\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Potapkov \Initial A. \Initial A. \Email a\_potapkov\@ugrasu.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Author Pyatkov \Initial S. \Initial G. \ORCID 0000-0002-7238-9559 \Email s\_pyatkov\@ugrasu.ru \AffilRef 1 \Corresponding \endAuthor \Affil 1 \Division Engineering School of Digital Technologies \Organization Yugra State University \City Khanty-Mansiysk \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted March 7, 2026\enddatesubmitted %\daterevised March 7, 2026\enddaterevised \dateaccepted March 20, 2026\enddateaccepted \UDclass 517.95 \endUDclass \thanks Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и правительства Ханты-Мансийского автономного округа-ЮГРЫ (грант №~25--11--20026). %The authors were supported by the Russian Science Foundation and the government %of Khanty-Mansi Autonomous Area---Yugra (grant 25--11--20026). \endthanks \dedication Посвящается Геннадию Владимировичу Демиденко в связи с его 70-летием. \enddedication \title Определение коэффициента теплопередачи по~точечным данным в~слоистых средах \endtitle \abstract Рассматриваются вопросы корректности обратных задач восстановления коэффициента теплопередачи с использованием набора значений решения в фиксированных точках на границе области. Условия типа дифракции используются на границе раздела сред. Граничные условия нелинейные и коэффициент теплопередачи представим в виде конечного отрезка ряда с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. При определенных условиях на данные доказывается, что существует единственное решение задачи локально по времени, которое зависит от данных задачи непрерывно. Доказательство опирается на априорные оценки и принцип сжимающих отображений. %In the article we consider well-posedness %questions in Sobolev spaces of inverse problems of recovering the heat transfer %coefficient with the use of a given collection of values of a solution at %fixed points of the boundary. The diffraction type conditions are employed at %the interface. The boundary condition is nonlinear and the heat transfer %coefficient is representable in the form of a finite segments of the series %with unknown coefficients depending on time. Under certain conditions on the %data, it is demonstrated that there exists a unique solution to the problem %locally in time which depends on the data continuously. The proof relies on a %priori estimates and the contraction mapping principle. \endabstract \keywords обратная задача, коэффициент теплопередачи, параболическое уравнение, тепломассоперенос %inverse problem, %heat transfer coefficient, %parabolic equation %heat and mass transfer \endkeywords \endtopmatter \head 1. Введение \endhead В статье исследуются обратные задачи об определении коэффициента теплопередачи по точечным данным. Рассматривается параболическое уравнение вида $$ Mu= u_t-Lu=f(t,x), \quad (t,x)\in Q = (0,T)\times G, \eqno{(1)} $$ где $$ Lu=\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}(t,x)u_{x_i x_j} + \sum\limits_{i=1}^n a_{i}(t,x)u_{x_{i}}+ a_{0}(t,x)u, $$ $G\in\Bbb R^n$~--- ограниченная область с границей $\Gamma$. Считаем, что область $G$ разделена на два открытые множества $G^+$ и $G^-$, $\overline{G^-} \subset G$, $\overline{G^+} \cup \overline{G^-} = \overline{G}$, $G^+ \cap G^- =\emptyset$, положим $\Gamma_0 = \partial G^+ \cap \partial G^-$, $S_0=(0,T)\times \Gamma_0$, $S= (0,T)\times\Gamma$. Уравнение \Tag(1) дополняется начально-краевыми условиями: $$ Bu =\frac{\partial u}{\partial N} +\beta(t,x)(\varphi(u)-\varphi(\overline{u}_0))=g , \quad \varphi|_{t=0}=u_{0}(x), \eqno{(2)} $$ где $$ \frac{\partial u}{\partial N}=\sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}n_i u_{x_j}, $$ и условиями сопряжения $$ \align &\frac{\partial u^+}{\partial N}(t,x) = \frac{\partial u^-}{\partial N}(t,x),\quad u^+(t,x)=u^-(t,x) , \quad (t,x)\in S_0, \tag3 \\ &\frac{\partial u^\pm}{\partial N}(t,x_{0}) = \lim_{x\in G^\pm, \,x\rightarrow x_0 \in \Gamma_0} \sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij} u_{x_{i}} \nu_j, \quad u^\pm(t,x_{0}) = \lim_{x\in G^\pm, \, x\rightarrow x_0 \in \Gamma_0} u(t,x), \endalign $$ $\vec{\nu}=(\nu_1, \nu_2,\dots,\nu_n) $ и $\vec{n}$~--- внешние единичные нормали к $\partial G^-$ и $\Gamma$. Условия переопределения имеют вид $$ u(t,b_{i})=\psi_{i}(t),\quad i=1,2,\dots,r, \eqno{(4)} $$ где $b_{i}\in \Gamma$, $\{b_{i}\}_{i=1}^{r}$ ~--- некоторый набор точек. Задача состоит в нахождении решения уравнения \Tag(1), удовлетворяющего условиям \Tag(2)--\Tag(4), и неизвестной функции $$ \beta(t,x)=\sum\limits_{j=1}^{r}\beta_{i}(t)\Phi_{i}(t,x), $$ где функции $\Phi_{i}$ заданы, а функции $\beta_{i}(t)$ считаются неизвестными. Обратные задачи возникают в самых различных задачах при описании процессов тепломассопереноса, диффузии, фильтрации, в экологии и~т.~п. (см. [1--3]). В частности, задача \Tag(1)--\Tag(4) возникает при идентификации параметров тепломассопереноса в задачах описания тепловых режимов мерзлых грунтов и техногенного загрязнения почв [4--6]. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численному решению задач \Tag(1)--\Tag(4) в различных постановках, возникающих в приложениях, точки $\{b_{i}\}$ в \Tag(4) могут быть как внутренними [7--12] так и граничными точками [13--15] области $G$ (см. стационарный случай в [16]). Имеется ряд работ, посвященных определению коэффициента теплопередачи в нелинейном граничном условии вида $$ \frac{\partial u}{\partial N}+\rho(t)\varphi(u)=g, $$ где функция $\rho$ считается неизвестной (см. [17]). Отметим работы (см. библиографию в [18--20]), где восстанавливается функция вида $\varphi(t,x,u)$ (иногда не зависящая от независимых переменных) в граничном условии Робина вида $\frac{\partial u}{\partial N}+\varphi(t,x,u)=g$ или близком условии. В этих работах, используются интегральные условия переопределения различного вида и в некоторых случаях получены теоремы существования и единственности решений таких задач локально по времени. Основной метод построения приближенного решения~--- сведение задачи к задаче управления и минимизация соответствующего квадратичного функционала. Отметим, что очень часто эти две задачи не эквивалентны. Теоретических результатов, посвященных задаче \Tag(1)--\Tag(4), немного. По-видимому, первая работа, посвященная задаче \Tag(1)--\Tag(4) в многомерном случае, есть работа [21] (см. также [22]), где в случае $Mu=u_{t}-\Delta u$ и $r=1$ были показаны теорема существования и единственности классических решений задачи об определении потока и теорема единственности в задаче об определении коэффициента теплопередачи. Другой подход описан в работе [23], где получена теорема существования и единственности решений в случае $\varphi(u)=u$ и задача рассматривалась в обычной постановке (т.~е. условия сопряжения отсутствуют). В данной работе мы используем ту же самую идею и получаем теорему существования и единственности решений в пространствах Соболева. \head 2. Определения и~вспомогательные результаты \endhead Пусть $E$ ~--- банахово пространство. Обозначения для пространств Лебега $L_p(G;E)$, Соболева $W_p^s(G;E)$, $W_p^s(Q;E)$ и Г\"ельдера $C^{\alpha}(\overline{G};E)$ $(\alpha\geq 0)$ стандартные (см. [24,\,25]). Если $E={\Bbb R}$ или $E={\Bbb R}^n$, то пишем просто $W_{p}^{s}(G)$ и~т.~д. Все рассматриваемые пространства и коэффициенты уравнения \Tag(1) считаем вещественными. Под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Для данного интервала $J=(0,T)$ положим $W_p^{s,r}(Q)=W_p^{s}(J;L_p(G))\cap L_p(J;W_p^r(G)) $. Соответственно $W_p^{s,r}(S)=W_p^{s}(J;L_p(\Gamma))\cap L_p(J;W_p^r(\Gamma))$. Пусть $(u,v)=\int\nolimits_{G}u(x)v(x)\,dx$ и $B_{\delta}(b_{i})$~--- шар радиуса $\delta$ с центром в точке $b_{i}$. Положим $G_\delta=G\cap \bigcup\nolimits_{i=1}^r B_{\delta}(b_{i})$, $\Gamma_\delta=\Gamma\cap \bigcup\nolimits_{i=1}^r B_{\delta}(b_{i})$, $Q_{\tau}^\pm=(0,\tau)\times G$, $Q_{\tau}=(0,\tau)\times G$, $S_\tau=(0,\tau)\times \Gamma$. Далее считаем, что $ \Gamma,\Gamma_0 \in C^2$, $\Gamma_\delta\in C^3$ (см. определение в [26, Chapter~1]) для некоторого $\delta>0$. Без ограничения общности можем считать, что для каждого $i=1,2,\dots,r$ найдутся окрестность $Y_{i}$ точки $b_i$ и система координат $y$ (локальная система координат), полученная с помощью поворота и переноса начала координат из исходной, такие, что $Y_i\cap \Gamma_0=\emptyset$, ось $y_{n}$ направлена по внутренней нормали к $\Gamma$ в точке $b_i$, уравнение части границы $Y_{i}\cap \Gamma$ имеет вид $y_{n}=\gamma_i(y')$, $\gamma_i(0)=0$, $|y'|<\delta$, $y'=(y_{1},\dots, y_{n-1})$, причем $\gamma_i\in C^{3}(\overline{B_{\delta}'})$ ($B_{\delta}'=\{y':|y'|<\delta\}$) и $G\cap Y_{i}=\{y: |y'|<\delta,\ 0(M+1)\delta$, где $M$~--- постоянная Липшица функции $\gamma_i$. Иначе уменьшим параметр $\delta$. Далее считаем, что параметр $\delta>0$ зафиксирован. Мы используем выпрямление границы: $z_{n}=y_{n}-\gamma_i(y')$, $z'=y'$, где $y$~--- локальная система координат в точке $b_{i}$. Оно и обратное к нему $y_{n}=z_{n}+\gamma_i(z')$, $y'=z'$ принадлежат классу $C^{3}$ (т.~е. $y=y(z)\in C^{3}(\overline{Y_i})$). То же самое утверждение имеет место и для преобразований $x=x(y(z))=x^{i}(z)$. Пусть $U= \{z:|z'|<\delta$, $00$, $E$ ~--- банахово пространство) норму $$ \align &\|q(t)\|_{W_{p}^{s}(0,\beta;E)} =(\|q\|_{L_{p}(0,\beta;E)}^{p}+ \langle q\rangle _{s,\beta}^{p})^{1/p}, \\ &\langle q\rangle _{s,\beta}^{p}= \int\limits_{0}^{\beta} \int\limits_{0}^{\beta}\frac{\|q(t_{1})-q(t_{2})\|_{E}^{p}}{|t_{1}- t_{2}|^{1+sp}}\,dt_{1}dt_{2}. \endalign $$ При $s\in (0,1)$ положим $$ \widetilde{W}_{p}^{s}(0,\beta;E)= \{q\in W_{p}^{s}(0,\beta;E): t^{-s} q(t)\in L_{p}(0,\beta;E)\}. $$ Наделим это пространство нормой $$ \|q(t)\|_{\widetilde{W}_{p}^{s}(0,\beta;E)}^{p} =\Bigl\|\frac{q}{t^{s}}\Bigr\|_{L_{p}(0,\beta;E)}^{p}+ \langle q\rangle _{s,\beta}^{p}. $$ Если $s\neq 1/p$, то эта норма и обычная норма $\|\cdot\|_{W_{p}^{s}(0,\beta;E)}$ для функций $q(t)$ таких, что $q(0)=0$ при $s>1/p$, эквивалентны (см. [24, 3.2.6, Lemma~1]). %\?п.~3.2.6, Положим $$ \widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\beta})=\widetilde{W}_{p}^{s}(0,\beta;L_{p}(G))\cap L_{p}(0,\beta;W_{p}^{2s}(G)). $$ Нормы $\|\cdot\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\beta})}$ и $\|\cdot\|_{\widetilde{W}_{p}^{s}(0,\beta;L_{p}(G))}$ определяются естественным образом, например, $$ \|u\|_{\widetilde{W}_p^{s,2s}(Q_{\beta})} = (\|u\|_{\widetilde{W}_{p}^{s}(0,\beta;L_p(G))}^p + \|u\|_{L_{p}(0,{\beta};W_p^{2s}(G))}^p)^{1/p}. $$ Аналогично определяем пространства $\widetilde{W}_{p}^{s}(0,\beta;L_{p}(\Gamma))$ и $\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(S_{\beta})$. Далее считаем, что параметр $p>n+2$ зафиксирован. Следующие две леммы известны (см. [27, Lemmas~1.19 and~1.20]). \proclaim{Lemma 1} Существует постоянная $C$, не зависящая от $\tau \in (0, T]$, такая, что $$ \|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_{\tau})} \leq C \|v\|_{W_p^{1,2}(Q_{\tau})}, \quad \Bigl\|\frac{\partial v}{\partial \nu}\Bigr\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0} (S_{\tau})}\leq C \|v\|_{W_p^{1,2}(Q_{\tau})} $$ для всех $v \in W_p^{1,2}(Q_{\tau})$ таких, что $v(x,0)=0$. Здесь $s_1 = 1- \frac{1}{2p}$ и $s_0 = \frac{1}{2}-\frac{1}{2p}$. \endproclaim \proclaim{Lemma 2} Пусть $s\in ((n+2)/2p,1)$. Тогда если $q\in \widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})$ и $v\in W_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})$, то $qv\in \widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})$ и справедлива оценка $$ \|qv\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}\leq c_{0} \|q\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})} (\|v\|_{W_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}+\|v\|_{L_{ \infty}(Q_{\tau})}). $$ Если $v\in W_{p}^{s,2s}(Q)$, то последнее неравенство можно переписать в виде $$ \|qv\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}\leq c_{1} \|q\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}\|v\|_{W_{p}^{s,2s}(Q)}, $$ а если $v\in \widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})$, то в виде $$ \|qv\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}\leq c_{2} \|q\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})} \|v\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}. $$ Для функций $v\in \widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})$ имеет место оценка $$ \|v\|_{W_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}+\|v\|_{L_{\infty}(Q_{\tau})}\leq c_3 \|v\|_{\widetilde{W}_{p}^{s,2s}(Q_{\tau})}. $$ Постоянные $c_{i}$, $i=0,1,2,3$, не зависят %\?в русском зависит от $q$, $v$, $\tau\in (0,T]$. Множество $Q_{\tau}$ в этих утверждениях может быть заменено на $S_{\tau}$ {\rm (}при этом считаем, что $s\in ((n+1)/2p,1))$. \endproclaim \demo{Remark 1} Условие $s\in ((n+2)/2p,1)$ гарантирует включение $W_p^{s,2s}(Q) \subset C(\overline{Q})$ (см. теорему~1.22 в~[27]). \enddemo \proclaim{Lemma 3} Пусть $\varphi(u)\in W_\infty^{2}(-R,R)$ для всех $R>0$. Пусть $v\in W_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)$ и $\|v\|_{L_\infty(S_\tau)}=M$. Тогда $$ \|\varphi(v)\|_{{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)}\leq c_1(M)+ c_2(M)\|v\|_{{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)},\quad s_0=1/2-1/2p. \eqno{(5)} $$ Пусть $v_i\in W_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)$, $i=1,2$, $\|v_i\|_{L_\infty(S_\tau)}+ \|v_i\|_{W_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)}\leq M$ и $v_1(0,x)=v_2(0,x)$. Тогда $$ \|\varphi(v_1)-\varphi(v_2)\|_{\widetilde{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)} \leq c_3(M) \|v_1-v_2\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)}. \eqno{(6)} $$ Здесь постоянные $c_i(M)$, $i=1,2,3$, не зависят от $\tau\leq T$. \endproclaim \demo{Proof} Оценка \Tag(5) вытекает непосредственно из определения нормы в пространстве $W_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)$. Чтобы получить оценку \Tag(6), воспользуемся равенством $$ \varphi(v_1)-\varphi(v_2) =\int\limits_0^1\varphi'(v_2+\xi(v_1-v_2))\,d\xi(v_1-v_2). $$ Используя \Par*{Lemma 2} и неравенство \Tag(5), получим $$ \align \|\varphi(v_1) &-\varphi(v_2)\|_{\widetilde{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)} \leq \int\limits_0^1 (\|\varphi'(v_2+\xi(v_1-v_2))\|_{{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)} \\ &\qquad+ \|\varphi'(v_2+\xi(v_1-v_2))\|_{L_\infty(S_\tau)}) \,d\xi \|v_1-v_2\|_{\widetilde{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)}\leq c_3(M) \|v_1-v_2\|_{\widetilde{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)}. \endalign $$ Приведем условия на данные. Оператор $L$ предполагается эллиптическим, т.~е. существует постоянная $\delta_0>0$ такая, что $$ \sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}\xi_i\xi_j\geq \delta_0|\xi|^2 \quad\text{для всех } (t,x)\in Q,\ \xi\in {\Bbb R}^n . $$ Кроме того, предположим, что \iftex $$ \align &a_{i}\in L_{p}(Q), \quad a_{kl}|_{Q^\pm}\in C(\overline{Q^\pm}), \quad a_{kl}|_{\Gamma} \in W^{s_{0},2s_{0}}_{p}(S), \quad a_{kl}^\pm|_{\Gamma_0} \in W^{s_{0},2s_{0}}_{p}(S_0), \tag7 \\ & \frac{\partial u_0^+}{\partial N} = \frac{\partial u_0^-}{\partial N}, \quad u_0^+ = u_0^-, \quad x\in \Gamma_0, \quad s_0={1\over 2}-{1\over 2p}, \tag8 \\ &\beta\in W^{s_{0},2s_{0}}_{p}(S), \quad g(0,x) = B(x,0,\partial_x) u_0|_{\Gamma}, \quad \varphi(u)\in W_\infty^2(-R,R) \quad\text{для всех }R>0, \tag9 \\ &u_0(x)|_{G^\pm}\in W_{p}^{2-\frac{2}{p}}(G^\pm), \quad f\in L_{p}(Q), \quad g,\overline{u}_0 \in W_{p}^{s_0,2s_{0}}(S), \tag10 \\ &a_{i}\in L_{\infty}(0,T;W_{p}^{1}(G_{\delta})), \quad a_{kl}\in L_{\infty}(0,T;W_{\infty}^{1}(G_{\delta})), \quad \varphi(u) \in W_\infty^3(-R,R), %\?, \tag11 \endalign $$ \else $$ a_{i}\in L_{p}(Q), \quad a_{kl}|_{Q^\pm}\in C(\overline{Q^\pm}), \quad a_{kl}|_{\Gamma} \in W^{s_{0},2s_{0}}_{p}(S), \quad a_{kl}^\pm|_{\Gamma_0} \in W^{s_{0},2s_{0}}_{p}(S_0), \tag7 $$ $$ \frac{\partial u_0^+}{\partial N} = \frac{\partial u_0^-}{\partial N}, \quad u_0^+ = u_0^-, \quad x\in \Gamma_0,\ s_0={1\over 2}-{1\over 2p}, \tag8 $$ $$ \beta\in W^{s_{0},2s_{0}}_{p}(S), \quad g(0,x) = B(x,0,\partial_x) u_0|_{\Gamma}, \quad \varphi(u)\in W_\infty^2(-R,R) \quad\text{для всех }R>0, \tag9 $$ $$ u_0(x)|_{G^\pm}\in W_{p}^{2-\frac{2}{p}}(G^\pm),\quad f\in L_{p}(Q),\quad g,\overline{u}_0 \in W_{p}^{s_0,2s_{0}}(S), \tag10 $$ $$ a_{i}\in L_{\infty}(0,T;W_{p}^{1}(G_{\delta})),\quad a_{kl}\in L_{\infty}(0,T;W_{\infty}^{1}(G_{\delta})), \quad \varphi(u) \in W_\infty^3(-R,R), %\?, \tag11 $$ \fi для каждого $ R >0$. Построим функции $\varphi_{i}(x) \in C_{0}^{\infty}({\Bbb R}^{n})$ такие, что $\varphi_{i}(x)=1$ в $B_{\delta/2}(b_{i})$ и $\varphi_{i}(x)=0$ в ${\Bbb R}^{n}\setminus B_{3\delta/4}(b_{i})$. Пусть $Y_{i}$~--- координатная окрестность точки $b_{i}\in \Gamma$. Выпрямим границу и перейдем к системе координат $z=(z',z_{n})$. Мы также предполагаем, что \iftex $$ \align & \nabla_{z'}\beta(x^i(z',0))\in W_{p}^{s_0,2s_{0}}(S_1), \tag12 \\ &\nabla_{z'}\varphi_{i} g(t,x^{i}(z',0)),\quad \nabla_{z'}\varphi_{i} \overline{u}_0(t,x^{i}(z',0))\in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}), \tag13 \\ &\aligned &\nabla_{z'}\varphi_{i} u_{0}(x^{i}(z))\in W_{p}^{2-2/p}(U), \quad \nabla_{z'} a_{kl}(t,x^{i}(z',0)) \in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}), \\ &\nabla_{z'}\varphi_{i} f(t,x^{i}(z))\in L_{p}(Q_{1}), \endaligned \tag14 \endalign $$ \else $$ \nabla_{z'}\beta(x^i(z',0))\in W_{p}^{s_0,2s_{0}}(S_1), \tag12 $$ $$ \nabla_{z'}\varphi_{i} g(t,x^{i}(z',0)),\quad \nabla_{z'}\varphi_{i} \overline{u}_0(t,x^{i}(z',0))\in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}), \tag13 $$ $$ \gathered \nabla_{z'}\varphi_{i} u_{0}(x^{i}(z))\in W_{p}^{2-2/p}(U), \quad \nabla_{z'} a_{kl}(t,x^{i}(z',0)) \in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}), \\ \nabla_{z'}\varphi_{i} f(t,x^{i}(z))\in L_{p}(Q_{1}), \endgathered \tag14 $$ \fi где $ k,l=1,2\dots,n$, %\?,\dots $i\leq r$. Можно показать, что условия \Tag(12)--\Tag(14) не зависят от введенной локальной системы координат $y$ и системы координат~$z$. \enddemo \proclaim{Theorem 1} Пусть выполнены условия \Tag(7)--\Tag(10). Тогда на некотором промежутке $[0,\tau_0]$ существует единственное решение $u$ задачи \Tag(1)--\Tag(3) такое, что $u|_{Q^\pm_{\tau_0}}\in W_{p}^{1,2}(Q^\pm_{\tau_0})$. Если $\beta=0$, то справедлива оценка $$ \aligned \|u\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau_0}^+)} &+ \|u\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau_0}^-)}\leq C_{0}(\|u_{0}\|_{W_{p}^{2-2/p}(G^+)}+\|u_{0}\|_{W_{p}^{2-2/p}(G^-)} \\ &+ \|f\|_{L_{p}(Q_{\tau_0})}+\|g\|_{W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau_0})}). \endaligned \tag15 $$ Если $u_{0}\equiv 0$ и $\beta=0$, то оценка может быть переписана в виде $$ \|u\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau_0}^+)}+\|u\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau_0}^-)} \leq C_{1}(\|f\|_{L_{p}(Q_{\tau_0})} +\|g\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau_0})}), \eqno{(16)} $$ где постоянная $C_{1}$ не зависит от $\tau$. \endproclaim \demo{Proof} Рассмотрим вспомогательную задачу \iftex $$ \alignat3 &M\Psi=f, &\quad& \Psi|_{t=0}=u_0, &\quad &\frac{\partial \Psi}{\partial N}\Bigr|_S =g_0, \quad g_0|_{t=0}=\frac{\partial u_0}{\partial N}, \\ & \frac{\partial \Psi^+}{\partial N}(t,x)= \frac{\partial \Psi^-}{\partial N}(t,x), &\quad& \Psi^+(t,x)=\Psi^-(t,x), &\quad& (t,x)\in S_0. \endalignat $$ \else $$ \align &M\Psi=f, \quad \Psi|_{t=0}=u_0, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial N}\Bigr|_S =g_0, \quad g_0|_{t=0}=\frac{\partial u_0}{\partial N}, \\ & \frac{\partial \Psi^+}{\partial N}(t,x)= \frac{\partial \Psi^-}{\partial N}(t,x), \quad \Psi^+(t,x)=\Psi^-(t,x), \quad (t,x)\in S_0. \endalign $$ \fi Фиксируем $\tau\leq T$. По теореме 2.19 в [27] существует единственное решение этой задачи из класса $\Psi\in W_p^{1,2}(Q_\tau^+)\cap W_p^{1,2}(Q_\tau^-)$ (обозначим его через $R_\tau(g_0)$), причем имеет место оценка $$ \|R_\tau g_0\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau}^+)}+\|R_\tau g_0\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau}^-)}\leq C_{1}(\|g_0\|_{W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau})} +\|u_0\|_{W_p^{2-2/p}(G^+)} +\|u_0\|_{W_p^{2-2/p}(G^-)}+ \|f\|_{L_p(Q_\tau)}). $$ Если $u_0=0$, то последнюю оценку можно уточнить: $$ \|R_\tau g_0\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau}^+)} +\|R_\tau g_0\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{\tau}^-)} \leq C_{2}(\|g_0\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}} (S_{\tau})}+\|f\|_{L_p(Q_\tau)}), \eqno{(17)} $$ где постоянная $C_2$ не зависит от параметра $\tau$. Доказательство этой оценки повторяет соответствующее в теореме~2 в [28], поэтому его опустим. Тогда $u\in W_p^{1,2}(Q_\tau^+)\cap W_p^{1,2}(Q_\tau^-)$ ~--- решение задачи \Tag(1)--\Tag(3) в том и только в том случае, если $$ u|_S=R_\tau(g-\beta(t,x)(\varphi(u)-\varphi(\overline{u}_0)))|_{S}, \quad u|_S\in W_p^{s_1,2s_1}(S_\tau). $$ Покажем, что это уравнение имеет единственное решение, если параметр $\tau$ достаточно мал. Сделаем замену $u=v+\Phi$, $\Phi=R_\tau(g-\beta(\varphi(u_0)- \varphi(\overline{u}_0))$. Тогда имеем уравнение $$ v|_S=R_\tau(g-\beta(t,x)(\varphi(v+\Phi)-\varphi(\overline{u}_0)))|_{S}- \Phi|_{S}=R_{0\tau}(v|_S). \eqno{(18)} $$ Ищем решение этого уравнения в классе $v\in \widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_\tau)$, $s_1=1-\frac{1}{2p}$. Возьмем $v=0$. Получим $R_{0\tau}(0)$ ~--- решение задачи $$ Mv=0, \quad v|_{t=0}=0, \quad \frac{\partial v}{\partial N}\Bigr|_{S_\tau}=- \beta(\varphi(\Phi)-\varphi(u_0))\in \widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_\tau). $$ Возьмем $R_1=2\|R_{0T}(0)\|_{\widetilde{W_p}^{s_0,2s_0}(S)}$. Пусть $\|v_i\|_{\widetilde{W_p}^{s_1,2s_1}(S_\tau)} \leq R_1$. В силу теорем вложения $\|v_i\|_{C(\overline{S_\tau})} \leq C_0R_1$, где $C_0$~--- некоторая постоянная. По определению оператора $R_\tau$ правая часть в \Tag(18) обращается в нуль при $t=0$. Покажем, что на малом промежутке времени оператор $R_{0\tau}(v)$ удовлетворяет условиям теоремы о неподвижной точке. В силу \Tag(17) и \Par*{Lemmas 2}, \Par{Lemma 3}{3} имеем оценку $$ \aligned \|R_{0\tau}(v_1)-R_{0\tau}(v_2)\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_\tau)} &\leq c_1\|\beta(\varphi(v_1)-\varphi(v_2))\|_{\widetilde{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)} \\ &\leq c_2\|\varphi(v_1)-\varphi(v_2)\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)}\leq c_3(R_1) \|v_1-v_2\|_{\widetilde{W}^{s_0,2s_0}_p(S_\tau)}. \endaligned \tag19 $$ Отметим, что справедливо неравенство $$ \|v\|_{\widetilde{W_p}^{s_0,2s_0}(S_\tau)} \leq c\tau^{1/2}\|v\|_{\widetilde{W_p}^{s_1,2s_1}(S_\tau)}, \quad s_1=1-1/2p, \eqno{(20)} $$ где постоянная $c$ не зависит от $\tau\leq T$. Действительно, непосредственно из определения нормы имеем $$ \|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_{0}}(0,\tau;L_p(\Gamma))}\leq c \tau^{1/2}\|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_1}(0,\tau;L_p(\Gamma))}. $$ Далее, $$ \|v\|_{L_{p}(0,\tau;W_p^{2s_{0}}(\Gamma))} \leq c \|v\|_{L_p(0,\tau; W_p^{2s_{1}}(\Gamma))}^\theta \|v\|_{L_p(S_\tau)}^{1-\theta} \leq c_4\tau^{s_1(1-\theta)}\|v\|_{\widetilde{W_p}^{s_1,2s_1}(S_\tau)}, $$ где $ s_1(1-\theta)=1/2$, $\theta=s_0/s_1$, используем лемму~1.14 в [27] и определение нормы в $W_p^{s_1}(0,\tau;L_p(\Gamma))$. Две последние оценки гарантируют~\Tag(20). Используя оценки~\Tag(20) и \Tag(19), получим $$ \|R_{0\tau}(v_1)-R_{0\tau}(v_2)\|_{\widetilde{W_p}^{s_1,2s_1}(S_\tau)} \leq c_5(R_1)\tau^{\frac{1}{2}} \|v_1-v_2\|_{\widetilde{W_p}^{s_1,2s_1}(S_\tau)}. $$ Выберем $\tau_0$ такое, что $\tau^{1/2}c_5(R_1) \leq \frac{1}{2}$ при $\tau \leq \tau_0$. Тогда выполняются условия теоремы о неподвижной точке и уравнение \Tag(18) имеет решение. Если $u_0=0$, то легко увидеть, что постоянные в используемых неравенствах не зависят от $\tau\leq \tau_0$ и, значит, имеет место оценка \Tag(16). \enddemo \demo{Remark 2} %\?2 штуки \demo{Remark 1}, поставила здесь 2 Без ограничения общности можем считать, что параметр $\tau_0$ ~--- убывающая функция от величины $R_1$. В свою очередь, величина $R_1$ ограничена постоянной $cM$ с $M=\|\beta\|_{W_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)}+\|\beta\|_{L_\infty(S_\tau)}$, $c$ ~--- постоянная, не зависящая от $\beta$, при этом норма $v$ в $W_p^{s_1,2s_1}(S_{\tau_0})$ оценивается через~$2R_1$ и норма $v$ в $W_p^{1,2}(S_{\tau_0})$ оценивается постоянной, зависящей от $R_1$. \enddemo В следующей теореме используем локальную систему координат $z$. \proclaim{Theorem 2} Пусть выполнены условия \Tag(7)--\Tag(14) и $\beta=0$. Тогда решение задачи \Tag(1)--\Tag(3), полученное в \Par*{Theorem {\rm1}}, обладает свойством $ \nabla_{z'}\varphi_{i} u(x^{i}(z))\in W_{p}^{1,2}(Q_{1}^{\tau})$, $i=1,\dots,r$, причем если $u_{0}\equiv 0$, то имеет место оценка $$ \align \sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'}\varphi_{i} &u(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^{\tau})} \leq C_{1}( \|g\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau})} + \| f\|_{L_{p}(Q_{\tau})} \\ &+ \sum\limits_{i=1}^{r}(\|\nabla_{z'}\varphi_{i} f\|_{L_{p}(Q_{1}^{\tau})}+ \|\nabla_{z'}\varphi_{i} g(x^{i}(z',0))\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}^{\tau})})), \endalign $$ где постоянная $C_{1}$ не зависит от $\tau\in (0,\tau_0]$. \endproclaim \demo{Proof} Доказательство дословно повторяет рассуждения из теоремы~2 в [23] и использует оценку \Tag(17). \enddemo \head 3. Основные результаты \endhead Далее считаем, что функции $\Phi_{i}(t,x)$ обладают следующими свойствами: $$ \Phi_{i}\in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S), \quad \nabla_{z'}\Phi_{i}(t,x^j(z',0))\in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_1),\quad i,j=1,2,\dots,r. \eqno{(21)} $$ Пусть $\Phi(t)$ ~--- матрица с элементами $\phi_{ij}=\Phi_{j}(t,b_{i})$, $i,j=1,2,\dots,r$. В~силу теорем вложения $\Phi_{i}(t,b_{j})\in C^{1/2-(n+2)/2p}([0,T])$ (см. [27, Theorem~1.22]). Дополнительные условия на данные имеют вид $$ \aligned & |\varphi(\psi_{i}(t))-\varphi(\overline{u}_0)(t,b_i)|\geq \delta_{1}, \quad |\det\Phi|\geq \delta_{1}>0\quad\text{для всех }t\in [0,T], \\ & \psi_{i}\in W_{p}^{s_{1}}(0,T),\quad u_{0}(b_{i})=\psi_{i}(0), \quad i=1,2,\dots,r, \endaligned \tag22 $$ где $\delta_{1}$~--- положительная постоянная. Возьмем первое из равенств \Tag(2) в точке $(0,b_{j})$. Имеем $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\beta_{i}(0)\Phi_{i}(0,b_{j})=\frac{1}{(\varphi(u_{0}(b_j))- \varphi(\overline{u}_0(b_j)))} \Bigl(g(0,b_j)-\frac{\partial u_{0}(b_{j})}{\partial N}\Bigr), \eqno{(23)} $$ где $ j=1,\dots,r$. Отсюда определяем величины $\beta_{i}(0)$. Если решение задачи \Tag(1)--\Tag(4) существует, то выполнено равенство $$ \frac{\partial u_{0}(x)}{\partial N}+\beta(0,x)[\varphi(u_0)- \varphi(\overline{u}_0)]= g(0,x), \quad x\in \Gamma, \eqno{(24)} $$ где постоянные $\beta_{j}(0)$~--- решение системы \Tag(23). Положим $$ \beta_{0}=\sum\limits_{i=1}^{r}\beta_{i}(0)\Phi_{i}(t,x), \quad \alpha=\beta-\beta_{0}, \quad \alpha_{i}=\beta_{i}(t)-\beta_{i}(0), \quad \vec{\alpha}=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{r}). $$ В силу условия \Tag(21) $ \beta_{0}\in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S)$, $\nabla_{z'}\beta_{0}(x^{j}(z',0))\in W_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_1) $ для всех $j$. Построим функцию~$w_{0}$ как решение задачи \Tag(1)--\Tag(3) c $\beta=\beta_0$. Решение существует на некотором промежутке $[0,\tau_0]$ и обладает свойствами, указанными в \Par*{Theorems 1} и \Par{Theorem 2}{2}. Сделаем замену $u=v+w_{0}$ в \Tag(1)--\Tag(4). Функция~$v$ есть решение обратной задачи \iftex $$ \align &Mv= v_t-Lv=0, \quad (x,t)\in Q = G\times(0,T), \tag25 \\ & v|_{t=0}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial N}+\beta_0(\varphi(v+w_0)- \varphi(w_0))= -\alpha (\varphi(v+w_0)-\varphi(\overline{u}_0)), \tag26 \\ & \frac{\partial v^+}{\partial N}(t,x) = \frac{\partial v^-}{\partial N}(t,x), \quad v^+(t,x)=v^-(t,x), \quad (t,x)\in S_0, \tag27 \\ &v(t,b_{i})=\widetilde{\psi}_{i}(t)=\psi_{i}(t)-w_0(t,b_{i}). \tag28 \endalign $$ \else $$ Mv= v_t-Lv=0, \quad (x,t)\in Q = G\times(0,T), \tag25 $$ $$ v|_{t=0}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial N}+\beta_0(\varphi(v+w_0)- \varphi(w_0))= -\alpha (\varphi(v+w_0)-\varphi(\overline{u}_0)), \tag26 $$ $$ \frac{\partial v^+}{\partial N}(t,x) = \frac{\partial v^-}{\partial N}(t,x), \quad v^+(t,x)=v^-(t,x), \quad (t,x)\in S_0, \tag27 $$ $$ v(t,b_{i})=\widetilde{\psi}_{i}(t)=\psi_{i}(t)-w_0(t,b_{i}). \tag28 $$ \fi \proclaim{Theorem 3} Пусть выполнены условия \Tag(7), \Tag(8), \Tag(10), \Tag(11), \Tag(13), \Tag(14), \Tag(21), \Tag(22), \Tag(24). Тогда на некотором промежутке $[0,\tau_{0}]$ существует единственное решение задачи \Tag(1)--\Tag(4) такое, что $u\in W_{p}^{1,2}(Q_{\tau}^+)\cap W_{p}^{1,2}(Q_{\tau}^-)$, $\beta_{i}(t)\in W_{p}^{s_0}(0,\tau_{0})$, $i=1,2,\dots,r$, причем $ \nabla_{z'}\varphi_{i} u(x^{i}(z))\in W_{p}^{1,2}(Q_{1}^{\tau_0})$, $ i=1,\dots,r$. \endproclaim \demo{Proof} Достаточно доказать утверждение для вспомогательной задачи \Tag(25)--\Tag(28). {\sc Построение операторного уравнения для нахождения вектор-функции} $\vec{\alpha}$. Фиксируем $R_{2}>0$ (эту величину определим позже) и предположим, что $\vec{\alpha}\in B_{R_{2}}= \{\vec{\alpha} \in \widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau): \|\vec{\alpha}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}\leq R_{2}\}$. Фиксируя $\vec{\alpha}\in B_{R_{2}}$ и решая задачу \Tag(25)--\Tag(27) на некотором промежутке $[0,\tau_0]$), мы тем самым построим отображение $\vec{\alpha}\to v(\vec{\alpha})$. Кроме этого отображения нам понадобится еще одно отображение. Фиксируя $i$ и умножая уравнение \Tag(25) на $\varphi_{i}$, имеем $$ Mv_i = v_{it} - Lv_i = [\varphi_{i}, L]v = f_{0}, \quad v_i\big|_{t=0} = 0, \quad v_i=\varphi_i v, \eqno{(29)} $$ где $$ [\varphi_{i},L]v=\varphi_{i}Lv-L(\varphi_{i}v)= -2\sum\limits_{l,k=1}^{n}a_{lk}v_{x_{k}}\varphi_{ix_{l}}- \sum\limits_{l,k=1}^{n}a_{lk}\varphi_{ix_{l}x_{k}}v- \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\varphi_{ix_{k}}v. $$ Сделав замену переменных $x=x^{i}(z)$, перепишем уравнение в \Tag(29) в виде $$ v_{it}-c_{nn}(t,z)v_{i z_{n}z_{n}}=\sum\limits_{l+k<2n}c_{kl} v_{i z_{k}z_{l}}+\sum\limits_{k=1}^{n}c_{k}v_{i z_{k}} +c_{0}v_i+ f_{0}=f_{1i}, \quad z\in U. \eqno{(30)} $$ Отметим, что $c_{nn}>0$ для всех $t,z$. В силу свойств решения $v$ и условий на коэффициенты имеем $\varphi f_{1i}\in L_{p}(Q_1^{\tau})$, $\nabla_{z'} \varphi f_{1i}\in L_{p}(Q_{1}^{\tau})$ и, более того, $f_{1i}(t,z',z_{n})\in C^{\alpha}(\overline{B_{\delta}'};L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1})))$ с $\alpha\leq 1-(n-1)/p$ (см. теорему~1.22 в~[27]), после может быть изменение на множестве меры нуль. Рассмотрим задачу \iftex $$ \align &\omega_{it}(t,z_{n})-c_{nn}(t,0,z_{n}) \omega_{iz_{n}z_{n}}=f_{1i}(t,0,z_{n}), \quad i\leq r,\ z_{n}\in (0,\delta_{1}), \tag31 \\ &\omega_{i}(0,z_{n})=0, \quad \omega_{i}|_{z_{n}=0}=\widetilde{\psi}_{i}(t), \quad \omega_{i}|_{z_{n}=\delta_{1}}=0, \quad i=1,2,\dots,r. \tag32 \endalign $$ \else $$ \omega_{it}(t,z_{n})-c_{nn}(t,0,z_{n}) \omega_{iz_{n}z_{n}}=f_{1i}(t,0,z_{n}), \quad i\leq r,\ z_{n}\in (0,\delta_{1}), \tag31 $$ $$ \omega_{i}(0,z_{n})=0, \quad \omega_{i}|_{z_{n}=0}=\widetilde{\psi}_{i}(t), \quad \omega_{i}|_{z_{n}=\delta_{1}}=0, \quad i=1,2,\dots,r. \tag32 $$ \fi Пусть $v(\vec{\alpha})$~--- решение задачи \Tag(25)--\Tag(27), построим функции $\omega_{i}$ как решения задач \Tag(31), \Tag(32). Таким образом, каждому $\vec{\alpha}$ отвечает функция $v$ и набор функций $\omega_i$ $(i=1,2,\dots,r)$. Имеем $$ \frac{\partial v_i}{\partial N}=\sum\limits_{j=1}^{n}\eta_{j}(t,z')v_{i z_{j}}(t,x^{i}(z',0)). $$ Полагая $z'=0$ и используя \Tag(28), запишем равенства $$ \eta_{n}(t,0)\omega_{jz_{n}}(t,0)+\sum\limits_{i=1}^{n- 1}\eta_{i}(t,0)v_{z_{i}}(t,x^{j}( 0)) + \beta_0(\varphi(\psi_j)-\varphi(u_0))= -\alpha(t,b_j)(\varphi(\psi_j)- \varphi(\overline{u}_0)) , \tag33 $$ которые также можно переписать в виде $$ \alpha(t, b_j) = \frac{1}{ \varphi(\overline{u}_0(t, b_j))- \varphi(\psi_j) } \Biggl( \eta_n(t, 0) \omega_{jz_n}(t, 0) + \sum\limits_{i=1}^{n-1} \eta_i(t, 0) v_{z_i}(t, b_j) +\beta_0(\varphi(\psi_j)-\varphi({u}_0))\Biggr), \tag34 $$ где $\varphi(\psi_j)-\varphi(\overline{u}_0(t,b_j)) \neq 0$ (см. \Tag(22)). Это и есть система для нахождения вектора $\vec{\alpha}$. Она может быть переписана в виде $$ \vec{\alpha}=\Phi^{-1}\vec{F}(\vec{\alpha})=R(\vec{\alpha}), \eqno{(35)} $$ где координата $F_j$ вектора $\vec{F}$ есть правая часть \Tag(34). Отметим, что \Par*{Lemma 2} гарантирует оценку $$ \|\Phi^{-1}\vec{F}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}\leq c\|\vec{F}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}. \eqno{(36)} $$ Покажем, что оператор $R(\vec{\alpha})$ является сжимающим в некотором шаре $B_{R_{2}}=\{\vec{\alpha}: \|\vec{\alpha}\|_{W_p^{s_0}(0,\tau)}\leq R_2\}$ и переводит его в себя. Рассмотрим систему \Tag(35) и найдем $R(0)$. Если $\vec{\alpha}=0$, то в силу теоремы единственности решение $v$ задачи \Tag(25)--\Tag(27) есть~0. Тогда правая часть в \Tag(31) равна нулю и решения $w_i$ задачи \Tag(31), \Tag(32) не зависит от $\vec{\alpha}$. Положим $R_2=2\|R(0)\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S)}$. Величина $R_2$ зависит только от известных данных задачи и не зависит от $\vec{\alpha},\tau$. {\sc Оценки для решений задачи} \Tag(25)--\Tag(27). Без ограничения общности можем считать (см. \Par*{Remark~1} и \Par*{Theorem 1}), что промежуток $[0,\tau_0]$, на котором решение задачи \Tag(25)--\Tag(27) существует и единственно, не зависит от $\vec{\alpha}\in B_{R_2}=\{\vec{\alpha}: \|\vec{\alpha}\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_{\tau})}\leq R_2\}$, а зависит только от величины $R_2$. Далее, имеет место оценка (\Par*{Theorem 1}) $$ \|v\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)}+ \|v\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^-)}\leq C_2(R_2), $$ где постоянная $C_2$ зависит от $R_2$, но не зависит от параметра $\tau$. Пусть $$ g_0=-\beta_0(\varphi(v+w_0)-\varphi(w_0)) -\alpha (\varphi(v+w_0)- \varphi(\overline{u}_0)). $$ Из \Par*{Theorem 2} вытекает, что найдется постоянная $c_3$ такая, что $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'}\varphi_{i} v(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)} \leq c\Biggl(\|g_0\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)}+ \sum\limits_{i=1}^r\|\varphi_i\nabla_{z'}g_0(t,x^i(z',0)) \|_{\widetilde{W}_p^{s_0}(S_1^\tau)}\Biggr). $$ Воспользовавшись \Par*{Lemmas 2} и \Par{Lemma 3}{3}, получим $$ \|g_0\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_\tau)}\leq c(R_2). $$ Далее, $$ \align \partial_{z_k} g_0= &-\beta_{0z_k}(\varphi(v+w_0)- \varphi(w_0)) -\alpha_{z_k}(\varphi(v+w_0)-\varphi(\overline{u}_0)) \\ &-\beta_{0}(\varphi'(v+w_0)(v_{z_k}+w_{0z_k})- \varphi'(w_0)(w_{0z_k})) \\ & -\alpha(\varphi'(v+w_0)(v_{z_k}+w_{0z_k})- \varphi'(\overline{u}_0)\overline{u}_{0z_k}). \endalign $$ Каждое слагаемое оценивается с использованием \Par*{Lemmas 2} и \Par{Lemma 3}{3}. Рассмотрим, например, третье слагаемое. Имеем $$ \aligned \|\varphi_i\beta_{0} &(\varphi'(v+w_0)(v_{z_k}+w_{0z_k})- \varphi'(w_0)(w_{0z_k}))||_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)} \\ &\leq c\|\varphi'(v+w_0)(v_{z_k}+w_{0z_k})- \varphi'(w_0)w_{0z_k}||_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)} \\ &\leq c_1\|(\varphi'(v+w_0)- \varphi'(w_0))(v_{z_k}+w_{0z_k})+ \varphi'(w_0)v_{z_k}||_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)} \\ &\leq c_2(\|\varphi'(v+w_0)- \varphi'(w_0)\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}(\|v_{z_k}+w_{0z_k}\|_{{W}_p^{ s_0,2s_0}(S_1^\tau)}+ \|v_{z_k}+w_{0z_k}\|_{L_\infty(S_1^\tau)}) \\ &\qquad+ (\|\varphi'(w_0)\|_{{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}+ \|\varphi'(w_0)\|_{L_\infty(S_1^\tau)}) \|v_{z_k}\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}). \endaligned \tag37 $$ Далее используем оценки \iftex $$ \align &\|\nabla_{z'}w_{0}\|_{{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}+\|\nabla_{z'}w_{0}\|_{L_\infty (S_1^\tau)}\leq c_1 \|w_0\|_{{W}_p^{s_1,2s_1}(S_1)}, \tag38 \\ & \|\nabla_{z'}v\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}\leq c_2\|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_1^\tau)}, \quad v\in \widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_1^\tau), \tag39 \endalign $$ \else $$ \|\nabla_{z'}w_{0}\|_{{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}+\|\nabla_{z'}w_{0}\|_{L_\infty (S_1^\tau)}\leq c_1 \|w_0\|_{{W}_p^{s_1,2s_1}(S_1)}, \tag38 $$ $$ \|\nabla_{z'}v\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}\leq c_2\|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_1^\tau)}, \quad v\in \widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_1^\tau), \tag39 $$ \fi где постоянные $c_1,c_2$ не зависят от $\tau$. Первая вытекает из [27, Corollary~1.3 and Theorem~1.22]. Вторая также вытекает из следствия~1.3 в [27], но надо показать, что постоянная $c_2$ не зависит от $\tau$. Существует оператор продолжения $P$ функций, заданных на $B_\delta'$ в ${\Bbb R}^{n-1}$, такой, что $P\in L(W_p^s(B_{\delta}'), W_p^s({\Bbb R}^{n-1}))$ для всех $s\in [0,2]$ (метод Хестенса [24, Section~4.2]). Поэтому достаточно получить оценки в случае, когда $S_1^\tau$ заменено на $\widetilde{S}_1^\tau=(0,\tau)\times {\Bbb R}^{n-1}$. Мы используем эквивалентные нормы в $\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(\widetilde{S}_1^\tau)$ и $\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(\widetilde{S}_1^\tau)$ (см. нормы в [24, 2.5.1]): %\? п.~2.5.1 $$ \align & \|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(\widetilde{S}_1^\tau)}^p= \|v t^{- s_0}\|_{L_p(\widetilde{S}_1^\tau)}+\langle v\rangle _{s_0,\tau}^p + \int\limits_0^{\tau}\int\limits_{{\Bbb R}^{n-1}} \int\limits_{{\Bbb R}^{n-1}}\frac{|v(t,z^1)-v(t,z^2)|^p}{|z^1-z^2|^{n- 1+2s_0p}}\,dx^1dx^2dt, \\ & \|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(\widetilde{S}_1^\tau)}^p= \|v t^{- s_1}\|_{L_p(\widetilde{S}_1^\tau)}+\langle v\rangle _{s_1,\tau}^p + \int\limits_0^{\tau}\int\limits_{{\Bbb R}^{n-1}} \int\limits_{{\Bbb R}^{n-1}}\sum\limits_{k=1}^{n- 1}\frac{|v_{z_k}(t,z^1)-v_{z_k}(t,z^2)|^p}{|z^1-z^2|^{n-1+2ps_0}}\,dx^1dx^2. \endalign $$ Сделаем замену переменных $t=\xi \tau$, $x=\sqrt{\tau}y$, $z^1=\sqrt{\tau}y_1$, $z^2=\sqrt{\tau}y_2$. Имеем $$ \|\nabla_{z'}v\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(\widetilde{S}_1^\tau)}^p=\tau^{1-s_0p- p/2+(n-1)/2} \|\nabla_{y'}v(\tau \xi,\sqrt{\tau}y)\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(\widetilde{S}_1^1)}^p. $$ Правая часть оценивается через $\tau^{1-s_0p-p/2+(n-1)/2}c \|v(\tau \xi,\sqrt{\tau}y)\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(\widetilde{S}_1^1)}$ (см. [27, Corollary 1.3]). Сделав обратную замену переменных, придем к \Tag(39). Используя \Tag(39), \Tag(38), и \Par*{Lemma 3}, получим, что правая часть в \Tag(37) оценивается через $c_3(R_2)$, эта постоянная зависит от $\|v\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(S_\tau)}$, $ \|w_0\|_{{W}_p^{s_1,2s_1}(S_1)}$, т.~е. от $R_2$. Таким образом, $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'}\varphi_{i} v(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)}\leq C_4(R_2). $$ Окончательно имеем оценку $$ \|v\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)}+ \|v\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^- )}+\sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'}\varphi_{i} v(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)}\leq C_5(R_2). \eqno{(40)} $$ {\sc Оценки для разности решений задачи} \Tag(25)--\Tag(27). Пусть $\vec{\alpha}_{i}=(\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \dots,\alpha_{ir})\in B_{R_{2}}$, $i=1,2$, и $v_{i}$~--- соответствующие решения задачи \Tag(25)--\Tag(27), где функция $\alpha$ заменяется соответствующими функциями $$ \alpha^{j}=\sum\limits_{i=1}^{r}\alpha_{ji}\Phi_{i}, \quad j=1,2. $$ Каждая из этих функций удовлетворяет оценке \Tag(40). Тогда разности $v_{1}-v_{2}=\widetilde{\omega}$, $\widetilde{\alpha}=\alpha^{1}-\alpha^{2}$ есть решение задачи \iftex $$ \align &Mv= \widetilde{\omega}_t-L\widetilde{\omega}=0, \quad \widetilde{\omega}|_{t=0}=0, \quad (x,t)\in Q = G\times(0,T), \tag41 \\ &\aligned \frac{\partial \widetilde{\omega}}{\partial N} =&-\beta_{0}(\varphi(v_1+w_0)- \varphi(v_2+w_0)) -\frac{(\alpha^{1}+\alpha^{2})}{2}(\varphi(v_1+w_0)-\varphi(v_2+w_0)) \\ & - \frac{\widetilde{\alpha}}{2}(\varphi(v_1+w_0)+\varphi(v_2+w_0)- 2\varphi(\overline{u}_0))=g_0. \endaligned \tag42 \\ & \frac{\partial \widetilde{\omega}^+}{\partial N}(t,x) = \frac{\partial \widetilde{\omega}^-}{\partial N}(t,x), \quad \widetilde{\omega}^+(t,x)=\widetilde{\omega}^-(t,x), \quad (t,x)\in S_0. \tag43 \endalign $$ \else $$ Mv= \widetilde{\omega}_t-L\widetilde{\omega}=0, \quad \widetilde{\omega}|_{t=0}=0, \quad (x,t)\in Q = G\times(0,T), \tag41 $$ $$ \gathered \frac{\partial \widetilde{\omega}}{\partial N} =-\beta_{0}(\varphi(v_1+w_0)- \varphi(v_2+w_0)) -\frac{(\alpha^{1}+\alpha^{2})}{2}(\varphi(v_1+w_0)-\varphi(v_2+w_0)) \\ - \frac{\widetilde{\alpha}}{2}(\varphi(v_1+w_0)+\varphi(v_2+w_0)- 2\varphi(\overline{u}_0))=g_0. \endgathered \tag42 $$ $$ \frac{\partial \widetilde{\omega}^+}{\partial N}(t,x) = \frac{\partial \widetilde{\omega}^-}{\partial N}(t,x), \quad \widetilde{\omega}^+(t,x)=\widetilde{\omega}^-(t,x), \quad (t,x)\in S_0. \tag43 $$ \fi В силу \Par*{Lemma 2} и \Tag(21) $\widetilde{\alpha}, \alpha^j \in \widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau})$, $\nabla_{z'}\widetilde{\alpha}(t,x^{i}(z',0)), \nabla_{z'}\alpha^j(t,x^{i}(z',0))\in \widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}^{\tau})$, $i=1,\dots,r$, и имеем оценки \iftex $$ \align &\|\widetilde{\alpha}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau})}\leq c_{1}\|\vec{\alpha}_{1}-\vec{\alpha}_{2}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}, \tag44 \\ &\|\alpha^1+\alpha^2\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau})} \leq c_{1}(\|\vec{\alpha}_{1}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}+\|\vec{\alpha}_{2}\|_ {\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)})\leq 2c_1 R_2, \tag45 \\ &\sum\limits_{i=1}^r\|\nabla_{z'}\widetilde{\alpha}(t,x^i(z',0))\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_ {0}}(S_{1}^{\tau})}\leq c_{2}\|\vec{\alpha}_{1}-\vec{\alpha}_{2}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}, \tag46 \\ &\sum\limits_{i=1}^r\|\nabla_{z'}(\alpha^1+\alpha^2) (t,x^i(z',0))\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}^{\tau})}\leq 2c_2 R_2, \tag47 \endalign $$ \else $$ \|\widetilde{\alpha}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau})}\leq c_{1}\|\vec{\alpha}_{1}-\vec{\alpha}_{2}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}, \tag44 $$ $$ \|\alpha^1+\alpha^2\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{\tau})} \leq c_{1}(\|\vec{\alpha}_{1}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}+\|\vec{\alpha}_{2}\|_ {\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)})\leq 2c_1 R_2, \tag45 $$ $$ \sum\limits_{i=1}^r\|\nabla_{z'}\widetilde{\alpha}(t,x^i(z',0))\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_ {0}}(S_{1}^{\tau})}\leq c_{2}\|\vec{\alpha}_{1}-\vec{\alpha}_{2}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}, \tag46 $$ $$ \sum\limits_{i=1}^r\|\nabla_{z'}(\alpha^1+\alpha^2) (t,x^i(z',0))\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}^{\tau})}\leq 2c_2 R_2, \tag47 $$ \fi где постоянная $c_{2}$ не зависит от $\tau$. В силу \Par*{Theorem 1}, \Par*{Lemmas 2}, \Par{Lemma 3}{3} и оценок \Tag(44)--\Tag(47), \Tag(40) не так трудно получить неравенства $$ \aligned &\|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)}+\|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)}\leq c\|g_0\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}, \\ &\|g_0\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)} \leq c_5(R_2)\|\widetilde{w}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0},2s_{0}}(S_{1}^{\tau})}+ c_6(R_2)\| \vec{\alpha}_1-\vec{\alpha}_2\|_{\widetilde{W}_p^{s_0}(0,\tau)}. \endaligned \tag48 $$ Воспользовавшись неравенством \Tag(20) и \Par*{Lemma 1}, получим оценку $$ \|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)}+ \|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2} (Q_\tau^-)}\leq c_7(R_2)\tau^{1/2}(\|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)} + \|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^-)})+ c_6(R_2)\| \vec{\alpha}_1- \vec{\alpha}_2\|_{\widetilde{W}_p^{s_0}(0,\tau)}. \tag49 $$ Выберем $\tau_1\leq \tau_0$ так, чтобы $c_7(R_2)\tau^{1/2}\leq 1/2$ при $\tau\leq \tau_1$. Тогда из \Tag(48) и \Tag(49) вытекает неравенство $$ \|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)} + \|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^-)} \leq 2c_6(R_2)\| \vec{\alpha}_1-\vec{\alpha}_2\|_{\widetilde{W}_p^{s_0}(0,\tau)}, \quad \tau\leq \tau_1. \eqno{(50)} $$ Соответственно из \Par*{Lemma 1} и \Tag(48) имеем $$ \|g_0\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}\leq c_7(R_2)\| \vec{\alpha}_1- \vec{\alpha}_2\|_{\widetilde{W}_p^{s_0}(0,\tau)}. $$ Далее, используя \Par*{Theorem 2}, запишем оценку для решений задачи \Tag(41)--\Tag(43). Имеем $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'}\varphi_{i} \widetilde{w}(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)} \leq c\Biggl(\|g_0\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}+ \sum\limits_{i=1}^r\|\varphi_i\nabla_{z'} g_0(t,x^i(z',0)\|_{\widetilde{W}_p^{s_0,2s_0}(S_1^\tau)}\Biggr). $$ Первое слагаемое уже оценено. Оценим второе. Имеем $$ \align \partial_{z_k} g_0= &-\beta_{0z_k}(\varphi(v_1+w_0)- \varphi(v_2+w_0)) -\frac{(\alpha^{1}_{z_k}+\alpha^{2}_{z_k})}{2}(\varphi(v_1+w_0)- \varphi(v_2+w_0)) \\ & - \frac{\widetilde{\alpha}_{z_k}}{2}(\varphi(v_1+w_0)+\varphi(v_2+w_0)- 2\varphi(\overline{u}_0)) -\beta_{0}(\varphi'(v_1+w_0)(v_{1z_k} +w_{0z_k}) \\ &-\varphi'(v_2+w_0)(v_{2z_k}+w_{0z_k})) -\frac{(\alpha^{1}+\alpha^{2})}{2}(\varphi'(v_1+w_0)(v_{1z_k} +w_{0z_k}) \\ &-\varphi'(v_2+w_0)(v_{2z_k}+w_{0z_k})) - \frac{\widetilde{\alpha}}{2}(\varphi'(v_1+w_0)(v_{1z_k}+w_{0z_k}) \\ &\qquad+\varphi'(v_2+w_0)(v_{2z_k}+w_{0z_k})- 2\varphi'(\overline{u}_0)\overline{u}_{0z_k}). \endalign $$ Используя \Par*{Lemmas 2}, \Par{Lemma 3}{3}, получение оценки \Tag(50) и саму оценку \Tag(50), выводим, что при $\tau\leq \tau_{1}$ имеет место оценка $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'}\varphi_{i} \widetilde{\omega}(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)} \leq c_{8}\|\vec{\alpha}_1-\vec{\alpha}_2\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}. \eqno{(51)} $$ Используя неравенства \Tag(50) и \Tag(51), можем записать $$ \|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^+)}+ \|\widetilde{w}\|_{W_p^{1,2}(Q_\tau^-)}+ \sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'}\varphi_{i} \widetilde{\omega}(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)} \leq c_{5}\|\vec{\alpha}_{1}-\vec{\alpha}_{2}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}. \tag52 $$ {\sc Оценки для решений задачи} \Tag(31), \Tag(32). Оценим правую часть в \Tag(31) в $L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1}))$. Имеем $$ \|f_{1i}(t,0,z_{n})\|_{L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1}))} \leq c_{6}\|f_{1i}(t,z',z_{n})\|_{W_{p}^{s}(B_{\delta}';L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1})))}=J $$ при $s>(n-1)/p$ (лемма 1.9 в [27]). Далее используем интерполяционные неравенства (см. теорему~1.19 в [27]). Имеем $$ J\leq c_{7}\|f_{1i}(t,z)\|_{W_{p}^{1}(B_{\delta}';L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1})))}^{\theta} \|f_{1i}(t,z)\|_{W_{p}^{-1}(B_{\delta}';L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1})))}^{1-\theta}, \eqno{(53)} $$ где $2\theta-1=s$. Исходя из определения $f_{1i}$ и условий на коэффициенты, имеем $$ \|f_{1i}\|_{W_{p}^{-1}(B_{\delta}';L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1})))} \leq c\|v\|_{L_{p}(0,\tau;W^{1}_{p}(U))} \leq c_{8}\tau^{1/2}\|v\|_{W_{p}^{1,2}(Q_\tau^+)}, \eqno{(54)} $$ где постоянная $c_{1}$ не зависит от $\tau$. Последняя оценка получается, если мы применим интерполяционное неравенство $$ \|v\|_{L_{p}(0,\tau;W^{1}_{p}(U))}\leq c_{9}\|v\|_{L_{p}(0,\tau;W^{2}_{p}(U))}^{1/2} \|v\|_{L_{p}(0,\tau;L_{p}(U))}^{1/2} $$ и оценку $\|v\|_{L_{p}(0,\tau;L_{p}(U))}\leq \tau \|v_{t}\|_{L_{p}(0,\tau;L_{p}(U))}$, вытекающую из формулы Ньютона~--- Лейбница. Оценки \Tag(53), \Tag(54) влекут, что $$ \aligned \|f_{1i}(t,0,z_{n})\|_{L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1})))} &\leq c_{10}\tau^{(1- \theta)/2}(\|\nabla_{z'}\varphi_{i}v(t,z)\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)} \\ &\qquad+ \|v\|_{W_{p}^{1,2}(Q_\tau^+)}+\|v\|_{W_{p}^{1,2}(Q_\tau^-)} )\leq C_{8}(R_2)\tau^{(1-\theta)/2} , \endaligned \tag55 $$ где $C_{8}$~--- постоянная, не зависящая от $\tau$. Используя свойства решений первой начально-краевой задачи [27, Theorem~2.9], получаем $$ \sum\limits_{i=1}^r \|w_i(t,z_n)\|_{W_p^{1,2}((0,\tau)\times (0,\delta_1))} \leq c\sum\limits_{i=1}^r\|f_{1i}(t,0,z_{n})\|_{L_{p}((0,\tau)\times (0,\delta_{1})))} \leq C_{9}(R_2)\tau^{(1-\theta)/2} +\sum\limits_{j=1}^r\|\widetilde{\psi}_i\|_{\widetilde{W}_p^{s_1,2s_1}(0,\tau)}. $$ {\sc Оценки для разности решений задачи} \Tag(31), \Tag(32). Пусть, как и ранее, $\vec{\alpha}_{i}=(\alpha_{i1},\alpha_{i2},\dots,\alpha_{ir})\in B_{R_{2}}$, $i=1,2$, и $v_{i}$~--- соответствующие решения задачи \Tag(25)--\Tag(27), где функция $\alpha$ заменяется соответствующими функциями $$ \alpha^{j}=\sum\limits_{i=1}^{r}\alpha_{ji}\Phi_{i}, \quad j=1,2. $$ Пусть $w_{i}^j$, $j=1,2$,~--- решения задач \Tag(31), \Tag(32) c новыми правыми частями, где вместо $v$ стоят функции $v_{j}$ и $w^{0}=\varphi_{i}\widetilde{\omega}$. Тогда разности $k_{i}=w_{i}^{1}-w_{i}^{2}$ суть решения задач $$ \align k_{it}-c_{nn}(t,0,z_{n})k_{i z_{n}z_{n}} &= \sum\limits_{i+j<2n}c_{ij}\omega^{0}_{z_{i}z_{j}} +\sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}\omega_{z_{i}}^{0} + c_{0}\omega^{0} \\ &\qquad+ [\varphi_{i},L]\widetilde{\omega}|_{z'=0}=\widetilde{f}_{i}, \quad k_{i}\vert_{t=0}=0, \ k_{i}|_{z_{n}=0}=0, \ k_{i}|_{z_{n}=\delta_{1}}=0,\ i\leq r. \endalign $$ Из известных свойств параболических задач (см., например, теорему~2.1 в [27] или [26]) имеем оценку $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\|k_{i}\|_{W_{p}^{1,2}((0,\tau)\times (0,\delta_{1}))} \leq \sum\limits_{i=1}^{r}\|\widetilde{f}_{i}\|_{L_{p}((0,\tau) \times (0,\delta_{1}))}. $$ Используя аналог оценки \Tag(55) для оценки правой части, получим $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\|k_{i}\|_{W_{p}^{1,2}((0,\tau)\times (0,\delta_{1}))} \leq c_{2} \tau^{\frac{1-\theta}{2}} \Biggl(\|\widetilde{\omega}\|_{W_{p}^{1,2}(Q^{\tau})}+ \sum\limits_{i=1}^{r}\|\nabla_{z'} \varphi_{i}\widetilde{\omega}(t,x^{i}(z))\|_{W_{p}^{1,2}(Q_{1}^\tau)}\Biggr). $$ В частности, отсюда, из \Par*{Lemma 1} и \Tag(52) вытекает неравенство $$ \sum\limits_{i=1}^{r}\|k_{iz_{n}}(t,0)\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)} \leq c_{4}\tau^{(1-\theta)/2} \|\vec{\alpha}_{1}- \vec{\alpha}_{2}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}. \eqno{(56)} $$ {\sc Оценки для оператора} $R$. Считаем, что $\vec{\alpha}_{i}\in B_{R_{2}}$, $i=1,2$. Из \Tag(36) имеем $$ \|R(\vec{\alpha}_{1})-R(\vec{\alpha}_{2})\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)} \leq c\sum\limits_{i=1}^{r}\|F_{i}(\vec{\alpha}_{1})- F_{i}(\vec{\alpha}_{2})\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}. $$ Используем старые обозначения: $v_{i}$, $i=1,2$, $\widetilde{w}=v_{1}-v_{2}$, $k_{i}=\omega_{i}^{1}-\omega_{i}^{2}$, $\omega_{j}^{i}$, $i=1,2$,~--- решения задач \Tag(31), \Tag(32). Рассмотрим первое слагаемое в координате $F_{i}(\vec{\alpha}_{1})-F_{i}(\vec{\alpha}_{2})$. Оно записывается в виде $$ J_{1}=\frac{1}{ \varphi(\overline{u}_0(t, b_j))- \varphi(\psi_j) } \eta_n(t, 0) k_{jz_n}(t, 0), $$ где $$ \eta_{n}=-\sqrt{1+|\nabla \gamma_i|^{2}}\sum\limits_{k,l=1}^{n} \widetilde{a}_{kl}(y^{i}(z))n_{k}n_{l}|_{z_{n}=0}. $$ Здесь $n_{k}=\gamma_{i z_{k}}(z')/\sqrt{1+|\nabla \gamma_i|^{2}}$ при $k0$ и не зависящей от $\tau$ постоянной $c_{7}$. Окончательная оценка, как вытекает из \Tag(57), \Tag(58), имеет вид $$ \|R(\vec{\alpha}_{1})-R(\vec{\alpha}_{2}) \|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}\leq c_{8} \tau^{\beta_{0}}\|\vec{\alpha}_{1}- \vec{\alpha}_{2}\|_{\widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau)}, $$ где $\beta_{0}=\min(\beta_1,\beta_2)$ и постоянная $c_{8}$ не зависит от $\tau$. Возьмем $\tau_{2}\leq \tau_1$ такое, что $c_{8}\tau_{2}^{\beta_{0}}\leq 1/2$. В~этом случае оператор $R$ переводит шар $B_{R_{2}}$ в себя при $\tau\leq \tau_2$ и является в нем сжимающим. Следовательно, уравнение \Tag(35) имеет решение $\vec{\alpha}\in \widetilde{W}_{p}^{s_{0}}(0,\tau_{2})$. Найдено $v$ как решение задачи \Tag(25)--\Tag(27). Покажем выполнение \Tag(28). Возьмем равенства \Tag(26), записанные в системе координат $z$ и взятые в точке $t,x^{i}(0)$ ($x^{i}(0)=b_i$), и вычтем их из соответствующих равенств \Tag(33). Используя равенство $w_j(t,0)+w_0(t,b_j)=\psi_j$, получим $$ \eta_{n}(t,0)(w_{jz_{n}}(t,0)-v_{z_{n}}(t,x^{j}(0))) - (\beta_0+\alpha)(\varphi(w_j(t,0)+w_0(t,b_j)) - \varphi(v(t,b_j)+w_0(t,b_j))) =0, \tag59 $$ где $ i=1,2,\dots,r$. Функция $w_{0i}=\varphi_{i}v$ удовлетворяет уравнению \Tag(30). Возьмем в этом уравнении $z'=0$ и вычтем его из равенства \Tag(31). Получим равенства $$ w_{it}(t,z_{n})-w_{0it}(t,x^{i}(t,0,z_{n}))-c_{nn}(t,0,z_{n})(w_{iz_{n}z_{n}}- w_{0iz_{n}z_{n}}(t,x^{i}(t,0,z_{n})))=0, \eqno{(60)} $$ где $ i\leq r$. Функции $w_{i}(t,z_{n})-w_{0i}(t,x^{i}(t,0,z_{n}))$ удовлетворяют уравнениям \Tag(60), начальному условию $w_{i}(t,z_{n})-w_{0i}(t,x^{i}(t,0,z_{n}))\vert_{t=0}=0$, равенству \Tag(59) и $$ w_{i}(t,z_{n})-w_{0i}(t,x^{i}(t,0,z_{n}))|_{z_n=\delta_1}=0, \quad i=1,2,\dots,r. $$ Для этой задачи справедлив аналог \Par*{Theorem 1} (доказательство ничем не отличается), и тогда в силу единственности решений смешанной начально-краевой задачи $w_{i}(t,z_{n})=w_{0i}(t,x^{i}(t,0,z_{n}))$. Следовательно, $w_{0i}(t,x^{i}(0))=v(t,x^{i}(0))=\widetilde{\psi}_{i}$ для всех $i$. Поскольку локально по времени задача сводится к уравнению со сжимающим оператором, утверждение о единственности решений здесь очевидно. \enddemo \Refs \ref\no 1 \by Alifanov~O.M., Artyukhin~E.A., and Nenarokomov~A.V. \book Inverse Problems in Complex Heat Transfer \publaddr Moscow \publ Yanus-K \yr 2009 \lang Russian \endref %pr \ref\no 2 \by Tkachenko~V.N. \book Mathematical Modeling, Identification, and Control of Technological Processes of Heat Treatment of Materials \publaddr Kiev \publ Naukova Dumka \yr 2008 \lang Russian \endref \ref\no 3 \by Glagolev M.V. and Sabrekov A.F. \paper Identification of gas exchange at the ecosystem/atmosphere interface: an inverse problem method \jour Mat. Biol. Bioinform. \yr 2012 \vol 7 \issue 1 \pages 81--101 \endref \ref\no 4 \by Permyakov~P.P. \paper Identification of parameters of the heat and mass transfer model for technogenic pollution in permafrost \jour Vestn. Tomsk. Gos. Univ. \yr 2004 \vol 284 %\issue 284 \pages 226--238 \endref \ref\no 5 \by Permyakov~P.P. \book Mathematical Modeling of Negative Permafrost Processes \publaddr Novosibirsk \publ Sibirsk. Otdel. RAN \yr 2023 \lang Russian \endref \ref\no 6 \by Permyakov~P.P. and Ammosov~A.P. \book Mathematical Modeling of Technogenic Pollution in the Cryolithozone %man-made pollution \publaddr Novosibirsk \publ Nauka \yr 2003 \lang Russian \endref \ref\no 7 \by Dantas L.V., Orlande H.R.B., and Cotta R.M. \paper Identification of parameters of the heat and mass transfer model for technogenic pollution in permafrost \jour Int. J. Heat Mass Transfer \yr 2003 \vol 46 \issue 9 \pages 1587--1599 \endref \ref\no 8 \by Lugon J.~Jr. and Neto A.J.S. \By Lugon \Initials J \Suffix Jr. \By Neto \Initials A.J.S. \paper An inverse problem of parameter estimation in simultaneous heat and mass transfer in a one-dimensional porous medium \inbook Proceedings of COBEM 2003. 17th International Congress of Mechanical Engineering \yr 2003 \publaddr S\~{a}o Paulo \publ ABSM \pages 1--11 \endref \ref\no 9 \by Varan L.A.B., Orlande H.R.B., and Vianna F.L.V. \paper Estimation of the convective heat transfer coefficient in pipelines with the Markov chain Monte-Carlo method \jour Blucher Mechan. Engin. Proc. \yr 2014 \vol 1 \issue 1 \pages 1214--1225 \endref \ref\no 10 \by Osman A.M. and Beck J.V. \paper Nonlinear inverse problem for the estimation of time-and-space-dependent heat-transfer coefficients \jour J.~Thermophysics \yr 2003 \vol 3 \issue 2 \pages 146--152 \endref \ref\no 11 \by Farahani S.D., Kowsary F., and Ashjaee M. \paper Experimental estimation heat flux and heat transfer coefficient by using inverse methods \jour Sci. Iranica~B \yr 2016 \vol 3 \issue 4 \pages 1777--1786 \endref \ref\no 12 \by Su J. and Hewitt G.F. \paper Inverse heat conduction problem of estimating time-varying heat transfer coefficient \jour Numerical Heat Transfer. Part~A: Appl. \yr 2004 \vol 45 \issue 8 \pages 777--789 \endref \ref\no 13 \by H\'ao D.N., Thanh P.X., and Lesnic D. \paper Determination of the heat transfer coefficients in transient heat conduction \jour Inverse Probl. \yr 2013 \vol 29 \issue 9 \num 095020 \size 21 \endref \ref\no 14 \by Lee J.D., Tanabe I., and Takada K. \paper Identification of the heat transfer coefficient on machine tool surface by inverse analysis \jour JSME Internat.~J., Ser.~C \yr 1999 \vol 42 \issue 4 \pages 1056--1060 \endref \ref\no 15 \by Onyango T.M., Ingham D.B., and Lesnic~D. \paper Restoring boundary conditions in heat conduction \jour J. Engrg. Math. \yr 2008 \vol 62 \issue 1 \pages 85--101 \endref \ref\no 16 \by Wang S., Zhang L., Sun X., and Jia H. \paper Solution to two-dimensional steady inverse heat transfer problems with interior heat source based on the conjugate gradient method \jour Math. Probl. Eng. \yr 2017 \vol 2017 %\issue - \num 2861342 \size 9 \endref \ref\no 17 \by Da Silva W.B., Dutra J.C.S., Kopperschimidt C.E.P., Lesnic D., and Aykroyd R.G. \paper Sequential particle filter estimation of a~time-dependent heat transfer coefficient in a~multidimensional nonlinear inverse heat conduction problem \jour Appl. Math. Model. \yr 2012 \vol 89 \issue 1 \pages 654--668 \endref \ref\no 18 \by H\'ao D.N., Huong B.V., Thanh P.X., and Lesnic D. \paper Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations \jour Appl. Anal. \yr 2015 \vol 94 \issue 9 \pages 1784--1799 \endref \ref\no 19 \by Slodicka M. and Van Keer R. \paper Determination of a Robin coefficient in semilinear parabolic problems by means of boundary measurements \jour Inverse Probl. \yr 2002 \vol 18 \issue 1 \pages 139--152 \endref \ref\no 20 \by R\"{o}sch A. \paper Stability estimates for the identification of nonlinear heat transfer laws by means of boundary measurements \jour Inverse Probl. \yr 2002 \vol 12 \issue 5 \pages 743--756 \endref \ref\no 21 \by Kostin A.B. and Prilepko A.I. \paper On some problems of the reconstruction of a~boundary condition for a~parabolic equation.~II \jour Differ. Equ. \yr 1996 \vol 32 \issue 11 \pages 1515--1525 \endref \ref\no 22 \by Kostin A.B. and Prilepko A.I. \paper On some problem of the reconstruction of a~boundary condition for a~parabolic equation.~I \jour Differ. Equ. %Differential Equations \yr 1996 \vol 32 \issue 1 \pages 113--122 \endref \ref\no 23 \by Pyatkov S.G. and Baranchuk V.A. \paper Determination of the heat transfer coefficient in mathematical models of heat and mass transfer \jour Math. Notes \yr 2023 \vol 113 \issue 1 \pages 93--108 \endref \ref\no 24 \by Triebel~H. \book Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators \publ Berlin \publaddr VEB Deutscher Verlag des Wissenschaften \yr 1978 \endref \ref\no 25 \by Amann H. \paper Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces \jour Glasnik Mat. \yr 2000 \vol 35 \issue 1 \pages 161--177 \endref \ref\no 26 \by Ladyzhenskaya~O.A., Solonnikov~V.A., and Uraltseva~N.N. \book Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type \publ Amer. Math. Soc. \publaddr Providence \yr 1968 \finalinfo Transl. Math. Monogr., 23 \endref \ref\no 27 \by Pyatkov~S.G. \book Boundary Value and Inverse Problems for Parabolic and Elliptic Equations and Systems \publaddr Novosibirsk \publ Nauka \yr 2025 \lang Russian \endref \ref\no 28 \by Belonogov~V.A. and Pyatkov~S.G. \paper On solvability of conjugation problems with non-ideal contact conditions \jour Russian Math. (Iz. VUZ) \yr 2020 \vol 64 \issue 7 \pages 13--26 \endref \endRefs \enddocument