\documentstyle{SibMatJ} % \TestXML \Rus \topmatter \Author Volkov \Initial Yu. \Initial S. \ORCID 0000-0002-7298-8578 \Email volkov\@math.nsc.ru \AffilRef 1 \Corresponding \endAuthor \Author Zhanlav \Initial T. \Sign Tugal Zhanlav \ORCID 0000-0003-0743-5587 \Email tzhanlav\@yahoo.com \AffilRef 2 \endAuthor \Author Mijiddorj \Initial R.-O. \Sign Renchin-Ochir Mijiddorj \ORCID 0000-0002-4845-9019 \Email mijiddorj\@msue.edu.mn \AffilRef 3 \endAuthor \Affil 1 \Organization Sobolev Institute of Mathematics \City Novosibirsk \Country Russia \endAffil \Affil 2 \Division Institute of Mathematics and Digital Technology \Organization Mongolian Academy of Sciences \City Ulaanbaatar \Country Mongolia \endAffil \Affil 3 \Organization Mongolian National University of Education \City Ulaanbaatar \Country Mongolia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted November 25, 2025\enddatesubmitted \daterevised April 1, 2026\enddaterevised \dateaccepted April 5, 2026\enddateaccepted \UDclass 517.518.85 \endUDclass \thanks Работа первого автора выполнена в рамках государственного задания ИМ~СО~РАН (проект FWNF--2026--0005). %The work of the first author was carried out in the framework of the State Task to the Sobolev Institute of Mathematics %(project FWNF--2026--0005). \endthanks \title Формулы квазиинтерполяции интегральными квадратическими сплайнами %Formulas for Quasi-Interpolation by Integro Quadratic Splines \endtitle \abstract Рассматривается задача приближения функции по известным интегрально усредненным по промежуткам сетки значениям интегральными квадратическими сплайнами. Показано, что если решается задача интерполяции в среднем, то интегральный квадратический сплайн можно определять через интерполяционный кубический сплайн. Поскольку интерполяционный кубический сплайн достаточно хорошо изучен, то некоторые его свойства можно перенести на интегральный квадратический сплайн. Предложены формулы квазиинтерполяции интегральными квадратическими сплайнами. Задача локальной аппроксимации интегральными сплайнами впервые рассмотрена на произвольной неравномерной сетке. На равномерной сетке найдены все точки суперсходимости при интерполяции и квазиинтерполяции в среднем, т.~е. точки, в которых повышается порядок приближения. Показано, что скачок (отношение величины разрыва к величине шага сетки) второй производной обоих сплайнов приближает третью производную с четвертым порядком. %The problem of approximation of a function using known integrally averaged %values by an integro quadratic spline is considered. It is shown that if %the problem is interpolation in the mean, then the integro quadratic spline %can be defined via the interpolating cubic spline. Since the interpolating %cubic spline has been studied quite well, some of its properties can be %transferred to the integro quadratic spline. Formulas for quasi-interpolation %by integro quadratic splines are proposed. The problem of local approximation %by integro splines is considered for the first time on an arbitrary non-uniform %grid. On an uniform grid, all superconvergence points (i.e. points at with %the higher order of approximation) for interpolation and quasi-interpolation %in the mean are found. It is shown that the jump %(the ratio of the discontinuity to the grid space) of the second derivative %of both splines approximates the third derivative with the fourth order. \endabstract \keywords интегральный квадратический сплайн, интерполяция в среднем, кубический сплайн, оценки погрешности приближения, точки суперсходимости, локальная аппроксимация %integro quadratic spline, %interpolation in the mean, %cubic spline, %approximation error estimates, %superconvergence points, %local approximation \endkeywords \endtopmatter \input epsf \input gutable \head Введение \endhead В прикладных задачах, связанных с приближением функций, иногда вместо значений функции в узлах сетки известны лишь интегрально усредненные по промежутку значения или интегралы приближаемой функции (см., например,~[1,\,2]). В настоящее время для решения таких задач активно применяются сплайны. Первое применение сплайнов для подобных задач, по-видимому, было в 1972~г. для приближения гистограмм. Ш\"енберг [3] для восстановления исходной функции по известным гистограммам вместо условий интерполяции использовал условия совпадения гистограмм сплайна и приближаемой функции, что объясняет предложенный им термин {\it гистосплайны\/} для получившихся сплайнов. Позднее Ю.Н.~Субботин рассмотрел задачу интерполяции интегрально усредненных значений и назвал эту задачу {\it интерполяцией в среднем\/} [4]. В последнее время сплайны, применяемые для приближения функций по заданным интегралам или интегрально усредненным значениям, стали называть {\it интегральными}. Такое название было предложено в работе [5], которая послужила толчком для изучения интегральных сплайнов, так как в этой работе было замечено, что на равномерной сетке кубический сплайн можно построить довольно просто путем решения трехдиагональной системы уравнений. Но про общий случай известно, что уже для кубических сплайнов задача интерполяции в среднем довольно сложна [6]. На произвольной неравномерной сетке достаточно подробно изучались из интегральных сплайнов лишь квадратические. В работе [7] установлены порядки приближения такими сплайнами в задаче интерполяции в среднем, в [8] найдены условия, обеспечивающие наследование свойств неотрицательности, монотонности и выпуклости при интерполяции в среднем. Вопрос выбора краевых условий рассмотрен в работе [9]. Отметим, что в работах [10,\,11] для случая равномерной сетки исследованы точки суперсходимости и найдены точные оценки погрешности интерполяции в среднем. В классических задачах приближения функций наряду с интерполяцией широко используются и показали свою эффективность методы локальной аппроксимации и квазиинтерполяции. Для построения сплайнов, решающих задачу аппроксимации функций, уже не требуется решать системы линейных уравнений. Получаемые локальные сплайны могут приближать требуемую функцию с теми же порядками, что и интерполяционные, поэтому в этом случае их и называют {\it квазиинтерполяционными}. Локальные методы приближения стали применяться и для интегральных сплайнов: для кубических сплайнов такие методы начали изучаться в работах [12--14], для сплайнов более высоких степеней~--- в [15,\,16]. Монография [17] посвящена задачам аппроксимации интегральными сплайнами. Однако все такие работы по локальным интегральным сплайнам рассматривались только на равномерных сетках. В данной работе мы показываем, что интерполяционный в среднем интегральный квадратический сплайн неразрывно связан с классическим интерполяционным кубическим сплайном, что позволяет перенести некоторые известные результаты о свойствах интерполяционных кубических сплайнов на интегральные квадратические сплайны. В частности, мы выписываем оценки погрешности интерполяции в среднем интегральными квадратическими сплайнами для произвольной неравномерной сетки. Ранее были известны только результаты о порядках приближения [7]. Впервые рассмотрена задача построения локального интегрального сплайна на произвольной неравномерной сетке. С помощью формул локальной аппроксимации для кубических сплайнов [18] мы выводим формулы локальной аппроксимации для интегральных квадратических сплайнов. Установлены оценки погрешности приближения полученным локальным интегральным квадратическим сплайном. Эти формулы являются формулами квазиинтерполяции и имеют наивысший третий порядок приближения, как и при интерполяции в среднем. \head 1. Интерполяция в~среднем \endhead Пусть на отрезке $[a,b]$ числовой прямой на сетке $$ \Delta: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b $$ известны усредненные по интервалам сетки $\Delta$ значения некоторой функции $y(x)$: $$ Y_i=\frac{1}{h_i}\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} y(x)\,dx, \quad i=0,1,\dots,n-1, $$ где $h_i=x_{i+1}-x_i$, $i=0,\dots,n-1$. Требуется приблизить функцию $y(x)$ на отрезке $[a,b]$ интегральным квадратическим сплайном. Интерполяционный в среднем интегральный квадратический сплайн $S(x)$ является сплайном второй степени с узлами на сетке $\Delta$ гладкости $C^1[a,b]$ и удовлетворяет условиям $$ \frac{1}{h_i}\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} S(x)\,dx=Y_i, \quad i=0,1,\dots,n-1. \eqno(1) $$ Для однозначного определения сплайна $S(x)$ требуются дополнительные условия, которые мы возьмем в виде обычных условий интерполяции на концах отрезка: $$ S(a)=y(a), \quad S(b)=y(b). \eqno(2) $$ Если краевые значения приближаемой функции неизвестны, то можно получить приближение этих значений с требуемым порядком точности путем комбинации нескольких крайних значений. Например, если $Y_0$ приближает значение $y(a)$ с первым порядком, то, как нетрудно установить, выражение $$ \frac{2h_0+h_1}{h_0+h_1}Y_0-\frac{h_0}{h_0+h_1}Y_1 $$ приближает $y(a)$ уже со вторым порядком. В работе [10] получено выражение $$ \frac{1}{12}(25Y_0-23Y_1+13Y_2-3Y_3), $$ которое на равномерной сетке приближает $y(a)$ с четвертым порядком. Рассмотрим кубический сплайн $s(x)$ с узлами на этой же сетке $\Delta$, производная которого будет совпадать с интегральным квадратическим сплайном $S(x)$, т.~е. $s'(x)=S(x)$. Ясно, что такой сплайн $s(x)$ определяется по $S(x)$ с точностью до константы. Если кубический сплайн $s(x)$ интерполирует некоторую функцию $f(x)$, т.~е. $$ s(x_i)=f_i, \quad i=0,\dots,n, $$ где $f_i=f(x_i)$, с краевыми условиями $s'(a)=f'(a)$ и $s'(b)=f'(b)$, то в соответствии с \Tag(1) имеем $$ \frac{1}{h_i}\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} S(x)\,dx= \frac{1}{h_i}\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} s'(x)\,dx= \frac{s(x_{i+1})-s(x_i)}{h_i}=\frac{f_{i+1}-f_i}{h_i}=Y_i $$ при $i=0,\dots,n-1$. Более того, можно считать, что выполняется условие $f'(x)=y(x)$. Установленная связь между интерполяционным в среднем интегральным квадратическим сплайном и интерполяционным кубическим сплайном позволяет многие известные результаты для кубических сплайнов перенести на интегральные квадратические сплайны. Например, для интерполяционных кубических сплайнов разработаны эффективные методы построения (см. [19--23]). В этом случае погрешность приближения функции $y(x)$ интегральным квадратическим сплайном $S(x)$ можно выразить через погрешность интерполяции функции $f(x)$ кубическим сплайном $s(x)$, а именно $$ S^{(r)}(x)-y^{(r)}(x)=s^{(r+1)}(x)-f^{(r+1)}(x), \quad r=0,1,2. \eqno(3) $$ Поскольку оценки погрешности приближения интерполяционным кубическим сплайном хорошо известны, то сразу можно выписать оценки интерполяции в среднем интегральным квадратическим сплайном. \proclaim{Theorem 1} Если интегральный квадратический сплайн $S(x)$ интерполирует в среднем с краевыми условиями \Tag(2) функцию $y(x)\in C^3[a,b]$, то $$ \|S^{(r)}-y^{(r)}\|_\infty\le K_r \overline{h}^{3-r}\|y^{(3-r)}\|_\infty, \quad r=0,1,2, $$ где $$ K_0=\frac{1}{24}, \quad K_1=\frac{1}{6}, \quad K_2=\frac{1}{2}\Bigl(B+\frac{1}{B}\Bigr), $$ причем константа $K_0$ неулучшаема. Здесь $$ \overline{h}=\max_{0\le i\le n-1}h_i, \quad B=\max_{0\le i\le n-1}\frac{\overline{h}}{h_i}. $$ \endproclaim \demo{Proof} Доказательство следует из оценок для кубических сплайнов с учетом равенства \Tag(3). Для $r=0$ доказательство можно найти в [24], там же установлена неулучшаемость константы $K_0$. Оценка с константой $K_1$ установлена в [25], и, наконец, оценка для $r=2$ приведена в [21]. Константа $K_1$, по-видимому, не является точной, для случая равномерной сетки имеются точные константы $K_1$ и $K_2$ (см. [11,\,26]). \enddemo Заметим, что ранее оценки погрешности интерполяции в среднем для интегральных квадратических сплайнов в случае произвольной неравномерной сетки установлены были лишь по порядку [7] только для $r=0$. Точные константы в оценках известны лишь для равномерной сетки [11]. Также в работе~[7] найдено, что на равномерной сетке интегральный квадратический сплайн в узлах приближает значения исходной функции с более высоким порядком. А~в работе~[10] найдены еще точки суперсходимости (середины интервалов) для сплайнов и вторых производных. Для равномерной сетки и периодических краевых условий продемонстрировано [11], что эти и ряд дополнительных результатов для интегральных квадратических сплайнов могут непосредственно быть получены из известных свойств кубических сплайнов. Конечно же теорема 2 из~[11] справедлива и для случая краевых условий \Tag(2). Сформулируем теорему, которая следует из [21, Theorem~3.8] с учетом равенства \Tag(3). \proclaim{Theorem 2} Если интегральный квадратический сплайн $S(x)$ на равномерной сетке с шагом $h$ интерполирует в среднем с краевыми условиями \Tag(2) функцию $y(x)\in C^4[a,b]$, то при $x\in[x_i,x_{i+1}]$ $$ S^{(r)}(x)=y^{(r)}(x)-\varphi^{(r+1)}(t)h^{3-r}y'''(x)+O(h^{4-r}), \quad r=0,1,2, $$ где $$ \varphi(t)=\frac{1}{24}t^2(1-t)^2, \quad t=\frac{x-x_i}{h}. $$ \endproclaim Из \Par*{Theorem 2} следуют результаты о повышении порядка аппроксимации производных в некоторых точках промежутка $[a,b]$. Действительно, так как $$ \varphi'(t)=\frac{1}{12}t(1-t)(1-2t), \quad \varphi''(t)=\frac{1}{12}(1-6t+6t^2), \quad \varphi'''(t)=t-\frac{1}{2}, $$ то \iftex $$ \alignat2 & S(x) =y(x)+O(h^4), &\quad&\text{если } x=x_i, \ x=x_i+\frac{h}{2}, \tag4 \\ & S'(x) =y'(x)+O(h^3), &\quad&\text{если } x=x_i+\Bigl(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\Bigr)h, \tag5 \\ & S''(x) =y''(x)+O(h^2), &\quad&\text{если } x=x_i+\frac{h}{2}. \tag6 \endalignat $$ \else $$ S(x) =y(x)+O(h^4), \quad\text{если } x=x_i, \ x=x_i+\frac{h}{2}, \tag4 $$ $$ S'(x) =y'(x)+O(h^3), \quad\text{если } x=x_i+\bigg(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\bigg)h, \tag5 $$ $$ S''(x) =y''(x)+O(h^2), \quad\text{если } x=x_i+\frac{h}{2}. \tag6 $$ \fi Таким образом, дополнительно к точкам суперсходимости \Tag(4) и \Tag(6), найденным %найденым в [10], как и в [11], есть еще по две точки суперсходимости \Tag(5) на каждом интервале для производной интерполяционного в среднем интегрального квадратического сплайна. Для периодического случая в [11] приведен еще один неожиданный результат (\Par*{Theorem 3}), который также справедлив и для случая краевых условий \Tag(2), он следует из равенства \Tag(3) и из свойств интерполяционного кубического сплайна (см. [27]). \proclaim{Theorem 3} Если интегральный квадратический сплайн $S(x)$ на равномерной сетке с шагом $h$ интерполирует в среднем с краевыми условиями \Tag(2) функцию $y(x)\in C^7[a,b]$, то $$ \frac{S''(x_i+0)-S''(x_i-0)}{h}=y'''(x_i)+O(h^4), \quad i=1,\dots,n-1. $$ \endproclaim Отметим, что скачок (отношение величины разрыва к величине шага сетки) второй производной приближает третью производную интерполируемой в среднем функции и на некоторых неравномерных сетках (см.~[28]). \head 2. Методы локальной аппроксимации \endhead В некоторых задачах наиболее удобным оказывается представление сплайнов в базисе B-сплайнов. Расширим сетку $\Delta$ кратными дополнительными узлами $x_{-1}$, $x_{-2}$, $x_{-3}$ и $x_{n+1}$, $x_{n+2}$, $x_{n+3}$ так, что $$ x_{-3}=x_{-2}=x_{-1}=x_0, \quad x_n=x_{n+1}=x_{n+2}=x_{n+3}. $$ Тогда $$ h_{-3}=h_{-2}=h_{-1}=0, \quad h_{n}=h_{n+1}=h_{n+2}=0. $$ Представим квадратический сплайн $S(x)$ в виде разложения $$ S(x)=\sum_{k=-2}^{n-1}\beta_kN_{k,3}(x) \eqno(7) $$ по базису из B-сплайнов второй степени $N_{i,3}(x)$, $i=-2,\dots,n-1$. Здесь и ниже $N_{i,r}(x)$~--- нормализованные B-сплайны степени $r-1$ (или порядка $r$) с носителями $[x_i,x_{i+r}]$ (см. [20,\,21,\,29]). Как мы уже отмечали, если $S(x)$~--- интерполирующий в среднем функцию $y(x)$ интегральный квадратический сплайн, то он является производной кубического сплайна $s(x)$, интерполирующего некоторую функцию $f(x)$, производная которой совпадает с $y(x)$. Если кубический сплайн $s(x)$ также представлен в виде разложения $$ s(x)=\sum_{k=-3}^{n-1}\alpha_kN_{k,4}(x) \eqno(8) $$ по базису из B-сплайнов, но уже третьей степени $N_{i,4}(x)$, $i=-3,\dots,n-1$, то имеют место равенства $$ \beta_i=\frac{3}{x_{i+3}-x_i}(\alpha_i-\alpha_{i-1}), \quad i=-2,\dots,n-1. $$ Методы построения интерполяционных кубических сплайнов, т.~е. нахождения коэффициентов разложения $\alpha_{-3},\dots,\alpha_{n-1}$, хорошо известны. Эти коэффициенты находятся из трехдиагональной системы линейных уравнений (см. [30,\,31]). Система уравнений для определяемых параметров $\beta_{-2},\dots,\beta_{n-1}$ приведена в [8,\,9] и имеет вид $$ \cases \beta_{-2}=y(a),\\ {\lambda_{i}}\beta_{i-2}+ ({1+\mu_{i}+\lambda_{i+1}})\beta_{i-1}+{\mu_{i+1}}\beta_{i}=3Y_{i}, \quad i=0,\dots,n-1,\\ \beta_{n-1}=y(b), \endcases \eqno(9) $$ здесь используется обозначение $\lambda_i=h_i/(h_{i-1}+h_i)$, $\mu_i=1-\lambda_i$, причем $\lambda_0=1$, $\mu_0=0$, $\lambda_n=0$, $\mu_n=1$. Распространен и в некоторых задачах приближения функций очень эффективен подход, состоящий в том, что кубический сплайн, приближающий функцию, находится не из условий интерполяции, а задается явно, т.~е. коэффициенты разложения \Tag(8) находятся не в результате решения системы линейных уравнений, а задаются явными формулами так, чтобы получить приемлемое качество приближения по точности или другим характеристикам. Это так называемые {\it методы локальной аппроксимации}, а если получается приближение с тем порядком, что и при интерполяции, то используется термин {\it квазиинтерполяция}. Коэффициенты $\alpha_j$ интерполяционного сплайна \Tag(8) близки интерполируемым значениям, поэтому простейшим локальным методом приближения является такой, когда коэффициенты разложения $\alpha_j$ не находятся из системы уравнений \Tag(9), задаются в явном виде $\alpha_{i-2}=f_i$, $i=0,\dots,n$ (два крайних коэффициента задаются из каких-либо дополнительных условий). В этом случае получаемый сплайн уже будет проходить не через заданные значения функции, а вблизи их. Такой кубический сплайн приближает исходную функцию $f(x)$ с первым порядком, а на равномерной сетке --- со вторым. Аналогичные простейшие формулы можно получить и для интегральных сплайнов. Если положим $$ \cases {\beta}_{-2} = y(a),\\ {\beta}_{i-1} = Y_i, \qquad i=0,\dots,n-1,\\ {\beta}_{n-1} = y(b), \endcases $$ то интегральный сплайн \Tag(7) приближает искомую функцию $y(x)$ также с первым порядком. Здесь мы также считаем, что известны значения $y(a)$ и $y(b)$ и используем их для задания крайних коэффициентов. Первый порядок приближения следует из того, что интегрально усредненные значения $Y_j$ с первым порядком приближают значения $y(x_j)$. Можно показать, что на равномерной сетке с шагом $h$ такой локальный интегральный сплайн будет приближать с порядком $O(h^2)$. Формулы локальной аппроксимации кубическим сплайном (или квазиинтерполяции), точные на многочленах третьей степени, приведены в [21, с.~250]. В работе [18] установлены оценки погрешности приближения таким локальным кубическим сплайном, этот кубический сплайн приближает исходную функцию $f(x)$ с порядком $O(\overline{h}{}^4)$, т.~е. является квазиинтерполяционным. Для интегрального квадратического сплайна формулы локальной аппроксимации максимального третьего порядка точности известны лишь для случая равномерной сетки~[32,\,33]. Наша задача~--- получить формулы квазиинтерполяции для интегрального квадратического сплайна в случае произвольной неравномерной сетки. В работе [18] рассмотрен локальный кубический сплайн $$ \widehat{s}(x)=\sum_{k=-3}^{n-1}\widehat{\alpha}_kN_{k,4}(x), \eqno(10) $$ где коэффициенты $\widehat{\alpha}_i$ определяются формулами $$ \aligned \widehat{\alpha}_{-3} &= f_0, \\ \widehat{\alpha}_{-2} &= f_0+\frac{h_0}{3}f'_0, \\ \widehat{\alpha}_{i-2} &= f_i+ \frac{\lambda_ih_i}{3}\frac{f_i-f_{i-1}}{h_{i-1}}- \frac{\mu_ih_{i-1}}{3}\frac{f_{i+1}-f_i}{h_i}, \quad i=1,\dots,n-1, \\ \widehat{\alpha}_{n-2} &= f_n-\frac{h_{n-1}}{3}f'_n, \\ \widehat{\alpha}_{n-1} &= f_n. \endaligned \tag11 $$ В формулах \Tag(11) коэффициенты у концов промежутка содержат значения $f'_0$ и $f'_n$ производных приближаемой функции, как отмечается в [18], вместо этих значений можно использовать их приближенные значения, вычисляемые путем дифференцирования интерполяционных многочленов Лагранжа, интерполирующих соответственно значения $f_0$, $f_1$, $f_2$, $f_3$ и $f_{n-3}$, $f_{n-2}$, $f_{n-1}$, $f_n$. Рассмотрим интегральный квадратический сплайн $$ \widehat{S}(x)=\sum_{k=-2}^{n-1}\widehat{\beta}_kN_{k,3}(x), \eqno(12) $$ связанный с кубическим сплайном \Tag(10), а именно $\widehat{S}(x)=\widehat{s}'(x)$, и приближающий интегрально усредненные значения функции $y(x)=f'(x)$. Тогда коэффициенты в представлении \Tag(12) будем определять по формулам $$ \widehat{\beta}_i=\frac{3}{x_{i+3}-x_i} (\widehat{\alpha}_i-\widehat{\alpha}_{i-1}), \quad i=-2,\dots,n-1, $$ подставив в которые выражения \Tag(11), получим $$ \aligned \widehat{\beta}_{-2} &= y(a), \\ \widehat{\beta}_{-1} &= \big(1+\mu_1+\mu_1^2\big)Y_0-\mu_1^2Y_1-\mu_1y(a), \\ \widehat{\beta}_{i-1} &= \frac{-\lambda_{i}h_iY_{i-1}+ (\mu_ih_{i-1}+3h_i+\lambda_{i+1} h_{i+1})Y_i- \mu_{i+1}h_iY_{i+1}}{h_{i-1}+h_i+h_{i+1}}, \quad i=1,\dots,n-2, \\ \widehat{\beta}_{n-2} &= \big(1+\lambda_{n-1}+\lambda_{n-1}^2\big)Y_{n-1}- \lambda_{n-1}^2Y_{n-2}-\lambda_{n-1}y(b), \\ \widehat{\beta}_{n-1} &= y(b). \endaligned \tag13 $$ Ясно, что для сплайнов $\widehat{s}(x)$ и $\widehat{S}(x)$ выполняются равенства $$ \widehat{S}^{(r)}(x)-y^{(r)}(x)=\widehat{s}^{(r+1)}(x)-f^{(r+1)}(x), \quad r=0,1,2. \eqno(14) $$ Тогда результаты об оценках погрешности приближения для кубического сплайна $\widehat{s}(x)$, установленные в [18, Theorem 2], мы можем переформулировать для интегрального квадратического сплайна $\widehat{S}(x)$. \proclaim{Theorem 4} Если коэффициенты интегрального квадратического сплайна~\Tag(12) определяются формулами \Tag(13) и $y(x)\in C^3[a,b]$, то $$ \|\widehat{S}^{(r)}-y^{(r)}\|_\infty\le \widehat{K}_r \overline{h}^{3-r}\|y^{(3-r)}\|_\infty, \quad r=0,1,2, $$ где $$ \widehat{K}_0=\frac{13}{48}, \quad \widehat{K}_1=\frac{1}{3}, \quad \widehat{K}_2=\frac{1}{12}\max\Bigl(11,5B+\frac{6}{B}\Bigr). $$ \endproclaim \Par*{Theorem 4} показывает, что интегральный квадратический сплайн \Tag(12), коэффициенты которого задаются формулами \Tag(13), является квазиинтерполяционным, он приближает исходную функцию с тем же порядком, что и интерполяционный в среднем. Если значения приближаемой функции неизвестны, то, как отмечалось выше, их можно задать приближенно через заданные интегрально усредненные значения. Например, выражение $$ \frac{11}{6}Y_0-\frac{7}{6}Y_1+\frac{1}{3}Y_2 \eqno(15) $$ на равномерной сетке приближает значение $y(a)$ с третьим порядком. Подставим это выражение в \Tag(13) вместо $y(a)$ и аналогичное выражение $$ \frac{1}{3}Y_{n-3}-\frac{7}{6}Y_{n-2}+\frac{11}{6}Y_{n-1} \eqno(16) $$ также в \Tag(13) вместо $y(b)$, тогда коэффициенты разложения по B-сплайнам $$ \widetilde{S}(x)=\sum_{k=-2}^{n-1}\widetilde{\beta}_kN_{k,3}(x) \eqno(17) $$ будут иметь вид $$ \aligned \widetilde{\beta}_{-2} &= \frac{11}{6}Y_0- \frac{7}{6}Y_1+\frac{1}{3}Y_2, \\ \widetilde{\beta}_{-1} &= \frac{5}{6}Y_0+\frac{1}{3}Y_1- \frac{1}{6}Y_2, \\ \widetilde{\beta}_{i-1} &= -\frac{1}{6}Y_{i-1}+\frac{4}{3}Y_i- \frac{1}{6}Y_{i+1}, \quad i=1,\dots,n-2, \\ \widetilde{\beta}_{n-2} &= -\frac{1}{6}Y_{n-3}+\frac{1}{3}Y_{n- 2}+\frac{5}{6}Y_{n-1}, \\ \widetilde{\beta}_{n-1} &= \frac{1}{3}Y_{n-3}-\frac{7}{6}Y_{n- 2}+\frac{11}{6}Y_{n-1}. \endaligned \tag18 $$ Для равномерной сетки интегральный сплайн \Tag(17) отличается от \Tag(12) только тем, что на левом конце отрезка $[a,b]$ изменяются коэффициенты $\widetilde{\beta}_{-2}$, $\widetilde{\beta}_{-1}$, так как значение $y(a)$ заменено выражением \Tag(15), а на правом конце --- изменяются коэффициенты %коэффициеты $\widetilde{\beta}_{n-2}$, $\widetilde{\beta}_{n-1}$, так как значение $y(b)$ заменено соответствующим аналогичным выражением \Tag(16). Отметим, что для равномерной сетки формулы \Tag(18) выписаны в работах [32,\,33] и там же установлен третий порядок приближения интегральным квадратическим сплайном, исследований на произвольной неравномерной сетке ранее не проводилось. Также в этих работах указано, что в узлах и серединах интервалов (точки суперсходимости) порядок приближения четвертый. %чевертый. Но опять же эти результаты и ряд дополнительных непосредственно следуют из известных свойств кубических сплайнов. Сформулируем теорему, которая с учетом равенства $$ \widetilde{S}^{(r)}(x)-y^{(r)}(x)=\widetilde{s}^{(r+1)}(x)-f^{(r+1)}(x), \quad r=0,1,2, $$ следует из [34, Theorem~5]. \proclaim{Theorem 5} Если коэффициенты интегрального квадратического сплайна~\Tag(17) на равномерной сетке с шагом $h$ определяются формулами \Tag(18) и $y(x)\in C^4[a,b]$, то при $x\in[x_i,x_{i+1}]$, $i=2,\dots,n-3$, $$ \widetilde{S}^{(r)}(x)=y^{(r)}(x)-\psi^{(r+1)}(t)h^{3-r}y'''(x)+O(h^{4-r}), \quad r=0,1,2, $$ где $$ \psi(t)=\frac{1}{24}t^2(1-t)^2+\frac{1}{36}, \quad t=\frac{x-x_i}{h}. $$ \endproclaim Из \Par*{Theorem 5} следуют результаты о повышении порядка аппроксимации производных в некоторых точках промежутка $[a,b]$. Действительно, так как $$ \psi'(t)=\frac{1}{12}t(1-t)(1-2t), \quad \psi''(t)=\frac{1}{12}(1-6t+6t^2), \quad \psi'''(t)=t-\frac{1}{2}, $$ то \iftex $$ \alignat2 & \widetilde{S}(x) =y(x)+O(h^4), &\quad&\text{если } x=x_i, \ x=x_i+\frac{h}{2}, \tag19 \\ &\widetilde{S}'(x) =y'(x)+O(h^3), &\quad&\text{если } x=x_i+\Bigl(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\Bigr)h, \tag20 \\ & \widetilde{S}''(x) =y''(x)+O(h^2), &\quad&\text{если } x=x_i+\frac{h}{2}. \tag21 \endalignat $$ \else $$ \widetilde{S}(x) =y(x)+O(h^4), \quad\text{если } x=x_i, \ x=x_i+\frac{h}{2}, \tag19 $$ $$ \widetilde{S}'(x) =y'(x)+O(h^3), \quad\text{если } x=x_i+\Bigl(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\Bigr)h, \tag20 $$ $$ \widetilde{S}''(x) =y''(x)+O(h^2), \quad \text{если } x=x_i+\frac{h}{2}. \tag21 $$ \fi Таким образом, дополнительно к точкам суперсходимости \Tag(19), найденным %найденым в [32,\,33], есть еще точки суперсходимости \Tag(20) и \Tag(21) для первой и второй производных локального интегрального квадратического сплайна $\widetilde{S}(x)$. Заметим, что точки суперсходимости для интерполяционного в среднем интегрального квадратического сплайна $S(x)$ и для квазиинтерполяционного интегрального квадратического сплайна $\widetilde{S}(x)$ одинаковы. Обратим внимание, что в отличие от \Par*{Theorem 2} \Par*{Theorem 5} указывает точки суперсходимости только во внутренних интервалах, не охватывая по два крайних. Это связано с тем, что мы отказались от задания точных значений производных приближаемой функции на концах, заменили их приближенными значениями, что изменило представление сплайна на указанных крайних интервалах, не позволяя здесь указать точки повышения порядка приближения. В заключение отметим, что в работе [35] установлено, что кубический локально аппроксимационный сплайн $\widehat{s}(x)$ сохраняет свойство приближения скачком четвертой производной приближаемой функции. Тогда справедлива \proclaim{Theorem 6} Если коэффициенты интегрального квадратического сплайна \Tag(17) на равномерной сетке с шагом $h$ определяются формулами~\Tag(18) и $y(x)\in C^7[a,b]$, то $$ \frac{\widetilde{S}''(x_i+0)-\widetilde{S}''(x_i-0)}{h}=y'''(x_i)+O(h^4), \quad i=3,\dots,n-4. $$ \endproclaim Здесь также надо сделать оговорку. Как и в \Par*{Theorem 5}, промежуток действия формул \Par*{Theorem 6} уменьшается по сравнению с \Par*{Theorem 3} за счет исключения по два крайних интервала у каждого конца отрезка по тем же причинам, что и выше. \head 3. Численные эксперименты \endhead Проведем численные эксперименты, демонстрирующие подтверждение теоретических результатов предыдущих параграфов, на примерах приближения тестовых функций, заданных интегрально усредненными значениями. В качестве тестовых выбраны функции \iftex $$ \alignat2 &y_1(x)=\sin(3\pi x),&\quad& x\in[0,1], \\ &y_2(x)=x^4+\log(x)+5,&\quad& x\in[0.6,1]. \endalignat $$ \else $$ \align &y_1(x)=\sin(3\pi x),\quad x\in[0,1], \\ &y_2(x)=x^4+\log(x)+5,\quad x\in[0.6,1]. \endalignat $$ \fi Мы вычисляем погрешности приближения функций и их производных двумя рассматриваемыми интегральными сплайнами $S(x)$ и $\widetilde{S}(x)$ в точках, являющихся точками суперсходимости для первой производной. Для первой функции это будут точки $$ x_i^{1}=x_i+\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\Bigr)h, $$ а для второй --- $$ x_i^{2}=x_i+\Bigl(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\Bigr)h. $$ В соответствии с условиями \Par*{Theorem 2} погрешность вычисляется во всех точках $x_i^1$, $x_i^2$ на интервалах $i=0,\dots,n-1$ и берется наибольшая погрешность. При проведении численных экспериментов, демонстрирующих результаты \Par*{Theorem 5}, погрешность в выбранных точках вычисляется только на интервалах $i=2,\dots,n-3$. Для вычисления значений интегральных квадратических сплайнов используем представление через коэффициенты B-сплайн разложения (см. [9]) $$ S(x)=\lambda_i(1-t)^2\beta_{i-2}+[(\lambda_it+\mu_i)(1-t)+ t(\lambda_{i+1}+\mu_{i+1}(1-t))]\beta_{i-1}+\mu_{i+1}t^2\beta_i, $$ получаемое из \Tag(7). Коэффициенты находятся из системы уравнений \Tag(9). Вычисление значений квазиинтерполяционного сплайна $\widetilde{S}(x)$ производится по аналогичной формуле, в которой коэффициенты $\{\beta_i\}$ заменены на $\{\widetilde{\beta}_i\}$, задаваемые формулами \Tag(18). \Table [F:TBLR][A:L][|][_-] \name{Table 1} \caption{Результаты расчетов по теореме 2 %\?\Par*{Theorem 2} для функции $y_1(x)$} %\captionleftskip{ }%172 pt \col{ &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C]} \top{ &{$n$} &{$E_1^{(0)}$} &{CO} &{$E_1^{(1)}$} &{CO} &{$E_1^{(2)}$} &{CO} }[A:C][_] \row{ &{10} &{1.74E$-$3} &{} &{1.31E$-$1} &{} &{3.21E+0} &{} } \row{ &{20} &{1.11E$-$4} &{3.9} &{1.59E$-$2} &{3.0} &{8.18E$-$1} &{1.9} } \row{ &{40} &{6.95E$-$6} &{4.0} &{1.98E$-$3} &{3.0} &{2.05E$-$1} &{2.0} } \endTable \Table [F:TBLR][A:L][|][_-] \name{Table 2} \caption{Результаты расчетов по теореме 2 %\?\Par*{Theorem 2} для функции $y_2(x)$} %\captionleftskip{ }%172 pt \col{ &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C]} \top{ &{$n$} &{$E_2^{(0)}$} &{CO} &{$E_2^{(1)}$} &{CO} &{$E_2^{(2)}$} &{CO} }[A:C][_] \row{ &{10} &{1.07E$-$7} &{} &{2.15E$-$5} &{} &{1.28E$-$3} &{} } \row{ &{20} &{7.00E$-$9} &{3.9} &{2.78E$-$6} &{2.9} &{3.34E$-$4} &{1.9} } \row{ &{40} &{4.66E$-$10} &{3.9} &{3.52E$-$7} &{2.9} &{8.93E$-$5} &{1.9} } \endTable \Table [F:TBLR][A:L][|][_-] \name{Table 3} \caption{Результаты расчетов по теореме 5 %\?\Par*{Theorem 5} для функции $y_1(x)$} %\captionleftskip{ }%172 pt \col{ &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C]} \top{ &{$n$} &{$\widetilde{E}_1^{(0)}$} &{$\widetilde{\operatorname{CO}}$} &{$\widetilde{E}_1^{(1)}$} &{$\widetilde{\operatorname{CO}}$} &{$\widetilde{E}_1^{(2)}$} &{$\widetilde{\operatorname{CO}}$} }[A:C][_] \row{ &{10} &{1.53E$-$2} &{} &{2.22E$-$1} &{} &{1.35E+0} &{} } \row{ &{20} &{1.21E$-$3} &{3.6} &{2.04E$-$2} &{3.4} &{7.00E$-$1} &{0.9} } \row{ &{40} &{7.78E$-$5} &{3.9} &{2.14E$-$3} &{3.2} &{1.98E$-$1} &{1.8} } \endTable \Table [F:TBLR][A:L][|][_-] \name{Table 4} \caption{Результаты расчетов по теореме 5 %\?\Par*{Theorem 5} для функции $y_2(x)$} %\captionleftskip{ }%172 pt \col{ &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C] &[A:L] &[A:C]} \top{ &{$n$} &{$\widetilde{E}_2^{(0)}$} &{$\widetilde{\operatorname{CO}}$} &{$\widetilde{E}_2^{(1)}$} &{$\widetilde{\operatorname{CO}}$} &{$\widetilde{E}_2^{(2)}$} &{$\widetilde{\operatorname{CO}}$} }[A:C][_] \row{ &{10} &{8.46E$-$7} &{} &{1.75E$-$5} &{} &{8.47E$-$4} &{} } \row{ &{20} &{6.52E$-$8} &{3.7} &{2.23E$-$6} &{2.9} &{2.65E$-$4} &{1.7} } \row{ &{40} &{4.36E$-$9} &{3.9} &{2.83E$-$7} &{2.9} &{7.11E$-$5} &{1.9} } \endTable В \Tab*{Tables 1}--\Tab{Table 4}{4} приведены результаты численных экспериментов и содержатся значения максимальных погрешностей аппроксимации в выбранных точках суперсходимости $$ \align &E_j^{(r)}=E_j^{(r)}(n)= \max_{0\le i\le n-1}\big|S^{(r)} \big(x^{j}_i\big)-y_j^{(r)}\big(x^{j}_i\big)\big|,\quad r=0,1,2,\ j=1,2, \\ &\widetilde{E}_j^{(r)}=\widetilde{E}_j^{(r)}(n)= \max_{2\le i\le n-3}\big|\widetilde{S}^{(r)}\big(x^{j}_i\big)- y_j^{(r)}\big(x^{j}_i\big)\big|, \quad r=0,1,2,\ j=1,2, \endalign $$ и вычисленные порядки сходимости $$ \operatorname{CO}=\log_2\biggl|\frac{E_j^{(r)}(n)}{E_j^{(r)}(2n)}\biggr|, \quad \widetilde{\operatorname{CO}}= \log_2\biggl|\frac{\widetilde{E}_j^{(r)}(n)}{\widetilde{E}_j^{(r)}(2n)}\biggr|. $$ Заметим, что найденные %найденые в \Par*{Theorems 2} и~\Par{Theorem 5}{5} точки симметрично расположены на каждом %каждам интервале, численные эксперименты при выборе симметричной серии точек в сравнении с рассмотренными приводят к тому же результату. \head Заключение \endhead В данной работе мы показали, что интерполяционный в среднем интегральный квадратический сплайн неразрывно связан с классическим интерполяционным кубическим сплайном, что позволило сразу сформулировать результаты о точности приближения функций, заданных интегралами или интегрально усредненными значениями, интегральным квадратическим сплайном. Мы приводим оценки погрешности интерполяции в среднем с указанием констант, в том числе точных, что обобщает результаты работ [7,\,10] с установленными порядками приближения. Впервые рассмотрена задача построения локального интегрального сплайна на произвольной неравномерной сетке. На основе формул локальной аппроксимации для кубических сплайнов [18] выведены квазиинтерполяционные формулы для интегральных квадратических сплайнов. Также получены оценки погрешности приближения полученными квазиинтерполянтами. Найдены все точки суперсходимости как для интерполяции в среднем, так и при квазиинтерполяции в среднем, отметим совпадение множеств таких точек. В случае квазиинтерполяции точки суперсходимости найдены только во внутренних интервалах сетки, исключая по два крайних интервала с обоих концов отрезка. Кроме того, установлено, что для обоих типов рассмотренных интегральных сплайнов скачок (отношение величины разрыва к величине шага сетки) второй производной сплайна приближает третью производную аппроксимируемой функции на равномерных сетках с четвертым порядком. \Refs \ref\no 1 \by Epstein~E.S. \paper On obtaining daily climatological values from monthly means \jour J.~Climate \yr 1991 \vol 4 \issue 3 \pages 365--368 \endref \ref\no 2 \by Ruiz-Arias~J.A. \paper Mean-preserving interpolation with splines for solar radiation modeling \jour Solar Energy \yr 2022 \vol 248 \pages 121--127 \endref \ref\no 3 \by Schoenberg~I.J. \paper Splines and histograms \inbook Spline Functions and Approximation Theory \bookinfo Proc. Sympos., Univ. Alberta, Edmonton, Alta., 1972 %Eds. A.~Meir, A.~Sharma. Internat. Ser. Numer. Math., {\bf 21} \yr 1973 \publ Birkh\"{a}user \publaddr Basel \pages 277--327 \finalinfo Internat. Ser. Numer. Math., 21 \endref \ref\no 4 \by Subbotin~Yu.N. \paper Extremal problems of functional interpolation and mean interpolation splines \jour Proc. Steklov Inst. Math. \yr 1977 \vol 138 \pages 127--185 \endref \ref\no 5 \by Behforooz~H. \paper Approximation by integro cubic splines \jour Appl. Math. Comput. \yr 2006 \vol 175 \issue 1 \pages 8--15 \endref \ref\no 6 \by Kirsiaed~E., Oja~P., and Shah~G.W. \paper Cubic spline histopolation \jour Math. Model. Anal. \yr 2017 \vol 22 \issue 4 \pages 514--527 \endref \ref\no 7 \by Wu~J. and Zhang~X. \paper Integro quadratic spline interpolation \jour Appl. Math. Model. \yr 2015 \vol 39 \iftex \issue 10--11 \else \issue 10 \fi \pages 2973--2980 \endref \ref\no 8 \by Volkov~Yu.S. \paper Shape preserving conditions for integro quadratic spline interpolation in the mean \jour Proc. Steklov Inst. Math. %(Supplement Issues) \yr 2022 \vol 319 \issue 1 \pages 291--297 \endref \ref\no 9 \by Volkov~Yu.S., Zhanlav~T., and Mijiddorj~R.-O. \paper On end conditions for integro quadratic spline interpolation in the mean \jour Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN \yr 2025 \vol 31 \issue 4 \pages 95--105 \endref \ref\no 10 \by Lang~F.-G. and Xu~X.-P. \paper On the superconvergence of some quadratic integro-splines at the mid-knots of a uniform partition \jour Appl. Math. Comput. \yr 2018 \vol 338 \pages 507--514 \endref \ref\no 11 \by Volkov~Yu.S. \paper Error bounds for interpolation in the mean integro quadratic splines and superconvergence points \jour Dokl. Math. \yr 2025 \vol 111 \issue 3 \pages 172--174 \endref \ref\no 12 \by Zhanlav~T. and Mijiddorj~R. \paper The local integro cubic splines and their approximation properties \jour Appl. Math. Comput. \yr 2010 \vol 216 \issue 7 \pages 2215--2219 \endref \ref\no 13 \by Zhanlav~T. and Mijiddorj~R. \paper Convexity and monotonicity properties of the local integro cubic spline \jour Appl. Math. Comput. \yr 2017 \vol 293 \issue 7 \pages 131--137 \endref \ref\no 14 \by Zhanlav~T. and Mijiddorj~R. \paper A comparative analysis of local cubic splines \jour Appl. Math. Comput. \yr 2018 \vol 37 \issue 5 \pages 5576--5586 \endref \ref\no 15 \by Zhanlav~T. and Mijiddorj~R. \paper On local integro quartic splines \jour Appl. Math. Comput. \yr 2015 \vol 269 \pages 301--307 \endref \ref\no 16 \by Zhanlav~T. and Mijiddorj~R. \paper Construction of local integro quintic splines \jour Commun. Numer. Anal. \yr 2016 \vol 2 \pages 167--179 \endref \ref\no 17 \by Zhanlav~T. and Mijiddorj~R. \book Approximation by Integro Splines \publ Bit %press \publaddr Ulaanbaatar \yr 2018 \endref \ref\no 18 \by Zhanlav~T. \paper Representation of interpolation cubic splines through B-splines \inbook Vychisl. Sist. \bookinfo Vol.~87: Methods of Spline Functions \publ Inst. Math. \publaddr Novosibirsk \yr 1981 \pages 3--10 \endref \ref\no 19 \by Ahlberg J.H., Nilson E.N., and Walsh J.L. \book The Theory of Splines and Their Applications \publaddr New York \publ Academic \yr 1967 \endref \ref\no 20 \by de Boor~C. \book A~Practical Guide to Splines \publaddr New York \publ Springer \yr 1978 \endref \ref\no 21 \by Zavyalov~Yu.S., Kvasov~B.I., and Miroshnichenko~V.L. \book Methods of Spline Functions \publ Nauka \publaddr Moscow \yr 1980 \lang Russian \endref \ref\no 22 \by Volkov~Yu.S. \paper A~new method for constructing cubic interpolating splines \jour Dokl. Math. \yr 2002 \vol 382 \issue 2 \pages 155--157 \endref \ref\no 23 \by Volkov~Yu.S. \paper A~new method for constructing cubic interpolating splines \jour Comput. Math. Math. Phys. \yr 2004 \vol 44 \issue 2 \pages 215--224 \endref \ref\no 24 \by Hall~C.A. and Meyer~W.W. \paper Optimal error bounds for cubic spline interpolation \jour J.~Approx. Theory \yr 1976 \vol 16 \issue 2 \pages 105--122 \endref \ref\no 25 \by Miroshnichenko~V.L. \paper Approximation error for the cubic spline interpolation.~I \inbook Vychisl. Sist. \bookinfo Vol.~93: Methods of Spline Functions \publ Inst. Math. \publaddr Novosibirsk \yr 1982 \pages 3--29 \endref \ref\no 26 \by Volkov~Yu.S. and Subbotin~Yu.N. \paper Fifty years of Schoenberg's problem on the convergence of spline interpolation \jour Proc. Steklov Inst. Math. \yr 2015 \vol 288 \issue 1 \pages 222--237 \endref \ref\no 27 \by Lucas~T.R. \paper Error bounds for interpolating cubic splines under various end conditions \jour SIAM J. Numer. Anal. \yr 1974 \vol 11 \issue 3 \pages 569--584 \endref \ref\no 28 \by Volkov~Yu.S. and Miroshnichenko~V.L. \paper Approximation of derivatives by jumps of interpolating splines \jour Math. Notes \yr 2011 \vol 89 \issue 1 \pages 138--141 \endref \ref\no 29 \by Schumaker L.L. \book Spline Functions: Basic Theory \publ New York \publaddr Wiley \yr 1981 \endref \ref\no 30 \by Volkov~Yu.S. \paper On a~complete interpolation spline finding via B-splines %On finding a complete interpolation spline through B-splines \jour Sib. Electr. Math. Reports \yr 2008 \vol 5 \pages 334--338 \endref \ref\no 31 \by Volkov~Yu.S. \paper Obtaining a banded system of equations in complete spline interpolation problem via B-spline basis \jour Cent. Europ. J. Math. \yr 2012 \vol 10 \issue 1 \pages 352--356 \endref \ref\no 32 \by Wu~J., Shan~T., and Zhu~C. \paper Integro quadratic spline quasi-interpolants \jour J.~Syst. Sci. Math. Scis. \yr 2018 \vol 38 \issue 12 \pages 1407--1416 \lang Chinese \endref \ref\no 33 \by Wu~J., Ge~W., and Zhang~X. \paper Integro spline quasi-interpolants and their super convergence \jour Comput. Appl. Math. \yr 2020 \vol 39 \issue 3 \pages 239 \endref \ref\no 34 \by Zheludev~V.A. \paper Local spline approximation on a~uniform mesh \jour URSS Comp. Math. Math. Phys. \yr 1987 \vol 27 \issue 5 \pages 8--19 \endref \ref\no 35 \by Volkov~Yu.S. and Bogdanov~V.V. \paper On error estimates of local approximation by splines \jour Sib. Math.~J. \yr 2020 \vol 61 \issue 5 \pages 795--802 \endref \endRefs \enddocument