\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Chudinov \Initial K. \Initial M. \Gender he \ORCID 0000-0002-7574-793X \Email cyril\@list.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Perm National Research Polytechnic University \City Perm \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted February 20, 2026\enddatesubmitted %\daterevised February 20, 2026\enddaterevised \dateaccepted March 10, 2026\enddateaccepted \UDclass 517.929 \endUDclass \dedication Геннадию Владимировичу Демиденко в связи с его 70-летием. %To Gennady Vladimirovich Demidenko with gratitude for his attention and support. \enddedication \title Об~эффективных условиях устойчивости линейного дифференциального уравнения с~последействием общего вида %On Effective Stability Conditions for Linear Differential Equation with Aftereffect of General Form \endtitle \abstract Получены достаточные условия устойчивости скалярного линейного неавтономного дифференциального уравнения первого порядка с последействием в виде интеграла Римана --- Стилтьеса, выраженные в явном виде через определяющую уравнение функцию запаздывания. Результаты работы усиливают известные теоремы о достаточных условиях устойчивости, идущие от классических теорем Мышкиса ``о 3/2.'' Рассмотрен ряд примеров, иллюстрирующих преимущества полученных результатов. %We obtain sufficient stability conditions for a first-order scalar linear %nonautonomous differential equation with aftereffect in the form of a %Riemann--Stieltjes integral. %The conditions are explicitly expressed in terms of of the delay function %defining the equation. %The results of the work strengthen well-known theorems, on sufficient stability %conditions, coming from the classical Myshkis 3/2 theorems. %We consider a number of examples illustrating the advantages of the obtained results. \endabstract \keywords дифференциальное уравнение, последействие, устойчивость, функция Коши, теорема о 3/2 %differential equation, %aftereffect, %stability, %Cauchy function, %3/2 theorem \endkeywords \endtopmatter \head Введение \endhead Скалярное функционально-дифференциальное уравнение $$ \dot x(t)+\int\limits_0^t x(s)\,d_s r(t,s)=0, \quad t\in[0,+\infty)\equiv{\Bbb R}_+, \eqno(1) $$ включает в себя широкие классы линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с последействием [1, Sections 1.1 and 5.1; 2, Sections 1.1 and~1.2]. Настоящая статья посвящена исследованию условий устойчивости уравнения \Tag(1), в котором функция $r$ не убывает по второму аргументу, что в случае уравнения с сосредоточенными запаздываниями соответствует неотрицательности коэффициентов. Основными результатами настоящей работы являются условия на функцию $r$, обеспечивающие устойчивость уравнения относительно начальных данных. Эти результаты обобщают результаты недавней работы [3], которые, в свою очередь, усиливают известные достаточные условия устойчивости, идущие от теорем Мышкиса ``о $3/2$'' [4,\,5]. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с последействием в большинстве работ определяется как непрерывная в том или ином смысле зависимость решений уравнения относительно начальной функции. Уравнение вида \Tag(1) формально не требует задания начальной функции; все асимптотические свойства его решений определяются как свойства соответствующей уравнению функции Коши. В частности, все традиционно исследуемые виды устойчивости относительно начальной функции выражаются через оценки сверху абсолютных значений функции Коши. Основные результаты в данной работе представлены как теоремы о свойствах функции Коши уравнения~\Tag(1). Необходимые сведения для соотнесения свойств функции Коши с традиционными определениями устойчивости приведены в \Sec*{Section 1}. В \Sec*{Section~2} описан исторический контекст исследуемой проблемы. В \Sec*{Section 3} получены условия ограниченности функции Коши уравнения \Tag(1), т.~е. его равномерной устойчивости. В \Sec*{Section~4} проведен подробный анализ преимуществ новых условий равномерной устойчивости над известными. Мы сравниваем результаты применения разных условий ограниченности функции Коши к относительно простым уравнениям, для которых сильные и слабые стороны таких условий проявляются наиболее отчетливо. В \Sec*{Section 5} рассмотрены дополнительные условия, обеспечивающие некоторые виды асимптотической устойчивости уравнения~\Tag(1). \head 1. Устойчивость как~свойство функции Коши \endhead Ниже символ $\infty$ везде обозначает $+\infty$. Наряду с уравнением \Tag(1) будем рассматривать семейство так называемых ``$s$-урезанных'' уравнений $$ \dot x(t)+\int\limits_s^t x(\tau)\,d_\tau r(t,\tau)=0, \quad t\in[s,\infty), \eqno(2) $$ где $s\in{\Bbb R}_+$, считая {\it решением\/} уравнения \Tag(2) локально абсолютно непрерывную функцию $x\colon[s,\infty)\to{\Bbb R}$, удовлетворяющую уравнению почти всюду. Интеграл в уравнении \Tag(2) понимается в смысле Римана~--- Стилтьеса. Однозначную разрешимость уравнения \Tag(2) при задании начального значения $x(s)$ обеспечивают, например, следующие предположения о функции~$r$ [2, p.~17]: будем считать, что она локально суммируема по первому аргументу при фиксированном втором и имеет ограниченное изменение $\rho(t)=\bigvee\nolimits_{0}^t r(t,\cdot)=\int\nolimits_{0}^t d_s r(t,s)$, при этом функция $\rho$ локально суммируема. \demo{Definition 1 \rm [2, p.~93]} {\it Функцией Коши\/} уравнения \Tag(1) называется функция $C\colon {\Bbb R}_+^2\to {\Bbb R}$ такая, что $$ \frac{\partial C(t,s)}{\partial t}+\int\limits_s^t C(\tau,s)\,d_\tau r(t,\tau)=0,\ t\ge s; \quad C(s,s)=1;\quad C(\xi,s)=0,\ \xi0$ для всех пар $(t,s)\in{\Bbb R}_+^2$ имеем $|C(t,s)|\le N$; %\?в русском . \Item{$\smallbullet$} {\it асимптотически устойчивым}, если для любого числа $s\ge0$ при $t\to\infty$ имеем $C(t,s)\to 0$; \Item{$\smallbullet$} {\it равномерно асимптотически устойчивым}, если для любого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $l>0$, что $|C(t,s)|<\varepsilon$ для любых $s\ge0$ и $t\ge s+l$; \Item{$\smallbullet$} {\it экспоненциально устойчивым}, если для некоторых $N>0$ и $\gamma>0$ для всех пар $(t,s)\in{\Bbb R}_+^2$ имеем $|C(t,s)|\le N\exp(-\gamma(t-s))$. \enddemo О соотношении определений устойчивости через начальную функцию и через функцию Коши см. [6, pp.~195--198]. Задача дальнейшего исследования~--- получить достаточные условия устойчивости уравнения~\Tag(1), выраженные в явном виде через параметры уравнения и имеющие существенные преимущества перед известными результатами. \head 2. Теоремы о $3/2$ \endhead В середине ХХ в. А.Д.~Мышкис установил [4], что все решения линейного неавтономного уравнения с запаздывающим аргументом $$ \dot x(t)+a(t)x(t-r(t))=0, \quad t\in{\Bbb R}_+, \eqno(3) $$ где $a(t)\ge0$ и $r(t)\ge0$, при условии $\sup\nolimits_{t\in{\Bbb R}_+} a(t)\cdot\sup\nolimits_{t\in{\Bbb R}_+} r(t)\le 3/2$ устойчивы по Ляпунову, а при условиях $\varlimsup\nolimits_{t\to+\infty} a(t)\cdot\varlimsup\nolimits_{t\to+\infty} r(t)<3/2$ и $a(t)\ge m>0$ асимптотически устойчивы, причем константа $3/2$ неулучшаема: строгое неравенство нельзя заменить нестрогим, а в нестрогом нельзя заменить верхние грани верхними пределами. Первые обобщения и уточнения этих результатов были получены в конце 60-х~гг. ХХ~в., а на {80-е} и {90-е} годы в международной печати пришелся пик интереса к теоремам о $3/2$ и возможностям их уточнений. С тех пор поток работ, посвященных эффективным условиям устойчивости уравнений с последействием, продолжает нарастать, но за последние два десятилетия он изменился качественно: получено много обобщений полученных в ХХ веке фундаментальных результатов (см. обзор в недавней работе [7]), однако эти достижения, существенно расширяя область применимости найденных в ХХ~в. подходов, мало углубляют сами подходы. В части новых идей, по нашему мнению, налицо кризис: так, в отношении устойчивости уравнения с одним запаздыванием \Tag(3) принято цитировать работу [8] 30-летней давности и обзор известных результатов в ней, а также работы [9,\,10]. Работа В.В.~Малыгиной [11], где получены более сильные результаты, по-видимому, осталась непонятой, а основной результат из ее более ранней иногда цитируемой работы [12] удивительным образом оказался переоткрытым несколько лет назад в~[13]. Современные авторы продолжают разделять в теоремах о $3/2$ случаи непрерывных и суммируемых параметров уравнения \Tag(3), хотя давно известно (в частности, из тех же работ Малыгиной), что это разделение непринципиально; более того, ненужное требование непрерывности параметров, как правило, только усложняет выкладки. Наконец, заметим, что основополагающие работы Мышкиса не читаются и упоминаются вс\"е реже. Таким образом, современным обзорам литературы по устойчивости дифференциальных уравнений с последействием можно доверять только отчасти и с осторожностью. Условия устойчивости уравнения \Tag(1), обобщающие теоремы Мышкиса и объединяющие в себе все полученные ранее достижения в этом направлении, систематизированы в недавней работе Малыгиной [5]. Приведем их. Будем считать, что $r(t,0)=0$, и обозначим $h(t)=\inf\nolimits_{s\ge0}r(t,s)\ne0$. Заметим, что в применении к уравнению \Tag(3) в приведенных ниже пяти предложениях имеем $\rho(s)=a(s)$. \proclaim{Proposition 1 \rm [11,\,5]} Если для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sup_{t\ge t_0}\int\limits_{h(t)}^t \rho(s)\,ds\le 3/2, \eqno(4) $$ то функция Коши уравнения \Tag(1) ограничена. \endproclaim \proclaim{Proposition 2 \rm [11,\,5]} Если $$ \varlimsup_{t\to\infty}\int\limits_{h(t)}^t \rho(s)\,ds< 3/2, \eqno(5) $$ то для некоторых $N>0$ и $\gamma>0$ функция Коши $C(t,s)$ уравнения \Tag(1) подчинена оценке $$ |C(t,s)|\le Ne^{-\gamma\int\limits_s^t \rho(\tau)\,d \tau},\quad (t,s)\in{\Bbb R}_+^2. \eqno(6) $$ \endproclaim \proclaim{Proposition 3 \rm [11,\,5]} Если $\int\nolimits_{0}^{\infty} \rho(s)\,ds<\infty$, то для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $T\ge 0$, что для любых $s\ge T$ и $t\ge s$ имеем $|C(t,s)-1|<\varepsilon$. \endproclaim \proclaim{Proposition 4 \rm [11,\,5]} Если справедливы условия \Tag(5) и $$ \int\limits_{0}^{\infty} \rho(s)\,ds=\infty, \eqno(7) $$ то уравнение \Tag(1) асимптотически устойчиво. \endproclaim \proclaim{Proposition 5 \rm [11,\,5]} Если для некоторого $m>0$ имеем $$ \rho(t)\ge m \eqno(8) $$ и справедливо условие \Tag(5), то уравнение \Tag(1) экспоненциально устойчиво. \endproclaim В \Par*{Propositions 2}, \Par{Proposition 4}{4}, и \Par{Proposition 5}{5} нельзя заменить строгое неравенство нестрогим, а в \Par*{Proposition~1} даже заменить точную верхнюю грань верхним пределом. В 1991~г. в работе [14] впервые было обращено внимание на то, что условия устойчивости в теоремах о $3/2$ при переходе от уравнения~\Tag(3) к уравнению с несколькими запаздываниями резко теряют в точности. Рассмотрим обобщающее \Tag(3) уравнение $$ \dot x(t)+\sum_{k=1}^ma_k(t)x(h_k(t))=0, \quad t\in{\Bbb R}_+, \eqno(9) $$ где $a_k(t)\ge0$ и $h_k(t)\le t$. \proclaim{Proposition 6 \rm [14]} Если в уравнении \Tag(9) $a_k(t)\equiv \alpha_k\ge0$ и для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sum_{k=1}^m \alpha_k\cdot\sup_{t\ge t_0}(t-h_k(t))<3/2, $$ то уравнение асимптотически устойчиво. \endproclaim \proclaim{Proposition 7 \rm [14]} Если для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sum_{k=1}^m \sup_{t\ge t_0}a_k(t)\cdot\sup_{t\ge t_0}(t-h_k(t))<1, $$ то уравнение асимптотически устойчиво, причем константу $1$ в правой части неравенства нельзя увеличить. \endproclaim Таким образом, при переносе результатов Мышкиса на уравнение с несколькими запаздываниями границу устойчивости $3/2$ удается сохранить для случая постоянных коэффициентов, но если коэффициент только ограничен сверху константой, то граница устойчивости уменьшается скачком. Сопоставим эти результаты с применением к уравнению \Tag(9) \Par*{Propositions~1} и~\Par{Proposition 2}{2}. Здесь имеем $h(t)=\min\nolimits_{k\in\{1,\dots,n\}}h_k(t)$, $t\in{\Bbb R}_+$. \proclaim{Proposition 8 \rm [11]} Если для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sup_{t\ge t_0}\int\limits_{h(t)}^t\sum_{k=1}^m a_k(s)\,ds\le 3/2, $$ то функция Коши уравнения \Tag(9) ограничена. \endproclaim \proclaim{Proposition 9 \rm [11]} Если справедливо неравенство $$ \varlimsup_{t\to\infty}\int\limits_{h(t)}^t\sum_{k=1}^m a_k(s)\,ds< 3/2, $$ то для некоторых $N>0$ и $\gamma>0$ функция Коши $C(t,s)$ уравнения \Tag(9) подчинена оценке~\Tag(6). \endproclaim Видимый недостаток этих результатов состоит в том, что все коэффициенты интегрируются по одному и тому же промежутку, хотя их влияние на устойчивость, очевидно, может сильно различаться. Таким образом, более 30 лет назад была обозначена проблема поиска условий устойчивости, обобщающих известные результаты типа теорем о $3/2$, которые учитывали бы влияние разных запаздываний независимо. Недавно поиск таких условий привел к следующему результату. В работе [3] \Par*{Propositions 8} и \Par{Proposition 9}{9} %\?предложения 8 и 9 существенно усилены по отношению к уравнению \Tag(3), которое рассматривается в предположении, что функция $a\colon{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}$ локально суммируема, а функция $h\colon{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}$ измерима; по-прежнему полагается, что $a(t)\ge0$ и $h(t)=t-r(t)\le t$ для всех $t\in{\Bbb R}_+$. Обозначим $$ \mu(\tau)=\cases 0,& \tau<0,\\ \tau,& \tau\in[0,1],\\ 1,& \tau>1. \endcases $$ \proclaim{Proposition 10 \rm [3]} Если для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sup_{t\ge t_0}\int\limits_{t}^{\infty} \mu\Biggl(\ \int\limits_{h(s)}^t a(\tau)\, d\tau\Biggr) a(s)\,ds\le 1, $$ то функция Коши уравнения \Tag(3) ограничена. \endproclaim \proclaim{Proposition 11 \rm [3]} Если $$ \varlimsup_{t\to\infty}\int\limits_{t}^{\infty} \mu\Biggl(\ \int\limits_{h(s)}^t a(\tau)\, d\tau\Biggr) a(s)\,ds<1, $$ то для некоторых $N>0$ и $\gamma>0$ функция Коши $C(t,s)$ уравнения \Tag(3) подчинена оценке~\Tag(6). \endproclaim В работе [3] показано, что \Par*{Propositions 8} и \Par{Proposition 9}{9} %\?предложения 8 и 9 в случае $m=1$ являются следствиями \Par*{Propositions~10} и~\Par{Proposition 11}{11} соответственно, при этом существуют уравнения, устойчивость которых устанавливается последними, но не устанавливается первыми. В следующем разделе подход, примененный в~[3] к исследованию уравнения~\Tag(3), будет применен к уравнению~\Tag(1). \head 3. Новые условия равномерной устойчивости \endhead В дальнейшем значения $\rho(t)$ будем записывать в виде интеграла $\int\nolimits_{0}^t \,d_s r(t,s)$. Это удобно в связи с тем, что часто будет использоваться тот же интеграл с другими пределами. \proclaim{Theorem 1} Если для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sup_{t\ge t_0}\int\limits_{t}^{\infty}\int\limits_0^t \mu\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^t\int\limits_0^\xi \,d_\eta r(\xi,\eta)\,d \xi \Biggr)\, d_\tau r(s,\tau)\,ds\le 1, \eqno(10) $$ то уравнение \Tag(1) равномерно устойчиво. \endproclaim \demo{Proof} Если для некоторого фиксированного $s\ge0$ значения $C(t,s)$ не меняют знака при $t>s$, то в силу невозрастания функции $r$ по второму аргументу они не возрастают с ростом $t$, следовательно, $0\le C(t,s)\le1$. Зафиксируем произвольное $s\ge t_0$ такое, что значения $C(t,s)$ меняют знак при $t\ge s$. Обозначим для краткости $c(t)=C(t,s)$. Функция $c$ есть решение $s$-урезанного уравнения~\Tag(2). Покажем, что при выполнении условий теоремы для любого числа $M>0$ и любой такой точки $t_1\ge s$, что $c(t_1)<0$, имеем: если $c(t)\le M$ для всех $t\in[s,t_1)$, то $c(t_1)\ge -M$. В силу линейности без ограничения общности полагаем $M=1$. Обозначим $s_0=\sup\{{t\in[s,t_1]}\mid c(t)>0\}$. Очевидно, $c(s_0)=0$. С учетом предположения $c(t)\le1$ для $t\in[s,s_0]$ получаем $$ c(t)=-(c(s_0)-c(t))=\int\limits_{t}^{s_0}\int\limits_s^\xi c(\eta)\, d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi\le\int\limits_{t}^{s_0}\int\limits_s^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi, $$ следовательно, для всех $t\in[s,t_1]$ справедливо неравенство $$ c(t)\le\mu\Biggl(\ \int\limits_{t}^{s_0} \int\limits_s^\eta d_\tau r(\eta,\tau)\,d\eta\Biggr). \eqno(11) $$ Отсюда при выполнении \Tag(10) получаем $$ \align c(t_1)&=c(t_1)-c(s_0)=-\int\limits_{s_0}^{t_1}\int\limits_s^\zeta c(\tau)\, d_\tau r(\zeta,\tau)d\zeta \ge-\int\limits_{s_0}^{t_1}\int\limits_s^{s_0} c(\tau)\, d_\tau r(\eta,\tau)d\eta \\ &\ge-\int\limits_{s_0}^{t_1}\int\limits_s^{s_0} \mu\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{s_0}\int\limits_s^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi\Biggr) d_\tau r(\zeta,\tau)d\zeta \\ &\ge-\int\limits_{s_0}^{\infty}\int\limits_0^{s_0} \mu\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{s_0}\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi\Biggr) d_\tau r(s,\tau)ds\ge-1. \endalign $$ Итак, если $c(t)\le M$ для всех $t\in[s,t_1)$, то $c(t_1)\ge-M$. Аналогично получаем, что если функция $c(t)$ меняет знак при $t\in[s,t_1]$ и $c(t_1)>0$, то $c(t_1)\le-\min\nolimits_{t\in[s,t_1)} c(t)$. Таким образом, в условиях теоремы функция Коши уравнения \Tag(1) ограничена. Теорема доказана. \enddemo Покажем, что \Par*{Proposition 1} следует из \Par*{Theorem 1}. Заметим, что $\int\nolimits_0^{3/2} \mu(\tau)\,d\tau=1$ и при $s>t$ имеем $\mu\bigl(\int\nolimits_s^t a(\tau)\,d \tau\bigr)=0$. Предположим, что выполнены условия \Par*{Proposition~1}. Зафиксируем произвольно $t\ge t_0$ и определим на полуоси $[t,\infty)$ функцию $$ \alpha=\alpha(s)=\int\limits_{t}^{s} \rho(\tau)\,d\tau=\int\limits_{t}^{s}\int\limits_0^\tau d_\xi r(\tau,\xi)\,d\tau. $$ Для любых $s\ge t$ имеем $$ \int\limits_{h(s)}^{t} \rho(\tau)\,d\tau=\int\limits_{h(s)}^{t}\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi =\int\limits_{h(s)}^{s}\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi-\int\limits_{t}^{s}\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi\le3/2-\alpha(s). $$ Функция $\alpha$ непрерывна и не убывает, $$ \alpha'(s)=\rho(s)=\int\limits_0^s d_\tau r(s,\tau), \quad d \alpha=\alpha'(s)\,ds=\rho(s)\,ds=\int\limits_0^s d_\tau r(s,\tau)\,ds. $$ Следовательно, либо существует такая точка $t_1>t$, что $\alpha(t_1)=1/2$, либо $\alpha(s)<1/2$ для всех $s\ge t$. В первом случае для любой точки $t_2\ge t$ получаем $$ \align \int\limits_{t}^{t_2} \int\limits_0^t \mu&\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta) \,d \xi \Biggr) d_\tau r(s,\tau)\,ds \\ &=\int\limits_{t}^{t_2} \int\limits_{h(s)}^t \mu\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{t}\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta) \,d \xi \Biggr) d_\tau r(s,\tau)ds \\ &\le\int\limits_{t}^{t_2} \int\limits_0^s \mu\Biggl(\ \int\limits_{h(s)}^{t}\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta) \,d \xi \Biggr) d_\tau r(s,\tau)ds \\ &\le\int\limits_{t}^{t_2}\int\limits_0^s d_\tau r(s,\tau)\, \mu(3/2-\alpha(s)) ds =\int\limits_{t}^{t_2} \mu(3/2-\alpha(s)) d\alpha(s) \\ &=\int\limits_{t}^{t_1}\mu(3/2-\alpha(s)) d\alpha(s)+\int\limits_{t_1}^{t_2}\mu(3/2-\alpha(s)) d\alpha(s) \\ &=1/2+\int\limits_{t_1}^{t_2} (3/2-\alpha(s))\,d\alpha(s)\le1/2+\sup_{x\ge0}\int\limits_{0}^{x} (1-y)\,dy=1. \endalign $$ Во втором случае то же самое неравенство очевидно. Таким образом, если выполнено условие \Tag(4) \Par*{Proposition 1}, то выполнено и условие \Tag(10) \Par*{Theorem~1}. Применение к уравнению \Tag(9) \Par*{Theorem 1} дает \proclaim{Corollary 1} Если для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sup_{t\ge t_0}\int\limits_{t}^{\infty} \sum_{k=1}^m a_k(s) \mu\Biggl(\ \int\limits_{h_k(s)}^t \sum_{i=1}^ma_i(\tau)\,d \tau \Biggr) ds\le 1, $$ то функция Коши уравнения \Tag(9) ограничена. \endproclaim Обратим внимание на множества, по которым интегрируются коэффициенты $a_k$ в \Par*{Proposition~8} и \Par*{Corollary~1}. В \Par*{Proposition~8} все коэффициенты интегрируются по одному общему промежутку, длина которого равна наибольшему запаздыванию. В \Par*{Corollary~1} каждый коэффициент $a_k$ интегрируется фактически по своему подмножеству полуоси $[t,\infty)$, которое определяется весовым коэффициентом в виде значения функции $\mu$, который может быть нулевым, единичным и промежуточным. Мера множества, на котором этот коэффициент ненулевой, во всяком случае не превосходит максимальной длины соответствующего запаздывания $t-h_k(t)$, а не общего максимального запаздывания $t-h(t)$, как в \Par*{Proposition~8}. Это само по себе является весомым аргументом в пользу \Par*{Corollary~1}: влияние каждого из $m$ запаздываний на устойчивость уравнения \Tag(9) оценивается отдельно. Более подробный анализ свойств новых условий устойчивости проводится в следующем параграфе. Для большей ясности такого анализа приведем следующий результат, ослабляющий \Par*{Corollary~1}, но имеющий простую формулировку и обладающий простотой применения. Обозначим $E_k(t)=\{s\ge t\mid h_k(s)\le t\}$, $k=\overline{1,m}$. Множества $E_k(t)$ измеримы в силу измеримости функций $h_k$. \proclaim{Corollary 2} Если для некоторого $t_0\ge 0$ справедливо неравенство $$ \sup_{t\ge t_0}\int\limits_{E_k(t)} \sum_{k=1}^m a_k(s)\, ds\le 1, $$ то функция Коши уравнения \Tag(9) ограничена. \endproclaim \head 4. Несколько примеров \endhead Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих сильные стороны приведенных выше новых результатов и поясняющих идеи, заложенные в их основе. Ради ясности постараемся сделать это с помощью по возможности простых примеров уравнений вида \Tag(3) и \Tag(9), периодически ``теряющих память.'' Будем сопоставлять результаты применения к уравнению \Tag(9) представленных выше условий устойчивости. Для удобства будем, приводя эти результаты, нумеровать их везде следующим образом. \Label{S4} \Item (a) %1. Результат применения \Par*{Propositions 7} и \Par{Proposition 6}{6}. \Item (b) %2. Результат применения \Par*{Proposition~8}. \Item (c) %3. Результат применения \Par*{Corollary 2}. \Item (d) %4. Результат применения \Par*{Corollary 1}. Этот результат по определению будет давать условия не слабее, чем предыдущий, но мы намеренно разделяем эти результаты, чтобы пояснить, какие именно идеи позволяют существенно улучшить условия из пп. \Par{S4}{(a)} и \Par{S4}{(b)}. %пп.~1 и~2. Сначала продемонстрируем роль весового коэффициента $\mu(\cdot)$ в подынтегральном выражении \Par*{Corollary~1}. Для простоты и ясности рассмотрим уравнение с одним запаздыванием. Обозначим ${\Bbb N}_0={\Bbb N}\cup\{0\}$. \demo{Example 1} Рассмотрим уравнение \Tag(9), в котором $m=1$, $a_1(t)\equiv \alpha$ и для всех $n\in{\Bbb N}_0$ и $t\in[2n,2n+2)$ имеем $h_1(t)=2n$: $$ \dot x(t)+\alpha x(2n)=0,\quad t\in[2n,2n+2),\ n\in{\Bbb N}_0. $$ Общее решение этого уравнения на полуоси ${\Bbb R}_+$ имеет вид $$ x(t)=x(0)(1-2\alpha)^n(1-\alpha(t-2n)),\quad t\in[2n,2n+2), \ n\in{\Bbb N}_0. $$ Очевидно, что уравнение равномерно устойчиво, если и только если $\alpha\le1$. Применение приведенных выше утверждений дает следующие условия равномерной устойчивости. %\Label{E1} \Item (a) %1. \Par*{Proposition~7} дает условие $$ \sup\limits_{t\in[2n,2n+2)} a_1(t) \cdot\sup\limits_{t\in[2n,2n+2)} (t-h_1(t))\cdot 2\le 1, $$ т.~е. $\alpha\le 1/2$. \Par*{Proposition~6} усиливает этот результат: $\alpha\le3/4$. \Item (b) %2. \Par*{Proposition~8} дает условие $$ \sup\limits_{t\in[2n,2n+2)}\int\limits_{h_1(t)}^t a_1(s)\,ds\le 3/2, $$ т.~е. $\alpha\le 3/4$. \Item (c) %3. \Par*{Corollary 2} дает $$ \sup\limits_{t\in[2n,2n+2)}\int\limits_t^{2n+2} a_1(s) \,ds\le1, $$ т.~е. $\alpha\le 1/2$. \Item (d) %4. \Par*{Corollary 1} дает условие $$ \align \sup\limits_{t\in[2n,2n+2)}&\int\limits_t^{2n+2} a_1(s) \cdot\mu \Biggl(\ \int\limits_{2n}^t a_1(\tau)\, d \tau\Biggr) ds =\alpha\cdot\sup\limits_{t\in[0,2)}\int\limits_{t}^{2} \mu(\alpha t)\,ds \\ &=\alpha\cdot\max\bigl\{\sup\limits_{t\in[0,1/\alpha)}[(2-t)(\alpha t)],\sup\limits_{t\in[1/\alpha,2)}(2-t)\bigr\}\le 1, \endalign $$ откуда $\alpha\le 1$. Лучший результат здесь дает \Par*{Corollary 1} (в данном случае необходимое и достаточное условие равномерной устойчивости), поскольку функция $\mu$ хорошо применима к исследованию устойчивости уравнения с рассмотренным типом запаздывания. \enddemo %\? Теперь проиллюстрируем применение новых условий устойчивости к уравнению с несколькими слагаемыми. Сначала рассмотрим случай второго слагаемого без запаздывания. \demo{Example 2} Рассмотрим уравнение \Tag(1), где $m=2$, в котором для всех $n\in{\Bbb N}_0$ и $t\in[2n,2n+2)$ положим $$ a_1(t)=\alpha,\quad a_2(t)=\beta,\quad h_1(t)=2n,\quad h_2(t)=t. $$ На каждом промежутке $[2n,2n+2)$ уравнение можно рассматривать как неоднородное уравнение без запаздывания вида $\dot x+ \beta x=f$, где $f(t)=-\alpha x(2n)$. Его решение имеет вид $$ \align x(t)&=e^{-\beta(t-2n)}x(2n)+\int\limits_{2n}^t e^{-\beta(t-s)}(-\alpha x(2n))\,ds \\ &=e^{-\beta (t-2n)}x(2n)\Biggl(1-\alpha\int\limits_{0}^{t-2n} e ^{\beta s}\,ds\Biggr), \endalign $$ следовательно, если $\beta>0$, то $$ x(2n+2)=e^{-2\beta}x(2n)\Bigl(1-\frac{\alpha}{\beta}(e ^{2\beta}-1)\Bigr) =x(2n)\Bigl(\frac{e^{-2\beta}(\alpha+\beta)-\alpha}{\beta}\Bigr). $$ Уравнение равномерно устойчиво при $\frac{e^{-2\beta}(\alpha+\beta)-\alpha}{\beta}\ge-1$, т.~е. при $$ \alpha\le\Bigl(\frac{1+e^{-2\beta}}{1-e^{-2\beta}}\Bigr)\beta. \eqno(12) $$ Применяя приведенные выше результаты, получаем следующие условия равномерной устойчивости. \Label{E2} \Item (a) %1. \Par*{Proposition~7} дает условие $$ \sum_{k=1}^2 \sup\limits_{t\in[2n,2n+2]} a_k(t)\cdot \sup\limits_{[2n,2n+2]} (t-h_k(t))=2\alpha\le 1. $$ \Par*{Proposition~6} улучшает результат: $\alpha\le3/4$. \Item (b) %2. \Par*{Proposition~8} дает условие устойчивости $$ \sup\limits_{t\in[2n,2n+2]}\int\limits_{\min\{h_1(t),h_2(t)\}}^t (a_1(s)+a_2(s)) \,ds=2(\alpha+\beta)\le 3/2. $$ \Item (c) %3. \Par*{Corollary 2} дает $$ \sup\limits_{t\in[2n,2n+2)}\sum_{k=1}^2\int\limits_{E_k(t)}^t a_k(s) \,ds =\int\limits_{2n}^{2n+2} (\alpha+\beta)\,ds=2(\alpha+\beta)\le 1. $$ \Item (d) %4. \Par*{Corollary 1} дает $$ \align \sup\limits_{t\in[2n,2n+2)}&\int\limits_t^{2n+2} \alpha\cdot \mu\Biggl(\ \int\limits_{2n}^t (\alpha+\beta)\, d \tau\Biggr) ds =\alpha\cdot \sup\limits_{t\in[0,2)}[(2-t)\cdot\mu((\alpha+\beta)t)] \\ &=\alpha\cdot\max\bigl\{\sup\limits_{t\in[0,1/(\alpha+\beta)]} [(\alpha+\beta)t(2-t))], \sup\limits_{t\in[1/(\alpha+\beta),2]}(2-t)\bigr\}\le 1. \endalign $$ П.~\Par{E2}{(d)} %4 дает лучший результат, чем пп.~\Par{E2}{(b)} и \Par{E2}{(c)} %2 и 3, поскольку полученная область содержит область $\alpha+\beta\le1$. В случае $\beta=0$ условие $\alpha\le1$ необходимо и достаточно для равномерной устойчивости. Для некоторых $\beta>1/4$ лучший результат дает п.~\Par{E2}{(a)}. % 1. Остальные пункты в сравнении с полной областью равномерной устойчивости \Tag(12) дают тем худший результат, чем больше~$\beta$. \enddemo Теперь пусть второе слагаемое, как и первое, имеет запаздывание. \demo{Example 3} Рассмотрим уравнение \Tag(1), где $m=2$, в котором для всех $n\in{\Bbb N}_0$ и $t\in[2n,2n+2)$ положим $a_1(t)=\alpha\ge0$, $a_2(t)=\beta\ge0$, $h_1(t)=2n$ и $$ h_2(t)=\cases 2n,&t\in[2n,2n+1);\\2n+1,&t\in[2n+1,2n+2).\endcases $$ Общее решение уравнения на промежутке $[2n,2n+2)$ имеет вид $$ x(t)=\cases x(2n)(1-(\alpha+\beta)(t-2n)),&t\in[2n,2n+1);\\ x(2n)(1-\alpha(t-2n))+x(2n+1)[1-\beta(t-2n-1)],& t\in[2n+1,2n+2). \endcases $$ Таким образом, $$ x(2n+2)=[(1-\alpha-\beta)-\alpha-\beta(1-\alpha-\beta)]x(2n) =[1-(2-\beta)(\alpha+\beta)]x(2n). $$ Следовательно, уравнение равномерно устойчиво при $0\le(2-\beta)(\alpha+\beta)\le2$. Применяя приведенные выше результаты, получаем следующие достаточные условия равномерной устойчивости. %\Label{E3} \Item (a) %1. \Par*{Proposition~7} дает условие $$ \sum_{k=1}^2 \sup\limits_{t\in[2n,2n+2]} a_k(t)\cdot \sup\limits_{[2n,2n+2]} r_k(t)=2\alpha+\beta\le 1. $$ \Par*{Proposition~6} неприменимо. \Item (b) %2. \Par*{Proposition~8} дает условие устойчивости $$ \sup\limits_{t\in[2n,2n+2]} \int\limits_{\min\{h_1(t),h_2(t)\}}^t (a_1(s)+a_2(s))\,ds =\int\limits_{2n+1}^{2n+2} \alpha \,ds+\int\limits_{2n+1}^{2n+2} (\alpha+\beta) \,ds=2\alpha+\beta\le 3/2, $$ т.~е. $2\alpha+\beta\le 3/2$. \Item (c) %3. \Par*{Corollary 2} дает $$ \sup\limits_{t\in[2n,2n+2]}\sum_{k=1}^2\int\limits_{E_k(t)}^t a_k(s) \,ds =\max\Biggl\{\ \int\limits_{2n}^{2n+2} \alpha \,ds,\int\limits_{2n+1}^{2n+2} (\alpha+\beta) \,ds\Biggr\}\le 1, $$ т.~е. систему неравенств $\{\alpha\le 1/2,\alpha+\beta\le1\}$. \Item (d) %4. \Par*{Corollary 1} дает $$ \align &\sup\limits_{t\in[0,2]}\int\limits_t^{2} \Biggl[\alpha\cdot \mu\Biggl(\ \int\limits_{0}^t (\alpha+\beta)\, d \tau\Biggr) +\beta\cdot \mu\Biggl(\ \int\limits_{h_2(s)}^t (\alpha+\beta)\, d \tau\Biggr)\Biggr] ds \\ &\qquad=\max\{\sup\limits_{t\in[0,\min\{1/(\alpha+\beta),1\})}[(2-t)\alpha+(1- t)\beta] (\alpha+\beta)t, \\ &\sup\limits_{t\in[1/(\alpha+\beta),1)}[(2-t)\alpha+(1-t)\beta], \\ &\sup\limits_{t\in[\max\{1/(\alpha+\beta),1\},\min\{1+1/(\alpha+\beta),2\})} (2-t)[\alpha+\beta(\alpha+\beta)(t-1)], \\ &\sup\limits_{t\in[1+1/(\alpha+\beta),2]}(2-t)(\alpha+\beta), \\ &\sup\limits_{t\in[1,\min\{1/(\alpha+\beta),2\}]}(2-t)(\alpha+\beta)(\alpha t+\beta(t-1))\} \\ &\qquad=\max\biggl\{\sup\limits_{t\in[0,\min\{1/(\alpha+\beta),1\})}(\alpha+\beta)^2 \Bigl(\frac{2\alpha+\beta}{\alpha+\beta}-t\Bigr)t, 2\alpha+\beta-1,\alpha+\beta-1, \\ &\sup\limits_{t\in[\max\{1/(\alpha+\beta),1\},\min\{1+1/(\alpha+\beta),2\})} \beta(\alpha+\beta)(2-t)\Bigl(t-1+\frac{\alpha}{\beta(\alpha+\beta)}\Bigr), \\ &\sup\limits_{t\in[1,\min\{1/(\alpha+\beta),2\}]}(\alpha+\beta)^2(2- t)\Bigl(t-\frac{\beta} {\alpha+\beta}\Bigr)\biggr\} \\ &\qquad=\max\biggl\{\Bigl(\frac{2\alpha+\beta}{2}\Bigr)^2,2\alpha+\beta- 1,\alpha+\beta-1, \Bigl(\frac{\alpha+\beta(\alpha+\beta)} {2\sqrt{\beta(\alpha+\beta)}}\Bigr)^2\biggr\}\le1. \endalign $$ Получаем область $2\alpha+\beta\le2$, для которой области, полученные в предыдущих пунктах, являются собственными подмножествами. \enddemo Приведенные результаты показывают, что \Par*{Corollary 2} дает существенно лучшие результаты для уравнений с несколькими запаздываниями, в том числе с малыми запаздываниями. Однако заметим, что и эти условия устойчивости оставляют желать лучших, если уравнения рассматриваемых классов могут иметь большие коэффициенты при слагаемых с малыми запаздываниями. \head 5. Новые условия асимптотической устойчивости \endhead В данном параграфе предложим усиления условий \Par*{Theorem 1}, гарантирующие разные виды асимптотической устойчивости. Условие $$ \varlimsup\limits_{t\to\infty}\int\limits_{t}^{\infty}\int\limits_0^t \mu\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^t\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d \xi \Biggr) d_\tau r(s,\tau)\,ds<1 \eqno(13) $$ само по себе асимптотической устойчивости уравнения \Tag(1) гарантировать не может в силу \Par*{Proposition~3}. В работе [3] показано, что оно, в отличие от условия \Par*{Proposition~2}, не влечет и оценку функции Коши~\Tag(6). Пример из работы [3] показывает, что конъюнкция условий \Tag(13) и \Tag(8) не гарантирует экспоненциальной устойчивости уравнения \Tag(1), т.~е. аналог \Par*{Proposition~5} не справедлив. Однако справедлив следующий аналог \Par*{Proposition~4}. \proclaim{Theorem 2} Если для уравнения \Tag(1) выполнены условия \Tag(13) и \Tag(7), то оно асимптотически устойчиво. \endproclaim \demo{Proof} Достаточно повторить ход рассуждений из доказательства \Par*{Theorem 1}, изменив технические детали. Если для некоторого фиксированного $s\ge0$ функция Коши не меняет знака при $t>s$ и выполнено условие \Tag(7), то $C(t,s)$ монотонно стремится к нулю с ростом~$t$. Пусть для данного $s\ge t_0$ для любого $s_0\ge s$ значения $C(t,s)$ меняют знак при $t\ge s_0$. Обозначим $c(t)=C(t,s)$. Функция $c$ есть решение $s$-урезанного уравнения~\Tag(2). При выполнении условий теоремы для некоторых $K<1$ и $t_1\ge t_0$ имеем $$ \sup_{t\ge t_1}\int\limits_{t}^{\infty}\int\limits_0^t \mu\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^t\int\limits_0^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d \xi \Biggr) d_\tau r(s,\tau)\,ds\le K. $$ Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать, что для любого числа $M>0$ и любой такой точки $t_2\ge t_1$, что $c(t_2)<0$, имеем: если $c(t)\le M$ для всех $t\in[s,t_2)$, то $c(t_2)\ge -KM$. Аналогичный факт устанавливается для $c(t_2)>0$, а в силу линейности уравнения без ограничения общности полагаем $M=1$. Итак, допустим, что $c(t_2)<0$ и $c(t)\le 1$ для всех $t\in[s,t_2)$, и покажем, что тогда $c(t_2)\ge -K$. Обозначим $s_0=\sup\{{t\in[s,t_2]}\mid c(t)>0\}$. Очевидно, $c(s_0)=0$. Как в доказательстве \Par*{Theorem 1}, получаем справедливость оценки \Tag(11) для всех $t\le t_2$, откуда $$ \align c(t_1)&=c(t_1)-c(s_0)\ge-\int\limits_{s_0}^{t_1}\int\limits_s^{s_0} c(\tau)\, d_\tau r(\eta,\tau)\,d\eta \\ &\qquad\ge-\int\limits_{s_0}^{t_2}\int\limits_s^{s_0} \mu\Biggl(\ \int\limits_{\tau}^{s_0}\int\limits_s^\xi d_\eta r(\xi,\eta)\,d\xi\Biggr) d_\tau r(\zeta,\tau)d\zeta\ge-K. \endalign $$ Теорема доказана. \enddemo Итак, при условии \Tag(13) необходимое для асимптотической устойчивости условие \Tag(7) оказывается достаточным. Чтобы обеспечить равномерную асимптотическую устойчивость, необходимо усилить ограничения на последействие. \proclaim{Theorem 3} Если для уравнения \Tag(1) выполнены условия \Tag(13) и $$ \sup\limits_{t\in{\Bbb R}_+}\int\limits_{h(t)}^t \rho(s)\,ds<\infty, \eqno(14) $$ то для некоторых $N>0$ и $\gamma>0$ его функция Коши $C(t,s)$ подчинена оценке~\Tag(6). \endproclaim \demo{Proof} Если не выполнено условие \Tag(7), то утверждение теоремы следует из \Par*{Proposition~2}. Поэтому далее считаем, что условие \Tag(7) выполнено. Точно так же, как это сделано в доказательстве леммы~2 в работе [5], с помощью преобразования оси времени $\varphi(t)=\int\nolimits_0^t \rho(s)\,ds$ сведем исследование функции Коши уравнения \Tag(1) к исследованию функции Коши уравнения $$ y'(u)+\int\limits_0^u y(v)\, d_vq(u,v)=0,\quad u\in{\Bbb R}_+, \eqno(15) $$ в котором $\bigvee\nolimits_0^u q(u,\cdot)=1$. Оценка \Tag(6) функции Коши уравнения \Tag(1) соответствует экспоненциальной устойчивости уравнения~\Tag(15), которую, таким образом, и надо установить. В доказательстве леммы 2 в [5] показано, что выполнение условия \Tag(14) означает, что запаздывание в уравнении \Tag(15) ограничено, т.~е. найдется такое $\omega>0$, что нижний предел интеграла в \Tag(15) можно положить равным $u-\omega$. Повторяя с учетом этого факта рассуждения из доказательства \Par*{Theorem 2} (аналогичные проведенным в доказательстве \Par*{Theorem~1}), при выполнении условий \Tag(13) и \Tag(14) для некоторого $K>0$ для всех $t\ge s\ge 0$ получаем оценку $$ \min_{\tau\in[t,t+\omega]}C(\tau,s)\ge-K\max_{\tau\in[s,t]}C(\tau,s) $$ и аналогичную оценку сверху значений $C(\tau,s)$ для $\tau\in[t,t+\omega]$, откуда следует, что уравнение \Tag(15) экспоненциально устойчиво. Теорема доказана. \enddemo Рассмотрим следующее условие для уравнения \Tag(1): $$ \sup\limits_{t\in{\Bbb R}_+}(t-h(t))<\infty. \eqno(16) $$ Выполнение условия \Tag(7) не влечет связи между условиями \Tag(14) и \Tag(16), но условие \Tag(16) следует из конъюнкции условий \Tag(14) и~\Tag(8). \proclaim{Corollary 3} Если для уравнения \Tag(1) выполнены условия \Tag(13), \Tag(8), и \Tag(14), то оно экспоненциально устойчиво. \endproclaim \proclaim{Corollary 4} Если для уравнения \Tag(1) выполнены условия \Tag(13), \Tag(8), и \Tag(16), то оно экспоненциально устойчиво. \endproclaim Примеры в работе [3] показывают, что выполнение для уравнения \Tag(1) условий \Tag(13) и \Tag(16) не влечет оценки \Tag(6) его функции Коши, а конъюнкция условий \Tag(13), \Tag(7), \Tag(14) и \Tag(16)~--- экспоненциальной устойчивости. Наконец, отметим, что в свете полученных выше результатов приобретает новые краски соотношение между равномерной асимптотической и экспоненциальной устойчивостями уравнения~\Tag(1). \proclaim{Proposition 12} При выполнении условия \Tag(14) равномерная асимптотическая и экспоненциальная устойчивости уравнения \Tag(1) равносильны. \endproclaim Остается открытым вопрос: может ли в общем случае уравнение \Tag(1) быть равномерно асимптотически устойчивым, но при этом не быть экспоненциально устойчивым? \head Заключение \endhead В настоящей работе удалось усилить известные результаты типа теорем о~$3/2$. Примеры показывают, что эти усиления во всяком случае существенны, однако мы далеки от мысли, что они принципиально меняют представления об условиях устойчивости уравнений с последействием. Полученные новые условия устойчивости показывают, что граница области применимости теорем о $3/2$ не является непреодолимой преградой, и указывают некоторые возможности обобщений этих теорем без потери точности. Мы надеемся, что представленные в настоящей работе результаты дают основания утверждать, что как в обобщении знаменитых теорем Мышкиса, так и вообще в исследовании асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений с последействием следует двигаться не только вширь, но также и вглубь~--- к уточнениям известных результатов, содержательным даже для уравнений простейших видов. \Refs \ref\no 1 \by Azbelev~N., Maksimov~V., and Rakhmatullina~L. \book Introduction to the Theory of Linear Functional-Differential Equations \publaddr Atlanta \publ World Federation \yr 1995 \bookinfo Adv. Ser. Math. Sci. Eng., 3 \endref \ref\no 2 \by Azbelev~N.V. and Simonov~P.M. \book Stability of Differential Equations with Aftereffect \publaddr London \publ Taylor and Francis \yr 2003 \finalinfo Stability Control Theory Methods Appl., 20 \endref \ref\no 3 \by Chudinov~K.M. \paper Development of approaches to the Myshkis problem on the stability of a~first-order differential equation with aftereffect \jour Mat. Tr. \yr 2026 \vol 29 \issue 1 \pages 142--162 \endref \ref\no 4 \by Myshkis~A.D. \paper On solutions of linear homogeneous differential equations of the second order of periodic type with a~retarded argument \jour Mat. Sb. \yr 1951 \vol 28 \issue 3 \pages 641--658 \endref \ref\no 5 \by Malygina~V.V. \paper The Myshkis~3/2 theorem and its generalizations \jour Sib. Math.~J. \yr 2023 \vol 64 \issue 6 \pages 1370--1382 \endref \ref\no 6 \by Hale~J.K. \book Theory of Functional Differential Equations \bookinfo Second edition \publ Springer \publaddr New York, Heidelberg, and Berlin \yr 1977 \finalinfo Appl. Math. Sci., 3 \endref \ref\no 7 \by Berezansky L., Braverman E., and Domoshnitsky A. \preprint On Exponential Stability of Linear and Nonlinear Delay Differential Equations: a~Review and New Results\nofrills \yr 2026 \bookinfo arXiv:2601.03454 %27 pp. \endref \ref\no 8 \by So~J.W.-H., Yu~J.S., and Chen~M.-P. \paper Asymptotic stability for scalar delay differential equations \jour Funkcial. Ekvac. \yr 1996 \vol 39 \issue 1 \pages 1--17 \endref \ref\no 9 \by Yoneyama~T. \paper On the 3/2 stability theorem for one-dimensional delay-differential equations with unbounded delay \jour J.~Math. Anal. Appl. \yr 1987 \vol 125 \issue 1 \pages 161--173 \endref \ref\no 10 \by Yoneyama~T. \paper The 3/2 stability theorem for one-dimensional delay-differential equations with unbounded delay \jour J.~Math. Anal. Appl. \yr 1992 \vol 165 \issue 1 \pages 133--143 \endref \ref\no 11 \by Malygina~V.V. \paper Some conditions for the stability of functional-differential equations solved with respect to the derivative \jour Russian Math. (Iz. VUZ) \yr 1992 \vol 36 \issue 7 \pages 44--51 \endref \ref\no 12 \by Malygina~V.V. \paper Some criteria for stability of equations with retarded argument \jour Differ. Equ. %Differential Equations \yr 1992 \vol 28 \issue 10 \pages 1398--1405 \endref \ref\no 13 \by Stavroulakis~J.I. and Braverman~E. \paper Oscillation, convergence, and stability of linear delay differential equations \jour J.~Differential Equations \yr 2021 \vol 293 %\issue - \pages 282--312 \endref \ref\no 14 \by Krisztin~T. \paper On stability properties for one-dimensional functional differential equations \jour Funkcial. Ekvac. \yr 1991 \vol 34 \issue 2 \pages 241--256 \endref \endRefs \enddocument