\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Artyushin \Initial A. \Initial N. \Gender he \Email alexsp3\@yandex.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Novosibirsk State University \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted March 15, 2026\enddatesubmitted \daterevised March 30, 2026\enddaterevised \dateaccepted April 7, 2026\enddateaccepted %\?эту дату сама поставила, пока в русском не было \UDclass 517.9 \endUDclass \dedication Геннадию Владимировичу Демиденко в связи с его 70-летием. \enddedication \title Вариационные неравенства с~ограничением на~решение для~абстрактных гиперболических уравнений \endtitle \abstract Рассматриваются вариационные неравенства с ограничением на решение для абстрактных гиперболических уравнений. Методом штрафа доказана теорема существования решения. Указаны достаточные условия геометрического характера на множество ограничения, гарантирующие сходимость штрафных решений к решению задачи. При некоторых дополнительных условиях доказывается сильная сходимость приближенных решений. В~результате получается решение, для которого выполняется закон сохранения энергии, что соответствует абсолютно упругому удару. %We consider an obstacle-type problem for abstract hyperbolic equations. Under %some conditions on the constraint set we prove an existence theorem for a %solution using the penalty method. Namely, we require that the polar of the %set be compact. %Under certain additional conditions, strong convergence of approximate %solutions is proven, implying conservation of energy. \endabstract \keywords вариационные неравенства, абстрактные гиперболические уравнения %variational inequalities %abstract hyperbolic equations \endkeywords \endtopmatter \head 1. Введение \endhead Пусть $X$~--- гильбертово пространство, $A$~--- положительный самосопряженный оператор в $X$, $K \subset X$~--- выпуклое замкнутое множество. Целью наших исследований будут вариационные неравенства для абстрактных уравнений вида $$ u''(t) + Au(t) = f(t) $$ с ограничением $u(t) \in K$. Содержательные задачи такого рода возникают уже для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В~качестве простейшего примера можно рассмотреть движение частицы под действием внешней силы. Пусть $K \subset R^n$~--- выпуклое замкнутое множество. Частица движется внутри множества $K$. Ее координаты в момент времени $t$ обозначим через $x(t)$. Рассмотрим задачу $$ x''(t) = f(t, x, x') +h (t), \quad x(t) \in K, \quad x(0) = x_0, \quad x'(0) = x_1, $$ где $f(t, x, x')$~--- внешняя сила, $h(t)$~--- сила реакции стенки. Эта реакция, очевидно, равна~0, когда точка находится внутри $K$, и направлена внутрь множества $K$, когда точка находится на границе~$\partial K$. Избавляясь от неизвестной функции $h(t)$, приходим к следующей задаче. Требуется найти такую функцию $x(t)$, что $$ (x''(t) - f(t),x(t) - \varphi (t)) \leq 0, \quad x(0) = x_0, \quad x'(0) = x_1. $$ Здесь $\varphi (t)$ --- произвольная гладкая функция такая, что $\varphi (t) \in K$ для $t \in [0, T]$. Очевидно, что этих соотношений еще недостаточно для описания движения частицы. Помимо этого требуется определить характер взаимодействия частицы со стенкой. Если удар о стенку абсолютно упругий, то абсолютная величина скорости частицы после удара не меняется. Если удар абсолютно неупругий, то проекция скорости частицы на нормаль к границе после удара равна $0$. После того, как к указанной системе добавлены некие соотношения, регулирующие взаимодействие частицы со стенкой, можно ожидать, что задача поставлена, а значит, должна иметь место единственность решения. Разрешимость такой задачи можно доказать при достаточно общих условиях. Но единственности решения, вообще говоря, нет. При этом упругость или неупругость удара не имеет значения [1--3]. Следующая задача, вызывающая большой интерес, это вариационные неравенства для волнового уравнения в области $\Omega \in R^n$ $$ Lu\equiv u_{tt}(x,t) - \Delta u(x,t) = f(x,t) $$ с ограничением $u(t) \in K$ для п.в. $t \in (0,T)$. Аналогично предыдущему решение определяется как функция $u(t)$, удовлетворяющая неравенству (в смысле распределений) $$ (Lu - f , u - \varphi) \leq 0 $$ для всех гладких $\varphi(x, t)$ таких, что $\varphi(x, t) \in K$ для всех $t \in [0,T]$. Особый интерес представляют случаи $n = 1,2$ и ограничение $u(x) \leq m(x)$, $x \in \Omega$. Соответствующее вариационное неравенство описывает колебания струны или мембраны при наличии твердой стенки, ограничивающей движение сверху. В~одномерном случае методом характеристик получен ряд результатов, касающихся однозначной разрешимости [4,\,5]. Для многомерного волнового уравнения отметим работу [6] с ограничением решения на границе области. Этот случай интересен тем, что задачу удалось свести к вариационному неравенству с монотонным оператором. В~работе [7] рассмотрена задача с ограничением для уравнения с дробной степенью оператора Лапласа. В~ней реализован любопытный подход, связанный с минимизацией выпуклого функционала. В~ряде работ изучались задачи с ограничением для уравнений вида $$ \align & u_{tt}(x,t) + \Delta^2 u(x,t) = f(x,t), \\ &u_{tt}(x,t) + \Delta^2 u(x,t) + \Delta^2 u_t(x,t) = f(x,t). \endalign $$ Отметим лишь [8--10]. Задачи в абстрактной постановке систематически, по-видимому, не изучались. Отметим лишь работу [9]. В~этой работе $A: V \to V'$ --- эллиптический самосопряженный оператор, вложение $V \subset X$ плотное и компактное. Одно из основных условий требует, чтобы множество $K$ имело непустую внутренность в интерполяционном пространстве $V_{\theta}$, $0 < \theta < 1$. Как увидим далее, одного этого достаточно для разрешимости задачи. Мы еще вернемся к этому моменту ниже. В~работе автора [11] для одномерного волнового уравнения использовался метод штрафа. Предельный переход удалось обосновать с помощью некого специфического приема. Однако действующие пружины доказательства остались непонятыми. В~настоящей работе удалось разобраться с механизмом предельного перехода и обобщить его на абстрактный случай. Оказывается, что решающую роль играет геометрия множества $K$. Например, достаточно потребовать компактность поляры множества $K$ или (что эквивалентно) секвенциальную слабую замкнутость границы $\partial K$. Ниже будет дан ряд эквивалентных формулировок. При этих условиях удается получить содержательную оценку на штрафное слагаемое. Эта оценка позволяет доказать, что некоторая последовательность решений уравнений со штрафом сходится к искомому решению. При определенных дополнительных условиях на $K$ доказывается сильная сходимость этой последовательности, а значит, предельная функция удовлетворяет закону сохранения энергии (критерий абсолютно упругого удара). \head 2. Основная идея \endhead Опишем основную идею решения задачи. Пусть у нас есть линейный оператор $L$ и мы решаем задачу $$ Lu = f $$ с ограничением $u \in K$. Далее считаем, что $0 \in K$. Воспользуемся методом штрафа и для всякого $\varepsilon > 0$ решим уравнение $$ Lu_{\varepsilon} +\frac{1}{\varepsilon}\beta (u_{\varepsilon}) = f $$ с монотонным оператором штрафа $\beta$, связанным с множеством $K$. Предположим, что для приближенных решений имеется оценка $$ \|u_{\varepsilon}\|_H^2 + \frac{1}{\varepsilon}(\beta(u_{\varepsilon}),u_{\varepsilon}) \leq C, \eqno{(2.1)} $$ где $H$ --- некоторое гильбертово пространство. Из этой оценки вытекает, что для некоторой подпоследовательности $\varepsilon_n \to 0$ (далее индекс $n$ опускаем) имеет место слабая сходимость $$ u_{\varepsilon} \underset{H}\to{\rightharpoonup} u $$ и $u \in K$. Пусть $v \in K$~--- пробная функция, тогда $$ ( Lu_{\varepsilon}, u_{\varepsilon} - v) \leq (f, u_{\varepsilon} - v). $$ Теперь хотелось бы перейти к пределу при $\varepsilon \to 0$. В~неравенстве фигурирует квадратичная нелинейность, а значит, для стандартного предельного перехода слабой сходимости $u_{\varepsilon}$ недостаточно. Мы, однако, поступим иначе. А~именно, умножим штрафное уравнение на $u - v$ и получим неравенство $$ ( Lu_{\varepsilon}, u - v) \leq (f, u - v) + \frac{1}{\varepsilon}(\beta (u_{\varepsilon}), u_{\varepsilon} - u). $$ Левая часть неравенства линейна, и к ней уже можно применять слабую сходимость. Но теперь надо доказать, что $$ \frac{1}{\varepsilon}(\beta (u_{\varepsilon}), u_{\varepsilon} - u) \to 0. $$ И вот здесь нам поможет второе слагаемое в оценке \Tag(2.1). Обычно из этой оценки извлекают лишь включение $u \in K$. Мы же получим больше. В~силу монотонности оператора $\beta$ для всех $\varphi \in K$ $$ \frac{1}{\varepsilon}(\beta (u_{\varepsilon}), u_{\varepsilon} - \varphi) \geq 0. $$ Отсюда и из оценки \Tag(2.1) следует, что $$ \frac{1}{\varepsilon}(\beta (u_{\varepsilon}), \varphi) \leq \frac{1}{\varepsilon}(\beta (u_{\varepsilon}), u_{\varepsilon}) \leq C. $$ Предположим, что найдется некое банахово пространство $B$ такое, что вложение $H \subset B$ плотно и компактно. Пусть $K = K_B \cap H$, где множество $K_B \subset B$ имеет непустую внутренность и $0 \in \operatorname{int} K_B$. Тогда из последней оценки легко получаем $$ \frac{1}{\varepsilon}\|\beta (u_{\varepsilon}) \|_{B^*} \leq C. \eqno{(2.2)} $$ В~силу компактности вложения $H \subset B$ имеем $u_{\varepsilon} \to u$ сильно в $B$, а значит, $$ \frac{1}{\varepsilon}(\beta (u_{\varepsilon}), u_{\varepsilon} - u) \to 0. $$ Такой подход можно использовать и для анализа гладкости решений вариационных неравенств. В~силу оценки \Tag(2.2) имеем включение $$ Lu_{\varepsilon} = f - \frac{1}{\varepsilon}\beta (u_{\varepsilon}) \in X + B^*. $$ Из этого включения можно получить более точные оценки для решения. В~работе [11] был реализован иной способ доказательства, который иногда бывает удобнее. А~именно, пусть $\gamma > 0$. В~силу компактности вложения $H \subset B$ для достаточно малых $\varepsilon$ справедливо включение $\pm \gamma (u_{\varepsilon} - u) \in K_B$. Отсюда следует, что $\varphi = \pm \gamma (u_{\varepsilon} - u) \in K$. Подставляя эту пробную функцию в неравенство \Tag(2.2), получим $$ 0 \leq \frac{1}{\varepsilon}(\beta (u_{\varepsilon}), u_{\varepsilon} - u) \leq \frac {C}{\gamma}. $$ Далее устремляем $\gamma \to \infty$. Таким образом, предельный переход будет обоснован, если найдутся подходящие пространство $B$ и множество $K_B$. Следует отметить, что для эволюционных уравнений возникают определенные осложнения, поскольку в чистом виде эта схема для них неприменима. Но компактность вложения $H \subset B$ удачным образом помогает справиться со всеми проблемами. Само по себе условие на множество $K$, использующее какое-то вспомогательное пространство $B$, выглядит не очень удобным. Поэтому хотелось бы иметь эквивалентную формулировку, выраженную во внутренних терминах самого множества $K$. И такую формулировку можно предъявить. Докажем одну лемму, имеющую помимо дальнейшего применения и определенный самостоятельный интерес. Сначала дадим некоторые определения. Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $K \subset H$ --- замкнутое выпуклое множество. \demo{Definition 2.1} Будем говорить, что $K$ {\it удовлетворяет $C$-условию}, если множество $K$ обладает непустой внутренностью, а его граница $\partial K$ секвенциально слабо замкнута. Иными словами, если последовательность элементов $\{x_n\}_{n \in N} \subset \partial K$ слабо сходится к некоторому элементу $x$, то $x \in \partial K$. \enddemo \demo{Definition 2.2} Будем говорить, что $K$ {\it удовлетворяет $C_0$-условию}, если $K$ удовлетворяет $C$-условию и $0 \in \operatorname{int} K$. \enddemo \demo{Definition 2.3} Множество $\Phi_K = \{ \varphi \in H^* \mid \varphi(x) \leq 1$ для каждого %\forall много $x \in K\}$ называется {\it полярой множества\/} $K$. \enddemo Хорошо известно, что поляра $\Phi_K$ --- замкнутое выпуклое множество, которое однозначно определяет $K$, если $0 \in \operatorname{int} K$. \proclaim{Lemma 2.1}\Label{L2.1} Пусть $K$ --- замкнутое выпуклое множество в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. Тогда следующие утверждения эквивалентны. \Item (1) %$1$. $K$ удовлетворяет $C_0$-условию. \Item (2) %$2$. Для любой последовательности $\{x_n\}_{n \in N} \subset H$, слабо сходящейся к $0$, найдется номер $n_0$ такой, что $x_n \in K$ для каждого %\forall $n > n_0$. \Item (3) %$3$. Поляра $\Phi_K$ компактна в $H^*$. \Item (4) %$4.$ Существуют банахово пространство $B$ и замкнутое выпуклое множество $K_B \subset B$ с непустой внутренностью, $0 \in \operatorname{int} K_B$, такие, что вложение $H \subset B$ плотное и компактное и, кроме того, $K = K_B \cap H$. \endproclaim \demo{Proof} \Par{L2.1}{(1)}$\Rightarrow$\Par{L2.1}{(2)}: %\?$1\Rightarrow 2$. Пусть дана последовательность $x_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} 0$. Будем рассуждать от противного. Переходя, если надо, к подпоследовательности, можно считать, что $x_n \notin K$ для каждого %\forall $n \in N$. Поскольку $0 \in \operatorname{int} K$, для всякого $n$ найдется $0 < \gamma_n < 1$ такое, что $y_n = \gamma_n x_n \in \partial K$. Ясно, что $y_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} 0$. В~силу условия~\Par{L2.1}{(1)} отсюда получаем $0 \in \partial K$; противоречие. \Par{L2.1}{(2)}$\Rightarrow$\Par{L2.1}{(3)}: %$2 \Rightarrow 3$. Прежде всего покажем, что поляра $\Phi_K$ ограничена. От противного, предположим, что найдется неограниченная последовательность $\{\varphi_n\}_{n \in N} \subset \Phi_K$. По теореме Рисса для каждого $n$ существует $x_n \in H$ такой, что $\|x_n\|=1$ и $\varphi_n(x_n) = \|\varphi_n\|$. Положим $y_n =2x_n/\|\varphi_n\|$. Легко видеть, что $y_n \to 0$. По условию~\Par{L2.1}{(2)} найдется $n_0$ такое, что $y_n \in K$ для каждого %\forall $n> n_0$. Но тогда в силу определения $\Phi_K$ для этих $n$ имеем $2=\varphi_n(y_n) \leq 1$; противоречие. Итак, $\Phi_K$ ограничено. Теперь покажем, что из всякой последовательности $\{\varphi_n\}_{n \in N} \subset \Phi_K$ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. В~силу ограниченности множества $\Phi_K$ достаточно показать, что всякая слабо сходящаяся последовательность $\{\varphi_n\}_{n \in N} \subset \Phi_K$ на самом деле сходится сильно. Рассуждение вполне аналогично предыдущему. Пусть $\varphi_n \underset{H^*}\to{\rightharpoonup} \varphi$. Отметим, что $\varphi \in \Phi_K$, так как $\Phi_K$~--- выпуклое и замкнутое множество. Обозначим $\psi_n = \varphi_n - \varphi $. Как и раньше, выбираем элементы $x_n$ так, чтобы $\|x_n\|=1$ и $\psi_n(x_n) = \|\psi_n\|$. Без потери общности можно считать, что $x_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} x$ для некоторого элемента $x$. Наконец, полагая $y_n = x_n - x$, получим $y_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} 0$ и $\varlimsup \nolimits_{n \to \infty} \|\psi_n\| \leq \varlimsup \nolimits_{n \to \infty} \psi_n(y_n)$. Пусть $\gamma > 0$ произвольно. Применяя условие~\Par{L2.1}{(2)} к последовательности $\{\gamma y_n\}_{n \in N}$, получим $$ \gamma \varlimsup \limits_{n \to \infty} \psi_n(y_n) = \varlimsup \limits_{n \to \infty} (\varphi_n - \varphi)( \gamma y_n) = \varlimsup \limits_{n \to \infty} \varphi_n ( \gamma y_n) \leq 1. $$ Следовательно, $\varlimsup \nolimits_{n \to \infty} \|\psi_n\| = 0$. \Par{L2.1}{(3)}$\Rightarrow$\Par{L2.1}{(1)}: %$3 \Rightarrow 1$. Из условия \Par{L2.1}{(3)} следует, что множество $\Phi_K$ ограничено. Пусть $M > 0$ и $\|\varphi \| \leq M$ $\forall \varphi \in \Phi_K$. Тогда если $x \in H$ и $\|x\| \leq 1/M$, то $\varphi(x) \leq 1$ $\forall \varphi \in \Phi_K$, а значит, $x \in K$. Следовательно, внутренность $K$ непуста и $0 \in \operatorname{int} K$. Пусть дана последовательность $\{x_n\}_{n \in N} \subset \partial K$ и $x_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} x$. Так как все элементы $x_n$ принадлежат границе $\partial K$, то найдется последовательность $\{\varphi_n\}_{n \in N} \subset \Phi_K$ такая, что $\varphi_n (x_n) > 1- 1/n$. В~силу условия~\Par{L2.1}{(3)} из этой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Для простоты оставим за ней прежнее обозначение $\varphi_n$. Тогда $ \varphi_n \to \varphi$ сильно в $H^*$. А~значит, $\varphi \in \Phi_K$ и $$ \varphi (x) = \lim \limits_{n \to \infty} \varphi_n (x_n) \geq 1. $$ Следовательно, $x \in \partial K$. \Par{L2.1}{(4)}$\Rightarrow$\Par{L2.1}{(2)}: %$4 \Rightarrow 2$. Пусть дана последовательность $\{x_n\}_{n \in N} \subset H$ такая, что $x_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} 0$. В~силу компактности вложения $H \subset B$ имеем $x_n \to 0$ сильно в $B$ и $\|x_n\|_B \to 0$. По условию \Par{L2.1}{(4)} имеет место включение $0 \in \operatorname{int} K_B$. Значит, найдется номер $n_0$ такой, что $x_n \in K_B$ $\forall n > n_0$. Осталось заметить, что тогда $x_n \in K_B \cap H = K$. \Par{L2.1}{(1)},\Par{L2.1}{(2)}$\Rightarrow$\Par{L2.1}{(4)}: %$1,2 \Rightarrow 4$. Обозначим $K_0 = K \cap (-K)$. В~силу $C_0$-условия множество $K_0$ выпуклое, замкнутое, уравновешенное и имеет непустую внутренность. Значит, оно порождает некую полунорму $p(\cdot)$ в $H$. Пусть $H_1$ --- произвольное банахово пространство, для которого вложение $H \subset H_1$ плотно и компактно. Норму в пространстве $H_1$ будем обозначать через $\| \cdot \|_1$. Наконец, обозначим через $B$ банахово пространство, полученное замыканием $H$ относительно нормы $\| x \|_B = p(x) + \| x \|_1$. В~качестве $K_B$ выберем замыкание множества $K$ в норме $B$. Покажем, что построенные пространство $B$ и множество $K_B$ удовлетворяют требованиям условия~\Par{L2.1}{(4)}. Прежде всего, по построению вложение $H \subset B$ плотное. Докажем, что оно и компактное. Действительно, пусть дана последовательность $\{x_n\}_{n \in N} \subset H$ такая, что $x_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} 0$. В~силу выбора пространства $H_1$ считаем, что $\| x_n \|_1 \to 0$. Пусть $\gamma > 0$. Используя условие~\Par{L2.1}{(2)}, аналогично предыдущему легко показать, что $\varlimsup \nolimits_{n \to \infty} p(x_n) \leq 1/ \gamma$. Поскольку $\gamma$ произвольно, отсюда вытекает, что $\varlimsup \nolimits_{n \to \infty} p(x_n) = 0$. Значит, $x_n \to 0$ сильно в $B$. Покажем, что множество $K_B$ содержит единичный шар в $B$. Пусть $y \in B$ и $\|y\|_B \leq 1$. По определению это означает, что найдется последовательность $\{x_n\}_{n \in N} \subset H$ такая, что $x_n \to y$ сильно в $B$ и $\varlimsup \nolimits_{n \to \infty}\|x_n\|_B \leq 1$. В~частности $\varlimsup \nolimits_{n \to \infty}p(x_n) \leq 1$. Предположим, что найдется подпоследовательность $\{x_{n_k}\}_{k \in N}$ такая, что на ней $p(x_{n_k}) \leq 1$. Тогда $x_{n_k} \in K$ $\forall k > 0$, а значит, $y \in K_B$, коль скоро $K_B$ --- это замыкание $K$ в $B$. Предположим, что такой подпоследовательности не найдется. В~этом случае можно считать, что $p(x_n) > 1$ $\forall n > 0$ и $p(x_n) \to 1$. Тогда можно положить $\overline{x}_n = x_n /p(x_n)$. Легко видеть, что $\overline{x}_n \in K$ и $\|\overline{x}_n -x_n\|_B \to 0$. Значит, $\overline{x}_n \to y$ и $y \in K_B$. Осталось показать, что $K = K_B \cap H$. Пусть $x \in K_B \cap H$. Это значит, что найдется последовательность $\{x_n\}_{n \in N} \subset K$ такая, что $\|x - x_n\|_B \to 0$ и, следовательно, $p(x - x_n) \to 0$. Рассмотрим произвольный функционал $\varphi \in \Phi_K$. Так как $p(x - x_n) \to 0$, то для любого $\gamma > 0$ найдется $n_{\gamma}$ такое, что $\gamma (x - x_n) \in K_0 \subset K$ $\forall n > n_{\gamma}$. Отсюда получаем, что $\varphi (x - x_n) \leq 1/ \gamma$ $\forall n > n_{\gamma}$ и $\varphi (x) \leq 1 + 1/ \gamma$. Но $\gamma$ произвольно, значит, $\varphi (x) \leq 1$. В~силу произвольности $\varphi$ получаем $x \in K$. Лемма доказана. \qed\enddemo \demo{Remark 2.1} Следует отметить, что данная лемма дает конструктивное описание искомого пространства $B$, что позволяет легко применять ее на практике. Пусть, например, $\Omega \subset R^n$, мы рассматриваем тот или иной класс заданных на $\Omega$ функций, и ограничение имеет вид $K = \{u(x) \mid u(x) \leq 1$, $x \in \Omega \}$. В~этом случае из построения леммы сразу же получаем, что $B = C(\Omega)$. Для наших рассуждений требуется компактность вложения $H \subset B$. Это значит, что при $n=1$ в \Par*{Lemma~2.1} выполняется условие~\Par{L2.1}{(4)}, если $H = W_2^1(\Omega)$. А~при $n=2,3$ приходится повышать гладкость. В~этом случае в качестве $H$ подходит пространство $W_2^2(\Omega)$. \enddemo \demo{Remark 2.2} В~работе [9] предполагалось, что $K$ имеет непустую внутренность в пространстве~$V_{\theta}$. Заметим, что при этом вложение $V \subset V_{\theta}$ компактно. Следовательно, в \Par*{Lemma~2.1} можно положить $B = V_{\theta}$. \enddemo \head 3. Абстрактный результат \endhead Пусть $X$ и $H$ --- сепарабельные гильбертовы пространства, вложение $H \subset X$ плотно и непрерывно (компактность вложения не предполагается). Скалярное произведение в пространстве $X$ обозначаем круглыми скобками. Отождествляя $X$ и $X^*$, получим $$ H \subset X \subset H^*. $$ Пусть задан линейный оператор $A \in {\Cal L}(H,H^*)$ такой, что $A =A_0 + A_1$, где $A_0 \in {\Cal L}(H,H^*)$ и $ A_1 \in {\Cal L}(H,X)$, причем $A_0 = A_0^*$ и для некоторой константы $a_0 > 0$ $$ (A_0u,u) \geq a_0\|u\|_H^2 \quad \text{для каждого } %\?\forall u \in H. $$ Пусть $K \subset H$ --- замкнутое выпуклое множество и $T > 0$. На интервале $(0,T)$ рассмотрим следующую задачу: $$ u''(t) + Au(t) = f(t), \tag{3.1} $$ $$ u(0) = u_0, \quad u'(0) = u_1, \quad u(t) \in K \quad \text{для п.в. } t \in (0,T). \tag{3.2} $$ Для определения решения этой задачи рассмотрим пространство $$ W = \{ u(t) \mid u \in L_2(0,T; H), \ u' \in L_2(0,T,X) \} $$ и множество $$ W_K = \{ u(t) \in W \mid u(t) \in K \ \text{для п.в. } t \in (0,T) \}. $$ Для произвольных $u(t),v(t) \in W$ и $\Phi(t) \in C^1[0,T]$ положим $$ L(u,v,\Phi) = -\int \limits_0^T ( (u'(t),v'(t)) \Phi(t) + (u'(t),v(t))\Phi'(t) ) \,dt + \int \limits_0^T (Au(t),v(t))\Phi(t) \,dt. $$ Пусть $u_0 \in K$, $u_1 \in X$, $f(t) \in L_2(0,T; X)$. {\it Решением задачи\/} \Tag(3.1), \Tag(3.2) назовем функцию $u(t) \in W_K$ такую, что $u(0) = u_0$ и для любых $\varphi (t) \in W_K$ и $\Phi(t) \in C^1[0,T]$, $\Phi(t) \geq 0$, $\Phi(T)=0$, справедливо неравенство $$ L(u,u -\varphi,\Phi) \leq \int \limits_0^T (f(t),u(t)- \varphi(t))\Phi(t) dt + (u_1,u(0)-\varphi(0))\Phi(0). \eqno{(3.3)} $$ Данное неравенство получено формальным умножением уравнения \Tag(3.1) на $(u(t) - \varphi(t))\Phi(t)$ и интегрированием по частям. Как увидим позже, решение задачи будет более гладким. В~связи с этим введем пространство $$ W^{\infty} = \{ u(t) \mid u \in L_{\infty}(0,T; H), \ u' \in L_{\infty}(0,T,X) \} $$ с нормой $$ \|u\|_{W^{\infty}} = \| u\|_{L_{\infty}(0,T; H)} + \|u' \|_{L_{\infty}(0,T,X)}. $$ Решение вариационного неравенства будем получать методом штрафа. Для обоснования предельного перехода нам понадобится следующая \proclaim{Lemma 3.1} Пусть множество $K$ удовлетворяет $C$-условию. Пусть даны последовательности $\{u_{1n} \}_{n \in N} \subset X$, $\{f_n(t) \}_{n \in N} \subset L_2(0,T; X)$, и $\{u_n(t) \}_{n \in N} \subset W^{\infty}$, удовлетворяющие неравенству \Tag(3.3) для всякого $n$. Предположим, что для некоторых $u_1$, $f(t)$, и $u(t)$ при $n \to \infty$ имеют место сходимости $$ \align u_{1n} \to u_1 &\quad\text{сильно в } X, \\ f_n(t) \to f(t) &\quad\text{сильно в } L_2(0,T; X), \\ u_n(t) \rightharpoonup u(t) &\quad\text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; H), \\ u'_n(t) \rightharpoonup u'(t) &\quad\text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; X). \endalign $$ Тогда $u_1$, $f(t)$, и $u(t)$ тоже удовлетворяют неравенству \Tag(3.3). \endproclaim \demo{Proof} Совершим предельный переход при $n \to \infty$ в неравенстве \Tag(3.3). Правая часть в этом неравенстве линейная по $u$. Кроме этого %\? , $$ L(u_n,u_n - \varphi,\Phi) = L(u_n, u - \varphi,\Phi) + L(u_n,u_n - u,\Phi). $$ Первое слагаемое в правой части данного равенства линейно по $u_n$, поэтому достаточно доказать, что $$ \lim \limits_{n \to \infty}L(u_n,u_n - u,\Phi) = 0. $$ Пусть $w_0 \in \operatorname{int} K$. Положим $K_0 = K - w_0$. Тогда это множество удовлетворяет $C_0$-условию. Применим к нему \Par*{Lemma~2.1} и обозначим через $B$ и $K_B$ соответствующее банахово пространство и его подмножество. По условию теоремы $u_n(t)$ и $u'_n(t)$ равномерно ограничены в пространствах $L_{\infty}(0,T; H)$ и $L_{\infty}(0,T; X)$ соответственно. В силу компактности вложения $H \subset B$ семейство функций $u_n(t)$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в $C([0,T]; B)$. А~значит, по теореме Асколи~--- Арцела имеет место сильная сходимость $u_n(t) \to u(t)$ в $C([0,T]; B)$. Для доказательства равностепенной непрерывности заметим, что для всякого $\varepsilon > 0$ справедливо неравенство (см., например, [12, Lemma~5.1]) $$ \|u_n\|_B \leq \varepsilon\|u_n\|_H + C(\varepsilon)\|u_n\|_X. $$ Следовательно, $$ \|u_n(t + \delta) - u_n(t)\|_B \leq 2\varepsilon\|u_n\|_{L_{\infty}(0, T; H)} + C(\varepsilon)|\delta|\|u'_n\|_{L_{\infty}(0, T; X)}. $$ Напомним, что $0 \in \operatorname{int} K_B$. Значит, для любого $\gamma > 0$ найдется номер $n_\gamma$ такой, что $\pm \gamma (u_n(t)-u(t)) \in K_B$ $\forall t \in [0,T]$, если $n > n_\gamma$. Обозначим $$ \varphi_{\pm \gamma}(t) = w_0 \pm \gamma (u_n(t)-u(t)). $$ Тогда для почти всех $t \in (0,T)$ имеет место включение $\varphi_{\pm \gamma}(t) \in w_0 + (K_B \cap H) = K$. Подставляя эту функцию в неравенство \Tag(3.3), после несложных преобразований получим $$ \mp \gamma L(u_n,u_n - u, \Phi) \pm \gamma \int \limits_0^T (f_n(t),u_n(t)-u(t))\Phi(t) dt \pm \gamma (u_{1n},u_n(0) - u(0))\Phi(0) \leq C, $$ а~значит, $$ \varlimsup \limits_{n \to \infty} | (L(u_n,u_n - u, \Phi) | \leq C/\gamma. $$ Отсюда в силу произвольности $\gamma$ заключаем, что $$ \lim \limits_{n \to \infty}L(u_n,u_n - u,\Phi) = 0. $$ Лемма доказана. \qed\enddemo \proclaim{Corollary 3.1} Пусть множество $K$ удовлетворяет $C$-условию. Пусть для некоторых $u_0 \in K$, $u_1 \in X$, $f \in L_2(0,T; X)$ имеется последовательность $\{u_n(t) \}_{n \in N} \subset W^{\infty}$ решений задачи \Tag(3.1), \Tag(3.2). Предположим, что для некоторой $u \in W^{\infty}$ $$ \align u_n(t) \rightharpoonup u(t) &\quad\text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; H), \\ u'_n(t) \rightharpoonup u'(t)&\quad\text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; X). \endalign $$ Тогда $u(t)$ тоже решение задачи \Tag(3.1), \Tag(3.2). \endproclaim \demo{Proof} Как и при доказательстве \Par*{Lemma~3.1}, имеем сильную сходимость $u_n(t) \to u(t)$ в $C([0,T]; B)$. По условию $u_n \in W_K$ для всех $n$. Следовательно, $u \in K_B$ для всех $t \in [0, T]$, а~значит, $u \in K_B \cap H = K$ для п.в. $t \in [0, T]$. Таким образом, $u \in W_K$. Остается применить \Par*{Lemma~3.1}. \qed\enddemo \demo{Remark 3.1} Для последовательностей $\{u_{1n} \}_{n \in N}$ и $\{f_n(t) \}_{n \in N}$ мы потребовали сильную сходимость. Однако это условие зачастую можно ослабить. Все, что нам надо, это сходимость к нулю $(u_{1n},u_n(0) - u(0))$ и $(f_n(t),u_n(t) - u(t))$. Пусть, например, вложение $H \subset X$ компактно. Тогда $u_n(t) \to u(t)$ сильно в $C([0,T],X)$, а значит, вместо сильной сходимости последовательностей можно ограничиться слабой. \enddemo Может показаться, что условие леммы слишком ограничительное. Однако вот пример, в котором слабый предел решений задачи решением не является. Пусть $X = H = \ell_2$. Естественный базис в этом пространстве обозначим через $\{e_n\}_{n \in N}$. Будем выделять первую компоненту элементов из $X$ и записывать $x = (x_1,x_2, \dots )$ в виде $x = (x_1,y)$, где $y = (x_2,x_3,\dots )$. Множество $K$~--- объединение двух конусов с общим основанием: $K = K_1 \cup K_2$ $$ \align &K_1 = \Bigl\{x \in X\mid x_1 \geq 0, x_1 + \frac{2}{\sqrt 3} %\? |y| \leq 1\Bigr\}, \\ &K_2 = \bigl\{x \in X\mid x_1 \leq 0, -x_1 + 2\sqrt{3} %\? |y| \leq 3\bigr\}. \endalign $$ Будем рассматривать простейшее уравнение $$ u''(t) = 0. $$ По аналогии с конечномерным случаем будем говорить о движении частицы в множестве $K$. В~начальный момент $u'(0) = (1,0,0, \dots)$. Предполагается, что все удары частицы абсолютно упругие. Углы конусов подобраны так, что частица сначала движется до столкновения с границей конуса $\partial K_1$, отразившись от стенки движется до границы $\partial K_2$, на которую она падает под прямым углом. Значит, после отражения частица движется обратно по той же самой траектории. Главной особенностью данного примера является следующий факт. Изначально вся энергия сосредоточена в первой компоненте (``гармонике''). После первого удара некоторая (вполне определенная) часть энергии переносится в другие компоненты, а~в~какие именно зависит от начального значения $u(0)$. Выбирая $u(0)$ подходящим образом, можно добиться передачи энергии во все более дальние компоненты. В~соответствии с этим для всякого $n > 1$ рассмотрим движение частицы с начальными данными $u_{0n}=\frac{1}{n}e_n$. Рассмотрим слабый предел решений задачи с этими начальными данными. Легко видеть, что предельная функция $u(t)$ имеет следующий вид: $$ u(t) = \cases (t,0)&\text{при $t \leq 1$}, \\ (1 - \frac{t-1}{2},0)& \text{при $1 \leq t \leq 2$}, \\ (\frac{t-2}{2},0)& \text{при $2 \leq t$}. \endcases $$ Сначала частица движется с единичной скоростью до тех пор, пока не попадет в вершину конуса~$K_1$. После этого происходит отражение и частица движется обратно со скоростью $1/2$. Предельная функция все еще является решением задачи, хотя часть энергии уже потеряна (удар оказался неупругим). Но когда частица приходит в точку $x = 0$, скорость вновь меняет знак, как если бы произошло отражение. В~этот момент данная функция перестает быть решением задачи. Данный пример может показаться искусственным, но он важен тем, что наглядно показывает роль геометрии границы множества $K$. Углы способны непредсказуемым образом перемещать энергию из одних ``гармоник'' в другие. Это лишний раз показывает, что трудности в обосновании предельного перехода носят объективный характер и связаны с существом дела. В~частности, нет каких-то особых оснований ожидать, что решения уравнений со штрафом будут сходиться к решению исходной задачи. В этом контексте стоит отметить, что $C$-условие запрещает появление конических углов на границе $K$. Нам понадобится еще одна техническая лемма. \proclaim{Lemma 3.2} Пусть $\psi \in H^{*}$. Тогда для всякого $\varepsilon > 0$ найдется константа $C(\varepsilon)$ такая, что $$ |\psi(u)| \leq \varepsilon \|u\|_H + C(\varepsilon)\|u\|_X \quad \forall u \in H. $$ \endproclaim \demo{Proof} Доказательство стандартное от противного. Пусть утверждение неверно для некоторого $\varepsilon > 0$. Тогда для всякого $n > 0$ найдется такой элемент $u_n \in H$, что $\|u_n\|_H = 1$ и $$ |\psi(u_n)| > \varepsilon + n\|u_n\|_X. $$ Переходя, если надо, к подпоследовательности, отсюда заключаем, что для некоторого $v \in H$ имеет место слабая сходимость $u_n \underset{H}\to{\rightharpoonup} v$. Следовательно, $\psi(u_n) \to \psi(v)$. С~другой стороны, $u_n \to 0$ сильно в $X$. Значит, $v=0$ и получаем противоречие: $\varepsilon < |\psi(u_n)| \to 0$. \qed\enddemo Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать разрешимость задачи \Tag(3.1), \Tag(3.2). \proclaim{Theorem 3.1} Пусть множество $K$ удовлетворяет $C$-условию. Пусть $u_0 \in K$, $u_1 \in X$, $f \in L_2(0,T; X)$. Тогда существует решение $u(t)$ задачи \Tag(3.1), \Tag(3.2) такое, что $u \in W^{\infty}$. \endproclaim \demo{Proof} Воспользуемся методом штрафа. Для этого надо построить соответствующий оператор штрафа. Пусть $w_0 \in \operatorname{int} K$. Положим $K_0 = K - w_0$. Это множество удовлетворяет $C_0$-условию. Далее исключительно ради простоты считаем, что $w_0 = 0$ и $K_0 = K$. В~общем случае следует использовать сдвиг вида $u(t) - w_0$. В~силу \Par*{Lemma 2.1} множество $\Phi_{K_0}$ компактно. Значит, по теореме Крейна~--- Мильмана оно является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек. Обозначим его через $E_K$. Пусть $\{\psi_k \}_{k \in N} \subset E_K$~--- счетное плотное подмножество в $E_K$. Как обычно, определяем положительную срезку $$ \xi^{+} = \cases 0, & \xi < 0,\\ \xi, & \xi \geq 0. \endcases $$ Для всякой $u(t) \in W$ и $k \geq 1$ обозначим $$ b_{k, u}^{+}(t) = (\psi_k(u(t))-1)^{+}, $$ и для всякого $n \geq 1$ определим $\beta_{n, u}(t) \in H^*$ по формуле $$ \beta_{n, u}(t) = n\sum \limits_{k=1}^{n}b_{k, u}^{+}(t)\psi_k. $$ С геометрической точки зрения мы заменили множество $K_0$ пересечением конечного количества полупространств, порожденных некоторыми опорными функционалами. Элемент $\beta_{n, u}$ состоит из суммы слагаемых, каждое из которых штрафует выход из соответствующего полупространства. Отметим, что для любой $\varphi(t) \in W_K$ справедливо неравенство $$ \beta_{n, u}(t)(u(t) - \varphi(t)) \geq 0\quad \text{для п.в. } t \in (0,T). \eqno{(3.4)} $$ Действительно, рассмотрим какое-нибудь $k \geq 1$. По определению $\Phi_{K_0}$ для почти всех $t \in (0,T)$ имеем неравенство $\psi_k(\varphi(t)) \leq 1$. Но тогда там, где $b_{k, u}^{+}(t) > 0$, выполняется неравенство $\psi_k(u(t) - \varphi(t)) \geq 0$. А~значит, $b_{k, u}^{+}(t)\psi_k(u(t) - \varphi(t)) \geq 0$ для п.в. $t \in (0,T)$. На интервале $(0,T)$ рассмотрим следующую штрафную задачу: \iftex $$ \align &u''(t) + Au(t) + \beta_{n, u}(t) = f(t), \tag{3.5} \\ &u(0) = u_0, \quad u'(0)=u_1. \tag{3.6} \endalign $$ \else $$ u''(t) + Au(t) + \beta_{n, u}(t) = f(t), \tag{3.5} $$ $$ u(0) = u_0, \quad u'(0)=u_1. \tag{3.6} $$ \fi Разрешимость этой задачи легко устанавливается методом Гал\"еркина. Все действия абсолютно стандартны, поэтому ниже мы даем лишь схему доказательства, опуская второстепенные детали. Пусть $\{e_j\}_{j \in N}$ --- ортонормированный базис в $H$. При этом выбираем первый базисный элемент следующим образом: $$ e_1 = u_0 / \|u_0\|_H. $$ Как обычно, для $M > 0$ будем искать приближенное решение $u_M$ в виде $$ u_M = \sum \limits_{j=1}^{M}a_{M,j}(t)e_j. $$ Начальные данные $a_{M,j}(0)$, $a'_{M,j}(0)$ задаем следующим образом. Обозначим $H_M = \operatorname{span}\{e_j\}_{j \leq M}$. Тогда для задания начальных данных $a_{M,j}(0)$, $a'_{M,j}(0)$ следует указать два элемента $u_{0M}, u_{1M} \in H_M$. В~силу специального выбора базиса можно положить $u_{0M} = u_0$. При этом, очевидно, $u_{0M} \in H_M \cap K$. Пусть $P_M$ --- ортогональный проектор в пространстве $X$ на подпространство $H_M$. Положим $u_{1M} = P_Mu_1$. Так как вложение $H \subset X$ плотно, a конечные линейные комбинации всех базисных элементов плотны в $H$, то $u_{1M} \to u_1$ в $X$ при $M \to \infty$. Далее для простоты записи индекс $M$ опускаем. Для получения первой оценки умножаем уравнение \Tag(3.5) на $u'(t)$ и интегрируем по $t$. Заметим, что поскольку $u_0 \in K$, то $b_{k, u}^{+}(0) = 0$, $k \leq n$. В~результате для всех $t \in (0,T)$ получим $$ \|u'(t)\|_X^2 + (A_0u(t),u(t)) + n\sum \limits_{k=1}^{n}(b_{k, u}^{+}(t))^2 \leq C + C\int \limits_0^t (\|u'(s)\|_X^2 + \|u(s)\|_H^2 + \|u(s)\|_X^2 )\,ds. $$ Воспользовавшись леммой Гронуолла и условием на оператор $A_0$, отсюда получаем оценку $$ \|u'(t)\|_X^2 + \|u(t)\|_H^2 + n\sum \limits_{k=1}^{n}(b_{k, u}^{+}(t))^2\leq C_0 \quad \text{для всех }t \in (0,T). %\?\forall \eqno{(3.7)} $$ Вторую оценку (она нам понадобится позже) получаем умножением уравнения \Tag(3.5) на $u(t)$: $$ n\sum \limits_{k=1}^{n} \int \limits_0^T b_{k, u}^{+}(t)\,d t \leq C_1. \eqno{(3.8)} $$ Важно отметить, что константы $C_0$ и $C_1$ в этих оценках зависят только от $f$, $u_0$, и $u_1$ и не зависят от~$M$ и~$n$. Из этих оценок вытекает существование решения $u_M(t)$ на всем интервале $(0,T)$. Далее переходим к пределу при $M \to \infty$. В~результате получим $\overline u(t) \in W^{\infty}$. При этом можно считать, что $$ \align u_M(t) \rightharpoonup \overline u(t)&\quad \text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; H), \\ u'_M(t) \rightharpoonup \overline u'(t)&\quad \text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; X). \endalign $$ Легко видеть, что это и есть решение задачи \Tag(3.5), \Tag(3.6). Некоторые вопросы может вызвать лишь обоснование предельного перехода $$ (\psi_k(u_M(t))-1)^{+} \to (\psi_k(\overline u(t))-1)^{+} \text{ для п.в. } t \in (0,T). $$ Пусть $1 \leq k \leq n$. Покажем, что $p_M(t) =\psi_k(u_M(t))$ сходятся к $p(t) =\psi_k(\overline u(t))$ cильно в $C[0,T]$ при $M \to \infty$. Для этого применим теорему Асколи~--- Арцела. Равномерная ограниченность всех $p_M(t)$ следует из равномерной ограниченности $\|u_M\|_H$ (оценка \Tag(3.7)). Покажем, что семейство этих функций равностепенно непрерывно. Рассуждение совершенно аналогично тому, что было при доказательстве \Par*{Lemma~3.1}. Пусть $\varepsilon > 0$ и $t_2 > t_1$. Применяя \Par*{Lemma~3.2} к функционалу $\psi_k$, получаем $$ |p_M(t_2) - p_M(t_1)| \leq 2C_0 \varepsilon + C(\varepsilon) \int \limits_{t_1}^{t_2} \|u'(t)\|_X dt \leq C(\varepsilon + C(\varepsilon)|t_2-t_1|). $$ Правую часть в этом неравенстве можно сделать сколь угодно малой, если сначала выбрать малое~$\varepsilon$, а затем потребовать нужную малость $|t_2-t_1|$. Итак, решение задачи со штрафом получено. Обозначим его через $v_n(t)$. Теперь перейдем к пределу по $n$. Заметим, что в силу \Tag(3.4) для любых $\varphi (t) \in W_K$ и $\Phi(t) \in C^1[0,T]$, $\Phi(T)=0$, для функции $v_n(t)$ справедливо неравенство \Tag(3.3). Семейство функций $\{v_n(t)\}_{n \in N}$ равномерно ограничено в~$W^{\infty}$. Значит, найдутся элемент $u(t) \in W^{\infty}$ и подпоследовательность $\{v_{n_k}(t)\}_{k \in N}$ такие, что $$ \align v_{n_k}(t) \rightharpoonup u(t)&\quad \text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; H), \\ v'_{n_k}(t) \rightharpoonup u'(t)&\quad \text{$*$-слабо в } L_{\infty}(0,T; X). \endalign $$ По \Par*{Lemma 3.1} функция $u(t)$ тоже удовлетворяет неравенству \Tag(3.3). При этом $v_n(0) = u_0$, а значит, и $u(0) = u_0$. Осталось показать, что $u(t) \in W_K$. Фиксируем $k$ и рассмотрим функционал $\psi_k$. Из оценки \Tag(3.7) следует, что для любого $t \in (0,T)$ $$ \psi_k(v_n(t)) \leq 1 + \sqrt{C_0/n}. $$ Как и раньше, с помощью \Par*{Lemma 3.2} показываем, что $ \psi_k(v_n(t)) \to \psi_k(u(t))$ сильно в $C[0,T]$. Следовательно, $\psi_k(u(t)) \leq 1$ $\forall t \in (0,T)$. Отсюда сначала заключаем, что соответствующее неравенство верно для всех $\psi \in E_K$, а затем и для всех $\psi \in \Phi_{K_0}$. Теорема доказана. \qed\enddemo \head 4. Абсолютно упругий удар \endhead Пусть $u(t)$ --- решение задачи \Tag(3.1), \Tag(3.2). Положим $$ E(t) = \|u'(t)\|_X^2 + 2(A_0u(t),u(t)). $$ Будем говорить, что для $u(t)$ выполняется {\it закон сохранения энергии}, если для любой функции $\Phi(t) \in C^1[0,T]$, $\Phi(T)=0$, справедливо равенство $$ E(0)\Phi(0) + \int \limits_0^T E(s)\Phi'(s)\,ds = 2\int \limits_0^T (A_1u(s) - f,u'(s))\Phi(s)\,ds. $$ Неформально будем говорить, что в этом случае удары абсолютно упругие. \Par*{Theorem 3.1} дает существование какого-то решения, но не дает никакой информации о том, сохраняется для него энергия или нет. Отметим, что это свойство эквивалентно сильной сходимости последовательности решений уравнений со штрафом. Судя по всему, в некоторых случаях такой сходимости нет и энергия не сохраняется. Однако при некоторых дополнительных условиях на множество $K$ требуемую сходимость получить все-таки удается. \proclaim{Theorem 4.1} Пусть множество $K_X \subset X$ удовлетворяет $C$-условию в пространстве $X$, $K = K_X \cap H$. Пусть выполнены условия \Par*{Theorem {\rm3.1}} и $\{ v_n\}_{n \in N}$~--- последовательность решений уравнений со штрафом, которая сходится к решению $u(t)$ задачи \Tag(3.1), \Tag(3.2). Тогда \iftex $$ \align v_{n}(t) \to u(t)&\quad \text{сильно в } L_{\infty}(0,T; H), \tag4.1 \\ v'_{n}(t) \to u'(t)&\quad \text{сильно в } L_{2}(0,T; X) \tag4.2 \endalign $$ \else $$ v_{n}(t) \to u(t)\quad \text{сильно в } L_{\infty}(0,T; H), \tag4.1 $$ $$ v'_{n}(t) \to u'(t)\quad \text{сильно в } L_{2}(0,T; X) \tag4.2 $$ \fi и для $u(t)$ выполняется закон сохранения энергии. \endproclaim \demo{Proof} Пусть $\overline{w} \in \operatorname{int} K_X \cap H$. Пусть $K_0 = K_X - \overline{w}$, $\Phi_{K_0} \subset X$ --- поляра множества $K_0$ (напомним, что мы отождествляем $X$ и $X^*$). Как и ранее, для простоты считаем, что $\overline{w} = 0$. Прежде всего, сделаем одно замечание относительно функционалов $\psi_k \in H^*$ из доказательства \Par*{Theorem 3.1}. Рассмотрим какой-нибудь такой функционал $\psi_k$. По условию теоремы $\operatorname{int} K_X \neq \emptyset$ и $K = K_X \cap H$. Значит, для некоторого $r > 0$ и любого $w \in H$ имеем $$ \pm r \frac{w}{\|w\|_X} \in K, \quad |\psi_k(w)| \leq \frac{\|w\|_X}{r}. $$ Следовательно, по непрерывности функционал $\psi_k$ продолжается до функционала $\psi'_k \in X^*$, причем $\|\psi'_k\|_{ X^*} \leq 1/r$. Кроме этого, по непрерывности имеет место неравенство $\psi'_k(x) \leq 1$ для всех $x \in K_X$. Поэтому $\psi'_k \in \Phi_{K_0}$. В~дальнейшем просто считаем, что $\psi_k \in \Phi_{K_0}$. Пусть $n,m > 0$. Положим $w_{n,m}(t) =v_n(t) - v_m(t)$. Далее там, где это не вызовет недоразумений, индексы $n,m$ будем опускать. Кроме этого, вместо $b^+_{k, u}$ и $\beta_{n, u}$ пишем просто $b^+_{k}$ и $\beta_{n}$. Легко видеть, что функция $w(t)$ удовлетворяет системе $$ w''(t) + Aw(t) + \chi(t) = 0, \quad w(0) = 0, \quad w'(0) = 0, \tag4.3 $$ где $\chi(t) = \beta_{n}(t) - \beta_{m}(t)$. Мы хотели бы умножить уравнение \Tag(4.3) на $w'(t)$ и получить оценку для $w(t)$ в пространстве $W^{\infty}$. Но такое простое рассуждение не проходит. Вместо этого будем умножать уравнение на $Qw'(t)$, где $Q$ --- некий специальный проектор в $X$. Этот проектор будет подобран так, чтобы $(\chi(t),Qw'(t))$ было мало, но при этом $(A_0w,Qw'(t)) \sim (A_0w,w'(t))$. Сначала докажем сходимость \Tag(4.1). В~силу условий на $A_0$ и $A_1$ найдется такое $q>0$, что $$ q(\|u\|_X^2 + (A_0v,v) ) \geq |(A_1v,u)|\quad \forall u \in X, \forall v \in H. $$ По \Par*{Lemma 2.1} поляра $\Phi_{K_0} \subset X$ компактна, а значит, вполне ограничена. Следовательно, для любого $\varepsilon > 0$ найдется семейство $\eta_1, \dots ,\eta_L \subset H$, образующее $\varepsilon$-сеть в $\Phi_{K_0}$. Вообще говоря, элементы $\eta_k$ могут не принадлежать $\Phi_{K_0}$, но для нас это неважно, главное чтобы это семейство было ограничено в $X$ константой, не зависящей от $\varepsilon$. Рассмотрим штрафное слагаемое $\beta_n(t)$. По построению оно имеет вид $$ \beta_n(t) = n\sum \limits_{k=1}^{n}b_k^{+}(t)\psi_k,$$ где $\psi_k \in \Phi_{K_0}$, $k=\overline{1,n}$. Используя $\varepsilon$-сеть, это слагаемое можно записать в виде $$ \beta_n(t) = n\sum \limits_{k=1}^{n}b_k^{+}(t)(\psi_k - \eta_{j_k}) + \sum \limits_{j=1}^L \widetilde{b}_j(t) \eta_j,$$ причем $\|\psi_k - \eta_{j_k}\|_X \leq \varepsilon$, $k = \overline{1,n}$. Аналогичное представление имеет место и для $\beta_m(t)$. В~результате с учетом оценки \Tag(3.8) получаем, что $$ \chi(t) = \chi_0(t) + \sum \limits_{j=1}^L \theta_j(t) \eta_j,$$ где $\|\chi_0(t)\|_{L_1(0,T;X)} \leq 2C_1\varepsilon$ и $\|\theta_j(t)\|_{L_1(0,T)} \leq 2C_1$, $j=\overline{1,L}$. Пусть $X_L = \operatorname{span}\{\eta_j\}_{j \leq L}$, $X_L \subset X$. Обозначим через $P$ ортогональный проектор в $X$ на это подпространство $X_L$ и $Q = I - P$. Умножая уравнение \Tag(4.1) на $2e^{-2qt} Qw'(t)$ и интегрируя, для $t \in (0,T)$ получаем $$ e^{-2qt}(A_0w(t),w(t)) \leq 4\varepsilon C_1\|w_t\|_{L_{\infty}(0,T; X)} + 2\int \limits_0^t e^{- 2qs}(A_0w(s),Pw'(s))\,ds. \eqno{(4.4)} $$ Пусть $e_1, \dots, e_{L}$~--- ортонормированный базис в $X_L$. Заметим, что в силу выбора элементов $\eta_j \in H$ имеем и $e_j \in H, j = \overline{1,L}$. Тогда $$ (A_0w(s),Pw'(s)) = \sum \limits_{j=1}^{L} (w'(s),e_j) (w(s),A_0e_j). \eqno{(4.5)} $$ Напомним, что речь идет о функции $w_{n,m}(t) =v_n(t) - v_m(t)$. По построению все эти функции равномерно ограничены в $W^{\infty}$. Поэтому $(w'_{n,m}(s),e_j) \in L_{\infty}(0,T)$ $\forall j = \overline{1,L}$. Как %\?В русском Rак и раньше, из \Par*{Lemma 3.2} получаем, что $(w_{n,m}(s),A_0e_j) \to 0$ $\forall j = \overline{1,L}$ сильно в $C[0,T]$. Соединяя \Tag(4.4) и \Tag(4.5), переходим к пределу при $n,m \to \infty$. В~результате имеем неравенство $$ \varlimsup \limits_{n,m \to \infty}\|v_n(t) - v_m(t)\|_{L_{\infty}(0,T; H)} \leq C\varepsilon. $$ Отсюда и из произвольности $\varepsilon$ следует \Tag(4.1). Теперь уже легко доказать сходимость \Tag(4.2). Пусть весовая функция $\Phi(t) \in C^1[0,T]$ такова, что $\Phi(t) \geq 0$, $t\in (0,T)$ и $\Phi(T) = 0$. Умножаем уравнение \Tag(4.3) на $\Phi(t)w(t)$ и интегрируем: $$ \int \limits_0^T \|w'(t)\|_X^2\Phi(t) \, dt = \int \limits_0^T \Phi(t) ((Aw(t), w(t)) + (\chi(t), w(t)) )\, dt + \int \limits_0^T (w'(t), w(t))\Phi'(t) \, dt. $$ Заметим, что $\chi \in L_1(0, T; X)$. В~силу равномерной ограниченности всех $w'_{n,m}(t)$ в $L_{\infty}(0,T; X)$ и сходимости \Tag(4.1) получаем $$ \varlimsup \limits_{n,m \to \infty} \int \limits_0^T \|v'_n(t) - v'_m(t)\|_X^2\Phi(t) \, dt = 0. $$ Пусть $\varepsilon > 0$. Выберем весовую функцию $\Phi(t)$ так, чтобы $\Phi(t) = 1$ для $0\leq t \leq T - \varepsilon$. Тогда $$ \int \limits_0^T\|v'_n - v'_m\|^2_{X} \, dt \leq \int \limits_0^T \|v'_n(t) - v'_m(t)\|_X^2\Phi(t) \, dt + 2\varepsilon (\|v'_n\|^2_{L_{\infty}(0, T; X)} + \|v'_m\|^2_{L_{\infty}(0, T; X)}). $$ Следовательно, $$ \varlimsup \limits_{n,m \to \infty} \int \limits_0^T\|v'_n - v'_m\|^2_{X} \, dt \leq C\varepsilon. $$ Отсюда следует \Tag(4.2). Покажем, что для предельного решения выполняется закон сохранения энергии. Пусть $\Phi(t) \in C^1[0,T]$, $\Phi(T)=0$. Мы только что доказали сильную сходимость последовательности $v_n(t)$. В~силу этого достаточно установить, что $$ J_n = \int \limits_0^T (\beta_n(s),v'_n(s))\Phi(s)\, ds \to 0 $$ при $n \to \infty$. Легко видеть, что $$ 2J_n = -\int \limits_0^T n\sum \limits_{k=1}^{n}(b_k^{+}(s))^2\Phi'(s)\,ds. $$ Отсюда, используя \Tag(3.7) и \Tag(3.8), получаем $$2|J_n| \leq C \sup \limits_{k,s} b_k^{+}(s) \leq C / \sqrt n. $$ Следовательно, $J_n \to 0$ при $n \to \infty$. \qed\enddemo Стоит отметить, что главную роль в этом доказательстве играет некоторая специальная $\varepsilon$-сеть. Существование такой сети обеспечивает $C$-условие для множества $K_X$. В~том случае, когда вложение $H \subset X$ компактно, условия на множество $K$ можно ослабить. Эти условия носят несколько громоздкий характер и мы их не приводим. \Refs \ref \no 1 \by Paoli~L. and Schatzman~M. \paper Mouvement \`{a} un nombre fini de degr\'{e}s de libert\'{e} avec contraintes unilat\'{e}rales: cas avec perte d'\'{e}nergie \jour Mod\'{e}l. Math. Computer Modelling (M2AN) %RAIRO Mod\'el. Math. Anal. Num\'er. \yr 1993 \vol 27 \issue 6 \pages 673--717 \endref \ref \no 2 \by Schatzman~M. \paper Uniqueness and continuous dependence on data for one-dimensional impact problems \jour Math. Comput. Modelling \yr 1998 \vol 28 \iftex \issue 4--8 \else \issue 4 \fi \pages 1--18 \endref \ref \no 3 \by Ballard~P. \paper The dynamics of discrete mechanical systems with perfect unilateral constraints \jour Arch. Ration. Mech. Anal. \yr 2000 \vol 154 \issue 3 \pages 199--274 \endref \ref \no 4 \by Schatzman~M. \paper A hyperbolic problem of second order with unilateral constraints: The vibrating string with a~concave obstacle \jour J.~Math. Anal. Appl. \yr 1980 \vol 73 \issue 1 \pages 138--191 \endref \ref \no 5 \by Bamberger~A. and Schatzman~M. \paper New results on the vibrating string with a~continuous obstacle \jour SIAM J. Math. Anal. \yr 1983 \vol 14 \issue 3 \pages 560--595 \endref \ref \no 6 \by Lebeau~G. and Schatzman~M. \paper A wave problem in a~half-space with a~unilateral constraint at the boundary \jour J.~Differential Equations \yr 1984 \vol 53 \issue 3 \pages 309--361 \endref \ref \no 7 \by Bonafini~M., Novaga~M., and Orlandi~G. \paper A variational scheme for hyperbolic obstacle problems \jour Nonlinear Anal. \yr 2019 \vol 188 %\issue - \pages 389--404 \endref \ref \no 8 \by Ahn J. and Steawart D.E. \paper An Euler--Bernoulli beam with dynamic contact: discretization, convergence, and numerical results \jour SIAM J. Numer. Anal. \yr 2005 \vol 43 \issue 4 \pages 1455--1480 \endref \ref \no 9 \by Ahn J. and Steawart D.E. \paper Existence of solutions for a class of impact problems without viscosity \jour SIAM~J. Math. Anal. \yr 2006 \vol 38 \issue 1 \pages 37--63 \endref \ref\no 10 \by Ahn~J. and Park E.-J. \paper Dynamic frictionless contact of a nonlinear beam with two stops \jour Appl. Anal. \yr 2015 \vol 94 \issue 7 \pages 1355--1379 \endref %doi 10.1080/00036811.2014.931026 \ref \no 11 \by Artyushin~A.N. \paper Variational inequalities for the wave equation with a~constraint on the solution \jour Soviet Math. Dokl. \yr 1990 \vol 41 \issue 2 \pages 320--322 \endref \ref \no 12 \by Lions~J.-L. \book Quelques M\'{e}thodes de R\'{e}solution des Probl\'{e}mes aux Limites non Lin\'{e}aires \publ Dunod and Gauthier-Villars \publaddr Paris \yr 1969 \lang French \endref %%Some Methods of Solving Nonlinear Boundary Value Problems \endRefs \enddocument