\documentstyle{SibMatJ} %\TestXML \Rus \topmatter \Author Ivanov \Initial A. \Initial V. \Gender he \ORCID 0000-0002-4436-4805 \Email alvlivanov\@krc.karelia.ru \AffilRef 1 \endAuthor \Affil 1 \Organization Institute of Applied Mathematical Research of Karelian Research Center \City Petrozavodsk \Country Russia \endAffil \opages ???--??? \endopages \datesubmitted December 1, 2025\enddatesubmitted %\daterevised December 1, 2025\enddaterevised \dateaccepted February 12, 2026\enddateaccepted \UDclass 515.12 \endUDclass \thanks Финансовое обеспечение исследования осуществлялось из средств федерального бюджета на выполнение государственного задания КарНЦ РАН (Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН). %The study was carried out under the State Task to %the Institute of Applied Mathematical Research of the Karelian Scientific Center of %the Russian Academy of Sciences. \endthanks \title О~множестве значений размерностей квантования идемпотентных мер \endtitle \abstract На пространстве $I(X)$ идемпотентных мер (мер Маслова), заданных на метрическом компакте $X$, вводится метрика $\rho_I$, определяющая метризацию функтора идемпотентных мер $I$. Для каждой меры $\mu\in I(X)$ по метрике $\rho_I$ можно определить верхнюю и нижнюю размерности квантования этой меры, которые не превосходят соответствующих емкостных размерностей носителя меры $\mu$. Доказана следующая теорема о промежуточных значениях размерностей квантования идемпотентных мер: на любом метрическом компакте емкостной размерности $a<\infty$ для любых двух чисел $b$ и $c$, связанных неравенствами $0\leq b\leq c\leq a$, существует идемпотентная мера, нижняя и верхняя размерности квантования которой равны $b$ и $c$ соответственно. Ранее аналогичная теорема о промежуточных значениях была доказана автором для размерностей квантования вероятностных мер, идемпотентным аналогом которых являются меры Маслова. %On the space $I(X)$ of idempotent measures (Maslov measures) defined on a metric %compactum $X$, we introduce the metric $\rho_I$, which defines a metrization of %the functor of idempotent measures $I$. For each measure $\mu\in I(X)$, using %the metric $\rho_I$, we can define an upper and lower quantization dimension of %this measure that does not exceed the corresponding box dimensions of the %support of $\mu$. The following theorem on intermediate values of the %quantization dimensions of idempotent measures is proved: on any metric %compactum of box dimension $a<\infty$, for any two numbers $b,c$ such that %$0\leq b\leq c\leq a$, there exists an idempotent measure whose lower and upper %quantization dimensions are $b$ and $c$, respectively. %Previously, a similar theorem on intermediate values was proved by the author %for the quantization dimensions of probability measures, the idempotent %analog of which are Maslov measures. \endabstract \keywords метрический компакт, емкостная размерность, размерность квантования идемпотентных мер %metric compactum, %box dimension, %quantization dimension of idempotent measures \endkeywords \endtopmatter \head 1. Введение \endhead В работе речь пойдет о мерах (вероятностных и идемпотентных), заданных на метрическом компакте $(X,\rho)$. {\it Квантованием\/} вероятностной (борелевской) меры называется ее приближение мерами с конечными носителями. В рамках теории квантования введено понятие размерности квантования $D(\mu)$ вероятностной меры $\mu$ (см. [1]). Величина $D(\mu)$ характеризует скорость возрастания числа точек в носителе $\varepsilon$-аппроксимации меры $\mu$ при $\varepsilon\to 0$. Эта скорость бывает ``неустойчивой'' и тогда рассматривают верхнюю $\overline{D}(\mu)$ и нижнюю $\underline{D}(\mu)$ размерности квантования меры $\mu$, связанные неравенством $\underline{D}(\mu)\leq\overline{D}(\mu)$. Известно (см. [1]), что размерности квантования вероятностной меры (верхняя и нижняя) не превосходят соответствующих емкостных размерностей ее носителя. В работе [2] была доказана следующая теорема о промежуточных значениях размерностей квантования вероятностных мер. \proclaim{Theorem 1.1 \rm [2]} Пусть $(X,\rho)$ --- метрический компакт, емкостная размерность которого равна $a\leq\infty$. Тогда для любых двух чисел $b$ и $c$, удовлетворяющих неравенствам $0\leq b\leq c\leq a$, на $X$ существует вероятностная мера $\mu_{bc}$, для которой $$ \underline{D}(\mu_{bc})=b,\quad \overline{D}(\mu_{bc})=c. $$ \endproclaim Постановка вопроса о приближении предполагает наличие подходящей метрики на пространстве вероятностных мер, заданных на метрическом компакте $(X,\rho)$. В качестве такой метрики в сформулированных выше утверждениях рассматривается расстояние Канторовича~--- Рубинштейна $\rho_P$, которое определяется по формуле $$ \rho_P(\mu,\nu)=\sup\{|\mu(f)-\nu(f)|:f\in\operatorname{Lip}_1(X)\}, \eqno(1) $$ где $\operatorname{Lip}_1(X)$ --- множество вещественных функций на $X$, удовлетворяющих условию Липшица с константой 1, и $\mu(f)=\int f\,d\mu$. Главным результатом данной статьи является доказательство аналога \Par*{Theorem 1.1} для идемпотентных мер. Основные понятия идемпотентного анализа кратко изложены в обзоре [3]. В~идемпотентной математике аналогом вероятностных мер являются идемпотентные меры или меры Маслова (см. [4]), которые можно определить как нормированные функционалы $\mu: C(X)\to {\Bbb R}$, линейные относительно идемпотентных арифметических операций (суммы $x\oplus y=\max\{x,y\}$ и произведения $x\odot y=x+y$). Множество $I(X)$ идемпотентных мер на компакте $X$, наделенное слабой* топологией, всегда является компактом. Непрерывное отображение компактов $f:X\to Y$ естественно порождает отображение $I(f):I(X)\to I(Y)$. Таким образом, конструкция $I$ определяет ковариантный функтор в категории компактов и непрерывных отображений. Топологические свойства этого функтора исследованы в [4], где было доказано, что функтор $I$ является нормальным в смысле Е.В.~Щепина [5]. В работе [6] для любого метрического компакта $(X,\rho)$ на $I(X)$ определены непрерывные псевдометрики $\rho_n$, $n\in{\Bbb N}$, по формуле \Tag(1) с заменой $\operatorname{Lip}_1$ на $\operatorname{Lip}_n$. C помощью этих псевдометрик мы вводим расстояние $\rho_I$ на $I(X)$, отличное от метрик, рассмотренных в [6--8]. При этом метрики $\rho_I$ задают метризацию функтора $I$ по В.В.~Федорчуку [9]. В~метрическом пространстве $(I(X),\rho_I)$ определены размерности квантования идемпотентной меры $\mu$ (верхняя $\overline{D}_I(\mu)$ и нижняя $\underline{D}_I(\mu)$), которые (как и в случае вероятностных мер) не превосходят соответствующих емкостных размерностей носителя меры $\mu$. В~работе доказано, что для размерностей квантования идемпотентных мер справедлива следующая теорема о промежуточных размерностях, аналогичная \Par*{Theorem 1.1}. {\sl Для любого метрического компакта $(X,\rho)$ емкостной размерности $\dim_BX=a<\infty$ и любых двух чисел $b,c$, связанных неравенствами $0\leq b\leq c\leq a$, существует мера $\mu_{bc}\in I(X)$ такая, что} $$ \underline{D}_I(\mu_{bc})=b,\quad \overline{D}_I(\mu_{b,c})=c. $$ При доказательстве этой теоремы используется техника работы [10], где теорема о промежуточных размерностях была доказана при ограничении $b-\infty\}}. $$ Множество $I(X)$ является подмножеством пространства ${\Bbb R}^{C(X)}$ с тихоновской топологией. Тем самым $I(X)$ наделяется слабой* топологией. В [12] показано, что для любого компакта $X$ пространство $I(X)$ является компактом. Для любого непрерывного отображения компактов $h:X\to Y$ определено непрерывное отображение $I(h):I(X)\to I(Y)$ по формуле: $I(h)(\mu)(f)=\mu(f\circ h)$ для каждого $f\in C(Y)$. Таким образом, конструкция $I$ является ковариантным функтором в категории Comp компактов и непрерывных отображений, который (как показано в [4]) является нормальным в смысле Е.В.~Щепина (см. [5]). В работе [6] для каждого $n\in{\Bbb N}$ на $I(X)$ определена непрерывная псевдометрика $\rho_n$ по формуле $$ \rho_n(\mu,\nu)=\sup\{|\mu(f)-\nu(f)|:f\in \operatorname{Lip}_n(X)\}, \eqno(3) $$ где $\operatorname{Lip}_n(X)$ --- множество функций на $X$, удовлетворяющих условию Липшица с константой $n$. В~силу условия~\Par{D2.1}{(ii)} %2 \Par*{Definition~2.1} в формуле \Tag(3) достаточно рассматривать функции из $\operatorname{Lip}_n(X)$, принимающие нулевое значение в некоторой фиксированной точке $x_0$. Множество таких функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Следовательно, по теореме Арцела~--- Асколи это множество компактно. Таким образом, в формуле \Tag(3) $\sup$ можно заменить на $\max$. Заметим, что $f\in \operatorname{Lip}_n(X)$ тогда и только тогда, когда $f/n\in \operatorname{Lip}_1(X)$. В~[8] для каждой возрастающей последовательности натуральных чисел $\alpha=(n_i:i\in{\Bbb N})$ определена совместимая с топологией метрика $\rho_{I\alpha}$ на $I(X)$ по формуле $$ \rho_{I\alpha}(\mu,\nu) =\sum\limits_{i\in{\Bbb N}}\frac{\rho_{n_i}(\mu,\nu)}{n_i2^i}. \eqno(4) $$ Модифицируем формулу \Tag(4), заменив в ней ряд коэффициентов $\sum\nolimits_{i\in{\Bbb N}}\frac{1}{2^i}$ рядом $\sum\nolimits_{i\in{\Bbb N}}\frac{1}{i^2}$ (напомним, что его сумма равна $\pi^2/6$). В качестве $\alpha$ возьмем последовательность $(2^i:i\in{\Bbb N})$ и положим $$ \rho_I(\mu,\nu) =\frac{6}{\pi^2}\sum\limits_{i\in{\Bbb N}}\frac{\rho_{2^i}(\mu,\nu)}{2^i\cdot i^2}. \eqno(5) $$ Почти дословно повторив рассуждения, приведенные при доказательстве Propositions~3.2 и 3.4 из [8], можно утверждать, что формула \Tag(5) определяет совместимую с топологией метрику $\rho_I$ на $I(X)$ и метрики $\rho_I$ задают метризацию функтора $I$ в терминологии В.В.~Федорчука. Для каждого $n\in{\Bbb N}$ множество $I_n(X)=\{\mu\in I(X):|\supp(\mu)|\leq n\}$ замкнуто в $I(X)$ и $\bigcup\nolimits_{n\in{\Bbb N}}I_n(X)$ всюду плотно в $I(X)$ (см. [4]). Поэтому для любой меры $\mu\in I(X)$ и любого $\varepsilon>0$ определено натуральное число $N(\mu,\varepsilon)$, равное наименьшей мощности носителя $\varepsilon$-приближения меры $\mu$ по метрике $\rho_I$: $$ N(\mu,\varepsilon)=\min\{n:\rho_I(\mu,I_n(X))\leq\varepsilon\}. $$ Если $\mu$ имеет бесконечный носитель, то $ N (\mu, \varepsilon) $ неограниченно возрастает при $ \varepsilon \to 0 $. Скорость этого возрастания характеризует размерность квантования $D_I(\mu)$ меры $\mu$: $$ D_I(\mu)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{\log N(\mu,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}, $$ (если указанного предела не существует, то рассматриваются верхний и нижний пределы, и мы получаем верхнюю $ \overline {D}_I (\mu) $ и нижнюю $ \underline {D}_I (\mu ) $ размерности квантования $\mu$). Нам понадобится также понятие емкостных размерностей (верхней $\overline{\dim}_BF$ и нижней $\underline{\dim}_BF$) замкнутого подмножества $F$ метрического компакта $(X,\rho)$ (см. [12]). Для множества $F$ и $\varepsilon>0$ через $N(F,\varepsilon)$ обозначим наименьшее число точек в $\varepsilon$-сети для $F$. Тогда $$ \overline{\dim}_BF=\varlimsup_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(F,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}, \quad \underline{\dim}_BF=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(F,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}. $$ В случае совпадения этих пределов используют обозначение $\dim_BF$ и говорят о {\it емкостной размерности\/} $F$. \proclaim{Proposition 2.2} Для любой идемпотентной меры $\mu\in I(X)$ имеют место неравенства $$ \overline{D}_I(\mu)\leq\overline{\dim}_B(\supp(\mu)), \quad \underline{D}_I(\mu)\leq\underline{\dim}_B(\supp(\mu)). $$ \endproclaim \demo{Proof} этого утверждения совпадает с доказательством аналогичных неравенств в [7, Proposition 4.3 and Corollary 4.4]. \enddemo Подмножество $A$ метрического компакта $(X,\rho)$ называется $\varepsilon$-{\it разделенным\/} ($\varepsilon>0$), если $\rho(x,y)>\varepsilon$ для любых двух различных точек $x,y\in A$. Следующее предложение доказано в [10]. \proclaim{Proposition 2.3 \rm [10, Proposition 2.5]} Пусть последовательность положительных чисел $\varepsilon_n$ монотонно {\rm(}$\varepsilon_n\geq\varepsilon_{n+1}${\rm)} сходится к нулю, $\lim\nolimits_{n\to\infty}\frac{\log \varepsilon_n}{\log\varepsilon_{n+1}}=1$, и пусть $T_n$ --- последовательность $\varepsilon_n$-разделенных $\varepsilon_n$-сетей в $X$. Тогда $$ \overline{\dim}_BX=\varlimsup_{n\to\infty} \frac{\log |T_n|}{-\log\varepsilon_n}, \quad \underline{\dim}_BX=\varliminf_{n\to\infty} \frac{\log |T_n|}{-\log\varepsilon_n}. $$ \endproclaim Из доказанного в [10] предложения 2.1 следует \proclaim{Proposition 2.4} Если последовательность $\varepsilon_n$ удовлетворяет условиям \Par*{Proposition~{\rm 2.3}}, то $$ \underline{D}_I(\mu)=\varliminf_{n\to \infty}\frac{\log N(\mu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}, \quad \overline{D}_I(\mu)=\varlimsup_{n\to \infty}\frac{\log N(\mu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}. $$ \endproclaim Пусть $\mu\in I(X)$ и $d_\mu$ --- функция плотности меры $\mu$. Положим $$ K(\mu)=\{x: d_\mu(x)=0\}. $$ \proclaim{Proposition 2.5} Для любой меры $\mu\in I(X)$ имеют место неравенства $$ \underline{D}_I(\mu)\geq\underline{\dim}_BK(\mu), \quad \overline{D}_I(\mu)\geq\overline{\dim}_BK(\mu). $$ \endproclaim \demo{Proof} Опираясь на результаты [7, Lemmas 3.3 and 4.5], легко проверить, что имеет место неравенство $$ N(\mu,\varepsilon)\geq N(K(\mu),\varepsilon), $$ из которого следует утверждение предложения. \qed\enddemo Для замкнутого подмножества $F$ метрического компакта $X$ определим идемпотентную меру $\lambda_F$ по формуле $$ \lambda_F(f)=\max\{f(x):x\in F\}, $$ где $f\in C(X)$. Очевидно, что мера $\lambda_F$ имеет функцию плотности $d_{\lambda_F}$, которая тождественно равна нулю на $F$ и принимает значение $- \infty$ во всех остальных точках $X$. Из \Par{Proposition 2.2}{Propositions 2.2} и \Par{Proposition 2.5}{2.5} вытекает \proclaim{Corollary 2.6} Для любого замкнутого подмножества $F\subset X$ $$ \underline{D}_I(\lambda_F)=\underline{\dim}_BF, \quad \overline{D}_I(\lambda_F)=\overline{\dim}_BF. $$ \endproclaim В пространстве $I(X)$ определено идемпотентное сложение $\oplus$. Для $\mu,\nu\in I(X)$ мера $\mu\oplus\nu\in I(X)$ определяется по формуле $$ (\mu\oplus\nu)(f)=\max\{\mu(f),\nu(f)\}, $$ где $f\in C(X)$. Очевидно, что $$ d_{\mu\oplus\nu}(x)=\max\{d_\mu(x),d_\nu(x)\}. $$ Имеют место следующие утверждения, доказательства которых почти тождественны доказательствам соответствующих предложений из [7]. \proclaim{Proposition 2.7 \rm [7, Proposition 4.10]} Для любых $\mu,\nu\in I(X)$ и любого $\varepsilon>0$ выполняется неравенство $$ N(\mu\oplus\nu,2\varepsilon)\leq N(\mu,\varepsilon)+N(\nu,\varepsilon). $$ \endproclaim \proclaim{Corollary 2.8 \rm [7, Corollary 4.11]} Для любых мер $\mu,\nu\in I(X)$ $$ \overline{D}_I(\mu\oplus\nu)\leq \max\{\overline{D}_I(\mu),\overline{D}_I(\nu)\}. $$ \endproclaim \head 3. Теорема о~промежуточных значениях размерностей квантования \endhead Пусть $(X,\rho)$ --- метрический компакт, $x\in X$ и $\varepsilon>0$. Замкнутый $\varepsilon$-шар точки $x$ будем обозначать через $ B(x,\varepsilon)=\{y:\rho(x,y)\leq\varepsilon\}$. \proclaim{Theorem 3.1} Пусть $(X,\rho)$ --- метрический компакт и $\dim_BX=a<\infty$. Тогда для любых чисел $b,c$, удовлетворяющих неравенствам $0\leq b\leq c\leq a$, существует мера $\mu_{bc}\in I(X)$ такая, что $\underline{D}_I(\mu_{bc})=b$, $\overline{D}_I(\mu_{bc})=c$. \endproclaim \demo{Proof} Покажем вначале, что на $X$ существует идемпотентная мера $\mu$, для которой $D_I(\mu)=b$. Для $b=0$ в качестве $\mu$ можно взять любую меру с конечным носителем. При $b=a$ искомой мерой $\mu$ является мера $\lambda_X$ в силу \Par*{Corollary 2.6}. В дальнейшем $b\in(0,a)$. Положим $\varepsilon_n=1/2^n$, $n\in{\Bbb N}$. Зафиксируем в $X$ возрастающую (по включению) последовательность подмножеств $T_0,T_1,\dots,T_n,\dots$, где $|T_0|=1$ и каждое $T_n$ при $n\in{\Bbb N}$ является $\varepsilon_n$-разделенной $\varepsilon_n$-сетью в $X$. Такую последовательность легко построить по индукции, дополняя на шаге $n+1$ уже построенное $T_n$ до максимального $\varepsilon_{n+1}$-разделенного подмножества $T_{n+1}$, которое (в силу максимальности) будет $\varepsilon_{n+1}$-сетью. Положим $$ b_n=2^{2^{np}}, $$ где $n\in{\Bbb N}$ и $p>0$ --- числовой параметр. Определим функцию $d:X\to{\Bbb R}_{\max}$ следующим образом: $d(x)=0$ при $x\in T_0$; $d(x)=-b_n$ при $x\in T_n\setminus T_{n-1}$; $d(x)=-\infty$ при $x\notin\bigcup\nolimits_{n=0}^{\infty}T_n$. Легко проверить, что функция $d$ полунепрерывна сверху и $\max d=0$. Следовательно, $d$ есть функция плотности некоторой идемпотентной меры $\mu$. Покажем, что при изменении параметра $p$ размерность квантования меры $\mu$ принимает все значения в диапазоне $(0,a)$. \specialhead Оценка снизу %\? \endspecialhead Пусть мера $\nu$ имеет конечный носитель $\supp(\nu)=B$ и $|B|<|T_n|$. Множество $T_n$ является $\varepsilon_n$-разделенным, следовательно, шары $B(x,\varepsilon_n/2)$, $x\in T_n$, попарно не пересекаются. Таким образом, существует точка $t\in T_n$, для которой $B(t,\varepsilon_n/2)\cap B=\emptyset$, и, значит, $\rho(t,B)>\varepsilon_n/2$. Поскольку функция $\rho(x,B)$ принадлежит $\operatorname{Lip}_1(X)$, для любого $i\in\overset\circ\to{N}$ получаем $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu)\geq|\mu(2^i\rho(x,B))- \nu(2^i\rho(x,B))|. $$ Множество $B$ является носителем меры $\nu$ и $\rho(x,B))=0$ при $x\in B$. Следовательно, $\nu(2^i\rho(x,B))=0$. При этом $\mu(2^i\rho(x,B))\geq 2^i\rho(t,B)+d(t)>2^i\varepsilon_n/2-b_n$. Таким образом, $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu)\geq 2^i\varepsilon_n/2-b_n. $$ Положим $$ i(n)=[2^{np}]+n+2. $$ Легко проверить, что для всех $i>i(n)$ выполняется неравенство $$ 2^i\varepsilon_n/4>b_n. $$ Таким образом, при $i>i(n)$ $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu)>2^i\varepsilon_n/4. $$ Следовательно, $$ \rho_I(\mu,\nu)\geq\frac{6}{\pi^2}\sum\limits_{i>i(n)}\frac{\rho_{2^i} (\mu,\nu)}{2^i\cdot i^2} >\frac{6}{\pi^2}\frac{\varepsilon_n}{4(i(n)+1)}. $$ Введем обозначение $$ \delta_n=\frac{6}{\pi^2}\frac{\varepsilon_n}{4(i(n)+1)}. $$ Нетрудно показать, что последовательность $\delta_n$ удовлетворяет условиям \Par*{Proposition 2.3} и $$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\log\varepsilon_n}{\log\delta_n}=\frac{1}{p+1}. $$ Итак, доказано, что если носитель меры $\nu$ имеет мощность меньше $|T_n|$, то $\rho_I(\mu,\nu)>\delta_n$. Следовательно, $$ N(\mu,\delta_n)\geq |T_n|. \eqno(6) $$ Из неравенства \Tag(6) и \Par{Proposition 2.3}{Propositions 2.3}, \Par{Proposition 2.4}{2.4} получаем $$ \underline{D}_I(\mu)=\varliminf_{n\to\infty}\frac{\log N(\mu,\delta_n)}{- \log\delta_n}\geq\varliminf_{n\to\infty} \Bigl( \frac{\log|T_n|}{-\log\varepsilon_n} \frac{\log\varepsilon_n}{\log\delta_n}\Bigr) =\frac{\dim_BX}{p+1}. $$ \specialhead Оценка сверху %\? \endspecialhead Для каждого $n$ определим функцию $d_n:X\to {\Bbb R}_{\max}$ следующим образом: $d_n(x)=d(x)$ при $x\in T_n$; $d_n(x)=-\infty$ при $x\notin T_n$. Очевидно, что $d_n$ является функцией плотности некоторой меры $\nu_n$ с носителем $\supp(\nu_n)=T_n$. Для $i\in{\Bbb N}$ оценим величину $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu_n)=\max\{|\mu(2^if)-\nu_n(2^if)|:f\in \operatorname{Lip}_1(X)\} . \eqno(7) $$ Пусть $g$ --- функция из $\operatorname{Lip}_1(X)$, на которой достигается максимум правой части формулы \Tag(7), т.~е. $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu_n)=|\mu(2^ig)-\nu_n(2^ig)|. $$ В силу формулы \Tag(2) для некоторой точки $y\in X$ имеет место равенство $\mu(2^ig)=2^ig(y)+d(y)$. Если $y\in T_n$, то легко проверить, что $\mu(2^ig)=\nu_n(2^ig)$ и тогда $\rho_{2^i}(\mu,\nu_n)=0$. Если $y\notin T_n$, то существует точка $t\in T_n$ такая, что $\rho(t,y)\leq\varepsilon_n$, поскольку $T_n$ является $\varepsilon_n$-сетью. Имеем $$ 2^ig(t)+d(t)\leq \nu_n(2^ig)<2^ig(y)+d(y)=\mu(2^ig). $$ Следовательно, $$ |\mu(2^ig)-\nu_n(2^ig)|\leq 2^i|g(y)-g(t)|+d(y)-d(t). $$ При этом $|g(y)-g(t)|\leq\varepsilon_n$, $d(y)\leq -b_{n+1}$, $-d(t)\leq b_n$. Таким образом, $$ \rho_{2^i}(\mu,\nu_n)\leq 2^i\varepsilon_n-(b_{n+1}-b_n). \eqno(8) $$ Пусть $i=j(n)$ --- наименьшее натуральное число, для которого правая часть формулы \Tag(8) больше нуля. Легко проверить, что $$ j(n)=[\log_2(b_{n+1}-b_n)]+n+1 $$ (здесь мы считаем, что $n$ достаточно велико, так, что $\log_2(b_{n+1}-b_n)>0$). Поскольку $\rho_{2^i}(\mu,\nu_n)\geq 0$, правая часть формулы \Tag(8) не может быть отрицательной. Отсюда следует, что при $iN(\lambda_F,\varepsilon_i)$, так как $D_I(\mu)=b>0$. Следовательно, $$ \underline{D}_I(\mu_{bc})=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(\mu_{bc},2\varepsilon)}{-\log \varepsilon}\leq \varliminf_{i\to\infty} \frac{\log 2N(\mu,\varepsilon_i)}{-\log\varepsilon_i}=b. $$ Для доказательства обратного неравенства $\underline{D}_I(\mu_{bc})\geq b$ достаточно дословно повторить рассуждения, проведенные при доказательстве неравенства $\underline{D}_I(\mu)\geq \dim_BX/(p+1)$ для меры $\mu$, с заменой $\mu$ на $\mu_{bc}$. \qed\enddemo \Refs \ref\no 1 \by Graf~S. and Luschgy~H. \book Foundations of Quantization for Probability Distributions \publaddr Berlin \publ Springer \yr 2000 \finalinfo Lecture Notes in Math., 1730 \endref \ref\no 2 \by Ivanov~A.V. \paper Quantization dimension of probability measures \jour Sb. Math. \yr 2024 \vol 215 \issue 8 \pages 1043--1052 %41--51 \endref \ref\no 3 \by Litvinov~G.L., Maslov~V.P., and Shpiz~G.B. \paper Idempotent functional analysis. An algebraic approach \jour Math. Notes \yr 2001 \vol 69 \iftex \issue 5--6 \else \issue 5 \fi \pages 696--729 \endref \ref\no 4 \by Zarichnyi~M.M. \paper Spaces and mappings of idempotent measures \jour Izv. Math. \yr 2010 \vol 74 \issue 3 \pages 481--499 \endref \ref\no 5 \by Shchepin~E.V. \paper Functors and uncountable powers of compacta \jour Russian Math. Surveys \yr 1981 \vol 36 \issue 3 \pages 1--71 \endref \ref\no 6 \by Bazylevych~L., Repovs~D., and Zarichnyi~M. \paper Spaces of idempotent measures of compact metric spaces \jour Topology Appl. \yr 2010 \vol 157 \issue 1 \pages 136--144 \endref \ref\no 7 \by Ivanov~A.V. \paper On quantization dimensions of idempotent probability measures \jour Topology Appl. \yr 2022 \vol 306 %\issue - \num 107931 \size 12 \endref \ref\no 8 \by Ivanov~A.V. \paper On metrization of the idempotent measures functor and quantization dimensions \jour Topology Appl. \yr 2023 \vol 329 %\issue - \num 108362 \size 12 \endref \ref\no 9 \by Fedorchuk~V.V. \paper Triples of infinite iterations of metrizable functors \jour Math. USSR-Izv. \yr 1991 \vol 36 \issue 2 \pages 411--433 \endref \ref\no 10 \by Ivanov~A.V. \paper On intermediate values of quantization dimensions of idempotent measures \jour Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN \yr 2024 \vol 30 \issue 3 \pages 139--148 \endref \ref\no 11 \by Akian~M. \paper Densities of idempotent measures and large deviations \jour Trans. Amer. Math. Soc. \yr 1999 \vol 351 \issue 11 \pages 4515--4543 \endref \ref\no 12 \by Pesin~Ya.B. \book Dimension Theory in Dynamical Systems: Contemporary Views and Applications \publaddr Chicago and London \publ University of Chicago \yr 1997 \finalinfo Chicago Lectures in Math. \endref \ref\no 13 \by Ivanov A.V. \paper On the intermediate values of the box dimensions \jour Sib. Math.~J. \yr 2023 \vol 64 \issue 3 \pages 593--597 \endref \endRefs \enddocument