\documentstyle{SibMatJ}
% \TestXML
\Rus
\topmatter

  \Author             Logachev
    \Initial          V.
    \Initial          A.
    \Email            v.logachev\@g.nsu.ru
    \AffilRef         1
  \endAuthor

  \Author             Pozhidaev
    \Initial          A.
    \Initial          P.
    \ORCID            0000-0002-2038-166X
    \Email            app\@math.nsc.ru
    \AffilRef         2
    \Corresponding
  \endAuthor

  \Affil 1
    \Organization     Novosibirsk State University
    \City             Novosibirsk
    \Country          Russia
  \endAffil

  \Affil 2
    \Organization     Sobolev Institute of Mathematics
    \City             Novosibirsk
    \Country          Russia
  \endAffil

  \opages
    ???--???
  \endopages

  \datesubmitted      October 24, 2025\enddatesubmitted
  \daterevised        February 17, 2026\enddaterevised
  \dateaccepted       February 18, 2026\enddateaccepted

  \UDclass
    512.554
  \endUDclass

  \thanks
    Работа второго автора поддержана Российским научным фондом  (грант 25--41--00005).
    %The research of the second author was supported by the Russian Science Foundation (project 25--41--00005).
  \endthanks

  \title
    Алгебры дифференцирований простых конечномерных  алгебр Новикова и прелиевых дублей Витта
  \endtitle

  \abstract
    Описание дифференцирований простых конечномерных
    алгебр Новикова и прелиевых дублей Витта над алгебраически замкнутым полем
    простой характеристики  сводится к описанию специальных
    дифференцирований  исходных ассоциативных коммутативных дифференциально простых алгебр.
  \endabstract

  \keywords
    алгебра Новикова,
    дифференцирование,
    левосимметрическая алгебра,
    простая алгебра,
    прелиева алгебра,
    полином Дарбу,
    дубль Витта
  \endkeywords

\endtopmatter

\head 
Введение
\endhead

Алгебра ${\Cal  A}$ называется
{\it левосимметрической}, если ассоциатор $(x,y,z)
= (xy)z - x(yz)$ на ${\Cal  A}$  левосимметричен, т.~е.
 $(x,y,z) = (y,x,z)$ для всех $x,y,z \in {\Cal  A}$. Как легко видеть,
 левосимметрические алгебры являются естественным обобщением
 ассоциативных алгебр. Другим хорошо известным примером
 левосимметрических алгебр являются алгебры Новикова,
 в которых коммутируют все операторы правого умножения.

 В~работе [1] была введена конструкция расширения
 левосимметрической алгебры,
 позволяющая строить новые левосимметрические алгебры на основе
 существующих. В~основе этой конструкции лежит согласованная пара
  дифференцирования и гессиана исходной алгебры. В~[2]
 эта конструкция  была названа конструкцией Мицухары, где также
 были предложены обобщения этой конструкции,
 частными случаями которых являются дубли Витта.
  В~[3] введено понятие эндоморфа произвольной
 неассоциативной алгебры и, в частности, показано, что эндоморфы
 левосимметрических алгебр образуют значительный класс простых
 таких алгебр. В~[4] построена конструкция
 Мицухары для эндоморфов произвольных левосимметрических алгебр,
 а также описаны дифференцирования эндоморфов произвольных алгебр.
 В~[5] описаны автоморфизмы конечномерных прелиевых дублей Витта
 над алгебраически замкнутым полем характеристики $p>0$.

 Пусть $d$~--- некоторое ненулевое дифференцирование алгебры ${\Cal  A}$.
 Алгебра ${\Cal  A}$ называется {\it $d$-простой},
 если ${\Cal  A}^2 \ne 0$ и ${\Cal  A}$ не содержит
 собственных $d$-инвариантных  идеалов;
 при этом дифференцирование  $d$ называется {\it простым}.

 Пусть ${\Cal  A}$~--- ассоциативная коммутативная
  алгебра над полем $F$ с ненулевым дифференцированием $d$.
  Определим на ${\Cal  A}$ новое умножение правилом
   $x\circ y=xd(y)$. Обозначим полученную алгебру через ${\Cal  A}(d)$.
   Хорошо известно, что ${\Cal  A}(d)$ является алгеброй Новикова и
   ${\Cal  A}(d)$  проста тогда и только тогда,
  когда ${\Cal  A}$ является $d$-простой (в случае характеристики не $2$).
 Более общей является конструкция с умножением $x\circ y=xd(y)+axy$,
 где $a\in {\Cal  A}$~--- некоторый фиксированный элемент (см. [6,\,7]);
 данная алгебра в [8] обозначается через $({\Cal  A},d,a)$
 (а мы далее обозначаем ее через ${\Cal  A}(d,a)$ в случае $a\neq 0$).
  Классификация конечномерных простых алгебр Новикова
  над алгебраически замкнутыми полями характеристики $0$
  была получена в [9].  В~ работе  [8] дана изящная классификация неассоциативных
  конечномерных простых алгебр Новикова
  над алгебраически замкнутыми полями характеристики $p>0$
  (полная классификация таких алгебр над полями характеристики $p>2$
  была получена ранее в [10]). B  [11] снято ограничение
  на алгебраическую  замкнутость поля, а именно, доказано,
  что  любая такая алгебра над полем характеристики $p>0$
  изоморфна некоторой алгебре $({\Cal  A},d,a)$. Также в [11]
 описаны автоморфизмы конечномерных алгебр  $({\Cal  A},d,a)$ над алгебраически
 замкнутым полем.

 В~настоящей работе  описаны дифференцирования простых конечномерных
 алгебр Новикова (\Sec*{Section~1}) и   прелиевых дублей Витта (\Sec*{Section~2})
 над алгебраически замкнутым полем характеристики $p>0$.

 Напомним необходимые для дальнейшего определения и обозначения.
 Всюду далее $F$ означает основное поле,
 а $F^*$~--- мультипликативную группу поля $F$;  через ${\Cal  A}$
 мы обозначаем некоторую алгебру над $F$.
 В~дальнейшем
$\langle \Upsilon \rangle=\langle \Upsilon \rangle_F$
 ~--- линейная оболочка множества $\Upsilon$ над $F$,
  где опускаем символ $F$, если поле ясно из контекста.
  Если ${\Cal  A}$~--- некоторая алгебра (векторное пространство)
  над $F$, то через
  $\operatorname{End}\, {\Cal  A}$ будем обозначать
  алгебру всех $F$-линейных операторов на ${\Cal  A}$,
  а через $\operatorname{Der}\,{\Cal  A}$~--- алгебру Ли дифференцирований
  алгебры ${\Cal  A}$. Образ $\phi(x)$ элемента $x$
  под действием отображения $\phi$
  часто обозначается также через $\phi_x$.
  Операторы $R_a,L_a\in \operatorname{End}\,{\Cal  A}$,
  действующие по правилам  $R_a(x) = xa$ и $ L_a(x) = ax$
  для любого $x\in {\Cal  A}$,  называются операторами {\it правого\/}
  и {\it левого\/} умножения на  элемент $a \in {\Cal  A}$.

  Если $I$ является $d$-инвариантным идеалом в ${\Cal  A}$,
  то это обозначается следующим образом: $I\trianglelefteq_d {\Cal  A}$.
  В~дальнейшем, говоря про $d$-простые алгебры, мы считаем, что $d\neq 0$.
  Далее через $F_p[x_1,\dots,x_n]$ обозначается
алгебра усеченных многочленов
  над полем $F$ характеристики $p$, т.~е.  $x_i^p=0$, $x_i^0=1$
   для любого $i=1,\dots,n$ (единица $1$
  отождествляется с единицей поля $F$).

\head
1. Дифференцирования алгебр Новикова
\endhead

 Всюду далее мы работаем с конечномерными ассоциативными
 коммутативными $d$-простыми алгебрами и часто применяем
 следующий хорошо известный результат (см., например,  [2,\,12]).

 \proclaim{Lemma 1.1} 
 Пусть ${\Cal  A}$~--- конечномерная ассоциативная
 коммутативная $d$-простая алгебра над алгебраически замкнутым
 полем $F$.   Тогда ${\Cal  A}$ содержит единицу $1$, характеристика поля $F$
 равна $p>0$,   ${\Cal  A}\cong F_p[x_1,\dots,x_n]$
 для некоторого $n\in {\Bbb  N}$,
 ${\Cal  A}\cdot d({\Cal  A})={\Cal  A}$, и
 $\operatorname{Ker} d=F$. В~частности, $d({\Cal  A})$
 содержит обратимые элементы.
\endproclaim

  Заметим, что линейное отображение $D=d+R_a$
  является {\it обобщенным\/}
  дифференцированием алгебры  ${\Cal  A}$, т.~е.
$$
D(xy) =D(x)y+xd(y)\eqno{(1)}
$$
для любых $x,y\in {\Cal  A}$.
   Будем говорить, что $H\in\operatorname{Der}{\Cal  A}$ является
    {\it $\alpha$-перестановочным\/}
    с $D=d+R_a$, если для некоторого $\alpha\in {\Cal  A}$
    выполнено равенство  
    $$
    HD=D(H+\alpha)
    $$
    (здесь и далее $H+\alpha$ означает $H+R_\alpha$).
 Заметим, что $D(1)=a$, а потому $H(a)=D(\alpha)$; если при этом $a=0$,
 то $D=d$, $d(\alpha)=0$, $dR_\alpha=R_\alpha d$,
стало быть,
 $$
 (H-\alpha)d=dH,
 $$
 что мы и возьмем за определение $\alpha$-{\it перестановочного\/}
 дифференцирования с дифференцированием $d$.
 Обозначим данный $\alpha\in {\Cal  A}$ через
 $\omega(H)$. Положим
 $$
\operatorname{Der}_D{\Cal  A}=
 \{H\in \operatorname{Der}{\Cal  A}:HD=D(H+\omega(H))\}.
$$

Заметим, что $\omega(H)$ определяется с точностью до
 элемента $\beta$ из $\operatorname{Ker} D$
 такого, что  $\beta{\Cal  A}\subseteq \operatorname{Ker} D$.
 Действительно, если $HD=D(H+\gamma)$ для некоторого $\gamma\in {\Cal  A}$,
 то $D\beta=0$ при $\beta=\alpha-\gamma$. Если алгебра ${\Cal  A}$ является
 $d$-простой, то $\beta{\Cal  A}\trianglelefteq_d{\Cal  A}$,
 откуда либо $\beta=0$, либо $\beta$
обратим. Во втором случае получаем $D=0$, т.~е.
$d=-R_a\in \operatorname{Der}{\Cal  A}$, откуда
 $a=0$  и $d=0$. Таким образом, в случае $d$-простой алгебры ${\Cal  A}$
  элемент $\omega(H)$  определен однозначно.

Пусть $H,F\in\operatorname{Der}_D{\Cal  A}$,
 $\omega(H)=\alpha,\omega(F)=\beta$. Тогда
$$
\align
[H,F]D&=(HF-FH)D=HD(F+\beta)-FD(H+\alpha)
\\
&=D(H+\alpha)(F+\beta)-D(F+\beta)(H+\alpha)
\\
&=D[H+\alpha,F+\beta]=D([H,F]+H(\beta)-F(\alpha)).
\endalign
$$
Таким образом, доказана следующая

 \proclaim{Lemma 1.2} 
 Пусть ${\Cal  A}$~--- конечномерная ассоциативная
 коммутативная $d$-простая алгебра над  полем $F$, $a\in {\Cal  A},\ D=d+a$.
  Тогда $\operatorname{Der}_D{\Cal  A}$ является подалгеброй Ли в
  $\operatorname{Der}{\Cal  A}$;
  при этом $\omega(H)$ определяется по $H$ однозначно и
 $\omega([H,F])=H(\omega(F))-F(\omega(H))$ для
 любых $H,F\in\operatorname{Der}_D{\Cal  A}$.
\endproclaim

    Для дальнейшего нам понадобятся явные условия простоты
   рассматриваемых алгебр Новикова в случае ${\Cal  A}\cong F_2[x]$.
   Далее $\partial$ обозначает частную производную по $x$.

 \proclaim{Lemma 1.3 \rm [11]}
  Пусть ${\Cal  A}=F_2[x]$. Алгебра Новикова ${\Cal  A}(d)$
  проста тогда и только тогда, когда
  $d=(\beta+\gamma x)\partial$ при $\beta,\gamma\in F^*$.
  Алгебра ${\Cal  A}(d,a)$   проста $\Leftrightarrow$
  $d=(\beta+\gamma x)\partial$ при $\beta\in F^*$; при этом если
  $\gamma\in F^*$, то $\gamma\neq a$.
\endproclaim

\proclaim{Lemma 1.4}
  Пусть ${\Cal  A}=F_2[x]$, ${\Cal  A}(d,a)$ проста, $D=d+R_a$ и
  $ 1\in \operatorname{Im}D$.
  Тогда $\operatorname{Ker} D=0$.
\endproclaim

\demo{Proof}
Пусть $0\neq c\in\operatorname{Ker} D$. Если $c\in F$, то
 $D(c)=ca=0$, что противоречит условию $a\neq 0$. Так как
 $\langle 1,c\rangle ={\Cal  A}$,
 то $\operatorname{Im} D=\langle D(1)\rangle =\langle a\rangle$.
 Таким образом, $\operatorname{dim}\operatorname{Im} D=1$, а так как
 по условию $1\in \operatorname{Im} D$, то $a\in F$. Возьмем
 $d$ как в \Par*{Lemma~1.3}. Тогда $D(x)=\beta+\gamma x+ax$,
 откуда $\gamma=a$; противоречие.
\qed\enddemo

   Напомним, что ненулевой многочлен $f$ называется
 {\it полиномом Дарбу\/} относительно
 дифференцирования $d$, если $d(f)=\lambda f$ для некоторого
 {\it собственного многочлена\/} $\lambda $.
Также нам понадобится следующая

 \proclaim{Theorem 1.1 \rm [11]}
Пусть ${\Cal  A}=F_p[x_1,\dots,x_n]$,
  $d$~--- простое дифференцирование ${\Cal  A}$. Если $f$ является
  полиномом Дарбу относительно $d$ для некоторого
  собственного многочлена $\lambda $, то $f$ обратим
  и $f$ по $\lambda $ определяется однозначно
с точностью до ненулевого скаляра.
  Обратно, любой обратимый  $f\in {\Cal  A}$
  является полиномом Дарбу относительно
  $d$ для некоторого собственного многочлена $\lambda $.
\endproclaim

\proclaim{Theorem 1.2}
Пусть ${\Cal  A}$~--- конечномерная ассоциативная
 коммутативная $d$-простая алгебра над алгебраически замкнутым полем $F$
  характеристики  $p>0$ и алгебра ${\Bbb  A}=({\Cal  A},d,a)$ проста.
  Тогда $G\in\operatorname{Der}{\Bbb  A}$
в том и только в том случае, если
  $G=H+\omega(H)$ для некоторого $H\in\operatorname{Der}_D{\Cal  A}$; при этом
  $\omega(H)\in F$ в случае $a=0$.
\endproclaim

\demo{Proof} 
Пусть $G\in\operatorname{Der}{\Bbb  A}$.
 Тогда $G(x\circ y)=G(x)\circ y+x\circ G(y)$, т.~е.
$$
G(xD_y)= G(x)D(y)+xD(G_y)\eqno{(2)}
$$
 для любых $x,y\in {\Bbb  A}$ (напомним, что мы используем
 также обозначение $D_x:=D(x)$,
  что позволяет избежать нагромождения скобок).
  Пусть $\alpha=G(1)$.
 Заметим, что $D(1)=0$ при $a=0$, поэтому, полагая $y=1$ в \Tag(2),
 получаем $d(\alpha)=0$, т.~е.  $\alpha\in F$ при $a=0$.
 Полагая $x=1$  в \Tag(2), выводим
$$
G(D_y)=\alpha D(y)+D(G_y).\eqno{(3)}
$$
 Пусть  $H=G-\alpha$. Тогда из \Tag(3) следует
  $HD=D(H+\alpha)$, откуда  $H$ является $\alpha$-перестановочным с~$D$.

  Покажем, что $H$ является дифференцированием алгебры ${\Cal  A}$.
  Из \Tag(2)  выводим
$$
H(xD_y)= G(xD_y)- \alpha  xD_y=G_xD_y+xD(G_y)- \alpha  xD_y.
\eqno{(4)}
$$
С другой стороны, по \Tag(3) имеем
$$
\aligned
H(x)D_y+ xH(D_y)&= G_xD_y- \alpha xD_y+xG(D_y)-\alpha xD_y
\\
&=
G_xD_y- \alpha xD_y+x(\alpha D_y+D(G_y))-\alpha xD_y=
G_xD_y+xD(G_y)-\alpha xD_y.
\endaligned
                                                                \tag5
$$
Сравнивая \Tag(4) и \Tag(5), получаем
$$
H(xy)=H(x)y+xH(y),\eqno{(6)}
$$
 если хотя бы один из $x,y$ лежит в $\operatorname{Im} D$.

 Если $D$ невырожденно, то \Tag(6) справедливо для любых $x,y\in {\Bbb  A}$.
 Поэтому по \Par*{Theorem~1.1} можем считать, что
 $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} D=1$,
т.~е.  ${\Bbb  A}=\operatorname{Im}D\oplus \left<e\right>$
 для некоторого $e\in{\Bbb  A}$. Таким образом, чтобы установить
 справедливость \Tag(6) для любых $x,y\in {\Bbb  A}$, достаточно
 проверить истинность \Tag(6) для $x=y=e$.

 Если $1\not\in \operatorname{Im} D$, то можно считать $e=1$ и тогда
\Tag(6) для $x=y=1$ очевидно. Далее можно предполагать,
 что $1\in \operatorname{Im} D$ и
 ${\Cal  A}\not\cong F_2[x]$ по \Par*{Lemmas~1.3} и~\Par{Lemma 1.4}{1.4}.

Заметим, что можно считать
 $S:=\operatorname{Im} D:=D({\Cal  A})$
 подалгеброй в ${\Cal  A}$. Действительно, если это не так, то
  существуют $x,y\in S$ такие, что $z=xy\not\in S$. Тогда
  $H\in\operatorname{Der}{\Cal  A}$, поскольку
$$
H(z^2)=H(zxy)=H(zx)y+zxH(y)=H(z)xy+zH(x)y+zxH(y)=2zH(z).
$$

Покажем, что $d(S)$ содержит обратимые элементы.
Действительно,  пусть $J=d(S){\Cal  A}$
 и $t=d(D_x)y$ для некоторых $x,y\in {\Cal  A}$. Тогда $J\trianglelefteq{\Cal  A}$,
 а так как $d=D-R_a$, то, применяя \Tag(1), получаем
$$
d(t)\equiv d(d(D_x))y\equiv -d(aD_x)y\equiv 0\, (\operatorname{mod}\, J),
$$
 поскольку  $a\in S$ и $S$~--- подалгебра в ${\Cal  A}$.
 При этом $J\neq 0$,  так как ${\Cal  A}\not\cong F_2[x]$,
 откуда $J={\Bbb  A}$.

  Окончательно, $D_{ex}=D_e x+ed_x$, откуда $ed_x\in S$ для любого
   $x\in S$. Выбирая $x\in S$ так, что $d_x$ обратим (при этом
 $d_x=D_x-ax\in S$ и $d_x^{-1}\in S$, так как $a,1\in S$),
    получаем $e\in S$. Пришли к противоречию.

Обратно, если $H\in \operatorname{Der}_D{\Cal  A}$,
то, полагая $G=H+\omega(H)$,
 получаем дифференцирование $G$ алгебры Новикова ${\Bbb  A}$.
 \qed\enddemo

\head
2. Дифференцирования дублей Витта
\endhead

\specialhead
Дубль Витта
\endspecialhead

  Пусть ${\Cal  A}$~--- ассоциативная коммутативная  алгебра
  с ненулевым дифференцированием $d$  над полем $F$
  и  $\overline{\Cal  A}$ ---
  изоморфная копия алгебры ${\Cal  A}$  (как векторного пространства).
  Рассмотрим векторное пространство ${\Cal  A}\oplus
\overline{{\Cal  A}}$ над $F$, на котором произведение определено правилами
$$
a\circ b = ab + \overline{ab},
\quad
\overline{a}\circ b = ad(b),\quad a\circ \overline{b} = 0,
\quad \overline{a}\circ \overline{b} = \overline{ad(b)}
$$
для любых $a,b
\in {\Cal  A}$. Алгебра ${\Cal  A}\oplus \overline{{\Cal  A}}$
с заданным умножением
 является левосимметрической, обозначается через ${\Cal  A}_d$ и
 называется {\it дублем Витта\/} алгебры ${\Cal  A}$ [2].
 При этом ${\Cal  A}_d$ проста тогда и только тогда, когда
 ${\Cal  A}$ является $d$-простой [2].

Опишем все дифференцирования дубля Витта простой
 алгебры ${\Cal  A}_d$. Будем говорить, что дифференцирование
 $D$ алгебры ${\Cal  A}_d$ {\it индуцируется\/}
 дифференцированием $\tau\in\operatorname{Der}{\Cal  A}$, если
$$
D(a) = \tau(a),\quad D(\bar{a}) = \overline{\tau(a)}
$$
 для любого $a\in {\Cal  A}$. Подпространство дифференцирований в
 $\operatorname{Der}{\Cal  A}$,
  перестановочных с $d$, обозначим  через
  $\operatorname{Der}_d{\Cal  A}$.

\proclaim{Theorem 2.1} 
Линейное отображение $D$
является дифференцированием  алгебры ${\Cal  A}_d $ тогда и только тогда,
 когда $D$  индуцируется дифференцированием
 $\tau\in \operatorname{Der}_d{\Cal  A}$.
\endproclaim

\demo{Proof} 
Пусть $D$~--- дифференцирование
алгебры ${\Cal  A}_d $. Тогда
$$
D(a) = \theta(a) + \overline{\phi(a)}, \quad
 D(\overline{a}) = \chi(a) + \overline{\psi(a)}
$$
для любого $a \in {\Cal  A}$ и некоторых однозначно определенных
 $\theta, \phi, \chi, \psi \in \operatorname{End}\,{\Cal  A}$.
 Далее будем использовать запись
 $D=D(\theta, \phi, \chi, \psi)$.

Из определений получаем следующие равенства:
$$
\align
&D(a\circ b) = D(ab + \overline{ab})=
\theta(ab) + \overline{\phi(ab)} + \chi(ab) + \overline{\psi(ab)},
\\
&D(a)\circ b + a\circ D(b) =
(\theta(a) + \overline{\phi(a)})\circ b + a\circ (\theta(b) +
\overline{\phi(b)})
=\theta(a)b +\overline{\theta(a)b} +
\phi(a)d(b) +  \overline{a\theta(b)} + a\theta(b).
\endalign
$$
Значит, для любых $a,b \in {\Cal  A}$ выполнено
\iftex
$$
\align
&\theta(ab) + \chi(ab) =\theta(a)b + \phi(a)d(b) + a\theta(b),
\tag7
\\
&\phi(ab) + \psi(ab) = \theta(a)b + a\theta(b).
\tag8
\endalign
$$
\else
$$
\theta(ab) + \chi(ab) =\theta(a)b + \phi(a)d(b) + a\theta(b),
\tag7
$$
$$
\phi(ab) + \psi(ab) = \theta(a)b + a\theta(b).
\tag8
$$
\fi
Рассмотрим следующую цепочку равенств:
$$
0 = D(a\circ \overline{b}) =
D(a)\circ \overline{b} + a\circ D(\overline{b})
= (\theta(a) + \overline{\phi(a)})\circ \overline{b} + a\circ (\chi(b)
+\overline{\psi(b)}) =  \overline{\phi(a)d(b)} + a\chi(b) +
\overline{a\chi(b)},
$$
из которой следует, что $\chi(a) = 0$ и $\phi(a)d(b) = 0 $ для всех
$a,b  \in {\Cal  A}$.

Рассмотрим левый аннулятор множества $d({\Cal  A})$ в ${\Cal  A}$:
 $$
B = \operatorname{Ann}_l\, d({\Cal  A})=\{ x\in {\Cal  A} :
 xd({\Cal  A})=0\}.
$$
 Так как $d^2({\Cal  A}) \subset d({\Cal  A})$,
 то $0 = d(bd(a)) = d(b)d(a)
 + bd^2(a) = d(b)d(a)$ для всех $b \in B$ и $ a \in {\Cal  A}$, откуда
 $d(B) \subset B$. Поскольку $B$~--- $d$-инвариантный  идеал, то
  $B = 0$ или $B = {\Cal  A}$. Если $B = {\Cal  A}$,
 то ${\Cal  A} d({\Cal  A}) = 0$, а так как $1\in {\Cal  A}$,
 то $d = 0$. Значит, $B
= 0$ и $\phi = 0$. Используя равенства $\chi = \phi = 0$,
\Tag(7) и \Tag(8) можно переписать следующим образом:
$$
\theta(ab)=a\theta(b) + \theta(a)b,
\quad
\psi(ab) =\theta(a)b + a\theta(b),
$$
откуда следует, что $\theta\in \operatorname{Der}{\Cal  A}$,  и $\theta =
\psi$, так как ${\Cal  A}^2={\Cal  A}$.

Из свойств дифференцирования получаем следующие равенства:
$$
\align
D(\overline{a}\circ \overline{b}) &=
D(\overline{a})\circ \overline{b} +
\overline{a}\circ D(\overline{b}) =
\overline{\psi(a)}\circ \overline{b} + \overline{a}\circ \overline{\psi(b)} =
\overline{\psi(a)d(b)} + \overline{ad(\psi(b))},
\\
D(\overline{a}\circ \overline{b}) &=
D(\overline{ad(b)}) = \overline{\psi(ad(b))},
\endalign
$$
сравнивая которые, выводим
$$
ad(\psi(b)) + \psi(a)d(b) = \psi(ad(b)).
$$
Так как $\psi\in\operatorname{Der}{\Cal  A}$, то
$ad(\psi(b)) = a\psi(d(b))$
и $d\psi = \psi d$. Далее, имеем
$$
\align
D(\overline{b}\circ a) &=
D(\overline{b})\circ a + \overline{b}\circ D(a) =
\psi(b)d(a) + bd(\theta(a)),
\\
D(\overline{b}\circ a) &= D(bd(a)) = \psi(bd(a))
= \psi(b)d(a) + b\psi(d(a)),
\endalign
$$
откуда
$bd(\theta(a)) = b\psi(d(a))$,
что эквивалентно предыдущему соотношению $d\psi = \psi d$.
В~итоге для некоторого $\tau=\theta\in\operatorname{Der}{\Cal  A}$ имеем
$$
D(a) = \tau(a), \quad
D(\overline{a}) = \overline{\tau(a)},
\quad
\tau d= d\tau.
$$

Обратно, легко проверить, что любое дифференцирование $\tau$
 алгебры ${\Cal  A}$, удовлетворяющее условию $d\tau = \tau d$, задает
 дифференцирование $D$ дубля Витта ${\Cal  A}_d$ по правилу
$$
D(a) =\tau(a),
\quad
D(\overline{a}) = \overline{\tau(a)}.
\qed
$$
\enddemo

\specialhead
Обобщенный дубль Витта
\endspecialhead

 Рассмотрим ассоциативную коммутативную алгебру ${\Cal  A}$ с ненулевым
 дифференцированием $d$ над полем $F$.
 Наделим ${\Cal  A}\oplus \overline{{\Cal  A}}$  умножением:
$$
\overline{b}\circ a = bd(a) + \overline{ba},\quad a\circ \overline{b}
= \overline{ab},\quad a\circ b = ab,\quad \overline{a}\circ \overline{b} =
\overline{ad(b)}
$$
 для любых $a,b \in {\Cal  A}$.
Построенная алгебра является левосимметрической,
обозначается через
 $W_d({\Cal  A})$ и
 называется {\it обобщенным дублем Витта\/} алгебры ${\Cal  A}$ [2].
 Алгебра $W_d({\Cal  A})$ проста тогда и только тогда, когда
 ${\Cal  A}$ является $d$-простой~[2].

Опишем все дифференцирования конечномерной простой алгебры
 $W_d({\Cal  A})$  над алгебраически замкнутым полем
 характеристики $p>0$.

Пусть $\alpha\in {\Cal  A}$ и $D\in\operatorname{Der}
 W_d({\Cal  A})$. Как и ранее,
 будем использовать запись $D(\theta, \phi, \chi, \psi)$ для
  дифференцирования $D$ и $\gamma$ для оператора $R_\gamma$.

\proclaim{Lemma 2.1}
Пусть $D$~--- произвольное дифференцирование алгебры
$W_d({\Cal  A})$. Тогда $D=D(\psi\!-\!\alpha, \phi, \gamma, \psi)$
 для некоторых $\psi\in\operatorname{End} {\Cal  A}$,
$\gamma,\alpha=\psi(1)\in {\Cal  A}$  и
 $\phi\in \operatorname{Der}_d{\Cal  A}$;
 при этом $d(\gamma)=0$,
$ 2\gamma + d(\alpha)=0$, $2\phi(a)d(b)=0$ для любых
 $a,b\in {\Cal  A}$ и выполнены соотношения
 \iftex
$$
\align
&\psi(a)d(b) +  ad(\psi(b)) =  \psi(ad(b)) + abd(\alpha) ,
\tag9
\\
&\psi(ab)+ \alpha ab   =  \psi(a)b + \phi(a)d(b) + a\psi(b).
\tag10
\endalign
$$
\else
$$
\psi(a)d(b) +  ad(\psi(b)) =  \psi(ad(b)) + abd(\alpha) ,
\tag9
$$
$$
\psi(ab)+ \alpha ab   =  \psi(a)b + \phi(a)d(b) + a\psi(b).
\tag10
$$
\fi
 Более того, если $\phi=0$ и $\tau=\psi-\alpha$, то данные соотношения
  эквивалентны тому, что $\tau d = d \tau + \alpha d$ и
   $\tau\in\operatorname{Der}{\Cal  A}$.
\endproclaim

\demo{Proof} 
Из определений имеем равенства
$$
\align
D(a\circ b) 
&= D(a)\circ b + a\circ D(b)  =
(\theta(a) + \overline{\phi(a)})\circ b +
 a\circ (\theta(b) + \overline{\phi(b)})
\\
&= \theta(a)b + \phi(a)d(b) + \overline{\phi(a)b} +
a\theta(b) + \overline{a\phi(b)},
\\
D(a\circ b)  &= D(ab) =\theta(ab) + \overline{\phi(ab)},
\endalign
$$
что эквивалентно
$$
\theta(ab) = a\theta(b) + \phi(a)d(b) +  \theta(a)b,
\quad
\phi(ab)  =\phi(a)b + a \phi(b)
                                                                \tag11
$$
для любых $a,b \in {\Cal  A}$. Аналогично получаем
$$
\align
D(\overline{a}\circ b) 
&=
D(\overline{a})\circ b + \overline{a}\circ D(b) =
(\chi(a) + \overline{\psi(a)})\circ b + \overline{a}\circ (\theta(b) +
\overline{\phi(b)})
\\
&= \chi(a)b + \psi(a)d(b) + \overline{\psi(a)b} + ad(\theta(b))
+ \overline{a\theta(b)} + \overline{ad(\phi(b))},
D(\overline{a}\circ b) 
\\
&= D(ad(b) + \overline{ab})
= \theta(ad(b)) + \overline{\phi(ad(b))} +
\chi(ab) + \overline{\psi(ab)},
\endalign
$$
откуда
$$
\aligned
&\chi(a)b + \psi(a)d(b) +  ad(\theta(b)) = \theta(ad(b)) +  \chi(ab),
\\
&\psi(a)b + a\theta(b) +  ad(\phi(b)) = \psi(ab) + \phi(ad(b))
\endaligned
                                                                \tag12
$$
для любых $a,b \in {\Cal  A}$.
 Далее рассмотрим следующие равенства:
$$
\align
D(a\circ \overline{b}) 
&=D(a)\circ \overline{b}
+ a\circ D(\overline{b}) =
(\theta(a) + \overline{\phi(a)})\circ \overline{b} + a\circ (\chi(b) +
\overline{\psi(b)})
\\
&= \overline{\theta(a)b} + \overline{\phi(a)d(b)} +
a\chi(b) + \overline{a\psi(b)},
\\
D(a\circ \overline{b})&=
D(\overline{ab}) = \chi(ab) + \overline{\psi(ab)}.
\endalign
$$
Таким образом,
$$
\psi(ab) = \theta(a)b + \phi(a)d(b) + a\psi(b),
\quad
\chi(ab) =  a\chi(b)
                                                                \tag13
$$
для любых $a,b \in {\Cal  A}$. Полагая
$b=1$, $\psi(1)=\alpha\in {\Cal  A}$,
$\chi(1)=\gamma\in {\Cal  A}$, получаем
$$
\psi(a) = \theta(a) +  \alpha a,\quad  \chi(a) = \gamma a.
$$
Теперь из \Tag(13) следует \Tag(10).
Используя \Tag(13) и \Tag(11), перепишем \Tag(12):
$$
ad(\phi(b)) = 2\phi(a)d(b)+a\phi d(b),
$$
откуда при $a=1$ получаем $d\phi = \phi d$, а потому $2\phi(a)d(b)=0$.
Далее, имеем
$$
\align
D(\overline{a}\circ \overline{b}) &=
D(\overline{a})\circ \overline{b} +
\overline{a}\circ D(\overline{b}) =
(\chi(a) + \overline{\psi(a)})\circ \overline{b}
+ \overline{a}\circ (\chi(b) + \overline{\psi(b)})
\\
&= \overline{\chi(a)b} + \overline{\psi(a)d(b)} + ad(\chi(b))
+ \overline{a\chi(b)} + \overline{ad(\psi(b))},
\\
D(\overline{a}\circ \overline{b}) &=
D(\overline{ad(b)}) = \chi(ad(b)) + \overline{\psi(ad(b))},
\endalign
$$
откуда
$$
\align
&\chi(ad(b)) = ad(\chi(b)),
\\
&\psi(ad(b)) = \chi(a)b + \psi(a)d(b) + a\chi(b) + ad(\psi(b))
\tag14
\endalign
$$
для любых $a,b \in {\Cal  A}$. При $a=b=1$ получаем $d(\gamma)=0$ и
$2\gamma+d(\alpha)=0$.  Теперь \Tag(14) можно переписать в виде
$\psi(ad(b)) = 2\gamma ab + \psi(a)d(b) + ad(\psi(b))$,
 и приходим к \Tag(9).

 Если $\phi=0$, то указанная в лемме эквивалентность легко проверяется. 
  \qed\enddemo

Будем говорить, что  дифференцирование $D$ алгебры
$W_d({\Cal  A})$ {\it индуцируется\/}
 $\alpha$-перестановочным с $d$ дифференцированием
 $\tau$ алгебры ${\Cal  A}$,
 если для  произвольного $a\in {\Cal  A}$ выполняются следующие равенства:
$$
D(a)=\tau(a), \quad
  D(\overline{a}) = \gamma a+ \overline{(\tau+ \alpha)(a)}
$$
 для некоторых $\alpha,\gamma\in{\Cal  A}$ таких, что
  $d(\gamma)=0$, $2\gamma + d(\alpha)=0$.

\proclaim{Theorem 2.2}
Если  $F$~--- алгебраически замкнутое поле,
 то всякое дифференцирование конечномерной простой
 алгебры $W_d({\Cal  A})$  индуцируется $\alpha$-перестановочным с $d$
 дифференцированием $\tau$ алгебры ${\Cal  A}$.
\endproclaim

\demo{Proof} 
Пусть $D$ ---
 дифференцирование  алгебры $W_d({\Cal  A})$.
 Сначала рассмотрим случай, когда характеристика поля
 $F$ не равна $2$. В~этом случае  из
 \Par*{Lemma~2.1} следует равенство $\phi(a)d(b) = 0$. Рассмотрим
   $\operatorname{Ann}_l\, d({\Cal  A})$. Как и в \Par*{Theorem~2.1},
   $\operatorname{Ann}_l\,d({\Cal  A})\trianglelefteq_d{\Cal  A}$,
 откуда $\phi = 0$. По \Par*{Lemma~2.1} $\tau = \psi - \alpha\in\operatorname{Der}
 \,{\Cal  A}$,
 $\tau d = d \tau+ \alpha d$,
 $D = D(\tau, 0,\gamma, \tau + \alpha)$.

Теперь рассмотрим случай, когда характеристика поля
 $F$  равна $2$.   В~этом случае
$D=D(\tau, \phi, \gamma, \tau+\alpha)$ по \Par*{Lemma~2.1}.
 Из \Tag(10) и коммутативности ${\Cal  A}$
 следует, что $\phi(a)d(b) = \phi(b)d(a)$.
   Так как в $\operatorname{Im} d$ лежат обратимые
 элементы, то найдется такой $b$, что $d(b)$ обратим, откуда
$$
\phi(a) = d(b)^{-1}\phi(b)d(a),
$$
и $\phi=cd$ для некоторого $c\in {\Cal  A}$.
 Поскольку $\phi\in \operatorname{Der}_d({\Cal  A})$ по \Par*{Lemma~2.1},
 то $c=\beta\in F$.
  Так как характеристика поля равна $2$, то     \Tag(9) можно переписать в виде
$$
\psi(ad(b)) = \psi(a)d(b) + ad(\psi(b)).
$$
Рассматривая \Tag(10), заменяя  $b$ на $d(b)$ и используя равенство
$\phi = \beta d$, последовательно получаем
$$
\align
&\psi(ad(b)) + \alpha ad(b) = \psi(a)d(b) + \phi(a)d^2(b) + a\psi(d(b)),
\\
&\psi(a)d(b) + ad(\psi(b)) + \alpha ad(b) =
\psi(a)d(b) + \beta d(a)d^2(b) + a\psi(d(b)),
\\
&ad(\psi(b)) + \alpha ad(b) + a\psi(d(b)) = \beta d(a)d^2(b).
\endalign
$$
Полагая   $a = 1$ в  \Tag(9)
 и подставляя полученное выражение в последнее равенство, выводим
$\beta d(a)d^2(b) = 0$. Так как $d({\Cal  A})$ содержит обратимые элементы,
 то  $\beta d^2({\Cal  A}) = 0$.

Если $d^2({\Cal  A})\neq 0$, то $\beta=0$ и $\phi=0$.
Если $d^2({\Cal  A}) = 0$,
то  ${\Cal  A} = F_2[x]$ и $d=\xi\partial$ для некоторого
 $\xi\in F^*$.
 В~этом случае,   полагая $a = b = x$ в  \Tag(10),
 выводим $\phi=0$.

 Таким образом, по \Par*{Lemma~2.1} получаем
 $$
\tau = \psi - \alpha\in\operatorname{Der}{\Cal  A},
\quad
 \tau d = d \tau+ \alpha d,\ \alpha\in F,
\quad
 D = D(\tau, 0,\gamma, \tau + \alpha).
$$

Обратно, легко проверяется, что
 $D = D(\tau, 0,\gamma, \tau + \alpha)\in\operatorname{Der} W_d({\Cal  A})$
 при $d(\gamma)=0$, $2\gamma + d(\alpha)=0$.
\qed\enddemo

\Refs

\ref\no 1
\by                Mizuhara~A.
\paper             On simple left symmetric algebras over a solvable Lie algebra
\jour              Sci. Math. Jpn.
\yr                2003
\vol               57
\issue             2
\pages             325--337
\endref

\ref\no 2
\by                Pozhidaev~A.P.
\paper             On a generalized Mizuhara construction
\jour              Sib.  Math.~J.
\yr                2024
\vol               65
\issue             3
\pages             599--610
\endref

\ref\no 3
\by           Pozhidaev~A.P.
\paper        On endomorphs of right-symmetric algebras
\jour         Sib.  Math.~J.
\yr           2020
\vol          61
\issue        5
\pages        859--866
\endref

\ref\no 4
\by                Pozhidaev~A.P.
\paper             On Mizuhara's construction for endomorphs
\jour              Sib. Electr. Math. Reports
\yr                2024
\vol               21
\issue             1
\pages             41--54
\endref

\ref\no 5
\by                Pozhidaev~A.P.
\paper             Automorphism groups of pre-Lie Witt doubles
\jour              Sib.  Math.~J.
\yr                2024
\vol               65
\issue             6
\pages             1376--1389
\endref

\ref\no 6
\by                Gelfand~I.M. and Dorfman~I.Ya.
\paper             Hamiltonian operators and algebraic structures related to them
\jour              Funct. Anal. Appl.
\yr                1979
\vol               13
\issue             4
\pages             248--262	
\endref

\ref\no 7
\by                Xu~X.
 \paper            Novikov--Poisson algebras
 \jour             J.~Algebra
 \yr               1997
\vol               190
 \issue            2
\pages             253--279
\endref	

\ref\no 8
\by                 Zhelyabin~V.N. and Zakharov~A.S.
\paper              On finite-dimensional simple Novikov  algebras of characteristic~$p$
\jour               Sib. Math.~J.
\yr                 2024
\vol                65
\issue              3
\pages              680--687
\endref
%English

\ref\no 9
\by                 Zelmanov~E.
\paper              On a~class of local translation invariant Lie algebras
\jour               Soviet Math. Dokl.
\yr                 1987
\vol                35
%\issue              6
\pages              216--218 
\endref

\ref\no 10
\by                  Xu X.
\paper               Classification of simple Novikov algebras and their irreducible modules of characteristic~0
\jour                J.~Algebra
\yr                  2001
\vol                 246
\issue               2
\pages               673--707
\endref

\ref\no 11
\by                  Pozhidaev~A. and Zhelyabin~V.
\paper               On simple and semisimple finite-dimensional Novikov algebras and their automorphisms
\jour                J.~Algebra
\yr                  2026
\vol                 698
%\issue              -
\pages               1--26
\endref

\ref\no 12
\by                Harper~L.R.,~Jr.
\By                Harper \Initials LR \Suffix Jr.
\paper             On differentiably simple algebras
\jour              Trans. Amer. Math. Sci.
\yr                1961
\vol               100
\issue             1
\pages             63--72
\endref
\endRefs

\enddocument