\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Bilalov \Initial B. \Initial T. %\Sign Bilalov Bilal Tel'man ogly \ORCID 0000-0003-0750-9339 \Email b\_bilalov\@mail.ru \AffilRef 1 \AffilRef 2 \AffilRef 3 \Corresponding \endAuthor \Author Sadigova \Initial C. \Initial R. %\Sign Sadigova Sabina Raghib kyzy \ORCID 0000-0003-4654-0494 \Email s\_sadigova\@mail.ru \AffilRef 2 \endAuthor \Author Sezer \Initial Y. %\Sign Sezer Yonja Guven Turgut kyzy \ORCID 0000-0003-3072-8302 \Email ysezer\@yildiz.edu.tr \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Yildiz Technical University \City Istanbul \Country Turkey \endAffil \Affil 2 \Organization Institute of Mathematics and Mechanics %Institute of Mathematics of the Ministry of Science and Education of the Republic of Azerbaijan \City Baku \Country Azerbaijan \endAffil \Affil 3 \Organization Azerbaijan University of Architecture and Construction \City Baku \Country Azerbaijan \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted August 10, 2025\enddatesubmitted \daterevised October 20, 2025\enddaterevised \dateaccepted November 7, 2025\enddateaccepted \UDclass 517.957 \endUDclass \thanks Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда Науки Азербайджана, грант No~AEF--MGC--2024--2(50)--16/02/1--M--02. %The work was supported by the Science Development Foundation under the President of the Republic of Azerbaijan %(grant AEF--MGC--2024--2(50)--16/02/1--M--02). \endthanks \title Понятие $t$-базиса и~применение к~н\"етеровости одной банаховозначной краевой задачи с~косой производной %The Concept of a $t$-Basis and Its Application to the Noetherness of %a Banach-Valued Boundary Value Problem with an Oblique Derivative \endtitle \abstract Рассматривается понятие $t$-базиса, порожденного тензорным произведением банаховых пространств. Вводится понятие $*$-гармонической банаховозначной ($X$-значной) функции, где рассматриваемое пространство $X$ обладает инволюцией $(*)$. Используя тот факт, что классическая система экспонент образует $t$-базис в бохнеровом пространстве $X$-значных функций, обладающем UMD-свойством, определяется класс Харди $*$-гармонических в единичном круге функций. Рассматривается краевая задача с косой производной в этом классе и устанавливается критерий н\"етеровости и, в частности, однозначной разрешимости этой задачи. Приведены конкретные примеры. %The paper considers the concept of a $t$-basis in %a Banach tensor product and the question of the $t$-basicity of the %exponential system $\{e^{int}\}_{n\in Z} $ in the Bochner space %$L_{p} (J;X)$, $10: \delta \| x \| _{X} \| y \| _{Y} \le \| t (x;y ) \| _{Z} \le \delta ^{-1} \| x \| _{X} \| y \| _{Y} \quad \forall %\?\text {для всех } (x;y )\in X\times Y . $$ Для простоты обозначений в дальнейшем примем $xy=t (x;y )$. Для множества $M\subset Y$ через $L_{t} [M ]$ будем обозначать его $t$-оболочку, определенную соотношением $$ L_{t} [M ]= \{z\in Z: \exists \{ (x_{k} ;y_{k} ) \}_{1}^{n_{0} } \subset X\times M \to z=\sum _{k=1}^{n_{0} }x_{k} y_{k} \}. $$ Систему $\vec{y}\equiv \{y_{k} \}_{k\in N} \subset Y$ будем называть {\it $t$-полной\/} в $Y$, если $\overline{L_{t} [ \{y_{k} \}_{k\in N} ]}=Z$ (замыкание берется в $Z$). Систему операторов $ \{t_{n} \}_{n\in N} \subset [Z;X ]$ будем называть {\it $t$-биортогональной к системе\/} $ \{y_{k} \}_{k\in N} \subset Y$, если $t_{n} (xy_{k} )=\delta _{nk} x $ $\forall %\?\text {для каждого } x\in X $ для любых $n,k\in N$. Систему $ \{y_{k} \}_{k\in N} \subset Y$ назовем {\it $t$-базисом\/} в $Z$, если произвольное $z\in Z$ имеет единственное разложение вида $$ z=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k} y_{k} , $$ где $ \{x_{k} \}_{k\in N} \subset X $. Тройку $ (X;Y;Z )$ будем называть {\it $t_{Y} $-инвариантной}, если из $$ \{ (x_{k} ;\widetilde{y}_{k} ) \}\subset X\times Y: \sum _{k}x_{k} \widetilde{y}_{k} =0 $$ следует $$ \sum _{k}v (\widetilde{y}_{k} )x_{k} =0 \quad \forall %\?\text {для каждого } v\in Y^{*} . $$ Тройку $ (X;Y;Z )$ назовем {\it $t$-плотной}, если $\overline{L [X\times Y ]}=Z$ (замыкание берется в $Z$). Справедлив следующий критерий $t$-базисности. \proclaim{Theorem 2.1}\Label{T2.1} Пусть тройка $ (X;Y;Z )$ является $t_{Y} $-инвариантной и $t$-плотной. Система $\vec{y}\equiv \{y_{k} \}_{k\in N} \subset Y$ образует $t$-базис в $Z$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие утверждения: \Item (i) $\vec{y}$ $t$-полна в $Z$; \Item (ii) $\vec{y}$ имеет $t$-биортогональную систему $ \{t_{n} \}_{n\in N} \subset [Z;X ]$; \Item (iii) проекторы $$ \{P_{m} \}_{m\in N} \subset [Z ]: P_{m} (z )=\sum _{n=1}^{m}t_{n} (z )y_{n} , \quad z\in Z ,\ m\in N , $$ равномерно ограничены, т.~е. $$ \sup \limits_{m} \| P_{m} \| _{ [Z ]} <+\infty . $$ \endproclaim Более подробно с этими понятиями можно познакомится в [16,\,17,\,20]. Рассмотрим случай, когда $X;Y\in \Cal B$ и $X\overline{\otimes }Y=Z$ ~--- банахово тензорное произведение. Билинейное отображение $t:X\times Y\to Z$ определим выражением $t (x;y )=x\otimes y$, где $x\otimes y$ ~--- элементарное тензорное произведение элементов $x\in X$ и $y\in Y$. Ясно, что тройка $ (X;Y;Z )$ в этом случае является $t_{Y} $-инвариантной и $t$-плотной (см., например, [21]). Из \Par*{Theorem 2.1} вытекает \proclaim{Corollary 2.1} Пусть $X;Y\in \Cal B$ и $Z=X\overline{\otimes }Y$. Система $\vec{y}\subset Y$ образует $t$-базис в $Z$ тогда и только тогда, когда выполнены условия \Par{T2.1}{\rm(i)}--\Par{T2.1}{\rm(iii)} \Par*{Theorem {\rm 2.1}}. \endproclaim \specialhead 2.3. Пространство Бохнера $L_{p} (S;X )$. UMD-свойство \endspecialhead Пусть $ (S;\Cal A;\mu )$ --- измеримое пространство с мерой $\mu $. Как обычно, через $L_{p} (S;X )$, $1\le p<+\infty $, обозначим пространство Бохнера $X$-значных на $S$ функций с нормой $$ \| f \| _{L_{p} (S;X )} = \biggl(\ \int\limits_{S} \| f \| _{X}^{p}\, d\mu \biggr )^{\frac{1}{p} } . $$ Напомним UMD-свойство. \demo{Definition 2.1} Говорят, что пространство $X\in \Cal B$ обладает UMD-{\it свойством}, если для любого $p\in (1,\infty )$ существует константа $\beta \ge 0$ (зависящая только от $p$ и $X$) такая, что если $ (S;{\Cal A};\mu )$ ~--- $\sigma $-конечное измеримое пространство (с мерой $\mu $), $ \{F_{n} \}_{n=0}^{m} $ ~--- $\sigma $-конечная фильтрация и $ \{f_{n} \}_{n=0}^{m} $~--- конечные мартингалы в $L_{p} (S;X )$, то для любого $\{\varepsilon _{n} \} : |\varepsilon _{n} |=1$, $n=\overline{1,m}$, выполнено $$ \Biggl\| \sum _{n=1}^{m}\varepsilon _{n} df_{n} \Biggr\| _{L_{p} (S;X )} \le \beta \Biggl\| \sum _{n=1}^{m}df_{n} \Biggr\| _{L_{p} (S;X )} , $$ где $df_{n} =f_{n} -f_{n-1} $. \enddemo Множество всех пространств, обладающих UMD-свойством, обозначим через~UMD. Более подробно с фактами, связанными с UMD-свойством, можно познакомится в~[1]. Для дальнейшего изложения примем следующее соглашение. Отождествим единичную окружность $\gamma $ и полуинтервал $J$ отображением $e^{it} : J \to \gamma $. Аналогично пространству $L_{p} (J;X )$, порожденному мерой Лебега $dx$ в $J$, сопоставляется бохнерово пространство $L_{p} (\gamma ;X )$, порожденное мерой $dl$ ($dl$ ~--- элемент длины $\gamma $) на $\gamma $. Отображение $e^{it} $ позволяет отождествить также пространства $L_{p} (J;X )$ и $L_{p} (\gamma ;X )$. Примем $L_{p} (X )= : L_{p} (J;X )\cong L_{p} (\gamma ;X )$. Для функции $f: \omega \to X$ примем $f_{r} (t )=f (re^{it} ) $, $re^{it} \in \omega $. Линейное пространство всех $X$-значных тригонометрических полиномов вида $$ P_{n} (t )=\sum _{k=-n}^{n}a_{k} e^{ikt} $$ с коэффициентами $ \{a_{k} \}\subset X$ обозначим через $P (X )$. \specialhead 2.4. Мультипликатор. $t$-Рисс свойство \endspecialhead На $P (X )$ определим мультипликатор $m:P (X )\to L_{p} (X )$, полагая $$ (mP ) (t )=\widetilde{P} (t )=-i\sum _{k}\operatorname{sign} (k ) a_{k} e^{ikt} , $$ где $$ P (t )=\sum _{k} a_{k} e^{ikt} \in P (X ) , \quad \operatorname{sign} (k )= \cases 1 ,&k>0 , \\ 0 ,&k=0 , \\ -1 ,&k<0. \endcases $$ Рассмотрим следующее $X$-значное преобразование Гильберта: $$ (Hf ) (x )=\frac{1}{\pi } \int\limits_{R}\frac{f (y )}{x-y} \,dy , \quad x\in R . $$ Хорошо известна следующая \proclaim{Theorem 2.2 \rm [1]} Пусть $X\in \Cal B$, $p\in (1, \infty )$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: {\rm (1)}~$X\in \operatorname{UMD}$; {\rm (2)} $H\in [L_{p} (R;X ) ]$. \endproclaim Также справедливо \proclaim{Proposition 2.1 \rm [1]} %\?утверждения~2.1 Пусть $X\in \Cal B$, $p\in (1, +\infty )$. Если $H\in [L_{p} (R;X ) ]$, то $m\in [L_{p} (X ) ]$. \endproclaim Всюду в дальнейшем для $f\in L_{1} (X )$ примем $$ \widehat{f}_{k} := t_{k} (f ):= \frac{1}{2\pi } \int\limits_{-\pi }^{\pi }f (t )e^{-ikt} \,dt, \quad k\in Z . $$ С использованием \Par*{Theorem 2.2} и \Par*{Proposition~2.1} %\?утверждения~2.1 в работе [7] доказана следующая \proclaim{Theorem 2.3 \rm [7]} Пусть $X\in {\operatorname{UMD}}$, $p\in (1, +\infty )$. Тогда система экспонент ${\Cal E}\equiv \{e^{int} \}_{n\in Z} $ образует $t$-базис в $L_{p} (X )$, т.~е. любая $f\in L_{p} (X )$ имеет единственное разложение в $L_{p} (X )$ вида $$ f (t )=\sum _{n\in Z} \widehat{f}_{n} e^{int} . $$ Более того, для любого $m\in Z$ $t$-Рисс проекторы $$ (R_{m}^{+} f ) (t )= : f_{+} (t )= : \sum _{n=m}^{+\infty }\widehat{f}_{n} e^{int} , \quad (R_{m}^{-} f ) (t )= : f_{-} (t )= : \sum _{n=-\infty }^{m-1}\widehat{f}_{n} e^{int} $$ oграничены в $L_{p} (X )$, т.~е. $R_{m}^{\pm } \in [L_{p} (X ) ]$. \endproclaim \specialhead 2.5. %\?в русском нет точки $h_{p} (X )$-Класс гармонических функций. $*$-Cопряженные гармонические функции \endspecialhead В этой части будем предполагать, что $X\in {\operatorname{UMD}}$, $p\in (1, +\infty )$. Пусть $X$ снабжено инволюцией~$(*)$, которая обладает следующими свойствами:\Label{S2.5} \Item (i) $*:X \to X$ является биективным отображением $X$ на $X$; \Item (ii) $ x^{**} =x $, $x\in X$; \Item (iii) $ ( \lambda x )^{*} =\overline{\lambda}x ^{*}$ $\forall %\?\text {для всех } \lambda \in C$, $x\in X $; \Item (iv) $ \| x^{*} \| _{X} = \| x \| _{X}$, $x\in X$. Следуя [22], примем $ X^{R} = \{x\in X : x^{*} =x \}$, и пусть $X^{iR} = \{ix : x\in X^{R} \} $. Таким образом, произвольное $\varpi \in X$ имеет единственное представление в виде $$ \varpi=u+i\vartheta , \quad u,\vartheta \in X^{R} . $$ Примем обозначения $u=\operatorname{Re}^{*} \varpi$, $\vartheta =\operatorname{Im}^{*} \varpi$ и назовем $u$ {\it $*$-действительной\/} ($\vartheta $~--- {\it $*$-мнимой}) частью элемента $\varpi$. Тогда справедлива прямая сумма $$ X=X^{R} \dot{+}X^{iR} =X^{R} \dot{+}iX^{R}. \eqno{(2.1)} $$ Пространство $X$ с инволюцией ``$*$'' будем обозначать через $ (X;* )$. Далее нам понадобятся следующие пространства $X$-значных функций. Для $z\in \omega $ определим частные производные $$ \partial _{x} f (z )= : \lim \limits_{R\ni h\to 0} \frac{f (z+h )-f (z )}{h} , \quad \partial _{y} f (z )= : \lim\limits_{R\ni h\to 0} \frac{f (z+ih )-f (z )}{h} . $$ Положим $$ C^{1} (\omega; X )= \{f:\omega \to X: \partial _{x} f , \partial _{y} f\in C (\omega ;X ) \} , $$ где $C (\omega; X )$ ~--- линейное пространство всех непрерывных функций $f:\omega \to X$. Аналогичным образом определяем $$ C^{2} (\omega; X )= \{f\in C (\omega ;X ) : \partial _{xx} f, \partial _{xy} f, \partial _{yy} f \in C (\omega; X ) \} . $$ Пусть $$ \Delta f (z )=\partial _{xx} f (z ) + \partial _{yy} f (z ), $$ где $z=x+iy$. Введем следующий класс $X$-значных гармонических в $\omega $ функций: $$ H (\omega ;X )= \{f\in C^{2} (\omega ;X ) : \Delta f (z )=0, \ z\in \omega \} . $$ Прямая сумма \Tag(2.1) порождает прямую сумму $$ H (\omega ;x )=H^{R} (\omega ;X )\dot{+}iH^{R} (\omega ;X ) , $$ где $$ H^{R} (\omega ;x )= \{f\in H (\omega ;X ) : f (z )\in X^{R} , \ z\in \omega \} . $$ Для $z\in \omega $ определим комплексную производную: $$ f' (z )={\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0}} \frac{f (z+\Delta z )-f (z )}{\Delta z} , $$ и введем в рассмотрение следующий класс $X$-значных аналитических в $\omega $ функций: $$ A (\omega ;X )= \{f\in C (\omega; X ) : f'\in C (\omega ;X ) \}. $$ Пусть $A^{R} (\omega ;X )=\operatorname{Re}^{*} A (\omega ;X )$. Положим $$ A_{0} (\omega ;X )= \{\varpi\in A (\omega ;X ) : ( \operatorname{Im}^{*} \varpi ) (0 )=0 \} . $$ В работе [22] установлена следующая \proclaim{Lemma 2.1} Пусть $ (X;* )\in \Cal B$. Тогда относительно классов гармонических функций $H (\omega ;X )$ и аналитических функций $A (\omega; X )$ справедливы следующие утверждения: \Item (1) имеет место прямая сумма $H (\omega ;X )=H^{R} (\omega ;X )\dot{+}iH^{R} (\omega ;X )$, а также справедливо $A (\omega ;X )\subset A^{R} (\omega ;X )\dot{+}iA^{R} (\omega ;X )$; \Item (2) $A (\omega ;X )\subset H (\omega ;X )$ {\rm (}собственное включение{\rm )}; \Item (3) пусть $\varpi\in H (\omega; X )$, тогда $\varpi\in A (\omega ;X ) \to u=\operatorname{Re}^{*} \varpi$ и $v=\operatorname{Im}^{*} \varpi$ удовлетворяют $*$-условию Коши~--- Римана $$ {\partial _{x} u=\partial _{y} v}, \quad {\partial _{x} v=-\partial _{y} u} ; $$ \Item (4) $A^{R} (\omega ;X )\equiv H^{R} (\omega ;X )$; \Item (5) линейные пространства $H^{R} (\omega; X )$ и $A_{0} (\omega ;X )$ изоморфны и оператор $T=I+i I*$ осуществляет соответствующий изоморфизм, где $I$~--- единичный в $H^{R} (\omega ;X )$ оператор и $$ (I*u ) (x;y )=\int\limits _{0}^{ (x;y )}-\partial _{y} udx+ \partial _{x} u\,dy , \quad (x;y )\in \omega , \ u\in H^{R} (\omega ;X ). $$ \endproclaim Через $K$ обозначим следующий $X$-значный интеграл типа Коши: $$ (Kf ) (z )=\frac{1}{2\pi i} \int\limits _{\gamma }\frac{f (\xi )d\xi }{\xi -z} , \quad z\in \omega . $$ Положим $L_{p}^{+} (X )={\roman R}^{+} (L_{p} (X ) )$, где ${\roman R}^{+} ={\roman R}_{0}^{+} $~--- $t$-Рисс проектор, и пусть $$ H_{p} (X )= \{F\in A (X ) : \exists f\in L_{p}^{+} ( X ) \to F=Kf \} . $$ Исходя из класса $H_{p} (X )$, определим $$ h_{p}^{R} (X )=\operatorname{Re}^{*} H_{p} (X ) . $$ По результатам работы [22] относительно функции $f\in H_{p} (X )$ имеет место также представление в виде интеграла Пуассона~--- Бохнера $$ f (re^{it} )= ({\roman P}f^{+} ) (re^{it} )=\frac{1}{2\pi } \int\limits _{-\pi }^{\pi }P_{r} (t-s )f^{+} (s )\,ds, \quad re^{it} \in \omega , \eqno{(2.2)} $$ где $P_{r} (t )$ ~--- ядро Пуассона для единичного круга $$ P_{r} (t )=\frac{1-r^{2} }{1-2r\cos t+r^{2} } , $$ $f^{+} =\theta f$ ~--- некасательные граничные значения функции $f$ на $\gamma $ и $\theta$~--- соответствующий оператор следа. Норма в $H_{p} (X )$ определяется выражением $$ \| f \| _{H_{p} (X )} = \| \theta f \| _{L_{p} (X )} , $$ и оператор $\theta \in [H_{p} (X ) ; H_{p}^{+} (X ) ]$ является изометрическим изоморфизмом. Из формулы \Tag(2.2) непосредственно получаем $$ u (re^{it} )=\operatorname{Re}^{*} f (re^{it} ) = ({\roman P} (\operatorname{Re}^{*} f^{+} ) ) (re^{it} ) = ({\roman P}u^{+} ) (re^{it} ) , $$ где $u^{+} =\theta u$. Как установлено в работе [22], оператор $\theta \in [h_{p}^{R} (X ) ; L_{p}^{R} (X ) ]$ тоже является изометрическим изоморфизмом, где $L_{p}^{R} (X )=\operatorname{Re}^{*} L_{p} (X )$. Положим $$ h_{p} (X )=h_{p}^{R} (X )\dot+ ih_{p}^{R} (X ) . $$ Очевидно, что $\theta \in [h_{p} (X ) ; L_{p} (X ) ]$ тоже является изометрическим изоморфизмом, если принять $$ \| u \| _{h_{p} (X )} = \| \theta u \| _{L_{p} (X )} . $$ Тогда из \Par*{Theorem 2.3} непосредственно получаем справедливость следующей леммы. \proclaim{Lemma 2.2} Пусть $X\in \operatorname{UMD}$, $p\in (1,\infty )$. Тогда система $$ \{ 1 ; r^{n} \cos n t ; r^{n} \sin n t \}_{n\in N} \eqno{(2.3)} $$ образует $t$-базис в $h_{p}^{R} (X )$ {\rm (}также в $h_{p} (X ))$. Более того, если для $u\in h_{p}^{R} (X )$ имеет место $$ u (re^{it} )=u_{0}^{+} +\sum _{n=1}^{\infty } (u_{n}^{+} \cos n t + u_{n}^{-} \sin n t ) r^{n} , \eqno{(2.4)} $$ то $$ u^{+} (e^{it} )= (\theta u ) (e^{it} ) =u_{0}^{+} +\sum _{n=1}^{\infty } (u_{n}^{+} \cos n t + u_{n}^{-} \sin n t ) . $$ \endproclaim \head 3. Основные результаты \endhead \specialhead 3.1. Постановка задачи. Н\"етеровость \endspecialhead Прежде чем перейти к постановке задачи, введем в рассмотрение класс гармонических функций $$ h_{p}^{ (1 )} (X )= \{ u\in h_{p} (X ) : \partial _{r} u , \partial _{\varphi } u\in h_{p} (X ) \} $$ с нормой $$ \| u \| _{h_{p}^{(1)} (X )} = \| u \| _{h_{p} (X )} + \| \partial _{r} u \| _{h_{p} (X )} + \| \partial _{\varphi } u \| _{h_{p} (X )} . $$ В классе $h_{p}^{ (1 )} (X )$ рассмотрим следующую задачу с косой производной: $$ \aligned & {\Delta _{r;\varphi } u=\partial _{rr} u+\frac{1}{r} \partial _{r} u+\frac{1}{r^{2} } \partial _{\varphi \varphi } u=0 {\text{ в } } \omega ,} \\ &{\cos \varphi \theta (\partial _{r} u )+\sin \varphi \theta (\partial _{\varphi } u )=f (\varphi ) ,\quad \varphi \in J ,} \endaligned \tag3.1 %\?в русском точка стоит после 3.1 $$ где $f\in L_{p} (X )$~--- заданная функция и $\theta : [h_{p}^{(1)} (X ) ; L_{p} (X ) ]$~--- оператор следа. Рассмотрим оператор $T\in [h_{p}^{(1)} (X ) ; L_{p} (X ) ]$, определенный выражением $$ (Tu ) (\varphi )=\cos \varphi \theta (\partial _{r} u )+\sin \varphi \theta (\partial _{\varphi } u ) . $$ Найдем $\operatorname{Ker} T$ (ядро) и $R_{T} $ (область значений) этого оператора. Итак, пусть $u\in h_{p}^{ (1 )} (X )$ и \Tag(2.4) есть разложение $u$ по базису \Tag(2.3). Для удобства последующих вычислений представим это разложение в виде $$ u (r;\varphi )=u (re^{i\varphi } ) =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n} r^{ |n |} e^{in\varphi } , $$ где $$ a_{n} = \cases u_{0}^{+} ,&n=0 , \\ \frac{1}{2} (u_{n}^{+} -iu_{n}^{-} ) ,&n>0 , \\ \frac{1}{2} (u_{ |n |}^{+} +iu_{ |n |}^{-} ) ,&n<0 . \endcases $$ Имеем $$ \partial _{r} u=\sum _{n\ne 0} |n | a_{n} r^{ |n |-1} e^{in\varphi } ,\quad \partial _{\varphi } u=\sum _{n\ne 0}i n a_{n} r^{ |n |} e^{in\varphi } . $$ Из \Par*{Lemma 2.2} непосредственно следует $$ \theta (\partial _{r} u )=\sum _{n\ne 0} |n | a_{n} e^{in\varphi } ; \theta (\partial _{\varphi } u )=\sum _{n\ne 0}i n a_{n} r^{ |n |} e^{in\varphi } . $$ Разложим функцию $f\in L_{p} (X )$ по $t$-базису $\Cal E$: $$ f (\varphi )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }t_{n} (f ) e^{in\varphi } . $$ Учитывая граничные условия \Tag(3.1), получаем $$ \frac{e^{i\varphi } +e^{-i\varphi } }{2} \sum _{n\ne 0} |n | a_{n} e^{in\varphi } + \frac{e^{i\varphi } -e^{-i\varphi } }{2i} \sum _{n\ne 0}in a_{n} e^{in\varphi } =\sum _{n=-\infty }^{+\infty } t_{n} (f ) e^{in\varphi } . $$ Совершив соответствующие преобразования, имеем $$ \sum _{n=2}^{\infty } (n-1 ) a_{n-1} e^{in\varphi } -\sum _{n=-\infty }^{-2} (n+1 ) a_{n+1} e^{in\varphi } =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }t_{n} (f ) e^{in\varphi } . \eqno{(3.2)} $$ Из этого соотношения следует, что для разрешимости задачи \Tag(3.1) выполнение условий $$ t_{-1} (f )=t_{0} (f )=t_{1} (f )=0 \eqno{(3.3)} $$ является необходимым. Коэффициент $a_{0} $ не входит в левую часть соотношения \Tag(3.2) и, значит, он остается произвольной постоянной из $X$. Для остальных коэффициентов $ \{a_{n} \}$ получаем $$ a_{n} = \cases \frac{1}{n} t_{n+1} (f ) ,&n\ge 1 , \\ -\frac{1}{n} t_{n-1} (f ) ,&n\le -1 . \endcases $$ В результате для решения $u\in h_{p}^{ (1 )} (X )$ задачи \Tag(3.1) имеем формальное представление $$ u (r;\varphi )=a_{0} +\sum _{n=-\infty }^{-1}\frac{t_{n-1} (f )}{ |n |} r^{ |n |} e^{in\varphi } +\sum _{n=1}^{\infty }\frac{t_{n+1} (f )}{n} r^{n} e^{in\varphi } . \eqno{(3.4)} $$ Покажем, что \Tag(3.4) на самом деле является решением задачи \Tag(3.1). Совершенно очевидно, что $\Delta _{r;\varphi } u (r;\varphi )=0$ $\forall %\?\text {для каждого } re^{i\varphi } \in \omega $. Покажем, что $u\in h_{p}^{ (1 )} (X )$. Ясно, что $u (0;\varphi )=a_{0} =\const$. Следовательно, для $ u (r;\varphi )$ имеем $$ u (r;\varphi )=\int\limits _{0}^{r}\partial _{\rho } u (\rho ;\varphi ) \,d\rho +a_{0} . $$ Из этого представления следует, что если $\partial _{\rho } u\in h_{p} (X )$, то $u\in h_{p} (X )$. На самом деле достаточно это доказать для случая $\partial _{\rho } u\in h_{p}^{R} (X )$. Это условие означает, что существует $F$ такое, что $ \partial _{\rho } F\in H_{p} (X )$ и $u=\operatorname{Re}^{*} F$ (так как $ u=\operatorname{Re}^{*} F \to \partial _{\rho } u=\operatorname{Re}^{*} F_{\rho } $). Нетрудно заметить, что $\partial _{\rho } F\in H_{p} (X ) \to F\in H_{p} (X ) $ и, следовательно, $u\in h_{p}^{R} (X )$. Покажем, что $\partial _{\rho } u\in h_{p} (X )$. Снова не ограничивая общности, будем считать, что $\partial _{\rho } u\in h_{p}^{R} (X )$, и пусть $ F\in A (X ) : u=\operatorname{Re}^{*} F$. Продифференцировав, из \Tag(3.4) получаем $$ \partial _{r} u=\sum _{n=-\infty }^{-1}c_{n-1} (f ) r^{ |n |-1} e^{in\varphi } +\sum _{n=1}^{\infty }c_{n+1} (f ) r^{n-1} e^{in\varphi } . $$ Положим $$ u_{1} (r;\varphi )=\sum _{n=-\infty }^{-1}c_{n-1} (f ) r^{ |n |-1} e^{in\varphi } , \quad u_{2} (r;\varphi )=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n+1} (f ) r^{n-1} e^{in\varphi } . $$ Покажем, что $u_{k} \in H_{p} (X ) $, $k=1, 2$. Достаточно доказать, что $u_{2} \in H_{p} (X )$ (для $u_{1} $ доказательство аналогичное). Очевидно, что $\Delta u_{2} =0$. Примем $$ u_{2} (r;\varphi )=e^{-i\varphi } r^{-2} \widetilde{u} (r;\varphi ) , $$ где $$ \widetilde{u} (r;\varphi )=\sum _{n=2}^{\infty }c_{n} (f ) r^{n} e^{in\varphi } . $$ Нетрудно заметить, что функция $u_{2} (r;\varphi )$ при $r\to +0$ стремится равномерно на $\gamma $ к функции $c_{2} (f ) e^{i\varphi } $. Поэтому справедливо соотношение $$ \sup \limits_{0