Y(t)-\sum_{k=1}^K(S_{h_k}Y)(t)A_k,\eqno{(6)}
$$
а для производной фундаментального решения выполняется соотношение
$$
\dot X(t)=\sum_{j=0}^M(S_{r_j}Y)(t)B_j.\eqno{(7)}
$$
Таким образом, решение уравнения~\Tag(3) задается формулой~\Tag(5), где фундаментальное
решение $X$ выражается через функцию Коши $Y$, поэтому асимптотическое поведение
решений уравнения~\Tag(3) определяется свойствами функции Коши, которую,
следовательно, можно выбрать основным объектом исследования при изучении
асимптотических свойств решений уравнения~\Tag(2).
		
К функции $Y$ применимо преобразование Лапласа, и ее Лаплас-образ
имеет вид
$L_Y(p)=G^{-1}(p)$,
где матрица-функция $G(p)$ определяется формулой
$$
G(p)=p
\Biggl(I-\sum_{k=1}^{K}{e^{-h_kp}A_k}\Biggr)
-\sum_{j=0}^{J}{e^{-r_jp}B_j},\quad
p\in{\Bbb C}.\eqno{(8)}
$$
				
При исследовании асимптотических свойств решений системы уравнений нейтрального
типа важно знать, для каких значений $p$ матрица $G^{-1}(p)$ существует. Поэтому
введем следующее определение.
		
\demo{Definition 1}
Уравнение
$$
\det{G(p)}=0,\quad p\in{\Bbb C},\eqno{(9)}
$$
называется {\it характеристическим\/} для уравнения~\Tag(2).
\enddemo		
		
\head
3. ${\Bbb X}$-устойчивость
\endhead
		
Устойчивость решений уравнения~\Tag(2) относительно начальных условий естественно
определять как непрерывную зависимость (в том или ином смысле) решений от
функций $\varphi$ и~$\psi$.
Но эти функции рассматриваются как элементы некоторых пространств, выбирать
которые можно по-разному и снабжать разными нормами.
В~определениях устойчивости зависимость от выбора класса начальных функций
должна быть отражена явно.
		
Начальные условия для уравнения~\Tag(2) задаются на множестве $[-\omega,0]$.
Функции $\varphi$ и $\psi $ в силу~\Tag(4) и~\Tag(5) не выходят
из $L_1 [ - \omega ,0]$,
но могут принадлежать более узкому подмножеству
пространства $ L_1[-\omega,0]$,
снабженному собственной нормой.
Применительно к введенной выше функции $\sigma $
это означает выбор аналогичного
подмножества пространства $L_1 [0,\omega ]$.
		
Обозначим
$$
K_t \sigma = \int\limits_0^t  {Y(t - s)} \sigma (s)\,ds.
$$
		
Рассмотрим семейство линейных вектор-функционалов
${\{K_t\colon{\Bbb X}\to{\Bbb R}^n\}_{t \ge 0}}$ и семейство линейных
преобразований $\{X_t\colon{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}^n\}_{t\ge 0}$, определенных
равенствами $X_t\alpha=X(t)\alpha$.
Нормы функционалов $K_t$ и $X_t$ определим традиционно:
$$
\|K_t \|=\sup\limits_{\|\sigma\|=1}|K_t \sigma|,
\quad
\|X_t\|=\sup\limits_{|\alpha|=1}|X_t\alpha|.
$$
		
Решение $x\colon{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}^n$ уравнения~\Tag(2), определяемое
значением $x(0)=x_0\in {\Bbb R}^n$ и начальной функцией $\sigma\in
{\Bbb X}$, будем называть {\it соответствующим\/} данным $x_0$ и~$\sigma$.
Для него из формулы~\Tag(5) получаем
$$
x(t)=X_tx_0+K_t\sigma,\quad t\ge 0.\eqno{(10)}
$$
		
Заметим, что для всех $t\ge \omega$ имеем
$$
K_t\sigma=\int\limits_0^\omega {Y(t - s)} \sigma (s)\,ds.
							\eqno{(11)}
$$
		
Пусть ${\Bbb X} \subseteq L_1 [0,\omega ]$~--- нормированное пространство
(естественно считать его линейным) измеримых
на отрезке $[0,\omega ]$ функций.
		
\demo{Definition 2}
Уравнение~\Tag(2) называется {\it ${\Bbb X}$-устойчивым\/}
(по Ляпунову), если для любого $\varepsilon > 0$
существует такое $\delta > 0$,
что при любых $x_0 \in {\Bbb R}^n$ и $\sigma \in {\Bbb X}$ таких, что $|x_0|
< \delta $ и $\|\sigma\|_{\Bbb X} < \delta $, для соответствующего
решения~$x=x(t)$ уравнения~\Tag(2) справедлива оценка
$\sup\nolimits_{t \ge 0} |x(t)|< \varepsilon $.
\enddemo
		
\demo{Definition 3}
Уравнение~\Tag(2) называется {\it асимптотически ${\Bbb X}$-устойчивым},
если оно ${\Bbb X}$-устойчиво и для любых $x_0 \in {\Bbb R}^n$ и $\sigma\in {\Bbb X}$
соответствующее решение~$x=x(t)$ уравнения~\Tag(2) обладает
свойством $\lim\nolimits_{t \to + \infty} |x(t)| = 0$.
\enddemo
		
\demo{Definition 4}
Уравнение~\Tag(2) называется {\it экспоненциально ${\Bbb X}$-устойчивым},
если существуют такие постоянные $N,\gamma > 0$,
что для любых $x_0 \in {\Bbb R}^n$ и $\sigma \in {\Bbb X}$ для
соответствующего решения~$x=x(t)$ уравнения~\Tag(2)
справедлива оценка $|x(t)| \le
Ne^{ - \gamma t} (|x_0| + \| \sigma \|_{\Bbb X} )$.
\enddemo
		
\demo{Remark 1}
Выбор пространства ${\Bbb X} \subseteq L_1 [0,\omega ]$
произволен.
В~большинстве работ (например, в монографиях~[2--4]) полагается ${\Bbb X}
= C[0,\omega ]$.
В~работах~[5,\,6] используется техника гильбертовых пространств, поэтому
${\Bbb X} = L_2 [0,\omega ]$.
В~работе~[7] ${\Bbb X} = L_1 [0,\omega ]$,
в работе~[8] рассматривались случаи
${\Bbb X} = L_p [0,\omega ]$ для всех $p \ge 1$.
\enddemo
		
Укажем ряд эквивалентных переформулировок \Par*{Definitions 2}--\Par{Definition 4}{4}.
		
\proclaim{Theorem 1}\Label{T1}
Следующие утверждения эквивалентны:
		
\Item (a) %{\rm 1)}
уравнение~\Tag(2) ${\Bbb X}$-устойчиво;
\Item (b) %{\rm 2)}
существует такое $N > 0$, что для любых $x_0\in {\Bbb R}^n$, $\sigma \in
{\Bbb X}$ и $t \ge 0$ для соответствующего решения $x=x(t)$ уравнения~\Tag(2) справедлива оценка $|x(t)| \le N(|x_0|+\|\sigma\|_{\Bbb X})$;
\Item (c) %{\rm 3)}
$\sup\nolimits_{t \ge 0} |X(t)| < \infty$ и $\sup\nolimits_{t \ge 0}\|K_t\| <\infty$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Проведем его по цепочке
\Par{T1}{(a)}$\Rightarrow$\Par{T1}{(b)}$\Rightarrow$\Par{T1}{(c)}$\Rightarrow$\Par{T1}{(a)}.
%$1) \Rightarrow 2) \Rightarrow 3) \Rightarrow 1)$.
		
\Par{T1}{(a)}$\Rightarrow$\Par{T1}{(b)}: %$1) \Rightarrow 2)$:
В~силу \Par*{Definition 2} линейные функционалы $X_t$ и $K_t$ ограничены равномерно по~$t$. Остается применить формулу~\Tag(10).
		
\Par{T1}{(b)}$\Rightarrow$\Par{T1}{(c)}: %$2) \Rightarrow 3)$:
Используем формулу~\Tag(10). Пусть $\sigma  = 0$.
Тогда ограниченность фундаментального решения очевидна
из неравенства $|{X(t)x_0} | \le N| {x_0} |$.
Пусть теперь $x_0 = 0$.
Тогда $|K_t\sigma|\le N\|\sigma\|_{\Bbb X} $, т.~е. $\|K_t\| \le N$.
		
\Par{T1}{(c)}$\Rightarrow$\Par{T1}{(a)}: %$3) \Rightarrow 1)$:
Следует из формулы~\Tag(10) непосредственно.
\enddemo		

В~классическом определении асимптотической устойчивости~[9] решения ОДУ
предполагается, что асимптотически устойчивое решение устойчиво по Ляпунову.
Вообще говоря, это требование существенно, однако для линейных уравнений оно
излишне.
Разберем вопрос о необходимости устойчивости по Ляпунову для асимптотической
устойчивости применительно к уравнению~\Tag(2).
		
\proclaim{Lemma 1}
Пусть ${\Bbb X}$~--- банахово пространство.
Если для любых $x_0 \in {\Bbb R}^n$ и $\sigma \in {\Bbb X}$ решение
уравнения~\Tag(2) обладает свойством
$\lim\nolimits_{t \to + \infty } x(t) = 0$, то
уравнение~\Tag(2) ${\Bbb X}$-устойчиво.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Из формулы~\Tag(10) вытекает, что условие
$\lim\nolimits_{t\to + \infty } x(t) = 0$
выполняется для всех решений уравнения~\Tag(2) тогда и
только тогда, когда
$\lim\nolimits_{t \to + \infty } X(t) = \Theta$ и
$\lim\nolimits_{t \to + \infty } K_t \sigma = 0$
для любого $\sigma \in {\Bbb X}$.
В~таком случае
$\sup\nolimits_{t \ge 0} | {X(t)} | < \infty$
и для
любого $\sigma \in {\Bbb X}$ имеем
$\sup\nolimits_{t \ge 0} |K_t \sigma| < \infty $.
В~силу теоремы Банаха~--- Штейнхауса~[10, p.~116] получаем, что
$\sup\nolimits_{t \ge 0} \| {K_t } \| < \infty $.
Ссылка на \Par*{Theorem~1} завершает доказательство.
\enddemo
		
\proclaim{Theorem 2}\Label{T2}
Пусть ${\Bbb X}$~--- банахово пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
		
\Item (a) %{\rm 1)}
уравнение~\Tag(2) асимптотически ${\Bbb X}$-устойчиво;
\Item (b) %{\rm 2)}
для любых $x_0 \in {\Bbb R}^n$ и $\sigma \in {\Bbb X}$
соответствующее решение $x=x(t)$ уравнения~\Tag(2) обладает свойством $\lim\nolimits_{t \to + \infty }x(t) = 0$;
\Item (c) %{\rm 3)}
$\lim\nolimits_{t \to + \infty } X(t) = \Theta$ и для любого $\sigma \in{\Bbb X}$
имеем $\lim\nolimits_{t \to + \infty } K_t \sigma = 0$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Как и доказательство \Par*{Theorem~1}, нетрудно провести по цепочке
\Par{T2}{(a)}$\Rightarrow$\Par{T2}{(b)}$\Rightarrow$\Par{T2}{(c)}$\Rightarrow$\Par{T2}{(a)}
%$1) \Rightarrow 2) \Rightarrow 3) \Rightarrow 1)$,
опираясь на представление решения~\Tag(10).

Обратим внимание на вывод условия \Par{T2}{(c)} %$3)$
из условия \Par{T2}{(b)}. %$2)$.
Из условия \Par{T2}{(b)} %$2)$
следует, что $\lim\nolimits_{t \to + \infty } X(t)x_0 = 0$ для
любого $x_0\in{\Bbb R}^n$ и $\lim\nolimits_{t \to + \infty } K_t \sigma = 0$ для
любого $\sigma \in {\Bbb X}$.
Первое из этих следствий равносильно тому, что $\lim\nolimits_{t \to + \infty }X(t) = \Theta$,
что можно интерпретировать как сходимость семейства вектор-функционалов $X_t$ по норме $\|X_t\|$, т.~е. как
{\it равномерную\/} сходимость. Однако второе следствие не равносильно равномерной сходимости
$\lim\nolimits_{t\to + \infty } \|K_t \| = 0$ семейства функционалов $\{K_t\}$ по норме~$\|K_t\|$.
В~связи с этим введем новое понятие.
		
\demo{Definition 5}
Назовем уравнение~\Tag(2) {\it сильно асимптотически ${\Bbb X}$-устойчивым},
если $\lim\nolimits_{t \to \infty } X(t) = \Theta$
и $\lim\nolimits_{t \to \infty } \| {K_t } \| = 0$.
\enddemo
		
После того как различие между асимптотической и сильной асимптотической
устойчивостями формально зафиксировано с помощью определения семейства
функционалов~$\{K_t\}$, оно становится очевидным.
Традиционно в исследованиях асимптотической
устойчивости линейных ФДУ речь идет
именно о сильной асимптотической устойчивости
в смысле \Par*{Definition 5}, что не
всегда согласуется с формальными определениями
вследствие их неточности или даже отсутствия.
Обоснованием введения нового определения
служат примеры уравнений, для которых
понятия асимптотической и сильной
асимптотической устойчивостей неэквивалентны.
Один из таких примеров рассмотрен в \Sec*{Section~5}.
		
Определение экспоненциальной устойчивости также переформулируем в терминах
свойств фундаментального решения и функционалов~$K_t$.
		
\proclaim{Theorem 3}
Уравнение~\Tag(2) экспоненциально
${\Bbb X}$-устойчиво, если и
только если существуют такие $N,\gamma>0$,
что для всех $t\ge 0$
$$
|X(t)|\le Ne^{ - \gamma t} \text{ и }\| {K_t } \| \le Ne^{ - \gamma t} .
$$
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Доказательство следует из формулы~\Tag(10).
\enddemo
		
Таким образом, равномерная по $t$ ограниченность норм функционалов семейства
$\{K_t\}$ заложена в \Par*{Definitions 2} и~\Par{Definition 4}{4}, но не в \Par*{Definition 3}.
\Par*{Definition 5} включает,
как и \Par*{Definitions 2} и~\Par{Definition 4}{4}, оценку нормы~$\|K_t\|$, поэтому
устойчивость по Ляпунову и экспоненциальную устойчивость можно считать по
определению сильными.
Можно также ввести понятия, формально относящиеся к устойчивости по Ляпунову и
экспоненциальной устойчивости так же, как асимптотическая устойчивость относится
к сильной асимптотической устойчивости, но если пространство ${\Bbb X}$
банахово, то эти понятия в силу теоремы Банаха~--- Штейнхауса совпадают с
введенными в \Par*{Definitions 2} и~\Par{Definition 4}{4}.
		
Итак, устойчивость уравнения~\Tag(2) естественно рассматривать как
${\Bbb X}$-устойчивость, где ${\Bbb X}\subseteq L_1 [0,\omega ]$.
В~следующих разделах мы получим критерии $L_p$-устойчивости (по Ляпунову,
сильной асимптотической и экспоненциальной)
для всех $p$ $(1\le p\le\infty)$ в
терминах свойств функции Коши.
				
Сделаем несколько замечаний о вектор-функционалах, определенных на пространствах
$L_p$, которые будем использовать ниже.
		
В~случае $n=1$ общий вид функционала $F\colon L_p[0,\omega] \to {\Bbb R}$, где
$p\ge1$, определяется [10, pp.~150--154] функцией $\alpha\in L_q[0,\omega]$, где
$1/p+1/q=1$, и формулой
$$
Fx=\int\limits_0^\omega \alpha(s)x(s)\,ds,
$$
 его норма $\|F\|=\sup\nolimits_{|x|=1}|Fx|$ в случае $p>1$ равна
$$
\|F\| = \Biggl(\ \int\limits_0^\omega |\alpha(s)|^q\,ds\Biggr)^{1/q},
$$
а в случае $p=1$ равна
$$
\|F\| = \esssup\limits_{s \in [0,\omega ]}
|\alpha(s)|=\inf\limits_{\mu E=0}\sup\limits_{s \in [0,\omega ]\setminus E}
|\alpha(s)|.
 $$
Заметим, что формула нормы справедлива и в случае $p=\infty$ (тогда
$q=1$).
Отсюда получаем вид вектор-функционала $F\colon L_p[0,\omega]\to{\Bbb R}^n$
для произвольного $n\in{\Bbb N}$:
$$
Fx=\Biggl(\ \sum_{i=1}^n\int\limits_0^\omega
\alpha_{1i}(s)x_i(s)\,ds,\dots,\sum_{i=1}^n\int\limits_0^\omega
\alpha_{ni}(s)x_i(s)\,ds\Biggr),
$$
где компоненты матрицы-функции $A(t)=(\alpha_{ij}(t))_{i,j=1}^n$ принадлежат
$L_p[0,\omega]$.
В~силу согласованности норм в ${\Bbb R}^n$ и ${\Bbb R}^{n\times n}$ в случае
$p>1$
$$
\|F\|=\sup\limits_{|x|=1}|Fx|
= \Biggl(\ \int\limits_0^\omega |A(s)|^q\,ds \Biggr)^{1/q},
\eqno{(12)}
$$
а в случае $p=1$
$$
\|F\|=\sup\limits_{|x|=1}|Fx|=
\esssup\limits_{s\in[0,\omega]}|A(s)|.
							\eqno{(13)}
$$
				
\head
4. Устойчивость по~Ляпунову
\endhead
		
Покажем, что ограниченность интеграла функции Коши уравнения~\Tag(2) на отрезке
длины~$\omega$ влечет ограниченность фундаментального решения на
полуоси~${\Bbb R}_+$.
		
\proclaim{Lemma 2}
Если $\sup\nolimits_{t \ge 0} \int\nolimits_t^{t + \omega} |Y(s)|\,ds
< \infty$, то $\sup\nolimits_{t \ge 0} |X(t)| < \infty$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Из соотношений~\Tag(6) и~\Tag(7) и условий леммы следует, что
$$
\sup\limits_{t \ge 0} \int\limits_t^{t + \omega } |X(s)|\,ds = N_1 < \infty,
\quad \sup\limits_{t \ge 0} \int\limits_t^{t + \omega} |\dot X(s)|\,ds = {N_2} <
\infty.\eqno{(14)}
$$
		
Предположим, что $\sup\nolimits_{t \ge 0} |X(t)| = \infty $.
Тогда найдется такое ${t_0} \in {{\Bbb R}_ + }$, что
$$
|X(t_0)| > \frac{N_1}{\omega } + {N_2}.
$$
Значит, для всех $t \in [{t_0},{t_0} + \omega ]$ имеем
$$
|X(t) - X(t_0)| \le \int\limits_{t_0}^t |\dot X(s)|\,ds \le
\int\limits_{t_0}^{t_0 + \omega} |\dot X(s)|\,ds \le {N_2}.
$$
Таким образом, для всех $t \in [{t_0},{t_0} + \omega ]$ справедлива оценка
$|X(t)| > \frac{N_1}\omega $.
Следовательно, $\int\nolimits_{t_0}^{t_0 + \omega } |X(s)|\,ds > N_1$, что
противоречит первому из соотношений~\Tag(14).
\enddemo
		
Теперь получим критерий устойчивости по Ляпунову в терминах функции Коши.
		
\proclaim{Theorem 4}
Пусть $1 < p \le \infty $.
Тогда уравнение~\Tag(2) ${L_p}$-устойчиво, если и только если
$$
\sup\limits_{t \ge 0} \int\limits_t^{t + \omega } |Y(s)|^q\,ds < \infty,
$$
где $1/p + 1/q = 1$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
В~силу~\Tag(11) и~\Tag(12) для каждой фиксированной точки
$t\in {{\Bbb R}_ + }$ норма вектор-функционала $K_t\colon
L_p[0,\omega]\to{\Bbb R}^n$ определяется как
$$
\| K_t \| = \Biggl(\,\int\limits_t^{t + \omega } |Y(s)|^q\,ds
\Biggr)^{1/q}.\eqno{(15)}
$$
Отсюда в силу \Par*{Theorem~1} получаем доказательство теоремы в части необходимости.
Учитывая неравенство Г\"ельдера и \Par*{Lemma~2}, получаем достаточность.
\enddemo			
	
		Случай $p=1$ рассмотрим отдельно.
		
\proclaim{Theorem 5}
Уравнение~\Tag(2) $L_1 $-устойчиво тогда и только тогда, когда
$$
\sup\limits_{t \ge 0}|Y(t)| < \infty.
$$
\endproclaim
				
\demo{Proof}
В~силу~\Tag(11) и~\Tag(12) для каждой фиксированной точки $t
\in {{\Bbb R}_ + }$ норма вектор-функционала $K_t\colon
L_1[0,\omega]\to{\Bbb R}^n$ определяется как
$$
\|K_t\|=\esssup\limits_{s\in[0,\omega]}|Y(s)|.\eqno{(16)}
$$
Остается применить \Par*{Theorem~1} и \Par*{Lemma~2}.
\enddemo %\?

		Из \Par*{Theorems 4} и \Par{Theorem 5}{5} получаем
		
\proclaim{Corollary 1}
Если функция Коши
уравнения~\Tag(2) ограничена, то уравнение~\Tag(2) ${L_p}$-устойчиво для всех $p$,
$1 \le p \le \infty$.
\endproclaim
		
\head
5. Асимптотическая устойчивость
\endhead

\proclaim{Lemma 3}
Если $\lim\nolimits_{t \to \infty} \int\nolimits_t^{t + \omega}
|Y(s) |\,ds = 0$, то $\lim\nolimits_{t \to \infty} X(t) = \Theta$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Пусть $\lim\nolimits_{t \to \infty} \int\nolimits_t^{t +\omega} |Y(s) |\,ds = 0$.
Тогда в силу соотношений~\Tag(6) и~\Tag(7) имеем
$$
\lim_{t \to \infty} \int\limits_t^{t + \omega } |X(s)|\,ds = 0,
\quad \lim_{t \to \infty} \int\limits_t^{t + \omega} |\dot X(s)|\,ds =0.
\eqno{(17)}
$$
Предположим, что при этом $X(t)$ не стремится к $\Theta$ при $t\to \infty$.
Тогда существуют $\varepsilon>0$ и бесконечно большая последовательность
$\{t_n\}_{n\in{\Bbb N}}$ такие, что $|X(t_n)| \ge \varepsilon$.
		
В~соответствии со вторым из соотношений~\Tag(17) возьмем такое
$N\in{\Bbb N}$, что
для всех $n\ge N$
$$
\int\limits_{t_n}^{t_n+\omega}|\dot X(s)|\,ds<\varepsilon/2.
$$
Рассмотрим произвольные $n\in{\Bbb N}$ и
$t\in[{t_n},{t_n}+\omega]$. Имеем
$$
|X(t) - X(t_n)| \le \int\limits_{t_n}^t |\dot X(s)|\,ds \le
\int\limits_{t_n}^{t_n + \omega} |\dot X(s)|\,ds < {\varepsilon}/2.
$$
Следовательно, $|X(t)| \ge \frac\varepsilon2$ для всех
$t\in[{t_n},{t_n}+\omega]$ и, значит,
$$
\int\limits_{t_n}^{t_n + \omega }
|X(s)|\,ds \ge \frac{\varepsilon \omega}{2}>0
$$
для всех $n\ge N$,
что противоречит первому из соотношений~\Tag(17).		
\enddemo
		
\proclaim{Theorem 6}
Пусть $1 < p \le \infty $.
Тогда уравнение~\Tag(2) сильно асимптотически ${L_p}$-устойчиво, если и только
если
$\lim\nolimits_{t \to \infty} \int\nolimits_t^{t + \omega } |Y(s)|^q\,ds = 0$,
где $1/p + 1/q = 1$.
\endproclaim
				
\demo{Proof}
Для каждого фиксированного $t \in {{\Bbb R}_ + }$
норма вектор-функционала ${K_t}\colon L_p[0,\omega]\to {\Bbb R}^n$
определяется формулой~\Tag(15).
Следовательно, если
$\lim\nolimits_{t \to \infty} \|K_t\| = 0$, то
$\lim\nolimits_{t\to \infty} \int\nolimits_t^{t + \omega } |Y(s)|^q\,ds = 0$,
что доказывает теорему в части необходимости.
Достаточность получаем из~\Tag(15), неравенства Г\"ельдера и \Par*{Lemma~3}.
\enddemo
		
\proclaim{Theorem 7}
Уравнение~\Tag(2) сильно асимптотически $L_1 $-устойчиво тогда и
только тогда, когда $\lim\nolimits_{t \to \infty } Y(t) = \Theta$.
\endproclaim
				
\demo{Proof}
Для каждого фиксированного $t \in {\Bbb R}_ + $ норма
вектор-функционала $K_t \colon L_1[0,\omega]\to{\Bbb R}^n$ определяется
формулой~\Tag(16), из которой следует, что
$\lim\nolimits_{t \to \infty}\|K_t\|=0$,
если и только если $\lim\nolimits_{t \to \infty}Y(t)=\Theta$.
Остается заметить, что в силу~\Tag(6) из
$\lim\nolimits_{t \to \infty } Y(t) = \Theta$
следует $\lim\nolimits_{t \to \infty } X(t) = \Theta$.
\enddemo
		
Из \Par*{Theorems~6} и~\Par{Theorem 7}{7} получаем
		
\proclaim{Corollary 2}
Если $\lim\nolimits_{t \to \infty } Y(t) = \Theta$, то
уравнение~\Tag(2) сильно асимптотически ${L_p}$-устойчиво для всех $p$,
$1 \le p \le \infty$.
\endproclaim
				
Обозначим
$E_{\alpha ,\varepsilon } (t) = \{ s \in [t, t+\omega]: u^\alpha (s)
\ge \varepsilon \} $, где $u$~--- скалярная неотрицательная локально суммируемая
функция.
		
\proclaim{Lemma 4}
Если
$\lim\nolimits_{t\to\infty}{\int\nolimits_{t}^{t+\omega}{u(s)\,ds}}=0$, то для любых
$\varepsilon > 0$ и $\alpha > 0$ справедливо предельное соотношение:
$\operatorname{mes} E_{\alpha ,\varepsilon } (t) \to 0$ при $t \to \infty$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Из условий леммы и определения множества $E_{\alpha ,\varepsilon } (t)$ получаем оценки
$$
\operatorname{mes} E_{\alpha ,\varepsilon } (t) \le
{1\over \varepsilon} \int\limits_{E_{\alpha ,\varepsilon } (t)}
{u(s)\,ds}  \le
{1\over \varepsilon}\int\limits_{t}^{t+\omega} {u(s)\,ds}
\mathop \to \limits_{t \to\infty } 0,
$$
из которых и следует утверждение леммы.
\enddemo

\proclaim{Theorem 8}
Пусть $\sup\nolimits_{t \ge 0}{|Y(t)|}=K<\infty$.
Тогда если уравнение~\Tag(2) сильно асимптотически $L_p$-устойчиво хотя бы для
одного $p_0>1$, то оно сильно асимптотически $L_p$-устойчиво для всех $p>1$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Так как уравнение~\Tag(2) сильно асимптотически
$L_p$-устойчиво при всех $p\ge p_0$, из \Par*{Theorem~6} следует, что
$$
\int\limits_{t}^{t+\omega} {|Y(s)|\,ds}
\mathop \to \limits_{t \to \infty } 0.
$$
Пусть $1<p\le \infty$, $q$~--- сопряженное к $p$ число из
промежутка
$[1,\infty)$.
Зафиксируем произвольное положительное $\varepsilon $ и построим множество
$$
e(t) =  \{ s \in [t ,t+\omega]:|Y(s)|^q  \ge \varepsilon/2\omega\}.
$$
Применяя \Par*{Lemma~4} при $u(s)=|Y(s)|$, находим $T > 0$
такое, что при любом $t \ge T$
справедливо неравенство
$\operatorname{mes}e(t) < \frac{\varepsilon }{2K^q }$.
Следовательно,
$$
\int\limits_{e(t)} {|Y(s)|^q\, ds} \le K^q\operatorname{mes}e(t)
< {\varepsilon\over 2}.
$$
		
Пусть $s \in [t, t+\omega]\backslash e(t)$. Тогда по построению множества
$e(t)$ имеем $|Y(s)|^q < \varepsilon/2\omega$, значит,
$\int\nolimits_{[t, t+\omega]\setminus e(t)} {|Y(s)|^q \,ds} < \varepsilon/2$.
Следовательно, при всех $t \ge T$
$$
\int\limits_{t }^{t+\omega} {| Y(s)|^q \,ds} = \int\limits_{e(t)} {| {Y(s)}
|^q\, ds} + \int\limits_{[ t, t+\omega]\setminus e(t)} {|Y(s)|^q \,ds} <
\varepsilon .
$$
Так как $\varepsilon > 0$ выбрано произвольно, требуемое утверждение
следует из \Par*{Theorem~6}.
\enddemo
		
Случай $p=1$ рассмотрим отдельно.
		
\proclaim{Theorem 9}
Пусть $\sup\nolimits_{t \ge 0}|Y(t)|=K<\infty$. Тогда если
уравнение~\Tag(2) сильно асимптотически $L_p$-устойчиво хотя бы для одного $p\ge1$,
то оно асимптотически $L_1$-устойчиво.
\endproclaim
				
\demo{Proof}
Из формулы~\Tag(5) имеем
$$
|x(t)| \le |X(t)||x(0)|
+ \int\limits_0^{ \omega} {|Y(t - s)|| \sigma (s)|\,ds}.
$$
Из \Par*{Theorem~2} следует, что $\lim \nolimits_{t \to \infty } X(t) = 0$,
значит, в
оценке нуждается только второе слагаемое.
Пусть $\sigma \in L_1 [ 0, \omega]$, а
$\varepsilon $~--- произвольное положительное число.
В~силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега
найдется такое $\delta > 0$,
что для любого множества $e \subseteq [0, \omega]$, у которого
$\operatorname{mes}e < \delta $,
справедливо неравенство $\int\nolimits_e {| \sigma
(s)|}\, ds < \frac {\varepsilon}{2K}$.
		
Построим множество
$$
E(t) = \Bigl\{ s \in [t-\omega, t]:|Y(s)| \ge
\frac{\varepsilon }{{2\| \sigma \|_1 }}\Bigr\} .
$$
В~силу \Par*{Lemma~4} найдется $T > 0$ такое, что при любом $t \ge T$ справедливо
неравенство $\operatorname{mes}E(t) < \delta $.
Так как множество $e = \{ s \in [0, \omega]: t - s \in E(t)\} $
получается из
множества $E(t)$ отображением симметрии и сдвигом на $t $, то
$\operatorname{mes}e< \delta $, следовательно,
$$
\int\limits_{e} {|Y(t - s)||\sigma (s)|\,ds} \le K\int\limits_ {e}{|\sigma
(s)|\,ds} < \varepsilon/2.
$$
		
Пусть $s \in [0, \omega]\setminus e$.
Тогда $t - s \in [t-\omega, t]\setminus E(t)$,
по построению множества $E(t)$
имеем $|Y(t - s)| < \frac{\varepsilon}{2\| \sigma \|_1 }$, значит,
$$
\int\limits_{[ 0, \omega]\setminus e} {|Y(t - s)|| \sigma (s)|\,ds} <
\frac{\varepsilon }{2\| \sigma \|_1 }
\int\limits_ 0^{\omega} {|\sigma (s)|\,ds}= \varepsilon/2
$$
и, следовательно, при всех $t \ge T$
$$
\int\limits_ 0^{\omega} {|Y(t - s )||\sigma (s)|\,ds}
= \int\limits_ {e}{|Y(t- s)||\sigma (s) |\,ds} +
\int\limits_{[0, \omega]\backslash e } {|Y(t - s)||
\sigma (s)|\,ds} < \varepsilon.
$$
В~силу произвольности $\varepsilon  > 0$ отсюда вытекает, что
$$
\lim _{t \to \infty } \int\limits_{ 0}^{\omega} {Y(t - s)\sigma (s)\,ds} =
0,
$$
т.~е. $\lim\nolimits_{t \to \infty } x(t) = 0$, и
асимптотическая $L_1 $-устойчивость доказана.
\enddemo
				
Приведем пример, который показывает,
что в \Par*{Theorem~8} нельзя строгое неравенство
$p>1$ заменить нестрогим,
а в \Par*{Theorem~9}~--- асимптотическую $L_1$-устойчивость
сильной асимптотической.
		
Рассмотрим уравнение вида
$$
\dot x(t) - \dot x(t - 1) =  - bx(t) + cx(t - 1), \quad t\ge 0,
\eqno{(18)}
$$
для функции Коши которого в работах~[8,\,11]
установлены следующие свойства:
		
\Item (a) %1)
$\sup\nolimits_{t \ge 0}|Y(t)|<\infty$;
		
\Item (b) %2)
$\int\nolimits_{t}^{t+1} {|Y(s)|^2\,ds}
\underset{t \to \infty }\to{\longrightarrow} 0$; %\?
		
\Item (c) %3)
функция $Y$ имеет в точках $t = k$, $k\in{\Bbb N}_0$,
разрывы первого рода,
причем
$Y(k) = \lim\nolimits_{t \to k - 0} Y(t) + ( - 1)^k$.
		
Второе свойство означает, что рассматриваемое уравнение является сильно
асимптотически $L_2$-устойчивым. Из \Par*{Theorem~8}
вытекает сильная асимптотическая
$L_p$-устойчивость уравнения~\Tag(18) при всех $p>1$, а из \Par*{Theorem~9}~--- его
асимптотическая $L_1$-устойчивость. При
этом уравнение~\Tag(18) не является сильно
асимптотически $L_1$-устойчивым, так как третье свойство функции Коши
противоречит \Par*{Theorem~7}.

\head
6. Экспоненциальная устойчивость
\endhead

\proclaim{Lemma 5}
Если $\int\nolimits_t^{t + \omega } |Y(s)|\,ds \le N{e^{ -
\gamma t}}$, то $|X(t)| \le M{e^{ - \gamma t}}$.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Из соотношений~\Tag(6) и~\Tag(7) следует, что если условия
леммы выполнены, то для всех $t \in {{\Bbb R}_ + }$ имеют место соотношения
$$
\int\limits_t^{t + \omega } {| {X(s)} |\,ds
\le {M_1}{e^{ - \gamma t}}},
\quad \int\limits_t^{t + \omega }
{| {\dot X(s)} |\,ds \le {M_2}{e^{ -\gamma t}}}.\eqno{(19)}
$$
Предположим, что существует такое ${t_0} \in {{\Bbb R}_ + }$, что
$$
|X(t_0)e^{\gamma {t_0}}| > e^{\gamma \omega}\Bigl(\gamma {M_1} +
\frac{M_1}{\omega } + {M_2} \Bigr).
$$
Тогда для произвольного $t \in [{t_0},{t_0} + \omega ]$ имеем
$$
\align
| X(t){e^{\gamma t}} - X(t_0)e^{\gamma {t_0}}|
&=
\Biggl|\ \int\limits_{t_0}^t \frac{d}{ds}(X(s){e^{\gamma s}})\,ds \Biggr|
\\
&\le \gamma \int\limits_{t_0}^{t_0 + \omega}
| {X(s){e^{\gamma s}}}|\,ds
+ \int\limits_{t_0}^{t_0 + \omega}
| \dot X(s){e^{\gamma s}} |\,ds
\\
&\le \gamma e^{\gamma (t_0 + \omega )}
\int\limits_{t_0}^{t_0 + \omega} |X(s)|\,ds
+ e^{\gamma (t_0 + \omega)}\int\limits_{t_0}^{t_0 + \omega}
| \dot X(s)|\,ds \le \gamma e^{\gamma \omega}M_1 + e^{\gamma \omega}M_2.
\endalign
$$
Следовательно, для всех $t \in [{t_0},{t_0} + \omega ]$ справедлива оценка
$| {X(t){e^{\gamma t}}} | > \frac{{{M_1}{e^{\gamma \omega }}}}{\omega}$.
Значит,
$$
{e^{\gamma ({t_0} + \omega )}}
\int\limits_{t_0}^{t_0 + \omega} |X(s)|\,ds \ge
\int\limits_{t_0}^{t_0 + \omega}{| {X(s){e^{\gamma s}}}|\,ds >
{M_1}{e^{\gamma \omega }}},
$$
что противоречит первому из соотношений~\Tag(19).
\enddemo
						
\proclaim{Theorem 10}
Пусть $1 < p \le \infty $.
Уравнение~\Tag(2) экспоненциально ${L_p}$-устойчиво,
если и только если найдутся
такие $N,\gamma>0$, что при всех $t\in{\Bbb R}_+$ справедлива оценка
$\int\nolimits_t^{t + \omega } |Y(s)|^q\,ds \le N{e^{ - \gamma t}}$,
где $1/p + 1/q = 1$.
\endproclaim
				
\demo{Proof}
Для каждого фиксированного $t\in{\Bbb R}_+$ норма
вектор-функционала $K_t\colon L_p[0,\omega]\to{\Bbb R}^n$ определяется
формулой~\Tag(15).
В~силу \Par*{Theorem~3} это доказывает теорему в части необходимости.
Достаточность получаем из~\Tag(15), неравенства Г\"ельдера и \Par*{Lemma~5}.
\enddemo
				
\proclaim{Theorem 11}
Уравнение~\Tag(2) экспоненциально ${L_1}$-устойчиво, если и
только если найдутся такие $N,\gamma>0$, что его функция Коши подчинена
экспоненциальной оценке
$$
|Y(t)|\le Ne^{-\gamma t},\quad t\in{\Bbb R}_+.\eqno{(20)}
$$
\endproclaim
				
\demo{Proof}
Для каждого фиксированного $t\in{\Bbb R}_+$ норма
вектор-функционала $K_t\colon L_p[0,\omega]\to{\Bbb R}^n$ определяется
формулой~\Tag(16).
Следовательно, $\|K_t\| \le Ne^{ - \gamma t}$, если и только если $|Y(t)| \le
Ne^{ - \gamma t}$.
Остается сослаться на соотношение~\Tag(6).
\enddemo
		
Из \Par*{Theorems~10} и~\Par{Theorem 11}{11} получаем
		
\proclaim{Corollary 3}
Если функция Коши уравнения~\Tag(2) подчинена экспоненциальной
оценке~\Tag(20), то уравнение~\Tag(2) экспоненциально ${L_p}$-устойчиво для
всех $p$, $1 \le p \le \infty$.
\endproclaim
						
Покажем, что экспоненциальная оценка матрицы Коши~\Tag(20) является критерием не
только экспоненциальной $L_1$-устойчивости, но и экспоненциальной устойчивости
для любого $L_p$, $1\le p\le\infty$.
		
Для этого используем следующее известное~[12,\,13] свойство функции Коши
уравнений нейтрального типа.
		
\proclaim{Proposition 1}
Функция Коши $Y(t)$ уравнения~\Tag(2) имеет экспоненциальную
оценку~\Tag(20), если и только если корни
уравнения~\Tag(9) лежат слева от мнимой оси и отделены от нее.
\endproclaim
				
\proclaim{Theorem 12}
Если уравнение~\Tag(2) экспоненциально $L_p$-устойчиво при
некотором $p$, $1\le p\le\infty$, то все корни уравнения~\Tag(9) лежат слева от мнимой оси и отделены от нее.
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Пусть уравнение~\Tag(2) экспоненциально $L_p$-устойчиво,
т.~е. существуют такие константы $M,\gamma>0$,
что при любой $\sigma\in L_p$ для
решения~\Tag(2) выполнено
неравенство $|x(t)|\le Me^{-\gamma t}(|x_0|+\|\sigma\|)$, $t>0$.
			
Предположим, что характеристическое уравнение~\Tag(9) имеет корень
$\lambda_0=\alpha+i\beta$, для которого $\alpha>-\gamma$.
Обозначим через
$\xi_0=\zeta+i \eta$ вектор, являющийся нетривиальным решением системы
$G(\lambda_0)\xi=0$.
			
Построим при $t\in[-\omega,0]$ функции $\varphi(t)=e^{\lambda_0 t}\xi_0$,
$\psi(t)=\dot{\varphi}(t)$,
для которых, очевидно, $\sigma\in L_p([0,\omega])$.
Если уравнение~\Tag(2) дополнить такими начальными функциями,
то его решением при
всех $t\ge 0$ будет функция $x(t)=e^{\lambda_0 t}\xi_0$:
$$
\align
\dot{x}(t)-&\sum_{k=1}^{K}{A_k\dot{x}(t-h_k)}
-\sum\limits_{j = 0}^J {B_j x({t -r_j})}
\\
&=e^{\lambda_0t}\Biggl(\lambda_0
\Biggl(I-\sum_{k=1}^{K}{A_ke^{-\lambda_0h_k}}\Biggr)
-\sum_{j=0}^{J}{B_je^{-\lambda_0r_j}}\Biggr)\xi_0
=e^{\lambda_0t}G(\lambda_0)\xi_0=0.
\endalign
$$
Но при $\alpha>-\gamma$
функция $|x(t)|e^{\gamma t}=e^{(\alpha+\gamma)t}|\xi_0|$
неограниченная,
что противоречит приведенному выше неравенству $|x(t)|e^{\gamma
t}\le M(|x_0|+\|\sigma\|)$, которое должно выполняться для всех решений уравнения~\Tag(2).
\enddemo
		
\proclaim{Theorem 13}\Label{T13}
Следующие утверждения эквивалентны.
			
\Item (a) %{\rm 1)}
Уравнение~\Tag(2) экспоненциально $L_p$ устойчиво хотя бы при одном $p$, $1\le p\le \infty$.
\Item (b) %{\rm 2)}
Уравнение~\Tag(2) экспоненциально $L_p$ устойчиво при всех $p$, $1\le p\le \infty$.
\Item (c) %{\rm 3)}
Для функции Коши справедлива оценка~\Tag(20).
\endproclaim
		
\demo{Proof}
Проведем его по цепочке
\Par{T13}{(c)}$\Rightarrow$\Par{T13}{(b)}$\Rightarrow$\Par{T13}{(a)}$\Rightarrow$\Par{T13}{(c)}.
%$3) \Rightarrow 2) \Rightarrow 1) \Rightarrow 3)$.
		
\Par{T13}{(c)}$\Rightarrow$\Par{T13}{(b)}: %$3)\Rightarrow 2)$:
Пусть для функции Коши выполнена оценка~\Tag(20).
Тогда по \Par*{Theorem~11} уравнение~\Tag(2)
экспоненциально $L_1$-устойчиво. Поскольку для любого множества $E$ и любого
$p>1$ имеем $L_p(E)\subset L_1(E)$, то экспоненциальная оценка~\Tag(20) влечет
экспоненциальную $L_p$-устойчивость уравнения~\Tag(2) при любом $p$, $1\le
p\le\infty$.
			
Импликация \Par{T13}{(b)}$\Rightarrow$\Par{T13}{(a)} %$2)\Rightarrow 1)$
очевидна.
			
\Par{T13}{(a)}$\Rightarrow$\Par{T13}{(c)}: %$1)\Rightarrow 3)$:
Наконец, пусть верно утверждение~\Par{T13}{(a)}, %\?утверждение~1,
т.~е. уравнение~\Tag(2)
экспоненциально $L_p$-устойчиво при некотором $p$, $1\le p\le +\infty$. Тогда из
\Par*{Theorem~12} следует, что все корни уравнения~\Tag(9) лежат слева от мнимой оси и
отделены от нее, а из \Par*{Proposition~1} вытекает оценка~\Tag(20).
\enddemo

\Refs

\ref\no 1
\by        Azbelev~N., Maksimov~V., and Rakhmatullina~L.
\book      Introduction to the Theory of Linear Functional-Differential Equations
\publaddr  Atlanta
\publ      World Federation
\yr        1995
\bookinfo  Adv. Ser. Math. Sci. Eng., 3
\endref

\ref\no 2
 \by         Kolmanovskii~V.B. and Nosov V.R.
 \book       Stability and Periodic Regimes of Control Systems with Aftereffect
 \publ       Nauka
 \publaddr   Moscow
 \yr         1981
 \lang       Russian
\endref

\ref\no 3
\by                 Hale~J.K.
      \book         Theory of Functional Differential Equations
      \bookinfo     Second edition
      \publ         Springer
      \publaddr     New York, Heidelberg, and Berlin
      \yr           1977
      \finalinfo    Appl. Math. Sci., 3
\endref

\ref\no 4
 \by       El'sgol'ts~L.E. and Norkin~S.B.
 \book     Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Argument
 \publaddr New York
 \publ     Academic
 \yr       1973
 \endref

\ref\no 5
	\by                Vlasov~V.V. and Rautian~N.A.
	\book              Spectral Analysis of Functional-Differential Equations
	\publaddr          Moscow
\publ                      Maks Press %Макс Пресс
	\yr                2016
\lang                      Russian
\endref

\ref\no 6
 \by      Junca~S. and Lombard~B.
 \paper   Stability of a critical nonlinear neutral delay differential equation
 \jour    J.~Differential Equations
 \yr      2014
 \vol     256
 \issue   7
 \pages   2368--2391
\endref

\ref\no 7
 \by        Simonov~P.M. and Chistyakov~A.V.
 \paper     On exponential stability of linear difference-differential systems
\jour       Russian Math. (Iz. VUZ)
 \yr        1997
 \vol       41
 \issue     6
 \pages     34--45
\endref

\ref\no 8
 \by      Balandin~A.S. and Malygina~V.V.
 \paper   Asymptotic properties of solutions to differential equations of neutral type
 %Asymptotic properties of solutions of a~class of differential equations of neutral type
 \jour    Siberian Adv. Math.
 \yr      2021
 \vol     31
 \issue   2
 \pages   79--111
\endref

\ref\no 9
\by            Demidovich~B.P.
\book          Lectures on the Mathematical Theory of Stability
\publaddr      Moscow
\publ          Nauka
\yr            1967
\lang          Russian
\endref

\ref\no 10
 \by          Lyusternik~L.A. and  Sobolev~V.I.
 \book        A~Concise Course in Functional Analysis %A short course in functional analysis
 \publaddr    Moscow
 \publ        Higher School %Publishing House %Vyssh. Shkola
  \yr         1982
 \lang        Russian
\endref

\ref\no 11
 \by          Malygina~V.V. and Balandin~A.S.
	\paper    Asymptotic stability for a~class of equations of neutral type
\jour         Sib.  Math.~J.
	\yr       2021
	\vol      62
	\issue    1
	\pages    84--92
\endref

\ref\no 12
\by              Bellman~R.E. and Cooke~K.L.
      \book      Differential-Difference Equations
      \publ      Academic
      \publaddr  New York and London
    \yr          1963
\endref

\ref\no 13
 \by             Balandin~A.S.
	\paper       Exponential stability of autonomous differential equations of neutral type.~I
\jour            Russian Math. (Iz. VUZ)
	\yr          2023
\vol             67
	\issue       3
	\pages       9--22
\endref
\endRefs

\enddocument