%% \magnification=\magstep1 \documentstyle{SibMatZh} \hoffset=-.4in \voffset=-.4in \topmatter \UDclass 512.542\endUDclass \subjclass 35R30\endsubjclass \title $\sigma$-Проблема Кегеля~--- Виландта и~$TI$-подгруппы конечных групп \endtitle %\rightheadtext{} \thanks Работа первого автора выполнена при поддержке Национального фонда естественных наук Китая (проект №~12371021). Исследования второго и третьего авторов выполнены при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект Ф26РНФ-101). \endthanks \author С.~Йи, С.~Ф.~Каморников, В.~Н.~Тютянов\endauthor \xauthor Йи~С., Каморников~С.~Ф., Тютянов~В.~Н.\endxauthor \datesubmitted 2 октября 2925 г.\enddatesubmitted \daterevised 22 января 2026 г.\enddaterevised \dateaccepted 12 февраля 2026 г.\enddateaccepted \address Йи Сяолан (Yi Xiaolan) (ORCID 0000-0001-8603-5893) \linebreak Чжэцзянский политехнический университет (Zhejiang Sci-Tech University) \linebreak Ханчжоу 310018, Китай \endaddress \email yixiaolan2005\@126.com\endemail \address Каморников Сергей Федорович (ORCID 0000-0002-1464-1656) \linebreak Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины \linebreak ул. Советская, 104, Гомель 246028, Беларусь \endaddress \email sfkamornikov\@mail.ru\endemail \address Тютянов Валентин Николаевич\linebreak Гомельский филиал Международного университета <<МИТСО>> \linebreak пр. Октября, 46а, Гомель 246029, Беларусь \endaddress \email vtutanov\@gmail.com\endemail \affil \endaffil \keywords конечная группа, $\sigma$-субнормальная подгруппа, $TI$-подгруппа, нижняя полурешетка, $\sigma$-проблема Кегеля~--- Виландта. \endkeywords \abstract Для произвольного разбиения $\sigma$ множества всех простых чисел предлагается решение $\sigma$-проблемы Кегеля~--- Виландта в классе всех групп, у которых специальные множества подгрупп являются нижними полурешетками. \endabstract \endtopmatter %For the arbitrary partition $\sigma$ of the set of all primes, a solution of the %Kegel-Wilandt problem is proposed in the class of all groups in which %special sets of subgroups are lower semilattices. %Keywords: finite group, $\sigma$-subnormal subgroup, $TI$-subgroup, lower %semilattice, Kegel-Wielandt $\sigma$-problem. {\baselineskip=1.03\baselineskip \head 1. Введение\endhead В работе рассматриваются только конечные группы. Зафиксируем разбиение $\sigma$ множества ${\Bbb P}$ всех простых чисел на попарно не пересекающиеся непустые подмножества $\sigma_i$, индексированные элементами некоторого множества индексов $I$, т.~е. ${\Bbb P} = \bigcup\limits_{i \in I} \sigma_i$ и $\sigma_i \cap \sigma_j = \emptyset$ для всех $i \neq j$. Элементы $\sigma_i$ ($i \in I$) разбиения $\sigma$ будем называть его {\it компонентами}. Следуя [1], будем говорить, что группа $G$ является {\it $\sigma$-примарной}, если $G$ является $\sigma_i$-группой для некоторого $i \in I$. Подгруппа $H$ группы $G$ называется {\it $\sigma$-субнормальной}, если существует цепь подгрупп $$ H = H_0 \subseteq H_1 \subseteq \dots \subseteq H_n = G $$ такая, что для каждого $i = 1, 2, \dots , n$ либо подгруппа $H_{i-1}$ нормальна в $H_i$, либо группа $H_i / \operatorname{Core}_{H_i}(H_{i-1})$ является $\sigma$-примарной. Далее множество всех $\sigma$-субнор\-мальных подгрупп группы $G$ обозначается через $sn_\sigma (G)$. Понятно, что подгруппа $H$ субнормальна в $G$ тогда и только тогда, когда она $\sigma$-субнормальна в $G$ для {\it минимального} разбиения $\sigma = \{\{2\}, \{3\}, \{5\}, \dots \}$. Группа $G$ называется {\it $\sigma$-полной}, если $G \in \bigcap\limits_{i \in I}E_{\sigma_i}$, т.~е. $G$ обладает по крайней мере одной $\sigma_i$-холловой подгруппой для любого $i \in I$. Далее класс $\bigcap\limits_{i \in I}E_{\sigma_i}$ будем обозначить через $E_{\sigma}$. Для $\pi \subseteq {\Bbb P}$ и группы $G \in E_{\pi}$ мы пишем $H \leq_\pi G$ и называем подгруппу $H$ {\it $\pi$-субнормальной}, если $H \cap S$~--- $\pi$-холлова подгруппа из $H$ для любой $\pi$-холловой подгруппы $S$ группы $G$ (в этом случае будем говорить, что $\pi$-холлова подгруппа $S$ {\it редуцируется} в $H$). Если подгруппа $H$ является $\sigma$-субнормальной в $\sigma$-полной группе $G$, то ввиду леммы ~2.6 из [1] $H \leq_{\sigma_i} G$ для любого $i \in I$. В связи с этим результатом в <<Коуровской тетради>> [2] под номером~19.86 сформулирован следующий аналог известной гипотезы Кегеля~--- Виландта, который называется сегодня {\it $\sigma$-проблемой Кегеля~--- Виландта}. {\sl Пусть $\sigma = \{\sigma_i \mid i \in I\}$ ~--- некоторое разбиение множества всех простых чисел. Верно ли, что подгруппа $H$ группы $G \in E_{\sigma}$ является $\sigma$-субнормальной в $G$, если $H \leq_{\sigma_i} G$ для любой компоненты $\sigma_i \in \sigma$}? Отметим, что для минимального разбиения $\sigma$ в силу теоремы Силова любая группа является $\sigma$-полной. Поэтому в этом случае $\sigma$-проблема Кегеля~--- Виландта превращается в проблему Кегеля~--- Виландта, сформулированную в работах [3,\,4]. Полное решение ее, опирающееся на классификацию конечных простых групп, было получено Кляйдманом в~[5]. В настоящее время сложилось несколько подходов к решению $\sigma$-проблемы Кегеля~--- Виландта. Основной из них редуцирует проблему к рассмотрению $\sigma$-полных простых неабелевых групп. Подход базируется на теореме~1 из [6]: {\sl $\sigma$-проблема Кегеля~--- Виландта имеет положительное решение тогда и только тогда, когда она верна в классе всех простых неабелевых групп из $E_{\sigma}$}. Такое направление инициировано работой [7]. Другой подход к исследованию $\sigma$-проблемы Кегеля~--- Виландта связан с изучением групп, обладающих специальными решеточными свойствами. Он отталкивается от того, что в любой группе $G$ множество $sn_\sigma (G)$ всех ее $\sigma$-субнормальных подгрупп является подрешеткой решетки всех подгрупп группы $G$ (см., например, [8]). В связи с этим естественно возникает задача исследования $\sigma$-проблемы Кегеля~--- Виландта в группе $G$ при дополнительном предположении, что некоторые классы ее подгрупп обладают определенными решеточными свойствами. Следуя [9], для $E_\pi$-группы $G$ через $SN_\pi(G)$ обозначим множество всех ее подгрупп, в которые редуцируются все $\pi$-холловы подгруппы группы $G$. Понятно, что подгруппа $H$ $\sigma$-полной группы $G$ удовлетворяет условиям $\sigma$-проблемы Кегеля~--- Виландта тогда и только тогда, когда $H \in \bigcap\limits_{i \in I}SN_{\sigma_i}(G)$. Напомним, что множество ${\Cal L}$ подгрупп группы $G$ является (по вложению): --- {\it нижней полурешеткой}, если из $A \in {\Cal L}$ и $B \in {\Cal L}$ всегда следует, что $A \cap B \in {\Cal L}$; --- {\it верхней полурешеткой}, если из $A \in {\Cal L}$ и $B \in {\Cal L}$ всегда следует, что $\langle A,B\rangle \in {\Cal L}$; --- {\it решеткой}, если ${\Cal L}$ является одновременно верхней и нижней полурешетками. Первые результаты, относящиеся к решеточной постановке задачи, опубликованы в работе [10]. \proclaim{Теорема 1 \rm [10, теорема 1]} Пусть $\sigma = \{\sigma_i \mid i \in I\}$ ~--- некоторое разбиение множества всех простых чисел, $G$~--- $\sigma$-полная группа и $SN_{\sigma_i}(G)$ является верхней полурешеткой {\rm (}по вложению{\rm )} для любого $i \in I$. Тогда справедливы следующие утверждения: {\rm (1)} группа $G$ является $\sigma$-разрешимой; {\rm (2)} подгруппа $H$ группы $G$ является $\sigma$-субнормальной в $G$ тогда и только тогда, когда $H \in \bigcap\limits_{i \in I}SN_{\sigma_i}(G)$. \endproclaim В данной работе исследуется случай, когда для любого $i \in I$ множество $SN_{\sigma_i}(G)$ всех $\sigma_i$-субнормальных подгрупп группы $G$ является нижней полурешеткой (по вложению). При этом рассматривается даже более общая ситуация в контексте следующего определения. Для $\pi \subseteq {\Bbb P}$ и $S \in \operatorname{Hall}_{\pi}(G)$ пишем $H \leq_{\pi,S} G$ и называем подгруппу $H$ {\it $(\pi,S)$-субнормальной}, если $H \cap S$~--- $\pi$-холлова подгруппа из $H$. Пусть $SN_{\pi,S}(G)$~--- множество всех $(\pi,S)$-субнормальных подгрупп группы $G$. Одно из возможных направлений развития решеточного подхода к~$\sigma$-проб\-леме Кегеля~--- Виландта связано со следующей гипотезой, которая интересна сама по себе. \proclaim{Гипотеза 1} Любая простая неабелева группа не содержит собственных простых неабелевых $TI$-подгрупп. \endproclaim Напомним, что подгруппа $H$ группы $G$ называется {\it $TI$-подгруппой}, если $H \cap H^x \in \{1, H \}$ для любого $x \in G$. Прикладные возможности гипотезы 1 для анализа $\sigma$-проблемы Кегеля~--- Виландта отражает следующая теорема, доказательство которой~--- наша главная цель. \proclaim{Теорема 2} Пусть $\sigma = \{\sigma_i \mid i \in I\}$ ~--- некоторое разбиение множества всех простых чисел и $\{S_1, S_2, \dots , S_k\}$~--- полное холлово множество типа $\sigma$ группы $G$. Если $SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ является нижней полурешеткой {\rm (}по вложению{\rm )} для любого $g \in G$ и каждого $i = 1,2,\dots ,k$, а гипотеза~$1$ верна, то подгруппа $H$ группы $G$ является $\sigma$-субнормальной в $G$ тогда и только тогда, когда $H \leq_{\sigma_i,S_i^g} G$ для любого $g \in G$ и каждого $i = 1,2,\dots ,k$. \endproclaim В последнем разделе работы обсуждается связь гипотезы 1 со строением групп с плотно вложенными подгруппами и приводятся две серии простых неабелевых групп, для которых гипотеза~1 справедлива. \head 2. Определения и~предварительные результаты\endhead В работе используются стандартные определения и обозначения. Терминологию и основные свойства $\sigma$-субнормальных подгрупп можно найти в [1]. Если $n$ ~--- натуральное число, то через $\pi (n)$ обозначается множество всех простых чисел, делящих $n$; в частности, $\pi (G) = \pi (|G|)$~--- множество всех простых чисел, делящих порядок группы $G$. Если $\pi$~--- некоторое множество простых чисел, то символом $\pi ' $ обозначается множество всех тех простых чисел, которые не принадлежат $\pi$. Подгруппа $H$ называется {\it $\pi$-холловой подгруппой} группы $G$, если $\pi (H) \subseteq \pi$ и $\pi (|G:H|) \subseteq \pi ' $. Множество всех $\pi$-холловых подгрупп группы $G$ обозначается через $\operatorname{Hall}_{\pi}(G)$. Будем использовать также следующие обозначения: --- если $\sigma = \{\sigma_i \mid i \in I \}$~--- разбиение множества всех простых чисел и $n$~--- натуральное число, то $\sigma (n) = \{\sigma_i \cap \pi (n) \mid i \in I,\ \sigma_i \cap \pi (n) \neq \emptyset \}$; --- $\sigma (G) = \sigma (|G|)$. Система $\Sigma = \{S_1, S_2, \dots , S_k\}$ $\sigma$-примарных холловых подгрупп группы $G$ называется {\it полным холловым множеством типа $\sigma$} группы $G$ [1], если выполняются следующие два условия: 1) $(|S_i|, |S_j|) = 1$ для всех $i \neq j \in \{1, 2, \dots , k\}$; 2) $\pi (G) = \pi (S_1) \cup \pi (S_2) \cup \dots \cup \pi (S_k)$. \proclaim{Лемма 1} Пусть $\pi \subseteq {\Bbb P}$, $H$, $K$ и $N$~--- подгруппы группы $G$, причем $K \subseteq H$ и $N \unlhd G$. Если $S \in \operatorname{Hall}_{\pi}(G)$, то справедливы следующие утверждения: {\rm (1)} если $H \leq_{\pi,S} G$, то $H \cap N \leq_{\pi,S} G$ и $HN \leq_{\pi,S} G$; {\rm (2)} если $H \leq_{\pi,S} G$, то $HN/N \leq_{\pi,SN/N} G/N$; {\rm (3)} если $SN_{\pi,S}(G)$~--- нижняя полурешетка и $H \leq_{\pi,S} G$, то $SN_{\pi,S \cap H}(H)$~--- нижняя полурешетка; в частности, $SN_{\pi,S \cap HN}(HN)$ ~--- нижняя полурешетка; {\rm (4)} если $SN_{\pi,S}(G)$~--- нижняя полурешетка, то $SN_{\pi,SN/N}(G/N)$~--- нижняя полурешетка. \endproclaim \demo{Доказательство} (1) Так как $H \cap N \unlhd H$ и $H \leq_{\pi,S} G$, то по лемме~1 из [11] имеем $H \cap N \leq_{\pi,S} G$. Так как $N \unlhd G$, то $S \cap N \unlhd S$ и $(S \cap H)(S \cap N)$ ~--- подгруппа в $S \cap HN$. Кроме того, из равенства $$ |HN:(S \cap H)(S \cap N)| = ((|H|/|S \cap H|)(|N|/|S \cap N|))/(|H \cap N|/|S \cap (H \cap N)|) $$ следует, что индекс $|HN:(S \cap H)(S \cap N)|$ является $\pi ' $-числом. Значит, индекс $|HN:(S \cap HN)|$ также является $\pi ' $-числом. А так как $|S \cap HN|$~--- $\pi$-число, то $HN \leq_{\pi,S} G$. (2) Ввиду утверждения (1) $S \cap HN$~--- $\pi$-холлова подгруппа в $HN$. Кроме того, по лемме~1 из [11] $SN/N$~--- $\pi$-холлова подгруппа в $G/N$. Теперь из равенства $$ SN/N \cap HN/N = (S \cap HN)N/N $$ следует, что $SN/N \cap HN/N$ ~--- $\pi$-холлова подгруппа в $HN/N$. (3) Пусть $H_1, H_2 \in SN_{\pi,S \cap H}(H)$. Тогда из $H \leq_{\pi,S} G$ следует, что $H_1 \cap (S \cap H) = H_1 \cap S$ ~--- $\pi$-холлова подгруппа в $H_1$. Аналогично показывается, что $H_2 \cap (S \cap H) = H_2 \cap S$ ~--- $\pi$-холлова подгруппа в $H_2$. По условию $(H_1 \cap H_2) \cap S$ ~--- $\pi$-холлова подгруппа в $H_1 \cap H_2$. Отсюда следует, что и $(H_1 \cap H_2) \cap (S \cap H)$ ~--- $\pi$-холлова подгруппа в $H_1 \cap H_2$. Следовательно, $H_1 \cap H_2 \in SN_{\pi,S \cap H}(H)$ и $SN_{\pi,S \cap H}(H)$ ~--- нижняя полурешетка. (4) Пусть $K/N \in SN_{\pi,SN/N}(G/N)$. Тогда $K/N \cap SN/N$~--- $\pi$-холлова подгруппа в $K/N$. Ввиду тождества Дедекинда имеем $K \cap SN = (K \cap S)N$. Поэтому индекс $|K:(K \cap S)N|$ является $\pi ' $-числом. С другой стороны, из $N \unlhd G$ имеем $N \cap S \in \operatorname{Hall}_{\pi}(N)$, а потому $$ |K:(K \cap S)| = |K:(K \cap S)N| \cdot |N:(N \cap S)|. $$ Таким образом, $|K:(K \cap S)|$ является $\pi ' $-числом. А так как $K \cap S$~--- $\pi$-группа, то $K \in SN_{\pi,S}(G)$. Если $K_1/N, K_2/N \in SN_{\pi,SN/N}(G/N)$, то по доказанному выше $K_1, K_2 \in SN_{\pi,S}(G)$. Поскольку $SN_{\pi,S}(G)$~--- нижняя полурешетка, то $K_1 \cap K_2 \in SN_{\pi,S}(G)$. Но тогда в силу утверждения~(2) имеем $$(K_1 \cap K_2)/N = K_1/N \cap K_2/N \in SN_{\pi,SN/N}(G/N).$$ Следовательно, $SN_{\pi,SN/N}(G/N)$ ~--- нижняя полурешетка. Лемма доказана. \proclaim{Лемма 2} Пусть $\sigma = \{\sigma_i \mid i \in I\}$ ~--- некоторое разбиение множества всех простых чисел, $G$~--- группа, являющаяся прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп. Если $K \in sn_\sigma (G)$, то либо группа $G$ является $\sigma$-примарной, либо подгруппа $K$ субнормальна в $G$. \endproclaim \demo{Доказательство} Так как $K \in sn_\sigma (G)$, то существует цепь подгрупп $$ K = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_{n-1} \subseteq K_n = G $$ такая, что для каждого $i = 1, 2, \dots , n$ либо подгруппа $K_{i-1}$ нормальна в $K_i$, либо группа $K_i / \operatorname{Core}_{K_i}(K_{i-1})$ является $\sigma$-примарной. Применим индукцию по $n$. Понятно, что при $n = 1$ это утверждение верно. Пусть $G = N_1 \times N_2 \times \dots \times N_t$, где $t \geq 1$ и $N_1$, $N_2$, \dots , $N_t$ ~--- изоморфные простые неабелевы группы. Если подгруппа $K_{n-1}$ не нормальна в $G$, то $G/\operatorname{Core}_G(K_{n-1})$~--- $\sigma_i$-группа для некоторого $i \in I$. Но тогда из строения группы $G$ следует, что она является $\sigma_i$-группой. Значит, подгруппа $K_{n-1}$ нормальна в $G$. По индукции либо подгруппа $K_{n-1}$ является $\sigma_i$-группой для некоторого $i \in I$, либо подгруппа $K$ субнормальна в $K_{n-1}$. Если $K_{n-1}$ является $\sigma_i$-группой для некоторого $i \in I$, то из строения $G$ следует, что $G$ также является $\sigma_i$-группой. Если же подгруппа $K$ субнормальна в $K_{n-1}$, то из $K_{n-1} \unlhd N$ следует, что $K$ субнормальна в $G$. Лемма доказана. \head 3. Доказательство теоремы~2\endhead Пусть $\sigma (G) = \{\sigma_1, \sigma_2,\dots , \sigma_k \}$ и $\{S_1, S_2, \dots , S_k\}$~--- полное холлово множество типа $\sigma$ группы $G$. Кроме того, пусть $SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ является нижней полурешеткой (по вложению) для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$, а гипотеза~1 верна. Если подгруппа $H$ является $\sigma$-субнормальной в группе $G$, то ввиду леммы~2.6 из [1] $H \in SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. Докажем обратное утверждение. Предположим, что это не так, и пусть $G$~--- группа наименьшего порядка, обладающая такими подгруппами, которые для любого $g \in G$ принадлежат множеству $\bigcap\limits_{i \in \{1,2,\dots ,k\}}SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$, но не являются $\sigma$-субнормальными в $G$. Среди всех таких подгрупп группы $G$ выберем подгруппу $H$, для которой сумма $|G|+|H|$ минимальна. Очевидно, группа $G$ не является $\sigma$-примарной. Пусть $N$~--- минимальная нормальная подгруппа группы $G$. Ввиду утверждения (4) леммы~1 множество $SN_{\sigma_i, S_i^gN/N}(G/N)$ является нижней полурешеткой для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. Отсюда в силу выбора группы $G$ подгруппа $HN/N$ является $\sigma$-субнормальной в $G/N$. Но тогда ввиду леммы~2.6 из [1] $HN$ является $\sigma$-субнормальной подгруппой группы $G$. Кроме того, подгруппа $N$ не содержится в подгруппе $H$, в частности, $\operatorname{Core}_G(H) = 1$. Так как подгруппа $HN$ является $\sigma$-субнормальной в $G$, то в силу леммы~2.6 из [1] имеем $HN \leq_{\sigma_i,S_i^g} G$ для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. Отметим также, что по утверждению (3) леммы~1 $SN_{\sigma_i, S_i^g \cap HN}(HN)$ ~--- нижняя полурешетка для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. В частности, для любого $y \in HN$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$ множество $SN_{\sigma_i, (S_i \cap HN)^y}(HN)$ является нижней полурешеткой. Если $|HN|<|G|$, то в силу выбора группы $G$ подгруппа $H$ является $\sigma$-субнормальной в $HN$. Ввиду леммы~2.6 из [1] подгруппа $H$ является $\sigma$-субнормальной подгруппой группы $G$, что противоречит ее выбору. Таким образом, полагаем далее, что $G = HN$. Пусть сначала $N$~--- элементарная абелева $p$-подгруппа для некоторого $p \in \pi (G)$. Тогда индекс $|G:H|$~--- степень числа $p$. Так как группа $G$ не является $\sigma$-примарной, то для некоторого $i \in I$ найдется такое множество $\sigma_i$, что $\sigma_i \cap \pi (G) = \emptyset$ и $p \notin \sigma_i$. Тогда для каждого $g \in G$ подгруппа $H$ содержит $\sigma_i$-холлову подгруппу $S^g_i$ группы $G$, причем $S^g_i \neq 1$. Поэтому $\langle S_i^g\mid g \in G\rangle \subseteq H$. Поскольку $1 \ne \langle S_i^g\mid g \in G\rangle \unlhd\, G$, то $\operatorname{Core}_G (H) \ne 1$, что невозможно. Следовательно, $N$ является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп. Обозначим $K = H \cap N$. Рассмотрим два возможные случая. \smallskip {\sc Случай 1}. Пусть $H$ не содержится в $N$. Тогда из $\operatorname{Core}_G(H) = 1$ следует, что $K$~--- собственная подгруппа в $N$. В силу утверждения~(1) леммы~1 $K \leq_{\sigma_i,S_i^g} G$ для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. Так как $|G|+|K|<|G|+|H|$, то $K \in sn_{\sigma} (G)$, а значит, $K \in sn_{\sigma} (N)$. По лемме~2 имеем, что либо подгруппа $N$ является $\sigma$-примарной, либо подгруппа $K$ субнормальна в $N$. Если $N$ является $\sigma_i$-группой для некоторого $i =1,2,\dots ,k$, то из $G = HN$ и $\sigma$-примарнос\-ти подгруппы $N$ следует, что для всех $g \in G$ и любого $j \neq i$ из $\{1,2,\dots ,k \}$ подгруппа $H$ содержит все сопряженные с $S_j$ $\sigma_j$-холловы подгруппы группы $G$. Но тогда $\operatorname{Core}_G(H) \neq 1$, что невозможно. Если $K$ субнормальна в $N$, то из строения $N$ следует, что $K$ нормальна в $N$. Кроме того, $K = H \cap N \unlhd H$. Поэтому $K \unlhd \langle N, H\rangle = HN = G$. Если $K \neq 1$, то отсюда имеем, что $\operatorname{Core}_G(H) \neq 1$. Снова пришли к противоречию. Таким образом, $K =H \cap N = 1$. Тогда для любого $i =1,2,\dots ,k$ имеет место равенство $S_i = (N \cap S_i)(H \cap S_i)$, где $N \cap S_i$~--- $\sigma_i$-холлова подгруппа из $N$, а $H \cap S_i$~--- $\sigma_i$-холлова подгруппа из $H$. Отсюда $S_iN = (H \cap S_i)N$. Так как $H \cap S^n_i \subseteq S^n_i \subseteq S_iN$ для любого $n \in N$, то $$ H \cap S^n_i \subseteq (H \cap S_i)N \cap H = (H \cap S_i)(N \cap H) = H \cap S_i. $$ По условию для любого $n \in N$ пересечение $H \cap S^n_i$ является $\sigma_i$-холловой подгруппой в $H$. Отсюда и из $H \cap S^n_i \subseteq H \cap S_i$ следует, что $H \cap S^n_i = H \cap S_i$. Таким образом, $H \cap S_i \subseteq S^n_i$ для всех $n \in N$. Значит, $$ H \cap S_i \subseteq O_{\sigma_i}(N(H \cap S_i)) = O_{\sigma_i}(S_iN). $$ Если $O_{\sigma_i}(N) \ne 1$, то $N$ является $\sigma_i$-группой. Последнее, как показано выше, невозможно. Поэтому $O_{\sigma_i}(N) = 1$ и $\sigma_i$-холлова подгруппа $H \cap S_i$ группы $H$ централизует $N$. Так как это верно для всякого $i \in \{ 1, \dots , k\}$, то $G = N \times H$ и $H \unlhd G$, что противоречит предположению. \smallskip {\sc Случай 2}. Пусть теперь $H$ содержится в $N$. Тогда $G$ является простой неабелевой группой. Покажем, что подгруппа $H$ простая. Предположим, что она содержит собственную нормальную подгруппу $L \neq 1$. Так как $H \in SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$, то $H \in SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. Следовательно, подгруппа $L$ удовлетворяет условию теоремы. Так как $|G|+|L| < |G|+|H|$, то подгруппа $L$ $\sigma$-субнормальна в $G$. Это означает, что существует цепь подгрупп $$L = L_0 \subseteq L_1 \subseteq \dots \subseteq L_{n-1} \subseteq L_n = G$$ такая, что для каждого $i = 1, 2, \dots , n$ либо подгруппа $L_{i-1}$ нормальна в $L_i$, либо группа $L_i/\operatorname{Core}_{L_i} (L_{i-1})$ $\sigma$-примарна. Отсюда и из простоты группы $G$ следует, что $G$ является $\sigma_i$-группой для некоторого $i \in \{1,\dots , k\}$. Имеем противоречие с выбором группы $G$. Следовательно, $H$~--- простая неабелева группа. Покажем, что $H$~--- $TI$-подгруппа. Пусть $x$~--- элемент из $G$, не принадлежащий $N_G(H)$. Рассмотрим подгруппу $H \cap H^x$. Из условия теоремы следует, что $SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ является нижней полурешеткой (по вложению) для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. Поэтому $H \cap H^x$ принадлежит $SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ для любого $g \in G$ и каждого $i =1,2,\dots ,k$. Кроме того, $|G|+|H \cap H^x| < |G|+|H|$. Ввиду выбора группы $G$ отсюда имеем, что подгруппа $H \cap H^x$ $\sigma$-субнормальна в $G$. Тогда по лемме~2 либо $G$ является $\sigma$-примарной группой, либо подгруппа $H \cap H^x$ субнормальна в $G$. Так как по условию группа $G$ не является $\sigma$-примарной, то из простоты группы $G$ имеем, что $H \cap H^x = 1$, т.~е. $H$~--- $TI$-подгруппа. Таким образом, простая неабелева группа $G$ содержит собственную простую неабелеву $TI$-подгруппу, что противоречит предположению. Теорема доказана. \head 3. Следствия теоремы~2 и~замечания к~гипотезе~1\endhead Так как теорема 1 справедлива для фиксированного полного холлова множества типа $\sigma$ группы $G$, то имеет место \proclaim{Следствие 1} Пусть $\sigma = \{\sigma_i \mid i \in I\}$ ~--- некоторое разбиение множества всех простых чисел. Если для любого $i \in I$ и любой $\sigma_i$-холловой подгруппы $S_i$ группы $G \in E_\sigma$ множество $SN_{\sigma_i, S_i}(G)$ является нижней полурешеткой, а гипотеза~$1$ верна, то подгруппа $H$ группы $G$ является $\sigma$-субнормальной в $G$ тогда и только тогда, когда $H \leq_{\sigma_i} G$ для любого $i \in I$. \endproclaim В работе [12] отмечено, что если $\sigma (G) = \{\sigma_1, \sigma_2,\dots , \sigma_k \}$ и $\{S_1, S_2, \dots , S_k\}$~--- полное холлово множество типа $\sigma$ группы $G$, то подгруппа $H$ группы $G$ принадлежит $SN_{\sigma_i, S_i}(G)$ для любого $i =1,2,\dots ,k$ тогда и только тогда, когда $$ \prod_{i=1}^{k}|HS_i| = |G|\cdot|H|^{k-1}. $$ С учетом этого имеем \proclaim{Следствие 2} Пусть $\sigma = \{\sigma_i \mid i \in I\}$ ~--- некоторое разбиение множества всех простых чисел и $\{S_1, S_2, \dots , S_k\}$~--- полное холлово множество типа $\sigma$ группы $G$. Если $SN_{\sigma_i, S_i^g}(G)$ является нижней полурешеткой {\rm (}по вложению{\rm )} для любого $g \in G$ и каждого $i = 1,2,\dots ,k$, а гипотеза~$1$ верна, то подгруппа $H$ группы $G$ является $\sigma$-субнормальной в $G$ тогда и только тогда, когда $$ \prod_{i=1}^{k}|HS_i^g| = |G|\cdot|H|^{k-1} $$ для любого $g \in G$. \endproclaim Подгруппа $H$ конечной группы $G$ называется {\it плотно вложенной}, если ее порядок четен, а порядок подгруппы $H \cap H^x$ нечетен для любого $x \in G \setminus N_G(H)$. Очевидно, $TI$-подгруппа $H$ группы $G$ является плотно вложенной. Поэтому из теоремы~1 работы [13], в частности, следует, что если $G$~--- простая неабелева группа и $H$~--- ее простая неабелева $TI$-подгруппа, то силовская $2$-подгруппа из $H$ является абелевой. Следовательно (см., например, 4.126 из [14]), справедливо одно из следующих утверждений: --- $H \cong PSL_2(q)$, где $q \equiv 3,5 \pmod {8}$; --- $H \cong PSL_2(2^n)$, где $n \geq 2$; --- $H \cong J_1$; --- $H \cong ^2G_2(3^n)$, где $n$ нечетно и $n > 1$. Кроме того, простая проверка показывает, что $H$~--- собственная подгруппа в $N_G(H)$ и для каждой подгруппы $T$ из $H$ имеет место включение $N_G(T) \subseteq N_G(H)$. Из отмеченного следует, что группы Судзуки и группы Ри не содержат собственных простых неабелевых $TI$-подгрупп. Действительно, если $G \cong ^2B_2(q)$, где $q = 2^{2n+1}$ и $n \geq 1$, то, как следует из [15], любая собственная простая неабелева подгруппа группы $^2B_2(q)$ изоморфна $^2B_2(q_0)$, где $q = q_0^t$, $q_0 > 2$ и $t$ делит $2n + 1$. Кроме того, силовские $2$-подгруппы в группах Судзуки неабелевы. Поэтому группа $^2B_2(q)$ не содержит собственных простых неабелевых $TI$-подгрупп. Пусть теперь $G \cong ^2G_2(q)$, где $q = 3^{2n+1}$ и $n \geq 1$. Информацию о строении групп Ри можно найти, например, в [16]. В группе $^2G_2(q)$ все инволюции сопряжены и централизатор инволюции, максимальный в $^2G_2(q)$, изоморфен $2 \times PSL_2(q)$. Как отмечено выше, нормализатор всякой простой неабелевой $TI$-подгруппы совпадает с $2 \times PSL_2(q)$. Ясно, что $H \cong PSL_2(q)$. С другой стороны, нормализатор силовской $3$-подгруппы из $H$ не содержится в $2 \times PSL_2(q)$. Следовательно, группа $^2B_2(q)$ не содержит собственных простых неабелевых $TI$-подгрупп. } \Refs \ref\no 1 \by Skiba~A.~N. \paper On $\sigma$-subnormal and $\sigma$-permutable subgroups of finite groups \jour J. Algebra \yr 2015 \vol 436 \pages 1--16 \endref \mref{\bf2.} {\sl Нерешенные вопросы теории групп}: Коуровская тетрадь. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2018. \endmref \ref\no 3 \by Kegel~O.~H. \paper Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen \jour Math. Z. \yr 1962 \vol 78 %\issue \pages 205--211 \endref \ref\no 4 \by Wielandt~H. \paper Zusammengesetzte Gruppen: H$\ddot{o}$lders Programm heute \jour Proc. Pure Math. \yr 1980 \vol 37 %\issue \pages 161--173 \endref \ref\no 5 \by Kleidman~P.~B. \paper A proof of the Kegel--Wielandt conjecture on subnormal subgroups \jour Ann. Math. \yr 1991 \vol 133 %\issue \pages 369--428 \endref \ref\no 6 \by Каморников~С.~Ф., Тютянов~В.~Н. \paper $\sigma$-Проблема Кегеля~--- Виландта: редукция к простым группам \jour Сиб. мат. журн. \yr 2025 \vol 66 \issue 1 \pages 36--45 \endref \ref\no 7 \by Каморников~С.~Ф., Тютянов~В.~Н. \paper О $\sigma$-субнормальных подгруппах конечных групп \jour Сиб. мат. журн. \yr 2020 \vol 61 \issue 2 \pages 337--343 \endref \ref\no 8 \by Васильев~А.~Ф., Каморников~С.~Ф., Семенчук~В.~Н. \paper О решетках подгрупп конечных групп \inbook Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы \publaddr Киев \publ Ин-т математики АН Украины \yr 1993 \pages 27--54 \endref \ref\no 9 \by Ballester-Bolinches~A., Ezquerro~L.~M. \paper On join properties of Hall $\pi$-subgroups of finite $\pi$-soluble groups \jour J. Algebra \yr 1998 \vol 204 \issue 2 \pages 532--548 \endref \ref\no 10 \by Xu~Zh., Yi~X., Kamornikov~S.~F. \paper On some aspects of the Kegel--Wielandt $\sigma$-problem \jour Ricerche di Matematica \yr 2024 \vol 73 \issue 5 \pages 2771--2778 \endref \ref\no 11 \by Hall~P. \paper Theorems like Sylow's \jour Proc. London Math. Soc. \yr 1956 %\vol \issue 5 \pages 286--304 \endref \ref\no 12 \by Ballester-Bolinches~A., Kamornikov~S.~F., Perez-Calabuig~V., Shemetkova~O.~L. \paper An arithmetic criterion for $\sigma$-subnormality in finite groups \jour Monatsh. Math. \yr 2025 \vol 207 %\issue \pages 231--239 \endref \ref\no 13 \by Махнев~А.~А. \paper О плотно вложенных подгруппах конечных групп \jour Мат. сб. \yr 1983 \vol 163 \issue 4 \pages 523--532 \endref \ref\no 14 \by Горенстейн~Д. \book Конечные простые группы. Введение в их классификацию \publaddr М. \publ Мир \yr 1985 \endref \ref\no 15 \by Suzuki~M. \paper On a class double transitive groups \jour Ann. Math. \yr 1962 \vol 75 \issue 1 \pages 105--145 \endref \ref\no 16 \by Левчук~В.~М., Нужин~Я.~Н. \paper О строении групп Ри \jour Алгебра и логика \yr 1985 \vol 24 \issue 1 \pages 26--41 \endref \endRefs \enddocument